Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Vista previa del material en texto
Quiz I – Álgebra Lineal 1 Febrero 4 de 2009 (4 Puntos) I. Considere el sistema no homogeneo de ecuaciones lineales 4x1 + 6x2 = 7 4x1 + 2x3 = 3 3x2 − x3 = 2. i. Escriba el sistema en la forma A~x = ~b, con A ∈ M3x3(R) y ~x,~b ∈ R3 y también escŕıbalo como combinación lineal de vectores en R3. ii. Resuelva el sistema y diga si tiene solución única, infinitas soluciones o ninguna solución. Si tiene solución única encuentre tal solución, si tiene infinitas soluciones encuentre todas las soluciones al sistema, identificandolas geométricamente (haga un dibujo). iii. (Bono 1 Punto) Es la matriz A invertible? —justifique su respuesta. (1 Punto) II. Una matriz A es llamada simétrica si A = AT , y es llamada antisimétrica si AT = −A. Escoja y demuestre una de las siguientes afirmaciones: Si M es cualquier matriz, i. M + MT es simétrica. ii. M −MT es antisimétrica. Solución I. i. La matriz de coeficientes del sistema es A = 4 6 04 0 2 0 3 −1 ∈ M3×3(R), por lo tanto el sistema se escribe en forma matricial como: 4 6 04 0 2 0 3 −1 x1x2 x3 = 73 2 . En forma equivalente, podemos escribir el sistema como una combinación lineal de los vectores columna de A como: x1 44 0 + x2 60 3 + x3 02 −1 = 73 2 . ii. Para resolver el sistema, partimos de la matriz aumentada (A |~b) = 4 6 0 74 0 2 3 0 3 −1 2 y aplicamos el método de Gauss-Jordan: 4 6 0 74 0 2 3 0 3 −1 2 F2→F2−F1 −−−−−−−→ 4 6 0 70 −6 2 −4 0 3 −1 2 F2→F2+2F3 −−−−−−−→ 4 6 0 70 0 0 0 0 3 −1 2 F2↔F3 −−−−→ 4 6 0 70 3 −1 2 0 0 0 0 F1→F1−2F2 −−−−−−−−→ 4 0 2 30 3 −1 2 0 0 0 0 F2→ 13 F2F1→ 14 F1−−−−−→ 1 0 1/2 3/40 1 −1/3 2/3 0 0 0 0 , de modo que el sistema tiene infinitas soluciones que se obtienen al tomar la variable x3 como parámetro, x3 := t ∈ R y despejar x2 y x1 aśı: x2 = 13 t y x1 = − 1 2 t + 1 4 . En forma vectorial, x1x2 x3 = −1/21/3 1 t + 3/42/3 0 . Como hay un solo parámetro (un grado de libertad) esto muestra que la solución corresponde a una recta (una dimensión) que se obtiene geométricamente trazando la ĺınea que contiene al vector (− 12 , 1 3 , 1) ∈ R 3 y trasladándola de forma que el origen (0, 0, 0) vaya a la posición del vector ( 34 , 2 3 , 0). iii. El punto anterior ilustra que, para cada vector ~b, el sistema A~x = ~b tiene infinitas soluciones (que corresponden a una ĺınea recta), luego la matriz A no puede ser invertible. II. i. Puesto que: (M +MT )T = MT +(MT )T = MT +M = M +MT , entonces M +MT es simétrica. ii. Puesto que: (M − MT )T = MT − (MT )T = MT − M = −(M − MT ), entonces M − MT es antisimétrica.
Compartir