CuadernosAlgebra-vol1-WEB

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Otros títulos 
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Facultad de Ciencias 
Sede Bogotá
Cuadernos 
de álgebra
Volumen 1
José Oswaldo 
Lezama Serrano
textos
Colección
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La obra Cuadernos de álgebra, dividida 
en dos volúmenes, consta de diez 
publicaciones sobre los principales 
temas de esta rama de las matemáticas. 
Los cinco cuadernos del presente 
volumen cubren el material fundamental 
de las estructuras algebraicas básicas: 
grupos, anillos, módulos, espacios 
vectoriales y cuerpos. Los cinco 
cuadernos del segundo volumen 
contienen temas más especializados 
como la teoría avanzada de anillos 
y módulos, categorías, álgebra 
homológica, álgebra no conmutativa y 
geometría algebraica. 
Los cuadernos del primer volumen 
pueden servir como textos guía o de 
apoyo para cursos básicos del área de 
álgebra de las carreras de matemáticas 
y de las licenciaturas que se ofrecen en 
el país. Posiblemente el principal valor 
de los cuadernos sea su presentación 
ordenada y didáctica, así como la 
inclusión de muchas pruebas omitidas 
en la literatura y amplias listas de 
ejemplos que ilustran la teoría.
Otros títulos 
Cuadernos de álgebra. Volumen 2
José Oswaldo Lezama Serrano
Ecuaciones diferenciales ordinaria. 
Técnicas de resolución
Edixon Rojas y Luz Marina Moya
Cálculo integral en una variable
Jeanneth Galeano Peñaloza y Claudio Rodríguez Beltrán
Curso libre juvenil de matemáticas. Tercera edición 
Myriam Margarita Acevedo, Myriam Leonor Campos, 
Luis Rafael Jiménez y Blanca Aurora León
José Oswaldo Lezama Serrano
Es licenciado en Matemáticas de la Universidad 
Industrial de Santander y doctorado en 
Matemáticas de la Universidad Estatal de San 
Petersburgo. En 2017 obtuvo el Premio Nacional de 
Matemáticas, otorgado por la Sociedad Colombiana 
de Matemáticas. También, obtuvo reconocimiento 
como Egresado distinguido de la Universidad 
Industrial de Santander y de Excelencia académica, 
Investigación meritoria y Medalla al mérito, 
concedidas por la Universidad Nacional de 
Colombia. Fue profesor Titular del Departamento 
de Matemáticas de la Universidad Nacional de 
Colombia durante 35 años. Ha sido autor de libros y 
artículos en áreas como grupos de matrices, anillos 
y módulos, álgebra lineal sobre anillos, álgebra 
homológica, álgebra conmutativa y no conmutativa, 
geometría algebraica, teoría de categorías, teoría 
algebraica del control, álgebra constructiva y 
computacional. Actualmente es el director del 
Seminario de Álgebra Constructiva (SAC2).
Cuadernos de
álgebra
Cuadernos de
álgebra
José Oswaldo Lezama Serrano
Bogotá, D. C., Colombia, diciembre de 2020
© Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
© José Oswaldo Lezama Serrano
Primera edición, diciembre de 2020
ISBN 978-958-794-412-9 (papel)
ISBN 978-958-794-415-0 (digital)
Edición
Angélica María Olaya Murillo
Coordinación de publicaciones - Facultad de Ciencias
coorpub_fcbog@unal.edu.co
Corrección de estilo:
Juliana Monroy
Diseño de la colección
Leonardo Fernández Suárez
Maqueta LATEX
Camilo Cubides
Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio
sin la autorización escrita del titular de los derechos patrimo-
niales
Hecho en Bogotá, D. C., Colombia
Contenido
Prefacio ix
I Grupos 1
Presentación i
Capítulo uno
Grupos y subgrupos 1
1. Operaciones binarias y estructuras algebraicas elementales . . . . 3
2. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4. Generación de subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5. Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Capítulo dos
Grupos cíclicos 27
1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2. Orden y periodo de un elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5. Generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Capítulo tres
Subgrupos normales y homomorfismos 41
1. Subgrupos normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2. Grupo cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3. Homomorfismos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
ii · Contenido
Capítulo cuatro
Teoremas de estructura 51
1. Teorema fundamental de homomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2. Teorema de factorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3. Teorema de correspondencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4. Teoremas de isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Capítulo cinco
Automorfismos 67
1. Automorfismos interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2. Teorema de Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Capítulo seis
Grupos de permutaciones 79
1. Ciclos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2. El grupo alternante An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3. Sistemas de generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4. El grupo diédrico Dn , n ≥ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5. Subgrupos normales del grupo Dn , n ≥ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Capítulo siete
Productos y sumas directas 97
1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2. Producto cartesiano: caso infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3. Suma directa externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4. Suma directa interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Capítulo ocho
G-conjuntos 113
1. Acción de grupos sobre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2. Órbitas y subgrupos estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3. Grupos transitivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Contenido · iii
Capítulo nueve
Teoremas de Sylow 125
1. p-grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2. Preliminares . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3. Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Capítulo diez
Grupos abelianos finitos 143
1. p-grupos abelianos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
2. Sistemas de invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3. Grupos abelianos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4. Grupos de orden ≤ 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Capítulo once
Grupos solubles 155
1. Centro de un grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
2. Conmutante de un grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3. Cadenas normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4. Grupos solubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
II Anillos 1
Presentación i
Capítulo uno
Anillos y subanillos 1
1. Definición y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Subanillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Capítulo dos
Ideales 15
1. Definición y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2. Operaciones con ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
iv · Contenido
Capítulo tres
Anillo cociente y homomorfismos 31
1. Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2. Teoremas de homomorfismo e isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Capítulo cuatro
Producto de anillos 47
1. Definición y propiedades elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2. Teorema chino de residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Capítulo cinco
Ideales primos y maximales 55
1. Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2. Comportamiento a través de homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . 60
3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Capítulo seis
Dominios de integridad 67
1. Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2. Dominios gaussianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Capítulo siete
Anillos de fracciones: caso conmutativo 79
1. Construcción y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Capítulo ocho
Polinomios y series 91
1. El anillo de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2. El anillo de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3. Propiedades elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4. Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Contenido · v
III Módulos 1
Presentación i
Capítulo uno
Módulos, submódulos y cocientes 1
1. Definición y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Submódulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3. Módulo cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Capítulo dos
Módulos finitamente generados 15
1. Operaciones con submódulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2. Submódulos maximales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Capítulo tres
Homomorfismos 25
1. Definición y propiedades básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2. Teoremas de homomorfismo e isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Capítulo cuatro
Hom 35
1. El grupo HomA(M , N ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3. Bimódulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Capítulo cinco
Producto y suma directa 47
1. Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2. Suma directa externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
vi · Contenido
Capítulo seis
Suma directa interna 61
1. Definición y caracterizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2. Sumando directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Capítulo siete
Módulos libres 71
1. Definición y caracterizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2. Cardinalidad de las bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3. Módulos libres y homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Capítulo ocho
Módulos finitamente generados sobre DIPs 85
1. Módulos de torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2. Módulos sin torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3. Rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4. Componentes primarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5. Divisores elementales y factores invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6. Grupos abelianos finitamente generados .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
IV Álgebra lineal 1
Presentación i
Capítulo uno
Matrices 1
1. Estructuras algebraicas básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Matrices sobre anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3. Inversa de una matriz y cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4. Matrices y operaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Capítulo dos
Determinantes y sistemas de ecuaciones lineales 27
1. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2. Determinantes y funciones multilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Contenido · vii
3. Menores y cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4. Ideales, rango y sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Capítulo tres
Producto tensorial 61
1. Producto tensorial de espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2. Producto tensorial de transformaciones y matrices . . . . . . . . . . . 68
3. Funciones multilineales y tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4. Tensores simétricos, antisimétricos y alternados . . . . . . . . . . . . . 78
5. Álgebras y producto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Capítulo cuatro
Formas canónicas 97
1. Polinomios mínimo y característico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2. Forma canónica clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3. Forma canónica racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4. Forma canónica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5. Forma canónica diagonal: valores y vectores propios . . . . . . . . . 121
6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Capítulo cinco
Grupos de matrices 135
1. Grupos de matrices sobre cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2. Grupos de matrices sobre anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3. El grupo elemental sobre anillos conmutativos . . . . . . . . . . . . . . 159
4. Grupos clásicos sobre anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
V Cuerpos 1
Presentación i
Capítulo uno
Polinomios 1
1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Polinomios sobre cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3. Algoritmos de la división y Euclides en 𝕂 [x] . . . . . . . . . . . . . . . . 10
viii · Contenido
4. Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6. Polinomios en varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7. Polinomios simétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Capítulo dos
Extensiones de cuerpos 49
1. Extensiones simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2. Extensiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3. El cuerpo de los números algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4. Cuerpo de descomposición de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5. Clausura algebraica de un cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6. Dependencia e independencia algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Capítulo tres
Fundamentos de la teoría de Galois 91
1. Extensiones normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2. Raíces de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3. Cuerpos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4. Extensiones separables y cuerpos perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5. Teorema del elemento primitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Capítulo cuatro
Teoría de Galois 109
1. El grupo de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2. Teorema fundamental de la teoría de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Capítulo cinco
Solubilidad por radicales 123
1. Polinomios solubles por radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2. Teorema de Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Bibliografía 131
Prefacio
La colección Cuadernos de álgebra, dividida en dos volúmenes, consta de 10
publicaciones sobre los principales temas de esta rama de las matemáticas
y pretende servir de material para preparar los exámenes de admisión y de
candidatura de los programas colombianos de doctorado en matemáticas.
Los cinco cuadernos del presente volumen cubren el material básico de los
cursos de estructuras algebraicas y álgebra lineal de los programas de maes-
tría. Los cinco cuadernos del segundo volumen contienen los principales
temas de los exámenes de candidatura, a saber, anillos y módulos, catego-
rías, álgebra homológica, álgebra no conmutativa y geometría algebraica.
Cada cuaderno es fruto de las clases dictadas por el autor en la Universidad
Nacional de Colombia en los últimos 25 años y están basados en las fuen-
tes bibliográficas consignadas en cada uno de ellos, así como también en el
libro Anillos, Módulos y Categorías, publicado por la Facultad de Ciencias de
la Universidad Nacional de Colombia, cuya edición está totalmente agota-
da (véase [31]). Los cuadernos también pueden servir como textos guía o
de apoyo para cursos básicos y avanzados del área de álgebra. Un material
similar, pero mucho más completo que el presentado en estas diez publi-
caciones, es el excelente libro Algebra, de Serge Lang, cuya tercera edición
revisada ha sido publicada por Springer en el 2002 (véase [20]). Posible-
mente el valor de los Cuadernos de álgebra sea su presentación ordenada y
didáctica, así como la inclusión de muchas pruebas omitidas en la literatura
y suficientes ejemplos que ilustran la teoría. Los cuadernos son:
1. Grupos 6. Anillos y módulos
2. Anillos 7. Categorías
3. Módulos 8. Álgebra homológica
4. Álgebra lineal 9. Álgebra no conmutativa
5. Cuerpos 10. Geometría algebraica
Los cuadernos están divididos en capítulos, los cuales a su vez se dividen
en secciones. En cada capítulo se añade al final una lista de ejercicios que
debería ser complementada por los lectores con las amplias listas de proble-
mas que incluyen las principales monografías relacionadas con el respectivo
tema.
x · Prefacio
El autor desea expresarsu agradecimiento a Sandra Patricia Barragán
Moreno, a Claudia Milena Gallego Joya y a Milton Armando Reyes Villa-
mil, discípulos, colegas y amigos, por la digitalización de los materiales y la
revisión cuidadosa de los contenidos de la presente colección de cuadernos.
También a Arnold Oostra por la revisión juiciosa y sus aportes en el cua-
derno de álgebra lineal. Finalmente, el autor expresa su agradecimiento a
Haliaphne Annh Acosta Aguilar por las correcciones realizadas a los cua-
dernos del primer volumen, y a Fabio Alejandro Calderón Mateus por las
correcciones finales y la edición de toda la colección de cuadernos.
José Oswaldo Lezama Serrano
Departamento de Matemáticas
Universidad Nacional de Colombia
Bogotá, Colombia
jolezamas@unal.edu.co
Cuaderno I
Grupos
Dedicado a Justo Pastor, mi padre
Presentación
La teoría de grupos, como todas las ramas del álgebra contemporánea, estu-
dia ciertos objetos matemáticos llamados grupos, así como las relaciones en-
tre estos objetos, llamadas homomorfismos. Podríamos justificar el estudio
de la teoría de los grupos diciendo que los conjuntos son para la matemática
como los grupos son para el álgebra.
En el primer capítulo daremos la definición axiomática de la estructura
abstracta de grupo y veremos algunos conjuntos estructurados como gru-
pos. Se estudiará la noción de subgrupo y se demostrará un teorema de
gran importancia dentro de la teoría de grupos finitos, como es el teorema
de Lagrange. Quizá los grupos abelianos más importantes son los llama-
dos grupos cíclicos, ya que los grupos abelianos finitamente generados son
expresables a través de sumas directas de grupos cíclicos. En el segundo ca-
pítulo mostraremos las propiedades básicas de los grupos cíclicos.
El objetivo central del tercer capítulo será mostrar la estrecha relación
que guardan los conceptos de subgrupo normal y homomorfismo de grupos.
Se establecerá que, salvo isomorfismo, hay tantos subgrupos normales en un
grupoG como imágenes homomorfas tiene este último.
Los conceptos de homomorfismo e isomorfismo, así como los teoremas
correspondientes, serán el objeto del cuarto capítulo. Por medio de estos
teoremas es posible caracterizar las imágenes homomorfas de un grupo, y
además son herramienta clave para la clasificación de grupos, en particular,
para la de los grupos finitos. Los homomorfismos biyectivos de un grupo
G en sí mismo se conocen como los automorfismos de G. Estas funciones
conforman un grupo que tiene información importante relativa sobre grupo
elG y serán estudiadas en el quinto capítulo.
En el sexto capítulo estudiaremos con algún detalle al grupo simétrico
Sn. Destacaremos en Sn el subgrupo alternante An y describiremos el grupo
diédrico de grado n, Dn , por medio de permutaciones. El objetivo del sép-
timo capítulo será presentar la construcción del grupo producto cartesiano
y la suma directa externa para una familia dada de grupos. Como funda-
mento teórico para la demostración de los teoremas de Sylow, en el octavo
ii · Presentación
capítulo serán tratadas las acciones de grupos sobre conjuntos. Para los gru-
pos cíclicos finitos es válido el recíproco del teorema de Lagrange (véase el
segundo capítulo), es decir, si G un grupo cíclico finito de orden n y m di-
vide a n entonces G contiene exactamente un subgrupo de orden m. En el
noveno capítulo se mostrará que la afirmación anterior es válida cuando m
es potencia de un primo. Este resultado es uno de los famosos teoremas de
Sylow.
El objetivo del décimo capítulo será describir, para un entero positivo n
dado, todos los grupos abelianos de orden n (salvo isomorfismo). Se incluirá
también en este capítulo una tabla con la lista de todos los grupos de orden
≤ 15. Por último, una de las más importantes generalizaciones de la noción
de conmutatividad es la solubilidad, de la cual nos ocuparemos en el último
capítulo.
El material presentado está complementado con una gran variedad de
ejemplos que ilustran las definiciones y propiedades estudiadas a lo largo del
texto. Estos ejemplos constituyen parte muy importante de la teoría básica
de grupos introducida en el presente cuaderno.
Otras fuentes fuertemente recomendadas a los lectores para comple-
mentar los temas aquí tratados son [10], [14], [16], [20] y [36].
Capítulo
uno
Grupos y
subgrupos
Grupos y subgrupos · 3
La teoría de grupos estudia ciertos objetos matemáticos llamados grupos,
así como las relaciones entre ellos, los homomorfismos. Se podría justificar
el estudio de la teoría de los grupos diciendo que los conjuntos son para la
matemática como los grupos son para el álgebra. En este capítulo presenta-
mos la definición axiomática de la estructura abstracta de grupo y veremos
algunos ejemplos notables. Se estudiará la noción de subgrupo y se demos-
trará un teorema de gran importancia dentro de la teoría de grupos finitos,
como es el teorema de Lagrange sobre clases laterales.
1. Operaciones binarias y estructuras
algebraicas elementales
En esta sección definimos el concepto de operación binaria entre elementos
de un conjunto, noción que hemos utilizado en las matemáticas elementales.
Se dará además una definición precisa de las propiedades más comunes de
las que gozan estas operaciones. Esto permitirá introducir posteriormente
la estructura de grupo.
Definición 1.1.1. Sea G un conjunto no vacío. Una operación binaria
interna (también denominada ley de composición) en G es una función
∗ : G ×G −→ G del producto cartesiano deG conG enG.
Así, a cada par ordenado (x , y) de elementos deG se le asigna un único
elemento de G. La imagen del par (x , y) mediante la función ∗ se denota
por x ∗ y. Se dice también que x ∗ y es el resultado de operar x con y (en ese
orden).
Ejemplo 1.1.2. La adición de números naturales es una ley de composi-
ción:
+ : ℕ × ℕ −→ ℕ
(a, b) ↦−→ a + b.
Lo mismo se tiene para el producto.
Ejemplo 1.1.3. En ℕ podemos definir una función △ por
△ : ℕ × ℕ −→ ℕ
(a, b) ↦−→ mı́n(a, b).
△ es una operación binaria interna en ℕ. Por ejemplo, 3△4=3, 5△2=2, y
3△3=3.
4 · Grupos y subgrupos
Ejemplo 1.1.4. Sea X un conjunto no vacío y sea P (X) el conjunto de
todos los subconjuntos de X , denominado el conjunto de partes de X . La
intersección de conjuntos define una operación binaria interna en P (X):
∩ : P (X) × P (X) −→ P (X)
(A, B) ↦−→ A ∩ B.
Ejemplo 1.1.5. En el conjunto de los números naturales ℕ definimos la
función:
∗ : ℕ × ℕ −→ ℕ
a ∗ b ↦−→ (a △ b) + 2,
donde la operación △ es como en el ejemplo 1.1.3. Así,
5 ∗ 3 = (5 △ 3) + 2 = 3 + 2 = 5,
4 ∗ 4 = (4 △ 4) + 2 = 4 + 2 = 6.
Ejemplo 1.1.6. La función ∇ : ℤ × ℤ −→ ℤ, definida por a∇b = (ab) ÷ 2,
no define en ℤ una operación binaria interna.
Dado un conjuntoG con una operación binaria interna ∗ y dados 3 ele-
mentos a, b y c del conjuntoG, podemos preguntarnos las maneras de ope-
rar estos tres elementos en ese orden e investigar si los resultados de estas
formas de operar coinciden. Así, en el ejemplo 1.1.2 sean 2, 5, 7 ∈ ℕ, en-
tonces
2 + 5 = 7, 7 + 7 = 14, 5 + 7 = 12, 2 + 12 = 14.
Es decir, (2+5)+7 = 2+(5+7), donde los paréntesis indican la secuencia en
que se han efectuado las operaciones. Es bien conocido que para la adición
de números naturales esta propiedad es válida, es decir, cualesquiera que
sean a, b , c ∈ ℕ, se cumple (a + b) + c = a + (b + c). Nótese sin embargo que
en el ejemplo 1.1.5 sobre ℕ se definió la operación ∗ la cual no cumple esta
propiedad:
(3 ∗ 5) ∗ 7 = 5 ∗ 7 = 7 y 3 ∗ (5 ∗ 7) = 3 ∗ 7 = 5.
Esto permite clasificar las operaciones binarias de acuerdo con esta condi-
ción.
Definición 1.1.7. Sea ∗ una operación binaria definida sobre un conjunto
G. Se dice que la operación ∗ tiene la propiedad asociativa, o que ∗ es una
operación asociativa, si para cualesquiera elementos a, b , c ∈ G se cumple
la igualdad:
a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c.
Grupos y subgrupos · 5
De esta definición surge de inmediato una pregunta: en el caso que sean
dados 4, 5, ó n elementos (en un orden determinado), ¿la secuencia en que
se efectuenlas operaciones influye en el resultado? Se puede probar por in-
ducción sobre n que si la operación es asociativa, es decir, si para el caso
de 3 elementos se tiene la propiedad exigida, entonces la misma propie-
dad tendrá lugar para cualesquiera n elementos dados. Así pues, si se dan n
elementos a1 , . . . , an del conjunto G y suponiendo que la operación ∗ de
G es asociativa, los paréntesis que indican la secuencia de como se realizan
las operaciones en la expresión a1 ∗ · · · ∗ an pueden ser colocados donde se
quiera y el resultado no varía.
Proposición 1.1.8. SeaG un conjunto donde se ha definido una operación binaria
asociativa ∗. Para a ∈ G, sea
a1 := a, an := an−1 ∗ a, n ≥ 2.
Entonces, para cualesquiera naturales m y n se tienen las identidades:
an ∗ am = an+m , (an)m = anm.
Demostración. La prueba se realiza por inducción y se deja como ejercicio al
lector. □✓
Definición 1.1.9. Un semigrupo es un conjunto G dotado de una opera-
ción binaria interna asociativa ∗ y se denota por (G , ∗). Se dice también que
sobreG se tiene una estructura de semigrupo.
Ejemplo 1.1.10. (ℕ, +) es un semigrupo (véase el ejemplo 1.1.2).
Ejemplo 1.1.11. Sea X un conjunto no vacío cualquiera y sea Aplc(X) el
conjunto de aplicaciones (funciones) deX en sí mismo. Por teoría elemental
de conjuntos sabemos que la operación composición de funciones ◦ es una
operación binaria interna en Aplc(X) que es asociativa. Así, (Aplc(X) , ◦)
es un semigrupo.
El ejemplo anterior ilustra que no toda operación binaria ∗ definida sobre
un conjuntoG satisface a ∗ b = b ∗ a para todos los elementos a y b deG.
Definición 1.1.12. Sea ∗ una operación binaria definida sobre un conjunto
G. Se dice que la operación ∗ es conmutativa si para cualesquiera elementos
a y b deG se tiene que:
a ∗ b = b ∗ a.
Mediante inducción es fácil probar la siguiente propiedad.
6 · Grupos y subgrupos
Proposición 1.1.13. Sea (G , ∗) un semigrupo conmutativo, es decir, la operación
∗ es asociativa y conmutativa. Entonces, para cualesquiera a, b ∈ G y cualquier
natural n se tiene que:
(a ∗ b)n = an ∗ bn .
Demostración. Ejercicio para el lector. □✓
Existen conjuntos con operaciones binarias internas donde se destacan
elementos especiales.
Definición 1.1.14. Sea G un conjunto en el cual se ha definido una ope-
ración binaria ∗. Se dice que el elemento e deG es una identidad deG con
respecto a la operación ∗ si para cualquier elemento a deG se tiene que:
e ∗ a = a = a ∗ e.
Ejemplo 1.1.15. En el semigrupo (ℤ, +), donde ℤ es el conjunto de nú-
meros enteros y + es la adición habitual, 0 es una identidad.
Surge la siguiente pregunta: ¿en un conjuntoG con una operación binaria
∗ pueden existir varias identidades?
Proposición 1.1.16. En un conjunto G con una operación binaria ∗ sólo puede
existir un elemento identidad respecto a ∗.
Demostración. Sean e, e′ dos identidades, entonces e ∗ e′ = e = e′. □✓
Nótese que para diferentes operaciones, las identidades no necesaria-
mente coinciden, del mismo modo cada operación debe tener un elemento
identidad. Por ejemplo, 0 es la identidad del semigrupo (ℤ, +), 1 es la iden-
tidad de (ℤ, ·) y (ℕ, +) no tiene identidad.
Definición 1.1.17. Un monoide es un semigrupo que posee elemento iden-
tidad.
Definición 1.1.18. Sea G un conjunto dotado de una operación binaria
interna ∗ la cual posee un elemento identidad e. Se dice que u ∈ G es inver-
tible si existe u′ ∈ G tal que u′ ∗ u = e = u ∗ u′. El elemento u′ se denomina
inverso de u respecto a la operación ∗.
En la definición anterior no se exige que cada elemento de G sea inver-
tible. Sin embargo, de esta definición se desprende lo siguiente.
Proposición 1.1.19. Sea (G , ∗) un monoide.
(i) Si u ∈ G es invertible, entonces su inverso u′ es único.
Grupos y subgrupos · 7
(ii) Sean x′, u′ los inversos de x y u respectivamente. Entonces, x∗u es invertible,
y además,
(x ∗ u) ′ = u′ ∗ x′, (x′) ′ = x.
Demostración. Nótese que (u′ ∗ x′) ∗ (x ∗ u) = 1 = (x ∗ u) ∗ (u′ ∗ x′). De igual
manera, puesto que x′ ∗ x = 1 = x ∗ x′, entonces (x′) ′ = x. □✓
2. Grupos
En la sección anterior fueron estudiadas algunas propiedades para una ope-
ración binaria definida en un conjunto. Se dijo que cuando la operación
binaria ∗ definida sobre el conjunto G es asociativa se obtiene sobre G una
estructura de semigrupo. Al poseer la operación ∗ más propiedades, la es-
tructura se hace más rica y las posibilidades de operar en G se hacen ma-
yores. Un ejemplo de tal situación lo constituyen los llamados grupos, los
cuales pasamos a definir.
Definición 1.2.1. Sea G un conjunto no vacío y ∗ una operación binaria
definida enG. Se dice queG es un grupo respecto de ∗, o también que ∗ da
aG una estructura de grupo, si ∗ cumple las siguientes propiedades:
(i) ∗ es asociativa.
(ii) EnG existe un elemento identidad e respecto a ∗.
(iii) Cada elemento deG es invertible.
Denotaremos un grupo por (G , ∗), o también por (G , ∗, e) para destacar
la identidad, pero cuando no haya ambigüedad escribiremos simplemente
G.
Definición 1.2.2. Un grupo (G , ∗) es conmutativo, también denominado
abeliano, si la operación ∗ es conmutativa.
Ejemplo 1.2.3. Los siguientes conjuntos numéricos, donde las operaciones
indicadas son las habituales, constituyen grupos conmutativos:
(ℤ, +, 0) , (ℚ, +, 0) , (ℝ, +, 0) , (ℂ, +, 0).
ℤ, ℚ, ℝ y ℂ denotan los conjuntos de números enteros, racionales, reales y
complejos, respectivamente.
Ejemplo 1.2.4. Los siguientes ejemplos no conforman grupos:
8 · Grupos y subgrupos
(ℤ, ·, 1): sólo hay dos elementos invertibles, 1 y −1,
(ℚ, ·, 1): el cero no es invertible,
(ℝ, ·, 1): el cero no es invertible,
(ℂ, ·, 1): el cero no es invertible.
Ejemplo 1.2.5 (El grupo de elementos invertibles de un monoide) . Sea
(G , ·, 1) un monoide con identidad 1. Entonces, el conjunto de elementos
deG que son invertibles no es vacío y, respecto a la misma operación, cons-
tituye un grupo, el cual se acostumbra a denotar porG∗: en efecto,G∗ ≠ ∅ ya
que 1 ∈ G∗; sean x , y ∈ G∗, entonces xy ∈ G∗ ya que xyy′x′ = 1, y′x′xy = 1.
Puesto que la operación que actúa sobre los elementos de G∗ es la misma
que la de G, entonces la propiedad asociativa también se cumple para G∗.
1 ∈ G∗ es la identidad. Por último, de acuerdo con la definición deG∗, cada
elemento deG∗ es invertible y su inverso está enG∗.
Notemos por ejemplo que (ℤ, ·, 1) es un semigrupo conmutativo con
elemento identidad 1 y ℤ∗ = {1,-1}. De igual manera,
(ℚ∗ , ·, 1) , (ℝ∗ , ·, 1) , (ℂ∗ , ·, 1)
son grupos conmutativos, donde
ℚ∗ = ℚ − {0}, ℝ∗ = ℝ − {0}, ℂ∗ = ℂ − {0}.
De la proposición 1.1.19 y de la definición de grupo se obtienen de ma-
nera inmediata las siguientes conclusiones.
Proposición 1.2.6. Sea (G , ·, 1) un grupo. Entonces,
(i) El elemento identidad 1 del grupoG es único.
(ii) Cada elemento x deG tiene un único inverso, el cual se denota por x−1.
(iii) Se cumple la ley cancelativa, es decir, para cualesquiera elementos x , y , z
enG se tiene que:
x · z = y · z ⇔ x = y
z · x = z · y ⇔ x = y.
(iv) Sean a, b elementos cualesquiera de G. Entonces, las ecuaciones lineales
a · x = b y z · a = b tienen solución única enG.
Demostración. Ejercicio para el lector. □✓
La proposición que demostraremos a continuación indica que los axio-
mas que definen un grupo pueden ser debilitados.
Grupos y subgrupos · 9
Proposición 1.2.7. Sea (G , ∗) un semigrupo. Entonces,G es un grupo si, y sólo
si, ∗ tiene las siguientes propiedades:
(i) Existe un elemento identidad a la izquierda e ∈ G tal que e ∗ x = x, para
cada x ∈ G.
(ii) Cada elemento x ∈ G tiene inverso a izquierda, es decir, existe x′ ∈ G tal
que x′ ∗ x = e.
Demostración. ⇒): las condiciones (i) y (ii) se cumplen trivialmente ya que
G es un grupo.
⇐): sea (G , ∗) un semigrupo en el cual se cumplen las condiciones (i)
y (ii). Demostremos que el inverso x′ de x a la izquierda es también a la
derecha, es decir,
x ∗ x′ = e.
Sea x ∗ x′ = y ∈ G, entonces
y ∗ y = x ∗ x′ ∗ x ∗ x′ = x ∗ (x′ ∗ x) ∗ x′ = x ∗ (e ∗ x′) = x ∗ x′ = y.
Ahora, por (ii), existe y′ ∈ G tal quey′ ∗ y = e. Así pues, de y ∗ y = y se
deduce que (y′ ∗ y) ∗ y = y′ ∗ y, luego e ∗ y = e, es decir, y = e, de donde,
x ∗ x′ = e. Finalmente, probemos que x ∗ e = x:
x ∗ e = x ∗ (x′ ∗ x) = (x ∗ x′) ∗ x = e ∗ x = x. □✓
Observación 1.2.8. (i) Según la proposición anterior, si se da un semigrupo
G, es suficiente encontrar en G un elemento identidad a la izquierda e y
encontrar para cada x ∈ G un inverso a la izquierda x′ para concluir que G
es un grupo.
(ii) La proposición anterior es válida también por el lado derecho.
(iii) No es siempre cierto que si en un semigrupo (G , ∗) tiene lugar la
propiedad (i) por la derecha y la propiedad (ii) por la izquierda el sistema
sea un grupo. Por ejemplo, sea G un conjunto no vacío cualquiera y sea
∗ definida por a ∗ b = a, para cualesquiera a y b en G. ∗ es claramente
asociativa. Además, cualquier elemento x0 de G es identidad a la derecha:
a ∗ x0 = a. También, dado a ∈ G, a tiene inverso a la izquierda respecto al
elemento x0 : x0 ∗ a = x0. Sin embargo, (G , ∗) no es un grupo en el caso
que G tenga al menos tres elementos distintos a, b , c. En efecto, si G fuera
un grupo se tendría la ley cancelativa:
a ∗ b = a,
a ∗ c = a,
a ∗ b = a ∗ c ⇒ b = c.
10 · Grupos y subgrupos
Análogamente, si tiene lugar la propiedad (i) a la izquierda y la propiedad
(ii) a la derecha, el sistema (G , ∗) no es necesariamente un grupo.
Presentamos a continuación algunos ejemplos notables de grupos.
Ejemplo 1.2.9. El grupo de elementos invertibles del semigrupo Aplc(X),
denotado por S (X), está constituido por las funciones f : X −→ X tales
que existe g : X −→ X para la cual f ◦ g = iX = g ◦ f . En otras palabras,
f ∈ S (X) si, y sólo si, f es una función biyectiva. S (X) es entonces el grupo
de todas las funciones biyectivas definidas de X en X , y es llamado el grupo
de permutaciones de X . En el caso en que X sea un conjunto finito de n ≥ 1
elementos, S (X) se denota por Sn. Este grupo será estudiado en detalle en
el capítulo 6. Para el caso n = 3, los elementos de S3 son:
iX :=
©­­«
1 2 3
↓ ↓ ↓
1 2 3
ª®®¬ , f :=
©­­«
1 2 3
↓ ↓ ↓
1 3 2
ª®®¬ , h :=
©­­«
1 2 3
↓ ↓ ↓
3 2 1
ª®®¬,
g :=
©­­«
1 2 3
↓ ↓ ↓
2 1 3
ª®®¬ , k :=
©­­«
1 2 3
↓ ↓ ↓
2 3 1
ª®®¬ , m :=
©­­«
1 2 3
↓ ↓ ↓
3 1 2
ª®®¬.
Nótese que este grupo no es conmutativo.
Ejemplo 1.2.10. Sea X un conjunto no vacío y sea (G , ·) un grupo con
elemento identidad 1. Sea Aplc(X ,G) el conjunto de funciones de X enG.
Se define en este conjunto la siguiente operación:
f g : X −→ G
x ↦−→ ( f g) (x) = f (x) · g (x) ,
donde f , g son elementos de Aplc(X ,G) y x ∈ X . Esta operación convierte
a Aplc(X ,G) en un grupo. Nótese que el elemento identidad es la función i
que asigna a cada elemento x de X el elemento identidad 1 deG. El inverso
de la función f es una función f −1 tal que f −1(x) = f (x)−1, para cada x ∈ X .
Un caso particular de esta construcción es cuando X = ℕ yG = (ℝ, +). En
este caso Aplc(ℕ, ℝ) es el grupo de sucesiones reales.
Ejemplo 1.2.11. Del álgebra lineal tenemos el siguiente ejemplo: sea
Mn×m (ℝ) el conjunto de matrices rectangulares de n filas y m columnas con
entradas en ℝ con la operación habitual de adición definida sobre las en-
tradas de las matrices. Esta operación convierte a Mn×m (ℝ) en un grupo
conmutativo, en el cual el elemento identidad es la matriz nula y el inverso
Grupos y subgrupos · 11
aditivo de una matriz F := [ fi j] es la matriz cuyas entradas son los elemen-
tos opuestos a las entradas de la matriz F , es decir, −F := [− fi j]. El grupo
de matrices cuadradas de tamaño n × n se denota por Mn (ℝ).
Ejemplo 1.2.12. En álgebra elemental se consideran los polinomios
a0 + a1x + · · · + anxn con coeficientes reales. La colección de todos estos
polinomios (n no es fijo) se denota por ℝ[x] y constituye un grupo respecto
de la adición mediante reducción de términos semejantes. El polinomio nu-
lo es el elemento identidad y el inverso aditivo de un polinomio se obtiene
cambiando el signo a cada uno de sus coeficientes.
3. Subgrupos
Dado un grupo (G , ·, 1) y un subconjunto no vacío S de G, es interesante
conocer si bajo la misma operación binaria S tiene también estructura de
grupo. Lo primero que deberá cumplirse es que el producto x · y de dos
elementos del conjunto S debe permanecer también en S.
Definición 1.3.1. Sean (G , ·, 1) un grupo y S ≠ ∅ un subconjunto de G.
Se dice que S es un subgrupo de G si S bajo la operación · tiene estructura
de grupo. En tal caso se escribe S ≤ G.
De acuerdo con esta definición se tendrían que verificar cuatro condicio-
nes para garantizar que un subconjunto ∅ ≠ S ⊆ G constituye un subgrupo:
(i) Si x , y ∈ S, entonces x · y ∈ S.
(ii) La operación · es asociativa en S.
(iii) Respecto a la operación ·, en S hay elemento identidad.
(iv) Cada elemento x de S tiene un inverso x−1 en S respecto a la opera-
ción · y del elemento identidad encontrado en (iii).
Sin embargo, como lo muestra la siguiente proposición, sólo hay que com-
probar el cumplimiento de dos condiciones.
Proposición 1.3.2. Sea (G , ·, 1) un grupo y ∅ ≠ S ⊆ G. S es un subgrupo de
G respecto a la operación · si, y sólo si, se cumplen las siguientes condiciones:
(i) Si a, b ∈ S, entonces a · b ∈ S.
(ii) Si a ∈ S, entonces a−1 ∈ S.
12 · Grupos y subgrupos
Demostración. ⇒): si S es un subgrupo de G, entonces S bajo la operación
· es un grupo. Por tanto, · es una operación binaria en S, con lo cual se
garantiza la condición (i). Puesto que S ≠ ∅, sea a ∈ S, sabemos entonces
que las ecuaciones a ·x = a y x · a = a tienen soluciones únicas en el grupo S,
pero estas condiciones pueden ser consideradas en el grupoG, por tanto, 1,
que es la solución de ellas enG, debe ser también la solución en S, es decir,
1 ∈ S. Ahora, las ecuaciones a · x = 1 y x · a = 1 también tienen soluciones
únicas tanto en S como en G. Esto indica que a−1 ∈ S, luego la condición
(ii) está demostrada.
⇐): la condición (i) indica que · define en S una operación binaria inter-
na. La asociatividad de · en S es evidente ya que se cumple para todos los
elementos de G, en particular, para los elementos de S. Sea a ∈ S (S ≠ ∅).
Entonces, según (ii), a−1 ∈ S y, por (i), a · a−1 = 1 = a−1 · a, con lo cual
1 ∈ S. □✓
Ejemplo 1.3.3 (Subgrupos triviales) . Todo grupo (G , ·, 1) tiene al menos
dos subgrupos, llamados sus subgrupos triviales:
1 := {1} y G := (G , ·, 1).
Ejemplo 1.3.4. (ℤ, +, 0) ≤ (ℚ, +, 0) ≤ (ℝ, +, 0) ≤ (ℂ, +, 0).
Esta cadena de subgrupos induce la siguiente propiedad evidente.
Proposición 1.3.5. Sean (G , ·, 1) un grupo, (H , ·, 1) un subgrupo de G y
(K , ·, 1) un subgrupo de H . Entonces, (K , ·, 1) es un subgrupo de (G , ·, 1).
Demostración. Evidente a partir de la proposición 1.3.2. □✓
Ejemplo 1.3.6. (ℤ∗ , ·, 1) ≤ (ℚ∗ , ·, 1) ≤ (ℝ∗ , ·, 1) ≤ (ℂ∗ , ·, 1).
Ejemplo 1.3.7. Sean X un conjunto no vacío, S (X) el grupo de permu-
taciones de X respecto a la operación de composición de funciones, x0 un
elemento fijo de X yC := { f ∈ S (X) | f (x0) = x0} el conjunto de funciones
que dejan fijo el punto x0. Entonces, C ≤ S (X). En efecto, veamos que se
cumplen las condiciones de la proposición 1.3.2:C ≠ ∅ ya que iX ∈ C. Sean
f , g ∈ C, entonces ( f ◦ g) (x0) = f [g (x0)] = f (x0) = x0, así pues f ◦ g ∈ C.
Ahora, sea f ∈ C; f −1(x0) = f −1 [ f (x0)] = ( f −1 ◦ f ) (x0) = iX (x0) = x0, por
tanto f −1 ∈ C.
Como caso particular, sean S (X) = S3 y C el conjunto de permutaciones
que dejan fijo el punto 3, entonces
C =
iX =
©­­«
1 2 3
↓ ↓ ↓
1 2 3
ª®®¬ , g =
©­­«
1 2 3
↓ ↓ ↓
2 1 3
ª®®¬
 .
Grupos y subgrupos · 13
Ejemplo 1.3.8. Para un semigrupo con notación multiplicativa fueron de-
finidas las potencias enteras positivas (véase la proposición 1.1.8). Preten-
demos ahora extender estas potencias a todos los enteros y presentar la co-
rrespondiente notación para el caso de los grupos aditivos. SeaG un grupo,
entonces
Notación multiplicativa Notación aditiva
(G , ·, 1) (G , +, 0)
a1 := a 1 · a := a
an := an−1 · a, n ∈ ℤ+ n · a := (n − 1) · a + a, n ∈ ℤ+
a0 := 1 0 · a := 0
a−n:= (a−1)n , n ∈ ℤ+ (−n) · a := n · (−a) , n ∈ ℤ+
Teniendo en cuenta esta definición, es posible demostrar por inducción
matemática las siguientes relaciones en cualquier grupo: para cualesquie-
ra m, n ∈ ℤ se tiene
(an)m = anm m · (n · a) = (mn) · a
an · am = an+m (n · a) + (m · a) = (n + m) · a
(an)−1 = a−n −(n · a) = (−n) · a
Sea (G , ·, 1) un grupo y sea a un elemento cualquiera de G. Simboli-
zamos por ⟨a⟩ el conjunto de todos los elementos de G que son potencias
enteras de a:
⟨a⟩ = {. . . , a−3 , a−2 , a−1 , 1, a, a2 , a3 , . . . } = {an | n ∈ ℤ}.
Nótese que ⟨a⟩ es un subgrupo de G: claramente ⟨a⟩ es no vacío ya que
a ∈ ⟨a⟩, y además, si x = an ∈ ⟨a⟩ , y = am ∈ ⟨a⟩, entonces xy = an+m ∈ ⟨a⟩;
si x = an ∈ ⟨a⟩, entonces x−1 = (an)−1 = (a−n) ∈ ⟨a⟩.
⟨a⟩ se denomina el subgrupo cíclico de G generado por el elemento a
(véase también más adelante la definición 2.1.1). En notación aditiva tene-
mos que el subgrupo cíclico generado por a es:
⟨a⟩ = {. . . , −3 · a, −2 · a, −a, 0, a, 2 · a, 3 · a, . . . } = {n · a | n ∈ ℤ} .
Definición 1.3.9. Sea G un grupo. Se dice que G es cíclico si existe un
elemento a ∈ G tal que el subgrupo cíclico generado por a coincide con
todo el grupoG, es decir,G = ⟨a⟩.
Ejemplo 1.3.10 (El grupo ℤ) . (ℤ, +, 0) es un grupo cíclico y todos sus
subgrupos son cíclicos. En efecto, sea H ≤ ℤ. Si H = {0} es el subgrupo
14 · Grupos y subgrupos
trivial nulo, entonces claramente ⟨0⟩ = {0} y H es cíclico. Ahora supon-
gamos que H ≠ {0}. Entonces existe k ≠ 0, k entero, k ∈ H . Si k ∈ ℤ−,
entonces −k ∈ ℤ+ y −k ∈ H . Así,
H+ :=
{
x ∈ H | x ∈ ℤ+
}
≠ ∅.
Puesto que (ℤ+ , ≤) es bien ordenado, existe un entero positivo mínimo n
en H . Queremos probar que H coincide con el subgrupo cíclico generado
por n, es decir, H = ⟨n⟩ . En efecto, sea p ∈ H . Existen enteros q , r tales
que p = q · n + r , 0 ≤ r < n, luego r = p + [− (q · n)]. Si q ∈ ℤ+, en-
tonces r = p + q · (−n). Como −n y p ∈ H se tiene que r ∈ H . Por la
escogencia de n , r = 0 y así p = q · n ∈ ⟨n⟩. Si q ∈ ℤ−, entonces −q ∈ ℤ+ y
r = p + [(−q) · n]. Como p, n ∈ H , entonces r ∈ H y, nuevamente, r = 0,
con lo cual p = q · n ∈ ⟨n⟩. Si q = 0, entonces p = r ∈ H , luego r = 0, y
así, p = 0 ∈ ⟨n⟩. En los tres casos hemos probado que H ≤ ⟨n⟩. Puesto que
n ∈ H , la otra inclusión es obvia. Se ha demostrado que cada subgrupo H
de ℤ es cíclico y generado por el menor entero positivo n contenido en H .
Además, ⟨n⟩ = ⟨−n⟩ . Así pues, los subgrupos de ℤ son: ⟨n⟩ , n ≥ 0.
Observación 1.3.11. En adelante omitiremos en la teoría general de gru-
pos con notación mutltiplicativa el punto para representar la operación co-
rrespondiente, así, escribiremos xy en lugar de x ·y para denotar el producto
de los elementos x, y.
4. Generación de subgrupos
Dado un subconjunto X de un grupoG se desea establecer si existe un sub-
grupoH enG, distinto deG, que contenga a X . En el caso en que podamos
determinar una colección de tales subgrupos, conviene preguntar cuál es
el subgrupo más pequeño de G que contiene X . Antes de responder estas
preguntas aclaremos primero la expresión “subgrupo más pequeño”.
Proposición 1.4.1. SeaG un grupo. En el conjunto de todos los subgrupos deG
la relación “ser subgrupo de” determina un orden parcial.
Demostración. Evidente. □✓
Como en cualquier conjunto parcialmente ordenado, podemos hablar de
subgrupo maximal y subgrupo minimal.
Definición 1.4.2. Sean (G , ·, 1) un grupo yH ≠ G un subgrupo deG.
Grupos y subgrupos · 15
(i) Se dice que que H es un subgrupo maximal de G si para cada sub-
grupo K deG se tiene
H ≤ K ⇔ (K = H ó K = G).
(ii) Se dice que H ≠ {1} es un subgrupo minimal de G si para cada
subgrupo K deG se tiene
K ≤ H ⇔ (K = H ó K = {1}).
Ejemplo 1.4.3. Los subgrupos maximales del grupo (ℤ, +, 0) son de la
forma ⟨p⟩, donde p es primo. Además, (ℤ, +, 0) no posee subgrupos mini-
males.
Queremos responder ahora las preguntas planteadas al principio de la
sección.
Proposición 1.4.4. SeanG un grupo, {Hi}i∈I una familia de subgrupos deG y
X un subconjunto cualquiera deG. Entonces,
(i) La intersección
⋂
i∈I Hi es un subgrupo deG.
(ii) Existe en G un subgrupo, denotado por ⟨X⟩, que contiene a X y es el más
pequeño subgrupo deG con dicha propiedad.
(iii) ⟨X⟩ coincide con la intersección de la familia de todos los subgrupos deG que
contienen a X .
(iv) ⟨∅⟩ = 1.
Demostración. Evidente. □✓
La proposición anterior no permite de una manera concreta determinar
los elementos del subgrupo ⟨X⟩, ya que sería necesario determinar todos los
subgrupos de G que contienen X y luego efectuar la intersección. Se tiene
el siguiente resultado.
Proposición 1.4.5. Sean (G , ·, 1) un grupo y X ≠ ∅ un subconjunto de G.
Entonces,
⟨X⟩ =
{
x𝜀11 · · · x
𝜀n
n | xi ∈ X , 𝜀i = ±1, n ≥ 1
}
.
Demostración. Sea S el conjunto de la derecha de la igualdad anterior. En-
tonces, S es un subgrupo deG: en efecto, sean x = x𝜀11 · · · x
𝜀n
n , y = y
𝜃1
1 · · · y
𝜃m
m
dos elementos de S, entonces xy = x𝜀11 · · · x
𝜀n
n y
𝜃1
1 · · · y
𝜃m
m tiene la forma de
16 · Grupos y subgrupos
los elementos del conjunto S. Es claro que el inverso de un elemento de S
tiene la forma de los elementos de S. Además, S contiene al conjunto X : en
efecto, para cada elemento x de X se tiene que x = x1 ∈ S. De lo anterior
se obtiene que ⟨X⟩ ≤ S.
De otra parte,
⟨X⟩ =
⋂
X⊆H ≤G
H ,
entonces cada H que contiene a X contiene a todos los productos de ele-
mentos de X e inversos de elementos de X , así pues, cada H que contiene
a X contiene también a S, luego S ≤ ⟨X⟩. □✓
Corolario 1.4.6. Sean (G , ·, 1) un grupo abeliano y ∅ ≠ X ⊆ G. Entonces,
⟨X⟩ = {xk11 · · · x
kn
n | ki ∈ ℤ, xi ∈ X , n ≥ 1}.
En notación aditiva, ⟨X⟩ = {k1 · x1 + · · · + kn · xn | ki ∈ ℤ, xi ∈ X , n ≥ 1}.
Demostración. Como G es abeliano, para cada elemento
x = x𝜀11 · · · x
𝜀n
n ∈ ⟨X⟩ podemos agrupar las potencias de elementos igua-
les. □✓
Definición 1.4.7. Sea G un grupo y sea X un subconjunto de G. ⟨X⟩ se
denomina el subgrupo generado por X y a X se le llama un conjunto de
generadores de ⟨X⟩. Si X es finito y ⟨X⟩ = G se dice que G es un grupo
finitamente generado.
Ejemplo 1.4.8. Todo grupo cíclico G con generador a es un grupo finita-
mente generado con conjunto generador {a}:
G = ⟨{a}⟩ = ⟨a⟩ = {ak | k ∈ ℤ}.
Nótese por ejemplo que
ℤ = ⟨{1}⟩ = ⟨1⟩ = {k · 1 | k ∈ ℤ} .
Ejemplo 1.4.9. Sea (ℚ, +, 0) el grupo aditivo de los números racionales,
entonces
ℚ =
〈
1
n
| n ∈ ℕ
〉
.
En efecto, sea r un racional. Si r es positivo entonces podemos considerar
que r es de la forma r = pq , con p, q ∈ ℕ, luego r = p ·
(
1
q
)
. Si r = 0 entonces
r = 01 = 0 ·
(
1
1
)
. Si r es negativo entonces podemos suponer que r es de la
forma r = −pq , con p, q ∈ ℕ, luego r = (−p) ·
(
1
q
)
.
Grupos y subgrupos · 17
Ejemplo 1.4.10. Sea (ℚ∗ , ·, 1) el grupo multiplicativo de los números ra-
cionales no nulos, entonces
ℚ∗ = ⟨−1, 2, 3, 5, 7, . . . ⟩ = ⟨x ∈ ℚ | x = −1 ó x es primo positivo⟩ .
En efecto, sea z un racional no nulo. Si z es positivo entonces z es de la
forma pq con p, q ∈ ℕ. p y q se pueden descomponer en factores primos,
p = p𝛼11 · · · p
𝛼r
r , q = q
𝛽1
1 · · · q
𝛽 s
s , con 𝛼1 , . . . , 𝛼r , 𝛽1 , . . . , 𝛽 s ∈ ℕ ∪ {0},
z =
p
q
= pq−1 =
(
p𝛼11 · · · p
𝛼r
r
) (
q−𝛽11 · · · q
−𝛽 s
s
)
.
Si z es negativo, podemos suponer que z es de la forma − pq con p, q ∈ ℕ,
entonces
z = −p
q
= (−1) p
q
= (−1)pq−1 = (−1)
(
p𝛼11 · · · p
𝛼r
r
) (
q−𝛽11 · · · q
−𝛽 s
s
)
.
Proposición 1.4.11. Sea G un grupo y H un subconjunto no vacío de G. En-
tonces
(i) H ≤ G ⇔ ⟨H⟩ = H .
(ii) X ⊆ Y ⊆ G ⇒ ⟨X⟩ ≤ ⟨Y ⟩.
(iii) ⟨X⟩ ∪ ⟨Y ⟩ ⊆ ⟨X ∪Y ⟩.
Demostración. (i) Esta primera afirmación es evidente.
(ii) ⟨Y ⟩ es un subgrupo deG que contiene aY ⊇ X , por tanto, ⟨X⟩ ≤ ⟨Y ⟩.
(iii) ⟨X ∪ Y ⟩ ⊇ X ∪ Y ⊇ X , luego ⟨X ∪ Y ⟩ ≥ ⟨X⟩. Análogamente,
⟨X ∪ Y ⟩ ≥ ⟨Y ⟩, de donde ⟨X⟩ ∪ ⟨Y ⟩ ⊆ ⟨X ∪ Y ⟩ (en general, la unión de
subgrupos no es un subgrupo). □✓
Proposición 1.4.12. SeaG un grupo finitamente generado y seaH un subgrupo
propio deG. Entonces, existe un subgrupomaximal deG que contiene a H .
Demostración. Sea {x1 , . . . , xn} un sistema finito de generadores de G. Sea
Φ := {K | H ≤ K ⪇ G}. Observemos que Φ ≠ ∅ ya que H ∈ Φ. (Φ, ≤) es
un conjunto parcialmente ordenado. Sea Φ0 una cadena de Φ. Sea
H ′ :=
⋃
K, la unión de los subgrupos K de esta cadena. Nótese que
H ≤ H ′ ≤ G . En efecto, sean x , y ∈ H ′, entonces existen Kx , Ky ∈ Φ0
tales que x ∈ Kx , y ∈ Ky. Como Φ0 es totalmente ordenado podemos supo-
ner que Kx ≤ Ky , y entonces x , y ∈ Ky , luego xy ∈ Ky , con lo cual xy ∈ H ′.
Además, x−1 ∈ Kx ⊆ H ′. Ahora, como H ≤ K para cada K ∈ Φ0, entonces
H ≤ H ′.
18 · Grupos y subgrupos
Observemos queH ′ ≠ G . En efecto, siH ′ = G = ⟨x1 , . . . , xn⟩, entonces
x1 ∈ Kx1 , . . . , xn ∈ Kxn , con Kxi ∈ Φ0. Existe Kx j tal que x1 , . . . , xn ∈ Kx j ,
luegoG ≤ Kx j , es decir,Kx j = G, lo cual es contradictorio. Así pues,H ′ ≠ G.
H ′ es cota superior para Φ0 en Φ. De acuerdo con el Lema de Zorn, Φ tiene
elemento maximal H0 el cual es obviamente subgrupo maximal deG. □✓
5. Teorema de Lagrange
Sea G un grupo con un número finito de elementos y sea H un subgru-
po deG. Resulta interesante preguntar qué relación guardan la cantidad de
elementos de H con la cantidad de elementos de G. En esta sección mos-
traremos que el número de elementos deH divide al número de elementos
del grupo dadoG.
Proposición 1.5.1. Sea G un grupo y sea H un subgrupo de G. La relación en
G definida por
a ≡ b ⇔ ab−1 ∈ H , con a, b ∈ G (5.1)
es de equivalencia.
Demostración. Reflexiva: sea a ∈ G, entonces a ≡ a ya que aa−1 = 1 ∈ H .
Simétrica: sean a, b ∈ G tales que a ≡ b . Entonces, ab−1 ∈ H , pero como
H ≤ G tenemos que (ab−1)−1 = ba−1 ∈ H , es decir, b ≡ a.
Transitiva: sean a, b , c elementos de G tales que a ≡ b y b ≡ c. Enton-
ces ab−1 ∈ H y bc−1 ∈ H . De ahí resulta que (ab−1) (bc−1) ∈ H , es decir,
ac−1 ∈ H , y por tanto, a ≡ c. Esto completa la demostración de la proposi-
ción. □✓
Observación 1.5.2. (i) Si dos elementos a y b deG están relacionados me-
diante (5.1) se dice que a es congruente con b módulo H.
(ii) Si el grupo G tiene notación aditiva entonces la relacion ≡ se define
como a ≡ b ⇔ a − b ∈ H .
Es conocido que cualquier relación de equivalencia ≡ definida sobre un
conjuntoG determina una partición de dicho conjunto en clases de equiva-
lencia disyuntas entre sí, y la reunión de las cuales da G. Así, para el caso
que estamos tratando, dado a un elemento cualquiera del grupo G, la clase
de equivalencia a la cual pertenece el elemento a será denotada por [a] y
constituída por todos los elementos x deG con los cuales a está relacionado
mediante la relación ≡, es decir,
[a] = {x ∈ G | a ≡ x} =
{
x ∈ G | ax−1 ∈ H
}
.
Grupos y subgrupos · 19
Como dijimos antes, la reunión de las clases determinadas por la relación ≡
es todo el grupoG,
G =
⋃
a∈G
[a].
Proposición 1.5.3. SeaG un grupo,H ≤ G, y ≡ la relación de equivalencia defi-
nida en (5.1) . Sea a un elemento cualquiera de G. Entonces,
[a] = Ha := {xa | x ∈ H }. En particular, [1] = H .
Demostración. Sea z ∈ [a], entonces a ≡ z. Por ser ≡ una relación simétrica
tenemos que z ≡ a, y entonces za−1 = x, con x ∈ H , luego z = xa ∈ Ha.
Hemos probado que [a] ⊆ Ha. Recíprocamente, sea z = xa un elemento
de Ha, con x ∈ H , entonces za−1 = x ∈ H , o sea z ≡ a, de donde a ≡ z, es
decir, z ∈ [a]. □✓
Definición 1.5.4. Sean G un grupo, H ≤ G y a ∈ G. El conjunto Ha se
llama la clase lateral derecha del elemento a módulo H .
La proposición anterior muestra que la clase del elemento identidad 1
del grupo G coincide con el subgrupo H . Luego [1] y H tienen la misma
cantidad de elementos. A continuación probaremos que todas las clases tie-
nen la cardinalidad deH , y por tanto, todas las clases de equivalencia tienen
la misma cantidad de elementos.
Proposición 1.5.5. Sean G un grupo, H un subgrupo de G y ≡ la relación de
equivalencia definida en (5.1) . Entonces, todas las clases de equivalencia determi-
nadas por ≡ tienen el mismo cardinal que el subgrupo H .
Demostración. Sea a un elemento cualquiera de G. Entonces [a] = Ha y
la función f : Ha −→ H , f (xa) = x , x ∈ H , es biyectiva. En efec-
to, claramente f es sobreyectiva. Supóngase que f (xa) = f (ya), entonces
x = y, y así, xa = ya, con lo cual f es inyectiva. □✓
Estamos ya en condiciones de demostrar el teorema de Lagrange para
grupos finitos. SiG es un grupo, |G | denota el cardinal deG.
Teorema 1.5.6 (Teorema de Lagrange) . Sea G un grupo finito y sea H un
subgrupo cualquiera deG. Entonces, |H | | |G |.
Demostración. Puesto queG es finito entoncesH determina un número fini-
to de clases de equivalencia enG. Sea k el número de clases de equivalencia
definidas, como estas clases son disyuntas y, además, todas tienen |H | ele-
mentos, entonces |H |+· · ·+|H | = |G | , es decir, k |H | = |G |, así |H | | |G |. □✓
20 · Grupos y subgrupos
Definición 1.5.7. SeanG un grupo yH un subgrupo deG. El cardinal del
conjunto de clases de equivalencia determinado porH mediante la relación
definida en (5.1) se llama el índice del subgrupo H en el grupo G y se
simboliza por |G : H |.
CuandoG es finito se tiene que
|G : H | = |G ||H | . (5.2)
Ejemplo 1.5.8. (i) SeaG = S3 y sea H = {1, f }, con 1 la función idéntica
y
f =
(
1 2 3
1 3 2
)
.
Calculemos |G : H | y determinemos el conjunto de clases laterales de H .
Denotemos mediante 1 a la función idéntica. Por el teorema de Lagran-
ge, |G : H | = |G ||H | =
6
2 = 3, H1 = H = {1, f }, Hh = {h, f h} = {h, k},
H f =
{
f , f 2
}
= {1, f }, Hk = {k , f k} = {k , h}, Hg = {g , f g} = {g , m},
Hm = {m, f m} = {m, g}. Nótese que H1 = H f = H , Hg = Hm y
Hh = Hk, es decir, se tienen 3 clases de equivalencia tal como lo había
pronosticado el teorema de Lagrange. Obsérvese que una clase de equiva-
lencia, o en otras palabras, una clase lateral derecha no es en general un
subgrupo del grupo dado.
(ii) |ℤ : ⟨n⟩| = n, para n ≥ 1 y |ℤ : ⟨0⟩| = ℵ0.
6. Ejercicios
1. Demuestre por inducción las proposiciones 1.1.8 y 1.1.13.
2. SeaG un conjunto dotado de una operación binaria interna ∗. Se dice
que un elemento e ∈ G es:
(i) Identidad a la izquierda de ∗ si e ∗ a = a, cualquiera que sea
a ∈ G .
(ii) Identidad a la derecha de ∗ si a∗e = a, cualquiera que sea a ∈ G.
Sean e1 y e2 elementos deG tales que e1 es identidad a la izquierda de
∗ y e2 es identidad a la derecha de ∗. Pruebe que e1 = e2.
3. Compruebe que en:
(i) (ℕ, ∗), con a ∗ b := a, todo elemento de ℕ es identidad a la de-
recha, pero no existe identidad a la izquierda.
Grupos y subgrupos · 21
(ii) (ℕ, ∗), con x ∗ y := máximo común divisor de x e y, no hay
elementos identidad.
(iii) (ℕ, ∗), con a ∗ b := mínimo común múltiplo de a y b, 1 es el
elemento identidad.
(iv) (ℤ, ∗), con a ∗ b := a − b, 0 es identidad a la derecha pero no
posee identidad a la izquierda.
4. SeaG un conjunto dotado de una operación binaria interna ∗ asocia-
tiva, la cual posee elemento identidad e. Para a ∈ G, se dice que:
(i) a posee un inverso a la izquierda (respecto a e) si existe b ∈ G
tal que b ∗ a = e.
(ii) a posee un inverso a la derecha (respecto a e) si existe c ∈ G tal
que a ∗ c = e.
Demuestre que si a posee un inverso a la izquierda b y un inverso a la
derecha c, entonces b = c.
5. Demuestre la proposición 1.2.6.
6. Sean (A, ∗) y (B, Δ) conjuntos con operaciones binarias internas. Una
función f : A −→ B se denomina un homomorfismo si f respeta las
operaciones de los conjuntos A y B, es decir,
f (a1 ∗ a2) = f (a1)Δ f (a2) ,
para cualesquiera elementos a1 y a2 de A. Además, si A y B poseen
elementos identidad e y k respectivamente, entonces f debe cumplir
la propiedad adicional f (e) = k. Sea f un homomorfismo de A en
B. Pruebe por inducción que f (an) = f (a)n para todo a ∈ A y todo
n ∈ ℕ. Pruebe además que si a es invertible en A, entonces f (a) es
invertible en B y f (a−1) = f (a)−1.
7. Sea f : (A, ∗, e) −→ (B, Δ, k) un homomorfismo de A en B, donde e
y k son los respectivos elementos identidad. Se definen los siguientes
objetos:
(i) El conjunto de imágenes dela función f se llama imagen del
homomorfismo f y se simboliza por Im( f ). Así,
Im( f ) := { f (x) | x ∈ A}.
22 · Grupos y subgrupos
(ii) El conjunto de elementos de A cuya imagen es el elemento iden-
tidad k se llama el núcleo del homomorfismo f y se denota por
ker( f ) (de la palabra alemana kernel). Así,
ker( f ) := {x ∈ A | f (x) = k} .
(iii) Se dice que f es sobreyectivo si la función f es sobreyectiva, es
decir, Im( f ) = B.
(iv) Se dice que f es inyectivo si la función f es inyectiva, es decir,
para cualesquiera elementos x , y ∈ A, la igualdad f (x) = f (y)
implica x = y.
(v) Se dice que f es un isomorfismo si f es sobreyectivo e inyectivo.
(vi) Si los conjuntos A yB coinciden y las operaciones ∗ yΔ también,
entonces un isomorfismo f en este caso se denomina automor-
fismo de A.
Sea X un conjunto y sea P (X) su conjunto de partes. Sea
f : (P (X) , ∪) −→ (P (X) , ∩) la función que a cada subconjunto V
de X le asigna su complemento: f (V ) = X −V . Determine las identi-
dades en (P (X) , ∪) y (P (X) , ∩) y demuestre que f es un isomorfismo
(∪ representa la unión de conjuntos y ∩ la intersección).
8. Sea A un conjunto dotado de una operación binaria interna ∗. Su-
pongamos que en A ha sido definida una relación de equivalencia
≡ . Se dice que la relación ≡ es compatible con la operación ∗ si
para cualesquiera a1 , b1 , a2 , b2 ∈ A, a1 ≡ b1 y a2 ≡ b2, implican
a1 ∗ a2 ≡ b1 ∗ b2. Denotemos para A el conjunto A/≡ de clases de
equivalencia [a] , a ∈ A. Se desea definir en A una operación binaria
inducida por ∗ y ≡. Sean [a] y [b] elementos de A, entonces definimos
[a]∗[b] = [a ∗ b]. (6.1)
(i) Demuestre que (6.1) está bien definida, es decir, muestre que
para otros representantes a1 y b1 de las clases [a] y [b], respec-
tivamente, se cumple que [a1]∗[b1] = [a]∗[b].
(ii) Demuestre que la función j : (A, ∗) −→ (A, ∗), que asigna a
cada elemento a de A su clase [a], es un homomorfismo sobre-
yectivo.
9. Sea f : (A, ∗) −→ (B, Δ) un homomorfismo sobreyectivo. Definimos
en A la relación ≡ como sigue:
Grupos y subgrupos · 23
a1 ≡ a2 ⇔ f (a1) = f (a2), para cualesquiera a1 y a2 en A.
(i) Demuestre que ≡ es una relación de equivalencia.
(ii) Demuestre que ≡ es compatible con ∗, es decir, si a1 ≡ a2 y
b1 ≡ b2, entonces a1 ∗ b1 ≡ a2 ∗ b2.
(iii) Sean A, ∗ definidos como en el ejercicio anterior. Entonces, de-
muestre que f : (A, ∗) −→ (B, Δ), definido por f ( [a]) := f (a),
es un isomorfismo (como toda función definida sobre un conjun-
to cociente, es importante probar como primer paso que f está
bien definida, es decir, que si a1 ≡ a2, entonces
f ( [a1]) = f ( [a2])).
10. Sea (G , ·) un semigrupo finito en el cual se cumplen las leyes can-
celativas, es decir, para cualesquiera elementos a, b , c ∈ G, se tiene
que:
ac = bc ⇔ a = b ,
ca = cb ⇔ a = b.
Demuestre que (G , ·) es un grupo.
11. Pruebe que si (G , ·) es un semigrupo en el cual las ecuaciones ax = b
y xa = b son solubles para cualesquiera elementos a, b ∈ G, entonces
(G , ·) es un grupo.
12. Demuestre que el conjunto G := {(a, b) | a, b ∈ ℝ, a ≠ 0} con la
operación
(a, b) (c , d) := (ac , ad + b)
es un grupo. ¿G es conmutativo?
13. Sea G un grupo tal que (ab)2 = a2b2, para cualesquiera elementos
a, b ∈ G. Pruebe queG es conmutativo.
14. Pruebe que todo grupo finito de tamaño n ≤ 5 es conmutativo.
15. Sea ℝ−{0} el conjunto de reales no nulos con la operación ◦ definida
por
a ◦ b := |a |b.
Pruebe que ◦ es asociativa, que existe elemento identidad al lado iz-
quierdo y que cada elemento tiene inverso al lado derecho respecto a
la identidad de la izquierda. ¿EsG un grupo?
24 · Grupos y subgrupos
16. Cada una de las siguientes tablas define operaciones binarias internas
de las cuales se sabe que son asociativas. Compruebe que ellas definen
grupos:
ℤ4 = {0, 1, 2, 3} V = {e, a, b , c}
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
. e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e
¿Es ℤ4 un grupo conmutativo? ¿Es V un grupo conmutativo? ¿Es
{0, 2} ≤ ℤ4? ¿Es {e, c} ≤ V ? ¿Es {0, 3} ≤ ℤ4? ¿Es {e, a, b} ≤ V ?
17. Sea H un subconjunto finito no vacío de un grupo (G , ·, 1) y sea H
cerrado respecto a la operación, es decir, a, b ∈ H implica ab ∈ H .
Demuestre que H es un subgrupo deG.
18. Sea G un grupo y a un elemento de G. Se define
NG (a) := {x ∈ G | xa = ax}. NG (a) se llama el normalizador de
a enG. Demuestre que NG (a) ≤ G.
19. Sea (G , ·, 1) un grupo abeliano. Pruebe que el conjunto
H := {x ∈ G | x2 = 1} es un subgrupo deG.
20. Sea Mn (ℝ) el grupo de matrices reales de tamaño n × n, n ≥ 1, con
respecto a la adición, y sea D el conjunto de matrices de Mn (ℝ) que
son diagonales, es decir,
D :=
diag(d1 , . . . , dn) :=

d1 0
. . .
0 dn
 | d1 , . . . , dn ∈ ℝ
 .
Demuestre que D ≤ Mn (ℝ).
21. Sea GLn (ℝ) el grupo lineal general de orden n sobre los números
reales, es decir,GLn (ℝ) := Mn (ℝ)∗ es el grupo de elementos inverti-
bles del semigrupo multiplicativo (Mn (ℝ) , ·). Entonces,
(i) Sea SLn (ℝ) el subconjunto de GLn (ℝ) constituido por las ma-
trices de determinante 1, es decir,
SLn (ℝ) := {F ∈ GLn (ℝ) | det(F ) = 1} .
Grupos y subgrupos · 25
Demuestre que SLn (ℝ) ≤ GLn (ℝ). SLn (ℝ) se denomina el
grupo especial de orden n sobre ℝ.
(ii) Sea
Dn (ℝ) := {diag(d1 , . . . , dn) ∈ Mn (ℝ) | d1 · · · dn ≠ 0}.
Demuestre que Dn (ℝ) ≤ GLn (ℝ). Dn (ℝ) se conoce como el
grupo de matrices diagonales de orden n sobre ℝ.
(iii) Sea
Tn (ℝ) := {F ∈ Mn (ℝ) | f11 · · · fnn ≠ 0, fi j = 0 si i > j}.
Demuestre queTn (ℝ) ≤ GLn (ℝ).Tn (ℝ) se denomina el grupo
de matrices triangulares superiores de orden n sobre ℝ.
(iv) Sea
UTn (ℝ) := {F ∈ Tn (ℝ) | fii = 1, 1 ≤ i ≤ n}.
Demuestre que UTn (ℝ) ≤ Tn (ℝ) ∩ SLn (ℝ). UTn (ℝ) se deno-
mina el grupo de matrices unitriangulares superiores de orden
n sobre ℝ.
(iv) Para 1 ≤ m ≤ n, seaUTmn (ℝ) el conjunto de matrices unitrian-
gulares F = [ fi j] ∈ UTn (ℝ) tales que fi j = 0, para
i < j < i+m, es decir, las primeras m−1 diagonales consecutivas
por encima de la diagonal principal de F son nulas. Demuestre
queUTmn (ℝ) ≤ UTn (ℝ), y además,
UTn (ℝ) =UT1n (ℝ) ⊇ UT2n (ℝ) ⊇ · · · ⊇ UT nn (ℝ) = {E},
con E la matriz idéntica.
22. En el grupoGLn (ℝ) se tienen tres tipos de matrices elementales:
(i) Matrices propiamente elementales o transvecciones:
Ti j (a) := E + aEi j , i ≠ j, a ∈ ℝ, con Ei j ∈ Mn (ℝ) la matriz ca-
nónica que tiene todas sus entradas nulas, salvo la entrada (i , j)
que es 1. Nótese queTi j (a) ∈ SLn (ℝ).
(ii) Matrices diagonales: Di (d) := diag(1, . . . , d , . . . , 1) ∈ Dn (ℝ),
0 ≠ d ∈ ℝ, 1 ≤ i ≤ n.
(iii) Permutaciones: Pi j = E − Eii − E j j + Ei j + E ji .
Demuestre que:
26 · Grupos y subgrupos
(i) GLn (ℝ) se puede generar por matrices elementales:
GLn (ℝ)
= ⟨Ti j (a) , Dn (d) | 1 ≤ i , j ≤ n , i ≠ j , a ∈ ℝ, 0 ≠ d ∈ ℝ⟩.
(ii) SLn (ℝ) = ⟨Ti j (a) | 1 ≤ i , j ≤ n , i ≠ j , a ∈ ℝ⟩.
(iii) Dn (ℝ) = ⟨Di (di) | 0 ≠ di ∈ ℝ, 1 ≤ i ≤ n⟩.
(iv) Tn (ℝ) = ⟨Ti j (a) , Di (di) | j > i , a ∈ ℝ, 0 ≠ di , 1 ≤ i , j ≤ n⟩.
(iv) UTn (ℝ) = ⟨Ti j (a) | j > i , a ∈ ℝ, 1 ≤ i , j ≤ n⟩.
(v) UTmn (ℝ) = ⟨Ti j (a) | j − i ≥ m, a ∈ ℝ, 1 ≤ i , j ≤ n⟩.
Capítulo
dos
Grupos cíclicos
Grupos cíclicos · 29
Una rama destacada dentro de la teoría de grupos la constituyen los llama-
dos grupos abelianos. Quizá los grupos abelianos más importantes son los
llamados grupos cíclicos ya que los grupos abelianos finitamente generados
son expresables a través de sumas directas de grupos cíclicos. En este capí-
tulo mostraremos las propiedades básicas de los grupos cíclicos finitos. Se
establecerá la relación que guardan los conceptos de periodo de un elemento
y orden. Para grupos cíclicos finitos son demostradas algunas proposiciones
relacionadas con el orden de sus subgrupos y el número de generadores de
dichos grupos. Al final del capítulo hemos incluido una serie de ejercicios
donde se estudian algunas aplicaciones de los grupos cíclicos a teoría ele-
mental de números.
1. Definición
SeaG un grupo cualquiera y sea a un elemento arbitrario deG. El conjuntode todas las potencias enteras an , n ∈ ℤ, del elemento a constituye un
subgrupo deG llamado el subgrupo cíclico deG generado por el elemento
a. Como vimos en el capítulo anterior, cuando el grupo G sea aditivo, na,
n ∈ ℤ, representa los múltiplos enteros del elemento a. Recordemos la
nociones de subgrupo y grupo cíclico introducidas en el capítulo anterior.
Definición 2.1.1. SeaG un grupo y sea a un elemento cualquiera deG. El
conjunto
⟨a⟩ = {an | n ∈ ℤ} =
{
. . . , a−3 , a−2 , a−1 , 1, a, a2 , a3 , . . .
}
es un subgrupo del grupo G, llamado el subgrupo cíclico de G generado
por el elemento a. SiG es un grupo con notación aditiva escribiremos
⟨a⟩ = {n · a | n ∈ ℤ} = {. . . , −3 · a, −2 · a, −a, 0, a, 2 · a, 3 · a, . . . } .
Es posible que el subgrupo generado por algún elemento a del grupoG
coincida con todo el grupo: ⟨a⟩ = G. Esta situación se presenta por ejemplo
con el entero 1 en el grupo aditivo de los números enteros. Los grupos para
los cuales se tiene este tipo de situación reciben un nombre especial.
Definición 2.1.2. SeaG un grupo cualquiera. Se dice queG es cíclico siG
coincide con uno de sus subgrupos cíclicos, es decir, si existe un elemento a
enG tal que ⟨a⟩ = G. En este caso se dice que a es un generador del grupo
cíclicoG.
30 · Grupos cíclicos
Ejemplo 2.1.3. (i) ℤ es un grupo cíclico y todos sus subgrupos son cíclicos
(véase el ejemplo 1.3.10).
(ii) El grupo de raíces complejas de grado n de la unidad, n ≥ 1, es
cíclico: denotemos por Un las soluciones complejas de la ecuación xn = 1,
es decir,
Un := {z ∈ ℂ | zn = 1} ;
afirmamos que Un es un subgrupo de (ℂ∗, ·, 1). En efecto, Un ≠ ∅ ya que
1n = 1 y por lo tanto 1 ∈ Un . Sean z1 y z2 elementos de Un , entonces
(z1z2)n = zn1z
n
2 por ser (ℂ
∗ , ·, 1) un grupo abeliano, luego (z1z2)n = 1 y así
z1z2 ∈ Un . Sea ahora z ∈ Un , entonces (z−1)n = z−n = (zn)−1 = 1−1 = 1, es
decir, z−1 ∈Un , con lo que la afirmación está probada.
Sea z un elemento de Un. Al escribir z en la forma polar
z = r (cos 𝜃 + i sen 𝜃), donde r = |z | es la norma de z, y teniendo en cuenta
que la norma de un producto de complejos es el producto de las normas,
concluimos que |zn | = |z |n = rn = |1| = 1. Puesto que la norma es un real
no negativo entonces r = 1 y z tiene la forma polar z = cos 𝜃 + i sen 𝜃 .
Podemos utilizar el teorema de D’Moivre para determinar la cantidad de
elementos deUn y para demostrar que este subgrupo es cíclico:
zn = cos n𝜃 + i sen n𝜃 = 1 = 1 + i0,
entonces cos n𝜃 = 1 y sen n𝜃 = 0, así n𝜃 = 2k𝜋 , k = 0, 1, 2, . . . . Des-
pejando 𝜃 obtenemos que 𝜃 = 2k𝜋n , k = 0, 1, 2, . . .. Sin embargo, por la
periodicidad de las funciones cos y sen es suficiente considerar los valores
de k hasta n−1: 𝜃 = 2k𝜋n , k = 0, 1, 2, . . . , n−1. De tal manera que si z ∈ Un
entonces z es de la forma z = cos 2k𝜋n + i sen
2k𝜋
n , con k = 0, 1, . . . , n − 1.
Utilizando la forma exponencial de z podemos demostrar que los complejos
cos 2k𝜋n + i sen
2k𝜋
n , con k = 0, 1, . . . , n − 1 son diferentes: si
cos
2k𝜋
n
+ i sen 2k𝜋
n
= cos
2k′𝜋
n
+ i sen 2k
′𝜋
n
entonces ei
2k𝜋
n = ei
2k′𝜋
n . Así, i 2k𝜋n = i
2k′𝜋
n y por tanto k = k
′.
De tal manera que
Un =
{
ei
2k𝜋
n = cos
2k𝜋
n
+ i sen 2k𝜋
n
| k = 0, 1, . . . , n − 1
}
consta de n elementos exactamente (nótese que ℂ∗ es un grupo infinito que
posee subgrupos finitos no triviales: Un , n > 1). Utilizando nuevamente
el teorema de D’Moivre comprobemos que Un es cíclico y generado por
z1 = ei
2𝜋
n = cos 2𝜋n + i sen
2𝜋
n . Sea z = e
i 2k𝜋n un elemento cualquiera de Un ,
entonces z es la k-ésima potencia de z1: (z1)k = (ei
2𝜋
n )k = ei 2k𝜋n = z. Así que,
Un ≤ ⟨z1⟩ ⊆ Un , es decir,Un = ⟨z1⟩, |Un | = n.
Grupos cíclicos · 31
2. Orden y periodo de un elemento
Consideremos nuevamente un grupo cualquieraG y ⟨a⟩ el subgrupo cíclico
generado por el elemento a de G. Vale la pena preguntar sobre la cantidad
de elementos del subgrupo ⟨a⟩. Descartemos el caso trivial a = 1; en este
caso ⟨1⟩ = {1} y es un subgrupo de un sólo elemento. Sea a ≠ 1 (en notación
aditiva a ≠ 0).
Caso infinito. Si para cada par de enteros diferentes m y n, m ≠ n,
am ≠ an entonces lógicamente ⟨a⟩ contiene una cantidad infinita de ele-
mentos y por tanto el subgrupo cíclico ⟨a⟩ es infinito. La condición que
am ≠ an para cada par de enteros diferentes m ≠ n es equivalente a la condi-
ción an ≠ 1 para todo entero n > 0. En efecto, si existe n > 0 tal que an = 1
entonces an+1 = a = a1. Recíprocamente, supóngase que hay enteros m ≠ n
tales que am = an , digamos m > n, entonces ama−n = ana−n , luego am−n = 1,
donde m − n > 0.
Definición 2.2.1. Sea (G , ·, 1) un grupo y sea a ≠ 1 un elemento cualquie-
ra de G. Se dice que a es de periodo infinito si para cada entero positivo
n > 0, an ≠ 1. En notación aditiva tendremos que 0 ≠ a ∈ (G , +, 0) es de
periodo infinito si na ≠ 0 para todo n > 0.
Caso finito. Sea G nuevamente un grupo y ⟨a⟩ el subgrupo cíclico ge-
nerado por a. Supóngase que existen enteros m ≠ n tales que am = an .
Sea m > n, entonces am−n = 1 con m − n > 0. Considérese el conjunto
A := {k ∈ ℤ+ | ak = 1}, entonces por ser (ℤ+ , ≤) un conjunto bien orde-
nado A tiene primer elemento n, es decir, n es el menor entero positivo tal
que an = 1.
Definición 2.2.2. Sea (G , ·, 1) un grupo y a un elemento cualquiera de G.
Se dice que a es de periodo finito si existe k > 0 tal que ak = 1. El menor
entero positivo n > 0 tal que an = 1 se llama el periodo del elemento a. En
notación aditiva, a ∈ (G , +, 0) es de periodo finito n si n es el menor entero
positivo tal que n · a = 0.
Podemos ahora responder a nuestra pregunta sobre el número de ele-
mentos del subgrupo cíclico generado por a.
Proposición 2.2.3. Sea G un grupo y sea a un elemento cualquiera de G. En-
tonces,
(i) El subgrupo cíclico ⟨a⟩ generado por a es infinito si, y sólo si, a es un elemento
de periodo infinito.
32 · Grupos cíclicos
(ii) El subgrupo cíclico ⟨a⟩ generado por a es finito si, y sólo si, a es un elemento
de periodo finito. Además, si n es el periodo del elemento a, entonces el orden
|⟨a⟩| del subgrupo generado por el elemento a es exactamente n, se denomina
el orden del elemento a y se simboliza por |a | . Si a es de periodo infinito se
dice que a es un elemento de orden infinito y se escribe |a | = ∞.
Demostración. (i) ⇒): supongamos que a no es un elemento de periodo infi-
nito. Entonces existe un entero k > 0 tal que ak = 1. Esto quiere decir que a
es de periodo finito. Sea n el periodo del elemento a. Afirmamos que enton-
ces ⟨a⟩ contiene exactamente n elementos diferentes:
⟨a⟩ = {1, a, a2 , a3 , . . . , an−1}. Probemos inicialmente que los elementos
1, a, a2 , a3 , . . . , an−1 son diferentes. Si ai= a j con i ≠ j e 1 ≤ i , j ≤ n − 1,
entonces, suponiendo por ejemplo i > j, tendremos que ai− j = 1 con
0 < i − j < n, pero esto contradice el hecho de ser n el periodo de a.
Sea ahora k ∈ ℤ y ak un elemento cualquiera de ⟨a⟩ . Por el algoritmo de
la división tenemos que k = ng + r con 0 ≤ r < n. Entonces ak = ang y
ar = (an)g ar = 1ar = ar . Así pues ak coincide con una de las potencias
a0 = 1, a, . . . , an−1. Esto prueba que ⟨a⟩ es finito. Nótese que cuando a es
de periodo finito n, entonces n = periodo de a = |⟨a⟩| = orden del subgrupo
cíclico generado por a = |a | = orden del elemento a.
⇐): si a es de periodo infinito, entonces an ≠ 1 para todo n > 0. Como
vimos antes, esto implica que am ≠ an para cada par de enteros diferentes m
y n, luego lógicamente ⟨a⟩ es infinito.
(ii) ⇒): supongamos que a no es de periodo finito. Entonces a es de
periodo infinito y, como acabamos de ver en (i), ⟨a⟩ es un subgrupo infinito.
⇐): si a es de periodo finito n entonces como se demostró anteriormente
⟨a⟩ contiene n elementos. □✓
Corolario 2.2.4. SeaG un grupo.
(i) SiG es finito, entonces |a | | |G |.
(ii) Sea a un elemento de periodo finito n del grupo G (G no necesariamente
finito) . Si ak = 1, con k ∈ ℤ, entonces n | k. Recíprocamente, si k es un
entero tal que n | k, entonces ak = 1.
(iii) SiG es finito,