Resposta completa em circuitos RLC com estímulo de corrente direta

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Respuesta completa en circuitos RLC con estímulo de corriente directa 
 
 
Objetivos 
Analizar la respuesta completa en circuitos RLC con estímulo de corriente directa, utilizando la 
metodología de este material. 
 
Sumario 
Respuesta completa del circuito RLC. 
 
Bibliografía básica: Texto. “Análisis de Circuitos en Ingeniería” 
William H. Hayt Jr.; Jack E. Kemmerly; Steven M. Durbin. 2002, Sexta edición 
Capítulo 9. Epígrafes 9.1 al 9.8. 
 Adicional: Materiales elaborados por los profesores del CIPEL, Instituto Superior Politécnico 
“José Antonio Echeverría, CUJAE, Ing. Américo Montó Olivera, Dra. Ing. Esperanza Ayllón 
Fandiño y digitalizados por el Lic. Raúl Lorenzo Llanes. 
 
Introducción 
 
Se han analizado circuitos de segundo orden, RLC serie y paralelo, tanto la respuesta libre 
como la respuesta completa, y se vio que la forma del transitorio, depende de los valores 
relativos de los parámetros R, L y C. 
 
Para poder resolver problemas sobre procesos transitorios es necesario dominar todos los 
conocimientos y las habilidades sobre circuitos resistivos y elementos almacenadores 
adquiridos incluyendo los específicos de este último tema. 
 
a) Analice la siguiente situación: 
 
El interruptor estuvo largo tiempo cerrado en la posición 1 y en t =0 
pasa a 2. Un estudiante obtiene la siguiente respuesta para la corriente 
en el inductor: 
 Ateti t 110sin2)( += − 
Otro alumno afirma que la solución está mal. ¿Qué opina ud? 
 
 
b) Analice otra situación 
 
 
En t = 0 el interruptor cambia de posición. Un estudiante obtiene la 
siguiente respuesta para la tensión en el capacitor para t≥0: 
 )(50)3020sin(20)( 02 Vtetv tC ++−= 
Otro alumno afirma que la solución es absurda ¿Qué opina ud? 
 
 
 
 
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Ejercicio 1 
 
After being open for an hour, the switch closes at t =0. 
a) Find VC(t) for t ≥ 0. 
b) Find iL (t ) for t ≥ 0. 
 
 
Solución: 
 
1. Determinación del tipo de respuesta transitoria en el circuito para t > 0, desactivando las 
fuentes independientes y observando la forma de conexión de los elementos RLC, serie o 
paralelo, y comparando α y ω0. 
 
En el circuito equivalente para t>0 se observa que los elementos están en paralelo y la 
respuesta es libre, ya que en este 
circuito no hay estímulos actuando 
durante el proceso transitorio. 
 
En el circuito equivalente para t > 0 se 
obtienen los parámetros ω0 y α: 
 
α= 5 s-1 ω0= 4 rad/s ⇒ α > ω0 proceso 
transitorio sobreamortiguado. 
 
- Calculando las frecuencias complejas: S1 = - 2 s-1 y S2 = - 8 s-1 (raíces reales negativas y 
desiguales) 
 
- Forma matemática 
 VC (t) = A1 e-2t + A2 e-8t V (1) iL (t)= A3 e-2t + A4 e-8t A (2) 
 
2. Estado de los elementos almacenadores en el instante inicial. Estos valores hacen falta 
para hallar las constantes así como el valor de la primera derivada de cada una de ellas. 
 
Como no se conocen las condiciones iniciales en los elementos almacenadores de energía L 
y C, en el circuito equivalente en t = 0 –, se calculan estas variables que son las únicas que 
cumplen continuidad. 
 
En el circuito equivalente para t = 0- se obtiene 
VC (0-) = VC (0+) = 60V, iL(0 -) = iL(0 +) = 6 A 
 
3. Cálculo del valor de la primera derivada de la variable deseada evaluada en t = 0+. 
Partiendo de las expresiones de iC y vL, se derivan y evalúan en t = 0+, expresión que muestra 
que lo primero que hay que hacer es hallar los valores de ic y vL evaluadas en t = 0+. 
 
En el circuito equivalente para t = 0+ se obtienen 
VL (0+)= - 60V, iC( 0 +) = 0 A 
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Puntualice en las referencias del circuito para t > 0 que son las del circuito en t = 0+. Es por 
eso el valor negativo de la tensión en el inductor. Recuerde que las representaciones 
equivalentes de los elementos son válidas solamente para este instante, lo cual se hace 
partiendo de las variables que cumplen continuidad. 
 
sV
C
i
dt
dv CC /0
)0(
0
==
+
+
 
sA
L
V
dt
di LL /6,9
25,6
60)0(
0
==
−
==
+
+
 
 
4. Evaluación de las constantes, a partir de las condiciones iniciales. 
 
VC (t)= A1 e-2t + A2 e-8t V (1) iL (t)= A3 e-2t + A4 e-8t A (2) 
 
A1 + A2 = 60 -2A1 -8 A2= 0 y resolviendo: A1 = 80 A2 = -20 
A3 + A4 = 6 -2A3 -8 A4= -9,6 y resolviendo: A3 = 6,4 A4 = - 0,4 
 
Sustituyendo: 
 
VC (t)= 80 e-2t - 20 e-8t V iL (t)= 6,4 e-2t -0,4 e-8t A 
 
Represente gráficamente los resultados. Se puede representar gráficamente cada respuesta 
superponiendo las exponenciales .Es un buen ejercicio para resolver empleando PSPICE o 
MATLAB. 
Observe que en t = ∞ las respuestas se anulan o desaparecen, lo cual ocurre debido a que 
en el circuito no quedan fuentes conectadas, y la energía almacenada inicialmente en ambos 
elementos almacenadores pues ambos tienen condiciones iniciales, se disipa en el resistor, 
como se había mencionado que ocurre en este tipo de respuesta transitoria. 
 
Ejercicio 2 
 
After being open for a long time, the switch in the 
circuit closes at t =0. Find VC(t) for t ≥ 0 
 
Solución: 
1. Determinación del tipo de respuesta transitoria en el 
circuito para t > 0, desactivando las fuentes independientes 
y observando la forma de conexión de los elementos RLC, 
serie o paralelo, y comparando α y ω0. 
Compruebe que se trata de una respuesta libre en un circuito RLC paralelo. 
 
En el circuito equivalente para t > 0 se obtienen los parámetros ω0 y α: 
α = 2 s-1 ω0=10,2 s-1 
Por tanto, α < ω0 ⇒ inframortiguado, subamortiaguado u oscilatorio (raíces complejas 
conjugadas), donde ωd = 10 rad/s 
 
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- Forma matemática 
)10sin()(
/10)sin()(
2
22
θ
αωωθωα
+= 
=−= += 
−
−
tAetV
sradtAetV
t
C
dd
t
C (1) 
 
2. Estado de los elementos almacenadores en el instante inicial. Estos valores hacen falta 
para hallar las constantes así como el valor de la primera derivada de cada una de ellas. 
 
Como no se conocen las condiciones iniciales en los elementos almacenadores de energía L 
y C, en el circuito equivalente en t = 0 –, se calculan estas variables que son las únicas que 
cumplen continuidad. 
 En el circuito equivalente para t = 0- se obtienen VC (0 -) = - 130 V, iL (0 -) = 20 A 
 
3. Cálculo del valor de la primera derivada de la variable 
deseada evaluada en t = 0+. Partiendo de las expresiones 
de iC y vL, se derivan y evalúan en t = 0+, expresión que 
muestra que lo primero que hay que hacer es hallar los 
valores de ic y vL evaluadas en t = 0+. 
 
Observe que el sentido de iC(0+) se corresponde con la 
polaridad de la tensión en el capacitor en el circuito para 
t > 0, que es la utilizada en t = 0+. 
 
En el circuito equivalente para t = 0+. 
Como los elementos están en paralelo, se calcula la 
corriente por el resistor iR(0+) =130/6,5 = 20 A, y por LKC 
se calcula iC(0+)= 0. 
sV
C
i
dt
dv CC /0
)0(
0
==
+
 
4. Evaluación de las constantes, a partir de las condiciones iniciales. 
 
En (1) sustituyendo VC (0+) = VC (0-) = VC(0) se obtiene la ecuación 
-130 = A sen θ y despejando A = -130/ sen θ (2) 
 
Derivando (1) y evaluando en t = 0+ se tiene la ecuación: 
 0 = - (2) A sinθ + (10) A cosθ de la cual se llega a que tanθ = 5 (3) 
 
Calculando la tangente inversa de este valor, se encuentra que hay dos valores de ángulos 
que satisfacen esa condición, 78.69o y -101, 31o. 
 
Sustituyendo estos valores de θ en (2), se encuentra que también hay 2 valores de A, uno 
negativo para 78.69o y otro positivo para -101, 31o. Ambos juegos de valores satisfacen las 
ecuaciones (2) y (3). Se puede escoger cualquiera. Se tomará arbitrariamente el que 
proporciona A > 0. 
A = 132,57 ≅ 133 V θ = - 101,310 ≅ - 1010 
Y finalmente la tensión en el capacitor será 
VC (t)= 133 e.-2t sin (10t -1010) V para t ≥ 0 
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Represente gráficamente el resultado. 
 
Resumen: Observe que los pasos seguidos son los mismos en cualquier caso, aunque en el 
subamortiguadocuesta más trabajo, en general, hallar las constantes arbitrarias. 
 
 
Ejeecicio 3 
 
El circuito está en estado estable y en t = 0 el interruptor 
pasa de la posición 1 a la 2. Calcule y represente en un 
gráfico VC (t) e iL (t ) para t ≥ 0. 
 
 
Nota: De acuerdo al sentido de referencia de la corriente iL le corresponde la polaridad de la 
tensión en el capacitor señalada como elemento pasivo pero, no aparece la tensión en el 
inductor. Al situarla encontrará que las tensiones entre inductor y capacitor son opuestas, en 
referencia. 
 
Solución: 
1. Determinación del tipo de respuesta 
transitoria en el circuito para t > 0, desactivando 
las fuentes independientes y observando la 
forma de conexión de los elementos RLC, serie 
o paralelo, y comparando α y ω0. 
 
 
El circuito equivalente para t > 0 tiene 2 formas 
de verlo: 
1) Si se toma como serie RS = 0: α = RS /2L = 0 
 
2) Si toma como paralelo Rp = ∞: α = 1/(2RP C) = 0 
 
Es el caso extremo del circuito subamortiguado, α < ω0, donde α = 0. Está tan subamortiguado, 
que la respuesta no decrece. El circuito NO PRESENTA AMORTIGUAMIENTO, no hay 
pérdidas ya que α, que es el coeficiente de amortiguamiento como se definió, no existe, y en 
este circuito ideal la energía oscila entre el inductor y el capacitor. Este circuito es 
denominado circuito tanque, y se usa mucho en aplicaciones electrónicas. 
ω0 = 1 (LC)1/2 = 2 rad/s ⇒ ω0 > α = 0 ωd = ω0 
 
- Forma matemática 
 vC (t) = A1 cos (ω0 t + θ) (1) 
 iL (t) = A2 cos (ω0 t + Φ) (2) 
 
2. Estado de los elementos almacenadores en el instante inicial. Estos valores hacen falta 
para hallar las constantes así como el valor de la primera derivada de cada una de ellas. 
 
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Como no se conocen las condiciones iniciales en los elementos almacenadores de energía L 
y C, en el circuito equivalente en t = 0 –, se calculan estas variables que son las únicas que 
cumplen continuidad. 
 
En el circuito equivalente para t = 0- se obtienen VC (0-) = 10 V, iL (0 -) = 0 A 
 
El resto de los pasos es similar a los casos anteriores, o sea, el proceso para calcular las 
constantes arbitrarias A1, A2, θ y Φ. 
 
3. Cálculo del valor de la primera derivada de la variable deseada evaluada en t = 0+. 
Partiendo de las expresiones de iC y vL, se derivan y evalúan en t = 0+, expresión que muestra 
que lo primero que hay que hacer es hallar los valores de ic y vL evaluadas en t = 0+. 
 
En el circuito equivalente para t = 0+ se obtienen VL (0+)= - 10V, iC( 0 +) = 0 A 
 
SA
L
v
dt
diSV
C
i
dt
dv LLCC /10
1
10)0(/0
4/1
0)0(
00
−=
−
=====
++
++
 
 
4. Evaluación de las constantes, a partir de las condiciones iniciales. 
VC (0-) = VC(0+) = 10 iL ( 0-) = iL (0+) =0 
 
Sustituyendo en (1) VC (0+) = A1 cos θ = 10 (3) 
 
Derivando (1) y sustituyendo las condiciones derivadas: 
- A1 ω0 sin θ = 0, se tiene θ = 00 y con ese valor se obtiene en (3) que A1 = 10 
 
Con igual procedimiento 
 iL (0+) = A2 cos Φ =0, - A2 ω0 sin Φ = -10, Φ = 900 y A2 = -10 /- 2 = 5 
 
Obteniendo finalmente 
VC (t) = 10 cos (2 t) V para t ≥ 0 
iL(t) = 5 cos (2 t + 900) = - 5 sen (2t) A para t ≥ 0 
 
El período (T) de las funciones es π. Represente gráficamente e interprete físicamente el 
fenómeno. 
 
Sugerencia: Calcule la energía en el capacitor en t = 0, y en el inductor en T/4 y 3T/4. 
Compruebe que Wc(t) + WL(t) = Wc(0) Físicamente, ¿por qué? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejercicio 4 
 
Calcular iL (t ) y vC(t) para t ≥ 0. 
Las fuentes están representadas empleando la función 
paso escalón unitario. 
 
Solución: 
1. Determinación del tipo de respuesta transitoria, desactivando las fuentes independientes y 
observando la forma de conexión de los elementos R, L y C para t > 0. 
 
En t >0 con la fuente de corriente desactivada, el circuito presenta una conexión serie entre 
sus elementos. 
 
- Calculando α y ωο para determinar la forma de la componente transitoria se obtiene 
α = R/2L = 6, ω0 =1/ √LC = 5,66 rad/ s 
 
Comparando α >ω0 ⇒ respuesta transitoria sobreamortiguada 
 
- Calculando las frecuencias complejas: S1 = - 4 s-1 y S2 = - 8 s-1 (raíces reales negativas y 
desiguales) 
 
- Forma matemática de la respuesta completa: 
 iL (t) = A1 e-4t + A2 e-8t + iLF A 
vC (t) = A3 e-4t + A4 e-8t + vCF V 
 
2. Cálculo de la respuesta forzada, componente forzada o de estado estable, en el circuito 
equivalente en el estado final estable t = ∞. 
En t = ∞ el capacitor y el inductor alcanzan sus estados final 
estables energizados y se representan como circuito abierto y 
cortocircuito respectivamente. 
 
Se obtiene iL (∞) = 4 A, vC (∞) = 0 
 
- Forma matemática de la respuesta completa sustituyendo el valor calculado de la 
componente forzada: 
 
 iL (t) = A1 e-4t + A2 e-8t +4 A (1) 
vC (t) = A3 e-4t + A4 e-8t V (2) 
 
3. Estado de los elementos almacenadores en el instante inicial. Estos valores hacen falta 
para hallar las constantes así como el valor de la primera derivada de cada una de ellas. 
 
Como no se conocen las condiciones iniciales en los elementos almacenadores de energía L 
y C, en el circuito equivalente en t = 0 –, se calculan estas variables que son las únicas que 
cumplen continuidad. 
 
 
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Circuito equivalente en t = 0- 
 
Para t < 0 la fuente de tensión está conectada y la de 
corriente no actúa aun. 
 
En el circuito equivalente para t = 0 - el capacitor y el 
inductor están en estado estable, en circuito abierto el 
capacitor y el inductor sin corriente, lo que se representa 
como un circuito abierto y por tanto iL (0 -) = 0 A. 
 
Aplicando LKT se obtiene VC (0-) = 116V 
 
4. Cálculo del valor de la primera derivada de la variable deseada evaluada en t = 0+. 
Partiendo de las expresiones de iC y vL, se derivan y evalúan en t = 0+, expresión que muestra 
que lo primero que hay que hacer es hallar los valores de ic y vL evaluadas en t = 0+. 
 
Circuito equivalente en t = 0+ 
En el circuito equivalente para t = 0+, el capacitor se comporta como fuente de tensión 
vC (0+) = 116V, y aplicando LKT calculamos la tensión en el inductor vL (0+) = 212V. El 
inductor se representa por un circuito abierto pues iL (0 +) = 0 A y la corriente en el capacitor 
es iC (0+) = 4 A debido a que la corriente de la fuente de corriente, es la que circula por el 
circuito serie que queda. 
 
Aplicando las condiciones iniciales iC (0+) y vL (0+) calculas en las expresiones de corriente 
en el capacitor y tensión en el inductor se tiene 
 
256
64/1
4)0(106
2
212)0(
00
======
== C
i
dt
dv
L
V
dt
di C
t
CL
t
L 
 
 
5. Evaluación de las constantes en la respuesta completa (1) y (2), a partir de las 
condiciones iniciales. 
 
iL (0) = A1 + A2 + 4 = 0 vC (0) = A3 + A4 = 116 
 
Para la corriente en el inductor: 
 
5.225,1810684
4
2121
21
−==−=+
−=+
AAoresolviendAA
AA
 
Para la tensión en el capacitor: 
18029625684
116
4343
43
−==−=+
=+
AAobtenemosAA
AA
 
 
Para t ≥ 0 se obtiene: iL (t)= 18,5 e-4t -22,5 e-8t +4 A vC (t)= 296 e-4t -180 e-8t V 
 
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Observe que hubo que analizar el circuito equivalente en los instantes t= 0 - y t= 0+ para 
obtener las dos constantes en cada respuesta. 
 
Obtenga los valores de energía en los elementos almacenadores en los estados estables 
inicial y final y saque conclusiones sobre el comportamiento energético del circuito durante el 
proceso transitorio. 
 
Represente los gráficos dibujando las exponenciales por separado y sumándolas 
posteriormente. 
 
Ejercicio 5 
 
Assume that the switch in Figure has been open for a 
long time and is closed at t =0 .Find i(t) for t ≥ 0 
 
Solución: 
1. Determinación del tipo de respuesta transitoria, 
desactivando las fuentes independientes y observando la 
forma de conexión de los elementos R, L y C para t > 0. Compruebe que setrata de un 
circuito RLC paralelo. 
 
Calcule y obtenga: Req =500Ω 
 
- Calculando α y ωο para determinar la forma de la componente transitoria se obtiene 
α = 1/2 Req C = 500 s-1 ω0 =1/ √LC = 500 s-1 ⇒ proceso transitorio críticamente amortiguado 
 
2. Cálculo de la respuesta forzada, componente forzada o de estado estable, en el circuito 
equivalente en el estado final estable t = ∞. 
 
En t = ∞ iL (∞) = 450/2500= 0,18 A 
 
- Forma matemática de la respuesta completa: 
 
iL (t)= A1t e-500t + A2 e-500t +0,18 A 
 
 
3. Estado de los elementos almacenadores en el 
instante inicial. Estos valores hacen falta para hallar las 
constantes así como el valor de la primera derivada de 
cada una de ellas. 
 
No es necesario representar el circuito en t = 0- en este caso ¿Por qué? 
En t = 0 - , iL(0 -) =0 A VC(0 -) =0 V 
 
4. Cálculo del valor de la primera derivada de la variable deseada evaluada en t = 0+. 
Partiendo de las expresiones de iC y vL, se derivan y evalúan en t = 0+, expresión que muestra 
que lo primero que hay que hacer es hallar los valores de ic y vL evaluadas en t = 0+. 
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Circuito equivalente en t = 0+ 
En el circuito equivalente para t = 0+ el capacitor se representa como fuente de tensión de 0 
volt (cortocircuito). vL(0+) = 0, por tanto 
 
 
 
5. Evaluación de las constantes en la respuesta completa, a partir de las condiciones 
iniciales. 
 
Se obtienen A1 = -90 A 2 = -0,18 
 
Sustituyendo : iL (t) = 0,18 - (90 t + 0,18 ) e-500t A para t ≥ 0 
 
Analice energéticamente el proceso transitorio. Observe la necesidad del cálculo de la 
resistencia equivalente en paralelo para poder hallar α, que no fue necesario representar el 
circuito equivalente en t = 0-, al igual que hay que estar muy claro en la construcción del 
circuito equivalente en t = 0+. 
 
En todo momento se ha mostrado una metodología para resolver ecuaciones diferenciales 
mediante la utilización de circuitos equivalentes, lo cual simplifica mucho el proceso 
matemático y lo identifica más con la parte circuital. 
 
Represente los gráficos dibujando las exponenciales por separado y sumándolas 
posteriormente. 
 
Conclusiones 
Se han analizado los circuitos dinámicos de 2do orden utilizando una metodología dada en los 
materiales, la cual es muy fácil y es sistemática, dando un algoritmo de solución. 
 
Orientaciones para el trabajo independiente 
Estudie la bibliografía señalada: Capítulo 9. Epígrafes 9.1 al 9.5, Ejemplos 9.1 y 9.2. Realice 
las prácticas 9.1, 9.2 (a, b, c, d), 9.3 (a), 9.4 (a, b, c, d) y los problemas del capítulo 9: 7, 9, 11, 
13, 21, 23, 25, 31, 35, 41, 45, 47 
Tarea10. 
 
Realizado por: Dra. Ing. Esperanza Ayllón Fandiño, CIPEL, Instituto Superior Politécnico 
“José Antonio Echeverría”, CUJAE. Cuba 
 
 
	
  
	
  
0
)0(
0
==
= L
V
dt
di L
t
L