Método Fasorial y Leyes de Kirchhoff

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Método fasorial y su aplicación a los elementos de circuito. Leyes de Ohm y las de 
Kirchhoff fasoriales 
 
Objetivos 
1. Definir el concepto de fasor, a partir de la relación entre los números complejos y las 
funciones sinusoidales, e introducir los fundamentos del método fasorial, relacionando 
funciones sinusoidales con fasores y viceversa. 
2. Determinar las relaciones fasoriales entre la corriente y la tensión en cada elemento ideales 
de circuito R, L y C, partiendo del cumplimiento de la Ley de Ohm en el dominio de la 
frecuencia. 
3. Justificar el cumplimiento de las Leyes de Kirchhoff (LK) fasorialmente, y aplicarlas en la 
solución de circuitos simples en régimen de corriente alterna, utilizando las definiciones y la 
convención de signos establecida en el texto y en el material. 
 
Sumario 
a) Relaciones entre los números complejos y las funciones sinusoidales. Concepto de fasor 
b) Relaciones tensión- corriente en forma fasorial en los elementos de circuito. Ley de Ohm. 
Impedancia, admitancia y diagramas fasoriales. 
c) Leyes de Kirchhoff con fasores. 
 
Bibliografía básica: Texto. “Análisis de Circuitos en Ingeniería” 
William H. Hayt Jr.; Jack E. Kemmerly; Steven M. Durbin. 2002, Sexta edición 
Capítulo 10. Epígrafes 10.4 a 10.6 y 10.7 (hasta el 1er párrafo de la página 344), 
Adicional: Materiales elaborados por los profesores del CIPEL, Instituto Superior Politécnico 
“José Antonio Echeverría”, CUJAE, Ing. Américo Montó Olivera, Dra. Ing. Esperanza Ayllón 
Fandiño y Lic. Raúl Lorenzo Llanes. 
 
Introducción 
Se analizó que una forma de hallar la respuesta forzada, permanente o de estado estable en 
un circuito de corriente alterna, es plantear la ecuación diferencial y hallar su solución 
particular. Pero este no es el método más práctico. Más fácil es suponer que el estímulo es 
complejo, no función del tiempo y analizarlo aplicando el álgebra de los números complejos. 
Este es el llamado método fasorial que se comenzará a explicar. Su enorme ventaja es que se 
plantean y resuelven ecuaciones algebraicas. 
Se va a suponer que el circuito objeto de estudio está excitado por una fuente sinusoidal 
alterna. Se representará al estímulo como una función compleja y se analizará el circuito 
empleando el álgebra de los números complejos. 
De esta forma el modelo matemático que se aplicará será algebraico y la solución del 
problema se reducirá a la resolución de un sistema de ecuaciones algebraico lineal, lo cual es 
más sencillo que trabajar con ecuaciones diferenciales. 
 
a) Relaciones entre los números complejos y las funciones sinusoidales. Concepto de 
fasor. 
Leer el Epígrafe 10.4, “Función forzada compleja” 
 
Concepto de fasor 
1 
 
Para entender el concepto de fasor se verá la representación de e jω t y e jθ 
¿Cómo representar el número complejo e jθ?. Partiendo de la fórmula de Euler, ejα = cos α + 
j sin α, cuya representación en el plano complejo se muestra, se tiene que 
e jθ = cos θ + j sen θ se representa igual pero con ángulo θ. 
 
¿Como representar a la función compleja dependiente del tiempo ejω t ? 
Es un segmento orientado de módulo 1 y argumento variable para diferentes valores de “t”. 
Ese segmento orientado rota en sentido antihorario con velocidad angular constante ω 
describiendo su extremo una circunferencia de radio unitario en el plano complejo. 
 
Entonces ¿Cómo representar a la función U (t) =Um ej (ωt + θ) que presenta una fase inicial 
diferente de cero y amplitud (módulo) Um? 
Observar que Um ej (ωt + θ) = Um ejθ . ejωt , por tanto Um ejθ se representa por el segmento 
orientado de módulo Um y ángulo de fase θ en el plano complejo y gira implícitamente con 
velocidad angular ω en sentido antihorario. 
 
Definición: 
Dada la función u (t) = Um cos (ωt + θ) entonces el fasor asociado a esta señal es: 
Um = Um ∠ θ en forma polar o también : Um = Um e jθ en forma exponencial. 
El fasor asociado a la función u (t) es una magnitud compleja cuyo módulo es la amplitud de 
la función (tensión o corriente ) y su argumento la fase inicial. 
 
Observaciones: 
 - La frecuencia no aparece explícitamente en el fasor. En un circuito dado, la frecuencia es 
 única en el circuito. 
 - El fasor puede asociarse al valor eficaz o a la amplitud U = U ∠ θ Um = Um ∠ θ 
 - En el texto, cuando no se aclara lo contrario, se emplean fasores amplitud 
- u (t) es una representación de la señal en el dominio del tiempo, los fasores Um ( U ) son 
representaciones de la señal en el dominio de la frecuencia 
- Algunos textos toman como función base el seno (y no el coseno) lo cual está bien. 
 
b) Relaciones tensión- corriente en forma fasorial en los elementos de circuito. Ley de 
Ohm. 
Utilizando las relaciones ya conocidas tensión - corriente en el dominio del tiempo, las 
correspondientes relaciones en el dominio de las frecuencias (fasoriales) se pueden obtener: 
Para un resistor la tensión y la corriente están en fase 
 θ = Ф: 
u(t) = i(t) R Um = Im R U = I R 
Para un inductor la tensión adelanta 900 a la corriente θ = Ф+ 900 
u(t) = L di(t)/dt Um = Im (JXL ) U = I (JXL) 
 XL = ωL reactancia inductiva 
Para un capacitor la tensión atrasa 900 la corriente 
 θ = Ф- 900 
i(t) = C du(t)/dt Um = Im ( -JXC ) U = I ( - JXC ) XC =1/ (ωC) reactancia capacitiva 
El texto usa negrita para el fasor. Nosotros le pondremos una raya para, en el papel, poder 
diferenciar el fasor de otra letra. 
2 
 
Las impedancia o relación fasorial entre tensión y corriente en cada elemento pasivo (Ley de 
Ohm), se representa por Z y su unidad es el ohm ( Ω). Para una red lineal, la impedancia 
respecto a un par de terminales dados, es una función de la red y no depende del estímulo 
aplicado. Brinda una medida de la oposición que presenta el elemento al paso de la ca. 
Para el resistor: ZR = R; para el inductor: ZL = j XL; para el capacitor ZC = - JXC 
 
La impedancia es un número complejo pero no un fasor. Es una parte del dominio de la 
frecuencia y no es un concepto que sea parte del dominio del tiempo. El texto usa negrita para 
el fasor y también pone la impedancia en negrita. ¡Cuidado! 
Puntualice en la tabla 10.1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Leyes de Kirchhoff con fasores (LK). 
Para circuitos de ca, las leyes de Kirchhoff se formulan fasorialmente así: 
Σ uk(t) = 0, Σ Uk = 0 LKT Σ ik(t) = 0, Ik = 0 LKC con el convenio de signos conocido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
Conclusiones 
 
En el circuito mostrado, conocidas las corrientes 
 i1(t) = 10cos(100t) A , i2(t) = 2cos(100t - 450) A , i3(t) = 0,1cos(100t + 
450 ) A , obtenga vab (t) 
 
Solución: 
 
Represente el circuito fasorialmente calculando las reactancias de 
cada elemento y situando las referencias de los fasores amplitud de 
tensión y de corriente. 
Pase el esquema al dominio de frecuencias y las corrientes a forma 
fasorial. 
I1m = 10∠00 A I2m = 2∠- 450 A I3m = 0,1∠ +450 A 
XL = ωL = 10Ω XC = 1/ ωC = 200Ω 
 
Plantee LKV 
 - Vabm + 10∠00 ⋅ 3 - 2∠-450 ⋅ J10 + 0,1∠ 450 ⋅ (-J200) = 0 
 Obtenga: Vabm = 41,2∠ - 43,20 V 
Pase al dominio del tiempo: 
vab(t) = 41,2cos(100t - 43,20 ) V 
 
Observaciones: 
1- Importantísimo dominar el álgebra con números complejos y transformaciones entre 
formas polar y binómica con calculadora o tabla. 
2- Cada elemento se representó en el dominio de frecuencias y se aplicaron las leyes de Ohm 
y Kirchhoff fasorialmente en el circuito 
3- Se pasa de la representación temporal a fasorial con facilidad. 
 
Orientaciones para el trabajo independiente 
Capítulo 10. Estudiar los Epígrafes 10.4 a 10.6 y 10.7 (hasta el 1er párrafo de la página 344), 
Ejemplos 10.2 (leer), 10.3 (pasar del tiempo a la frecuencia) y 10.4 (inductor). Prácticas 10.6, 
10.7 (de funciones del tiempo a fasores y viceversa), y 10.8 (LK) Ejercicios 11, 20, 21, 22, 23, 
24, 29, 30 y 31.Realice el siguiente ejercicio, efectuando en cada caso la operación indicada 
a) A = -J4 1/A = ? 
b) C = J6 D = - J4 C*D / ( C + D ) =? 
c) B = 10 - J10 1/B = ? 
d) E = 1/2 + J √3 /2 G = -10 + J √3 F = - J2 H = 5√3 + J5 E G + F H = ? 
e) K =10∠300 L = 10∠1200 M = 10∠ -1200 K L + M = ? 
 
Se ejercitará el método fasorial. 
 
Realizado por: Dra. Ing. Esperanza Ayllón Fandiño, CIPEL, Instituto Superior Politécnico 
“José Antonio Echeverría”, CUJAE. Cuba 
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