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AL-2009-I-Q1

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Quiz I – Álgebra Lineal 1
Febrero 4 de 2009
(4 Puntos) I. Considere el sistema no homogeneo de ecuaciones lineales
4x1 + 6x2 = 7
4x1 + 2x3 = 3
3x2 − x3 = 2.
i. Escriba el sistema en la forma A~x = ~b, con A ∈ M3x3(R) y ~x,~b ∈ R3 y también escŕıbalo como
combinación lineal de vectores en R3.
ii. Resuelva el sistema y diga si tiene solución única, infinitas soluciones o ninguna solución. Si tiene
solución única encuentre tal solución, si tiene infinitas soluciones encuentre todas las soluciones
al sistema, identificandolas geométricamente (haga un dibujo).
iii. (Bono 1 Punto) Es la matriz A invertible? —justifique su respuesta.
(1 Punto) II. Una matriz A es llamada simétrica si A = AT , y es llamada antisimétrica si AT = −A.
Escoja y demuestre una de las siguientes afirmaciones: Si M es cualquier matriz,
i. M + MT es simétrica.
ii. M −MT es antisimétrica.
Solución
I.
i. La matriz de coeficientes del sistema es A =
 4 6 04 0 2
0 3 −1
 ∈ M3×3(R), por lo tanto el sistema
se escribe en forma matricial como: 4 6 04 0 2
0 3 −1
  x1x2
x3
 =
 73
2
 .
En forma equivalente, podemos escribir el sistema como una combinación lineal de los vectores
columna de A como:
x1
 44
0
 + x2
 60
3
 + x3
 02
−1
 =
 73
2
 .
ii. Para resolver el sistema, partimos de la matriz aumentada
(A |~b) =
 4 6 0 74 0 2 3
0 3 −1 2

y aplicamos el método de Gauss-Jordan: 4 6 0 74 0 2 3
0 3 −1 2
 F2→F2−F1
−−−−−−−→
 4 6 0 70 −6 2 −4
0 3 −1 2
 F2→F2+2F3
−−−−−−−→
 4 6 0 70 0 0 0
0 3 −1 2
 F2↔F3
−−−−→ 4 6 0 70 3 −1 2
0 0 0 0
 F1→F1−2F2
−−−−−−−−→
 4 0 2 30 3 −1 2
0 0 0 0
 F2→ 13 F2F1→ 14 F1−−−−−→
 1 0 1/2 3/40 1 −1/3 2/3
0 0 0 0
 ,
de modo que el sistema tiene infinitas soluciones que se obtienen al tomar la variable x3 como
parámetro, x3 := t ∈ R y despejar x2 y x1 aśı: x2 = 13 t y x1 = −
1
2 t +
1
4 . En forma vectorial, x1x2
x3
 =
 −1/21/3
1
 t +
 3/42/3
0
 .
Como hay un solo parámetro (un grado de libertad) esto muestra que la solución corresponde
a una recta (una dimensión) que se obtiene geométricamente trazando la ĺınea que contiene al
vector (− 12 ,
1
3 , 1) ∈ R
3 y trasladándola de forma que el origen (0, 0, 0) vaya a la posición del
vector ( 34 ,
2
3 , 0).
iii. El punto anterior ilustra que, para cada vector ~b, el sistema A~x = ~b tiene infinitas soluciones
(que corresponden a una ĺınea recta), luego la matriz A no puede ser invertible.
II.
i. Puesto que: (M +MT )T = MT +(MT )T = MT +M = M +MT , entonces M +MT es simétrica.
ii. Puesto que: (M − MT )T = MT − (MT )T = MT − M = −(M − MT ), entonces M − MT es
antisimétrica.

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