un problema

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seminarios, coloquios, dirigió tesis doctorales, contribuyó desde el CO.:\TICET 
a la creación de institutos de investigación en matemática, organizó y dictó 
cursos para profesores de escuelas medias escribió notas fue un · u1 d 1 ' , 1mp sor e a 
Reunión de Educación Matemática en la 'C1fA, etc. 
Al Ing. Villamayor le sobreviven su esposa y dos hijos, a quienes a través de 
esta nota acompañamos en la tristeza causada por su partida física. Sus ideas 
Y espíritu de lucha permanecerán en nosotros. 
Elida Ferreyro - Jorge Vargas 
Un problema-experiencia para integrar 
conocimientos. 
Alía de Sarovia, Dolores 
Resumen 
Se presenta un problema clásico del área de las curiosidades ma-
temáticas, la "transformación de un cuadrado en un rectángulo de 
área diferente", como motivador del estudio y jo de la aplicación y jo 
de la experimentación de varios aspectos de matemática básica. 
El problema se describe como formando parte de una situación 
áulica, ficticia, en la que los alumnos son aspirantes a ser profesores 
de matemática. De cada alumno se espera que, además de interpre-
tar, resolver y experimentar sea protagonista en producir enunciados 
precisos de ejercicios, en los temas que más le interesen, a partir de 
propuestas no tan precisas por parte del profesor o profesores y de 
los otros alumnos; y que sea también espectador y crítico de las 
actividades de los demás. 
1 Introducción 
La realización de experiencias en la enseñanza de la matemática, y en especial 
de la geometría tiene tanto defensores como detractores. Si alguien comenta 
que es interesante que un alumno verifique, "cortando los tres ángulos de un 
triángulo de papel y acomodándolos" que la suma de los esos ángulos es de 
180°, otro podrá aducir que, de un modo similar el alumno puede convencerse 
de que un cuadrado de 8 x se transforma en un rectángulo de 13 x 5. 
Si se espera que una teoría tenga aplicaciones prácticas, creemos que una 
posición, en algún sentido intermedia, es más adecuada: es más sencillo fijar 
3 
los conceptos teóricos si se tiene la memoria de una experiencia realizada al 
respecto; las experiencias "engañosas" son también útiles, siendo conveniente, 
por un lado desarrollar la habilidad de evaluar a las mismas en cuanto a la 
credibilidad que merecen y por otro ampliar el conocimiento de la teoría para 
poder cubrirlas; es muy gratificante comprobar que lo observado experimen-
talmente está avalado por la teoría y también el detectar y explicar, gracias 
a la teoría, "resultados" experimentales imposibles; y en definitiva, si una ex-
periencia engañosa no puede ser explicada razonablemente en base a la teoría 
disponible habrá llegado el momento de ampliar o modificar la teoría. 
Hoy en día además de la experimentación directa con los objetos que la 
matemática pretende simular, es posible también simular experiencias con com-
putadora ampliando, en algún sentido, la cantidad y calidad de los fenómenos 
"observables". 
2 Técnica didáctica 
Nos proponemos utilizar una ligera variante de la "técnica de resolución de 
problemas". Dicha técnica se define en [1] del modo siguiente: "Consiste en un 
grupo de actividades seleccionadas y organizadas por el docente alrededor de 
una situación problemática, desconocida para el alumno y que estimula en los 
educandos un proceso activo creativo de estudio semejante al que desarrollan los 
investigadores matemáticos". Hablamos de variante de esa técnica en el sentido 
de que el docente tendrá seleccionadas varias actividades, pero no organizadas 
para que todos los alumnos las realicen a todas, sino, a lo sumo, organizadas en 
varios subconjuntos intentando adaptarse mejor a las diferentes características 
e inclinaciones que muestren sus distintos alumnos. 
Es por ello que no se preparará una guía de trabajo para todos los alum-
nos sino que se irán proponiendo diferentes versiones de un problema, algunas 
dirigidas a todos los alumnos y otras sólo a algunos de ellos. 
4 
Los alumnos no conocerán de entrada todo lo que se espera de ellos ya que se 
pretende acercarlos más a la actividad de investigación matemática haciéndoles 
sentir que los resultados que vayan encontrando sugerirán cuáles otros resulta-
dos buscar. 
Los enunciados de problemas del docente, sobre todo los primeros tendrán 
cierto grado de imprecisión a fin de dejar, también para los alumnos, la tarea 
de extraer ejercicios, de enunciado preciso, relacionados con el problema. 
En lo que sigue se señalarán como "propuestas" los enunciados supuesta-
mente presentados por el docente del curso; y se señalarán como "ejercicios" 
los enunciados supuestamente producidos por los alumnos. 
Luego de cada propuesta los alumnos serán invitados a preparar ejercicios 
relacionados con las propuestas ya vistas, generalizándolas, concretándolas, con 
aclaraciones agregadas para evitar confusiones de interpretación, etc. 
En lo que sigue se han agrupado todas las propuestas de parte del docente 
por un lado y todos los ejercicios supuestamente producidos por los alumnos 
por el otro. 
Puede llegar a ocurrir que algún alumno empiece a avanzar por caminos 
cuyo "final" no es conocido por el docente. En ese caso, el profesor advertirá 
de ese hecho al alumno y le sugerirá que deje planteada la actividad para otra 
ocasión. 
La primera y segunda propuesta se pretende que sean trabajadas por todos 
los alumnos en forma individual. El objetivo de esto, es conseguir una buena 
cantidad de respuestas ingenuas antes de que un mejor conocimiento del pro-
blema haga eso imposible; y quizás evitar que los alumnos que sepan "todo" 
acerca del problema que nos interesa por habérselo encontrado por ejemplo a 
través de [2], [3) o [4) impidan que los alumnos restantes lo descubran por sí 
mismos. 
Para las propuestas restantes se fomentará el trabajo en grupo. 
5 
los conceptos teóricos si se tiene la memoria de una experiencia realizada al 
respecto; las experiencias "engañosas" son también útiles, siendo conveniente, 
por un lado desarrollar la habilidad de evaluar a las mismas en cuanto a la 
credibilidad que merecen y por otro ampliar el conocimiento de la teoría para 
poder cubrirlas; es muy gratificante comprobar que lo observado experimen-
talmente está avalado por la teoría y también el detectar y explicar, gracias 
a la teoría, "resultados" experimentales imposibles; y en definitiva, si una ex-
periencia engañosa no puede ser explicada razonablemente en base a la teoría 
disponible habrá llegado el momento de ampliar o modificar la teoría. 
Hoy en día además de la experimentación directa con los objetos que la 
matemática pretende simular, es posible también simular experiencias con com-
putadora ampliando, en algún sentido, la cantidad y calidad de los fenómenos 
"observables". 
2 Técnica didáctica 
Nos proponemos utilizar una ligera variante de la "técnica de resolución de 
problemas". Dicha técnica se define en [1] del modo siguiente: "Consiste en un 
grupo de actividades seleccionadas y organizadas por el docente alrededor de 
una situación problemática, desconocida para el alumno y que estimula en los 
educandos un proceso activo creativo de estudio semejante al que desarrollan los 
investigadores matemáticos". Hablamos de variante de esa técnica en el sentido 
de que el docente tendrá seleccionadas varias actividades, pero no organizadas 
para que todos los alumnos las realicen a todas, sino, a lo sumo, organizadas en 
varios subconjuntos intentando adaptarse mejor a las diferentes características 
e inclinaciones que muestren sus distintos alumnos. 
Es por ello que no se preparará una guía de trabajo para todos los alum-
nos sino que se irán proponiendo diferentes versiones de un problema, algunas 
dirigidas a todos los alumnos y otras sólo a algunos de ellos. 
4 
Los alumnos no conocerán de entrada todo lo que se espera de ellos ya que se 
pretende acercarlos más a la actividad de investigación matemática haciéndoles 
sentir que los resultadosque vayan encontrando sugerirán cuáles otros resulta-
dos buscar. 
Los enunciados de problemas del docente, sobre todo los primeros tendrán 
cierto grado de imprecisión a fin de dejar, también para los alumnos, la tarea 
de extraer ejercicios, de enunciado preciso, relacionados con el problema. 
En lo que sigue se señalarán como "propuestas" los enunciados supuesta-
mente presentados por el docente del curso; y se señalarán como "ejercicios" 
los enunciados supuestamente producidos por los alumnos. 
Luego de cada propuesta los alumnos serán invitados a preparar ejercicios 
relacionados con las propuestas ya vistas, generalizándolas, concretándolas, con 
aclaraciones agregadas para evitar confusiones de interpretación, etc. 
En lo que sigue se han agrupado todas las propuestas de parte del docente 
por un lado y todos los ejercicios supuestamente producidos por los alumnos 
por el otro. 
Puede llegar a ocurrir que algún alumno empiece a avanzar por caminos 
cuyo "final" no es conocido por el docente. En ese caso, el profesor advertirá 
de ese hecho al alumno y le sugerirá que deje planteada la actividad para otra 
ocasión. 
La primera y segunda propuesta se pretende que sean trabajadas por todos 
los alumnos en forma individual. El objetivo de esto, es conseguir una buena 
cantidad de respuestas ingenuas antes de que un mejor conocimiento del pro-
blema haga eso imposible; y quizás evitar que los alumnos que sepan "todo" 
acerca del problema que nos interesa por habérselo encontrado por ejemplo a 
través de [2], [3) o [4) impidan que los alumnos restantes lo descubran por sí 
mismos. 
Para las propuestas restantes se fomentará el trabajo en grupo. 
5 
3 Planteo del problema-experiencia. 
del docente 
Propuestas 
Se intenta que los alumnos tengan acceso no sólo a los materiales habituales de 
estudio, lápiz y papel y si es posible computadoras con software adecuado, sino 
también a papel cuadriculado, tijeras y goma de pegar. Se plantea a la clase 
la primera y la segunda versión del problema pidiéndoles que en estas etapas 
trabajen en forma individual, y entreguen una respuesta, por escrito, y en unos 
pocos minutos (Se aceptarán respuesta "no se me ocurrió nada" o "yo conocía 
un método pero ahora no lo recuerdo", etc.). 
Propuesta 1: Dado un cuadrado de papel cuadriculado de x cuadraditos, 
cortarlo en pedazos para reubicarlos formando un rectángulo que no sea un 
cuadrado. 
Probablemente haya muchas respuestas que indiquen, con palabras, con 
dibujos o con los pedazos del cuadrado reubicados, que cortando al cuadrado 
por una paralela al lado por su centro se obtienen dos rectángulos de 4 x que 
pueden acomodarse para obtener un rectángulo de 4 x 16 cuadraditos. Quizás 
haya alguna solución con tres cortes, paralelos a uno de los lados, para llegar a 
un rectángulo de 32 x 2 cuadraditos. 
Con la confianza ganada por los alumnos en la resolución de la primera 
versión del problema, se plantea: 
Propuesta 2: Dado un cuadrado de papel cuadriculado de 8 x 8 cuadraditos, 
cortarlo en pedazos para reubicarlos formando un rectángulo que no sea un 
cuadrado ni tampoco un rectángulo "muy alargado"; es decir queremos que el 
lado mayor del rectángulo sea menor que el triple del lado menor. 
Es posible que algunos alumnos interpreten que los lados del rectángulo 
deban ser naturales. No se ha pedido eso, pero el hablar de papel cuadriculado 
puede sugerirlo. 
Luego de algunos minutos, si nadie llegó a una de las soluciones "esperadas" 
6 
por el profesor, se agrega la sugerencia: 
Propuesta 3: Utilizar tres cortes como sugiere la Figura 1, y decidir cuánto 
deben valer x e y, con x < y y sabiendo que x + y = . 
En esa figura no se muestra, a propósito, ningún cuadriculado. 
Posiblemente ahora se consigan algunas respuestas correctas y otras más 
"simples" pero incorrectas: 
correctas: 
{ 
X = 4(3 - yÍS) = 3.06 
y= 4(vÍS- 1) = 4.94 
x+y = ú 
,, 
, ' 
' V 
incorrectas: 
....... ...,,,' h ' 1 ,";''', 
tol '' 1,,' .... 
{ 
X= 3 
y=5 
1 1 ,.... ... ... 1 ' ' 1 f , 1 \ ' ' 
: ,' ', ... l. ', ', 1 \ ,' ', .... ' ' • 
, .... ' , '1 '\ ' ,, 
1 ', ' , J / ' ' 1... ' 1 1 
' ' ' .... ', 1 , , 1 ' ' ' f ....... ,, 1, 1 
1 ' ' \ , , 1 ' ,. ,t ... /"' ... 1 
, ' '," L ' ,.. , ... • ---------,:, ----- - -- ---.---- ' , "' , ... ...... , 
\ , "' ' 1 ' , ' , .... , ,, 
Figura 1: Sugerencia para transformar, por cortes, un cuadrado en un rectángulo. 
7 
3 Planteo del problema-experiencia. 
del docente 
Propuestas 
Se intenta que los alumnos tengan acceso no sólo a los materiales habituales de 
estudio, lápiz y papel y si es posible computadoras con software adecuado, sino 
también a papel cuadriculado, tijeras y goma de pegar. Se plantea a la clase 
la primera y la segunda versión del problema pidiéndoles que en estas etapas 
trabajen en forma individual, y entreguen una respuesta, por escrito, y en unos 
pocos minutos (Se aceptarán respuesta "no se me ocurrió nada" o "yo conocía 
un método pero ahora no lo recuerdo", etc.). 
Propuesta 1: Dado un cuadrado de papel cuadriculado de x cuadraditos, 
cortarlo en pedazos para reubicarlos formando un rectángulo que no sea un 
cuadrado. 
Probablemente haya muchas respuestas que indiquen, con palabras, con 
dibujos o con los pedazos del cuadrado reubicados, que cortando al cuadrado 
por una paralela al lado por su centro se obtienen dos rectángulos de 4 x que 
pueden acomodarse para obtener un rectángulo de 4 x 16 cuadraditos. Quizás 
haya alguna solución con tres cortes, paralelos a uno de los lados, para llegar a 
un rectángulo de 32 x 2 cuadraditos. 
Con la confianza ganada por los alumnos en la resolución de la primera 
versión del problema, se plantea: 
Propuesta 2: Dado un cuadrado de papel cuadriculado de 8 x 8 cuadraditos, 
cortarlo en pedazos para reubicarlos formando un rectángulo que no sea un 
cuadrado ni tampoco un rectángulo "muy alargado"; es decir queremos que el 
lado mayor del rectángulo sea menor que el triple del lado menor. 
Es posible que algunos alumnos interpreten que los lados del rectángulo 
deban ser naturales. No se ha pedido eso, pero el hablar de papel cuadriculado 
puede sugerirlo. 
Luego de algunos minutos, si nadie llegó a una de las soluciones "esperadas" 
6 
por el profesor, se agrega la sugerencia: 
Propuesta 3: Utilizar tres cortes como sugiere la Figura 1, y decidir cuánto 
deben valer x e y, con x < y y sabiendo que x + y = . 
En esa figura no se muestra, a propósito, ningún cuadriculado. 
Posiblemente ahora se consigan algunas respuestas correctas y otras más 
"simples" pero incorrectas: 
correctas: 
{ 
X = 4(3 - yÍS) = 3.06 
y= 4(vÍS- 1) = 4.94 
x+y = ú 
,, 
, ' 
' V 
incorrectas: 
....... ...,,,' h ' 1 ,";''', 
tol '' 1,,' .... 
{ 
X= 3 
y=5 
1 1 ,.... ... ... 1 ' ' 1 f , 1 \ ' ' 
: ,' ', ... l. ', ', 1 \ ,' ', .... ' ' • 
, .... ' , '1 '\ ' ,, 
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, ' '," L ' ,.. , ... • ---------,:, ----- - -- ---.---- ' , "' , ... ...... , 
\ , "' ' 1 ' , ' , .... , ,, 
Figura 1: Sugerencia para transformar, por cortes, un cuadrado en un rectángulo. 
7 
Respuestas correctas: Las respuestas correctas, posiblemente hayan sido 
conseguidas resolviendo, en definitiva, una ecuación de segundo grado, y 
no se habrá hecho todavía la experiencia de cortar el cuadrado en pedazos 
y reacomodarlos. Se invitará a los alumnos a hacer la experiencia si ya 
no la hicieron, con lo que se obtendrá un rectángulo con los cuadriculados 
de las distintas partes que no "'pegan" del todo bien (aunque no es muy 
apreciable a simple vista). Será el momento de preguntarles si no habrá 
alguna solución más "linda" con x e y naturales. Cuando estén conven-
cidos de que no, se les puede pedir que enuncien, en forma de "ejercicio'' 
lo que han encontrado. Ejemplos de respuestas posibles son los ejercicios 
1, 2 y 3 (pág. 12 y 13). 
Como consecuencia delo probado en esos ejercicios, se concluye que la 
sugerencia dada para resolver el problema conduce a una única solución 
que no es respetuosa del diseño cuadriculado, Figura 2. 
r""'i' ~ ..... -~ ...... 
~ r--- ....... .. 
~ lillo.. ~ ¡....,_ 
j ...... ~ 
1/ r--.. 
"""" 
1 
r¡ 
Figura 2: Resultado para x = n/2(3- V5¡ e y= n/ 2( v"S=l¡ 
Resp uestas incorrectas: Las respuestas incorrectas probablemente hayan 
recibido, antes de ser presentadas, la ··comprobación experimental" y se-
guramente los cuadriculados empalman, en algún sentido bien. Será el 
momento de advertirles que quizás hayan quedado huecos o superposi-
ciones que no se distinguen a simple vista o que los bordes de los pedaci-
,. 
tos que parecen formar la diagonal, no están todos alineados (Ver Figura 
3). y que es necesario realizar la verificación teórica. Es probable que 
verifiquen que el área del rectángulo resultante es menor , en 1 cuadradito 
que la del cuadrado original. 
Aquí es importante convencer a los alumnos de que una equivocación, 
si bien no es un motivo de orgullo, tampoco es algo vergonzoso que hay 
que olvidar lo más pronto posible; puede dar lugar al ser enfrentada 
adecuadamente, a modificaciones interesantes del problema original· en 
definitiva ayudan a aprender. 
x+y = t"J 
"""'''iíii 
~ 
["""'iiiii 
~ .... 
X 
....... 
' 
~ ~ 
r---.. 
~ 
J 
-~ ~ 
['1111111 ~ 
1 
y 
1 
V 
Figura 3: Resultado para x = 3 e Y = 5 
""""' 
Se les puede sugerir que continúen experimentando para descubrir si hay 
otros cuadrados de n x n que sirvan como ejemplos engañosos de modi 
ficación del área por corte. Los alumnos podrían proponer un ejercicio 
como el 5 (pág. 13). 
Propuesta 4: Volviendo al caso de los rectángulos "muy alargados'", analizar 
para qué valores de n hay soluciones con rectángulos de lados naturales (en -
teros positivos) obtenibles por corte todos paralelos a uno de los lados (uno o 
más cortes) . y cuántas soluciones hay contando como una sola a todos los 
9 
,...,_ 
Respuestas correctas: Las respuestas correctas, posiblemente hayan sido 
conseguidas resolviendo, en definitiva, una ecuación de segundo grado, y 
no se habrá hecho todavía la experiencia de cortar el cuadrado en pedazos 
y reacomodarlos. Se invitará a los alumnos a hacer la experiencia si ya 
no la hicieron, con lo que se obtendrá un rectángulo con los cuadriculados 
de las distintas partes que no "'pegan" del todo bien (aunque no es muy 
apreciable a simple vista). Será el momento de preguntarles si no habrá 
alguna solución más "linda" con x e y naturales. Cuando estén conven-
cidos de que no, se les puede pedir que enuncien, en forma de "ejercicio'' 
lo que han encontrado. Ejemplos de respuestas posibles son los ejercicios 
1, 2 y 3 (pág. 12 y 13). 
Como consecuencia de lo probado en esos ejercicios, se concluye que la 
sugerencia dada para resolver el problema conduce a una única solución 
que no es respetuosa del diseño cuadriculado, Figura 2. 
r""'i' ~ ..... -~ ...... 
~ r--- ....... .. 
~ lillo.. ~ ¡....,_ 
j ...... ~ 
1/ r--.. 
"""" 
1 
r¡ 
Figura 2: Resultado para x = n/2(3- V5¡ e y= n/ 2( v"S=l¡ 
Res p uestas incorrectas: Las respuestas incorrectas probablemente hayan 
recibido, antes de ser presentadas, la ··comprobación experimental" y se-
guramente los cuadriculados empalman, en algún sentido bien. Será el 
momento de advertirles que quizás hayan quedado huecos o superposi-
ciones que no se distinguen a simple vista o que los bordes de los pedaci-
,. 
tos que parecen formar la diagonal, no están todos alineados (Ver Figura 
3). y que es necesario realizar la verificación teórica. Es probable que 
verifiquen que el área del rectángulo resultante es menor , en 1 cuadradito 
que la del cuadrado original. 
Aquí es importante convencer a los alumnos de que una equivocación, 
si bien no es un motivo de orgullo, tampoco es algo vergonzoso que hay 
que olvidar lo más pronto posible; puede dar lugar al ser enfrentada 
adecuadamente, a modificaciones interesantes del problema original· en 
definitiva ayudan a aprender. 
x+y = t"J 
"""'''iíii 
~ 
["""'iiiii 
~ .... 
X 
....... 
' 
~ ~ 
r---.. 
~ 
J 
-~ ~ 
['1111111 ~ 
1 
y 
1 
V 
Figura 3: Resultado para x = 3 e Y = 5 
""""' 
Se les puede sugerir que continúen experimentando para descubrir si hay 
otros cuadrados de n x n que sirvan como ejemplos engañosos de modi 
ficación del área por corte. Los alumnos podrían proponer un ejercicio 
como el 5 (pág. 13). 
Propuesta 4: Volviendo al caso de los rectángulos "muy alargados'", analizar 
para qué valores de n hay soluciones con rectángulos de lados naturales (en -
teros positivos) obtenibles por corte todos paralelos a uno de los lados (uno o 
más cortes) . y cuántas soluciones hay contando como una sola a todos los 
9 
,...,_ 
rectángulos congruentes. 
n: 3 5 13 21 34 55 9 144 233 377 610 9 7 
x: 1 2 3 5 8 13 21 34 55 9 144 233 377 
y: 2 3 5 13 21 34 55 9 144 233 377 610 
diferencia: -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 
Tabla 1: Lado menor y diferencia de áreas, de valor absoluto 1, entre el 
rectángulo ( n + y) x y y el cuadrado n x n 
Como respuesta al ejercicio 5 (pág. 13) algunos alumnos, quizás con ayuda 
computacional, pueden llegar a preparar una tabla como la 1 y conjeturar que 
los cuadrados y rectángulos que sirven para preparar estas falsas transforma-
ciones de cuadrados en rectángulos tienen mucho que ver con la sucesión de 
Fibonacci. El docente puede colaborar proponiendo: 
Propuesta 5: Demostrar que cualquier tema de términos sucesivos de la 
sucesión de Fibonacci, a partir de la tema 1, 2, 3 nos da una solución para 
preparar un problema de un cuadrado que se transforma en un rectángulo de 
área una unidad de más o una unidad de menos respecto de la del cuadrado. 
Los alumnos podrían enunciar los ejercicios 6 y 7 (pág. 13) al respecto. 
Comunicadas a todos los alumnos las respuestas obtenidas a la segunda 
propuesta se puede comentar que la respuesta mala es un ejemplo de los peligros 
de interpretación a los que puede llevar una experimentación totalmente aislada 
de la teoría. Pero también se puede considerar que es una aproximación a la 
solución buena; (resultará ser la mejor aproximación posible si medimos esa 
aproximación a través de áreas) en números naturales, a la solución buena; y 
que esa solución aproximada es más fácil de transmitir y llevar a la práctica 
(por ser de valores enteros); y que, en definitiva, los resultados prácticos de 
ambas no son muy diferentes. 
Propuesta 6: Dado un cuadrado de lado n, con n natural e consideran to-
dos los modos posibles de cortarlo en cuatro regione poligonales y r acomodar 
10 
dichas regiones como sugiere la figura 1. El borde exterior de la figura que e 
obtiene es un rectángulo. Se pide: 
• Calcular el área del cuadrado dado y del rectángulo formado en términos 
den e y. 
• Encontrar, si existe, (o justificar que no existen), el y tal que el valor 
absoluto de la diferencia de las áreas del rectángulo y del cuadrado sea la 
menor posible, para los casos siguientes: 
Tanto y como x pueden ser reales positivos cualesquiera. Si existe 
solución llamémoslo, 1Jn. 
Tanto y como x deben ser naturales. Llamémoslo, si existe, Yn. 
y deben ser racional. Llamémoslo, si existe Tn. 
• Encontrar valores de n entero positivo y el Yn correspondiente de 
modo que el valor absoluto de la diferencia de áreas sea exactamente l. 
Formalizar los resultados encontrados. 
• Si n es entero positivo y además 1Jn está definida para todo los valores 
de n (o para todos los valores de n desde uno en adelante}, justificar que 
la sucesión 1Jn es divergente pero que ~ es convergente. Calcular n~~ ~ · 
• Lo mismo, pero cambiando 1Jn por Yn · 
• ¿ Se puede hacer lo mismo con r n? 
• ¿Es monótona la sucesión hn = ~? 
• Construir un ejemplo de subsucesión de hn que sea creciente y otro que 
sea decreciente. 
(Se aceptarán respuestas del tipo algorítmicas: 'entrelos números del conjunto 
finito . . . la solución buscada es el que cumpla ... " y naturalmente cuantos 
menos elementos tenga ese conjunto finito mejor será). 
11 
rectángulos congruentes. 
n: 3 5 13 21 34 55 9 144 233 377 610 9 7 
x: 1 2 3 5 8 13 21 34 55 9 144 233 377 
y: 2 3 5 13 21 34 55 9 144 233 377 610 
diferencia: -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 
Tabla 1: Lado menor y diferencia de áreas, de valor absoluto 1, entre el 
rectángulo ( n + y) x y y el cuadrado n x n 
Como respuesta al ejercicio 5 (pág. 13) algunos alumnos, quizás con ayuda 
computacional, pueden llegar a preparar una tabla como la 1 y conjeturar que 
los cuadrados y rectángulos que sirven para preparar estas falsas transforma-
ciones de cuadrados en rectángulos tienen mucho que ver con la sucesión de 
Fibonacci. El docente puede colaborar proponiendo: 
Propuesta 5: Demostrar que cualquier tema de términos sucesivos de la 
sucesión de Fibonacci, a partir de la tema 1, 2, 3 nos da una solución para 
preparar un problema de un cuadrado que se transforma en un rectángulo de 
área una unidad de más o una unidad de menos respecto de la del cuadrado. 
Los alumnos podrían enunciar los ejercicios 6 y 7 (pág. 13) al respecto. 
Comunicadas a todos los alumnos las respuestas obtenidas a la segunda 
propuesta se puede comentar que la respuesta mala es un ejemplo de los peligros 
de interpretación a los que puede llevar una experimentación totalmente aislada 
de la teoría. Pero también se puede considerar que es una aproximación a la 
solución buena; (resultará ser la mejor aproximación posible si medimos esa 
aproximación a través de áreas) en números naturales, a la solución buena; y 
que esa solución aproximada es más fácil de transmitir y llevar a la práctica 
(por ser de valores enteros); y que, en definitiva, los resultados prácticos de 
ambas no son muy diferentes. 
Propuesta 6: Dado un cuadrado de lado n, con n natural e consideran to-
dos los modos posibles de cortarlo en cuatro regione poligonales y r acomodar 
10 
dichas regiones como sugiere la figura 1. El borde exterior de la figura que e 
obtiene es un rectángulo. Se pide: 
• Calcular el área del cuadrado dado y del rectángulo formado en términos 
den e y. 
• Encontrar, si existe, (o justificar que no existen), el y tal que el valor 
absoluto de la diferencia de las áreas del rectángulo y del cuadrado sea la 
menor posible, para los casos siguientes: 
Tanto y como x pueden ser reales positivos cualesquiera. Si existe 
solución llamémoslo, 1Jn. 
Tanto y como x deben ser naturales. Llamémoslo, si existe, Yn. 
y deben ser racional. Llamémoslo, si existe Tn. 
• Encontrar valores de n entero positivo y el Yn correspondiente de 
modo que el valor absoluto de la diferencia de áreas sea exactamente l. 
Formalizar los resultados encontrados. 
• Si n es entero positivo y además 1Jn está definida para todo los valores 
de n (o para todos los valores de n desde uno en adelante}, justificar que 
la sucesión 1Jn es divergente pero que ~ es convergente. Calcular n~~ ~ · 
• Lo mismo, pero cambiando 1Jn por Yn · 
• ¿ Se puede hacer lo mismo con r n? 
• ¿Es monótona la sucesión hn = ~? 
• Construir un ejemplo de subsucesión de hn que sea creciente y otro que 
sea decreciente. 
(Se aceptarán respuestas del tipo algorítmicas: 'entre los números del conjunto 
finito . . . la solución buscada es el que cumpla ... " y naturalmente cuantos 
menos elementos tenga ese conjunto finito mejor será). 
11 
Algunos alumnos, con ayuda computacional podrían producir gráficos como 
los de la figura 4 y 5 (pág. 12) que permitirán conjeturar respuestas a algunas 
de las preguntas de la última propuesta. 
Además, los ejercicios supuestamente producidos por los alumnos (pág. 12 
y 13) también sirven como ayuda para esta última propuesta. 
Figura 4: Diferencia de área entre el 
"mejor" rectángulo de lados natura-
les para el cuadrado de lado n. 
n 
y 
35 
------n 10 20 JO 40 SO 60 
Figura 5: Lado menor del •·mejor" 
rectángulo de lados naturales para el 
cuadrado de lado n. 
4 Ejemplos de posibles enunciados producidos por 
los alumnos 
Cualquiera de los ejercicios 1, 2 y 3 siguientes podría formar parte de la jus-
tificación de que el problema de la propuesta 2 (pág. 6). no tiene soluciones 
naturales, los ejercicios 2 y 3 servirían para lo mismo en relación a cualquier 
cuadrado de lado n natural (no importa si n es o no es ). 
Ejercicio 1: Dado el sistema de ecuaciones con incógnitas x, y E R 
x+y= (x + 2y)y = 64 
• Resolverlo 
12 
• Demostrar que ninguna de las soluciones para x o para y es un natural 
Ejercicio 2: Justificar que las soluciones para y de la ecuactón ( n + Y )y = n 2 ' 
con n natural, no son naturales. 
Ejercicio 3: Justificar que la ecuación siguiente no tiene soluciones naturales 
para x e y: (x + 2y)y = (x + y) 2 
Sobre cortes que no son necesariamente solución del problema: 
Ejercicio 4: Se corta un cuadrado de n x n en cuatro regiones y se reacomodan 
como sugiere la figura 1 cubriendo casi exactamente un rectángulo de ( 2n- x) X 
( n-x) Determinar forma y tamaño de la región poligonal faltante o uperpuesta. 
Sobre soluciones •·engañosas": 
Ejercicio 5: ¿Hay soluciones enteras positivas para n y x, con x < n, de la 
ecuación 
l(2n- x)(n- x)- n2 1 = 1? 
o para n e y de la ecuación 
Ejercicio 6: Justificar que si 
entonces 
{ 
fk+2 = fk+l + !k 
fk+3 = fk+2 + fk+l. 
ff+2 - fk+dk+3 = -(ff+l - !kfk+2) 
Ejercicio 7: Demostrar por inducción, que si !k es el término general de la 
sucesión de Fibonacci entonces 1Jf+1 - !kfk+2i = l. Jfás concretamente, si 
Jo = O y f¡ = 1 entonces 
13 
Algunos alumnos, con ayuda computacional podrían producir gráficos como 
los de la figura 4 y 5 (pág. 12) que permitirán conjeturar respuestas a algunas 
de las preguntas de la última propuesta. 
Además, los ejercicios supuestamente producidos por los alumnos (pág. 12 
y 13) también sirven como ayuda para esta última propuesta. 
Figura 4: Diferencia de área entre el 
"mejor" rectángulo de lados natura-
les para el cuadrado de lado n. 
n 
y 
35 
------n 10 20 JO 40 SO 60 
Figura 5: Lado menor del •·mejor" 
rectángulo de lados naturales para el 
cuadrado de lado n. 
4 Ejemplos de posibles enunciados producidos por 
los alumnos 
Cualquiera de los ejercicios 1, 2 y 3 siguientes podría formar parte de la jus-
tificación de que el problema de la propuesta 2 (pág. 6). no tiene soluciones 
naturales, los ejercicios 2 y 3 servirían para lo mismo en relación a cualquier 
cuadrado de lado n natural (no importa si n es o no es ). 
Ejercicio 1: Dado el sistema de ecuaciones con incógnitas x, y E R 
x+y= (x + 2y)y = 64 
• Resolverlo 
12 
• Demostrar que ninguna de las soluciones para x o para y es un natural 
Ejercicio 2: Justificar que las soluciones para y de la ecuactón ( n + Y )y = n 2 ' 
con n natural, no son naturales. 
Ejercicio 3: Justificar que la ecuación siguiente no tiene soluciones naturales 
para x e y: (x + 2y)y = (x + y) 2 
Sobre cortes que no son necesariamente solución del problema: 
Ejercicio 4: Se corta un cuadrado de n x n en cuatro regiones y se reacomodan 
como sugiere la figura 1 cubriendo casi exactamente un rectángulo de ( 2n- x) X 
( n-x) Determinar forma y tamaño de la región poligonal faltante o uperpuesta. 
Sobre soluciones •·engañosas": 
Ejercicio 5: ¿Hay soluciones enteras positivas para n y x, con x < n, de la 
ecuación 
l(2n- x)(n- x)- n2 1 = 1? 
o para n e y de la ecuación 
Ejercicio 6: Justificar que si 
entonces 
{ 
fk+2 = fk+l + !k 
fk+3 = fk+2 + fk+l. 
ff+2 - fk+dk+3 = -(ff+l - !kfk+2) 
Ejercicio 7: Demostrar por inducción, que si !k es el término general de la 
sucesión de Fibonacci entonces 1Jf+1 - !kfk+2i = l. Jfás concretamente, si 
Jo = O y f¡ = 1 entonces 
13 
Bibliografia 
1 C.P. de Aranega y otros. "La técnica de resolución de problemas en la 
Enseñanza-Aprendizaje de la matemática.", Vol3, No 3, 1988 pág. 41-61. 
2 R.E.M. Vol1, No. 2, 1982, pág. 73. Problema 13 propuestopor J. Vargas 
3 R.E.M. Vol. 6 No. 2, 1991, pág. 26. Problema propuesto por E. Gentile. 
4 E.P. Northrop Riddles in Mathematics,Penguin Books, 1967, pág. 54. 
Universidad Nacional de Salta 
Buenos Aires 177 - 4400, Salta 
14 
Regla de 1 'Hópital para sucesiones 
Antonio J. Di Scala 
El propósito de este artículo es mostrar una versión para sucesiones, de la 
Regla de l'Hopital, en la cual el papel de las derivadas lo juegan las diferencias. 
La versión de la regla de l'Hopital, en el caso de funciones es: 
Si dos funciones f y g de R en R ,tienen las siguientes propiedades: 
lim f(x)= lim g(x)=oo 
x-+oo x_,.oo 
Entonces 
lim f'(x) =a 
x-+oo g'(x) 
limf(x)=a 
x-oo g(x) 
El primer enunciado se adjudica a Otto Stolz, alumno de Karl Weierstrass. 
"Criterio de Stolz". 
Sea { an} una sucesión arbitraria y { bn} una sucesión creciente y divergente. 
Si existe 
Entonces también existe 
lim an+l- an 
n-+oo bn+ 1 - bn 
15