3146-0565592

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Formalismo General de Perturbaciones Gravitacionales
y Cálculo del Índice Espectral Escalar en Modelos de
Inflación Cósmica tipo Slow-Roll
Autor: Juan Camilo Restrepo Belalcazar
Asesor: Luis Norberto Granda Ph.D
Trabajo de grado presentado como requisito parcial
para optar por el t́ıtulo de f́ısico
Departamento de f́ısica
Universidad del Valle
Santiago de Cali-Colombia
Febrero 6-2017
Abstract
In this undergraduate thesis the formalism of gravitational perturbations in the Friedman-Robertson-
Walker background metric is rewieved. The perturbations to the matter and geometric terms are
explicitly deduced, and a Scalar-Vector-Tensorial decomposition of the perturbations is performed.
Since cosmological disturbances are generally gauge-dependent, It’s show the necessary conditions
for a gauge choice, and 2 examples are presented. The comoving curvature perturbation is presented,
and its conservation on the super-horizon scale is showed. The general evolution of this quantity is
given by the Mukhanov-Sasaki equation, whose solution under the conditions of Slow-Roll inflation
models allows to derive the scalar spectral index in terms of model parameters.
Resumen
En el presente trabajo de grado se revisa el formalismo de perturbaciones gravitacionales tomando
como fondo una métrica Friedmann-Robertson-Walker. Se deducen expĺıcitamente las perturba-
ciones a las cantidades materiales, geométricas y a las ecuaciones de Einstein y se realiza una
descomposición Escalar-Vectorial-Tensorial a estas. Debido a que las perturbaciones cosmológicas
son en general dependientes de calibración, se muestran las condiciones necesarias para la elec-
ción de una calibración en el formalismo y se presentan dos ejemplos de ello. A continuación se
introduce la cantidad invariante perturbación de curvatura comóvil y se muestra su conservación
en la escala super-horizonte. La evolución general de esta cantidad está dada por la ecuación de
Mukhanov-Sasaki, cuya solución bajo las condiciones de los modelos inflacionarios tipo Slow-Roll,
permite expresar el ı́ndice escalar espectral en términos de los parámetros de los modelos.
2
Índice general
1. Dinámica de fondo 8
1.1. Dinámica de fondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1. Métrica FRW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2. Horizontes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3. Ecuaciones de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.4. El principio de Acción y el campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2. Problemas con la teoŕıa estándar del Big Bang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1. Problema del Horizonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2. Problema de la planitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3. Dinámica inflacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1. Inflación por campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2. Aproximación Slow-roll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2. Ecuaciones de Campo 19
2.1. Perturbaciones a la métrica de fondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1. Śımbolos de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.2. Tensor de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2. Perturbaciones Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3. Descomposición SVT 32
3.1. Descomposición SVT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2. Modos Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3. Modos Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4. Modos Tensoriales (Radiantes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4. Análisis de Fourier 45
4.1. Modos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3
4.2. Modos Tensoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5. Elección de Gauge 56
5.1. Elección de Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2. Gauge Newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3. Gauge Śıncrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.4. Conversión Newtoniana a Śıncrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.5. Conversión Śıncrono a Newtoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6. Conservación por fuera del horizonte 75
6.1. Modos Adiabáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7. Aplicaciones a la inflación 83
7.1. Correcciones al tensor de Enerǵıa-Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.2. Ecuaciones de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.3. Soluciones en ondas planas y aproximación WKB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.4. Ecuación de Mukhanov-Sasaki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.4.1. Fluctuaciones escalares en la aproximación Slow-Roll . . . . . . . . . . . . . . 100
7.4.2. Índices espectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8. Sumario-Conclusiones 106
4
Notación
Los ı́ndices latinos i,j,k etc., serán usados para rotular las coordenadas espaciales, y sus valores
podrán ser 1,2,3.
Los ı́ndices griegos µνκσ etc. normalmente designaran las cuatro coordenadas espacio tempora-
les, pudiendo tomar los valores 0,1,2,3 , con x0 la variable temporal.
Se usará el convenio de suma de Einstein y los ı́ndices repetidos en una expresión deberán en-
tenderse como suma, a menos de que se indique lo contrario.
A lo largo de este trabajo se usaran unidades naturales, en las cuales c = 1 = ~ = kb, en donde c
es la constante de la velocidad de la luz en el vaćıo, ~ es la constante reducida de Plank y kb es la
constante de Boltzman.
La cantidad q será usada para designar los números de onda comoviles y los sub́ındices.
En general una barra sobre cualquier cantidad denota el valor sin perturbar
Un punto sobre cualquier cantidad denotrará su derivada temporal y un sombrero su transfor-
mada de Fourier.
los 3-vectores espaciales serán denotados con negrillas.
∇2 es el Laplaciano, en coordenadas cartesianas. ∂3
∂(x1)2
+ ∂
3
∂(x2)2
+ ∂
3
∂(x3)2
5
Introducción
El modelo cosmológico estándar para explicar los primeros momentos del universo , el Big Bang,
se basa principalmente en 3 consideraciones simples : La universalidad de las leyes de la f́ısica, el
principio de copérnico, que supone que nuestro lugar de observación, la tierra, no ocupa ninguna
posición especial en el universo, esto es, no tenemos un sistema de referencia qué sea privilegiado
con respecto a los demás sistemas de referencia, y en el principio cosmológico, que supone que a
gran escala ( en el orden de los Megaparsecs) el universo es isótropo y homogéneo. Aunque inicial-
mente estas carácteŕısticas fueron planteadas como postulados, hoy en d́ıa el éxito de la relatividad
general en las grandes escalas indica que la primera de estas consideraciones es correcta, las obser-
vaciones mostrando las desviaciones más grandes posibles sobre la constante de estructura fina y
las médiciones de temperatura sobre el CMB confirman la segunda y la tercera hipótesis inicial con
una incertidumbre del orden de 10−5. Sin embargo, modelar el úniverso exclusivamente usando la
métrica FRW , una métrica que describe una geometŕıa perfectamente isótropay homogenéa, en
conjunto con las ecuaciones de Einstein, para describir su dinámica, no permite entender problemas
fundamentales de la cosmoloǵıa como la formación y evolución de las grandes estructuras, o las
pequeñas variaciones en la temperatura del CMB; pues estas representan ligeras ( en las escalas
tratadas) desviaciones de la homogeneidad. En este escenario la teoŕıa de perturbaciones cosmológi-
cas aparece de manera natural como un formalismo que intenta dar cuenta de estas desviaciones,
tomando estas como pequeñas perturbaciones a una métrica FRW de fondo. La idea fundamen-
tal consiste en que estas perturbaciones, que a primera aproximación se consideran lineales, con
el tiempo y el aumento del factor de escala, terminan convirtiéndose en las grandes estructuras
mediante el mecánismo de la inéstabilidad gravitacional.
El trabajo presentado aqúı sigue el desarrollo presentado por Weinberg [26] que a su vez recoge los
trabajos pioneros de Lifshitz [12], Bardeen [5], Kodama y Sasaki [17], cuyos trabajos presentaban
una teoŕıa perturbativa construida tomando la métrica FRW como punto de partida y es conocida
hoy como teoŕıa perturbativa invariante ante calibración (Gauge-invariant Perturbation Theory).
Estos trabajos pioneros coinciden históricamente con los primeros trabajos de Guth [11] y Linde
6
Caṕıtulo 0.0
[13] quienes a su vez ofrecen un desarrollo teórico en donde la idea de una etapa inflacionaria en la
que el factor de escala crećıa aproximadamente exponencial en algún momento entre el nacimiento
del universo y la fase electrodébil, entre los 10−43 y 10−32 primeros segundos después del surgimien-
to del espacio-tiempo, ofreceŕıa de manera elegante una explicación a los 2 principales problemas
del modelo básico del Big- Bang, el problema del horizonte y el problema de la planitud. La imple-
mentación de la teoŕıa de perturbaciones gravitacionales a estos modelos inflacionarios ha probado
ser una herramienta fundamental para explicar las conexiones entre los fenómenos acontecidos en
esta época con los datos observacionales del presente.
7
Caṕıtulo 1
Dinámica de fondo
1.1. Dinámica de fondo
En esta sección se realiza un resumen e introducción al modelo estándar de la cosmoloǵıa. Las
ecuaciones y elementos introducidos aqúı son indispensables para el resto del trabajo y el desarrollo
de las perturbaciones gravitacionales en general. También se discutirán los pricipales problemas del
modelo y cómo la inflación surge como un modelo teórico capaz de dar solución a estos.
1.1.1. Métrica FRW
La cosmoloǵıa estándar y el modelo del Bing Bang se basa en la consideración teórica y suficien-
temente probada de que en las escalas más grandes, el universo se presenta homogeneo e isotrópico,
traslacional y rotacionalmente invariante, estas consideraciones llevan necesariamente a la métrica
FRW (Friedmann - Lemaitre - Robertson - Walker ) cuyo elemento de linea es
ds2 = −gµν(x)dµdν = dt2 − a2(t)
[
dx2 + k
(x · dx)2
1−Kx2
]
, (1.1)
en donde a(t), el factor de escala describe el tamaño relativo de las hipersuperficies espaciales en
diferentes tiempos y en donde el parámetro de curvatura de estas es K ∈ {−1, 0,+1} para universos
hiperbólicos, euclidianos o esféricos respectivamente. Las componentes de la métrica en coordenadas
cartesianas son
gij = a
2(t)
(
δij +K
xixj
1−Kx2
)
, gi0 = 0, g00 = −1, (1.2)
en donde i y j corren sobre los valores 1, 2, 3 y x0 ≡ t. Para el ansatz de la métrica FRW, la evolución
del universo homogeneo dependerá exclusivamente del comportamiento del factor de escala a(t).
Una cantidad importante que permite caracterizar la tasa de expansión es el parametro de Hubble
8
Caṕıtulo 1.1
H , definido como
H ≡ ȧ
a
, (1.3)
este es positivo para un universo en expansión y negativo para uno que colapsa. Posee unidades
del inverso del tiempo y determina las escalas caracteŕısticas del espacio-tiempo FRW. El tiempo
de Hubble t ∼ H−1 establece la escala de tiempo caracteŕıstica y la longitud de Hubble d ∼ H−1
(en unidades naturales en donde c = 1) fija el tamaño del universo observable. En el caso de un
universo plano con k = 0 como la información emṕırica lo confirma del nuestro, tendremos
ds2 = dt2 − a2(t)
(
(dx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2
)
(1.4)
Para entender las dificultades asociadas al modelo cosmológico estándar es necesario definir ciertos
conceptos ligados directamente con la estructura causal del universo, el primero de ellos es el ho-
rizonte comóvil u horizonte de una párticula, el segundo es el horizonte de eventos y el último, el
radio de Hubble.
1.1.2. Horizontes
Horizonte de una párticula
El horizonte (en coordenadas comóviles) de una párticula es la máxima distancia sobre la cual una
párticula podŕıa comunicarse, entre un tiempo inicial ti y algún tiempo posterior t, usualmente el
tiempo inicial ti es tomado como el origen del universo’ ti ≡ 0
τp(t) =
∫ t
ti
dt′
a(t′)
. (1.5)
La distancia f́ısica se obtiene multiplicando este tiempo por el factor de escala
dp(t) = a(t)τp(t). (1.6)
En el modelo convencional del Bing Bang , se asume que el universo comienza en un tiempo finito
en el pasado y por tanto en cualquier momento en el pasado, el horizonte comóvil ha sido finito,
limitando las distancias sobre las cuales diferentes regiones del espacio-tiempo, podŕıan haber es-
tado en contacto causal.
Horizonte de Eventos
Un horizonte de eventos define el conjunto de puntos desde los cuales, señales enviadas en un mo-
mento de tiempo dado τ , no serán nunca recibidas por un observador en el futuro. En coordenadas
9
comóviles, estos puntos satisfacen
τp > τpmax =
∫ τmax
τ
dt′
a(t′)
, (1.7)
en donde τmax es el máximo tiempo conforme que puede ser finito o infinito.
Horizonte de Hubble
El horizonde de Hubble, volumen de Hubble o radio de Hubble , define el limite entre particulas
que se mueven con mayor y menor velocidad que la velocidad de la luz , relativo a un observador
en un determinado momento de tiempo ( teniendo en cuenta la expansión del universo ). En un
universo con aceleración perpetua , dos part́ıculas inicialmente separadas por una distancia mayor
que el radio de Hubble no podrán comunicarse o tener influencia causal una sobre la otra. El radio
de la esfera es
rHS =
1
aH(t)
. (1.8)
Resulta de gran importancia para la comprensión de la inflación, distinguir entre el horizonte de
Hubble, o radio de Hubble, del horizonte de eventos. La diferencia recide en que si dos párticulas
se encuentran a una distancia mayor que τp, estás nunca podŕıan haber tenido contacto causal; sin
embargo , si dos puntos están separados por una distancia mayor al radio de Hubble, no están en
contacto causal en ese momento.
1.1.3. Ecuaciones de Einstein
La dinámica del factor de escala a(t) en la métrica FRW está gobernada por las ecuaciones de
Einstein
Gµν = 8πGTµν , (1.9)
en donde Gµν es el tensor de Einstein
Gµν ≡ Rµν −
1
2
gµνR, (1.10)
con Rµν el tensor de Ricci y R el escalar de Ricci, ambas cantidades quedan expresadas en términos
de los śımbolos de Christoffel como
Rµν =
∂Γρµν
∂ρ
− ∂µΓρρν + ΓρρλΓλµν − ΓρµλΓλρν , R ≡ gµνRµν , (1.11)
con los śımbolos de Christoffel dados por
Γµνκ =
1
2
gµλ
∂gλν
∂xκ
+
1
2
gµλ
∂gλκ
∂xν
− 1
2
gµλ
∂gνκ
∂xλ
. (1.12)
10
Caṕıtulo 1.1
Las ecuaciones de Einstein suelen ser escritas también de la forma
Rµν = −8πGSµν , (1.13)
en donde
Sµν ≡ Tµν −
1
2
gµνg
ρσTρσ,
es denominado el tensor de fuentes.
Fuentes Materiales
El contenido de Materia y enerǵıa del universo es descrito por el tensor de enerǵıa-momentum
Tµν , que como primera aproximación supondremos el de un fluido perfecto , de la forma
Tµν = (p+ ρ)u
µuν + pgµν , (1.14)
en donde p y ρ son respectivamente la presión y la densidad, y la 4-velocidad uµ, está definida como
uµ =
dxµ
dτ
, (1.15)
con τ el tiempo propio del observador, de manera que gµνu
µuν = −1.Ecuaciones de Friedman
Si se escoje el sistema de referencia que es comóvil con el fluido , de tal manera que uµ = 1δ0µ
entonces las ecuaciones de Einstein toman la forma de dos ecuaciones diferenciales no lineales
acopladas, las ecuaciones de Friedman
H2 ≡
(
ȧ
a
)2
=
8πG
3
ρ− K
a2
, (1.16)
3
ä
a
= −4πG(ρ+ 3p), (1.17)
donde como es usual, los puntos sobre las cantidades denotan derivadas con respecto al tiempo.
Estas 2 ecuaciones pueden ser combinadas si se deriva la primera ecuación con respecto al
tiempo y se usa el hecho de que
Ḣ =
ä
a
−H2,
para reemplazar en la ecuación 1.17. Se obtiene asi la ecuación de continuidad
dρ
dt
+ 3H(ρ+ p) = 0, (1.18)
11
que permite obtener una solución para el factor de escala si se conoce una ecuación de estado para
ρ y p. Si se define como parámetro de estado la cantidad α
α ≡ p
ρ
, (1.19)
puede reescribirse la ecuación 1.18 en términos del logaritmo como
d ln ρ
d ln a
= −3(1 + α), (1.20)
lo que al integrarse da como resultado que ρ ∝ a−3(1+α), que en conjunto con la ecuación 1.16, para
un universo con K = 0 como parece ser el nuestro, implican que el factor de escala
a(t) ∝
 t2/3(1+α) α 6= −1eHt α = −1. (1.21)
En el caso de un universo dominado por materia no relativista α = 0 , radiación o materia relativista
α = 13 y en uno dominado por una constante cosmológica α = −1. Si se presenta el caso en que
varios tipos de constituyentes aportan a la presión y a la densidad de enerǵıa , tomamos ρ y p como
ρ =
∑
i
ρi , p =
∑
i
pi, (1.22)
y para cada uno de los componentes i , se define el parámetro de densidad Ωi, útil para comparar
diferentes modelos cosmológicos, relativo a la densidad de enerǵıa ρcrit , densidad para la cual la
constante de curvatura es 0
Ωi ≡
ρi
ρcrit
, (1.23)
en donde ρcrit = 3H(t0)
2 y ρi son evaluadas en el presente, en donde a(t0) ≡ 1 y wi ≡ piρi .
1.1.4. El principio de Acción y el campo escalar
El algoritmo general para encontrar el tensor de enerǵıa-momentum para sistemas más compli-
cados que el del fluido ideal, comienza bajo la suposición de que la dinámica de las part́ıculas y
campos es gobernada por algún funcional de los campos y de las trayectorias de las párticulas, que
debe ser estacionario con respecto a variaciones infinitesimales de las párticulas y los campos y que
de acuerdo al principio de equivalencia, debe incluir la métrica de tal manera que sea invariante ante
transformaciones generales de coordenadas. A continuación se realiza una variación de la acción ,
de manera que esta tenga la forma
δS =
1
2
∫
d4x
√
−g(x)Tµν(x)δgµν(x), (1.24)
12
Caṕıtulo 1.2
con Tµν un tensor simétrico Si se aplica esto último al un modelo escalar con la acción
Sϕ = −
∫
d4x
√
−g
[
1
2
gµν
∂ϕ
∂xµ
∂ϕ
∂xν
+ V (ϕ)
]
, (1.25)
entonces las ecuaciones de campo estarán gobernadas por la condición de que este sea estacionaria
con respecto a variaciones infinitesimales en ϕ
1√
−g
∂
∂xµ
[√
−ggµν ∂ϕ
∂xν
]
=
∂V (ϕ)
∂ϕ
, (1.26)
con un tensor de enerǵıa momentum
Tµν = −gµν
[
1
2
gρσ
∂ϕ
∂xρ
∂ϕ
∂xσ
+ V (ϕ)
]
+ gµρgνσ
∂ϕ
∂xρ
∂ϕ
∂xσ
, (1.27)
que si es comparado con la ecuación para el fluido ideal , expresada en la ecuación 1.14 , puede
escribirse como uno , si se toman la densidad de enerǵıa, la presión y la 4-velocidad como
ρ = −1
2
gµν
∂ϕ
∂xµ
∂ϕ
∂xν
+ V (ϕ) (1.28)
p = −1
2
gµν
∂ϕ
∂xµ
∂ϕ
∂xν
− V (ϕ) (1.29)
uµ = −
[
−gµν ∂ϕ
∂xρ
∂ϕ
∂xσ
] 1
2
gµτ
∂ϕ
∂xτ
. (1.30)
1.2. Problemas con la teoŕıa estándar del Big Bang
1.2.1. Problema del Horizonte
Recordando la definición en la ecuación 1.5, del horizonte comóvil, como la máxima distancia
que la luz puede viajar entre un tiempo 0 y un tiempo t, esta se puede re escribir usando el hecho
de que ȧ = da/dt , luego
dt =
da
ȧ
, (1.31)
y reescribir el horizonte comóvil
τp ≡
∫ t
0
dt′
a(t′)
=
∫ a
0
da
Ha2
=
∫ ln a0
ln ai
d ln a
(
1
aH
)
, (1.32)
expresando aśı , este horizonte en términos del radio de Hubble (aH)−1. Ahora, en el modelo
convencional del Big Bang, (aH)−1 crece monótanamente (con α ≥ 0 de acuerdo a 1.19) , y por
lo tanto τp se incrementa monótonamente con el tiempo . El hecho de que el horizonte comóvil
aumente con el tiempo de manera monótona, implica que muchos eventos con distancias dentro del
horizonte comóvil (Radio de Hubble) en la actualidad, se encontraban lejos del contacto causal para
el momento del universo al que pertenecen las mediciones sobre el CMB, el hecho de que los datos de
13
esta última sean tan homogéneos es un resultado muy extraño, pues no es claro cómo tantas regiones
del CMB que se suponen eran independientes causalmente, resultaron ser tan sorprendentemente
similares.
1.2.2. Problema de la planitud
En la interpretación cosmológica desde la Relatividad General, la dinámica general del uni-
verso está controlada por las ecuaciones de Einstein y existe una relación siempre dinámica entre
el contenido del universo plasmada en el tensor de enerǵıa momentum Tµν y sus caracteŕısticas
geométricas consignadas en el tensor de curvatura Rµν .
Considerado el universo a gran escala como un fluido ideal, las ecuaciones de Einstein toman la
forma de las ecuaciones de Friedman 1.16 y 1.17. Considérese la ecuación 1.16 en unidades naturales
y re-escrita en términos del parámetro de densidad Ω, relativo a la densidad cŕıtica ( o densidad
de enerǵıa actual)
1− Ω(a) = −K
(aH)2
. (1.33)
Puesto que de acuerdo al modelo del Big Bang convencional, aH decrece monótonamente con el
tiempo, la cantidad |1− Ω(a)| debeŕıa divergir con el tiempo. De esta manera para que el modelo
cosmológico estándar pueda explicar la planitud espacial observada en el universo en la actualidad
(Ω(a0) ≈ 1) se requieren unas condiciones iniciales extremadamente finas sobre el parámetro de
densidad, que definiŕıan al universo como una vaga probabilidad, cuestión que aunque posible, se
opone directamente al postulado copernicano, que se encuentra directamente en los fundamentos
filosóficos de la cosmoloǵıa estándar.
Soluciones del modelo inflacionario
Aunque los problemas o Puzzles del Big Bang son más que los mencionados en la sección an-
terior, todos pueden ser interpretados en términos de los dos problemas presentados, debido al
comportamiento general predicho por el modelo cosmológico estándar sobre la cantidad aH.
Si se regresa al problema de la planitud expresado en la ecuación 1.33 y se considera que en algún
periodo de tiempo la cantidad (aH)−1 pudo haber decrecido en lugar de aumentar monótonamente
como lo predice el Big Bang, entonces la solución Ω = 1 se convierte en un atractor en lugar de un
punto inestable y el proceso f́ısico responsable de que (aH)−1 decrezca (el periodo inflacionario ),
dirige naturalmente al universo hacia la planitud a partir de condiciones iniciales genéricas.
La inflación soluciona el problema del horizonte pues un radio de Hubble que disminuye durante la
inflación implica que eventos en contacto causal en el pasado dejan de estarlo durante ese periodo,
14
Caṕıtulo 1.3
abriendo la posibilidad de que conjuntos lejanos de eventos en el CMB , hallan alcanzado la homo-
geneidad por medio del contacto causal, en un periodo anterior a la inflación. Una vez terminada la
inflación , el radio de Hubble aumenta de nuevo y por lo tanto los diferentes conjuntos de eventos
vuelven a estar desvinculados causalmente.
Si se estudia la ecuación 1.32, la solución del mecanismo inflacionario al problema del horizonte
depende del hecho de que seŕıa posible que τp fuese mucho mayor que (aH)
−1 en el momento de
la recombinación , de manera que los diferentes conjuntos de puntos en el CMB, no podrán co-
municarse durante esta; pero si haberlo hecho en el pasado. τp tomaŕıa aśı, la mayor parte de su
contribución de tiempos anteriores a la inflación , en donde el Radio de Hubble habŕıa sido mucho
mayor.
1.3. Dinámica inflacionaria
Deacuerdo a lo mencionado en las soluciones de modelo inflacionario, los principales problemas
del Big Bang, pueden solucionarse imponiendo la condición
d
dt
(
1
Ha
)
< 0, (1.34)
esta condición es equivalente a que la expansión del universo sea acelerada durante este periodo ,
pues
d
dt
(
1
Ha
)
=
−ä
(aH)2
,
asi, la condición planteada en 1.34 es equivalente a
d2a
dt2
> 0,
con frecuencia en la literatura sobre inflación, esta condición se escribe en términos de un nuevo
parámetro ε. Usando el hecho de que
dH
dt
=
ä
a
−H2,
la condición de que ä > 0 puede escribirse como
ε ≡ − Ḣ
H2
< 1, (1.35)
pues
ä
a
= H2 (1− ε) .
15
Existe una tercera forma (equivalente) de caracterizar la inflación, esta vez planteándola en términos
de el tensor de enerǵıa que puede llevar a cabo la disminución del radio de Hubble. De acuerdo a
la ecuación de Friedmann 1.17 , implica que para que ä/a > 0, se requiere
p < −1
3
ρ, (1.36)
lo que significa que para que se lleve a cabo la inflación , deberá existir una presión negativa , en
Tµν .
1.3.1. Inflación por campo escalar
Uno de los modelos más simples capaces de describir el periodo temprano en el cual el universo
creció de manera acelerada, supone que este fue conducido por un campo escalar, el campo , deno-
minado inflatón, funciona cómo el parámetro que determina la duración del periodo inflacionario,
que está gobernado por un cierto potencial. La dinámica de este campo está dada por una acción
como la de la ecuación 1.25, en adición a la acción estándar , de la cual se deducen las ecuaciones
de Einstein
S =
∫
d4x
√
−g
[
1
2
R− 1
2
gµν
∂ϕ
∂xµ
∂ϕ
∂xν
− V (ϕ)
]
. (1.37)
Si el campo es considerado homogéneo
ϕ(x, t) = ϕ(t),
entonces las ecuaciones 1.28 y 1.29 se reducen a las expresiones
ρ =
1
2
ϕ̇2 + V (ϕ) (1.38)
p =
1
2
ϕ̇2 − V (ϕ), (1.39)
de manera que el parámetro de estado α definido en la ecuación 1.19 , queda
α =
ϕ̇2 − 2V (ϕ)
ϕ̇2 + 2V (ϕ)
, (1.40)
para un potencial positivo, esto implica que −1 ≤ α ≤ 1, recuérdese que de la ecuación 1.21, la
solución exponencial está asociada con α = −1, que corresponde a un universo dominado por una
constante cosmológica; sin embargo esta solución, no es necesaria para la inflación, pues basta que
p < −13ρ, que en términos del campo escalar y el potencial, se expresa como
ϕ̇2 < V (ϕ). (1.41)
Nótese que α ≈ 1 si el término cinético ϕ̇ domina y α ≈ −1, si el término potencial domina. Asi,
para que la inflación se lleve a cabo, el término potencial debe ser dominante sobre el cinético.
16
Caṕıtulo 1.3
1.3.2. Aproximación Slow-roll
Los modelos modernos de inflación, asumen la existencia del campo escalar inflatón cuya dinámi-
ca está gobernada por un cierto potencial V (ϕ), que en etapas tempranas posee un valor alto pero
es bastante plano, de manera que el campo escalar “ruede lentamente”hacia valores menores del
potencial. Debido a las ecuaciones de Friedmann esto implica sobre la constante de Hubble una
disminución gradual pequeña, de manera que el universo atraviesa una fase de expansión aproxima-
damente exponencial. El comportamiento del potencial después de este punto es más pronunciado
y cuando este alcanza su mı́nimo V (ϕsalida) = 0 se produce la salida de la etapa inflacionaria.
Si se expresa la ecuación de continuidad 1.18 (conservación de la enerǵıa), en términos del campo
escalar y el potencial , usando las ecuaciones 1.38 y 1.39
d
dt
(
1
2
ϕ̇2 + V (ϕ)
)
+ 3H
(
ϕ̇2
)
= 0
ϕ̈+
∂V (ϕ)
∂ϕ
+ 3Hϕ̇ = 0. (1.42)
En donde la ecuación de Friedmann 1.16 (para una curvatura espacial nula), dicta el comporta-
miento del parámetro de Hubble
H2 =
8πG
3
(
1
2
ϕ̇2 + V (ϕ)
)
, (1.43)
de esta última expresión, puede derivarse la útil relación
Ḣ = −4πGϕ̇2. (1.44)
Ahora, decir que el parámetro de Hubble debe disminuir muy lentamente, es equivalente a expresar
que su taza de cámbio es pequeña con respecto a su valor instantáneo, cuestión que puede expresarse
matemáticamente en la condición
|Ḣ|
H
<< H, (1.45)
que de acuerdo a las ecuaciones 1.43 y 1.44, implica que
4πGϕ̇2 <<
8πG
3
(
1
2
ϕ̇2 + V (ϕ)
)
,
nótese que esta condición es garantizada si, se endurece la condición 1.41 a
ϕ̇2 << V (ϕ). (1.46)
La expansión acelerada se mantendrá suficiente tiempo únicamente si no hay un cámbio drástico
en ϕ̇, o lo que es equivalente, que ϕ̈ sea pequeño. De acuerdo a la segunda ecuación de Friedmann,
esto se expresa como
|ϕ̈| << 3Hϕ̇, |ϕ̈| << ∂V (ϕ)
∂ϕ
. (1.47)
17
De esta manera las condiciones para la ocurrencia de la inflación en la aproximación slow-roll,
pueden resumirse en las condiciones 1.45 y 1.47, que a su vez pueden presentarse en condiciones
sobre los denominados párametros slow-roll ε y η
|η| << 1 ε << 1 (1.48)
con
ε ≡ − Ḣ
H2
, η ≡ − ϕ̈
Hϕ̇
, (1.49)
terminando la inflación, cuando las condiciones de slow-roll son violadas ε(tend) = 1.
18
Caṕıtulo 2
Ecuaciones de Campo
2.1. Perturbaciones a la métrica de fondo
Asumiremos acá que en todo momento de tiempo, las desviaciones con respecto a la homoge-
neidad e isotroṕıa han sido pequeñas, pudiéndose aśı tratar como perturbaciones lineales. Debido a
que la curvatura espacial K, es despreciable hasta el presente cercano, es asumida aqúı como nula,
con esto en mente, las perturbaciones a la métrica, pueden escribirse como:
gµν = ḡµν + hµν , (2.1)
en donde ḡµν es la métrica Robertson Walker sin perturbar, con curvatura espacial K = 0 (desde
este momento y en adelante denotaremos las cantidades sin perturbar con una barra superior).
ḡ00 = −1, ḡ00 = ḡ0i = 0, ḡij = a2(t)δij , (2.2)
y hµν = hνµ es una perturbación pequeña.
De teoŕıa de matricial, es útil el siguiente resultado para la diferencial de una matriz M
δ(M−1) = −M−1(δM)M−1,
puesto que las cantidades hµν introducidas son desviaciones de la métrica sin perturbar, pueden
ser escritas desde la ecuación (2.1), como
hµν = gµν − ḡµν .
Usando el resultado citado, se obtiene para la inversa de la matriz de perturbaciones, el siguiente
resultado
hµν = δ(ḡµν) = gµν − ḡµν = −ḡµσhσρḡρν , (2.3)
19
que separado en componentes espaciales, mixtas y temporales
hij = −a−4hij , hi0 = a−2hi0, h00 = −h00. (2.4)
2.1.1. Śımbolos de Christoffel
Puesto que una perturbación en la métrica tiene como resultado también un cámbio en cómo
debe definirse la derivada covariante sobre la variedad, es necesario obtener una expresión para la
perturbación en la conexión af́ın. Logramos esto partiendo de su expresión general en coordenadas
Γλµν =
1
2
gλσ(∂µgνσ + ∂νgµσ − ∂σgµν), (2.5)
sustituyendo el valor sin perturbar por la métrica en la ecuación (2.1)
Γλµν =
1
2
(ḡλσ + hλσ)(∂µ(ḡνσ + hνσ) + ∂ν(ḡµσ + hµσ)− ∂σ(ḡµν + hµν))
= Γ̄λµν +
1
2
ḡλσ(∂µhνσ + ∂νhµσ − ∂σhµν) +
1
2
hλσ(∂µḡνσ + ∂ν ḡµσ − ∂σ ḡµν)
+O(δ2), (2.6)
en donde O(δ2) refiere a los términos perturbativos no lineales. De la diferencia entre la cantidad
perturbada y sin perturbar obtenemos a primer orden perturbativo y usando la expresión para las
perturbaciones contravariantes 2.3
δΓλµν = Γ
λ
µν − Γ̄λµν =
1
2
ḡλσ(∂µhµσ + ∂νhµσ − ∂σhµν)
+
1
2
(−ḡλρḡσηhρη)(∂µḡνσ + ∂ν ḡµσ − ∂σ ḡµν),
comparando esto último con (2.5), escribimos
δΓλµν =
1
2
ḡλσ(∂µhνσ + ∂νhµσ − ∂µνhµν)− ḡλρhρηΓ̄ηµν ,
que puede escribirse de manera más compacta como
δΓλµν =
1
2
ḡλα(−2hαηΓ̄ηµν + ∂µhνα + ∂νhµα − ∂αhµν). (2.7)
Las componentes distintas de cero de la cantidad sin perturbar Γ̄λµν son en el caso general:
Γ̄0ij = aȧ
(
δij +K
xixj
1−Kx2
)
Γ̄ioj =
ȧ
a
δij
Γ̄ijl =
(
δij +
Kxixl
1−Kx2
)
xi
20
Caṕıtulo 2.1
que con K=0, como es el caso considerado, resultan:
Γ̄0ij = aȧδij (2.8)
Γ̄ioj = Γ̄
j
oi =
ȧ
a
δij (2.9)
Γ̄ijl = 0. (2.10)
Al reemplazar estos valores en la ecuación (2.7) obtenemos las componentes de las perturbaciones
en la conexión
δΓ0ij =
1
2
(ḡ0ρ(−2hρηΓ̄ηij + ∂ihjρ + ∂jhiρ − ∂ρhij))
=1
2
ḡ00(−2h0ηΓ̄ηij + ∂ihj0 + ∂jhi0 − ∂0hij)
=
1
2
((−1)(−2h00Γ̄0ij + ∂ihj0 + ∂jhi0 − ∂0hij)
δΓ0ij = −
1
2
(−2h00aȧδij + ∂ihj0 + ∂jhi0 − ∂0hij) (2.11)
δΓijk =
1
2
ḡiρ
(
−2(hρ0Γ̄0jk + hρlΓ̄ljk) + ∂jhkρ + ∂khjρ − ∂ρhjk
)
δΓijk =
1
2
a−2(−2h0iaȧδjk + ∂jhki + ∂khji − ∂ihjk) (2.12)
δΓ000 =
1
2
ḡ0ρ(−2(hρ0Γ̄000 + hρiΓ̄i00) + ∂0h0ρ + ∂0h0ρ − ∂ρh00)
=
1
2
ḡ00(∂0h00 + ∂0h00 − ∂0h00)
= −1
2
ḣ00 (2.13)
δΓ00j =
1
2
ḡ0ρ(−2hρηΓ̄η0j + ∂0hjρ + ∂jh0ρ − ∂ρh0j)
=
1
2
ḡ00(−2(h00Γ̄00j + h0kΓ̄k0j) + ∂0hj0 + ∂jh00 − ∂0h0j)
= −1
2
(−2 ȧ
a
h0kδ0k + ∂jh00) = hok
ȧ
a
δkj −
1
2
∂jh0
= h0j
ȧ
a
− 1
2
∂jh00 (2.14)
21
δΓi0j =
1
2
ḡiρ(−2hρηΓ̄η0j + ∂0hjρ + ∂jh0ρ − ∂ρh0j)
=
1
2a2
(−2hiηΓ̄η0j + ∂0hji + ∂jhoi − ∂ih0j)
=
1
2a2
(−2hik
ȧ
a
δjk + ∂0hji + ∂jhoi − ∂ih0j)
=
1
2a2
(−2hij
ȧ
a
+ ∂0hij + ∂jhoi − ∂ih0j) (2.15)
δΓi00 =
1
2
ḡiρ(−2hρηΓ̄η00 + ∂0h0ρ + ∂0h0ρ − ∂ρh00)
=
1
2a2
(2∂0h0i − ∂ih00). (2.16)
En particular, si vamos a explorar los cámbios en la geometŕıa dictados por los cámbios en el
tensor de Ricci, necesitaremos una expresión para los δΓλλµ
δΓλλµ =
1
2
ḡλρ(−2hρηΓ̄ηλµ + ∂λhµρ + ∂µhλρ − ∂ρhλµ)
=
1
2
ḡλ0(−2h0ηΓ̄ηλµ + ∂λhµ0 + ∂µhλ0 − ∂0hλµ) +
1
2
ḡλi(−2hiηΓ̄ηλµ + ∂λhµi + ∂µhλi − ∂ihλµ)
=
−1
2
(−2h0ηΓ̄η0µ + ∂0hµ0 + ∂µh00 − ∂0h0µ) +
1
2a2
(−2hiηΓ̄ηiµ + ∂ihµi + ∂µhii − ∂ihiµ)
=
−1
2
(−2h0kΓ̄k0µ + ∂µh00) +
1
2a2
(−2(hi0Γ̄0iµ + hikΓ̄kiµ) + ∂µhii)
=
−1
2
(
−2h0k
ȧ
a
δkµ + ∂µh00
)
+
1
2a2
(
−2(hi0aȧδiµ +
ȧ
a
δµ0) + ∂µhii
)
δΓλλµ =
−1
2
(∂µh00)−
ȧ
a3
hiiδµ0 +
∂µhii
2a2
, (2.17)
este resultado puede ordenarse de manera más compacta si usamos el hecho de que
∂µ
(
hii
a−2
2
)
=
1
2a2
∂µhii − (a−3∂µa)hii
y que la derivada en el último término se puede escribir como ∂µa = ȧδµ0, por lo tanto la ecuación
2.17 puede escribirse sencillamente como
δΓλλµ = ∂µ
(
1
2a2
hii −
1
2
h00
)
. (2.18)
2.1.2. Tensor de Ricci
Puesto que para escribir las ecuaciones de Einstein, también necesitaremos las perturbaciones del
tensor de Ricci, el siguiente paso es obtenerlas partiendo, de nuevo, por su expresión en coordenadas
Rµν ≡ ∂νΓλµλ − ∂λΓλµν + ΓκµλΓλνκ − ΓκµνΓλλκ, (2.19)
22
Caṕıtulo 2.1
que puede ser escrito en términos de las cantidades sin perturbar, más las cantidades perturbadas
como
Rµν = ∂ν(Γ̄
λ
µλ + δΓ
λ
µλ)− ∂λ(Γ̄λµν + δΓλµν)
+(Γ̄κµλ + δΓ
κ
µλ)(Γ̄
λ
νκ + δΓ
λ
νκ)
−(Γ̄κµν + δΓκµν)(Γ̄λλκ + δΓλλκ).
Considerando sólo los elementos lineales en las perturbaciones, la expresión anterior aproxima al
tensor de Ricci como
Rµν = ∂νΓ̄
λ
µλ − ∂λΓ̄λµν + Γ̄κµλΓ̄λνκ − Γ̄κµνΓ̄λλκ
+ ∂νδΓ
λ
µλ − ∂λδΓλµν + δΓκµλΓ̄λνκ + δΓλνκΓ̄κµλ − Γ̄κµνδΓλλκ − δΓκµνΓ̄λλκ. (2.20)
De nuevo, aislamos la perturbación realizando la resta entre la cantidad perturbada y sin perturbar
δRµν = ∂νδΓ
λ
µλ − ∂λδΓλµν + δΓκµλΓ̄λνκ + δΓλνκΓ̄κµλ − Γ̄κµνδΓλλκ − δΓκµνΓ̄λλκ. (2.21)
Sus componentes espaciales quedan determinadas usando las expresiones encontradas para los sim-
bolos de Kristoffel de las ecuaciones 2.8 a 2.10. Puesto que la expresión anterior es extensa, asocia-
mos sus elementos
δRjk =
[
∂kδΓ
λ
jλ − ∂λδΓλjk
]
+
[
δΓρjλΓ̄
λ
kρ + δΓ
λ
kρΓ̄
ρ
jλ
]
−
[
Γ̄ρjkδΓ
λ
λρ + δΓ
ρ
jkΓ̄
λ
λρ
]
(2.22)
y continuamos su desarrollo considerando cada uno de los tres corchetes que aparecen en ella, el
primero de ellos puede desarrollarse como se indica a continuación
[
∂kδΓ
λ
jλ − ∂λδΓλjk
]
=
[
∂k
(
∂j
(
1
2a2
hii −
1
2
h00
))
− ∂0
(
−1
2
(−2aȧh00δjk + ∂jhk0 + ∂khj0 − ḣjk)
)
− ∂l
(
1
2a2
(−2h0laȧδjk + ∂jhkl + ∂khjl − ∂lhjk)
)]
,
23
en donde también consideramos los resultados obtenidos para las perturbaciones en la conexión. El
segundo de los corchetes es
[
δΓρjλΓ̄
λ
kρ + δΓ
λ
kρΓ̄
ρ
jλ
]
=
[ [
δΓ0j0Γ̄
0
k0 + δΓ
l
j0Γ̄
0
kl
]
+
[
δΓ0jlΓ̄
l
k0 + δΓ
m
jl Γ̄
l
km
]
+
[
δΓ0k0Γ̄
0
j0 + δΓ
0
kmΓ̄
m
j0
]
+
(
δΓlkmΓ̄
m
jl
)
+ δΓlk0Γ̄
0
jl
]
=
[[
aȧδkl(
1
2a2
(−2ȧ
a
hlj + ḣlj + ∂jhl0 − ∂lhj0))
]
+
[
ȧ
a
δlk(
1
2
(2aȧδjlh00 − ∂jhl0 − ∂lhj0 + ḣjl))
]
+
[
ȧ
a
δmj(
1
2
(2aȧδkmh00 − ∂khm0 − ∂mhk0 + ḣkm))
]
+ aȧδjl(
1
2a2
(−2ȧ
a
hlk + ḣlk + ∂khl0 − ∂lhk0))
]
=
[[
aȧ(
1
2a2
(−2ȧ
a
hkj + ḣkj + ∂jhk0 − ∂khj0))
]
+
[
ȧ
a
(
1
2
(2aȧδjkh00 − ∂jhk0 − ∂khj0 + ḣjk))
]
+
[
ȧ
a
(
1
2
(2aȧδkjh00 − ∂khj0 − ∂jhk0 + ḣkj))
]
+ aȧ(
1
2a2
(−2ȧ
a
hjk + ḣjk + ∂khj0 − ∂jhk0))
]
=
[
ȧ
a
(−2ȧ
a
hkj + ḣkj) +
ȧ
a
(2aȧδjkh00 − ∂jhk0 − ∂khj0 + ḣjk)
]
=
[
2
ȧ
a
(− ȧ
a
hkj + ḣjk + aȧδjkh00)−
ȧ
a
(∂jhk0 + ∂khj0)
]
. (2.23)
El tercer corchete es:
[
Γ̄ρjkδΓ
λ
λρ + δΓ
ρ
jkΓ̄
λ
λρ
]
=
[
Γ̄0jk∂0
[
1
2a2
hii −
1
2
h00
]
+ Γ̄mjk∂m
[
1
2a2
hii −
1
2
h00
]
+ Γ̄ll0(
1
2
(2aȧδjkh00 − ∂jhk0 − ∂khj0 + ḣjk))
]
=
[
aȧδjk[a
−3ȧhii +
1
2a2
ḣii −
1
2
ḣ00] +
3ȧ
2a
[2aȧδjkh00 − ∂jhk0 − ∂khj0 + ḣjk]
]
.
24
Caṕıtulo 2.1
Para obtener los componentes de δRjk en la ecuación (2.22) sustituimos los últimos 3 resultados
δRjk =
−1
2
∂k∂jh00 +
1
2a2
(∂k∂jhii +∇2hjk − ∂l∂jhkl − ∂l∂khjl) +
1
2
(∂j ḣk0 + ∂kḣj0)
− 1
2
ḧjk +
(
ȧ
a
)2
(−2hkj + hiiδjk) +
ȧ
a
(∂lh0lδjk +
1
2
(ḣjk − hiiδjk))
+
ȧ
2a
(∂khk0 + ∂khj0)− (2ȧ2 + aä)δjkh00 −
1
2
aȧδjkḣ00. (2.24)
Las componentes mixtas δR0j , son de acuerdo con la ecuación 2.21
δR0j =
[
∂jδΓ
λ
0λ − ∂λδΓλ0j
]
+
[
δΓρ0λΓ̄
λ
jρ + δΓ
λ
jρΓ̄
ρ
0λ
]
−
[
Γ̄ρ0jδΓ
λ
λρ + δΓ
ρ
0jΓ̄
λ
λρ
]
, (2.25)
desarrollando cada uno de los corchetes de la ecuación anterior tenemos, para el primero[
∂jδΓ
λ
0λ − ∂λδΓλ0j
]
= ∂j∂0(
1
2a2
hii −
1
2
h00)− ∂0δΓ00j − ∂mδΓm0j
= ∂0∂j
(
1
2a2
hii −
1
2
h00
)
− ∂0
(
h0j
ȧ
a
− 1
2
∂jh00
)
− ∂m
(
1
2a2
(−2hmj
ȧ
a
+ ∂0hmj + ∂jh0m − ∂mh0j)
)
= ∂0(
1
2a2
∂jhii −
ȧ
a
hj0) +
ȧ
a3
∂mhmj −
1
2a2
(∂mḣmj + ∂m∂jhm0 −∇2hj0),
usando el hecho de que
∂0(
1
2a2
∂mhmj) =
−ȧ
a3
∂mhmj +
1
2a2
∂mhmj , (2.26)
el tercero de los términos puede reescribirse para obtener[
∂jδΓ
λ
0λ − ∂λδΓλ0j
]
= ∂0(
1
2a2
∂jhii −
ȧ
a
hj0)
+
1
2a2
∂mḣmj − ∂0(
1
2a2
∂mhmj)−
1
2a2
(∂mḣmj + ∂m∂jhm0 −∇2hj0).
El segundo de los paréntesis resulta[
δΓρ0λΓ̄
λ
jρ + δΓ
λ
jρΓ̄
ρ
0λ
]
=δΓm00Γ̄
0
jm + δΓ
0
0mΓ̄
m
j0 + δΓ
l
jmΓ̄
m
0l
=
1
2a2
(2ḣ0m − ∂mh00)aȧδjm + (
ȧ
a
hm0 −
1
2
∂mh00)
ȧ
a
δjm
+
ȧ
a
δml(
1
2a2
(−2aȧhl0δjm + ∂jhml + ∂mhjl − ∂lhjm))
=
ȧ
a
(ḣoj − ∂jh00) +
ȧ
2a3
∂jhmm +
( ȧ
a
)2
(hj0 − hj0)
=
ȧ
a
(ḣ0j − ∂jh00) +
ȧ
2a3
∂jhmm. (2.27)
El tercer paréntesis queda[
Γ̄ρ0jδΓ
λ
λρ + δΓ
ρ
0jΓ̄
λ
λρ
]
=
ȧ
a
δmj∂m(
1
2a2
hii −
1
2
h00) + (
ȧ
a
h0j −
1
2
∂jh00)
ȧ
a
δll
=
ȧ
2a3
∂jhii + 3
( ȧ
a
)2
h0j − 2
ȧ
a
∂jh00, (2.28)
25
De donde, al poner juntos los 3 paréntesis en la ecuación (2.25) obtenemos δR0j
δR0j =
ȧ
a
∂jh00 +
1
2a2
(∇2hj0 − ∂j∂mhm0)− (
ä
a
+ 2
( ȧ
a
)2
)h0j +
1
2
(∂0
[
1
a2
(∂jhii − ∂mhmj)
]
). (2.29)
Para la componente temporal del tensor de Ricci, partiendo de nuevo de la ecuación (2.21) y
reemplazando en ella las ecuaciones (2.11) a (2.15) y (2.8) a (2.10)
δR00 = ∂0δΓ
λ
0λ − ∂λδΓλ00 + Γ
η
0νδΓ̄
ν
0η + δΓ
ν
0ηΓ̄
η
0ν − δΓ
η
00Γ̄
ν
νη − δΓννηΓ̄
η
00
= ∂0δΓ
λ
0λ − (∂0δΓ000 + ∂lδΓl00) + 2δΓi0jΓ̄
j
i0 − δΓ
0
00Γ̄
j
j0
= ∂0∂0[
1
2a2
hii −
1
2
h00]−
(
∂0(
−1
2
ḣ00) + ∂l(
1
2a2
(2ḣl0 − ∂lh00))
)
+ 2
ȧ
a
δji (
1
2a2
(−2hij
ȧ
a
+ ḣij + ∂jh0i − ∂ih0j))− (
−1
2
ḣ00)
ȧ
a
δjj
= ∂0∂0
(
1
2a2
hii
)
− 1
a2
∂lḣl0 +
1
2a2
∇2h00 +
ȧ
a
(
1
a2
(−2hii
ȧ
a
+ ḣii)
)
+
3
2
ȧ
a
ḣ00
=
1
2a2
∇2h00 +
3
2
ȧ
a
ḣ00 −
1
a2
∂lḣl0 +
(
ȧ2
a4
− ä
a3
)
hii −
ȧ
a3
ḣii +
1
2a2
ḧii
=
1
2a2
∇2h00 +
3
2
ȧ
a
ḣ00 −
1
a2
∂iḣi0 +
1
2a2
(
ḧii − 2
ȧ
a
ḣii + 2
(
ȧ2
a2
− ä
a
)
hii
)
. (2.30)
2.2. Perturbaciones Materiales
En las ecuaciones de Einstein, que pueden ser escritas de la forma
Rµν = −8πGSµν = −8πG(Tµν −
1
2
gµνg
ρσTρσ),
una perturbación en la métrica causará necesariamente una perturbación en el tensor de fuentes Sµν .
Para la descripción de la dinámicagravitacional el análisis debe continuar entonces con el estudio
de la perturbación en este tensor, que puede escribirse de inmediato introduciendo la métrica
perturbada de acuerdo a 2.1 y 2.4
Sµν = S̄µν + δSµν = T̄µν + δTµν −
1
2
(ḡµν + hµν)(ḡ
ρσ − ḡραḡσβhαβ)(T̄ρσ + δTρσ)
= (T̄µν −
1
2
ḡµν ḡ
ρσT̄ρσ) +
1
2
ḡµν ḡ
ραḡσβhαβT̄ρσ −
1
2
ḡµν ḡ
ρσδTρσ −
1
2
hµν ḡ
ρσT̄ρσ
+ δTµν +O(δ
2) (2.31)
ahora, si tenemos en cuenta que a primer orden
Tµν = g
µρTρν = (ḡ
µρ + hµρ)(T̄ρν + δTρν) ≈ ḡµρT̄ρν + hµρT̄ρν + ḡµρδTρν (2.32)
obtenemos el valor de δTµν (usando (2.3) de nuevo)
26
Caṕıtulo 2.2
δTµν = ḡ
µρδTρν + h
µρT̄ρν = ḡ
µρδTρν − ḡµαḡρβhαβT̄ρν (2.33)
= ḡµλ
[
δTλν − hλβT̄ βν
]
(2.34)
Al comparar este resultado con la ecuación (2.31), la perturbación en el tensor de fuentes, se
puede escribir como
δSµν = δTµν −
1
2
ḡµνδT
λ
λ − hµν T̄ λλ (2.35)
En esta última expresión la perturbación al tensor de fuentes queda en términos del tensor de
enerǵıa momentum, tanto en su forma sin perturbar, como de sus perturbaciones. Aún cuando aqúı
no estamos asumiendo que las componentes del universo forman un fluido perfecto, se sigue de la
isotroṕıa y homogeneidad, que el tensor sin perturbar tenga la forma de un fluido perfecto
T̄µν = p̄ḡµν + (ρ̄+ p̄)ūµūν (2.36)
con ū0 = 1 y ūi = 0, los componentes de la 4-velocidad y p̄ , ρ̄ la presión y la densidad de enerǵıa
sin perturbar. La idea ahora es utilizar las ecuaciones de Einstein sin perturbar para obtener una
expresión del tensor de enerǵıa momentum en términos del factor de escala a(t).
Usando las ecuaciones de Einstein sin perturbar (1.13), con los valores sin perturbar de los śımbolos
de Christoffel
−2K
a2
− 2ȧ
2
a2
− ä
a
= −4πG(ρ̄− p̄)
3ä
a
= −4πG(3p̄+ ρ̄),
tomando K=0, podemos encontrar los valores de p̄ y ρ̄.
Despejando ρ̄ de ambas ecuaciones e igualando el resultado
ρ̄ = (−4πGp̄− 2 ȧ
2
a2
− ä
a
)
1
−4πG
=
1
−4πG
(3
ä
a
+ 12πGp̄) (2.37)
(2.38)
de donde podemos despejar p̄ como
p̄ =
−1
8πG
(
2ä
a
+
ȧ2
a2
) (2.39)
al reemplazar este último resultado en la segunda de las ecuaciones de Einstein recién citadas,
obtenemos
ρ̄ = 3
ä
a
+ 12πG(− 1
8πG
(2
2ä
a
+
ȧ2
a2
))
=
3
8πG
ȧ2
a2
(2.40)
27
De donde
T̄ λλ = ḡ
λρT̄ρλ = ḡ
λρ(p̄ḡρλ + (p̄+ ρ̄)ūρūλ)
= 4p̄− (p̄+ ρ̄)
=
−3
8πG
(
2ä
a
+
ȧ2
a2
) +
−3
8πG
ȧ2
a2
=
−3
4πG
(
ä
a
+
ȧ2
a2
), (2.41)
con estos resultados y la ecuación (2.35), podemos escribir las perturbaciones al tensor de fuentes
en sus componentes espaciales, mixtas y temporales como
δSjk = δTjk −
1
2
ḡjkδT
σ
σ +
1
2
hjk(
3
4πG
(
ä
a
+
ȧ2
a2
))
= δTjk −
1
2
a2δjkδT
σ
σ +
3
8πG
(
ä
a
+
ȧ2
a2
)
hjk (2.42)
δS00 = δT00 +
1
2
δT σσ +
3
8πG
(
ä
a
+
ȧ2
a2
)
h00 (2.43)
δSjo = δTj0 +
3
8πG
(
ä
a
+
ȧ2
a2
)
hj0. (2.44)
Puesto que todas las perturbaciones consideradas son lineales, de las ecuaciones de Einstein Rµν =
−8πGSµν obtenemos la ecuación tensorial para las perturbaciones
δRµν = −8πGδSµν , (2.45)
aśı, este sistema de ecuaciones gobierna la evolución de las perturbaciones a lo largo del tiempo.
Estas pueden ser, con los resultados obtenidos, escritas en componentes. Si queremos obtener las
ecuaciones para las componentes jk, debemos sustituir y desarrollar los resultados de las ecuaciones
2.42 y 2.24 en 2.45
− 8πG
[
δTjk −
a2
2
δjkδT
σ
σ + hjk
(
3
8πG
(
ä
a
+
ȧ2
a2
)
)]
= −1
2
∂j∂kh00 − (2ȧ+ aä)δjkh00
− 1
2
aȧδjkḣ00 +
1
2a2
(∇2hjk − ∂i∂jhjk − ∂i∂khij + ∂j∂khii)
− 1
2
ḧjk +
ȧ
2a
(ḣjk − δjkḣii) +
ȧ2
a2
(−2hjk + δjkhii)
+
ȧ
a
δjk∂ihi0 +
1
2
(∂j ḣk0 + ∂kḣj0) +
ȧ
2a
(∂jhk0 + ∂khj0),
28
Caṕıtulo 2.2
que simplificando y agrupando términos puede escribirse como
− 8πG
(
δTjk −
a2
2
δjkδT
σ
σ
)
=
[(
ȧ
a
)2
+
3ä
a
]
hjk
− 1
2
∂j∂kh00 − (2ȧ+ aä)δjkh00 −
1
2
aȧδjkḣ00
+
1
2a2
(∇2hjk − ∂i∂jhjk − ∂i∂khij + ∂j∂khii)
− 1
2
ḧjk +
ȧ
2a
(ḣjk − δjkḣii) +
ȧ2
a2
δjkhii +
ȧ
a
δjk∂ihi0
+
1
2
(∂j ḣk0 + ∂kḣj0) +
ȧ
2a
(∂jhk0 + ∂khj0). (2.46)
A este conjunto de ecuaciones nos referiremos en adelante como las ecuaciones de Campo (para las
perturbaciones) en componenjtes jk.
Para obtener las componentes j0, reemplazamos en 2.45 las ecuaciones 2.29 y 2.44
− 8πG
[
δTj0 + hj0
3
8πG
(
ä
a
+
ȧ2
a2
)]
=
ȧ
a
∂jh00 +
1
2a2
[
∇2hj0 − ∂j∂ihi0
]
−
( ä
a
+
2ȧ2
a2
)
hj0
+
1
2
[ ∂
∂t
(
1
a2
(∂jhkk − ∂khkj
)]
,
que al reordenar queda como
− 8πGδTj0 =
ȧ
a
∂jh00 + hj0
(
2
ä
a
+
ȧ2
a2
)
+
1
2a2
[
∇2hj0 − ∂j∂ihi0
]
+
1
2
[ ∂
∂t
(
1
a2
(∂jhkk − ∂khkj
)]
. (2.47)
Por último para la componente 00 de las ecuaciones de campo, ponemos 2.30 y 2.43 en 2.45
− 8πG
(
δT00 +
1
2
δT σσ + h00
3
8πG
(
ä
a
+
ȧ2
a2
))
=
1
2a2
∇2h00 +
3ȧ
2a
ḣ00 −
1
a2
∂iḣi0
+
1
2a2
(
ḧii − 2
ȧ
a
ḣii + 2
( ȧ2
a2
− ä
a
)
hii
)
,
es decir
− 8πG
(
δT00 +
1
2
δT σσ
)
=
1
2a2
∇2h00 +
3ȧ
2a
ḣ00 −
1
a2
∂iḣi0+
+
1
2a2
[
ḧii − 2
ȧ
a
ḣii + 2
( ȧ2
a2
− ä
a
)
hii
]
+ 3
(
ä
a
+
ȧ2
a2
)
h00. (2.48)
Además de las ecuaciones de Einstein, las componentes del tensor de enerǵıa momentum, deben
satisfacer la condición de conservación Tµν;µ = 0 (aqúı ”;”denota la derivada covariante) que en
29
términos de la conexión af́ın se escribe
Tµν;µ = ∂µT
µ
ν + Γ
µ
µλT
λ
ν − ΓλµνT
µ
λ (2.49)
= ∂µ(T̄
µ
ν + δT
µ
ν) + (Γ̄
µ
µλ + δΓ
µ
µλ)(T̄
λ
ν + δT
λ
ν)− (Γ̄λµν + δΓλµν)(T̄
µ
λ + δT
µ
λ) (2.50)
= 0 (2.51)
y que a primer orden perturbativo, significa:
Tµν;µ = ∂µδT
µ
ν + δΓ
µ
µλT̄
λ
ν + Γ̄
µ
µλδT
λ
ν − Γ̄λµνδT
µ
λ − T̄
µ
λδΓ
λ
µν + T̄
µ
ν;µ = 0,
lo que nos lleva a la ecuación de conservación asociada a las perturbaciones (restando a la cantidad
perturbada, la cantidad sin perturbar)
∂µδT
µ
ν + δΓ
µ
µλT̄
λ
ν + Γ̄
µ
µλδT
λ
ν − Γ̄λµνδT
µ
λ − T̄
µ
λδΓ
λ
µν = 0. (2.52)
Ahora, para calcular la perturbación a la ecuación de la conservación a la enerǵıa y el momentum,
utilizaremos la relación de la ecuación (2.34). Para obtener la conservación del momentum, primero
recuérdese que
T̄µν = ḡ
µρT̄ρν =
[
p̄δµν + (p̄+ ρ̄)ū
µūν
]
para la conservación del momentum, tomamos ν = j en la ecuación (2.52) (nótese que T̄ 0j = 0).
∂µδT
µ
j + Γ̄
µ
µλδT
λ
j − Γ̄λµjδT
µ
λ + δΓ
µ
µλT̄
λ
j − δΓλµj T̄
µ
λ = 0
= ∂µδT
µ
j +
[
Γ̄µµ0δT
0
j + Γ̄
µ
µiδT
i
j
]
−
[
Γ̄0µjδT
µ
0 + Γ̄
i
µjδT
µ
i
]
+
[
δΓµµ0T̄
0
j + δΓ
µ
µiT̄
i
j
]
−
[
δΓ0µj T̄
µ
0 + δΓ
i
µj T̄
µ
i
]
= ∂µδT
µ
j +
[
Γ̄ii0δT
0
j
]
−
[
Γ̄0ijδT
i
0 + Γ̄
i
0jδT
0
i
]
+
[
δΓµµiT̄
i
j
]
−
[
δΓ0oj T̄
0
0 + δΓ
i
kjT̄
k
i
]
= 0
= ∂µδT
µ
j +
3ȧ
a
δT 0j −
[
aȧδT j0 +
ȧ
a
δT 0j
]
+
[
∂j(
1
2a2
hll −
1
2
h00)
]
p̄
−
[( ȧ
a
hj0 −
1
2
∂jh00
)
(−ρ̄) + p̄
( 1
2a2
(−2aȧhj0 + ∂jhii)
)]
= ∂µδT
µ
j +
2ȧ
a
δT 0j − aȧδT
j
0 − (p̄+ ρ̄)(
1
2
∂jh00 −
ȧ
a
hj0),
es decir
∂µδT
µ
j +
2ȧ
a
δT 0j − aȧδT
j
0 − (p̄+ ρ̄)(
1
2
∂jh00 −
ȧ
a
hj0) = 0. (2.53)
30
Caṕıtulo 2.2
La condición de la conservación de la enerǵıa se obtiene tomando ν = 0 :
∂µδT
µ
0 + Γ̄
µ
µλδT
λ
0 − Γ̄λµ0δT
µ
λ + δΓ
µ
µλT̄
λ
0 − δΓλµ0T̄
µ
λ = 0
∂µδT
µ
0 + Γ̄
j
j0δT
0
0 − Γ̄ij0δT
j
i + δΓ
µ
µ0T̄
0
0 − δΓλµ0T̄
µ
λ = 0
∂µδT
µ
0 + 3
ȧ
a
δT 00 −
ȧ
a
δT ii −
[
δΓ000 + δΓ
i
i0
]
ρ̄−
[
− δΓ000ρ̄+ δΓii0p̄
]
= 0
∂µδT
µ
0 + 3
ȧ
a
δT 00 −
ȧ
a
δT ii − ρ̄
[ 1
2a2
(−2ȧ
a
hii + ḣii
)]
−
[ 1
2a2
(−2ȧ
a
hii + ḣii
)]
p̄ = 0
∂µδT
µ
0 + 3
ȧ
a
δT 00 −
ȧ
a
δT ii −
(ρ̄+ p̄)
2a2
(
ḣii −
2ȧ
a
hii
)
= 0 (2.54)
31
Caṕıtulo 3
Descomposición SVT
3.1. Descomposición SVT
En esta sección se presenta la descomposición SVT y se obtienen las ecuaciones de campo
asociadas a los elementos de la descomposición.
El teorema de Helmholtz del cálculo vectorial establece que todo campo vectorial puede expresarse
como la suma del gradiente de una función escalar y un vector sin divergencia, de manera similar
la descomposición SVT extiende esteteorema a los campos tensoriales de rango 2 como la métrica,
de manera que estos puedan ser escritos como
h00 = −E (3.1)
hi0 = a
[
∂F
∂xi
+Gi
]
(3.2)
hij = a
2
[
Aδij +
∂2B
∂xi∂xj
+
∂Ci
∂xj
+
∂Cj
∂xi
+Dij
]
, (3.3)
en donde las perturbaciones A,B,Ci, Dij = Dji, E, F y Gi son funciones de la posición x y de t,
satisfaciendo las condiciones
∂Ci
∂xi
=
∂Gi
∂xi
= 0,
∂Dij
∂xi
= 0, Dii = 0. (3.4)
Nótese que las 2 primeras ecuaciones no presentan nada nuevo y descomponiendo el tensor, en 3-
vectores columnas h0i, un escalar h00 y una matriz 3x3 estas sólo recogen el teorema de Helmholtz
y sólo la tercera ecuación presenta una relación nueva. Con esta descomposción los 10 grados de
libertad en la métrica han sido separados en 4 + 4 + 2 grados de libertad, escalares, vectoriales y
tensoriales respectivamente. La ventaja de esta descomposición es que bajo ella las ecuaciones de
Einstein para los modos escalares, vectoriales y tensoriales no se mezclan al trabajar perturbaciones
32
Caṕıtulo 3.1
de orden lineal y por ello podrán ser tratadas independientemente.
Para realizar una descomposición semejante en el tensor de enerǵıa-momentum, consideramos pri-
mero la ecuación de un fluido perfecto
Tµν = pgµν + (ρ+ p)uµuν (3.5)
con
gµνuµuν = −1, (3.6)
y puesto que en el marco de referencia que se mueve con el fluido debe cumplirse en el caso no
perturbado, la relación ūi = 0, ū0 = −1, entonces, a primer orden perturbativo tenemos
gµνuµuν = −1
(ḡµν + hµν)(ūµ + δuµ)(ūν + δuν) = −1
(ḡµν ūµūν + ḡ
µν ūµδuν + ḡ
µν ūνδuµ + h
µν ūµūν + h
µν ūµδuν + h
µν ūνδuµ) = −1
≈ −1 + ḡ0ν ū0δuν + ḡµ0ū0δuµ + hµν ūµūν = −1,
luego
−2ḡ0νδuν + h00 = 0
de donde
−h
00
2
= δu0. (3.7)
La relación en términos de las componentes contravariantes, se puede determinar de que
δu0 = δ(g0νuν) = ḡ
0νδuν + h
0ν ūν
δu0 = −δu0 − h00,
resolviendo para δu0 y reemplazando en (3.7)
− h
00
2
= δu0 (3.8)
ahora, puesto que h00 = −h00, podemos escribir estos resultados, como
h00
2
= δu0 = δu0, (3.9)
es decir que las componentes temporales de la perturbación a las 4-velocidades no son variables
independientes si no que están determinadas por completo por las perturbaciones en la métrica; el
33
vector δui por otro lado resulta ser una variable independiente.
Expandiendo a primer orden perturbativo el tensor de enerǵıa-momentum
Tµν = (p̄+ δp)(ḡµν + hµν) + (ρ̄+ δρ+ p̄+ δp)(ūµ + δuµ)(ūν + δuν)
= (p̄ḡµν + (ρ̄+ p̄)(ūµūν)) + δpḡµν + hµµ + ρ̄ūµδuν + δuµūν ρ̄+ δρūµūν
+ p̄ūµδuν + p̄ūνδuµ + δpūµūν
= T̄µν + δTµν ,
luego, la perturbación a este toma la forma general
δTµν = p̄(hµν + ūµδuµ + ūνδuµ) + δp(ḡµν + ūµūν) + ρ̄(ūµδuν + uνδuµ) + δρ(ūµūν). (3.10)
Si calculamos las componentes 00 de las perturbaciones del tensor enerǵıa-momentum
δT00 = p̄(h00 + 2ū0δu0) + δp(ḡ00 + ū0ū0) + ρ̄(2ū0δu0) + δρ(ū0ū0)
= p̄(h00 − 2
h00
2
) + δp(−1 + 1) + ρ̄(2−h00
2
) + δρ,
estas toman la forma
δT00 = −ρ̄h00 + δρ. (3.11)
Para las componentes mixtas del tensor perturbado tenemos, de acuerdo con 3.10
δTi0 = p̄(hi0 + ūiδu0 + δuiū0) + δp(ḡi0 + ūiū0) + ρ̄(ūiδu0 + ū0δui) + δρ(ūiū0)
δTi0 = hi0p̄− (ρ̄+ p̄)δui (3.12)
pues ūi = ḡi0 = 0.
Para las componentes ij,la ecuación 3.10 impĺıca
δTij = p̄(hij + ūiδuj + δiūj) + δp(ḡij + ūiūj) + ρ̄(ūiδuj + ūjδui) + δρ(ūiūj)
= p̄hij + δpḡij
δTij = p̄hij + a
2δijδp. (3.13)
Más generalmente, también es posible efectuar una descomposición SVT para el tensor de enerǵıa-
momentum, de la misma manera en que se realizó para el tensor métrico. Aśı, la componente 00
de este, estará determinada por una función escalar, las componentes 0i por una vectorial, que será
descompuesta en la suma de 2 funciones independientes, una el gradiente de una función escalar
34
Caṕıtulo 3.1
y la otra una función vectorial libre de divergencia, las componentes tensoriales ij por su parte
estarán sujetas a condiciones análogas a las establecidas en las ecuaciones 3.4
δT00 = −ρ̄h00 + δρ (3.14)
δTi0 = p̄hi0 − (p̄+ ρ̄)(∂iδu+ δuVi ) (3.15)
δTij = p̄hij + a
2[δijδp+ ∂i∂jπ
S + ∂iπ
V
j + ∂jπ
V
i + π
T
ij ], (3.16)
bajo las condiciones
∂iπ
V
i = ∂iδu
V
i = 0, ∂iπ
T
ij = 0, π
T
ii = 0, (3.17)
aqúı, las funciones de posición y de tiempo πS(x, t), πVi (x, t) y π
T
ij(x, t) son denominadas términos
anisotrópicos, pues caracterizan las desviaciones del tensor enerǵıa-momentum de su forma de fluido
perfecto. Estas ecuaciones se toman como las definiciones de las cantidades δp, δρ, δu = ∂iδu+ u
V
i
y de los componentes anisotrópicos.
Las componentes mixtas δTµν que se hab́ıan encontrado en la ecuación 2.34 y que son necesarias para
la deducción de las consecuencias de las relaciones de conservación sobre las cantidades perturbadas,
se obtienen sustituyendo en 2.34 estas nuevas definiciones.
Para las componentes ij
δT ij = ḡ
iλ
[
δTλj − hλσT̄ σj
]
=
1
a2
[
δTij − hiσT̄ σj
]
=
1
a2
[
p̄hij + a
2[δijδp+ ∂i∂jπ
S + ∂iπ
V
j + ∂jπ
V
i + π
T
ij ]− [hikT̄ kj ]
]
=
1
a2
[
p̄hij + a
2[δijδp+ ∂i∂jπ
S + ∂iπ
V
j + ∂jπ
V
i + π
T
ij ]− [hij p̄]
]
,
es decir
δT ij =
[
δijδp+ ∂i∂jπ
S + ∂iπ
V
j + ∂jπ
V
i + π
T
ij
]
. (3.18)
En las componentes mixtas 0i, tenemos
δT i0 = ḡ
iλ[δTλ0 − hλσT̄ σ0] =
1
a2
[
δTi0 − hiσT̄ σ0
]
=
1
a2
[
p̄hi0 − (p̄+ ρ̄)(∂iδu+ δuVi )− [−hi0ρ̄]
]
=
1
a2
[
(p̄+ ρ̄)(hi0 − ∂iδu− δuVi )
]
δT i0 =
1
a2
[
(p̄+ ρ̄)(a∂iF − ∂iδu− δuVi )
]
, (3.19)
35
y
δT 0i = ḡ
0λ[δTλi − hλσT̄ σi] = −[δT0i − h0j T̄
j
i]
= −
[
p̄hi0 − (p̄+ ρ̄)(∂iδu+ δuVi )− h0ip̄
]
,
δT 0i = (p̄+ ρ̄)(∂iδu+ δu
V
i ), (3.20)
y en las componentes temporales
δT 00 = ḡ
0λ[δTλ0 − hλσT̄ σ0] = −[δT00 − h00T̄ 00]
= −[−ρ̄h00 + δρ+ h00ρ̄]
δT 00 = −δρ. (3.21)
Por último, calculamos la contracción δTµµ que también será necesaria para reescribir las ecuaciones
de Einstein
δTµµ = ḡ
µλ[δTλµ − hλσT̄ σµ]
= ḡ00[δT00 − h0σT̄ σ0] + ḡii[δTii − hiσT̄ σi]
= −[−ρ̄h00 + δρ+ ρ̄h00]
+
1
a2
[
p̄hii + a
2[δiiδp+ ∂i∂iπ
S + ∂iπ
V
i + ∂iπ
V
i + π
T
ii ]− hiip̄
]
,
sujeto a las condiciones 3.17 toma la forma
δTµµ = 3δp+∇2πS − δρ. (3.22)
Si los resultados obtenidos para δTµν y δT
µ
µ en términos de la descomposición escalar-tensorial-
vectorial (ecuaciones 3.10 -3.22) son llevados a las relaciones entre las perturbaciones determinadas
por las ecuaciones de Einstein y las ecuaciones de conservación 2.45, 2.53 y 2.54, se obtienen nuevas
relaciones (independientes) entre las cantidades escalares, vectoriales y tensoriales como lo veremos
a continuación.
3.2. Modos Escalares
Componentes espaciales de las ecuaciones de Einsten
Cuando se obtuvieron las componentes jk de las perturbaciones a las ecuaciones de campo, se
36
Caṕıtulo 3.2
encontró en la ecuación 2.46, que
−8πG
(
δTjk −
a2
2
δjkδT
σ
σ
)
=
[(
ȧ
a
)2
+
3ä
a
]
hjk +
(
ȧ
a
)2
δjkhii
− 1
2
∂j∂kh00 − (2ȧ2 + aä)δjkh00 −
1
2
aȧδjkḣ00
+
1
2a2
(∇2hjk − ∂i∂jhik − ∂i∂khij + ∂j∂khii)
− 1
2
ḧjk +
ȧ
2a
(ḣjk − δjkḣii) +
ȧ
a
δjk∂ihi0
+
1
2
(∂j ḣk0 + ∂kḣj0) +
ȧ
2a
(∂jhk0 + ∂khj0),
al reemplazar los valores obtenidos en la sección anterior en el término izquierdo
−8πG
(
(p̄hjk + a
2[δjkδp+ ∂j∂kπ
S + ∂jπ
V
k + ∂kπ
V
j + π
T
jk])
−a
2
2
δjk(3δp+∇2πS − δρ)
)
=
[(
ȧ
a
)2
+
3ä
a
]
hjk −
1
2
∂j∂kh00 − (2ȧ2 + aä)δjkh00 −
1
2
aȧδjkḣ00
+
1
2a2
(∇2hjk − ∂i∂jhik − ∂i∂khij + ∂j∂khii)−
1
2
ḧjk +
ȧ
2a
(ḣjk − δjkḣii)
+
ȧ2
a2
δjkhii +
ȧ
a
δjk∂ihi0 +
1
2
(∂j ḣk0 + ∂kḣj0) +
ȧ
2a
(∂jhk0 + ∂khj0),
ahora, al reemplazar las definiciones 3.1 a 3.3 para reemplazar las perturbaciones hµν en términos de
su descomposición SVT e igualando a cada lado de la ecuación anterior únicamente los coeficientes
de δjk (en la métrica, exclusivamente los términos con hjk)
−8πG
(
p̄a2A+ a2δp− a
2
2
(3δp+∇2πS − δρ)
)
=
[(
ȧ
a
)2
+
3ä
a
]
a2A
−(2ȧ2 + aä)h00 −
1
2
aȧḣ00 +
1
2a2
(∇2(a2A))− 1
2
∂2(a2A)
∂t2
+
ȧ
2a
(
∂(a2A)
∂t
− ḣii) +
ȧ2a2
hii +
ȧ
a
∂ihi0,
desarrollando las derivadas en el lado derecho de esta ecuación y realizando los productos indicados
− 8πG
(
p̄a2A+ a2δp− a
2
2
(3δp+∇2πS − δρ)
)
= ȧ2A+ 3aäA− (2ȧ2 + aä)E − 1
2
aȧĖ
+
1
2
∇2A− 1
2
[
2ȧ2A+ 2aäA+ 2aȧȦ+ 2aȧȦ+ a2Ä
]
+
ȧ
2a
[
(2aȧA+ a2Ȧ)− ∂(a
2(3A+∇2B))
∂t
]
+ ȧ2(3A+∇2B) + ȧ
a
(a∇2F ), (3.23)
37
agrupando términos semejantes
−8πG
(
p̄a2A− 1
2
a2δp− a
2
2
∇2πS − a
2
2
δρ)
)
= 2aäA− (2ȧ2 + aä)E − 1
2
aȧĖ
+
1
2
∇2A− 3
2
aȧȦ− 1
2
a2Ä− 3
2
a2Ȧ− a
2∇2Ḃ
2
+ ȧ∇2F,
reemplazando los valores de las cantidades sin perturbar p̄ y ρ̄
−8πG
( −1
8πG
(
2ä
a
+
ȧ2
a2
)a2A− 1
2
a2δp− a
2
2
∇2πS − a
2
2
δρ)
)
= 2aäA
−(2ȧ2 + aä)E − 1
2
aȧĖ
+
1
2
∇2A− 3
2
aȧȦ− 1
2
a2Ä− 3
2
a2Ȧ− a
2∇2Ḃ
2
+ ȧ∇2F,
obtenemos la primera ecuación diferencial para los modos escalares como
− 4πGa2(δρ− δp−∇2πS) = (2ȧ2 + aä)E + 1
2
aȧĖ − 3aȧȦ
− aȧ
2
∇2Ḃ + 1
2
∇2A+ ȧ∇2F − 1
2
a2Ä. (3.24)
Continuando con las perturbaciones a las ecuaciones de Einstein en sus componentes jk, la parte
que es proporcional a ∂j∂kS donde S es cualquier escalar, si reemplazamos los resultados de la
sección 3.1 de nuevo en la ecuación 2.46
−8πG(p̄a2∂j∂kB + a2∂j∂kπS) = −
1
2
∂j∂kh00
+
1
2a2
[
− ∂i∂j(a2Aδki)− ∂k∂i(a2Aδji) + ∂k∂j(a2Aδii)
]
− 1
2
∂2(a2∂j∂kB)
∂t2
+
ȧ
2a
(
∂(a2∂j∂kB)
∂t
) + a2
((
ȧ
a
)2
+ 3
ä
a
)
∂j∂kB
+
1
2
[
∂j
(
∂(a∂kF )
∂t
)
+ ∂k
(
∂(a∂jF )
∂t
)]
+
ȧ
2a
(∂j(a∂kF ) + ∂k(a∂jF )),
desarrollando las derivadas temporales, realizando las sumatorias indicadas y reemplazando el valor
de p̄ aśı como el de los elementos restantes de la descomposición SVT
−8πa2G∂j∂k
(
−B
8πG
(
2ä
a
+
ȧ2
a2
)
+ πS
)
=
1
2
∂j∂kE +
1
2a2
[∂k∂j(a
2A)]
−1
2
∂j∂k
[
2ȧ2B + 2aäB + 2aȧḂ + 2aȧḂ + a2B̈
]
+
ȧ
2a
∂j∂k(2aȧB + a
2Ḃ) + ∂j∂k
(
ȧ2B + (3äaB)
)
+∂j∂k(ȧF + aḞ ) + ∂j∂k(ȧF )
38
Caṕıtulo 3.2
multiplicando por 2 a ambos lados y asociando términos semejantes, encontramos que la segunda
ecuación diferencial para los modos escalares puede escribirse de manera sencilla como
∂j∂k
[
16πGa2πS + E − 3aȧB − a2B̈ + 4ȧF + 2aḞ +A
]
= 0. (3.25)
Con los dos resultados anteriores, se han igualados todas las cantidades escalares a cada lado de la
ecuación de Einstein en sus componentes jk. Analicemos ahora las perturbaciones escalares a las
ecuaciones de Einstein para las componentes j0.
Componentes mixtas de las ecuaciones de Einstein
Partiendo del resultado 2.47
−8πGδTj0 =
ȧ
a
∂jh00 +
1
2a2
(∇2hj0 − ∂j∂ihi0) +
( ȧ2
a2
+
2ä
a
)
hj0
+
1
2
∂
∂t
[ 1
a2
(∂jhkk − ∂khkj)
]
,
y tomando ahora las componentes proporcionales a ∂jS donde S es cualquier escalar en la descom-
posición SVT a cada lado de la ecuación anterior
−8πG(p̄a∂jF − (ρ̄+ p̄)∂jδu) =
ȧ
a
∂j(−E) +
( ȧ2
a2
+
2ä
a
)
a∂jF
+
1
2
∂
∂t
[ 1
a2
(∂j(3a
2A)− ∂k(a2Aδkj)
]
desarrollando los productos y derivadas indicados
−8πG(p̄a∂jF − (ρ̄+ p̄)∂jδu) = ∂j
(
− ȧ
a
E + Ȧ+
( ȧ2
a
+ 2ä
)
F
)
Ahora, reemplazando el valor de p̄ sólamente en el primer término de la ecuación anterior y multi-
plicando por a(t)
8πGa(p̄+ ρ̄)∂jδu = −ȧ∂jE + a∂jȦ, (3.26)
obteniendo asi la tercera de las ecuaciones para los modos escalares, siendo esta la única relación
entre cantidades escalares de las componentes j0 de las perturbaciones a las ecuaciones de Einstein.
Componentes temporales de las ecuaciones de campo
Para obtener las componentes 00 de las ecuaciones de campo, tenemos de 2.48 que
− 8πG
(
δT00 +
1
2
δT σσ
)
=
1
2a2
∇2h00 +
3ȧ
2a
ḣ00 −
1
a2
∂iḣi0+
+
1
2a2
[
ḧii − 2
ȧ
a
ḣii + 2
( ȧ2
a2
− ä
a
)
hii
]
+ 3
(
ä
a
+
ȧ2
a2
)
h00, (3.27)
39
si aislamos los términos escalares de la descomposición y reemplazamos la ecuación 3.22 en el
término derecho, se convierte en
−8πG
(
−ρ̄h00 + δρ+
1
2
(
− δρ+ 3δp+∇2πS)
)
=
−1
2a2
∇2E − 3ȧ
2a
Ė
− 1
a2
(
∂i
(
∂
∂t
(
∂iF
)
a
))
+
1
2a2
[ ∂2
∂t2
(a2(3A+∇2B))− 2 ȧ
a
∂
∂t
(a2(3A+∇2B))
+2
(
ȧ2
a2
− ä
a
)
(3A+∇2)a2
]
+ 3
( ȧ2
a2
− ä
a
)
E
Reemplazando el valor de ρ̄ y desarrollando las derivadas indicadas
−8πG
(
E
8πG
( ȧ2
a2
)
+ δρ+
1
2
(3δρ− δρ+∇2πS)
)
= − 1
2a2
∇2E − 3ȧ
2a
Ė
−3
( ȧ2
a2
+
ä
a
)
E − 1
a2
[
∂i(ȧ∂iF + a∂iḞ )
]
+
1
a2
[
(2ȧ2(3A+∇2B) + 2aä(3A+∇2B) + 2aȧ(3Ȧ+∇2Ḃ) + 2aȧ(3Ȧ
+∇2Ḃ) + a2(3Ä+∇2B̈))− 2ȧ
a
(
2aȧ(3A+∇2B) + a2(3Ȧ+∇2Ḃ)
)
+2(ȧ2 − äa)(3A+∇2B)
]
que puede escribirse después de reordenar sus términos, como el resultado
− 4πG(δρ+ 3δp+∇2πS) =
[
(3Ȧ+∇2Ḃ) ȧ
a
+
1
2
(3Ä+∇2B̈)
− 1
2a2
∇2E − 3
2
ȧ
a
Ė − 3 ä
a
E − ȧ
a2
∇2F − 1
a
∇2Ḟ
]
. (3.28)
Continuando con la descomposición SVT de δT , nos enfocamos ahora en las ecuaciones de conser-
vación del momento y la de enerǵıa Tµµ;j = 0 y T
µ
µ;0 = 0.
Conservación del momentum
Partiendo de la expresión para la conservación del momentum 2.53
∂0δT
0
j + ∂iδT
i
j − aȧδT
j
0 − (ρ̄+ p̄)(
1
2
∂jh00 −
ȧ
a
hj0) +
2ȧ
a
δT 0j = 0,
y puesto en esta ecuación, los términos que varán en j, son o vectores o derivadas parciales de
cantidades escalares, empezamos por agrupar todos los terminos de la forma ∂jS, donde S es
40
Caṕıtulo 3.3
cualquier escalar
∂0 ((ρ̄+ p̄)∂jδu) + ∂i
(
δijδp+ ∂i∂jπ
S
)
− aȧ
(
1
a2
(p̄+ ρ̄)(a∂jF − ∂jδu)
)
− (ρ̄+ p̄)(1
2
∂j(−E)−
ȧ
a
(a∂jF )) +
2ȧ
a
(ρ̄+ p̄)(∂jδu) = 0,
reordenando lo anterior
∂j
(
∂0[(ρ̄+ p̄)δu] + δp+∇2πS − (p̄+ ρ̄)ȧF + (ρ̄+ p̄)
ȧ
a
δu
+(ρ̄+ p̄)(
E
2
+ ȧF ) + 2
ȧ
a
(ρ̄+ p̄)δu
)
= 0,
la condición de la conservación del momento, puede asi, en terminos de la descomposición SVT,
escribirse como
∂j
(
∂0[(ρ̄+ p̄)δu] + 3
ȧ
a
δu(ρ̄+ p̄) +
1
2
E(ρ̄+ p̄) + δp+∇2πS
)
= 0. (3.29)
Conservación de la enerǵıa
Para ver las consecuencias de la conservación de la enerǵıa sobre las cantidades perturbadas, par-
timos de 2.54
∂0δT
0
0 + ∂iδT
i
0 + 3
ȧ
a
δT 00 −
ȧ
a
δT ii −
(p̄+ ρ̄)
2a2
(−2ȧ
a
hii + ḣii
)
= 0
y de nuevo, aislamos en esta, las cantidades que involucran escalares
∂0(−δρ) + ∂i
(
1
a2
(ρ̄+ p̄)(a∂iF − ∂iδu)
)
+ 3
ȧ
a
(−δρ)
− ȧ
a
(δiiδp+ ∂i∂iπ
S)− (ρ̄+ p̄)
2a2
[
−2 ȧ
a
(a2(Aδii + ∂i∂iB)
)
+
∂
∂t
(a2(3A+∇2B))
]
= 0,
realizando las derivadas indicadas
−∂0δρ+
1
a
(p̄+ ρ̄)∇2F − (p̄+ ρ̄)
a2
∇2δu− 3 ȧ
a
δρ− ȧ
a
(3δρ+∇2πS)− (p̄+ ρ̄)
2a2
[
− 2ȧa(3A+∇2B)
+2ȧa(3A+∇2B) + a2∂0(3A+∇2B)
]
= 0
De manera, que la condición de conservación de la enerǵıa implica, para los modos escalares la
ecuación
3
ȧ
a
(δρ+ δp) + δρ̇+
1
2
(p̄+ ρ̄)∂0(3A+∇2B) +∇2
((ρ̄+ p̄)
a2
δu+
ȧ
a
πS − 1
a
(p̄+ ρ̄)F
)
= 0 (3.30)
41
3.3. Modos Vectoriales
Las ecuaciones que se obtendrán en esta sección son aquellas, que de las ecuaciones de campo
y de conservación perturbadas, después de la descomposición SVT involucran a los vectores sin
divergencias Gi, Ci, δu
V
i y π
V
i .
En las ecuaciones de Einstein perturbadas para las componentes jk, las partes que involucran las
cantidades vectoriales son de la forma ∂kVj o ∂jVk donde V es una cantidad vectorial.
Partiendo del conjunto de ecuaciones 2.46, usando 3.16 y 3.1 -3.3
−8πG(p̄a2(∂kCj + ∂jCk) + a2(∂jπVk + ∂kπVj )) =
(
ȧ2
a2
+ 3
ä
a
)
(a2(∂kCj + ∂jCk))
+
1
2a2
[
∇2(a2(∂kCj + ∂jCk))
− ∂i(∂j(a2(∂kCi + ∂iCk)))
− a2∂i(∂k(∂iCj + ∂jCi))
]
− 1
2
∂2
∂t2
(a2(∂jCk + ∂kCj))
+
ȧ
2a
(
∂
∂t
(a2(∂jCk + ∂kCj)))
+
1
2
[
∂j(
∂
∂t
(aGk)) + ∂k(
∂
∂t
(aGj))
]
+
ȧ
2a
(∂j(aGk) + ∂k(aGj))
nótese que la ecuación anterior es invariante ante la sustitución j → k, k → j. Por ello, basta
con desarrollar las componentes de la forma ∂kVj , pues los otros términos, seguirán resultados
análogos (esto es una consecuencia de la considerada isotroṕıa). Realizando las respectivas derivadas
temporales
−8πGa2(p̄∂kCj + ∂kπVj ) = (ȧ2 + 3aä)∂kCj +
1
2
(
∇2∂kCj − ∂k∇2Cj
)
− 1
2
∂k
[
2ȧ2Cj + 2aäCj + 4aȧĊj + a
2C̈j
]
+
ȧ
2a
(
2aȧ∂kCj + a
2∂kĊj
)
+
1
2
(
a∂kĠj + ȧ∂kGj
)
+ȧ
2
∂kGj ,
reemplazando el valor de la cantidad p̄
−8πGa2
(
− 1
8πG
∂kCj
(2ä
a
+
ȧ2
a2
)
+ ∂kπ
V
j
)
= ȧ2∂kCj
−3
2
ȧa∂kĊj + 2aä∂kCj −
1
2
a2∂kC̈j +
a
2
∂kĠj + ȧ∂kGj
esto último, después de agrupar términos semejantes y multiplicar por 2 a ambos lados
∂k
(
2(2äa+ ȧ2)Cj − 16πGa2πVj
)
= ∂k
[
aĠj + 2ȧGj − a2C̈j − 3aȧĊj + 2(ȧ2 + 2aä)Cj
]
,
42
Caṕıtulo 3.3
después de cancelar los términos indénticos a cada lado, concluimos que la primera de las relaciones
vectoriales debido a la perturbación sobre las ecuaciones de campo es
∂k(16πGa
2πVj + aĠj + 2ȧGj − a2C̈j − 3aȧĊj) = 0. (3.31)
Continuemos ahora con la perturbación en las componentes 0j de las ecuaciones de Einstein que
son proporcionales a vectores sin divergencia.
Después de realizar los reemplazos en 2.47
−8πG(p̄(aGj)− (p̄+ ρ̄)δuVj ) =
1
2a2
(∇2(aGj)− ∂j(∂i(aGi))
+
( ȧ2
a2
+
2ä
a
)
(aGi) +
1
2
∂0(−
1
a2
(∂k(∂k(Cja
2)− ∂j(a2Ck)))
=
1
2a
∇2Gj +
( ȧ2
a
+ 2ä
)
Gj −
1
2
∇2Ċj ,
multiplicando a ambos lados por a y reemplazando el valor de p̄ en el coeficiente de Gj en el término
izquerdo de la ecuación anterior
−8πG
( −1
8πG
(
ȧ2 + 2äa
)
Gj − (p̄+ ρ̄)δuVj ) =
1
2
∇2Gj −
a
2
∇2Ċj + (ȧ2 + 2äa)Gj ,
que se simplifica escribiendo
8πGa
(
(p̄+ ρ̄)δuVj
)
=
1
2
∇2Gj −
a
2
∇2Ċj . (3.32)
Analicemos ahora la ecuación de conservación del momentum Tµj;µ = 0 (Ec.2.53), la parte de
esta que toma la forma de un vector sin divergencia es con la descomposición SVT
∂0
(
(ρ̄+ p̄)δuVj
)
+ ∂i(∂iπ
V
j + ∂jπ
V
i ) + 2
ȧ
a
(p̄+ ρ̄)δuVj
−aȧ( 1
a2
(p̄+ ρ̄)(aGj − δuVj ))− (p̄+ ρ̄)
(−ȧ
a
(aGj)
)
= 0,
concluyendo que
∂0((p̄+ ρ̄)δu
V
j ) +∇2πVj + 3
ȧ
a
(p̄+ ρ̄)δuVj = 0. (3.33)
Nótese como la ecuación anterior toma la forma de un vector sin divergencia.
43
*NOTA
En Particular para un fluido perfecto πVj = 0 y en esta última ecuación tenemos
∂0((p̄+ ρ̄)δu
V
j ) + 3
ȧ
a
(p̄+ ρ̄)δuVj = 0
definiendo χ = (p̄+ ρ̄)δuVj
∂χ
∂t
= −3ȧ
a
χ,
de donde ln(χ) = −3ln(a) + Cte, significando esto que la cantidad χ decae como 1/a3 y por lo
tanto, de las últimas dos ecuaciones concluimos que la cantidad Gj−aĊj decae como 1/a2 también,
esta cantidad, como se mostrará, es la única cantidad f́ısica relevante para las perturbaciones de la
métrica en los componentes vectoriales, y puesto que estos decaen, los modos vectoriales no juegan
un papel tan importante en cosmoloǵıa como lo hacen los otros modos.
3.4. Modos Tensoriales (Radiantes)
La única de las ecuaciones de campo que involucra las cantidades tensoriales Djk y π
T
jk es la
perturbación en las componentes jk (Ec.2.46), esta queda luego de los reemplazos de la descompo-
sición
−8πG(p̄Djka2 + a2πTjk) =
1
2a2
[
∇2(a2Djk)− ∂i∂j(a2Dik)− ∂i∂k(a2Dij) + ∂j∂k(Diia2)
]
− 1
2
∂2
∂t2
(a2Djk) +
ȧ
2a
(
∂
∂t
(a2Djk)) +
( ȧ2
a2
+ 3
ä
a
)
a2Djk,
reemplazando el valor de p̄ y eliminando los términos que por definición son cero
(2ä+ ȧ2)Djk − 8πGa2πTjk =
1
2
∇2Djk +
ȧ
2a
(2aȧDjk + a
2Ḋjk)
−1
2
(
2ȧ2Djk + 2aäDjk + 4aȧḊjk + a
2D̈jk
)
+ (ȧ2 + 3äa)Djk,
terminamos con una ecuación para los modos tensoriales
−16πGa2πTjk = ∇2Djk − a2D̈jk − 3aȧḊjk, (3.34)
que es la ecuación de onda para una onda gravitacional.
44
Caṕıtulo 4
Análisis de Fourier
4.1. Modos escalares
Como las perturbaciones presentadas hasta ahora son infinitesimales y lineales, las ecuaciones
obtenidas permiten encontrar ecuaciones análogas para las componentes de Fourier que no se en-
cuentran acopladas para números de onda distintos, esto puede verse de las ecuaciones 3.24 a 3.34
notando que al escribir cada una de las funciones escalares, vectoriales y tensoriales definidas para
las perturbaciones, en terminos de su transformada de Fourier es posible organizar todo dentro del
factor integrante
∫
eix·qd3q y aśı obtener ecuaciones dependientes únicamente del tiempo y del valor
del número de onda. Para los modos escalares, si S(x,t) es una de las funciones escalares definidas,
entonces esta puede escribirse en términos de su transformada de fourier como
S(x, t) =
∫ ∞
−∞
Ŝq(q, t)e
ix·qd3q, (4.1)
donde Ŝq(q, t) es la transformada de Fourier de la función S(x, t) para el vector de onda q. Reem-
plazando esto para cada función escalar, en la parte proporcional a δjk en las ecuaciones de Einstein
(ecuación 3.24)
− 4πGa2
[∫
δρ̂(q, t)eiq·xd3q −
∫
δp̂(q, t)eiq·xd3q − ∂i∂i
∫
π̂S(q, t)eiq·xd3q
]
=
1
2
aȧ
d
dt
(∫
Ê(q, t)eiq·xd3q
)
+ (2ȧ2 + aä)
∫
Ê(q, t)eiq·xd3q
+
1
2
∂i∂i
∫
Â(q, t)eiq·xd3q − 1
2
a2
d2
dt2
(∫
Â(q, t)eiq·xd3q
)
− 3aȧ d
dt
(∫
Â(q, t)eiq·xd3q
)
− 1
2
aȧ∂i∂i
d
dt
(∫
B̂(q, t)eiq·xd3q
)
+ ȧ∂i∂i
(∫
f̂(q, t)eiq·xd3q
)
,
45
realizando las derivadas indicadas dentro del integrando, agrupando todos los términos e igualando
los integrandos a ambos lados de la ecuación anterior
− 4πGa2
[
δρ̂− δp̂+ qiqiπ̂S
]
=[
1
2
aȧ
˙̂
E + (2ȧ2 + aä)Ê +
i2
2
qiqiÂ−
1
2
a2
¨̂
A− 3aȧ ˙̂A− i
2
2
aȧqiqi
˙̂
B + i2ȧqiqiF̂
]
,
puesto que qiqi = |q|2 = q2, esta expresión se escribe simplemente como
− 4πGa2
(
δρ̂− δp̂− q2π̂S
)
=
1
2
aȧ
˙̂
E +
(
2ȧ2 + aä
)
Ê − 1
2
q2Â− 1
2
a2Ä
− 3aȧ ˙̂A+ 1
2
aȧq2
˙̂
B − ȧq2F̂ (4.2)
La segunda ecuación entre escalares se deriva de las perturbaciones a las ecuaciones de Einstein a
las componentes jk proporcionales a ∂k∂jS (ecuación 3.25)
∂j∂k
[∫
d3q
[
eiq·x
[
16πGa2π̂S + Ê − 3aȧB̂ − a2 ¨̂B + 4ȧF̂ + 2a ˙̂F + Â
]]]
= 0,
aśı, salvo la situación con números de onda nulos q=0 (qj = 0 y qj = 0)), la ecuación 3.25 queda[
16πGa2π̂S + Ê − 3aȧB̂ − a2 ¨̂B + 4ȧF̂ + 2a ˙̂F + Â
]
= 0. (4.3)
Similarmente la ecuación 3.26 queda, realizando el mismo procedimiento, salvo números de onda
nulos
8πGa (ρ̄+ p̄) δû = (−ȧÊ + ˙̂A), (4.4)
la ecuación 3.28
− 4πG
(
δρ̂+ 3δp̂− q2π̂S
)
=
(
3
˙̂
A− q2 ˙̂B
) ȧ
a
+
1
2
(
3
¨̂
A− q2 ¨̂B
)
− 1
2a2
q2Ê − 3
2
ȧ
a
˙̂
E − 3 ä
a
Ê +
ȧ
a2
q2F̂ +
1
2
q2
˙̂
F (4.5)
la ecuación de conservación del momentum 3.29, equivalentemente, salvo número de onda nulos
queda
∂0 ((ρ̄+ p̄) δû) + (ρ̄+ p̄)
(
3
ȧ
a
δû+
1
2
Ê
)
+ δp̂− q2π̂S = 0. (4.6)
La ecuación de conservación de la enerǵıa 3.30
3
ȧ
a
(δρ̂+ δp̂) + δ ˙̂ρ+
1
2
(δρ̂+ δp̂) ∂0
(
3Â− q2B̂
)
− q2
(
1
a2
δû+
ȧ
a
π̂S − 1
a
(δρ̂+ δp̂) F̂
)
= 0. (4.7)
Nótese que las 6 ecuaciones recién obtenidas determinan 6 ecuaciones diferenciales ordinarias acopla-
das, con el tiempo como única variable para cada q, además cada una de ellas depende únicamente
de q2 = |q|2, por lo que las soluciones deberán depender únicamente de la magnitud del vector de
46
Caṕıtulo 4.1
onda q y no de su dirección. La solución general a este sistema de ecuaciones ( un conjunto de
soluciones simultáneas para Âq(t), B̂q(t), etc ) puede ser escrito como la superposición de los mo-
dos (soluciones) independientes para cada q, junto con un conjunto de condiciones iniciales αn(q)
comunes a todas las funciones escalares para cada modo en forma de factor de normalización, con
esto las cantidades escalares originales se obtienen integrando sobre todos los valores de q
S(x, t) =
∑
n
∫
d3q αn(q)Snq(t)e
iq·x, (4.8)
en donde la suma discreta se efectúa sobre las soluciones independientes y la función Snq(t) = Ŝ(q, t)
es la cantidad escalar solución independiente n para el número de onda q. El conjunto de soluciones
{Aqn, Bnq, Enq...} son funciones ordinarias fijas, mientras que las cantidades escalares S(x, t) deben
ser variables estócasticas, este carácter es debido a los factores αn(q) asociados a las condiciones
iniciales. Bajo el supuesto de que estas variables están gobernadas por distribuciones gaussianas,
los promedios de las cantidades escalares pueden ser expresados en términos de promedios bilineales
de la forma
< A(x, t)A(y, t) >,< A(x, t)B(y, t) > etc.
Para estudiar su comportamiento estocástico, consideremos el promedio de cualquierproducto
de funciones escalares X(x,t) y Y(x,t) usando sus expresiones en términos de la ecuación 4.8,y
tomando, por conveniencia, para Y (x, t) el complejo conjugado (recuérdese que estas soluciones
escalares son soluciones reales, por lo tanto S = S∗ para cualquier escalar S). Aśı
< X(x, t)Y (y, t) >
=<
∑
n
∫
αn(q)Xnq(t)e
iq·xd3q
∑
m
∫
α∗m(q
′)Y ∗mq(t)e
−iq′·xd3q′ >
=
∑
n,m
∫
d3q
∫
d3q′Xnq(t)Y
∗
mq′(t) < αn(q)α
∗
m(q
′) > eiq·x−q
′y, (4.9)
pues únicamente las cantidades αn son de carácter estocástico. Ahora, aún cuando no se asume
que las condiciones iniciales αq sean traslacionalmente invariantes, si asumimos en este punto que
estás están (deben estar) gobernadas por una función de distribución traslacionalmente invariante,
entonces < X(x, t), Y (x, t) > debe ser función de la cantidad traslacionalmente invariante x-y.
De acuerdo con la ecuación 4.9, para que esto sea aśı debe cumplirse en el factor exponencial la
condición q = q′ y esto a su vez sólo sucede si la cantidad < αnqα
∗
nq > es proporcional a δ
3(q−q′).
Por ello escribimos
< αn(q)α
∗
m(q
′) >= Pnm(q)δ
3(q− q′), (4.10)
47
En donde las funciones Pmn, denominadas funciones espectrales, dependen sólo de |q|, pues también
esperamos que la distribución sea rotacionalmente invariante. Aśı el producto es
< X(x,t)Y (y, t) >=∑
m
∑
n
∫
d3q
∫
d3q′
[
Xnq(t)Y
∗
mq′(t)Pmn(q)δ
3(q− q′)ei(q·x−q′·y)
]
< X(x, t)Y (y, t) >=
∑
m,n
∫
d3q
[
Xnq(t)Y
∗
mq(t)Pmn(q)e
i(q·(x−y))
]
. (4.11)
En general, para una elección arbitraria de soluciones independientes nada indica que la función
espectral Pnm sea también diagonal, aśı que se tendrá interferencia entre los diferentes modos esca-
lares. Siendo esto indeseable existe la posibilidad de escoger las soluciones independientes de manera
que Pmn sea también diagonal y de esta manera los diferentes modos se encuentren desacoplados.
Para lograr la diagonalización nótese que las funciones Pmm son hermı́ticas, pues de acuerdo a la
ecuación 4.10 tenemos que
< αn(q)α
∗
m(q
′) >∗=< α∗m(q
′)αn(q) >= Pnm(q)δ
3(q− q′) = P ∗mn(q)δ3(q− q′)
de donde puesto que el delta de dirac es una distribución par, obtenemos la conclusión sobre su
hermiticidad
Pnm = P
∗
mn. (4.12)
Además, dado un conjunto {εn} de números o funciones complejas de q, que no sean todas cero se
tendrá ∑
n,m
ε∗Pnmεn > 0, (4.13)
es decir, es definida positiva. La conclusión anterior es equivalente en los términos del algebra lineal
al hecho de que la ecuación 4.11 defina un producto interno en Cn.
Estas condiciones son suficientes para utilizar el teorema de descomposición espectral, diagonali-
zando la matriz Pmn y escogiendo aśı, las soluciones independientes de manera que esta sea igual
a δmn. De acuerdo al teorema de descomposición, la matriz puede ser escrita como
Pnm(q) =
∑
r
Znr(q)Z
∗
mr(q), (4.14)
para alguna matriz cuadrada Znr(q) de dimensión nxn.
Con esto en mente, si se redefinen las soluciones independientes Snq(t), para cada función escalar
S de acuerdo a
S̃rq(t) ≡
∑
n
Znr(q)Snq(t)
48
Caṕıtulo 4.1
con una correspondiente renormalización de los factores αn(q)
αn(q) ≡
∑
r
Znr(q)α̃r(q),
escogidos de forma que en términos de estas cantidades
Z(x, t) ≡
∑
n
∫
d3qαn(q)Snq(t)e
iq·x
=
∑
n
∫
d3q
(∑
r
Zrn(q)α̃r(q)
)
Snqe
iq·x
=
∑
r
∫
d3q
∑
n
Znr(q)Snqα̃r(q)e
iq·x
=
∑
r
∫
d3qS̃rqα̃r(q)e
iq·x,
con ellos los promedios bilineales quedan
< αn(q)α
∗
m(q
′) > = Pnmδ
3(q− q′)
<
∑
r
Znr(q)α̃r(q)
∑
s
Z∗ms(q)α̃
∗
s(q
′) > =
∑
r
Znr(q)Z
∗
mr(q)δ
3(q− q′)
∑
r
∑
s
ZnrZ
∗
ms < α̃r(q)α̃
∗
s(q
′) > =
∑
r
Znr(q)Z
∗
mr(q)δ
3(q− q′),
de donde debe seguirse que
< α̃r(q)α̃
∗
s(q
′) >= δrsδ
3(q− q′) (4.15)
que era lo que queŕıa demostrarse.
De esta forma, al escoger las soluciones Snq(t), los diferentes modos se encuentran desacoplados y
aśı cada promedio bilineal es la suma sobre los modos (soluciones) individuales. Por ejemplo
< A(x, t)A(y, t) > =< A(x, t)A∗(y, t) >
=
∑
r
∑
s
∫
d3q′Ãrq(t)Ã
∗
sq(t)δrsδ
3(q− q′)ei(q·x−q′y)
=
∑
r
∫
d3q|Ãrq(t)|2eiq·(x−y).
Con la diagonalización de las denominadas funciones espectrales Pmn, el problema cosmológico de
calcularlas se intercambia por el de encontrar las combinaciones lineales correctas de soluciones a
las ecuaciones de Einstein, para que la ecuación (4.15), se cumple.
Si se desean calcular los promedios < αnαm > en lugar de los < αnα
∗
m >, sólo basta mostrar que
los factores de normalización αn satisfacen la condición de realidad. Demostremosla.
Las ecuaciones diferenciales para las cantidades escalares {Ana, Bnq...}, son todas reales, por lo
49
tanto el conjunto de conjugados {A∗nqB∗nq} también debe satisfacerlas (sólo la parte real debe ser
solución), asi deben poderse escribir como combinaciones lineales, en términos de cada solución n
A∗nq =
∑
l
cnl(q)Anq(t), B
∗
nq =
∑
l
cnl(q)Bnq(t), etc.
Las funciones escalares S(x, t) son reales, asi que tomando el complejo conjugado de la ecuación (
4.8)
S(x, t) = S∗(x, t)
=
(∑
n
∫
d3qαn(q)Snq(t)e
iq·x
)∗
=
∑
n
∫
d3qS∗nq(t)α
∗
n(q)e
−iq·x
=
∑
n
∫
d3q
(∑
l
cnl(q)Slq(t)
)
α∗n(q)e
−iq·x
Con un cámbio de variable de integración q→ −q en el lado izquierdo de la ecuación anterior.
−
∑
n
∫ −∞
∞
d3qαn(−q)Snq(t)e−iq·x =
∑
n
∑
l
∫ ∞
−∞
d3q cnl(q)Slq(t)α
∗
n(q)e
−iq·x
∑
n
∫ ∞
−∞
d3qαn(−q)Snq(t)e−iq·x =
ahora, puesto que cada Snq(t) es independiente, deben ser iguales sus coeficientes en la ecuación
lineal y puesto que m y n corren sobre los mismos valores, cuando en el lado izquierdo tenemos un
valor fijo de n=m, del lado derecho, necesariamente tendremos l=m con la suma dándose sobre n
obtenemos la condición de realidad
αm(−q) =
∑
n
cnmα
∗
n(q), (4.16)
en particular, se sigue de ella
< αn(q)αm(q
′) > =< αn(q
∑
k
ckmα
∗
k(−q′) >
=
∑
k
ckm < αn(q)α
∗
k(−q) >
=
∑
k
ckmPnkδ
3(q− (−q′)),
de donde se obtiene lo que se deseaba demostrar, una ecuación para los productos < αnαm >
< αn(q)αm(q
′) >=
∑
k
ckmPnkδ
3(q + q′) (4.17)
50
Caṕıtulo 4.2
4.2. Modos Tensoriales
En cuanto a los modos tensoriales, puede mostrarse que [26, caṕıtulo 6] estos están completa-
mente caracterizados por los elementos Dij , pues los π
T
ij(x, t) son en realidad funcionales lineales
de las cantidades Dij .
Empezamos, de nuevo, escribiendo las cantidades relevantes en términos de su transformada de
Fourier.
Dij =
∫
d3q Dije
iq·x (4.18)
Recordando que Dij debe satisfacer las condiciones ∂iDij = 0,Dij = Dji y Dii = 0, se obtienen las
respectivas condiciones sobre la transformada de Fourier∑
i
qiDij = 0 (4.19)
Dij = Dji (4.20)∑
i
Dii = 0 (4.21)
Realizando un conteo de grados de libertad, tenemos( para un q dado) que las expresiones de las
ecuaciones (4.19-4.21) constituyen un conjunto de 7 ecuaciones, para los 9 elementos de Dij , con un
total de 9-7=2 grados de libertad, para los Dij(q, t).Por ejemplo, para un vector q en la dirección
del eje z: q = (0, 0, q3), las condiciones obtenidas∑
i
qiDij = q3D3j = 0,
luego
D3j = 0, (4.22)
la ecuación (4.21), junto con el resultado anterior para j=3, implican
Dii = D11 + D22 + D33 = 0 (4.23)
= D11 + D22 = 0, (4.24)
por lo que
D11 = −D22, (4.25)
de la ecuación (4.20), junto con los resultados anteriores tenemos la relación
D12 = D21 D3j = Dj3 = 0
Es evidente de lo anterior, que todos los Dij pueden expresarse en términos de las 2 componentes
independientes D11 y D12, estos elementos son a veces llamados en la literatura como h
+ y hx
51
respectivamente. Para el análisis posterior resulta útil clasificar las componentes Dij de acuerdo
a cómo transforman bajo una rotación alrededor del la dirección del vector q considerado, que
en nuestra aproximación es el eje z. En nuestro caso, cuando la rotación es alrededor del eje z,
obtenemos la siguiente matriz de rotación
R ji =

cosθ −senθ 0
senθ cosθ 0
0 0 1

Nótese además que debe cumplirse R mi R
n
j Dmn = Dij , lo anterior se puede