CambioDeBase-Rn-v1

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Clase 20
Cambio de Base
1 Vector de Coordenadas bajo un Cambio de Base
Recordemos que las coordenadas de un vector v en un espacio vectorial Rn con respecto a una base B = {v1, v2, . . . , vn}
para Rn son los únicos coeficientes c1, c2, . . . , cn que satisfacen la relación:
v = c1v1 + c2v2 + · · ·+ cnvn
Estas coordenadas forman el vector de coordenadas de v con respecto a B:
[v]B =

c1
c2
...
cn
 .
Este vector depende del orden en que se consideren los vectores en B, por eso es más apropiado considerar B como
una tupla de vectores, que como un conjunto: B = (v1, v2, . . . , vn). Por conveniencia en estas notas algunas veces
escribimos mejor [v]B =
[
c1 c2 · · · cn
]T
haciendo uso de la transposición. Recordemos que, por la definición
de la suma de dos vectores y la multiplicación de un vector por un escalar, las coordenadas satisfacen las siguientes
propiedades: Para todo u, v ∈ Rn y α ∈ R,
[u+ v]B = [u]B + [v]B
[αu]B = α[u]B
Las coordenadas de un vector dependen de la base. Vamos a estudiar como pasar de las coordenadas con respecto
a una base a las coordenadas con respecto a otra.
Ejemplo. Considere el espacio vectorial R2 con bases B = (u1, u2) y C = (v1, v2) donde
u1 =
[
−1
2
]
, u2 =
[
2
−1
]
; v1 =
[
1
0
]
, v2 =
[
1
1
]
(a) Para x ∈ R2 con [x]B =
[
3 2
]T
encuentre [x]C .
(b) Para x ∈ R2 con [x]B =
[
c1 c2
]T
encuentre [x]C .
Solución: 1. Con [x]B =
[
3 2
]T
, tenemos x = 3 · u1 + 2 · u2 y entonces [x]C = 3 · [u1]C + 2 · [u2]C . Para obtener
[u1]C = [a1 a2]
T y [u2]C = [b1 b2]
T necesitamos expresar los vectores de la base B en términos de los vectores de la
base C resolviendo los sistemas a1v1 + a2v2 = u1 y b1v1 + b2v2 = u2:
a1
[
1
0
]
+ a2
[
1
1
]
=
[
−1
2
]
b1
[
1
0
]
+ b2
[
1
1
]
=
[
2
−1
]
1
2 CLASE 20. CAMBIO DE BASE
Usando la matriz inversa y expresando matricialmente obtenemos[
[u1]C | [u2]C
]
=
[
a1 b1
a2 b2
]
=
[
1 1
0 1
]−1 [−1 2
2 −1
]
=
[
1 −1
0 1
] [
−1 2
2 −1
]
=
[
−3 3
2 −1
]
u2
u1
x
v2
v1
x
La gráfica ilustra el vector
x en las mallas determi-
nadas por las bases B =
(u1, u2) y C = (v1, v2) re-
spectivamente
Entonces
[x]C = 3 · [u1]C + 2 · [u2]C =
[
[u1]C | [u2]C
] [3
2
]
=
[
−3 3
2 −1
] [
3
2
]
=
[
−3
4
]
2. Como generalización de la parte anterior, obtenemos que si [x]B =
[
c1 c2
]T
, entonces [x]C =
[
d1 d2
]T
con[
d1
d2
]
=
[
[u1]C | [u2]C
] [c1
c2
]
=
[
−3 3
2 −1
] [
c1
c2
]
.
Comentarios: La matriz
[
−3 3
2 −1
]
que relaciona [x]C y [x]B se llama la matriz de cambio de base y se denota
PC�B (la razón para la notación con la flecha hacia atrás se aclarará adelante). Con esto, la relación entre vectores
de coordenadas es
[x]C = PC�B[x]B.
En el ejemplo vemos que
PC�B =
[
[u1]C | [u2]C
]
.
Además, con la base canónica E = (e1, e2) de R2, PE�B y PE�C se definen similarmente:
PE�B =
[
[u1]E | [u2]E
]
=
[
−1 2
2 −1
]
, PE�C =
[
[v1]E | [v2]E
]
=
[
1 −1
0 1
]
.
y con esto observamos del ejemplo que
PC�B =
[
1 1
0 1
]−1 [−1 2
2 −1
]
= P−1E�CPE�B.
Ahora enunciamos la definición general de la matriz de cambio de base y el teorema general de cambio de base.
Definición. Sean B = (u1, u2, . . . , un) y C = (v1, v2, . . . , vn) bases para el espacio vectorial Rn. La matriz
PC�B =
[
[u1]C | [u2]C | · · · | [un]C
]
se llama la matriz de cambio de base de B a C (en palabras, las columnas de la matriz son los vectores de coordenadas
de los vectores en B con respecto a la base C, en el orden especificado por la base).
2. MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN BAJO CAMBIO DE BASE 3
Teorema. Sean B = (u1, u2, . . . , un) y C = (v1, v2, . . . , vn) bases para el espacio vectorial Rn. Entonces PC�B es la
única matriz que para todo x ∈ Rn satisface [x]C = PC�B[x]B.
Prueba. Sea x ∈ Rn y [x]B = [c1 c2 · · · cn]T . Esto significa que x = c1u1 + c2u2 + · · ·+ cnun y entonces, usando
la linealidad de [ ]C , se tiene que
[x]C = [c1u1 + c2u2 + · · ·+ cnun]C = c1[u1]C + c2[u2]C + · · ·+ cn[un]C
=
[
[u1]C | [u2]C | · · · | [un]C
]
[c1 c2 · · · cn]T = PC�B[x]B.
Para verificar la unicidad, supongamos que [x]C = A[x]B. Con x = ui se obtiene que [ui]C = Aei, es decir, la i-ésima
columna de A es [ui]C . Aśı que A = PC�B.
El siguiente teorema relaciona el cambio de base B a D con los cambios de B a C y de C a D, y el cambio de base B
a C con el cambio de C a B. Aqúı se ve que la flecha hacia atrás en la notación es un buen mnemónico para tener
claros los cambios de base.
Teorema. Sean B, C,D bases de Rn. Entonces
a. PD�B = PD�CPC�B
b. PC�B es invertible y (PC�B)
−1 = PB�C .
Prueba. a. Sea B = (u1, u2, . . . , un). Entonces
PD�B =
[
[u1]D | [u2]D | · · · | [un]D
]
Pero para [uj ]D, usando cambio de base C a D, tenemos que
[uj ]D = PD�C [uj ]C
y entonces
PD�B =
[
PD�C [u1]C |PD�C [u2]C | · · · |PD�C [un]C
]
= PD�C
[
[u1]C | [u2]C | · · · | [un]C
]
= PD�CPC�B.
b. Usando la parte a. se obtiene que PC�C = PC�BPB�C . Pero PC�C = In, y entonces se concluye que PC�B es
invertible y (PC�B)
−1 = PB�C .
2 Matriz de una Transformación bajo Cambio de Base
Recordemos además que si T : Rn → Rm es una transformación lineal existe su matriz estándar asociada [T ] que
satisface T (u) = [T ]u. Esta matriz está asociada a las bases canónicas En en Rn y Em Rm y la denotaremos por
[T ]Em�En y sabemos que [T ]Em�En =
[
[T (e1)]Em | [T (e2)]Em | · · · | [T (en)]Em
]
.
Este concepto se generaliza a una transformación lineal T : Rn → Rm con bases Bn de Rn y Cm de Rm. El siguiente
diagrama ilustra la situación:
Bn Cm
En Em
PEn�Bn
[T ]Cm�Bn
PEm�Cm
[T ]Em�En
4 CLASE 20. CAMBIO DE BASE
Sea Bn = (u1, . . . , un). Aśı tenemos [T ]Cm�Bn =
[
[T (u1)]Cm | [T (u2)]Cm | · · · | [T (un)]Cm
]
. Y (ver el diagrama):
TCm�Bn = (PEm�Cm)
−1[T ]Em�EnPEn�Bn (20.1)
Observaciones.
1. La matriz [T ]Cm�Bn se llama la matriz de T con respecto a las bases Bn y Cm.
2. Si n = m y Bn = Cn se escribe [T ]B por simplicidad.
3. Si n = m y B 6= C, observamos que la matriz de cambio de base es un caso particular de la matriz de una
transformación. Más precisamente, con T = IdRn se tiene que
[IdRn ]C�B =
[
[IdRn(u1)]C | [IdRn(u2)]C | · · · | [IdRn(un)]C
]
=
[
[u1]C | [u2]C | · · · | [un]C
]
,
que es precisamente la matriz PC�B.
4. Sean Rn,Rm,Rp espacios vectoriales con bases Bn, Cm,Dp respectivamente, y sean T : Rn → Rm y S : Rm →
Rp transformaciones lineales. Recordemos que entonces
[S ◦ T ]Dp�Bn = [S]Dp�Cm [T ]Cm�Bn .
5. Sea T : Rn → Rn una transformación lineal y sean B y C bases de Rn. Recordemos que entonces T es invertible
si y sólo si la matriz [T ]C�B es invertible, y en este caso,
([T ]C�B)
−1 = [T−1]B�C .
Reemplazando las bases En y Em en (20.1) por bases generales obtenemos:
Teorema. Sean Rn,Rm espacios vectoriales y T : Rn → Rm una transformación lineal. Además, sean B =
{u1, . . . , un},B′ = {u′1, . . . , u′n} bases para Rn y C, C′ bases para Rm. Entonces
[T ]C′�B′ =
[
[T (u′1)C′ ]| · · · |[T (u′n)C′ ]
]
= PC′�C [T ]C�BPB�B′ = P
−1
C�C′ [T ]C�BPB�B′ .
Ejemplo. Sea T : R3 → R2 la transformación lineal dada por
T
xy
z
 = [ x− 2y
x+ y − 3z
]
y considere las bases B = (e1, e1 + e2, e1 + e2 + e3) y C = (e1 + e2, e1− e2) donde E3 = (e1, e2, e3) y E2 = (e1, e2) son
las bases canónicas de R2 y R3.
(a) Determine la matriz estándar [T ]E2�E3 de T .
(b) Determine la matriz [T ]C�B haciendo uso de la matriz [T ] obtenida en (a).
Solución. (a) [T ]E2�E3 =
[
1 −2 0
1 1 −3
]
.
(b) Haciendo uso del teorema, tenemos que
[T ]C�B =
T
 10
0

C
|
T
 11
0

C
|
T
 11
1

C
 = [[ 1
1
]
C
|
[
−1
2
]
C
|
[
−1
−1
]
C
]
= PC�E2 [T ]E2�E3PE3�B = (PE2�C)
−1[T ]E2�E3PE3�B =
[
1 1
1 −1
]−1 [
1 −2 0
1 1 −3
]1 1 10 1 1
0 0 1

=
1
2
[
1 1
1 −1
] [
1 −1 −1
1 2 −1
]
=
1
2
[
2 1 −2
0 −3 0
]
3. APLICACIÓN: ROTACIÓN EN R3 ? ? ? OPCIONAL ? ? ? 5
El caso Rn = Rm, i.e., m = n.
Consideramos el caso en que m = n y dos bases B y C para Rn. Si T : Rn → Rn es una transformación lineal,
queremos estudiarla relación entre [T ]B y [T ]C . El teorema anterior se escribe entonces (reemplazando C por B y
B′ = C′ por C):
Teorema. Sean B y C de Rn y sea T : Rn → Rn una transformación lineal. Entonces
[T ]C = P
−1
B�C [T ]BPB�C .
Ejemplo. Sea T : R2 → R2 dada por T
[
x
y
]
=
[
x+ 3y
2x+ 2y
]
. Para B =
([
1
1
]
,
[
3
−2
])
, obtenga [T ]B.
Solución. Con E la base canónica, tenemos que
[T ]E =
[
1 3
2 2
]
.
Además,
PE�B =
[
1 3
1 −2
]
.
Por lo tanto,
[T ]B =
[[
T
[
1
1
]]
B
|
[
T
[
3
−2
]]
B
]
= P−1E�B[T ]EPE�B
=
1
5
[
2 3
1 −1
]
·
[
1 3
2 2
]
·
[
1 3
1 −2
]
=
[
4 0
0 −1
]
.
El anterior es un ejemplo de diagonalización de una matriz: la matriz [T ]E se ha diagonalizado por medio de un
cambio de base.
3 Aplicación: Rotación en R3 ? ? ? Opcional ? ? ?
Hemos visto que en R2 la rotación de cualquier vector por un ángulo θ en la dirección contraria a las manecillas del
reloj es una transformación lineal y su matriz es
[Rθ] =
[
cos θ −sen θ
sen θ cos θ
]
.
Aqúı consideramos la transformación en R3 que, para un vector unitario n̂ y un ángulo θ dados, rota cualquier
vector un ángulo θ alrededor del vector n̂, en la dirección dada por la “regla de la mano derecha”. Si n̂ es el vector
canónico e3 entonces la matriz de la transformación con respecto a la base canónica E = (e1, e2, e3) es
[Re3,θ] =
cos θ −sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
 .
La matriz del caso general con respecto a E , cuado el eje de rotación n̂ es arbitrario, es más complicada. Pero si
consideramos una base B = (v1, v2, v3) que consiste de tres vectores unitarios, ortogonales entre śı - y con v3 = n̂,
entonces
[Rn̂,θ]B =
cos θ −sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
 .
6 CLASE 20. CAMBIO DE BASE
Aśı que podemos obtener [Rn̂,θ]E por medio de [Rn̂,θ]B y la matriz de cambio de base entre E y B:
[Rn̂,θ]E = PE�B[Rn̂,θ]BPB�E = PE�B[Rn̂,θ]BP
−1
E�B
Dado n̂ =
[
n1 n2 n3
]T
= v3, diferente de e3, se pueden escoger v1 y v2 de tal manera que son unitarios y
ortogonales entre si y con v3. Tomando v2 en el plano xy, tenemos los siguientes vectores:
v1 =

n1n3√
n21+n
2
2
n2n3√
n21+n
2
2
−
√
n21 + n
2
2
 , v2 =
−
n2√
n21+n
2
2
n1√
n21+n
2
2
0
 , v3 =
n1n2
n3
 .
Ejercicio. Verifique que v1 y v2 son unitarios (teniendo en cuenta que n̂ es unitario) y que los 3 vectores son
ortogonales entre si. Además que det[v1|v2|v3] = 1; es decir que el sistema v1, v2, v3 es derecho (el pulgar de la mano
derecha señala en la dirección de v3 cuando los dedos de la mano derecha se giran alrededor de v3 dirigidos de v1 a
v2).
Con estos vectores y B = (v1, v2, v3), entonces
PE�B =
[
[v1]E | [v2]E | [v3]E
]
=

n1n3√
n21+n
2
2
− n2√
n21+n
2
2
n1
n2n3√
n21+n
2
2
n1√
n21+n
2
2
n2
−
√
n21 + n
2
2 0 n3

Finalmente, para obtener la inversa P−1E�B, note que puesto que los vectores columna de PE�B son unitarios y
ortogonales entre śı, entonces
PTE�B PE�B = I3
Aśı que P−1E�B = P
T
E�B (P es una matriz ortogonal). Por lo tanto
[Rn̂,θ]E = PE�B[Rn̂,θ]BP
T
E�B
=

n1n3√
n21+n
2
2
− n2√
n21+n
2
2
n1
n2n3√
n21+n
2
2
n1√
n21+n
2
2
n2
−
√
n21 + n
2
2 0 n3

cos θ −sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1


n1n3√
n21+n
2
2
n2n3√
n21+n
2
2
−
√
n21 + n
2
2
− n2√
n21+n
2
2
n1√
n21+n
2
2
0
n1 n2 n3

=
 cos θ + n21(1− cos θ) n1n2(1− cos θ)− n3sen θ n1n3(1− cos θ) + n2sen θn1n2(1− cos θ) + n3sen θ cos θ + n22(1− cos θ) n2n3(1− cos θ)− n1sen θ
n1n3(1− cos θ)− n2sen θ n2n3(1− cos θ) + n1sen θ cos θ + n23(1− cos θ)

Finalmente, note que el vector v3 satisface [Rn̂,θ]Ev3 = v3, es decir que v3 es un vector propio de la matriz [Rn̂,θ]E
con valor propio 1. De hecho, si θ 6= 0, es el único vector propio excepto factores escalares, porque es el único que
no es afectado por la rotación.