ALH-2014-II-T3

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Álgebra Lineal (Honores) – Tarea 3
Octubre 21 de 2014
1. Responda falso o verdadero, justificando (con un contraejemplo o una prueba,
respectivamente) su respuesta.
i. La aplicación T : Mn(R)→ Mn(R), definida por T (A) = 12 (A− A
T ), es diagonaliz-
able.
ii. Las matrices A =
 2 1 11 3 −2
1 −2 3
 y B =
 0 2 −12 3 −2
−1 −2 0
 son similares.
iii. Las matrices A =
 2 1 11 3 −2
1 −2 3
 y B =
 0 2 −12 3 −2
−1 −2 0
 son diagonalizables.
iv. Las matrices A =
 2 1 11 3 −2
1 −2 3
 yB =
 0 2 −12 3 −2
−1 −2 0
 son simultáneamente
diagonalizables.
v. Existe una transformación lineal diagonalizable T : C2 → C2 con valores propios ±i.
2. Sea A ∈Mn(R) una matriz con polinomio caracteŕıstico pA(t) = (−1)ntn+an−1tn−1
+ · · ·+ a1t+ a0.
i. Pruebe que a0 = detA, es decir que a0 6= 0 si y solamente si A es invertible.
ii. Pruebe que pA(t) = (a11− t)(a22− t) · · · (ann− t) + q(t), donde q(t) es un polinomio
de grado a lo más n− 2.
iii. Pruebe que Tr(A) = (−1)n−1an−1.
iv. Pruebe que, si A es diagonalizable y sus valores propios son λ1, λ2, . . . , λk,
detA = λµ11 λ
µ2
2 · · ·λ
µk
k ,
donde µ1, µ2, . . . , µk denota la(s) multiplicidad(es) del valor propio correspondiente.
v. Pruebe que, si A es diagonalizable y sus valores propios son λ1, λ2, . . . , λk,
TrA = µ1λ1 + µ2λ2 + · · ·+ µkλk,
donde µ1, µ2, . . . , µk denota la(s) multiplicidad(es) del valor propio correspondiente.
3. Sea A ∈Mn(R) una matriz invertible.
i. Pruebe que si λ es valor propio de A, entonces λ−1 es valor propio de su inversa
A−1. ¿ Tienen A y su inversa A−1 vectores propios comunes?
ii. Pruebe que si A es diagonalizable, entonces su inversa A−1 es diagonalizable.
iii. Pruebe que si A es diagonalizable, entonces su transpuesta AT es diagonalizable.
¿ Tienen A y su transpuesta AT vectores propios comunes?
Solución
1.
i. Verdadero. Como se vio en la tarea anterior, la matriz respecto a una base de
Mn(R) formada por la unión de una base de las matrices simétricas y una de matrices
antisimétricas es
[MT ]βMn(R) =

0 0 · · · 0 0
0 0 · · · 0 0
...
...
. . .
...
...
0 0 · · · 1 0
0 0 · · · 0 1
 ,
entonces la transformación es diagonalizable.
ii. Falso. Dado que el determinante de dos matrices similares es el mismo, y que
detA = 0 mientras que detB = 5, las matrices A y B no pueden ser similares.
iii. Verdadero. Los tres valores propios para la matriz A son λA1 = 0, λ
A
2 = 3 y
λA3 = 5, aśı que (por ser todos distintos) A es diagonalizable. Para B los valores
propios son λB1 = λ
B
2 = −1 y λB3 = 5, y una base para R3 de vectores propios para
B es

 10
1
 ,
 01
2
 ,
 12
−1
, aśı que B también es diagonalizable.
iv. Falso. Dos matrices son simultáneamente diagonalizables si y solo si conmutan.
Sin embargo, aunque ambas son simétricas,
AB =
 1 5 −48 15 −7
−7 −10 3
 6=
 1 8 −75 15 −10
−4 −7 3
 = BA.
iii. Verdadero. La base para C2 formada por los vectores 1 e i permite definir la
transformación lineal dada por T (1) = i y T (i) = 1, cuyos valores propios son ±i y
que, en esta base, tiene matriz diagonal
(
i 0
0 −i
)
.
2. Sea A ∈ Mn(R) y pA(t) = (−1)ntn + an−1tn−1 + · · · + a1t + a0 su polinomio
caracteŕıstico.
i. Dado que pA(t) = det(A − tI), es claro que pA(0) = a0 = detA, es decir que A es
invertible si y solamente si a0 6= 0.
ii. Para ver que
pA(t) = (a11 − t)(a22 − t) · · · (ann − t) + q(t),
donde q(t) es un polinomio de grado a lo más n− 2, procedemos por inducción en el
tamaño de A. Es claro que
det
(
a11 − t a12
a21 a22 − t
)
= (a11 − t)(a22 − t) + q(t),
donde q(t) = −a12a21 es un polinomio de grado 0, aśı que la afirmación es cierta para
matrices 2× 2. Si suponemos el resultado cierto para toda matriz (k − 1)× (k − 1)
y A es una matriz k × k, calculando por la última columna tenemos
det

a11 − t a12 · · · a1k
a21 a22 − t · · · a2k
...
...
. . .
...
ak1 ak2 · · · akk − t
 = (a11 − t)(a22 − t) · · · (ann − t) + q(t),
donde q(t) es un polinomio de grado a lo más n− 2, ya que cada cofactor para aik,
i = 1, 2, . . . , k− 1, elimina el término aii − t y el término akk − t en el determinante
correspondiente y usamos la hipótesis de inducción en el último término.
2
iii. Para demostrar que Tr(A) = (−1)n−1an−1 se puede, como en el ejercicio anterior,
proceder por inducción en el tamaño de la matriz.
iv. Si A es diagonalizable y sus valores propios son λ1, λ2, . . . , λk, existe una matriz
invertible C tal que
A = C

λ1 0 · · · 0
0 λ2 · · · 0
...
...
. . .
...
0 0 · · · λn
C−1,
aśı que si µ1, µ2, . . . , µk denota la multiplicidad del valor propio correspondiente, i.e.
el número de veces que el valor propio aparece en la matriz diagonal,
detA = det

λ1 0 · · · 0
0 λ2 · · · 0
...
...
. . .
...
0 0 · · · λn
 = λµ11 λµ22 · · ·λµkk .
v. Si A es diagonalizable y sus valores propios son λ1, λ2, . . . , λk, dado que Tr(AB) =
Tr(BA) para cualquier par de matrices A,B ∈Mn(R),
Tr(A) = Tr
C

λ1 0 · · · 0
0 λ2 · · · 0
...
...
. . .
...
0 0 · · · λn
C−1

= Tr

λ1 0 · · · 0
0 λ2 · · · 0
...
...
. . .
...
0 0 · · · λn
 = µ1λ1 + µ2λ2 + · · ·+ µkλk,
donde µ1, µ2, . . . , µk denota la multiplicidad del valor propio correspondiente.
3.
i. Sea A ∈ Mn(R) una matriz invertible, entonces ninguno de sus valores propios es
cero y, si λ es valor propio de A, i.e. A~x = λ~x para algún vector no nulo ~x ∈ Rn,
entonces
~x = A−1A~x = λA−1~x,
es decir que A−1~x = λ−1~x y entonces λ−1 es valor propio de su inversa A−1. El
argumento anterior muestra que A y su inversa A−1 tienen vectores propios comunes.
ii. Si A es diagonalizable existe una matriz invertible C tal que A = CDC−1, donde la
matriz diagonal D es la matriz de valores propios para A. Como A es invertible la
matriz diagonal D también lo es, y podemos calcular su inversa A−1 como
A−1 = (CDC−1)−1 = CD−1C−1,
luego A−1 también es diagonalizable.
iii. Si A es diagonalizable entonces A = CDC−1, donde la matriz invertible C es la de
vectores propios de A y la matriz diagonal D es la matriz de valores propios para A.
Haciendo una trasposición tenemos que
AT = (CDC−1)T = (CT )−1DTCT ,
luego AT también es diagonalizable. El argumento muestra que, a pesar de tener
valores propios comunes, A y su transpuesta AT no necesariamente tienen vec-
tores propios comunes. Un ejemplo sencillo lo dan las matrices A =
(
1 1
0 2
)
3
y B =
(
1 0
1 2
)
, cuyos valores propios son 1 y 2, pero cuyos vectores pripios son{(
1
0
)
,
(
1
1
)}
y
{(
1
0
)
,
(
1
−1
)}
, respectivamente.
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