3146-0449505

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MAGNETORRECEPCIÓN EN AVES MIGRATORIAS:
CONTROL DE ESPÍN Y MECANISMOS DE
DECOHERENCIA
Alejandra Parra Palacios
Universidad del Valle
Facultad de Ciencias Naturales y Exactas
Departamento de Física
Santiago de Cali
Agosto de 2011
MAGNETORRECEPCIÓN EN AVES MIGRATORIAS:
CONTROL DE ESPÍN Y MECANISMOS DE
DECOHERENCIA
Alejandra Parra Palacios
Requisito parcial para optar al título de
Físico
Director
John Henry Reina Estupiñán, D. Phil.
Doctor en Física
Universidad del Valle
Facultad de Ciencias Naturales y Exactas
Departamento de Física
Santiago de Cali
Agosto de 2011
Resumen: Los problemas sustentados en el desarrollo de este trabajo de grado están
relacionados con dos corrientes de investigación conocidas con los nombres de magne-
torrecepción en aves y coherencia cuántica, ya sea en forma directa como es el caso del
estudio del mecanismo de Par Radical (PR), o indirecta, revisando el intrincamiento del
sistema.
El objetivo que ha guiado su desarrollo es estudiar algunos aspectos físicos fundamen-
tales. El análisis se enfoca en examinar la susceptibilidad del sistema a ruido ambiental,
recurriendo a los diferentes parámetros de relevancia, tales como la dinámica del campo
oscilatorio terrestre, la dependencia angular del campo y las ratas de decaimiento y de
decoherencia, durante el análisis de la dinámica disipativa del sistema.
Ciertas aves migratorias poseen la habilidad para percibir sutiles variaciones del
campo magnético de la tierra. Utilizando los resultados de observaciones experimentales
recientes, a través del estudio de un mecanismo conocido como Par Radical, explicamos el
fenómeno de la brújula aviar. Para esto se emplea el formalismo de la ecuación maestra
con varios operadores de disipación para estudiar su dinámica cuántica. Interesantemente,
el sistema natural es robusto al ruido producido por la temperatura ambiental.
La química de los pares de radicales se controla no sólo por sus movimientos difusivos
en la solución (interacción con el reservorio bioquímico) y su reactividad inherente, sino
también, y fundamentalmente, por medio de la obligación que tiene el sistema de conservar
el momento angular de espín.
Mediante el uso de los parámetros reportados experimentalmente se simula el com-
portamiento del campo magnético de manera individual y en interacción con el sistema,
variando fundamentalmente, las ratas de decaimiento y de decoherencia. Se emplea el
formalismo de la matriz densidad, utilizando la ecuación maestra cuántica para modelar
el conjunto de espines en interacción con un reservorio bioquímico, a los cuales se les
adicionan dos estados para introducir la relajación en el sistema.
En particular, se presenta el cálculo de la Negatividad, como medida de intrincamiento,
y la influencia del medio ambiente sobre el intrincamiento de los estados generados en los
espines electrónico (un par) y nuclear del sistema en interacción con un campo oscilatorio.
Así, se establece una manera de caracterizar la evolución de los estados intrincados,
cualquiera sea el estado inicial del sistema, el cual expande un espacio de Hilbert de
dimensión ocho al cual se le añaden dos estados.
Palabras clave: par radical, magnetorrecepción, decoherencia cuántica, espín, matriz
densidad, singlete, triplete.
Nota de aceptación
Jurado
Juan Carlos Granada
Director
John Henry Reina
Cali, Agosto 26 de 2011
Índice general
Índice general I
Índice de figuras III
Introducción VI
1. Fundamentos 1
1.1. Magnetorrecepción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. El mecanismo Par Radical (PR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. El criptócromo como magnetorreceptor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4. Evidencia experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Modelo físico 11
2.1. Influencia del campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Hamiltoniano del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1. Ecuación Maestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.2. Medidas de intincamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3. Resultados y discusión 17
3.1. Efecto del campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.1. Efecto del campo magnético sobre el par radical . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2. Dinámica cuántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.1. Efectos debidos a las interacciones Zeeman e Hiperfina anisotrópica . 20
3.2.1.1. Mecanismos de relajación (T1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.1.2. Mecanismos de decoherencia (T2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.2. Todas las interacciones presentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.2.1. Mecanismos de relajación (T1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.2.2. Mecanismos de decoherencia (T2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
I
ÍNDICE GENERAL II
3.2.3. Rendimiento de la transición entre los estados singlete y triplete . . . 27
3.3. Dinámica de intrincamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
A. Uso del γ-COMPUTE 30
Conclusiones 32
Bibliografía 34
Índice de figuras
1.1. Imágenes de Petirrojos Europeos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Diagrama esquemático del mecanismo propuesto por Schulten para la de-
tección del campo magnético en aves [43] donde afirma que las funciones de
magnetorrecepción en aves se deben a una reacción fotoquímica entre pares
radicales orientados en la retina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. Esquema básico del mecanismo de Par Radical. AB es la especie precursora,
PSS es el producto selectivo singlete, PST es el producto selectivo triplete
y X es el producto neutro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4. Dinámica de espín en ausencia de campo magnético. Tomado de [11]. . . . . . 4
1.5. Dinámica de espín en presencia de campo magnético. Tomado de [11]. . . . . 5
1.6. Esquema del mecanismo par radical dentro del ojo de un ave. . . . . . . . . . . 6
1.7. Fotociclo inducido por la luz en criptócromo, tomado de [34]. . . . . . . . . . . . 6
1.8. Los triángulos indican las posiciones promedios de cada ave, la flecha indica
la media de las posiciones de todas las aves (unidad=radio del círculo más
externo). a Prueba con el campo geomagnético, b Pruebas con el campo
geomagnético y un campo en el rango 0.1-10MHz de 0.085µT. c-e, Pruebas
con un campo de 7MHz de 0.47µT, orientado paralelamente c, con un ángulo
de 24◦ d y con un ángulo de 48◦ e. Tomado de [36]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.9. Los triángulos indican las posiciones promedios de cada ave, la flecha indica
la media de las posiciones de todas las aves (unidad=radio del círculo más
externo). Ultravioleta 370 nm, Azul 424 nm, Turquesa 503 nm, Verde 565
nm, Amarillo 580 nm y Rojo 700 nm. Tomado de [36]. . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.10. Respuesta de las aves a la inclinación de la brújula. El comportamiento
indica que ellas responden al campo , tanto en dirección ecuatorial, como
hacia los polos . La figura de la izquierda corresponde al hemisferio norte
y la de la derecha al hemisferio sur del campo magnético. Hh=componente
horizontal del vector de campo magnético, Hv= componente vertical del
vector de campo magnético, �, y ρ son ángulos del campo con respecto a la
horizontal. Tomado de [43]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.11. Orientación según el comportamiento de los petirrojos europeos adicionando
efectos de campos oscilantes. Tomado de [35]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
III
ÍNDICE DE FIGURAS IV
2.1. Vista esquemática de la tierra y
del campo geomagnético. Tomada de [44]. . 11
2.2. Esquema del ojo del ave. En el modelo más simple del par radical, cada
molécula se compone de dos electrones y un núcleo. El dibujo ilustra las
interacciones presentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1. Comportamiento del campo geomagnético con respecto al tiempo B0 = 47×
10−2G (campo magnético en Frankfurt),Brf = 150×10−5G, ω/(2π) = 1,316
MHz, θ = −π/4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2. Comportamiento de las componentes del campo geomagnético con respecto
al tiempo B0 = 47 × 10−2G, Brf = 150 × 10−5G, ω/(2π) = 1,316 MHz,
θ = −π/4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3. Comportamiento angular del campo geomagnético para ϑ = π/4. B0 =
47× 10−2G, Brf = 150× 10−5G, ω/(2π) = 1,316 MHz, para t=0.3 ms. . . . 18
3.4. Comportamiento del par radical [Py − d•+10 1, 4−DCB•−], con k = 3×107s−1,
n = 64, ν = 55 MHz y 2 × 0,181mT. Al lado izquierdo arriba se muestra
el espectro experimental y los demás son los obtenidos mediante el uso del
algoritmo γ-COMPUTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.5. Evolución de las poblaciones del sistema para (a) k = 104 s−1, (b) k = 105
s−1. Sin interacción hiperfina anisotrópica, con interacción Zeeman y sin
decoherencia. En ambos casos, la curva púrpura corresponde al estado |S〉,
la color naranja encierra al grupo de estados |010〉, |011〉, |100〉 y |101〉, y la
línea azul contine los estados |000〉, |001〉, |110〉, |111〉 y |T 〉. . . . . . . . . . . . . 21
3.6. Evolución de las poblaciones del sistema para (a) k = 104 s−1, (b) k = 105
s−1. Sin interacción Zeeman, con interacción hiperfina anisotrópica y sin
decoherencia. Para los dos casos, |S〉 de color púrpura y |T 〉 curva verde,
en el medio de color café están |001〉, |010〉, |101〉 y |110〉. Los estados |000〉
y |111〉 permanecen en cero. Las poblaciones |011〉 y |100〉, envuelven las
rápidas oscilaciones que están de color café. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.7. Evolución de las poblaciones del sistema para k = 104 s−1 con (a) 1/Γ = 1
ms, (b) 1/Γ = 100µs. Sin interacción hiperfina anisotrópica, con interac-
ción Zeeman y con decoherencia. En ambos casos, la curva púrpura corre-
sponde al estado |S〉, la verde al |T 〉, la color naranja encierra al grupo
de estados |010〉, |011〉, |100〉 y |101〉, fianlmente la línea azul contine al
|000〉, |001〉, |110〉 y |111〉. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.8. Evolución de las poblaciones del sistema para k = 104 s−1 con (a) 1/Γ = 1
ms, (b) 1/Γ = 100µs. Sin interacción Zeeman, con interacción hiperfina y
con decoherencia. En ambos casos, |S〉 de color púrpura y |T 〉 curva verde,
en el medio color café están |001〉, |010〉, |101〉 y |110〉. Los estados |000〉
y |111〉 permanecen en cero. Las poblaciones |011〉 y |100〉, envuelven las
rápidas oscilaciones que están de color café. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.9. Evolución de las poblaciones del sistema para k = 104 s−1. Sin decoherencia.
A la derecha zooms de la figura principal. La curva |S〉 de color púrpura
y |T 〉 de color verde. Los estados |011〉 y |100〉 envuelven por encima las
oscilaciones del medio, en el medio están los cuatro estados |001〉, |010〉,
|101〉 y |110〉, por debajo de todos los demás tenemos los estados |000〉 y |111〉. 24
ÍNDICE DE FIGURAS V
3.10. Evolución de las poblaciones del sistema para k = 105 s−1, a la derecha
zooms de la figura principal. Sin decoherencia. Tenemos el mismo grupo de
estados que los de la figura 3.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.11. (a) Evolución de las poblaciones del sistema para k = 106 s−1, (b) zoom
de la figura de la izquierda. Sin decoherencia. Tenemos el mismo grupo de
estados que los de la figura 3.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.12. Evolución de las poblaciones del sistema para k = 104 s−1 y 1/Γ = 1 ms
con Brf = 150× 10−5 G. A la derecha un zoom de la figura principal hasta
10µs. Tenemos el mismo grupo de estados que los de la figura 3.9. . . . . . . . 25
3.13. Evolución de las poblaciones del sistema para k = 104 s−1 y 1/Γ = 100µs
con Brf = 150× 10−5 G. A la derecha un zoom de la figura principal hasta
25µs. Tenemos el mismo grupo de estados que los de la figura 3.9. . . . . . . . 26
3.14. Evolución de las poblaciones del sistema para k = 104 s−1 y 1/Γ = 10µs
con Brf = 150× 10−5 G. A la derecha un zoom de la figura principal hasta
3µs. Tenemos el mismo grupo de estados que los de la figura 3.9. . . . . . . . . 26
3.15. Rendimientos del singlete y el triplete, sin decoherencia. La curva púrpura
muestra el rendimiento del singlete (línea continua) y el rendimiento del
triplete (línea discontinua) para k = 104 s−1. La curva roja muestra el
rendimiento del singlete (línea continua) y el rendimiento del triplete (línea
discontinua) para k = 105 s−1. La curva azul muestra el rendimiento del
singlete (línea continua) y el rendimiento del triplete (línea discontinua)
para k = 106 s−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.16. Rendimientos del singlete y el triplete, con decoherencia. La curva azul mues-
tra el rendimiento del singlete (línea continua) y el rendimiento del triplete
(línea discontinua) para 1/Γ = 10µs. La curva negra muestra el rendimiento
del singlete (línea continua) y el rendimiento del triplete (línea discontinua)
para 1/Γ = 100µs. La curva roja muestra el rendimiento del singlete (línea
continua) y el rendimiento del triplete (línea discontinua) para 1/Γ = 1 ms.
Todas las curvas fueron hechas para k = 104 s−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.17. Negatividad para k = 104 s−1 y 1/Γ = 1 ms, para la figura principal, para
la figura del recuadro la negatividad es sin decoherencia tomando el mismo
valor de k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Introducción
La Mecánica Cuántica constituye uno de los modelos teóricos más novedosos y a la
vez controvertidos de la ciencia moderna, principalmente, en cómo se observa el mundo
no clásico. Este cuerpo de conceptos ha sido ampliamente difundido y usado en la expli-
cación y predicción de fenómenos físicos del mundo microscópico. Su aplicación se extiende
también a la explicación de algunos fenómenos macroscópicos particulares como la super-
conductividad.
El papel de esta rama de la física, es muy importante también dentro del estudio de
algunas funciones de ciertos sistemas biológicos [1, 2], utilizan los mecanismos angulares
de la teoría cuántica, tales como la superposición y el intrincamiento a nivel atómico y
molecular siendo de interés el estudio de sus efectos para aprovecharlos en procesos de
transferencia de información tecnológica [3, 4].
Existe una forma de procesamiento de información en la naturaleza conocido como
magnetorrecepción [5], que es la habilidad de percibir la presencia y variación de un campo
magnético. Existen varios mecanismos por los cuales este esquema de detección puede
operar [6]. En ciertas especies (incluyendo algunas aves [7], moscas de fruta [8], incluso las
plantas [9]), la evidencia es soportada por el mecanismo Par Radical (PR). En este Trabajo
de Grado se plantea el estudio teórico de este mecanismo, en el cual se analiza la evolución
cuántica de la interacción de un par de espines electrónicos separados espacialmente y en
interacción con un espín nuclear.
La química de espín es un área de investigación central que estudia la influencia de
los espín electrónico y nuclear sobre la reactividad química. Principalmente los efectos de
polarización inducida químicamente en espectroscopía de resonancia magnética nuclear y
espectroscopía de resonancia paramagnética electrónica, así como los efectos en isótopos
magnéticos y la que es de interés para el presente trabajo: los
efectos del campo magnético
en isótopos químicos.
La evidencia experimental se remonta al año 1960, en el que fueron observados los efec-
tos del campo magnético para la luminiscencia de aniquilación triplete-excitón en cristales
[15, 16], proponiendo la utilización del Hamiltoniano de espín [17]. También para esta
época, varios trabajos observaron anomalías en la forma de las líneas y en el aumento de la
intensidad de la señal en el espectro intermedio de resonancia paramagnética electrónica y
después en el espectro de resonancia magnética nuclear de los productos de las reacciones
de los radicales [18]. Estos efectos de dinámica de polarización del electrón (o núcleo) in-
ducida químicamente, son interpretados independientemente por Kaptein y Oosterhoff [19]
y por Closs [20] en términos del mecanismo de Par Radical (PR). La introducción de éste
mecanismo al final de los 60 se marca como el año de la "química del espín".
VI
INTRODUCCIÓN VII
El campo creció rápidamente en los años siguientes. En la década de 1970, el mecanismo
de triplete fue introducido para explicar por completo las señales emisivas, por Wan en
Canadá [21] y por Atkins y McLauchlan en Oxford [22]. Pronto se publicó una serie de
documentos en los que se desarrolló una teoría más detallada [23]. Para finales de los 70
la química del espín fue siendo más estudiada con el aporte de grupos en Japón, Rusia,
Europa occidental y los Estados Unidos.
El presente estudio está motivado por resultados recientes en el campo de la química
del espín y por experimentos donde se realiza la implementación de una brújula química
[10] y se pone de manifiesto que ciertas aves migratorias poseen la habilidad de ser muy
sensibles ante pequeñas variaciones del campo magnético de la tierra [6], además del uso
y aplicación de este fenómeno en procesos tecnológicos. En este trabajo se examinarán
algunas evidencias experimentales concerniente a este tipo de procesamiento de información
dentro del modelo del Par Radical [11] analizando la dinámica de espín partiendo del
Hamiltoniano de interacción del sistema acoplado espín electrónico-espín nuclear y sus
correlaciones con el reservorio bioquímico. Para el presente trabajo, se considera el modelo
conformado por un par radical correlacionado para describir la dinámica molecular en la
retina de un ave (como es el caso de los Petirrojos Europeos). Esta dinámica está sujeta
bajo la influencia de:
1. La interacción hiperfina anisotrópica electrón-núcleo
2. La interacción Zeeman de los espines electronicos con
a. Un campo magnético estático de fuerza B0 = ~ω/2γ (donde γ es la razón giro-
magnética del electrón) y
b. Un campo de radio frecuencia Brf .
El Hamiltoniano describe el modelo que se usa. La evolución coherente o dinámica cohe-
rente, es gobernada por la ecuación maestra.
Analizada la dinámica del sistema, se exhiben características interesantes, tales como la
sensibilidad del par radical hacia la producción del singlete, que es necesaria para la función
de la brújula magnetorreceptora. Las componentes de la matriz densidad fueron calculadas
a partir de la ecuación maestra cuántica utilizando el Lindbladiano correspondiente al
mecanismo de disipación bioquímica. El sistema entero se describe dentro del modelo de
par radical, a partir de su Hamiltoniano. Tanto los cálculos analíticos como numéricos y
gráficas se realizaron con la ayuda de los programas Matlab, Mathematica y el algoritmo γ-
COMPUTE (ver Apéndice A.) desarrollado por el Laboratorio de Espectroscopía de RMN
Biomolecular de Dinamarca [14].
El presente trabajo se ha estructurado de la siguiente forma: en el primer capítulo se
presentarán los fundamentos necesarios para la comprensión del sistema que se estudiará, se
introducirá el concepto de magnetorrecepción y su evidencia experimental en los Petirrojos
Europeos. Se explicará en qué consiste el mecanismo par radical y se hablará más en detalle
acerca de la proteina que fue propuesta como la molécula magnetorreceptora: Criptócromo.
En la segunda parte se explicará el método y el Hamiltoniano correspondiente al sistema
de dos espines electrónicos y uno nuclear acoplado a uno de ellos. La dinámica del sistema
se estudia usando el formalismo de la matriz densidad. En el último capítulo, se presentan
los resultados de la dinámica del sistema luego de haber resuelto la ecuación maestra en
presencia de decoherencia y sin ella; además de los espectros obtenidos para analizar los
INTRODUCCIÓN VIII
efectos del campo magnético en reacciones químicas. Finalmente, con base en todos estos
resultados se escribieron algunas conclusiones.
CAPÍTULO 1
Fundamentos
En el presente capítulo se presentan los conceptos teóricos, que se usarán en la descrip-
ción y el análsis de los resultados de este trabajo. Gran parte de esta información está
basada en trabajos e investigaciones realizadas en este tema.
1.1. Magnetorrecepción
La idea de que animales puedan detectar el campo magnético de la tierra, hace más
de una generación era una ridícula creencia. Pero actualmente decenas de experimentos
demuestran que existen especies de animales y plantas que poseen esta habilidad, desde
abejas, salamandras, tortugas marinas y algunas aves [5]. Algunos animales la usan para
navegar por los océanos, buscar en el lodo, en fin, ciertas especies migratorias incluso pare-
cen usar las fuertes variaciones geográficas y la inclinación del campo magnético terrestre
para determinar su posición.
La responsabilidad de este hecho se le atribuye a tres principales mecanismos: inducción
electromagnética, ferrimagnetismo y reacciones químicas envueltas en pares radicales [6].
La hipótesis de la inducción electromagnética, es basada en la sensibilidad extremadamente
electrorreceptiva de algunas especies marinas. Las diferentes hipótesis del ferrimagnetismo
involucran a la magnetita y a otros minerales ferrimagneticos, tiene que ver con el poder de
interacción de tales materiales con campos magnéticos. Finalmente el mecanismo de pares
radicales se basa en la eficiencia relativamente aislada de espines nucleares y electrónicos
al lado de otros grados de libertad. En este trabajo se centrará la atención en este último
mecanismo que se manifiesta algunas aves migratorias.
Algunas aves migratorias poseedoras de esta habilidad son los Petirrojos Europeos [24],
para evitar el invierno, estas aves de Escandinavia y Rusia emigran cada año a Europa
occidental, mostrando el uso del campo magnético de la Tierra para orientarse. Reacciones
de pares radicales fueron propuestas por primera vez como un magnetoreceptor por Schul-
ten [28]. Esta brújula química es un tema de intensa investigación. Schulten propone un
fotoquímico involucrado, reacción del mecanismo par radical en la retina, como se ilustra
en la figura 1.2.
1
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS 2
Figura 1.1. Imágenes de Petirrojos Eu-
ropeos.
Es importante anotar que el mecanismo par radical puede detectar solo los ejes del
campo, no su polaridad. Sin embargo, pocos animales son hábiles para detectar la polaridad
del campo magnético de la tierra (a excepción de las langostas, salamandras y topos).
Dentro del fenómeno de la magnetorrecepción atribuida a los pares radicales la fotoex-
citación posiblemente inspiró muchos experimentos desarrollados por Wolfgang Wiltschko,
Roswitha Wiltschko, y John Phillips, que han examinado el comportamiento de ciertos
animales para varias orientaciones magnéticas con diferentes longitudes de onda de luz,
asumiendo que las moléculas responsables se encuentran en el sistema visual. Experimen-
tos con aves llegaron a conclusiones generales: la orientación magnética es interrumpida
cuando los animales son expuestos a niveles de luz por encima de 1012fotones/(s · cm2)
o luz con longitud de onda en el orden de 565 nm. Debido al regulador, la luz azul se
produce después de la puesta del sol, en el momento en que las aves comienzan a emigrar,
es posible que las simples señales de la luz ambiental orienten apropiadamente la dirección
de las aves
afectando algún mecanismo que hace de brújula (el ocaso tiene una radiación
menor que 1012fotones/(s · cm2) y es azul) [26].
ojo del ave
Figura 1.2. Diagrama esquemático del mecanismo propuesto por Schulten para la detección del
campo magnético en aves [43] donde afirma que las funciones de magnetorrecepción
en aves se deben a una reacción fotoquímica entre pares radicales orientados en la
retina.
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS 3
Para investigaciones en cuántica acerca de este problema la relación entre el tiempo
de reacción y las interacciones magnéticas internas debe ser precisa, y las moléculas deben
contener pocos átomos de hidrógeno o nitrógeno, cuyo relativamente fuerte momento mag-
nético abruma algunos efectos producidos por el campo magnético de la tierra. En general
tales requerimientos se cumplen para reacciones producidas por fotoexcitación.
1.2. El mecanismo Par Radical (PR)
Un par radical es el producto intermediario que posee vida corta y está antecedido
por una reacción, comprendido por dos radicales obtenidos conjuntamente, cuyos espines
electrónicos desapareados pueden estar en un estado triplete (T), o singlete (S); en una
orientación paralela (↑↑) o antiparalela (↑↓), respectivamente [11]. De esta forma, por medio
del momento magnético asociado al espín electrónico, la interconversión y los destinos
químicos de los estados S y T pueden ser influenciados por campos magnéticos externos.
El mecanismo par radical proporciona la base para la interpretación de la mayor parte
de los efectos del campo magnético en sistemas químicos [26], [27]. Imaginándonos que los
radicales son completamente inmóviles, las reacciones se ilustran en la figura 1.3 y son las
siguientes:
A B
1
S •+[ A B ]•- T •+ •-[ A B ]
5
PSS
b
Sk
2
X
b
Tk TkSk
PST
4
3
Figura 1.3. Esquema básico del mecanismo de Par Radical. AB es la especie precursora, PSS es
el producto selectivo singlete, PST es el producto selectivo triplete y X es el producto
neutro.
1. Las especies precursoras en estado fundamental AB podrían ser partes de la mis-
ma molécula o de distinta, ubicadas próximamente (por ejemplo dos cofactores o un
cofactor y un residuo de un aminoácido en una proteína). AB son excitadas para
producir dos iones radicales. Por ejemplo, através de la absorción de un fotón (ex-
citación fotoquímica), transfiriendo un electrón desde la especie A hasta B, creando
iones radicales en el estado singlete.
2. El par ión radical en el estado singlete se recombina para formar el producto selectivo
singlete (PSS) a una rata kS o reacciona no selectivamente para crear el producto
neutro X a una razón kbS .
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS 4
3. La evolución coherente del estado de espín PR compite con estas reacciones, con-
virtiendo una porción del par ión radical singlete (S) anterior, en un par ión radical
triplete (T). Esta interconversión es producida por interacciones magnéticas en el PR
y por algún campo magnético aplicado externamente.
4. El par ión radical triplete experimenta su propia reacción para crear el producto
selectivo triplete (PST) a una tasa kT o reacciona no selectivamente para producir
el producto X. Normalmente, kbT no es igual a k
b
S .
5. Este proceso se repetiría ciclicamente si el producto no selectivo X se convierte en la
especie precursora AB. La conservación del momento angular impone la selectividad
de espín.
La característica clave del mecanismo PR es la interconversión entre los estados singlete
y triplete, en el paso 3. Los campos externamente aplicados afectan la rapidez y la duración
de este cambio y la producción de los productos de la reacciones PSS, PST y X. Incluso
campos magnéticos débiles cuya energías de interacción son mucho menores que la energía
térmica kBT , pueden causar cambios significativos en la producción del singlete del PS.
Esto no contradice las leyes de la mecánica estadística porque la generación del PR en
el paso 1 requiere mucha más energía que la energía térmica kBT . La formación de los
productos PSS, PST, y X está determinada por la selectividad o no de la reacción.
El principal requerimiento cinético para un magnetorreceptor sensible es que el campo
geomagnético tenga suficiente tiempo para modular la interconversión S↔ T del par radical.
Ver figuras 1.4 y 1.5.
Figura 1.4. Dinámica de espín en ausencia de campo magnético. Tomado de [11].
El tratamiento mecanico-cuántico para la reacción presentada en la Fig. 1.3, realizada
como se describe en la ref. [29]. La Fig. 1.4 muestra la dinámica de espín en ausencia
del campo magnético y sin recombinación (línea verde), la fracción de pares radicales que
existen en el estado triplete, pT (t), oscilan en la frecuencia del acoplamiento hiperfino (en
este caso 14 MHz). En la Fig. 1.5 tenemos lo mismo que la figura anterior pero introduciendo
un débil campo magnético, pT (t) muestra una modulación adicional, más lenta, en la
frecuencia de la interacción Zeeman (en este caso 1,4 MHz). Las reacciones par radical
producen en pT (t) un amortiguamiento exponencial (línea roja) y permite que el producto
de la reacción (especie X en la figura 1.3) se acumule (azul). La aplicación de campo
magnético (50 µT) se traduce en un aumento de la conversión transitoria de los dos radicales
en estado triplete, causando en X a formarse más prontamente y en mayor rendimiento.
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS 5
Figura 1.5. Dinámica de espín en presencia de campo magnético. Tomado de [11].
Más rápido que la recombinación que se muestra aquí permitiría escaso tiempo para la lenta
modulación derivada de la interacción Zeeman para alterar pT (t), la producción de X, sería
mucho menos afectada por el campo. Para más detalles sobre el cálculo, ver material de
soporte de la ref. [11].
La separación de los dos radicales no solo tiene fuerte influencia sobre la tasa de trans-
ferencia del electrón, también determina la fuerza de las interacciones espín-espín entre los
dos electrones desapareados [30, 31].
1.3. El criptócromo como magnetorreceptor
El mecanismo par radical, como ya se había mencionado, involucra un par de radicales
reactivos, cuyos comportamientos están influenciados por la orientación con respecto al
campo magnético de la tierra a través de las interacciones Zeeman e Hiperfina. El hecho
que el campo sea débil (∼ 0.5 G) pone una restricción severa sobre el par de radicales
que puede establecer el sentido de la brújula química [32]. Para un cambio notable en la
producción del par radical en un campo geomagnético redirigido, la interacción hiperfina
tiene que ser tan débil como la interacción Zeeman del campo de la Tierra, es decir,
inusualmente débil para un compuesto orgánico. Esta débil interacción hiperfina se puede
lograr si uno de los radicales está completamente desprovisto de esta interacción como se
observó en un par de radicales que contenían una molécula de oxígeno como uno de los
radicales.
Con el fin de dar cuenta de una sensibilidad hacia la producción del singlete, que es
necesaria para la función de la brújula magnetorreceptora, el acoplamiento hiperfino debe
ser anisotrópico [33]. Aquí consideramos un ejemplo de un par radical, FADH• −O•−2 que
fue propuesto como un posible candidato molecular que subyace a la magnetorrecepción de
los petirrojos europeos [32], pero también puede desempeñar este papel en otras especies.
Se argumenta que la dinámica de espín en el par radical sugerido puede actuar como una
brújula geomagnética y que la concentración fisiológica del superóxido debe ser muy baja
(nM-µM) pues de otra manera el O•−2 es tóxico.
La idea más prometedora, ampliamente discutida en la actualidad, es que el mecanis-
mo par radical vinculado a la brújula aviar se presenta en la proteína criptócromo, [34].
Criptócromo es una proteína de señalización que se encuentran en una gran variedad de
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS 6
ojo del ave
retina
T •+ •-[ A B ]S •+[ A B ]•-
luz
Figura 1.6. Esquema del mecanismo par radical dentro del ojo de un ave.
plantas y animales. Se demostró que puertos criptócromo
de la luz azul dependen de la for-
mación del par radical y que se localiza en la retina de algunas aves migratorias (ver figura
1.6), donde sus efectos podrían interceptar la ruta visual. El Criptócromo une al cromóforo
flavina adenina dinucleótido (FAD). La proteína se activa y realiza su función cuando la
forma totalmente oxidada FAD se convierte en la forma semireducida FAD•. El ciclo de
fotoexcitación del criptocromo se puede representar como se muestra a continuación.
Figura 1.7. Fotociclo inducido por la luz en criptócromo, tomado de [34].
El estado señalado de criptócromo es controlado por el estado de oxidación de su
cofactor flavina FAD, que existe en tres formas redox interconvertibles, FAD, FADH•, y
FADH−. La forma FAD está inactiva y se acumula a altos niveles en la oscuridad. La
luz azul activa la fotorreducción del FAD para establecer un fotoequilibrio que favorece el
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS 7
FADH• sobre el FAD o FADH−. El estado FADH• semiquinona corresponde al estado de
señalado de la proteína. Los fotones de la luz verde pueden ser absorbidos por el radical
FADH• y cambiar el fotoequilibrio a la forma completamente reducida (FADH−), que
es inactivo. Las reacciones FAD → FADH• y FADH• → FADH− involucran un activo
radical FADH• y, por lo tanto, pueden verse afectadas por un campo magnético externo.
Los estados excitados del cofactor, FAD∗ y FADH•∗, de color gris, surgen como las etapas
intermedias de corta duración de la fotociclo criptócromo.
La hipótesis de que una molécula de oxígeno esté involucrada en la magnetorrecepción
todavía tiene que ser verificada experimentalmente. Sin embargo, esta idea es claramente
prometedora porque el radical de oxígeno carece de acoplamiento hiperfino, lo cual conduce
a una mejora de los efectos del campo magnético. Además, tal par radical (pareja, donde
uno de los radicales no tiene acoplamiento hiperfino) sería consistente con los estudios
sobre los efectos de la débil radiofrecuencia de oscilación del campo magnético en la ori-
entación de las aves migratorias. Ritz y sus compañeros de trabajo no sólo encuentran que
el comportamiento de la orientación apropiada depende de la fuerza y el ángulo del campo
oscilante, sino también que la intensidad mínima del campo necesaria para interrumpir la
orientación, depende de la frecuencia del campo oscilante en un comportamiento resonante
que sería predicho por tal par radical [35].
En recientes investigaciones, sugieren que la reacción con FADH• involucra al radical
superóxido O•−2 . El radical superóxido O
•−
2 se produce ampliamente en la naturaleza y se
puede obtener como el producto de la ganancia de un electrón por parte de la molécula de
oxígeno. O•−2 es tóxico para las células y solo es fisiológicamente conveniente en concentra-
ciones de nM-µM. El radical superóxido O•−2 entra en el paquete molecular del criptócromo,
ilustrado en la figura 1.7, a una razón constante creando un par radical [FADH• + O•−2 ],
el cual puede encontrarse en un estado de singlete o triplete. En fin, se ha probado que
la reacción FADH• + O•−2 → FADH− + O2 puede actuar como una brújula geomagnética
y que un campo de 0.5 G puede producir efectos que dependen significativamente de la
orientación del par radical con el campo magnético de la tierra.
1.4. Evidencia experimental
Se ha mostrado que campos oscilatorios pueden alterar la migración de las aves. Pe-
tirrojos fueron desorientados cuando estuvieron expuestos a campos de banda ancha ver-
ticalmente alineados en el rango 0.1-10MHz adicionales al campo geomagnético. Para una
frecuencia de 7MHz se muestra que el efecto depende del ángulo entre el campo oscilatorio
y el campo geomagnético. Las aves mostraron una apropiada orientación migratoria cuan-
do el campo oscilante era paralelo al campo geomagnético, pero estuvieron desorientadas
cuando estuvieron en presencia de inclinaciones del campo de 24◦ y 48◦ [36]. El resultado
se muestra en la figura 1.8 y los datos fueron procesados de acuerdo al test Rayleigh; que
consiste en un análisis bioestadístico y se interpretan los datos presentados en un histogra-
ma. En la figura 1.8 los triángulos indican las posiciones promedios de cada ave, la flecha
indica la media de las posiciones de todas las aves.
Para observar la dependencia de la orientación de las aves con diferentes condiciones
de luz, se realizó una prueba bajo luz monocromática producida por un diodo LED. La
dependencia con la longitud de onda se vuelve evidente debido a que la orientación de la
brújula magnética requiere luz de longitudes de onda cortas. Petirrojos fueron orientados
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS 8
Ruido
paralelo
Figura 1.8. Los triángulos indican las posiciones promedios de cada ave, la flecha indica la media
de las posiciones de todas las aves (unidad=radio del círculo más externo). a Prueba
con el campo geomagnético, b Pruebas con el campo geomagnético y un campo en
el rango 0.1-10MHz de 0.085µT. c-e, Pruebas con un campo de 7MHz de 0.47µT,
orientado paralelamente c, con un ángulo de 24◦ d y con un ángulo de 48◦ e. Tomado
de [36].
en su dirección de migración bajo luz de 370nm ultravioleta hasta 565nm verde; para otras
longitudes de onda las aves fueron desorientadas ver figura 1.9.
Otra evidencia relevante se presenta cuando el ave se encuentra en presencia de un
campo magnético y a éste se le invierte el sentido, el ave no es capaz de discernir entre estas
dos situaciones, ella sólo sigue las líneas de campo. Se encontró que el compás magnético
funciona para la inclinación del campo magnético y no para su polaridad [43].
En la figura 1.11 se ilustran los efectos de añadir campos oscilantes de varias intensi-
dades y frecuencias. (Izquierda) Respuestas ante el campo geomagnético local. (Derecha)
Las respuestas en un campo magnético de doble intensidad después de preexposición de
las aves a este campo durante 3 horas. (Diagrama superior) Respuesta orientada en la
dirección migratoria esperada durante solamente campos estáticos. (Diagramas de abajo)
Respuestas con adición de campos oscilantes. (En el campo geomagnético para 0.658 MHz,
48, 15 y 5 nT, a 1.315 MHz, 150nT, y 2.63 MHz, 5 nT debido a las restricciones de tiempo,
y lo mismo se aplica al campo estático de 92 mT para 1.315 MHz, 15 y 5nT y a 2,63 MHz,
150nT). La orientación de las respuestas es observada si los campos de alta frecuencia son
débiles, pero las aves de prueba están desorientadas cuando la intensidad del campo de
alta frecuencia cruza un umbral. El umbral depende de la intensidad del campo estático y
la frecuencia del campo oscilante: campos de 1.315 MHz tienen el efecto más pronunciado
en orientación para el campo geomagnético, mientras que campos de 2,63 MHz tienen el
efecto más pronunciado en un campo ambiental de doble intensidad. Como se ilustra en la
figura 1.11.
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS 9
Figura 1.9. Los triángulos indican las posiciones promedios de cada ave, la flecha indica la media
de las posiciones de todas las aves (unidad=radio del círculo más externo). Ultravio-
leta 370 nm, Azul 424 nm, Turquesa 503 nm, Verde 565 nm, Amarillo 580 nm y Rojo
700 nm. Tomado de [36].
Figura 1.10. Respuesta de las aves a la inclinación de la brújula. El comportamiento indica que
ellas responden al campo , tanto en dirección ecuatorial, como hacia los polos . La
figura de la izquierda corresponde al hemisferio norte y la de la derecha al hem-
isferio sur del campo magnético. Hh=componente horizontal del vector de campo
magnético, Hv= componente vertical del vector de campo magnético, �, y ρ son
ángulos del campo con respecto a la horizontal. Tomado de [43].
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS 10
Figura 1.11. Orientación según el comportamiento de los petirrojos europeos adicionando efectos
de campos oscilantes. Tomado de [35].
CAPÍTULO 2
Modelo físico
En este capítulo se explicará en detalle el Hamiltoniano del sistema que se utilizará.
Se mostrará su correspondiente ecuación maestra, la cual está gobernada por el operador
densidad, y cuya evolución se describe en
una buena aproximación resolviéndola. Además,
se enumerarán los requisitos necesarios para tener efectos magnéticos sobre una reacción
par radical.
2.1. Influencia del campo magnético
NNorte del
polo
magnético
Ecuador
magnético
Ecuador
geográfico
Sur del
polo magnético
S
Figura 2.1. Vista esquemática de la tierra y del campo geomagnético. Tomada de [44].
11
CAPÍTULO 2. MODELO FÍSICO 12
Si un campo magnético moderado (1-10 mT) tiene un efecto significativo sobre una
reacción par radical, normalmente varias condiciones deben ser satisfechas:
1. El par debe ser creado en un estado de espín electrónico correlacionado, es decir estado
singlete (S) o triplete (T) desde un precursor molecular de la misma multiplicidad,
por ejemplo, por fotólisis, radiólisis, o termólisis. Por otra parte, la correlación entre
espines debe ser generada por una reacción de recombinación selectiva, por lo general
a través del estado singlete, dejando a las parejas que quedan en un estado triplete.
2. Los estados singlete y triplete del par radical deben estar coherentemente relacionados
por la interacción hiperfina. Esto requiere que cualquier otro tipo de interacción sea
considerada poco relevante, por ejemplo la interacción dipolar entre los electrones no
apareados.
3. La relajación del espín electrónico debe ser lo suficientemente lenta como para per-
mitir la interconversión entre los estados singlete y triplete, paso 3 Fig. 1.3.
4. Pares Singlete y triplete debe tener destinos químicos diferentes, es decir, ya sea que
alguno reaccione para dar productos distintos o si pares triplete no se recombinan
directamente, como suele ser el caso.
Debido a la influencia del campo geomagnético sobre la interconversión singlete a
triplete , el la disminución del tiempo de vida en el estado singlete se debe a otros efec-
tos, tales como fluorescencia, decoherencia del estado cuántico y conversión intramolecular,
por lo que el tiempo debe ser lo suficientemente largo para cualquier efecto magnético a
desarrollar [37].
2.2. Hamiltoniano del sistema
Se emplea el modelo más simple del mecanismo par radical para estudiar el fenómeno
de la magnetorrecepción, compuesto por tres espines dos electrones y un núcleo, una vez
los electrones están separados. Donde uno de los electrones se considera como libre y el otro
acoplado al nucleo por medio del tensor hiperfino anisotrópico, escrito en su base diagonal,
A = diag(Ax,Ay, Az), considerando una simetría alrededor del eje z, donde Az = 15 MHz
(10−5 meV) y Ax= Ay= Az/2 [32], [41]. El Hamiltoniano de interacción viene dado por:
H = Î ·A · Ŝ2 + γB · (Ŝ1 + Ŝ2)
donde Î es el operador de espín nuclear, Ŝi = (σx, σy, σz)i son los operadores de espín
electrónico, con i = 1 para el electrón libre e i = 2 para el electrón acoplado. Las matrices
σx, σy y σz corresponden a las matrices de Pauli, con B como el vector de campo magnético
y γ = 12µog es la razón giromagnética donde µo y g = 2 son el magneton de Bohr y el
factor de Landé, respectivamente. El factor de 1/2 en la razón giromagnética está ligado
al espín electrónico. Aquí sólo un electrón está acoplado a un núcleo, mientras que otro
electrón está tan remoto del primero y su interacción es tan débil que se describe como
libre. Ver figura2.2.
Generalmente el campo magnético que se utiliza es:
B = B0(cosϕ sinϑ, sinϕ sinϑ, cosϑ) +Brf cosωt(cosφ sin θ, sinφ sin θ, cos θ) (2.1)
CAPÍTULO 2. MODELO FÍSICO 13
ojo del ave
retina
luz
Interacción 
Hiper�na 
Anisotrópica
Interacción 
Zeeman
Figura 2.2. Esquema del ojo del ave. En el modelo más simple del par radical, cada molécula se
compone de dos electrones y un núcleo. El dibujo ilustra las interacciones presentes.
donde B0 = 47µT es el campo magnético de la tierra en Frankfurt [35], y los ángulos
describen la orientación del campo magnético en la base del tensor hiperfino. Adicional-
mente se tiene un campo oscilatorio, Brf=150nT. Para una excitación resonante con el
espín libre, ~ω = 2γB0, por lo que ω/2π = 1.316 MHz.
Debido a la simetría alrededor del eje z del tensor HF se puede hacer ϕ = 0 y se centran
en ϑ en el rango [0, π/2] sin pérdida de generalidad. Adicionalmente se toma para el campo
oscilatorio φ = 0 [41].
2.2.1. Ecuación Maestra
Al estudiar el comportamiento de los sistemas cuánticos en interacción con su medio
ambiente surgen algunas dificultades. La primera es que la evolución ya no es unitaria,
puesto que el sistema en este caso pasa a ser un sistema abierto. Esto significa que el
sistema y el medio ambiente pueden intercambiar información permanentemente. En este
intercambio, el sistema entrega información al medio ambiente provocando disipación del
sistema y el medio ambiente puede retroalimentar parte de esa información al sistema y
provocar fluctuaciones de las variables dinámicas del sistema. Entonces al describir el com-
portamiento de sistemas cuánticos abiertos deben tomarse en cuenta estos efectos debido
a la presencia del medio. La evolución del sistema está descrita por el operador densidad.
La evolución de este operador densidad se describe, en una buena aproximación, mediante
la ecuacin maestra.
Para modelar la dinámica del sistema se empleará una ecuación maestra cuántica. Se
utilizarán los operadores de proyección para representar el proceso de relajación. Los tres
espines expanden un espacio de Hilbert de dimensión 8, al cual se le adicionan dos niveles
|S〉 y |T 〉, en inglés: "sheving states". Estos estados son introducidos por el esquema de
detección (shelving detection), el cual detecta el decaimiendo (o transición) a estos esta-
dos para los respectivos decaimientos del singlete y el triplete, es decir, después de una
excitación por un fotón, uno de los dos electrones (del par radical) se encuentra en un
estado excitado, y decae, ya sea en un producto químico en el estado singlete o triplete.
Algunos electrones se desexcitan antes que otros. Para modelar estadísticamente la dinámi-
ca correcta, es necesario realizar un seguimiento de cuántos electrones decayeron. Con estos
CAPÍTULO 2. MODELO FÍSICO 14
estados se mide el número de electrones desexcitados, y ellos no participan durante más
tiempo en la dinámica del proceso. Las poblaciones de estos dos niveles dan referencia de
los rendimientos del singlete y triplete. De acuerdo a esto, en la base canónica se definen
los operadores de decaimiento:
PS,0 =
1√
2
(|S〉〈010| − |S〉〈100|)
PT+,0 = |T 〉〈000|
PT0,0 =
1√
2
(|T 〉〈010|+ |T 〉〈100|)
PT−,0 = |T 〉〈110|
de manera análoga se tiene para el otro estado |1〉 del núcleo. Esto nos da un total
de dos proyectores singlete y seis proyectores triplete. La inclusión de los estados |S〉 y
|T 〉 incrementa el tamaño de ρ, ya no es una matriz de 8 × 8 sino de 10 × 10. El sis-
tema total se escribe explícitamente en forma matricial, en la base estándar de cómputo
{|000〉, |001〉, |010〉, |011〉, |100〉, |101〉, |110〉, |111〉, |T 〉, |S〉}, donde el primer índice de los
primeros ocho estados, corresponde al electrón desapareado, el segundo al electrón acopla-
do al núcleo y el tercero al núcleo. Es importante aclarar que para el presente trabajo se
tuvo en cuenta [45]:
|0〉 = | ↑〉 =
(
1
0
)
|1〉 = | ↓〉 =
(
0
1
)
.
Para escribir el singlete y las diferentes configuraciones del triplete en términos de la base
utilizada, obtenemos para este sistema en particular lo que llamaremos singletes y tripletes
mezclados:
|s, 0〉 = 1√
2
(|010〉 − |100〉)
|s, 1〉 = 1√
2
(|011〉 − |101〉)
|t0, 0〉 =
1√
2
(|010〉+ |100〉)
|t0, 1〉 =
1√
2
(|011〉+ |101〉)
|t+, 0〉 = |000〉
|t+, 1〉 = |001〉
|t−, 0〉 = |110〉
|t−, 1〉 = |111〉.
Por simplicidad y debido a que ésta elección de los operadores de decaimiento cor-
responde exactamente con la expresión para el rendimiento del singlete utilizada en la
literatura previa, los ocho proyectores tienen la misma rata de decaimiento ΓP = k.
Para modelar el sistema se toma como condición inicial a los electrones y al núcleo en
un estado de singlete puro escrito en la base canónica:
CAPÍTULO 2. MODELO FÍSICO 15
ρ(0) =
1
4
(|011〉〈011|
− |011〉〈101| − |101〉〈011|+ |101〉〈101|+
|010〉〈010| − |010〉〈100| − |100〉〈010|+ |100〉〈100|).
El decaimiento de los dos estados singlete y triplete es descrito utilizando una ecuación
maestra estándar con los operadores de decaimiento ya definidos, que da cuenta de los
eventos de decaimiento de los dos estados.
ρ̇ = − i
~
[H, ρ] + k
(
8∑
i=1
PiρP
†
i −
1
2
(P †i Piρ+ ρP
†
i Pi)
)
(2.2)
Se puede observar que en la Ec (2.2) no contiene ningún ruido producido por el medio,
lo que no afecta el valor de la rata de decaimiento.
En la literatura anterior sobre el modelo del par radical y magnetorrecepción en aves,
ha sido común emplear una ecuación de Liouville para modelar la dinámica. De hecho,
una comparación término a término de la evolución de los términos de la matriz densidad
confirma que esta forma de aplicación y la ecuación maestra son exactamente equivalentes
en la ausencia de ruido ambiental. Ambos están de acuerdo con la integración de la pro-
ducción de singlete, Φ =
∫∞
0 = 〈ψ
−|Trn(ρ(t))|ψ−〉ke−ktdt otra cantidad de uso común en
la literatura previa, cuando las tasas de reacción de singlete y triplete son iguales.
Se realizan simulaciones variando el valor de k en la ecuación 2.2 los autores reportan un
campo magnético perturbado de frecuencia 1.316MHz (esto es, la frecuencia de resonancia
del electrón remoto) la cual puede desorientar la brújula aviar.
Teniendo en cuanta lo dicho anteriormente para k se utiliza la fuerza del campo mag-
nético oscilante suficiente para desorientar completamente la brújula del ave, es decir, 150
nT. Para modelar el efecto del campo sobre la brújula se activa la componente del campo
oscilatorio Ec 2.1 y se examina la producción del singlete como función del ángulo entre el
campo geomagnético y el eje molecular. Siendo consistente con los resultados experimen-
tales presentados.
Establecido el valor de k es hora de mirar la dinámica disipativa del sistema, para esto
se emplea una ecuación maestra de Lindblad [42], donde se obtiene:
ρ̇ = − i
~
[H, ρ]+k
(
8∑
i=1
PiρP
†
i −
1
2
(P †i Piρ+ ρP
†
i Pi)
)
+
6∑
i=1
Γi
(
LiρL
†
i −
1
2
(L†iLiρ+ ρL
†
iLi)
)
(2.3)
donde los operadores de ruido Li son σx, σy, σz para cada espín electrónico individualmente.
Esto da un total de seis diferentes operadores de ruido Li y se usa la misma rata de
decoherencia Γ para todos. Ahora se puede determinar el nivel aproximado de ruido que
la brújula puede sufrir, observando la magnitud de Γ para los que los rendimientos del
singlete y el triplete fallan a lo largo del tiempo.
CAPÍTULO 2. MODELO FÍSICO 16
2.2.2. Medidas de intincamiento
El uso del intrincamiento como recurso permite que la Computaciónn Cuántica y la
Comunicaciónn Cuántica presenten ventajas con respecto a sus análogos clásicos. Se cono-
cen varias formas de caracterizar el intrincamiento en el caso de sistemas bidimensionales
bipartitos. Se han establecido como medidas de este recurso, las cantidades que pueden
ser calculadas a partir del conocimiento del estado del sistema global. A esta categoría
pertenecen la concurrencia y la negatividad, las cuales, son las más comunes.
Algo importante que se puede estudiar en este sistema es el intrincamiento entre el
par de electrones. Después de haber estudiado el sistema con los valores aproximados
para los parámetros clave, se puede ilustrar una medida adecuada intrincamiento en el
transcurso del proceso, desde la generación inicial del singlete hasta el eventual decaimiento.
La métrica que se usa es la negatividad [12], [13]:
ℵ(ρ) = 2Max[0,−λmin] (2.4)
donde λmin es el autovalor mas pequeño de la matriz ρTA . La matriz ρTA es la transpues-
ta parcial de la matriz densidad del sistema. La transpuesta es aplicada sobre el electrón
desapareado. La negatividad cuantifica el grado en el que ρTA falla en ser un operador posi-
tivo, y toma valores entre 0 (estado completamente factorizable) y 1 (estado máximamente
intrincado).
Es importante aclarar que como el sistema de estudio es tripartito, y esta medida de
intrincamiento se usa para sistemas bipartitos; para poder realizar esta medida se partió
el sistema en dos, por un lado se tiene al electrón desapareado y por el otro, al sistema
formado por electrón acoplado con el núcleo. De esta manera se tiene un sistema de dos
niveles y se hace la transpuesta parcial sobre el electrón libre.
CAPÍTULO 3
Resultados y discusión
En los capítulos anteriores se explicaron los conceptos y el método que se empleará.
En este capítulo se muestran los resultados después de analizar los efectos del campo
magnético y de resolver la ecuación maestra, para revisar la dinámica del sistema de tres
espines, además del intrincamiento.
3.1. Efecto del campo magnético
Para simular el campo geomagnético se utilizará la orientación del campo en la base
del tensor hiperfino, para mirar la influencia directa de su parte oscilatoria y el papel que
desempeña dentro del sistema que se está analizando. Con ayuda del programa Matlab se
observaron los siguientes comportamientos:
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x 10−4
0.47
0.47
0.47
0.47
0.47
0.47
0.47
Tiempo (s)
C
am
po
 m
ag
né
tic
o 
(G
)
Figura 3.1. Comportamiento del campo geomagnético con respecto al tiempo B0 = 47× 10−2G
(campo magnético en Frankfurt), Brf = 150 × 10−5G, ω/(2π) = 1,316 MHz, θ =
−π/4.
Para sus componentes individualmente con respecto al tiempo:
17
CAPÍTULO 3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN 18
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x 10−4
0.331
0.332
0.333
0.334
0.335
Componente X
Tiempo (s)
C
am
po
 m
ag
né
tic
o 
(G
)
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x 10−4
−1
−0.5
0
0.5
1
Componente Y
Tiempo (s)
C
am
po
 m
ag
né
tic
o 
(G
)
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x 10−4
0.331
0.332
0.333
0.334
0.335
Componente Z
Tiempo (S)
C
am
po
 m
ag
né
tic
o 
(G
)
Figura 3.2. Comportamiento de las componentes del campo geomagnético con respecto al tiempo
B0 = 47× 10−2G, Brf = 150× 10−5G, ω/(2π) = 1,316 MHz, θ = −π/4.
Se puede observar como el comportamiento periódico del campo no es contribuido por
todas las componentes del campo. Debido a la simetría respecto al eje z del tensor HF se
puede tomar ϕ = 0 y se centran en ϑ en el rango de [0, π/2] sin pérdida de generalidad.
Adicionalmente se toma para el campo oscilatorio φ = 0. Para un tiempo arbitrario en ms.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
0.332
0.333
0.334
Componente X
Ángulo θ (rad)C
am
po
 m
ag
né
tic
o 
(G
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
−1
0
1
Componente Y
Ángulo θ (rad)C
am
po
 m
ag
né
tic
o 
(G
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
0.332
0.333
0.334
Figura 3.3. Comportamiento angular del campo geomagnético para ϑ = π/4. B0 = 47× 10−2G,
Brf = 150× 10−5G, ω/(2π) = 1,316 MHz, para t=0.3 ms.
CAPÍTULO 3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN 19
3.1.1. Efecto del campo magnético sobre el par radical
Reacciones PR pueden mostrar los diferentes efectos del campo dependiendo de la
polarización del campo de RF aplicado al sistema. Un ejemplo de la diferencia entre los
efectos del campo en presencia de campos de radiofrecuencia polarizados linealmente (línea
negra), circularmente a la izquierda (línea roja) y circularmente a la derecha (línea verde)
son mostrados en la figura 3.4. Se realizaron simulaciones para obtener algunos espectros
usando el γ-COMPUTE, (ver Apéndice A.) variando algunos parámetros y se compara con
el comportamientos obtenido experimentalmente.
−4 −2 0 2 4
−5
0
B0 (mT)
S
ig
na
l /
 a
.u
.
55 MHz
−4 −2 0 2 4
−5
0
B0 (mT)
0.05 mT
u.
a.
−4 −2 0 2 4
−10
−5
0
B0 (mT)
0.1 mT
−4 −2 0 2 4
−10
−5
0
B0 (mT)
0.125 mT
u.
a.u.
a.
−4 −2 0 2 4
−10
−5
0
B0 (mT)
0.15 mT
−4 −2 0 2 4
−10
−5
0
B0 (mT)
0.175 mT
u.
a.
u.
a.
CAPÍTULO 3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN 20
−4 −2 0 2 4
−10
−5
0
5
B0 (mT)
0.2 mT
−4 −2 0 2 4
0
5
B0 (mT)
0.3 mTu
.a
.
u.
a.
Figura 3.4. Comportamiento del par radical [Py − d•+10 1, 4−DCB
•−], con k = 3×107s−1, n = 64,
ν = 55 MHz y 2 × 0,181mT. Al lado izquierdo arriba se muestra el espectro experi-
mental y los demás son los obtenidos mediante el uso del algoritmo
γ-COMPUTE
A altas intensidades del campo de RF, los espectros que muestran los efectos del campo
magnético a veces invierten dramáticamente. Algunos investigadores (como C.T. Rodgers
[43]) lo atribuyen a un "bloqueo de espín (en inglés: spin locking)"del proceso. El inicio
de este bloqueo de espín es extremadamente susceptible a la intensidad del campo de
radiofrecuencía, que por lo tanto, puede verse a partir de los espectros. Cuando los efectos
de las tres polarizaciones son vistas en conjunto, la forma de estos efectos del campo son
muy sensibles a la intensidad del campo RF.
El pico más profundo se produce a la frecuencia de resonancia Zeeman del electron,
con dos picos secundarios más pequeños a cada lado producidos por la interacción hiper-
fina en el par radical. En cambio, en las frecuencias más bajas, hay efectos significativos
independientemente de la orientación relativa de los campos de RF y estático.
3.2. Dinámica cuántica
El sistema se describe mediante la información sobre las poblaciones, correspondiente
a los elementos diagonales de la matriz densidad. El empleo de este formalismo para estu-
diar este sistema aporta cosas relevantes, que dan cuenta de la influencia de las diferentes
interacciones en el sistema. Dentro de este conjunto, es bastante notable el efecto de la
interaccion hiperfina anisotrópica entre el núcleo y el segundo electrón. El alcance de la
interacción Zeeman es más evidente en algunas poblaciones que en otras. La rata de de-
caimiento sobre el sistema es el principal parámetro influyente sobre la dinámica general
del sistema en ausencia de decoherencia.
Para representar los procesos de relajación, especificamente se introducen dos estados
|S〉 y |T 〉, los cuales hablarán del decaimiento desde un estado electrónico singlete o desde
cualquiera de las configuraciones del triplete. Por lo que las poblaciones de estos niveles
corresponden al rendimiento del singlete (Φ) y del triplete.
3.2.1. Efectos debidos a las interacciones Zeeman e Hiperfina anisotrópica
Es importante revisar el impacto de las interacciones Zeeman e hiperfina anisotrópica
en el comportamiento del sistema por separado. Las figuras 3.5 y 3.7 muestran la dinámica
CAPÍTULO 3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN 21
cuántica del sistema sin interacción hiperfina anisotrópica y con interacción Zeeman o
viceversa.
3.2.1.1. Mecanismos de relajación (T1)
Se realizaron simulaciones variando el valor de k en la ecuación (2.2), solamente en pres-
encia de mecanismo de relajación, teniendo en cuenta los parámetros que se mencionaron
en el capítulo 2 para los cuales se puede lograr desorientar el mecanismo aviar de brújula
magnetorreceptora. Las figuras 3.5 y 3.6 ilustran para dos valores diferentes de rata de
decaimiento el impacto de una de las interacciones, primero el de la hiperfina anisotrópica
únicamente y luego solamente el de la interacción Zeeman. Ambos resultados son bastante
diferentes.
0 20 40 60 80 100
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
t
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
p
o
b
la
c
io
n
e
s
(µs)(ms)
(a) (b)
Figura 3.5. Evolución de las poblaciones del sistema para (a) k = 104 s−1, (b) k = 105 s−1. Sin
interacción hiperfina anisotrópica, con interacción Zeeman y sin decoherencia. En
ambos casos, la curva púrpura corresponde al estado |S〉, la color naranja encierra
al grupo de estados |010〉, |011〉, |100〉 y |101〉, y la línea azul contine los estados
|000〉, |001〉, |110〉, |111〉 y |T 〉.
0 20 40 60 80 100
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (µs)
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
(ms)
0.30
p
o
b
la
c
io
n
e
s
(a) (b)
Figura 3.6. Evolución de las poblaciones del sistema para (a) k = 104 s−1, (b) k = 105 s−1.
Sin interacción Zeeman, con interacción hiperfina anisotrópica y sin decoherencia.
Para los dos casos, |S〉 de color púrpura y |T 〉 curva verde, en el medio de color café
están |001〉, |010〉, |101〉 y |110〉. Los estados |000〉 y |111〉 permanecen en cero. Las
poblaciones |011〉 y |100〉, envuelven las rápidas oscilaciones que están de color café.
CAPÍTULO 3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN 22
Las curvas de color púrpura y verde que aparecen en todas la figuras, corresponden a las
poblaciones de los estados |S〉 y |T 〉, respectivamente. Sin interacción hiperfina anisotrópica
no hay rendimiento del triplete sin importar el valor la rata de decaimiento, y el rendimiento
del singlete es mucho mejor, más lento y más acentuado cuando k = 104 s−1, cosa que no
ocurre cuando k es mayor, su tope máximo lo alcanza rápidamente y permanece constante.
En la figura 3.5, se observan tres curvas, cada una de ellas corresponden a un grupo de
poblaciones diferentes: la púrpura es la que corresponde al estado |S〉, como ya se había
mencionado, la de color naranja encierra al grupo de estados |010〉, |011〉, |100〉 y |101〉, estas
cuatro poblaciones tienen el mismo comportamiento y hacen parte de un estado singlete
mezclado |s, 1〉 y |s, 0〉 y la línea azul contine los estados |000〉, |001〉, |110〉, |111〉 y |T 〉, los
cuales no tienen evolución alguna sin interacción hiperfina anisotrópica y sin decoherencia.
En la figura 3.6 se nota el marcado efecto de la intearacción hiperfina sobre la dinámica
del sistema en presencia solamente de mecanismo de relajación, pues en estas dos graficas
(la de la derecha y la de la izquierda) no tenemos interacción Zeeman, se presentan rápidas
oscilaciones. Los estados que más rápido lo hacen son |001〉, |010〉, |101〉 y |110〉. Los estados
|000〉 y |111〉 no evolucionan durante los 0, 3 ms, permanecen constantes en cero. Las
poblaciones |011〉 y |100〉 se excitan en 0, 25 y caen al final, pero nunca oscilan; exactamente
como la línea naranja de la gráfica 3.5.
3.2.1.2. Mecanismos de decoherencia (T2)
La presencia de la decoherencia en el sistema se se estudia variando la rata de de-
coherencia en la ecuación (2.3) y dejando fija la rata de decaimiento, usando para este
parámetro, el mejor valor para observar el funcionamiento de la brújula magnetorrecptora,
cuando k = 104 s−1. Para ver el efecto de las interacciones Zeeman e hiperfina anisotrópica
con decoherencia, se simuló el sistema sin interacción hiperfina y sin interacción Zeeman y
viceversa. En general, con respecto a las gráficas 3.5 y 3.6 los comportamientos cambian
un poco.
0 50 100 150 200 250 300
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
(ms)
0.30
p
o
b
la
c
io
n
e
s
(µs)
(a) (b)
Figura 3.7. Evolución de las poblaciones del sistema para k = 104 s−1 con (a) 1/Γ = 1 ms,
(b) 1/Γ = 100µs. Sin interacción hiperfina anisotrópica, con interacción Zeeman y
con decoherencia. En ambos casos, la curva púrpura corresponde al estado |S〉, la
verde al |T 〉, la color naranja encierra al grupo de estados |010〉, |011〉, |100〉 y |101〉,
fianlmente la línea azul contine al |000〉, |001〉, |110〉 y |111〉.
En 3.7 vemos el impacto de la interacción hiperfina anisotrópica con decoherencia,
aparece una curva verde correspondiente al rendimiento del triplete, el cual no se afectó
para esete mismo caso sin decoherencia. Además, al aumentar la rata de decoherencia los
CAPÍTULO 3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN 23
rendimientos del triplete y el singlete se invirtieron, lo que muestra que para este valor de
Γ, los rendimientos pueden fallar, es decir el mecanismo de brujula aviar no funcionaría.
La curva azul y al naranja, también se modificaron levemente y corresponden al resto de
los estados que ya se habían mencionado antes, estos estados evolucionan pero de todas
formas vuelven a caer aproximadamente a los 0, 3ms, con excepción del estado |T 〉 que con
decoherencia si evolucionó.
p
o
b
la
c
io
n
e
s
0 50 100 150 200 250 300
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
t
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
(µs)(ms)
p
o
b
la
c
io
n
e
s
(a) (b)
Figura 3.8. Evolución de las poblaciones del sistema para k = 104 s−1 con (a) 1/Γ = 1 ms, (b)
1/Γ = 100µs. Sin interacción Zeeman, con interacción hiperfina
y con decoherencia.
En ambos casos, |S〉 de color púrpura y |T 〉 curva verde, en el medio color café
están |001〉, |010〉, |101〉 y |110〉. Los estados |000〉 y |111〉 permanecen en cero. Las
poblaciones |011〉 y |100〉, envuelven las rápidas oscilaciones que están de color café.
En la figura 3.8, el cambio más evidente fue al cambiar la rata de decoherencia, el
agrupamiento de las poblaciones con respecto a la figura 3.6 fue similar.
3.2.2. Todas las interacciones presentes
3.2.2.1. Mecanismos de relajación (T1)
En esta parte no suprimo ninguna interacción, dejo ambas (la interacción Zeeman y
la hiperfina anisotrópica) y analizo cómo el mecanismo de relajación influye dentro de la
dinámica del sistema al variar su valor.
En las figura 3.9, se ilustran dos zooms de la figura principal, fijemos nuestra atención en
el zoom que va hasta 10µs. Hay dos curvas que van por encima de todas estas oscilaciones,
corresponden a los estados |011〉 y |100〉, los cuales pertenecen al triplete y al singlete
mezclados. Otras dos curvas van por debajo de todas las demás, corresponden a los estados
|000〉 y |111〉, los cuales pertenecen a dos de los estados triplete mezclado. Finalmente en
el medio se obsevan las rápidas oscilaciones, corresponden a los cuatro estados |001〉, |010〉,
|101〉 y |110〉, todos pertenecen a las diferentes configuraciones del triplete mezclado y dos
de ellos (|010〉 y |101〉) al sinlgete mezclado. De aquí se puede afirmar que estas fuertes
perturbaciones son consecuencia de la interacción hiperfina anisotrópica y la frecuencia
de ellas dependen de la división Zeeman, la interacción hiperfina es principalmente la que
induce la interconversión del singlete |S〉 al triplete |T 〉, y es en este último estado donde
se presentan siempre oscilaciones.
CAPÍTULO 3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN 24
0 2 4 6 8 10
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
t
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
t
(ms)
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
(ms)
0.30
p
o
b
la
c
io
n
e
s
(ms)
Figura 3.9. Evolución de las poblaciones del sistema para k = 104 s−1. Sin decoherencia. A la
derecha zooms de la figura principal. La curva |S〉 de color púrpura y |T 〉 de color
verde. Los estados |011〉 y |100〉 envuelven por encima las oscilaciones del medio, en
el medio están los cuatro estados |001〉, |010〉, |101〉 y |110〉, por debajo de todos los
demás tenemos los estados |000〉 y |111〉.
0 5 10 15 20 25
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
t0 20 40 60 80 100
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
t (ms) (ms)
(ms)
p
o
b
la
c
io
n
e
s
Figura 3.10. Evolución de las poblaciones del sistema para k = 105 s−1, a la derecha zooms de
la figura principal. Sin decoherencia. Tenemos el mismo grupo de estados que los de
la figura 3.9.
Para las figuras 3.10 y 3.11, tenemos agrupados el mismo conjunto de estados que ya
se mencionaron para la figura 3.9, podemos ver es que a medida que incremento el valor de
la rata de decaimiento k, las oscilaciones caen mas rápido (como se puede ver en la escala
de tiempo de la figuras mencionadas) y la forma que le otorga la interacción Zeeman a las
oscilaciones se pierde notoriamente. Además, los rendimientos del singlete (curva púrpura)
y el triplete (curva verde) ya no son tan buenos como cuando k = 104 s−1.
CAPÍTULO 3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN 25
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t
0 2 4 6 8 10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (ms) (ms)
p
o
b
la
c
io
n
e
s
(a) (b)
Figura 3.11. (a) Evolución de las poblaciones del sistema para k = 106 s−1, (b) zoom de la figura
de la izquierda. Sin decoherencia. Tenemos el mismo grupo de estados que los de la
figura 3.9.
3.2.2.2. Mecanismos de decoherencia (T2)
Si se toma el valor de k = 104s−1, se puede entrar a revisar la estabilidad del mecanismo
frente al ruido ambiental. Hay varias razones para la decoherencia, la interacción dipolar,
las fluctuaciones de la separación electrón-electrón y la interacción de las partículas de
espín con los electrones. Dejando fijo el valor de k y variando la rata de decoherencia Γ en
la ecuación (2.3). Se obtienen, ver figuras 3.12, 3.13, y 3.14.
0 2 4 6 8 10
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
t
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t
0.00 0.05
0.10
0.15 0.20 0.25
(ms)
0.30
po
b
la
ci
o
n
e
s
(ms)
0.10
Figura 3.12. Evolución de las poblaciones del sistema para k = 104 s−1 y 1/Γ = 1 ms con
Brf = 150 × 10−5 G. A la derecha un zoom de la figura principal hasta 10µs.
Tenemos el mismo grupo de estados que los de la figura 3.9.
Entre tantas oscilaciones es un poco complicado diferenciar a qué curva pertence cada
estado. En las figuras 3.9 y 3.12, se ilustra el zoom para cada grupo de poblaciones, ob-
servemos el zoom que va hasta 10µs (para ambas gráficas el comportamiento es bastante
parecido). El grupo de estados que se habían mencionado para la gráfica 3.9 aplica para este
caso también. Se puede afirmar que para este valor de la rata de decoherecia, la respuesta
de las interacciones Zeeman e hiperfina están dentro de lo se espera para que funcione
la brújula magnetorreceptora, la única diferencia con respecto al resultado que se tuvo
con mecanismo de relajación solamente, es que el grupo de poblaciones cayó un poco más
rápido. Cuando se incrementa el valor para la rata de decoherencia, los efectos de las inter-
accónes sobre la dinámica, se pierden marcadamente, iclusive los rendimientos del singlete
CAPÍTULO 3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN 26
0 5 10 15 20 25
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
t
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
t
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
(ms)
0.30
p
o
b
la
c
io
n
e
s
(ms)
Figura 3.13. Evolución de las poblaciones del sistema para k = 104 s−1 y 1/Γ = 100µs con
Brf = 150 × 10−5 G. A la derecha un zoom de la figura principal hasta 25µs.
Tenemos el mismo grupo de estados que los de la figura 3.9.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
t
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
t
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
(ms)
0.30
p
o
b
la
c
io
n
e
s
(ms)
Figura 3.14. Evolución de las poblaciones del sistema para k = 104 s−1 y 1/Γ = 10µs con
Brf = 150×10−5 G. A la derecha un zoom de la figura principal hasta 3µs. Tenemos
el mismo grupo de estados que los de la figura 3.9.
y el triplete cambian un poco. El grupo de estados que acompañan este comportamiento
para éstas gráficas son los mismos que para la gráfica 3.12, y ya se mencionaron.
Como se muestra en las diferentes figuras, la interacción hiperfina anisotrópica es la
que hace que se presente el más notable comportamiento en algunas poblaciones y que sea
modificado por la presencia de un campo externo. La interacción hiperfina es un tipo de
interacción magnética que ocurre entre el electrón desapareado de centros paramagnéticos
con su espín nuclear (I 6= 0). Como esta interacción es anisotrópica ocurre entre los orbitales
p, d y f (la interacción isotrópica ocurre entre los orbitales s, pero para el presente trabajo
no se considera). Además el tensor de acoplamiento hiperfino es un tensor simétrico con
un Hamiltoniano de espín con términos Zeeman e hiperfinos axiales.
Para analizar las propiedades magnéticas esenciales de un magnetorreceptor, que como
principal propósito es el de detectar la presencia de un campo magnético externo y su
dirección, es un requisito indispensable que los dos radicales tengan por lo menos una
interacción hiperfina, es decir, un acoplamiento entre el momento magnético del electrón
no apareado y el momento magnético de un núcleo.
Las interacciones hiperfinas son cruciales, debido a que conducen a la interconversión de
los estados |S〉 y |T 〉 del par radical y permite que sea modificado por un campo magnético
CAPÍTULO 3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN 27
externo. La interconversión |S〉 ↔ |T 〉 es un proceso coherente de la mecánica cuántica:
Pares Radicales oscilando entre sus estados S y T dentro de una variedad de frecuencias
determinadas por las fuerzas de la interacción
hiperfina.
3.2.3. Rendimiento de la transición entre los estados singlete y triplete
Es importante destacar de la dinámica del sistema, el fuerte impacto que tiene so-
bre la forma de las oscilaciones la interacción Zeeman, y la rata de decaimiento sobre la
duración de las mismas, estos colapsos y resurgimientos son más acentuados cuando ten-
emos una relajación con k = 104 s−1, en la cual se logran ver algunos batidos cuánticos.
En la figura 3.15 se muestran los rendimientos del singlete y el triplete, para diferentes
ratas de decaimiento en presencia de las interacciones Zeeman e hiperfina anisotrópica, sin
decoherencia.
0 50 100 150 200 250 300
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
k=10 s6 -1 
k=10 s4 -1 
k=10 s5 -1 
k=10 s6 -1 
k=10 s4 -1 
k=10 s5 -1 
Re
nd
im
ie
nt
os
 d
el
 S
in
gl
et
e 
y 
Tr
ip
le
te
t(µs)
Figura 3.15. Rendimientos del singlete y el triplete, sin decoherencia. La curva púrpura mues-
tra el rendimiento del singlete (línea continua) y el rendimiento del triplete (línea
discontinua) para k = 104 s−1. La curva roja muestra el rendimiento del singlete
(línea continua) y el rendimiento del triplete (línea discontinua) para k = 105 s−1.
La curva azul muestra el rendimiento del singlete (línea continua) y el rendimiento
del triplete (línea discontinua) para k = 106 s−1.
De esta última gráfica es claramente visible la diferencia entre los rendimientos de los
estados singlete y triplete cuando se varía la rata de decaimento en el sistema. Se puede
observar que los efectos de las interacciones consideradas para este problema tienen un
apreciable efecto cuando k = 104s−1. Para l valores de k mayores, los rendimientos rápida-
mente alcanzan un valor constante, y además se intercambian los rendimientos del triplete,
y eso no es lo que se quiere, recordemos que lo más importante del mecanismo par radical
es la interconversión entre |S〉 y |T 〉.
En la figura 3.16 se muestran los rendimientos del singlete y el triplete, para diferentes
ratas de decoherencia en presencia de las interacciones Zeeman e hiperfina anisotrópica. De
esta última gráfica es claramente visible la diferencia entre los rendimientos de los estados
CAPÍTULO 3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN 28
0 50 100 150 200 250 300
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
1/Γ=
1/Γ=100 µs 
1/Γ=1 ms 
1/Γ=1 ms 
1/Γ=100 µs 
1/Γ= 10 µs 
10 µs 
t(µs)R
en
di
m
ie
nt
os
 d
el
 S
in
gl
et
e 
y 
Tr
ip
le
te
Figura 3.16. Rendimientos del singlete y el triplete, con decoherencia. La curva azul muestra el
rendimiento del singlete (línea continua) y el rendimiento del triplete (línea discon-
tinua) para 1/Γ = 10µs. La curva negra muestra el rendimiento del singlete (línea
continua) y el rendimiento del triplete (línea discontinua) para 1/Γ = 100µs. La
curva roja muestra el rendimiento del singlete (línea continua) y el rendimiento del
triplete (línea discontinua) para 1/Γ = 1 ms. Todas las curvas fueron hechas para
k = 104 s−1.
singlete y triplete cuando se varía la rata de decoherencia en el sistema. El rendimiento del
singlete es más parecido al mismo rendimiento sin rata de decoherencia cuando 1/Γ = 1 ms,
que cuando es mayor (curvas negra y roja), de la misma manera sucede con el rendimiento
del triplete. Se podría afirmar que el tiempo de decoherencia de un sistema de brújula de
dos electrones es del orden de 1 ms. Cuando Γ ≥ k los rendimientos del singlete y el triplete
fallan a lo largo del tiempo
3.3. Dinámica de intrincamiento
Para estudiar el significado del intrincamiento entre los espines de la brújula magnetor-
receptora, se empleó la métrica de de la negatividad ecuación 2.4, haciendo la transpuesta
parcial sobre el electrón desapareado. Se realizó el análisis con y sin decoherencia. Ver
figura 3.17.
Claramente el estado inical es máximamente intrincado. Con decoherencia el intrin-
camiento cae a un ritmo más rápido que el intrincamiento sin ella. Obteniéndose muerte
súbita aproximadamente a 0,15 ms. Esta muerte súbita conocida también como fase inicial
de desintrincamiento, este término se refiere al hecho de que incluso un débil entorno disi-
pativo puede degradar la parte de correlación cuántica a un tiempo finito. La pérdida de
intrincamiento se denomina decoherencia. Esta disipación a tiempo finito es una forma de
decaimiento que prevé sólo el intrincamiento cuántico, que no fue encontrado anteriormente
enb la disipación de otras correlaciones físicas. [46]
CAPÍTULO 3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN 29
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
(ms)
N
eg
at
iv
id
ad
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
t
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
(ms)
0.30
0.25 0.30
Figura 3.17. Negatividad para k = 104 s−1 y 1/Γ = 1 ms, para la figura principal, para la figura
del recuadro la negatividad es sin decoherencia tomando el mismo valor de k.
APÉNDICE A
Uso del γ-COMPUTE
Conceptualmente, los experimentos de RMN pueden ser simulados por la integración
de la ecuación de movimiento para la matriz densidad. El tiempo requerido para las simula-
ciones puede ser reducido en muchos órdenes de magnitud si se emplean algunas estrategias.
Por esta razón se han desarrollado eficientes algoritmos para simular los espectros, en la
lista se encuentran el algoritmo COMPUTE y su versión mejorada el γ-COMPUTE [14],
entre otros, basados en aplicaciones de la teoría de Floquet [38], integración y métodos
espectrales en el espacio de Liouville. El algoritmo de simulación numérica γ-COMPUTE
está desarrollado en lenguaje TCL y funciona dentro del programa SIMPSON elaborado
por el Laboratorio de Espectroscopia de RMN biomolecular de Dinamarca.
El algoritmo original, COMPUTE [39] (Computation over One Modulation Period U-
sing Time Evolution), Computación sobre una modulación de Periodo Usando el Tiempo
de Evolución. Este algoritmo permite el cálculo rápido de promedios en cadena, lo que
es ventajoso para el cálculo de dinámicas de espín, sobre secuencia de desacoplamiento
y espectros de resonancia magnética nuclear. El uso de este algoritmo o de su extensión
g-COMPUTE (generalized COMPUTE), está sujeto a la restricción de que solo una di-
mensión del experimento multidimensional puede ser empleada en la técnica, además de
solo disponer de una secuencia de pulso.
En este algoritmo se emplean funciones generales cuyo comportamiento periódico con-
lleva a varias implicaciones importantes para las simulaciones numéricas. En primer lugar,
permiten cálculo eficiente del promedio de γ para la simulación de todos los espectros de
RMN de la rotación de los sólidos de forma independiente sobre el sistema de espín y
de las interacciones. En segundo lugar, aprovecha todas las características atractivas de
COMPUTE [40] mientras se realiza el cálculo del promedio γ como una parte implícita
de la transformación de Fourier. Por esta razón, el nuevo método puede ser denominado
como γ-COMPUTE. Y en tercer lugar, permiten la exploración directa de restricciones
adicionales sobre los operadores iniciales y observables.
Los espectros mostrados en este trabajo se realizaron utilizando una modificación del
algoritmo γ-COMPUTE [37], excepto las componentes del tensor de la interacción hiperfi-
na anisotrópica, así como isotrópica. La inclusión de interacciones magnéticas anisotrópicas
lleva consigo la obligación de calcular Φ (rendimiento del singlete) para todas las orienta-
ciones posibles de la pareja radical con respecto a las direcciones del campo magnético
externo, que son todas las alineaciones posibles de la cabeza del ave con respecto a su en-
30
APÉNDICE A. USO DEL γ-COMPUTE 31
torno. La forma en que se hace esto es mediante la acción de los ángulos de Euler (α, β, γ)
que describen cada rotación posible de una forma tridimensional. Para cada conjunto de
parámetros magnéticos (B0, Brf , k, θ, la frecuencia de la oscilación del campo, interacción
hiperfina), los ángulos de Euler se emplean entre los rangos: 0 ≤ α ≤ 2π, 0 ≤ β ≤ π,
0 ≤ γ ≤ 2π.
Las modificaciones que se le realizaron al algoritmo γ-COMPUTE fueron:
1. El cálculo