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UNIVERSIDAD
NACIONAL
DE COLOMBIARectoría
Ignacio Mantilla Prada
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De sobra es conocido que las matemáticas se han 
convertido en una de las obstrucciones más difíciles de 
sortear en la enseñanza, tanto al nivel del colegio como 
de la universidad. En buena medida ello ocurre por la 
falta de preparación de los profesores, pero también por 
la falta de esfuerzo de los alumnos. Ambas carencias se 
podrían subsanar en parte si las matemáticas se 
presentaran con sentimientos de curiosidad, maravilla, 
profundidad y humor. 
Las incisivas columnas de prensa de Ignacio Mantilla 
incluidas en esta compilación cumplen perfectamente 
con esas características de curiosidad (papeles del 
acertijo, la intriga, lo detectivesco), maravilla 
(incursiones en la belleza, la sorpresa, lo inesperado), 
profundidad (revelación del hacer matemático, de su 
fuerza imaginativa, de su armonía estructural) y humor 
(sano distanciamiento con la disciplina, perspectivas de 
contraste, finura irónica).
[En este libro] el lector se encuentra así distribuido a lo 
largo de un amplio espectro de informaciones y 
reflexiones. La cantidad de datos que aprendemos 
gracias a la curiosidad de Mantilla es realmente 
asombrosa. La multidimensionalidad de la matemática 
explota gracias a su límpida escritura y a sus 
persistentes investigaciones detectivescas sobre la 
riqueza de los números y sus inesperadas correlaciones 
con la vida de todos los días.
Ecuaciones de opinión: 
historias, reflexiones 
y acertijos
9 9 7 77 7 9 38 8 55 4
ISBN: 978-958-794-573-7
Caratula_Ecuaciones de opinion_fondo rojo.pdf 1 12/08/21 8:20 a. m.
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NACIONAL
DE COLOMBIARectoría
Ignacio Mantilla Prada
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De sobra es conocido que las matemáticas se han 
convertido en una de las obstrucciones más difíciles de 
sortear en la enseñanza, tanto al nivel del colegio como 
de la universidad. En buena medida ello ocurre por la 
falta de preparación de los profesores, pero también por 
la falta de esfuerzo de los alumnos. Ambas carencias se 
podrían subsanar en parte si las matemáticas se 
presentaran con sentimientos de curiosidad, maravilla, 
profundidad y humor. 
Las incisivas columnas de prensa de Ignacio Mantilla 
incluidas en esta compilación cumplen perfectamente 
con esas características de curiosidad (papeles del 
acertijo, la intriga, lo detectivesco), maravilla 
(incursiones en la belleza, la sorpresa, lo inesperado), 
profundidad (revelación del hacer matemático, de su 
fuerza imaginativa, de su armonía estructural) y humor 
(sano distanciamiento con la disciplina, perspectivas de 
contraste, finura irónica).
[En este libro] el lector se encuentra así distribuido a lo 
largo de un amplio espectro de informaciones y 
reflexiones. La cantidad de datos que aprendemos 
gracias a la curiosidad de Mantilla es realmente 
asombrosa. La multidimensionalidad de la matemática 
explota gracias a su límpida escritura y a sus 
persistentes investigaciones detectivescas sobre la 
riqueza de los números y sus inesperadas correlaciones 
con la vida de todos los días.
Ecuaciones de opinión: 
historias, reflexiones 
y acertijos
9 9 7 77 7 9 38 8 55 4
ISBN: 978-958-794-573-7
Caratula_Ecuaciones de opinion_fondo rojo.pdf 1 12/08/21 8:20 a. m.
Ecuaciones de opinión
apuntes mæstros
Colección Apuntes Maestros
Colección de la Rectoría 
de la Universidad Nacional de Colombia
Ignacio Mantilla Prada 
Arte, filosofía y ciencia, como miradas diversas de la realidad 
compleja, se entrelazan en el gran árbol del conocimiento que 
a diario florece en la academia. La Colección Apuntes Maestros, 
de la Rectoría de la Universidad Nacional de Colombia, presenta 
a la sociedad aquellos frutos exquisitos y maduros del árbol del 
saber, que por décadas se han conformado gracias al trabajo y la 
creatividad de intelectuales de gran reconocimiento en el mundo 
académico, Maestros en el sentido pleno de la palabra. 
Los textos que contienen este volumen son una expresión 
duradera y depurada de la calidad intelectual de su autor, sus 
aportes a la cultura, la ciencia y la academia. 
En definitiva, este libro es el justo homenaje al pensamiento 
creativo y maduro de quien por años ha dedicado su vida 
al conocimiento y el saber. 
Dolly Montoya Castaño
Rectora
UNIVERSIDAD
NACIONAL
DE COLOMBIA
Rectoría
Ecuaciones de opinión: 
historias, reflexiones 
y acertijos
Ignacio Mantilla Prada 
Catalogación en la publicación Universidad Nacional de Colombia
Mantilla Prada, Ignacio, 1957-
Ecuaciones de opinión : historias, reflexiones y acertijos / Ignacio Mantilla Prada ; editor, Gustavo 
Silva Carrero ; ilustradora, Paola Andrea Bustos Peláez. -- Primera edición. -- Bogotá : Universidad 
Nacional de Colombia. Rectoría, 2021 
XXII, 422 páginas : ilustraciones (algunas a color), diagramas, figuras. -- (Apuntes maestros / 
editor, Gustavo Silva Carrero).
Incluye notas y citas bibliográficas a pie de página e índices temático y onomástico
ISBN 978-958-794-573-7 (tapa dura). -- ISBN 978-958-794-574-4 (e-pub)
1. El Espectador (Periódico) -- Secciones, columnas, etc. -- 2012-2018 2. Matemáticas -- Historia 3. 
Matemáticas -- Educación 4. Acertijos 5. Probabilidades 6. Algoritmos 7. Academias 8. Diarios 
colombianos -- Secciones, columnas, etc. I. Silva Carrero, Gustavo Adolfo, 1976-, editor II. Bustos 
Peláez, Paola Andrea, ilustrador III. Título IV. Serie
CDD-23 510.9 / 2021
 
 
 
Reconocimiento-NoComercial-CompartirIgual
CC By-nC-sa
Universidad Nacional de Colombia
Ignacio Mantilla Prada, Ecuaciones de opinión: historias, reflexiones y acertijos 
Rectora
Dolly Montoya Castaño
editor de la ColeCCión y del presente volumen
Gustavo Silva Carrero
diseño de la ColeCCión
Marco Aurelio Cárdenas
ilustradora
Paola Andrea Bustos Peláez
Primera edición: Bogotá: 2021.
Universidad Nacional de Colombia, 2021.
ISBN: 978-958-794-573-7 (tapa dura)
ISBN: 978-958-794-574-4 (e-book)
Bogotá, D. C., Colombia
Imagen en la primera página: primer monograma institucional de la Universidad 
Nacional de los Estados Unidos de Colombia, diseñado en el rectorado
de Manuel Ancízar (1868).
Contenido
Prólogo xiii
Prefacio xvii
Introducción xix
1. Historia, libros y matemática 1
1.1. Las matemáticas y el honor 
del espíritu humano 3
1.2. Las matemáticas: ¿las inventamos 
o las descubrimos? 6
1.3. Álgebra y ética 9
1.4. El Arithmeum: un museo para la aritmética 12
1.5. ¿Qué es la cuadratura del círculo? 15
1.6. El día consagrado al número π  18
1.7. El juego de azar que originó 
el cálculo de probabilidades 21
1.8. La fascinación por los dados 24
1.9. Probabilidad, azar y loterías 28
1.10. Pesos, medidas y origen del metro 31
1.11. Origen de los símbolos matemáticos 35
1.12. El origen de la palabra google 39
1.13. Curiosidades históricas 
de nuestro calendario 42
1.14. La paradoja del mentiroso 45
1.15. ¿Cuántos somos, cuántos hemos sido 
y cuántos podrán ser? 48
1.16. Humboldt y los transportadores 51
1.17. El Salto de Tequendama, 
un salto a la ciencia 54
1.18. Curiosidades de libros y fechas 58
1.19. La identidad matemática de Gabo 62
1.20. La fantástica historia de un baúl 
de mariposas 66
1.21. El computador en nuestra vida 69
1.22. Historias y relatos sobre el tamal 72
1.23. Después de la peste 75
1.24. Un siglo desde la pandemia más terrible 78
2. Matemática, academia y sociedad 81
2.1. Las diez universidades más antiguas 
del mundo 83
2.2. De academias y universidades 86
2.3. Las universidades no solo nacen 
y se reproducen, también desaparecen, 
fracasan y resucitan 89
2.4. ¿De dónde venimos los profesores 
universitarios? 92
2.5. El intrincado mundo académicode las publicaciones 95
2.6. Cómo hacer una tesis sin fracasar 
en el intento 98
2.7. El reto de explicar una tesis de doctorado 
en tres minutos 102
2.8. Inocentadas universitarias 105
2.9. La Medalla Fields de Matemáticas 108
2.10. El Nobel de las Matemáticas 111
2.11. Ser Profe Paga 114
2.12. ¿Qué nos dicen las pruebas PISA? 117
2.13. Abogados al tablero 120
2.14. ¿Lenguaje sin lógica? 123
2.15. El poder de la puntuación y la gramática 126
2.16. ¿Propósitos nacionales 
o proyectos editoriales? 129
2.17. Cartilla no convencional 
para educar a un niño 132
2.18. Analfabetismo moderno 135
2.19. Tener un hijo, plantar un árbol 
y escribir un libro 138
2.20. De dónde viene el cacerolazo 141
2.21. El cambio de clave, 
un calvario moderno 144
2.22. La cédula ampliada al 150 % 147
2.23. Derecho a desconectarse 150
2.24. La generación sin pollo 153
2.25. El arte de la manipulación masiva 156
2.26. Las matemáticas del Congreso 160
2.27. Las matemáticas del coronavirus 164
2.28. Las matemáticas de las marchas 168
2.29. Las Matemáticas están de moda 171
2.30. Las matemáticas que esconden 
las pirámides financieras 174
2.31. Las matemáticas en la red 178
2.32. ¿Qué nos dicen los nombres de las calles? 180
2.33. ¿Tienen todas las normas sentido común? 183
2.34. ¿Inicia la nueva década el próximo 
1 de enero? 186
2.35. ¿Y si el peso pierde tres ceros? 189
2.36. El umbral de una epidemia 192
3. Sobre teoremas y algoritmos 195
3.1. Las matemáticas detrás del calendario 
y la Semana Santa 197
3.2. El teorema de Napoleón 200
3.3. El teorema de la bola peluda 203
3.4. Qué significa crecimiento exponencial 205
3.5. Condición suficiente y condición necesaria 209
3.6. El algoritmo del día del fin del mundo 212
3.7. Algoritmo para calcular las fechas 
de la Semana Santa cada año 216
3.8. El arte de plantear ecuaciones 220
3.9. Generaciones, ancestros, ramificaciones 
y matemáticas 224
3.10. ¿Cuántos intermediarios nos separan 
del Papa? 227
3.11. El juego del 15 230
3.12. Las matemáticas de la pizza 235
3.13. La paradoja del cumpleaños 238
3.14. El que parte y reparte se queda 
con la mejor parte 241
3.15. ¿Punto o coma? 244
4. Problemas, acertijos y errores matemáticos 247
4.1. ¿Por qué este año no se cumple la regla 
que establece la Semana Santa? 249
4.2. π está en todas partes: la aguja de Buffon 252
4.3. Un célebre problema de matemáticas 257
4.4. El problema de la duplicación del cubo 262
4.5. Galileo y el problema del duque de Toscana 265
4.6. Pistas insospechadas al resolver 
problemas matemáticos 269
4.7. ¿Por qué nos toca la fila más lenta? 272
4.8. La hipótesis de Riemann 275
4.9. A la libertad o a la hoguera 280
4.10. La increíble historia detrás de un 
problema de probabilidad 282
4.11. Una polémica aritmética 286
4.12. Problemas de un millón de dólares 290
4.13. El problema del reparto de una apuesta 293
4.14. El problema matemático preferido 
de León Tolstói 297
4.15. El problema de las vacas de Newton 301
4.16. La cuenta en el bar: un viejo acertijo 
matemático 306
4.17. El acertijo matemático del círculo 
de la muerte 309
4.18. Respuesta a la mejor pregunta 
de estadística de la historia 312
4.19. Las matemáticas detrás de un truco 
de magia 316
4.20. Un chiste matemático para 
el Día del Trabajo 319
4.21. El error matemático más fantástico 
de la NASA 321
4.22. Gazapos y disparates matemáticos 324
4.23. Errores matemáticos fatales 327
5. Personajes y números relevantes 331
5.1. Ancestros académicos, el peso 
de un doctorado 333
5.2. Mujeres en la ciencia 337
5.3. Emmy Noether: la mujer matemática genio 340
5.4. Karen Uhlenbeck: la Nobel 
de las Matemáticas 2019 343
5.5. Gandhi, el personaje del siglo xx 347
5.6. Genios y prodigios matemáticos 349
5.7. El legado de Leibniz 352
5.8. Gauss y el teorema fundamental del álgebra 356
5.9. El legado de Turing 359
5.10. Las matemáticas de la Semana Santa 
y de los años bisiestos 362
5.11. El 6174, un número fantástico 365
5.12. El número primo de Belfegor 369
5.13. Los caprichosos números primos 372
5.14. ¿Por qué el cero es par? 375
5.15. Los números cíclicos 378
5.16. Las matemáticas de la cría de conejos 381
5.17. El número 33 es noticia 385
5.18. El increíble número 153 388
5.19. Números colombianos: ¿sabe cuáles son? 391
5.20. El prodigioso número de oro y la divina 
proporción 394
5.21. Los números felices 399
5.22. Primicia matemática 402
5.23. El número 42. La vanidad y las matemáticas 404
Índice temático 407
Índice onomástico 413
Prólogo
Fernando Zalamea1
De sobra es conocido que las matemáticas se han convertido en una de las 
obstrucciones más difíciles de sortear en la enseñanza, tanto al nivel del 
colegio como de la universidad. En buena medida ello ocurre por la falta 
de preparación de los profesores, pero también por la falta de esfuerzo de 
los alumnos. Ambas carencias se podrían subsanar en parte si las mate-
máticas se presentaran con sentimientos de curiosidad, maravilla, pro-
fundidad y humor. El maestro podría entonces motivar a sus estudiantes, 
y a su vez estos estarían lo suficientemente interesados para cuestionar, 
preguntar y avanzar en el saber. 
Las incisivas columnas de prensa de Ignacio Mantilla incluidas en esta 
compilación cumplen perfectamente con esas características de curiosi-
dad (papeles del acertijo, la intriga, lo detectivesco), maravilla (incursio-
nes en la belleza, la sorpresa, lo inesperado), profundidad (revelación del 
hacer matemático, de su fuerza imaginativa, de su armonía estructural) y 
humor (sano distanciamiento con la disciplina, perspectivas de contraste, 
finura irónica). 
Con ello, Mantilla abre finas rendijas a las que todos pueden acceder 
para aprender a mirar y gozar el pensamiento matemático. Cuando a este 
sano objetivo —intentar abrir un mundo extremadamente complejo a tra-
vés de un ramillete de compuertas simples— se le añaden las dotes de un 
buen profesor (cuidado de los ejemplos ilustrativos, sencillez de la prosa, 
concisión de las ideas), nos encontramos ante una situación especialmente 
valiosa de verdadera divulgación matemática, con un alto nivel de respeto 
tanto por la disciplina como por el lector, que podemos considerar único en 
nuestras latitudes.
1 Departamento de Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia, https://unal.academia.
edu/FernandoZalamea.
https://unal.academia.edu/FernandoZalamea
https://unal.academia.edu/FernandoZalamea
xiv Ecuaciones de opinión: historias, reflexiones y acertijos
Los 121 ( 112) artículos incluidos en Ecuaciones de opinión (desde el 
inicio, guiño irónico aplicado a sí mismo) cubren los lugares de la historia 
(sección 1), la academia y la sociedad (sección 2), la teoremática (sección 3), 
la problemática (sección 4) y el talante (sección 5), para intentar acercarse 
a la riqueza del pensamiento matemático. En las columnas de Mantilla, el 
lector circula a lo largo de muchas dimensiones complementarias (como 
la enseñanza del “análisis funcional”, una de las grandes invenciones 
matemáticas del siglo xx): (i) un recorrido ameno por grandes figuras de 
la disciplina (al-Khwarizmi, Fibonacci, Pascal, Leibniz, Euler, Gauss, Galois, 
Riemann, Noether, Turing, etc.), (ii) una camaleónica capacidad para saber 
entrelazar las altas matemáticas con la vida diaria, (iii) una innata fascina-
ción por los números y por sus contrapuntos escondidos (desarrollada en 
parte gracias a la “especialidad” de Mantilla, el “análisis numérico”), (iv) un 
persistente deseo de enseñar, sin despojarse jamás del hábito ejemplar 
del profesor, (v) un chispeante sentido del humor que lo ha protegido de 
muchas situaciones difíciles (particularmente como egregio Rector de la 
Universidad Nacional de Colombia), (vi) un acuciante sentido de la actua-
lidad, reflejado tanto en su presencia en las plataformas digitales como en 
su crítica de las dudosas prácticas allí ejercidas (paso de “seguidores a per-seguidores”, “posverdad” pero también “posmentira”, etc.).
El lector se encuentra así distribuido a lo largo de un amplio espectro de 
informaciones y reflexiones. La cantidad de datos que aprendemos gracias 
a la curiosidad de Mantilla es realmente asombrosa. La multidimensionali-
dad de la matemática explota gracias a su límpida escritura y a sus persis-
tentes investigaciones detectivescas sobre la riqueza de los números y sus 
inesperadas correlaciones con la vida de todos los días.
La ventaja de las columnas cortas en los periódicos ayuda aquí notable-
mente al autor. Casi reflejando la apasionante aparición de los folletines 
decimonónicos en los que surgían algunas de las grandes novelas del siglo 
(Victor Hugo, Dostoievski), las columnas semanales acotadas de Mantilla 
le obligan a combinar concisión, precisión, sorpresa e ironía en compactas 
visiones cuyo principal deseo (logrado) es el de motivar al lector y hacerle 
realmente gustar de las matemáticas. 
Cuando en sus columnas aparecen reflexiones sobre curiosidades colom-
bianas ligadas a números (5.19)2 o a unidades de medida (1.10, divertida 
“medida del tabaco” en Santander, como trecho de un caminante mien-
tras fuma un tabaco), sobre Humboldt y los transportadores (1.16), sobre 
2 Los numerales refieren a la disposición de las columnas en el Contenido.
xvPrólogo
los valores perdidos en nuestro entorno físico (1.17), sobre la iteración de 
la imaginación en García Márquez relacionada con la identidad de Euler 
i i  eπ /2 (1.19), sobre variaciones del tamal (1.22), sobre la existencia histó-
rica de una realidad que supera a todo lo “real maravilloso” (1.20), vemos al 
Rector de la “universidad de todos los colombianos” (como gusta decir Man-
tilla) atento a algunas de las características más propias, y mejor ocultas, de 
nuestra identidad. Allí, el chiste fino y el humor distante son fascinantes. 
Por otro lado, Mantilla siempre apunta desde lo local a lo universal: 
la integralidad del saber (1.1), las dinámicas del inventar y el descubrir 
en matemáticas (1.2), la estructura de las pruebas matemáticas (3.5), la 
ubicuidad de los objetos matemáticos (4.2, 5.20), la importancia de com-
prender el error (4.22, 4.23). En ese vaivén entre los ejemplos particula-
res —con sorpresas notables alrededor de ciertos números “especiales”: 
6174, 33, 153, 42 (5.11, 5.17, 5.18, 5.23)— y la honda estructura general 
que los cobija, Mantilla despliega todo su arte de enseñar a través de la 
gracia y el humor. Si, como indica, “al enseñar se aprende mejor” (4.14) y 
si “ser profe paga” (2.11, contrapunto irónico con “ser pilo paga”), Manti-
lla consigue de la mejor manera su objetivo de ilustrarnos e impulsarnos a 
investigar y aprender. También vale la pena subrayar aquí la ingente tarea 
del maestro-escritor, en la que Mantilla acentúa la importancia de saber 
pensar bien: valor de la puntuación y la gramática (2.15), precisión de los 
términos (2.13, 2.22), fuerza de los símbolos (1.11, 1.12, 2.34). 
Hacía mucha falta la aparición en Colombia de un verdadero divul-
gador de las matemáticas, a la altura que nos propone Ignacio Mantilla. 
Sea esta la ocasión para celebrar su perseverante trabajo, las generosas 
horas dedicadas a sus lectores y su ferviente esfuerzo por tornar asequi-
bles muchos fragmentos del mundo fascinante, infinito, inimaginable, de 
las matemáticas.
PrefaCio
Debo confesar que este libro se originó en una serie de columnas sema-
nales que, como rector de la Universidad Nacional de Colombia, escribí 
para el diario El Espectador, en un espacio que gentilmente me ofreció su 
director, Fidel Cano.
Lo que en un comienzo pretendía estar limitado a divulgar los fre-
cuentes logros de nuestra institución y a informar sobre sus programas, 
pronto se extendió a temas más generales sobre la educación superior 
colombiana, y con el tiempo abarcó también la educación en la región 
latinoamericana para dar una mirada global al entorno universitario.
Con motivo de la celebración del Sesquicentenario de la Universidad 
Nacional en 2017, decidí incluir en mis artículos semanales aspectos his-
tóricos sobre el surgimiento de algunas carreras, facultades y sedes de la 
Universidad, además de destacar el papel que jugaron algunos profesores 
y directivos sobresalientes para que la Institución lograra, a lo largo de 
sus 150 años de vida, la excelencia académica que indudablemente la 
caracteriza.
Todos esos escritos siempre estuvieron combinados con apuntes mate-
máticos que me resultaba inevitable presentar y que, con el tiempo, le dieron 
un carácter especial a esas publicaciones regulares; como matemático 
y profesor de matemáticas y directivo no pude evitar abordar también 
otros temas relacionados con las matemáticas y con su historia, su ense-
ñanza y su utilidad, temas que alterné con los demás artículos, exaltando 
la belleza de las matemáticas y contando sobre la vida y los aportes de 
grandes matemáticos.
Al dejar la Rectoría de la Universidad Nacional algunos colegas me ani-
maron a continuar con mis escritos semanales. Atendiendo esta sugeren-
cia creé, también en el diario El Espectador, el blog titulado “Ecuaciones de 
opinión” que, como su nombre lo indica, pretende ser un espacio de opi-
nión, pero haciendo énfasis en que las matemáticas envuelven la palabra 
“ecuación”, que significa igualdad; más explícitamente diría que en este 
xviii Ecuaciones de opinión: historias, reflexiones y acertijos
contexto se trata de buscar el equilibrio necesario entre una expresión de 
la izquierda y otra de la derecha, tal como se hace al escribir una ecuación. 
Durante algunos meses también fui invitado a escribir como columnista 
en la sección de opinión de la página web de rCn, donde se publicaron algu-
nos artículos de divulgación matemática exclusivamente.
Para la selección y revisión de la mayoría de los artículos incluidos en este 
libro conté con la invaluable colaboración de mi colega, la profesora Catalina 
Ramírez, física de profesión, quien con su crítica ácida, sincera y eficaz, con-
tribuyó a la corrección y precisión que requerían algunos de los textos.
Mi colega, el profesor Fernando Zalamea, uno de los pocos matemá-
ticos universales que conozco y ante todo un culto pensador ejemplar, ha 
tenido la gentileza de escribir el prólogo y me siento halagado por ello. 
El libro, que contiene 121 artículos seleccionados, está organizado 
en cinco capítulos que han sido sugeridos por el editor Gustavo Silva, a 
quien agradezco su interés y empuje para llevar a cabo esta publicación.
Liliana, que también es matemática, mi compañera inseparable y pri-
mera lectora y crítica de mis escritos, ha aportado valiosas sugerencias y 
me ha propuesto temas de su entero dominio, especialmente del área de 
la probabilidad, que han enriquecido el contenido del libro.
IntroduCCión
Hay un viejo cuento al que acudo algunas veces para aclarar lo que significa 
ser preciso. Se refiere a tres amigos que viajan juntos en un tren, uno de ellos 
es abogado, el otro es ingeniero y el tercero es matemático. Cuando el tren 
avanza por la verde campiña francesa, a través de la ventana el abogado 
divisa una vaca y exclama señalándola: “no sabía que las vacas en Francia 
son negras”. Inmediatamente su amigo ingeniero le corrige: “eso que aca-
bas de decir no es correcto, solo puedes afirmar que en Francia hay una 
vaca negra”. El matemático se queda pensando un momento y dice: “ambos 
están equivocados, solo podemos asegurar que en Francia existe una vaca 
que tiene al menos un lado negro”. 
Una de las mayores fortalezas de las matemáticas es justamente su 
precisión, combinada con la brevedad. Nuestros comunicadores y periodis-
tas, por ejemplo, se expresan frecuentemente de forma muy segura, pero 
poco precisa. Conceptos tales como incremento, aumento o crecimiento, 
para citar solo algunos, son asombrosamente desconocidos y, lo que es peor, 
sumamente mal entendidos y transmitidos, pero además es aterrador 
como, sin sonrojoalguno, se presenten cifras y tendencias que son absur-
damente sustentadas, eso sí con una seguridad que envidiaría cualquier 
estudiante de matemáticas o estadística. 
Las traumáticas experiencias escolares de muchísimas personas les han 
creado una fuerte indisposición y rechazo hacia las matemáticas. Para algu-
nas es incluso motivo de orgullo contar cómo las han eludido siempre. Tam-
bién es frecuente el desconocimiento sobre su utilidad e importancia en otras 
áreas, lo que produce una notoria falta de interés en ellas. He descubierto, sin 
embargo, que con los artículos divulgativos de matemáticas algunos lectores 
se han “reconciliado” y hasta experimentan gusto por ellas, además de iden-
tificar habilidades que no imaginaban tener y encontrar usos cotidianos que 
pasan desapercibidos, pero que evidencian cómo cualquier persona domina 
una buena dosis de matemáticas sin ser consciente de ello. Eso me llena de 
xx Ecuaciones de opinión: historias, reflexiones y acertijos
satisfacción y me ha animado a compartir también curiosidades, acertijos, his-
torias, aplicaciones y reflexiones. 
Quienes sientan una especial atracción por los números, los algorit-
mos, las aplicaciones de las matemáticas, la computación, las historias 
detrás de grandes descubrimientos matemáticos, las historias de vida 
de los grandes matemáticos, la magia de las ecuaciones y en general por 
las genialidades y secretos que esconden las matemáticas, encontrarán 
material satisfactorio suficiente, compartido con el valor adicional que 
le ha aportado la actitud docente para volver cada texto fácilmente com-
prensible por un amplio público no especializado, que sin necesidad de 
interesarse por los detalles técnicos de una demostración, sí puede dis-
frutar y maravillarse con la inesperada solución de un problema que pare-
cía difícil, pero que se resuelve fácilmente.
Las reflexiones que se presentan sobre todos los temas tienen un sen-
tido crítico derivado de las reglas y los métodos de las matemáticas, que 
finalmente tienen una influencia especial en la manera de pensar y de 
escribir, independientemente del tema, sin perder el sentido del humor, 
lo que no quita trascendencia ni alcance. 
Esta obra presenta justamente una recopilación de artículos que con-
centra ese interés y esas características; textos que aunque escribí sin 
pensar en que después se agruparían para hacer un libro, son fruto del 
trabajo continuo que se materializa ahora en esta obra de la colección 
Apuntes Maestros, de la que me siento muy honrado de formar parte 
como autor.
En la escogencia y revisión de las versiones iniciales de los escritos 
que se incluyen en este libro se ha impuesto un criterio que me parece 
importante resaltar: aunque se trata de artículos semanales, escritos 
entre 2015 y 2020, y que en algunos casos aparecieron para destacar una 
fecha, una noticia, un acontecimiento o un anuncio del momento, todos 
son textos atemporales, que se pueden leer en cualquier época futura, sin 
perder la vigencia que pudo haber tenido en la fecha de publicación de su 
primera versión, tal como ocurre en las matemáticas con los teoremas.
Las lecturas se pueden elegir sin seguir el orden en que aparecen, según 
los intereses personales del lector; algunos artículos pueden ayudar a los 
docentes de matemáticas a despertar en sus estudiantes una mayor curio-
sidad por el origen, desarrollo o tratamiento de temas que frecuentemente 
aparecen en los textos guía de los cursos regulares sin contexto alguno.
xxiIntroducción
Sin ser exhaustivo, también he querido rescatar algunos personajes que 
han sido esenciales en la historia de la ciencia y que pueden ser ejemplos 
inspiradores para muchos lectores.
Espero que esta obra contribuya a despertar el interés por las matemá-
ticas, que los artículos que se presentan incentiven su cultivo y estimulen 
la precisión al expresarnos, pero que también alimente el espíritu reflexivo 
de los lectores sobre los temas abordados en cada artículo, y a partir de allí 
se refuerce en ellos una visión matemática y equilibrada del mundo.
Concluyo con una cita del gran matemático británico Godfrey Harold 
Hardy (1877-1947), que sintetiza en forma extraordinaria mi propia con-
dición actual: 
Escribo sobre matemáticas porque al igual que cualquier otro mate-
mático que ha cumplido los sesenta años, ya no poseo la frescura de 
mente, la energía o la paciencia para realizar de forma eficiente mi 
propio trabajo.
1. HISTORIA, LIBROS Y MATEMÁTICA 
1.1. Las matemátiCas y el honor 
del espíritu humano*
El prolífico matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi (1804-1851) 
decía que las matemáticas existen “por el honor del espíritu humano”, y 
hay quienes afirman que ese es su principal propósito. En efecto, en algu-
nas áreas de la matemática se puede tener este sentimiento. La frase de 
Jacobi puede ser una buena respuesta cuando estamos intentando solu-
cionar un problema y nos preguntan: “bueno… ¿y eso para qué sirve?”. 
Sobre esto siempre ha existido un gran debate, no restringido exclusiva-
mente a las matemáticas, sino también a otras áreas del conocimiento. 
Creo que en la formación profesional todo el conocimiento es impor-
tante, así como la matemática pura, la aplicada, la abstracta y la que 
parece inútil. Estoy convencido de que los estudios no se deben orientar 
únicamente hacia el aprendizaje de lo que se va a aplicar o a utilizar. La 
mayor riqueza está en la formación integral, amplia y sólida. Esa es la única 
manera de garantizar que los profesionales que estamos formando puedan 
responder las preguntas que aún no se han formulado. Pero los profesores 
tenemos una enorme responsabilidad en eso, y como consecuencia nues-
tros retos deben ser renovados y permanentes. 
Una de nuestras mayores satisfacciones como profesores es despertar 
en los estudiantes el gusto por lo que enseñamos, poder encantarlos con 
un tema y comprobar que experimentan placer de aprenderlo, estudiarlo 
y exponerlo; o poder descubrir su entusiasmo por investigarlo y profun-
dizarlo de manera autónoma. 
Pero volviendo a la pregunta de marras: “¿y eso para qué sirve?”, quiero 
justamente recomendarles una lectura que con seguridad los atrapará y 
van a disfrutar muchísimo. Se trata de una obra literaria que describe en 
* Una versión de este artículo se publicó originalmente el 16 de junio de 2017 en el diario 
El Espectador: https://www.elespectador.com/opinion/las-matematicas-y-el-honor-del-espiritu-
humano-columna-698757/
https://www.elespectador.com/opinion/las-matematicas-y-el-honor-del-espiritu-humano-columna-698757/
https://www.elespectador.com/opinion/las-matematicas-y-el-honor-del-espiritu-humano-columna-698757/
4 Ecuaciones de opinión: historias, reflexiones y acertijos
forma magistral el trabajo de un matemático que trata de resolver un pro-
blema que aparentemente no tiene utilidad; es la novela El tío Petros y la 
conjetura de Goldbach, del autor griego Apostolos Doxiadis. 
Recomiendo esta lectura precisamente porque en ella se puede iden-
tificar y comprender ese sentimiento de impotencia frente al reto de solu-
cionar un problema, ese que muchos estudiantes experimentan al escribir 
algún capítulo de su disertación, el mismo que en algunos casos impulsa 
a abandonar el desarrollo de una tesis de doctorado, o que incluso con-
duce a dejar los estudios a punto de terminar. Y las cosas pueden parecer 
aún más dramáticas cuando sabemos de antemano que resolver el pro-
blema que nos desvela, posiblemente, no va a tener utilidad alguna. 
La conjetura de Goldbach sirve entonces de ejemplo para describir esa 
situación en la maravillosa historia del tío Petros, que gira en torno al reto 
de resolver el problema que propuso Goldbach. Es un típico problema de 
la teoría de números, formulada en 1742 por el matemático prusiano 
Christian Goldbach —nacido en Königsberg (hoy parte de Rusia)— y que 
hasta hoy permanece como conjetura pues no ha podido ser demostrada 
ni refutada. Sin embargo,la conjetura de Goldbach es una afirmación muy 
fácil de comprender, y ese puede ser parte del encanto de este reto que 
cautiva y que envuelve una fascinación especial. Es por lo tanto un pro-
blema abierto que ha frustrado a todos los matemáticos del mundo que 
han intentado resolverlo en los últimos 275 años. 
La conjetura de Goldbach tiene que ver con una sorprendente relación 
entre números pares y números primos. Para los lectores que no lo conoz-
can o lo hayan olvidado, recordemos que un número primo es un número 
natural mayor que 1, que solo es divisible por él mismo y por el número 1. 
Euclides demostró que hay infinitos números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 
19, 23, 29,... 
La conjetura de Goldbach se puede expresar de la siguiente manera:
Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos 
números primos.
Así, por ejemplo: 
4  2  2, 8  5  3, 38  31  7  19  19. 
Como los profesores de matemáticas acostumbramos a dejar tareas 
que refuercen lo expuesto, aprovecho para invitarlos a resolver entonces 
este bonito y sencillo problema, y así verificar la conjetura en un caso 
5Historia, libros y matemática
particular: “encontrar una pareja de números primos cuya suma sea el 
número 1.000”. 
La solución de este ejercicio, como puede usted imaginar, aparen-
temente no sirve para nada distinto a tener la satisfacción personal de 
haberla encontrado, lo que nos regresa a reflexionar sobre la afirmación 
de Jacobi con la que inicié este apartado. Esto, sin embargo, no necesa-
riamente es así, ya que seguramente usted ha desarrollado un procedi-
miento —que podría generalizarse— para encontrar la pareja buscada y 
por lo tanto es probable que usted haya acabado de descubrir un algo-
ritmo que se podría implementar usando un lenguaje de programación 
con la aritmética de máquina que se utiliza en un computador. 
Ningún esfuerzo por resolver un problema de matemáticas será en vano 
y la utilidad de los más abstractos conceptos y desarrollos es impredecible. 
Existen ejemplos de teorías que han encontrado aplicaciones insospecha-
das siglos después de su formulación. De hecho, muchos de los actuales 
proyectos y frutos de la investigación científica se han inspirado en resulta-
dos de trabajos que ni siquiera sus autores llegaron a imaginar. 
En el estudio de las matemáticas se encuentra una cadena de retos, y 
cada reto es una sana entretención con una dosis de esfuerzo y diversión 
que algunas veces nos dará frustración, y otras satisfacción. Pero hay que 
entretenerse. Porque, como decía un colega: “Limitarse a ver cómo otros 
resuelven los problemas para aprender matemáticas es como pretender 
desarrollar los músculos viendo hacer gimnasia”.
1.2. Las matemátiCas: ¿las inventamos 
o las desCuBrimos?*
Existe una antigua discusión sobre el origen de las matemáticas. Hay 
quienes defienden la tesis según la cual las matemáticas son solo una 
invención más de la humanidad, mientras otros sostienen que se trata 
de un descubrimiento (aún inconcluso) de la humanidad. Galileo Galilei 
(1564-1642) no evadió esta discusión, y aunque no respondió directa-
mente si las matemáticas las descubrimos o las inventamos, dejó como 
respuesta la célebre cita: 
Las matemáticas son el lenguaje con el cual Dios ha escrito el 
universo.
Si aceptamos esta convicción de Galileo, todos diríamos entonces 
que Dios tampoco las inventó. Los ateos estarían de acuerdo porque no 
existe Dios (se cumple vacíamente) y los creyentes porque están de 
acuerdo con Galileo, con lo cual Dios no las inventó, pero en cambio sí las 
ha usado para ponernos en la tarea de descubrirlas. Las matemáticas están 
presentes y seguirán presentes, bien sean invención o descubrimiento, y 
habrá nuevos inventos para quienes las consideren un invento, y nuevos 
descubrimientos para quienes las consideran descubrimiento, ya que son 
dinámicas y cada día nos asombran con sus axiomas, reglas, métodos y 
aplicaciones que parecen permear todo lo que nos rodea, como un lenguaje 
de comunicación universal, tal como las concibió Galileo. 
Las matemáticas están en casi todo nuestro mundo moderno, se escon-
den o aparecen para influir en computadores y teléfonos celulares, en las 
redes de comunicación, en los algoritmos de las cadenas de servicios y de 
* Una versión de este artículo se publicó originalmente el 15 de mayo de 2020 en el blog “Ecua-
ciones de opinión” del diario El Espectador: https://blogs.elespectador.com/actualidad/ecuacio-
nes-de-opinion/las-matematicas-las-inventamos-las-descubrimos
https://blogs.elespectador.com/actualidad/ecuaciones-de-opinion/las-matematicas-las-inventamos-las-descubrimos
https://blogs.elespectador.com/actualidad/ecuaciones-de-opinion/las-matematicas-las-inventamos-las-descubrimos
7Historia, libros y matemática
seguridad bancaria y hasta en la comprensión de la propagación de una 
epidemia como la que estamos viviendo. 
No podríamos imaginar un mundo sin matemáticas y sin números; 
aunque estos son objetos intangibles, son indestructibles; no son una 
moda, forman parte de las mayores riquezas de la humanidad, y están 
a disposición del que los necesite. Podrían ser semejantes a unos fósiles 
vivientes que no envejecen con el paso de los siglos. 
En la discusión entre quienes creen que las matemáticas fueron des-
cubiertas y quienes afirman que son inventadas hay argumentos muy 
convincentes y persuasivos de cada lado. Yo me inclino más por la opinión 
de que hay de las dos cosas: el número π , por ejemplo, es un objeto mate-
mático que nadie se inventó; fue descubierto al observar que tomando 
cualquier círculo y dividiendo lo que mide su circunferencia entre lo que 
mide su diámetro se obtiene siempre la misma cantidad: una constante 
que no es entera, un poco mayor que 3, pero que no se puede expresar 
como una fracción de enteros, como se demostró luego. El invento fue 
llamar π  a esa constante y representarla con esa letra griega que se había 
inventado antes. 
También se puede dar un proceso distinto: podemos inventar una teo-
ría nueva o un nuevo objeto, que adquiere el rango de concepto matemá-
tico porque satisface todos los requisitos que exige el engranaje lógico, 
operacional y axiomático de las matemáticas; puede estar totalmente 
alejado del mundo real y sobrevivir solo en la mente de los matemáticos 
por muchos años, como sucedió con la teoría de grupos —una robusta 
área del álgebra abstracta—, la teoría de grafos o el concepto de frac-
tal, por ejemplo. Pero aparece de repente una aplicación que ni siquiera 
el inventor pudo imaginar que existiría; en tal caso, ese viejo invento se 
confunde con un descubrimiento asombroso que se adelantó a su tiempo 
en el mundo real y que alguna mente brillante y prodigiosa fue capaz de 
formular antes de pensar en su aplicación futura. 
Pero aun suponiendo que los inventos no tuvieran aplicación alguna, 
eso no les quita validez, y sobre todo belleza. 
También es común denominar “invento” a las matemáticas que no 
se les ve aplicación inmediata. Se cree que todo lo que no sea descubri-
miento o no tenga aplicación es inútil, algo ideado para unos pocos que 
quieren entretenerse de esa manera de forma exclusiva, mientras alguien 
más encuentra su uso o establece que se trata de una invención incom-
prensible, diseñada para un limitado grupo de matemáticos que quieren 
así impedir el entendimiento y torturar a quien desee comprenderlo. 
8 Ecuaciones de opinión: historias, reflexiones y acertijos
Si hay vida inteligente en otra galaxia, seguramente allí también ten-
drán que usar números, posiblemente con una base diferente a la decimal, 
y es probable que su forma de hacer aritmética sea aún ineficiente como 
lo sería la nuestra si aún usáramos los números romanos (sin el cero) para 
multiplicar, por ejemplo: Cxiv por xxiii. Y tal vez en ese mundo externo 
hayan combinado su intuición geométrica con precisión aritmética para 
crear algo como el álgebra, y según sus leyes físicas (¿observando la caída 
deuna fruta?) hayan formulado sus propias leyes “universales” y descu-
bierto o inventado también un cálculo como el diferencial. 
Invención o descubrimiento, las matemáticas no se pueden evitar, están 
en todas partes, y si usted ha peleado con ellas, es mejor que se reconcilie 
cuanto antes y descubra su lado más divertido. 
1.3. ÁlgeBra y étiCa*
Figura 1. Abu Abdallah Muḥammad ibn Mūsā al-Jwārizmī.
Después de compartir en Twitter una reflexión sobre la importancia de la 
ética en el ser humano, he percibido un gran interés de los lectores por 
conocer el origen de tal reflexión, y curiosidad por saber sobre su autor, 
un antiguo e importante matemático persa. Pero lo que pocos saben es 
que este personaje se volvió familiar para la mayoría de nosotros los 
iberoamericanos, pues su rostro forma parte de la biblioteca de la casa, 
y lo reconocemos inmediatamente porque desde niños lo hemos visto 
muchas veces, como en el álbum de la familia, y aunque a algunos no les 
traiga buenos recuerdos, para todos es parte de nuestra historia escolar. 
* Una versión de este artículo se publicó originalmente el 14 de julio de 2017 en el diario El 
Espectador: https://www.elespectador.com/opinion/algebra-y-etica-columna-703284/
https://www.elespectador.com/opinion/algebra-y-etica-columna-703284/
10 Ecuaciones de opinión: historias, reflexiones y acertijos
Se trata del personaje de la portada del famoso texto que conocemos 
como el Álgebra de Baldor, ese libro que, como las aceitunas, a los jóvenes les 
encanta o lo aborrecen. El mismo que algunos de nosotros, muchos años 
después de la secundaria y la universidad, bajamos del estante de nuestra 
biblioteca y lo curioseamos con agrado y cariño recordando pasajes lejanos 
y divertidos de nuestra vida de estudiantes escolares, y que otros, al obser-
var con recelo su portada, esbozan una sonrisa por la satisfacción que les 
produce la seguridad de saber que nunca más tendrán que consultarlo. El 
mismo que en muchos casos nos señaló la disciplina que debíamos cultivar 
o la que definitivamente no debíamos intentar estudiar.
El Álgebra de Baldor se publicó en 1941. Su autor es el profesor cubano 
Aurelio Baldor, fallecido en 1978. Desde su lanzamiento se convirtió en 
el texto más consultado en las escuelas y los colegios de Latinoamérica. 
Contiene cerca de 6.000 ejercicios en total, suficientes para reforzar en 
los estudiantes los conceptos primarios del álgebra elemental, y en su 
portada aparece el hombre del turbante que todos reconocemos.
El nombre exacto del matemático persa que aparece en la portada del 
texto de Baldor es Abu Abdallah Muḥammad ibn Mūsā al-Jwārizmī, quien 
vivió entre los años 780 y 850 y desarrolló su obra especialmente en la 
Casa de la Sabiduría de Bagdad3, ciudad donde habitó la mayor parte de 
su vida. 
Al-Jwārizmīs es el autor de la primera obra sobre la solución sistemá-
tica de ecuaciones lineales y cuadráticas. Es considerado —junto a Dio-
fanto— como el padre del álgebra, palabra que procede de al-jabr, una 
de las dos operaciones que él utilizó para resolver ecuaciones cuadrá-
ticas, que consisten en eliminar cantidades negativas de una ecuación, 
sumando la misma cantidad a cada lado. 
Estos famosos trabajos se presentaron en un libro traducido al latín que 
introdujo en Europa el sistema numérico decimal. El autor quiso que su 
obra le sirviera a la gente para hacer cálculos relacionados con el dinero, 
las herencias de tierras, el comercio, los pleitos, y hasta con la construcción 
de acequias.
Por la forma metodológica en la que Al-Jwārizmī explicaba cómo 
abordar problemas difíciles de las matemáticas para desglosarlos en par-
tes sencillas de resolver, se le reconoce también la introducción del tér-
mino “algoritmo”, tan usado hoy en todas las áreas.
3 Hay una hermosa (el adjetivo va a gusto del lector) leyenda que asegura que cuando los mon-
goles destruyeron la Casa de la Sabiduría de Bagdad, en el año de 1258, las aguas del río Tigris 
se volvieron negras por la tinta de los libros lanzados a sus aguas.
11Historia, libros y matemática
Pero recientemente el exitoso publicista norteamericano Jürgen Klaric, 
experto en mercadeo, ha puesto en las redes sociales la reflexión de este 
matemático sobre la ética —a la que me refería al comienzo—, descubriendo 
así una faceta más de este personaje. Klaric comparte el siguiente pasaje: 
Le preguntaron al gran matemático Al-Jwārizmī sobre el valor del ser 
humano, y este respondió:
Si tiene ética, entonces su valor es  1.
Si además es inteligente, agréguele un cero y su valor será  10. 
Si también es rico, súmele otro 0 y será  100. 
Si por sobre todo es además una bella persona, agréguele otro 0 y su 
valor será  1000.
Pero si pierde el 1, que corresponde a la ética, perderá todo su valor, 
pues solamente le quedarán los ceros.
Sin duda una gran reflexión que muestra la admirable capacidad de 
Al-Jwārizmī para abordar con fórmulas simples temas profundos, no solo 
de matemáticas.
Una reflexión con un especial y exquisito toque matemático, com-
prensible para todos y absolutamente claro. Un mensaje sin ambigüe-
dades que invita a pensar en los verdaderos valores del ser humano. Su 
reflexión, como sus desarrollos en álgebra, no tiene fecha de expiración, 
por eso está vigente después de más de 1200 años. 
En Colombia nos está faltando tanto formación en matemáticas como 
ética; las primeras hay que aprenderlas, cultivarlas y aplicarlas correc-
tamente; la ética, en cambio, no se aprenderá en los libros ni en las cla-
ses, porque se trata de un valor especial del ser humano. ¿Se hereda? ¿Es 
genético? ¿Es un don negado a muchos? ¿Se adquiere? ¿Se desaprende? 
No lo sé, pero estoy seguro de que, como en las matemáticas, un mal 
ejemplo de la ética se puede convertir en un buen contraejemplo. 
Ojalá en Colombia desaparezcan las personas “nulas” a las que hace 
referencia Al-Jwārizmī, es decir las que están compuestas de uno, dos 
o tres ceros solamente, porque sin ética, la inteligencia, la riqueza o la 
belleza pierden todo valor. 
1.4. El Arithmeum: un museo 
para la aritmétiCa*
La fascinación por las matemáticas y el reto de desarrollar instrumentos 
para realizar cálculos aritméticos han acompañado —en todas las épo-
cas— un interés indiscutible en las diferentes culturas. 
La escritura y los sistemas numéricos usados en India, Persia, Grecia, 
Roma, China o en la América precolombina tuvieron diferencias, pero todos 
incluían los números 1 y 2, y a partir de allí al menos otro número para indi-
car muchos (más de dos). La ausencia del cero, apenas introducido en India 
en el siglo vi, y la dificultad en el manejo de los decimales, fueron caracterís-
ticas comunes en todos los antiguos sistemas numéricos. 
Tanto la numeración romana como las reglas para las operaciones 
aritméticas y la denominación de cantidades decimales, por ejemplo, 
eran tareas engorrosas debido a la notación misma, y en todas partes se 
volvió entonces una necesidad introducir modificaciones en la escritura e 
inventar tablas de cálculo y ábacos que facilitaran los cómputos necesa-
rios. Más adelante la invención de máquinas para calcular fue tan impor-
tante como la imprenta inventada por Johannes Gutenberg para superar 
la escritura y transcripción manual de los textos. 
El computador es demasiado joven aún, pero su invención y su desa-
rrollo estuvieron impulsados por el reto del cálculo numérico. Las ideas de 
Alan Turing, materializadas hoy en día gracias al significativo avance de la 
electrónica, es el punto final (temporal) de la historia detrás de los logros 
de la humanidad para facilitar la aritmética que usamos todos los días. 
Toda esa historia de tablas, ábacos y máquinas hasta llegar al compu-
tador es la que recoge el Arithmeum, un museo interactivo fantástico que 
desde la década de 1970 ha venido siendo fortalecido y ampliado por el 
Instituto de Investigación de Matemática Discreta (Forschungsinstitut für 
* Una versión de este artículo sepublicó originalmente el 25 de mayo de 2019 en rCn Radio: 
https://www.rcnradio.com/opinion/el-arithmeum-un-museo-para-la-aritmetica
https://www.rcnradio.com/opinion/el-arithmeum-un-museo-para-la-aritmetica
13Historia, libros y matemática
Diskrete Mathematik) de la Universidad de Bonn en Alemania. Un museo 
de esos a los que uno puede ir tantas veces como sea posible y siempre le 
queda faltando tiempo para disfrutarlo un poco más. 
Se trata de un lugar recomendable para quienes se interesen en pro-
fundizar en la historia de las matemáticas, del cálculo numérico y de los 
algoritmos desarrollados para implementarlos en las máquinas que la 
inteligencia humana ha sido capaz de inventar. 
El Arithmeum es la exposición más completa que conozco de todo 
tipo de inventos para calcular. Allí se pueden apreciar los antiguos ins-
trumentos de los griegos, los romanos, los babilonios y los egipcios, pero 
también de los mayas, los indios o los chinos, con la explicación de cómo 
funcionaban. 
Por supuesto que el recorrido por sus amplias salas, que ocupan cua-
tro pisos de un edificio lleno de luz, requiere de muchas horas si quere-
mos comprender al menos una pequeña parte sobre el funcionamiento 
de estas herramientas. 
Una característica importante que se debe destacar del lugar es que la 
mayoría de las máquinas no solo están expuestas, sino disponibles para 
que las podamos usar. En algunos casos se han construido réplicas per-
fectas que están junto a la original para que podamos experimentar y 
poner a prueba nuestra habilidad para calcular mecánicamente con estas 
herramientas. 
La verdad es que como matemático no puedo dejar de maravillarme 
de la genialidad de algunos inventores; por ejemplo la famosa “pascalina” 
—la primera calculadora mecánica de la historia, a base de ruedas, piñones 
y engranajes, diseñada por el matemático y filósofo francés Blaise Pascal— 
expuesta en el Arithmeum es una de esas creaciones ante las que siento una 
admiración profunda. Es un objeto que bien puede entretenernos medio 
día al menos tratando de entender su funcionamiento o descubriendo sus 
principios algorítmicos. Se sabe que el origen de este instrumento fue una 
tarea que desde niño atrajo a Pascal para ayudarle a su padre, quien tra-
bajaba en la oficina de recaudación tributaria de Normandía. A la edad de 
20 años Pascal ya había inventado una máquina que podía realizar sumas 
y restas de números de hasta 8 cifras; murió en 1662, antes de cumplir 
40 años de edad, y su corta vida no fue impedimento para que nos legara 
grandes aportes en distintas áreas. 
Pero a mi juicio la joya de la exposición del Arithmeum es la máquina 
que diseñó el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz en 1670: 
14 Ecuaciones de opinión: historias, reflexiones y acertijos
la primera calculadora mecánica con la que también se puede multipli-
car y dividir. Este bello juguete está disponible para que podamos entre-
tenernos todo el tiempo que se requiera usando sus ruedas dentadas y 
manivelas, que dan las operaciones deseadas según el sentido en que las 
giremos. Y destaco esta calculadora mecánica de Leibniz como la joya 
más preciada porque esta máquina perfeccionó la pascalina y fue el punto 
de inflexión en el cálculo numérico mecánico como referencia para la 
invención de las que le siguieron. 
La admiración que me inspiran estos inventos y sus autores se debe 
también a la increíble capacidad que se puede reconocer en personas 
como Leibniz, que no solo podían dominar las matemáticas puras y desa-
rrollar eficientes algoritmos de cómputo, sino además idear una máquina, 
una pieza maestra de la ingeniería y luego encontrar un hábil joyero que 
interpretara sus proyectos y materializara con molduras perfectas el 
engranaje de todas las piezas metálicas que debían encajar para llevar 
a cabo las operaciones, representadas con giros en una y otra dirección. 
Seguramente algunos de ustedes conocieron —antes de la llegada del 
computador— las máquinas registradoras y sumadoras que se usaban tanto 
en tiendas y almacenes como en las oficinas —puestas al lado de las máqui-
nas de escribir— y que después fueron reemplazadas por las sumadoras 
eléctricas que imprimían las tirillas de papel con las cuentas que realizaban. 
Pues en el Arithmeum también hay una extensa muestra de esas piezas, de 
diferente origen. 
Prototipos, modelos originales de calculadoras mecánicas y máquinas 
eléctricas se pueden admirar (y probar) en el Arithmeum. Si alguna vez 
usted, apreciado lector, tiene oportunidad de visitar Bonn, reserve un día 
más porque este museo seguramente lo atrapará. 
1.5. ¿Qué es la Cuadratura del CírCulo?*
Entre nuestros comunicadores se ha vuelto costumbre hablar de “cre-
cimiento exponencial” para indicar que hubo un aumento mayor que el 
esperado; a veces comparan solo un par de datos y ya lo concluyen, sin 
preocuparse siquiera por saber qué significa “crecimiento exponencial” 
y sin ser conscientes del error, que de tanto repetirse ha terminado por 
incorporarse al lenguaje cotidiano. 
De manera similar, aunque menos común y usada no tan erróneamente, 
con frecuencia se oye hablar de la “cuadratura del círculo” para indicar que 
algo no se puede lograr; la Real Academia Española (rae) ha incorporado en 
el Diccionario este uso frecuente con el siguiente significado: 
f. coloq. U. para indicar la imposibilidad de algo. 
Pero veamos cuál es el origen de la expresión y su verdadero signifi-
cado en matemáticas. 
Desde los griegos se planteó el reto de resolver el problema de cua-
drar un círculo, es decir de encontrar un cuadrado que tenga la misma 
área de un círculo dado, pero utilizando únicamente una regla y un com-
pás y respetando las normas de construcción de la geometría euclidiana 
con estos instrumentos. 
Con el tiempo se borró la segunda parte del problema que decía: “[…] 
con regla y compás”, y se acortó el enunciado que se popularizó como “el 
reto de la cuadratura del círculo”, mal entendido como la tarea imposible 
de encontrar un cuadrado que tenga la misma área de un círculo dado, lo 
cual, así no más, no solo sí es posible, sino que además no tiene gracia, 
pues no tiene mayor dificultad. 
Recordemos que cuando los griegos se referían a una regla, esta no era 
la que comúnmente conocemos. La regla de los griegos se considera libre de 
* Una versión de este artículo se publicó originalmente el 6 de julio de 2019 en rCn Radio: 
https://www.rcnradio.com/opinion/que-es-la-cuadratura-del-circulo
https://www.rcnradio.com/opinion/que-es-la-cuadratura-del-circulo
16 Ecuaciones de opinión: historias, reflexiones y acertijos
escalas o marcas, es decir que no sirve para medir en unidades de longitud, 
por ejemplo, y tampoco tiene dos bordes, de manera que con ella no pode-
mos dibujar dos paralelas directamente; además su longitud es infinita. Así 
que una regla solo nos sirve para unir dos puntos ya construidos a través de 
un segmento, o para prolongar un segmento de recta ya trazado. 
El compás de los griegos también es muy particular: solo sirve para 
trazar circunferencias o arcos de circunferencias cuyo centro sea un 
punto dado y cuyo radio sea el segmento entre el centro y otro punto ya 
construido. El compás se cierra cuando hemos hecho el trazo, es decir 
que después de usado olvida la distancia que tenía entre sus puntas: “no 
tiene memoria”. 
Pero, contrario a lo que uno podría creer sobre estas condiciones res-
trictivas para la regla y el compás, con estos dos instrumentos se pueden 
hacer muchas construcciones.
Veamos un bonito ejemplo: ¿cómo trazar una paralela a una recta dada? 
Para esta construcción nos dan un punto P
0
 exterior a la recta por el 
que deberá pasar la recta paralela que se quiere construir. Con el compás 
y con una abertura cualquiera se traza un arco con centro en P
0
 que corte 
la recta dada. Ese punto de corte lo llamamos P
1
. Desde este nuevo punto 
como centro y con una abertura hasta P
0
 se traza otro arco que tendrá 
que pasarentonces por el punto P
0
 y también deberá cortar la recta en un 
punto que llamamos P
2
. Con una abertura del compás igual a la distancia 
entre los puntos P
2
 y P
0
, tomando como centro P
1
 se corta el primer arco 
Figura 2. Compás antiguo.
17Historia, libros y matemática
trazado para obtener el punto P
3
. Uniendo los puntos P
0
 y P
3
 con la regla 
se consigue la recta paralela buscada. 
Pero volviendo a la expresión, hay que tener en cuenta que el problema 
de buscar, sin regla y compás, el cuadrado que tenga la misma área de un 
círculo dado ha despertado el interés de proponer diferentes métodos de 
solución con otras herramientas y se pueden encontrar ingeniosas cons-
trucciones geométricas que prescinden de la manera más directa y simple. 
Naturalmente, si un círculo tiene radio R, entonces su área es: 
A  π R2, 
por lo tanto basta elegir el lado del cuadrado con una longitud igual a 
la raíz cuadrada de =( )π π multiplicado por R. En efecto: si 
L � Rπ
entonces el área del cuadrado de lado L coincide con el área A del 
círculo de radio R. 
El problema de la cuadratura del círculo con regla y compás atrajo a 
muchos matemáticos durante siglos. Pero en 1882 el matemático alemán 
Ferdinand von Lindemann demostró que el problema no tiene solución. Lin-
demann concluye, como corolario, que es imposible cuadrar un círculo con 
regla y compás porque el número π es un número trascendente (al igual que 
su raíz cuadrada), lo cual quiere decir que π no puede ser raíz de ningún poli-
nomio (no nulo) con coeficientes enteros; es decir que π no es un número 
algebraico, y por lo tanto no cumple la condición necesaria para poder llevar 
a cabo construcciones de puntos con regla y compás. 
La generalización de la expresión “… eso es como resolver la cuadra-
tura del círculo”, incorporada a nuestro lenguaje para indicar la imposi-
bilidad de algo, debió empezar entonces a partir de la prueba de 1882 
que se convirtió en una muy importante noticia en el mundo matemático. 
Justamente he escuhado decir que “acabar con la polarización en 
Colombia es como resolver la cuadratura del círculo”. 
1.6. El día Consagrado al número π *
El 14 de marzo se celebra el “Día Pi”, y estoy seguro de que la mayoría de 
los lectores se preguntarán qué es eso. Se trata de una celebración que ha 
venido tomando cada vez más fuerza en el mundo entero y que nace de la 
coincidencia que se encuentra entre el mes 3 y el día 14 con el valor de pi, 
redondeado con dos cifras decimales, ampliamente conocido: π   3,14. 
Y esa es la fecha, escrita en la forma mm/dd que más se le “aproxima” en 
el calendario. 
También es la oportunidad para celebrar el poder de las matemáti-
cas, y sobre todo para admirar la existencia de la constante universal 
más famosa, que aunque no guarda ningún misterio especial, sí despierta 
mucha curiosidad y fascinación. 
El número π , bautizado con esa letra griega, es la constante que resulta 
de dividir la longitud de cualquier circunferencia por su diámetro, que es 
igual a 3.14159265359… El primero en dar una aproximación razonable 
de π fue Arquímedes (250 a. C.), quien afirmó que se trataba de una cons-
tante universal cuyo valor se encuentra entre los números racionales 223
71
 
y 22
7
. Sin embargo, el uso generalizado de la letra griega π como símbolo 
matemático para denotarlo fue introducido y difundido por el matemático 
galés William Jones, a partir de 1706. Jones afirmaba que su origen en la 
Antigüedad provenía del nombre griego dado a la “periferia” de una rueda. 
π no se puede escribir como cociente de dos números enteros, es 
decir que no es un número decimal periódico. Esta es una característica 
de todos los números irracionales. El cálculo de algunos billones de sus 
infinitas cifras decimales se usa frecuentemente para medir la velocidad 
de cómputo de modernos computadores. 
* Una versión de este artículo se publicó originalmente el 17 de marzo de 2017 en el diario El Especta-
dor: https://www.elespectador.com/opinion/el-dia-consagrado-al-numero-pi-columna-685079/
https://www.elespectador.com/opinion/el-dia-consagrado-al-numero-pi-columna-685079/
19Historia, libros y matemática
Una de las formas favoritas para poner a prueba la velocidad de cómputo 
de los computadores es mediante la suma alternada: 
4  43 
4
5   
4
7 
4
9    …,
que converge a π  tan lentamente que se necesita sumar varios millones 
de términos de la serie para obtener una aproximación del número π  con 
apenas unas pocas de sus primeras cifras decimales. 
La fascinación por el número π  ha llevado a diseñar prendas de vestir, 
decoración de tortas, elaborar elementos decorativos en metal, madera 
o plástico, o a dibujar diversas formas y figuras con algunas de sus cifras 
decimales o con el símbolo matemático que lo identifica, y a emplearlo 
en infinidad de carátulas de libros, revistas e impresos de diverso tipo. 
En 2014, durante la celebración del Día de π se divulgó un video con la 
composición para piano de David McDonald, quien dio a conocer una obra 
musical compuesta por él en 2011, en la cual la melodía representa las cifras 
del número π  hasta la cifra 122 después de la coma. “Escribí la canción para 
que me ayude a memorizar el número π , porque para mí es más fácil memo-
rizar la música que los números. Oigo la melodía y de ahí calculo los núme-
ros”, dijo McDonald. La bella melodía es sorprendente, y para quien quiera 
escucharla está disponible en YouTube con el título “David McDonald, la 
musica y el número Pi”.
Uno de los más grandes matemáticos del siglo xviii, el suizo Leonhard 
Euler, quien popularizó el uso de la letra griega π  introducida por Jones, 
demostró la identidad que relaciona los cinco números esenciales en la 
historia de las matemáticas; estos son: 0, 1, e, π , i. 
La famosa identidad de Euler: eiπ  1  0 es considerada universal-
mente como la ecuación más bella de las matemáticas. Esta identidad, 
que contiene a π , al número de Euler e ( 2.71828…), a los módulos 0 y 
1 de la suma y el producto, y al número complejo i � 1( )� , es definiti-
vamente el más hermoso verso de la poesía matemática. 
La Biblia tampoco es ajena al número π ; en efecto, en 1 Reyes 7:23 se 
afirma que Hiram hizo una vasija para el rey Salomón, con especificaciones 
muy precisas, como se puede leer: “Hizo asimismo un mar de fundición, de 
diez codos de un lado al otro, perfectamente redondo: su altura era de cinco 
codos, y ceñíalo alrededor un cordón de treinta codos”. Un simple análisis 
de esta frase evidencia que la circunferencia medía 30 codos y el diáme-
tro 10, es decir que en la Biblia π  fue erróneamente aproximado a 3; sin 
embargo la duda sobre el error bíblico se despeja si se acepta que la vasija 
https://www.youtube.com/watch?v=CTCqCHRrekQ
20 Ecuaciones de opinión: historias, reflexiones y acertijos
tenía un espesor de aproximadamente un séptimo de codo y que la circun-
ferencia de la vasija fue medida desde las paredes internas de ella, mientras 
que el diámetro, en cambio, se midió desde la parte externa de las paredes 
(la periferia). 
El número π  tampoco escapa al humor, las bromas, las anécdotas, los 
chistes y las caricaturas. Cuando yo era estudiante, en un muro del edifi-
cio de Matemáticas de la Ciudad Universitaria había un grafiti genial que 
decía: “soy irracional ¿y qué? Atentamente, π  ”. 
Y finalmente les comparto un chiste con π  para contarle a un niño al 
que le acaban de explicar que el número π  es una constante mayor que 
3 y menor que 4: “¿Sabes cuáles son los animales que tienen entre tres y 
cuatro ojos?” (Respuesta: Pues los “Piojos”). 
¡Feliz Día π  ! 
1.7. El juego de azar que originó 
el CálCulo de proBaBilidades*
En los pronósticos del clima nos han acostumbrado a escuchar la palabra 
“probabilidad”, y entendemos perfectamente cuando los meteorólogos 
nos informan con porcentajes sobre la posibilidad de lluvias, aunque 
muchas veces no acierten; también nos pasa con los economistas, aquie-
nes con frecuencia oímos hablar sobre las expectativas económicas y les 
comprendemos perfectamente con los datos que involucran la probabili-
dad, aunque también se equivoquen. Cuando se trata de apuestas sobre 
la victoria de un equipo de fútbol es inevitable usar las probabilidades, 
casi siempre basadas en estadísticas históricas. 
Aunque aparentemente el origen de la teoría de la probabilidad es muy 
reciente, según la axiomatización que hizo el matemático ruso Andréi Kol-
mogórov en 1933, el estudio de la probabilidad comenzó mucho antes, 
gracias al interés en los juegos de azar. Se considera que el comienzo del 
cálculo de probabilidades fue la correspondencia entre los matemáticos 
franceses Pierre de Fermat y Blaise Pascal en torno al “problema del Caba-
llero de Méré”, en el siglo xvii.
Antoine Gombaud, Caballero de Méré (1607-1684), fue un escritor y pen-
sador francés, matemático aficionado, pero especialmente un experto juga-
dor. Su interés y atracción por los juegos de azar le valieron para que hoy se 
le reconozca un lugar en los orígenes del estudio de la teoría de la probabili-
dad, al plantear dos problemas muy famosos. Sobre uno de ellos, el conocido 
como “problema de la partida interrumpida”, escribí en el apartado 4.134.
El segundo problema —que les voy a presentar— fue consultado por 
el Caballero de Méré al destacado matemático Blaise Pascal hacia 1650. 
* Una versión de este artículo se publicó originalmente el 13 de agosto de 2020 en el blog 
“Ecuaciones de opinión” del diario El Espectador: https://blogs.elespectador.com/actualidad/
ecuaciones-de-opinion/juego-azar-origino-calculo-probabilidades
4 Ver 4.13. “El problema del reparto de una apuesta”, o https://blogs.elespectador.com/actuali-
dad/ ecuaciones-de-opinion/problema-del-reparto-una-apuesta
https://blogs.elespectador.com/actualidad/ecuaciones-de-opinion/juego-azar-origino-calculo-probabilidades
https://blogs.elespectador.com/actualidad/ecuaciones-de-opinion/juego-azar-origino-calculo-probabilidades
https://blogs.elespectador.com/actualidad/
https://blogs.elespectador.com/actualidad/
22 Ecuaciones de opinión: historias, reflexiones y acertijos
La pregunta fue la siguiente: ¿Por qué si lanzo un dado 4 veces y apuesto 
a que en alguno de los lanzamientos salga un 6 tengo más posibilidades 
de ganar que cuando lanzo dos dados 24 veces y apuesto a que en algún 
lanzamiento salga un doble 6? ¿Acierto o estoy equivocado? 
El Caballero de Méré, como gran jugador que era, había observado que la 
primera apuesta era ligeramente favorable, pero razonaba diciendo que cual-
quiera de las dos apuestas debía ser igualmente ventajosa por las siguientes 
razones: la probabilidad de sacar un 6 con un dado en un lanzamiento es 1/6, 
por lo tanto la probabilidad de sacar un doble 6 con dos dados, es decir un 6 
en ambos dados, en un mismo lanzamiento, es igual a multiplicar por 1/6 la 
probabilidad de sacar un 6 con un dado en un lanzamiento; es decir: 
(1/6)(1/6)  1/36. 
Así que al ser la relación de 4 a 6 la misma que de 24 a 36, las dos 
apuestas debían coincidir en su probabilidad de ganar. 
Como siempre, cuando se conoce la solución de un problema parece 
fácil, y en efecto este problema hoy en día parece muy sencillo. 
La solución es la siguiente: la probabilidad de que al lanzar un dado no 
salga un 6 es 5/6 porque hay 5 valores que no son 6, entre 6 valores posi-
bles. Como se lanza 4 veces el dado y los lanzamientos son independientes, 
entonces la probabilidad de que no salga un 6 en esos 4 lanzamientos es: 
(5/6) · (5/6) · (5/6) · (5/6) ≈ 0.48225. 
Ahora bien, la probabilidad de que salga al menos un 6 es entonces el 
resultado de restar a 1 ese valor, es decir: 
1  0.48225  0.51775. 
Por lo tanto, con probabilidad mayor que 1/2, el Caballero de Méré ganaba 
la apuesta en el primer juego. En seguida examinaremos el segundo juego. 
Como se procedió antes, calculamos la probabilidad de que no salga 
el doble 6 y luego restamos ese valor a 1. Como el doble 6 es uno de los 
36 casos posibles al lanzar los dos dados, entonces la probabilidad de 
que no salga el doble 6 en un lanzamiento es 35/36 porque hay 35 valo-
res que no son el doble 6, de los 36 posibles. Como los dados se lanzan 
24 veces y los lanzamientos son independientes, entonces la probabili-
dad de que no salga el doble 6 en 24 lanzamientos será: 
(35/36)24 ≈ 0.50860. 
23Historia, libros y matemática
La probabilidad de sacar al menos un doble 6 en los 24 lanzamientos 
será: 
1  0.50860 ≈ 0.49140. 
Entonces, con probabilidad menor que 1/2 el Caballero de Méré podía 
ganar en el segundo juego, lo cual no le era favorable. La probabilidad 
de ganar en el primer juego resulta casi un 2 % mayor que la de ganar en 
el segundo juego. 
Pascal y Fermat dieron la solución a este problema en la correspon-
dencia que se generó entre ambos, pero quien formalizó todos estos argu-
mentos fue el matemático holandés Christiaan Huygens (1629-1695), 
quien conoció esa correspondencia y publicó en 1657 el trabajo titulado 
De Ratiociniis in Ludo Aleae (Calculando en juegos de azar), considerado el 
primer tratado sobre el cálculo de probabilidades. 
Por último, les comparto otra manera de ver por qué razón el pro-
blema del Caballero de Méré resulta paradójico. 
Al lanzar un dado se pueden obtener 6 resultados diferentes, por lo 
tanto, en 4 lanzamientos podemos obtener: 
6  6  6  6  1296 resultados diferentes. 
¿En cuántos de esos 1296 resultados sale un 6? La respuesta es más 
fácil de dar calculando en cuántos resultados no sale 6 y restando ese 
número de los 1296. En efecto, si calculamos de cuántas formas pueden 
salir los números del 1 al 5 en un lanzamiento, obtenemos como res-
puesta 5; así que en 4 lanzamientos serán: 
5  5  5  5  625. 
Entonces el número de resultados en los que sale un 6 será: 
1296  625  671. 
Por lo tanto, la conclusión es que en 4 lanzamientos de un dado hay 
más resultados en los que sale 6, que resultados en los que no sale 6. Así 
que la apuesta del Caballero de Méré para el primer juego era ventajosa. 
1.8. La fasCinaCión por los dados*
El primer ejemplo que suele darse cuando se quiere explicar en qué con-
siste la probabilidad —después de indicar que esta no puede ser mayor 
que 1 ni menor que 0— es lanzando una moneda, pues es fácil de com-
prender que si la moneda no está cargada, la probabilidad de obtener 
“cara” en un solo lanzamiento es igual a 1/2, ya que solo hay dos posibi-
lidades. Luego viene el lanzamiento del dado; comúnmente se usa para 
indicar que la probabilidad de acertar con el 5, por ejemplo, es exacta-
mente 1/6, porque de seis caras posibles solo una puede ser la ganadora. 
Calcular la probabilidad de ganar en los juegos de azar ha sido una tarea 
muy frecuente que por fortuna ha dado origen a algunas importantes ramas 
de la matemática cuyos estudios iniciales fueron estimulados por la afición 
a los juegos de azar. Y los dados aportan la prueba reina del gusto milenario 
por el juego; en efecto, el dado más antiguo encontrado hasta hoy es persa y 
se descubrió en una excavación arqueológica en el este de Irán, en la ciudad 
de Shahr-i Sokhta; se sabe que fue tallado en el hueso de un pie de un animal 
grande, hace más de 5000 años. Pero desde la prehistoria nuestros ante-
pasados han disfrutado de los juegos de azar, como en efecto lo demues-
tra la evidente utilización de huesos astrágalos pequeños, posiblemente 
de cabras, antes de la aparición de los dados, en el antiguo y clásico juego de 
azar llamado “taba”, que aún se practica en algunos países. 
Parece que el origen de la palabra “dado” está en el vocablo del árabe 
clásico a’dad, que significa número. El uso de los dados para distraerse 
jugando también fue común entre los griegos y los romanos. En Roma a 
los dados se les llamaba alea, que es la raíz de la expresión “al azar” de la 
que proviene la palabra aleatorio. Es famosa la frase que pronunció Julio 
César al cruzar el río Rubicón con sustropas en el año 49 a. C., cuando 
* Una versión de este artículo se publicó originalmente el 6 de febrero de 2020 en el blog “Ecua-
ciones de opinión” del diario El Espectador: https://blogs.elespectador.com/actualidad/ecuacio-
nes-de-opinion/la-fascinacion-los-dados
https://blogs.elespectador.com/actualidad/ecuaciones-de-opinion/la-fascinacion-los-dados
https://blogs.elespectador.com/actualidad/ecuaciones-de-opinion/la-fascinacion-los-dados
25Historia, libros y matemática
decide ir a conquistar el poder de la República: Alea jacta est, que significa 
“la suerte está echada” (el dado está tirado o lanzado). 
Los dados no necesariamente son cubos ni sus caras son siempre cua-
drados; comúnmente la cantidad de caras y sus formas son las que tie-
nen las figuras poliédricas, y en un mismo lanzamiento de varios dados, 
estos pueden ser de aspectos diferentes. El dado más común tiene la 
forma de un cubo o hexaedro regular, pero en la fabricación de dados 
también se han utilizado frecuentemente las figuras de tetraedros, octae-
dros, dodecaedros e icosaedros regulares, es decir que las formas más 
utilizadas para los dados son los cinco sólidos platónicos, que han sido 
objeto de veneración desde la Antigüedad, caracterizados porque tienen 
las siguientes propiedades comunes: 
· Todas las caras son polígonos regulares iguales. 
· Todos los ángulos (diedros) son iguales. 
· Todas las aristas son iguales (tienen la misma longitud). 
· En todos los vértices concurre el mismo número de caras y de 
aristas. Además, satisfacen la fórmula de Euler: V  C  A  2, 
donde V es el número de vértices, C el número de caras y A el 
número de aristas. 
Figura 3. Figuras posibles para la fabricación de dados.
26 Ecuaciones de opinión: historias, reflexiones y acertijos
Estas formas no cúbicas para los dados se han vuelto populares por su 
utilización en los juegos de rol, desarrollados desde la década de 1960 pero 
que corresponden más a una categoría de juegos de estrategia que de azar. 
La atracción por los dados también ha despertado una gran imagi-
nación. Con los más comunes, de seis caras, se encuentran dados con 
combinaciones de letras o con constantes matemáticas que permiten 
practicar algunas operaciones porque sus caras tienen, en vez de los 
números del 1 al 6, el número π , 2, i , φ,  2 y 0, de tal manera que 
se puede apostar con nuevas reglas como la que establece que el ganador 
en un lanzamiento es quien saque el mayor valor del número de la cara 
elevado al cuadrado, o al cubo. 
Figura 4. Dado con la constante matemática π..
La perinola común que conocemos en Colombia es una forma de dado 
de seis caras marcadas con: pon 1, pon 2, toma1, toma 2, todos ponen, 
toma todo. 
Figura 5. Perinola colombiana.
27Historia, libros y matemática
Mi atracción por los dados y por la variedad de figuras y símbolos utiliza-
dos en sus caras me ha impulsado a coleccionar aquellos de diversas formas, 
algunos de los cuales han sido obsequios que aprecio muchísimo, de quienes 
conocen mi gusto por estos objetos maravillosos. Por ejemplo en mi colección 
tengo uno muy especial, de 120 caras; aún no conozco otro que lo supere. 
 
Figura 6. Variedad de dados.
Tan conocida como la frase de Julio César sobre la suerte está echada 
—que mencioné atrás— es hoy en día la cita de Albert Einstein, quien 
en 1926, en la respuesta a una carta en la que Max Born exponía sus 
inquietudes sobre la teoría de la mecánica cuántica, le responde no estar 
convencido de sus conclusiones, valiéndose de la famosa frase: “Dios no 
juega a los dados”. 
Pero pensando en el azar y la fascinación por los dados, creo que si 
Einstein hubiera conocido a Colombia, habría tenido un contraejemplo 
para dudar o cambiar de opinión: “Dios no solo juega a los dados, sino 
que los lanza en Colombia”. 
1.9. ProBaBilidad, azar y loterías*
Hace unos días, al acercarme a uno de los puntos de venta de una lotería 
muy popular entre nosotros, la vendedora me explicó de forma bastante 
cordial las nuevas reglas del juego, que serán adoptadas muy pronto. Con 
gran entusiasmo me informó que ahora sí habrá muchas posibilidades de 
enriquecerse fácilmente con un golpe de suerte. Y me sorprendió la segu-
ridad con que me expuso las razones de los novedosos beneficios para 
sustentar que la nueva probabilidad de ganar será mayor ahora. 
Aunque no pude convencer a la joven de que sus argumentos eran 
válidos para justificar precisamente todo lo contrario, quiero ahora com-
partirles mis cuentas para demostrar que ganar este premio ahora será 
menos probable. En efecto, la probabilidad de acertar con las actuales 
reglas —eligiendo 6 números entre 1 y 45 sin que se repitan— es de 1 en 
8 145 060, que corresponde al total de combinaciones posibles. 
Con las reglas nuevas que me explicó la vendedora, se eligen cinco 
números entre 1 y 43 sin que se repitan, y un número entre 1 y 16, este 
último puede coincidir con uno de los primeros cinco números elegidos. 
Así las cosas, la nueva probabilidad es de 1 entre el número de combina-
ciones posibles, que es igual a 15 401 568, es decir casi el doble de las 
combinaciones posibles con las reglas anteriores. 
Para que los lectores comprendan más claramente cuál es la probabi-
lidad de ganar ahora, voy a dar un ejemplo: imaginen que ponemos telé-
fonos celulares uno junto al otro unidos por la parte más larga formando 
un estrecho camino desde Bogotá hasta Cartagena, una “cinta celular” de 
más de 1000 kilómetros de largo, como una fila india formada de teléfonos 
celulares. Ahora imaginemos que de todos ellos solo uno está activado. 
Ganar el premio anhelado es como tener la suerte de escoger un celular al 
azar, en cualquier punto del camino entre Bogotá y Cartagena, encenderlo y 
* Una versión de este artículo se publicó originalmente el 14 de abril de 2017 en el diario El Espec-
tador: https://www.elespectador.com/opinion/probabilidad-azar-y-loterias-columna-689309/
https://www.elespectador.com/opinion/probabilidad-azar-y-loterias-columna-689309/
29Historia, libros y matemática
tener la fortuna de que ese sea el aparato activado. Con las antiguas reglas, 
para poder tener una comparación, es como tener este camino de teléfonos 
celulares, ya no hasta Cartagena, sino solo hasta Aguachica. 
En las justas deportivas la humanidad no solo ha encontrado diver-
sión, sino que en torno a ellas las apuestas han formado parte de su mejor 
entretención. Los juegos de azar siempre han formado parte de la diver-
sión humana; recordemos que hasta los guardias romanos encargados de 
vigilar a Jesús preso se jugaron las ropas de Cristo apostando a los dados. 
Y aunque ha habido rechazo de comunidades, especialmente religio-
sas y políticas, los juegos de azar terminan atrayendo y practicándose aun 
en la clandestinidad. En Occidente, por ejemplo, durante algún tiempo la 
Iglesia católica se opuso sin éxito a los juegos de azar. Pero entre todos 
los juegos conocidos, las loterías han sido de los pocos que no solo han 
sido tolerados por los Estados, sino que además han sido operados y 
administrados por ellos. 
Originalmente las loterías, como las conocemos hoy, eran activida-
des de particulares, y es posible que su inventor haya sido el banquero 
milanés Cristóbal Tavera, en el siglo xv, tal como lo indica la mención a 
la lotería en un edicto del 9 de enero de 1448. Desde entonces el juego 
de la lotería se propagó por Italia y posteriormente por toda Europa mos-
trando su potencial lucrativo, y al parecer fue en Génova donde se esta-
bleció el primer impuesto a la lotería, un siglo después de su invención. 
En Francia, con ocasión del matrimonio de Luis xiv con María Teresa de 
Austria en 1660, se introdujo una primera “Lotería Real”, una especie de tóm-
bola para repartir regalos entre los invitados. Unos años después, el 11 de 
mayo de 1700, apareció el primer decreto del Consejo del Rey de Francia a 
favor de la lotería. La exposición de motivos de este decreto es una pieza que 
vale la