Actividades-Colaborativo--unidad-1

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD 
ESCUELA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN 
Ecuaciones Diferenciales 
Nombre del curso: Ecuaciones diferenciales. 
Código: 551119. 
Temáticas: Guía para el desarrollo del trabajo grupal para la Unidad No 1 del curso. 
Estrategia de aprendizaje: Aprendizaje basado en problemas. 
Peso evaluativo: 50 puntos (10%). 
Cronograma: Ver agenda del curso. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --- 
Temáticas que se revisarán: 
Unidad 1: Ecuaciones diferenciales de primer orden 
 Capítulo 1. Ecuaciones Diferenciales de primer orden. 
 Capítulo 2. Modelación matemática con ecuaciones diferenciales de primer orden. 
 
Aspectos generales del trabajo: 
En el capítulo 1 se debe hacer una lectura previa sobre el tema que se quiere abordar, posterior mente 
se interioriza la teoría de la temática a trabajar, si es necesario se hacen las demostraciones y 
posteriormente se resuelven ejercicios con el fin de orientar, comprender y desarrollar habilidades 
para la solución. 
En el capítulo 2 nos referimos teóricamente a la modelación en matemática. Es importante que el 
estudiante se apropie de los que significa la resolución de problemas y la modelación matemática. En 
lo referente al marco teórico de la modelación en Ecuaciones Diferenciales el estudiante deb e 
consultar en el texto guía. Los estudiantes deben consultar sobre el significado de la resolución de 
problemas, la modelación matemática y como se modelo a través de las ecuaciones diferenciales en la 
temática del crecimiento, la mecánica clásica y los c ircuitos eléctricos. 
Estrategia de aprendizaje propuesta: 
Como oportunidad de aprendizaje, se promueve la estrategia de Aprendizaje Basado en Problemas 
(ABP), cuyo objetivo es promover el aprendizaje activo del estudiante, es decir que aprenda a ser 
autónomo y responsable de su propio aprendizaje. Los conocimientos que se presentan en esta 
unidad se deben adaptar a sus necesidades y a su nivel de comprensión, pues el mismo se debe 
interesar por el conocimiento de las Ecuaciones Diferenciales, su teoría, ejercicios, tareas y resolución 
de problemas. A través del desarrollo del curso los conocimientos adquiridos deben ser útiles para su 
futuro como profesional de la docencia y de la misma ciencia. 
 
Peso evaluativo: 
50 puntos (10% del peso del curso) 
 
Producto(s) esperado(s): 
Presentación de las tareas, ejercicios, comentarios, y resolución de problemas. 
 
Cronograma de las actividades: 
Apertura: / Cierre: Ver agenda del curso 
 
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ESCUELA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN 
Ecuaciones Diferenciales 
Objetivo del Trabajo Colaborativo: 
 Evaluar e implementar la teoría vista durante el desarrollo de la unidad. 
 Desarrollar un trabajo en equipo que oriente el trabajo colaborativo y contribuya a la 
asimilación de la teoría y solución de problemas de la misma disciplina y en otros contextos 
de la ciencia. 
 Mejorar habilidades de comunicación, el lenguaje y la simbología de la misma matemática y 
del idioma cotidiano. 
 Practicar habilidades que necesitará para su desempeño laboral como profesional y que 
pueda comunicar ideas de manera sencilla y precisa. 
 
Actividades 
ACTIVIDAD No. 1 
A través de las lecturas del texto o de otro texto que se encuentre en la bibliografía o los recursos el 
estudiante debe definir los siguientes conceptos: 
 Cuál es la historia y porque nacen las Ecuaciones Diferenciales. (referirse al planteamiento de 
Newton en la mecánica clásica y la temática de la caída libre) 
 Definir una Ecuación Diferencial. 
 Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales. 
 Definición de la solución a una Ecuación Diferencial. 
 Dentro del concepto de la definición de la solución a una Ecuación Diferencial, definir a qué 
corresponde una solución particular, una solución general y una solución implícita. 
Lectura: Capítulo 1. Ecuaciones Diferenciales. Dennis Zill. Novena edición.. Editorial Cengage Leaning. 
México 2009 
 
ACTIVIDAD No. 2 
A continuación se muestran dos ecuaciones diferenciales de segundo y tercer orden con una solución 
propuesta y se verifica si la función propuesta es solución o no. 
A. xxxx xeececyeyy
2
1
21 
 Verificar si la función es solución es de la ecuación. 
Si derivamos la solución tenemos: 
1 2
1
( )
2
x x x xy c e c e e xe      y de nuevo derivamos: 
 
 
1 2
1
(2 )
2
x x x xy c e c e e xe     , reemplazando en la ecuación se tiene: 
1 2
1
(2 )
2
x x x xc e c e e xe     1 2
1
( )
2
x x x xc e c e xe e    , por tanto la función si es solución. 
B. xxx ecececyy
dx
dy
dx
yd
dx
yd 3
3
2
212
2
3
3
064   Verificar si la función es solución es 
de la ecuación. 
Si derivamos la solución tenemos: 2 3
1 2 32 3
x x xy c e c e c e     , de nuevo derivamos dos veces más. 
2 3
1 2 34 9
x x xy c e c e c e    
2 3
1 2 38 27
x x xy c e c e c e     
Reemplazando en la ecuación diferencial tenemos: 
 
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Ecuaciones Diferenciales 
2 3
1 2 38 27
x x xc e c e c e    2 31 2 34( 4 9 )
x x xc e c e c e    2 31 2 3( 2 3 )
x x xc e c e c e   
2 3
1 2 36( ) 0
x x xc e c e c e    
Un buen ejercicio para verificar la igualdad. 
 
Ejercicios tomados de: Ecuaciones Diferenciales. Arias Elkin; Rúa José y Vélez Astrid. Universidad de Medellín. 
Editorial. Sello editorial. Universidad de Medellín. 2012. 
 
 
ACTIVIDAD No. 3 
El estudiante puede resolver los siguientes ejercicios con el fin de verificar la solución a la ecuación 
diferencial. 
Verifique si la función indicada es una solución de la ecuación diferencial dada. 
1
321. (1 ) 2 ' cosy senx y y x

    
2. teyy
dt
dy 20
5
6
5
6
;2420  
3. 2
32
1
1
223 4ln122 xxxCxCxCyxyyxyxyx   
4. Para qué valores de la variable m, será : mxey  , solución de la ecuación: 065  yyy 
5. Para qué valores de la variable m, será : my x , solución de la ecuación: 2 0xy y   
 
Ejercicios tomados de: Ecuaciones Diferenciales. Arias Elkin; Rúa José y Vélez Astrid. Universidad de Medellín. 
Editorial. Sello editorial. Universidad de Medellín. 2012. 
 
ACTIVIDAD No. 4 
Definir las ecuaciones diferenciales de primer orden y los métodos de solución de cada tipo de 
ecuación diferencial. Por ejemplo: 
Definición: Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación diferencial ordinaria dónde 
intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente. Estas ecuaciones, junto con 
su condición inicial, se pueden encontrar expresadas en forma explícita:
 00 )(;0),,( yxyyyxf  
Ecuaciones de variables separables 
Si mediante operaciones algebraicas es posible expresar la ecuación diferencial en la siguiente forma:
 
dyyNdxxM )()(  
o de la forma: )()( yhxg
dx
dy
 se dirá que es una ecuación diferencial de variables 
separables. De este modo, en cada miembro de la ecuación se tendrá una única variable. Para resolver este 
tipo de ecuaciones basta con integrar en cada miembro: 
Método de solución de una ecuación de variable separable: 
1. Sea la ecuación: 0)()(  dyygdxxf , separar las variables con el diferencial, es decir escriba la 
ecuación de la forma: dyygdxxf )()(  
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria
http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada
http://es.wikipedia.org/wiki/Integral
 
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Ecuaciones Diferenciales 
2. Integre a ambos lados de la ecuación : dyygdxxf  )()( , luego las anti derivadas o 
primitivas serán: 
1 2( ) ( )F x c G y c  
, como 
1c
 y 
2c
, con constantes, entonces se puede 
escribir una sola constante como: 
2 1cc c 
 
3. Escriba la solución general como: ( ) ( )F x G y c  
4. Si hay condiciones iniciales: 
00 )( yxy 
, encuentre la solución particular. 
 
Definiciones tomadas de: Ecuaciones Diferenciales. Dennis Zill. Novena edición.. Editorial Cengage Leaning. 
México 2009. 
 
ACTIVIDAD No. 5 
Los estudiantes deben presentar los ejercicios siguientes. Es importante que el trabajo lo puedan 
realizar en grupo, deben escoger un líder que suba los ejercicios en formato pdf en el entorno de 
evaluación y seguimiento en el espacio creado para ello . 
Ejercicios tomados de: Ecuaciones Diferenciales. Dennis Zill. Novena edición.. Editorial Cengage Leaning. México 
2009. 
 
Ejercicios 1.1. De la página: 10 N° 19, 21, 22, 47. 
Ejercicios 1.2. De la página: 17 N° 9, 10, 19, 45. 
Ejercicios 2.2. De la página: 50 N° 13, 19, 27 
Ejercicios 2.3. De la página: 60 N° 23, 27, 28 
Ejercicios 2.4. De la página: 68 N° 15, 25, 36 
Ejercicios 2.5. De la página: 74 N° 23, 25, 27 
 
 
ACTIVIDAD No. 6 
A través de las lecturas del texto o de otro texto que se encuentre en la bibliografía o los recursos el 
estudiante debe definir los siguientes conceptos: 
 Definir qué significa modelar en matemáticas 
 Definir que es un modelo matemático. 
 Definir el modelo matemático que refiere al crecimiento y decrecimiento incluyendo la ley de 
enfriamiento. 
 Definir el modelo de la mecánica clásica y los circuitos simples. 
 Definir el modelo de mezclas. 
 
ACTIVIDAD No. 7 
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO EXPONENCIAL 
El término crecimiento exponencial se aplica generalmente a una magnitud X tal que su variación en el 
tiempo es proporcional a su valor, lo cual implica que crece o decrece muy rápidamente en el tiempo de 
acuerdo con la ecuación: 
Fenómenos con crecimiento exponencial 
 El número de células de un feto mientras se desarrolla en el útero materno. 
 
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Ecuaciones Diferenciales 
 En una economía sin trastornos, los precios crecen exponencialmente, donde la tasa coincide con el 
índice de inflación. 
 El número de contraseñas posibles con n dígitos crece exponencialmente con n. 
 Los intereses que nos cobran los bancos cuando nos hacen el préstamo para pagar la matrícula del 
semestre crece de manera exponencial. 
 El número de bacterias que se reproducen por fisión binaria. 
 El número de individuos en poblaciones de ecosistemas cuando carecen de predador 
Uno de los primeros intentos de modelar matemáticamente el crecimiento demográfico humano o 
poblacional lo hizo Thomas Malthus, economista inglés en 1798. 
El crecimiento es exponencial cuando el crecimiento de la función en un punto es proporcional al valor de la 
función en ese punto, lo que se puede expresar en términos matemáticos mediante la ecuación diferencial 
de primer orden: 
kx
dt
dx

y al resolver por el método ya expuesto logramos la ecuación solución a la 
ecuación diferencial: ktextx 0)(  . Es importante analizar que si la constante de proporcionalidad es un 
valor positivo, hay crecimiento y si el valor es negativo hay decrecimiento. 
a. El estudiante debe obtener la solución al modelo matemático de crecimiento. 
Resolver el siguiente problema: En un trozo de madera quemada se encontró que 98% del C-14 se había 
desintegrado. ¿Cuál es la edad de la madera aproximada? (Es precisamente este dato el que los arqueólogos 
usaron para determinar la edad de las pinturas prehistóricas encontradas en una caverna de Lascaux, 
Francia): la semivida del carbono 14 C-14 es de 5600 años. 
 
Ejercicios tomados de: Ecuaciones Diferenciales. Dennis Zill. Novena edición. Editorial Cengage Leaning. 
México 2009. P. 89. 
 
ACTIVIDAD No. 8 
El grupo de estudiantes definen la ecuación diferencial para la ley de enfriamiento propuesta por 
Newton y encontrar la solución a través de la demostración. 
Resolver a siguiente situación o problema. 
 
En el sonado caso de Diomedes Díaz una de las versiones desechadas decía que en ese amanecer frío hacia 
las 5 de la mañana (2 grados de temperatura cerca de la capital de Tunja), Doris Adriana fue asesinada e 
inmediatamente arrojada por el Señor Álvarez del vehículo. A las 8:00 a.m. hora en que llegaron las 
autoridades al alto del Sote, encontraron que el cadáver registraba una temperatura de 12ºC. A las 10:00 a. 
hora de hacer el levantamiento, el forense determina que la temperatura del cadáver registraba 8 ºC. ¿A 
qué hora fue asesinada Doris Adriana? Y porque es rechazada la versión del señor Álvarez. Rta: 
aproximadamente a las 3 horas; 5 minutos; 43 segundos de la madrugada. 
 
ACTIVIDAD No. 9 
En la mayoría de situaciones de la física y especialmente en la cinemática, específicamente en la c aída 
de los cuerpos, el modelo matemático desprecia la fricción del aire, situación que orienta el problema 
a una situación ideal, sin embargo cuando un cuero cae, se debe tener en cuenta la fricción del aire , 
como aquella fuerza que se opone a la caída de los cuerpos. El planteamiento del modelo es el 
siguiente: 
http://es.wikipedia.org/wiki/Fisi%C3%B3n_binaria
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_de_primer_orden
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_de_primer_orden
 
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Ecuaciones Diferenciales 
Newton, en su segunda ley, planteo: maF  , pero la aceleración la escribió de la siguiente manera: a
dt
dv

 
, que significa el cambio de la velocidad de una partícula con respecto a la variable tiempo o también como: 
a
dt
xd

2
2
, que significa la segunda derivada de la posición respecto al tiempo. 
 
CAIDA LIBRE: 
 
Mecánica de Newton K>0, constante de proporcionalidad: dv k
v g
dt m
  
Que simplemente es una 
ecuación diferencial de primer orden lineal 
Definiciones tomadas de: Ecuaciones Diferenciales. Dennis Zill. Novena edición.. Editorial Cengage Leaning. México 
2009. 
Los estudiantes deben desarrollar la siguiente tarea: 
Un paracaidista cuya masa es de 75 Kg se arroja de un helicóptero que vuela a 2000 m sobre el suelo y cae 
hacia éste bajo la influencia de la gravedad. Suponga que la fuerza debido a la resistencia del aire es 
proporcional a la velocidad del paracaidista con la constante de proporcionalidad 
m
sNk 301 
 cuando el 
paracaídas está cerrado y 
m
sNk 902 
cuando se abre. Si el paracaídas se abre automáticamente 
cuando la velocidad del paracaidista es de 20 m/s, ¿después de qué tiempo llegará al piso? ¿Cuál es la 
velocidad con qué golpea el piso? 
Los estudiantes pueden consultar la bibliografía de base o cualquier texto para definir los modelos de 
circuitos simples. Es fundamental que tengan como conocimiento preliminar las leyes de KIRCHHOFF. 
Resolver la siguiente tarea: 
5. Un circuito R-L tiene una fem de )2(8 tsen voltios, una inductancia de 2 henrios, una resistencia de 10 
ohmios, y tiene corriente inicial de 5 amperios. Determinar la corriente en el circuito para un tiempo de 
2
t segundos. R. 0.2779amperios. 
ACTIVIDAD No. 10 
Consultar la propuesta del modelo de mezclas y resolver la ecuación diferencial para demostrar su 
correspondiente solución: 
PROBLEMAS DE MEZCLAS 
 
matemáticoModelov
m
k
g
dt
dv
objetovelocidadvkvmg
dt
dv
m
kvmgma
propuestaecuaciónFFF
.
:;
:21




https://www.google.com.co/search?tbm=isch&q=mezclas+quimicas&revid=659436755&biw=1366&bih=674
 
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Ecuaciones Diferenciales 
Supóngase que ( )x t representa la cantidad de cierto elemento que se halla presente en un determinado 
recipiente aislado y además que )(1 tR es la rapidez con la que entra dicha sustancia a recipiente en el tiempo t , y 
que )(2 tR es la rapidez con la cual sale del recipiente, entonces se logra el, siguiente Modelo matemático 
resuelto:Resolver la siguiente tarea: 
Un gran tanque parcialmente lleno con 200 litros de líquido en los cuales se disuelven 15 libras de sal. Una 
salmuera contiene Kg2.0 de sal por litro y entra al tanque con una rapidez de 3 litros cada minuto. La 
solución adecuadamente mezclada sale hacia fuera del tanque a razón de 5 litros cada minuto. 
 
ACTIVIDAD No. 11 
Los estudiantes deben presentar los ejercicios siguientes. El trabajo lo puedan realizar en grupo, pero 
su entrega es individual. 
 
Ejercicios 3.1. De la página: 89 N° 3, 5, 8, 15, 17, 27, 32,34, 38, 43, 
 
Ejercicios tomados de: Ecuaciones Diferenciales. Dennis Zill. Novena edición. Editorial Cengage Leaning. México 
2009. 
 
Resultados Actividades 
Entregar un único archivo en formato pdf, sobre esta actividad, con resultados y evidencias de su 
correspondiente proceso. Deben de estar los aportes de los estudiantes en el Foro del Trabajo 
Colaborativo. Si necesitan preguntar o resolver dudas pueden hacerlo ubicándola en el tema creado 
para tal fin en el mismo foro del Trabajo Colaborativo. 
 
Bibliografía Básica. 
 Zill, D (1992), “Ecuaciones Diferenciales “. Grupo editorial Iberoamérica. España. 
 Simmons, G.()1992). “Ecuaciones Diferenciales”. Grupo editorial Iberoamérica. España. Bibliografía 
de consulta. 
 Campbell, S. L. (1998)“Introducción a las Ecaciones Diferenciales” . Editorial., Addison-Wesley. 
Mexico 
 
 Larson,H (1997) . “Ecuaciones Diferenciales”. . Editorial Harla . Mexico 1997. 
 Swokowsky, C (1996) . “Ecuaciones Diferenciales”. Grupo Editorial Iberoamerica. Mexico. 1996. 
 
 Rainville, Earl D. (1998)Ecuaciones diferenciales. Editorial, Prentice Hall. 
 Nagle-Saff,Kent-Edward. (1998)Fundamentos de ecuaciones diferenciales. Editorial Educativa 
 
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dx
R R con R v C R v C
dt
volumen cantidad sus cia
v C
tiempo volumen
   

 