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ACTIVIDADES-DE-RECUPERACION-DE-MATEMATICAS-DEL-PRIMER-PERIODO-2021-

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ACTIVIDADES DE RECUPERACION DE MATEMATICAS DEL PRIMER PERIODO- NOVENO GRADO-
2021 
Para realizar la recuperación del primer periodo el estudiante debe resolver en hojas 
cuadriculadas y a mano las siguientes actividades, estas deben ser entregadas por tarde 
el día 30 de Abril-2021 en el pizarrón de tareas de la plataforma institucional. 
Desarrollo de los talleres propuestos en el periodo, el taller 1, el taller 2 y el taller 3, 
recibiendo la asesoría por parte de la docente, usando encuentros virtuales, videos 
explicativos, y los distintos medios de comunicación para la elaboración de los mismos. 
 
Anexo Las guías y dentro de cada guía están los talleres, las autoevaluaciones y problemas en 
familia que debe entregar. 
GUIA 1: CONJUNTOS DE NUMEROS 
ACTIVIDAD 1 
Responda las siguientes preguntas: 
a) Qué entiendes por numero natural? Qué significa para ti el símbolo 3? Qué diferencia hay 
entre el número 3 y el símbolo 3? 
b) Qué entiendes por número entero? Todo número natural es entero? Justifica tus 
respuestas. 
c) Qué significa la expresión 2/5? 
d) Que es un número racional? Todo número entero es racional? Por qué? 
e) Qué es un número irracional? 
f) Qué es un número real? Para qué sirve? 
 
ACTIVIDAD 2 
Lee con atención el siguiente texto y desarrolla los ejercicios y problemas propuestos. 
LOS NUMEROS NATURALES (N) 
Los números utilizados para contar como 1,2,3,4,5,…,etc. Forman el conjunto de los números 
naturales, denotado con la letra N. Esto es N = {1,2,3,4,…} 
CARACTERISTICAS DE LOS NUMEROS NATURALES 
 N es un conjunto infinito que posee primer elemento. 
 Cada número natural tiene uno que le sigue. 
 N es un conjunto discreto, es decir, entre dos números naturales existe un número finito 
de números naturales. 
 A excepción de 1, todos los demás tienen un número natural que los precede. 
 El siguiente de un número natural n es n+1. 
 Entre dos números naturales consecutivos no existe ningún número natural. 
 Si a,b Є N, una y sola una de las siguientes afirmaciones es cierta: a < b, a=b. o. a > b. ( la Є 
significa pertenece). 
 N está totalmente ordenado por la relación <. 
El cero: En el siglo VI, los hindúes ya tenían conocimiento del cero como un número. Algunas 
atribuyen el descubrimiento del cero a la filosofía hindú en la que se relaciona el universo 
vacío con el papel de Dios en la cultura occidental. 
Al conjunto N ̥= {0,1,2,3,4,5,…} se le conoce también con el nombre de ENTEROS NO 
NEGATIVOS. 
En el conjunto de los números naturales están definidas las operaciones de adición (+) y 
multiplicación (.), las cuales cumplen las siguientes propiedades: 
1. Clausurativa: Para todo a, b Є N, a+b Є N y a.b Є N. 
2. Conmutativa: Para todo a,b Є N, a+b = b+a y a.b = b.a 
3. Asociativa: Para todo a,b,c Є N, a + (b+c) = (a+b) +c y a.(b.c) = (a.b).c 
4. Modulativa: El número natural 1 es el módulo de la multiplicación y para todo a Є N, 
 1 * a = a*1 = a 
Ejercicio 1: Justifique por qué la adición de naturales no cumple la propiedad Modulativa. 
LOS NUMEROS ENTEROS (Z) 
Algunas ecuaciones como x + 5 = 0 no tienen solución en los naturales, por lo que se hizo 
necesario ampliar el conjunto de los números naturales y aparecieron los números negativos -1, 
-2, -3, -4,… a los que se les llama enteros negativos. 
Los números naturales, el cero y los enteros negativos forman el conjunto de los NUMEROS 
ENTEROS, que se denotan por Z. Luego Z = {…, -3,-2,-1,0, 1, 2,3,…} 
Ejercicio 2: Cuáles de las características de los números naturales son válidas para los enteros? 
Escríbalas. 
En Z también están definidas las operaciones de adición (+) y multiplicación (.), las cuales cumplen 
las siguientes propiedades: 
1. Clausurativa 
2. Asociativa 
3. Conmutativa 
4. Modulativa: Existe el entero 0 (cero) tal que para todo a Є Z. a + 0 = 0 +a = a 
El cero es llamado módulo de la adición o elemento neutro. 
El módulo de la multiplicación de enteros es el 1. Por qué? 
5. Invertiva: Para cada número entero a, existe un único entero llamado opuesto o inverso 
aditivo de a y denotado por –a, tal que a + (-a) = 0 = (-a) + a 
Ejercicio 3 
A. Qué se obtiene al efectuar la operación de un número con su inverso? 
B. La multiplicación de enteros cumple la propiedad Invertiva? Por qué? 
C. Para los enteros a y b, que puede concluir a partir de cada una de las siguientes 
proposiciones: 
i) a.b=0 ii) a.b = 1 iii) a.b= 15 iv) a.b = 9 v) a.b = 18 
LOS NUMEROS RACIONALES (Q) 
Dados dos números enteros n y k, no siempre existe un número entero x tal que k.x = n 
Para resolver este tipo de ecuaciones fue necesario ampliar el conjunto de los números enteros y 
se idearon los números Racionales, denotados por Q. El conjunto de los números racionales se 
define de la siguiente manera: 
Q = { a/b : a Є Z, b Є Z, b≠0} 
Todo entero se puede considerar como un racional de denominador 1, es decir que si a Є Z, 
a/1 = a Є Q, de lo que se concluye que Z C Q (los enteros están contenidos en los racionales). 
Los números racionales se caracterizan porque se pueden representar mediante una expresión 
decimal PERIÖDICA, es decir, en la que hay un grupo de cifras decimales que se repiten 
indefinidamente, (periodo) 
Ejemplos: 
a) 3 = 3,0000… = 
b) 1/3 = 0,33333… = 
c) 3/2 = 1,50000… = 1,50 
d) 602/495 = 1,216161616… = (observe que se le pone una raya o un arco 
encima del periodo) 
OTRAS CARACTERISTICAS DE Q 
 Q es un conjunto DENSO, es decir, entre dos números racionales dados siempre existe al 
menos otro número racional. El procedimiento para averiguarlo es muy sencillo, pues para 
a y b racionales, a < b, su semisuma es racional y está ubicada entre a y b o sea que 
a <(a + b)/2 < b 
 a/b es equivalente a c/d si y solo si a.d = b.c 
 Si a/b es racional, entonces a/b no tiene sucesor ni antecesor. 
 Q está totalmente ordenado por la relación ≤. 
Ejercicio 4 
 Resolver: 
1) Cuál de los números 5/7 y 3
4
 es mayor? Cuánto le lleva el mayor al menor? 
2) ( 1- 
1
2
)(1 - 
1
3
 )(1 - 
1
4
)…(1 - 
1
100
)= ??? 
3) Qué condiciones debe cumplir el racional a/b para que (a + n) / ( b + n) sea equivalente a 
a/b? 
LOS NUMEROS IRRACIONALES (Q´ o I ) 
Existen también números decimales que NO SON PERIODICOS, como: 
3,1415926… ( y más) = 
2,7182818… ( y sigue)= 
1,61803398874989484820… (y sigue) = 
1,41421356…= √𝟐 
1,7320508… = √𝟑 
0,101001000100001… 
32,87945657803… 
 
 
Estos números se llaman IRRACIONALES y no se pueden escribir en la forma a/b, con a y b 
enteros y b diferente de cero. 
El conjunto de los números irracionales se denota por Q´, observe que es una Q con una coma 
encima o por la letra I. Entre Q y Q´ no existen elementos comunes, es decir: Q ∩ Q´ = ф (la 
intersección de racionales e Irracionales es vacío) 
LOS NUMEROS REALES ( R ) 
La unión de los números racionales con los irracionales forman el conjunto de los números Reales, 
que se denota por R, así que R = Q ᴗ Q´ 
Un número real es entonces el que puede escribirse como un decimal de infinito número de 
cifras decimales. 
De los números reales se puede decir: 
 R es un conjunto DENSO. 
 A todo número real le corresponde un punto sobre la recta numérica y a todo punto de la 
recta le corresponde un número real. 
 Si a Є R, entonces a no tiene antecesor ni sucesor. 
 R está totalmente ordenado por la relación ≤ (menor o igual) 
 Si a.b = 0 entonces a= 0 o b= 0 
Ejercicio 5 
a. Averigua las propiedades de la potenciación y radicación. 
b. Consulta las propiedades de la logaritmación 
c. Hala al menos 5 racionales entre 1/2 y 2/3. Describe el procedimiento utilizado. 
d. Utilice regla y compas y ubique sobre la recta numérica los números √5, √7, √13, √15, √16 
e. Explique por qué unos números reales son racionales y otros irracionales. 
Este año estaremos estudiando los Números Complejos, pero antes de verlos estudiaremos 
algunos temas que nos ayudarán acomprenderlos. 
 Observe el siguiente video explicativo: 
https://www.youtube.com/watch?v=lsoFP2YApvs 
https://www.youtube.com/watch?v=lsoFP2YApvs
https://www.youtube.com/watch?v=rtNC7g1h_JA 
 TALLER 1 
1. Halle todas las parejas de números enteros (x, y) que satisfacen la condición x + y = 10 
2. Halle todas las parejas de números enteros que satisfacen la condición x.y + 1= 21 
3. Halle todas las parejas de números enteros ( x. y) que satisfacen la condición X + Y es 
impar y menor que 20. 
4. Determine el número racional que representa cada una de las siguientes expansiones 
decimales: 
a. 4,12 b. 0,325 c. 1,622222… d. 1,3455555… 
5. Si a < b entonces /a/ < /b/ ¿verdadero o falso? Justifique. 
6. Hallar los valores de x que satisfacen la ecuación / x + 5 / = 8 
7. Para x= 7 de las siguientes fracciones ¿cuál es de menor valor? 
a. 
6
𝑥
 b. 
𝑥
6
 c. 
6
𝑥+1
 d. 
𝑥+1
6
 e. 
6
𝑥−1
 
8. Cuándo se ubican los puntos correspondientes a los números 
1
6
 y 
1
4
 en la recta real, el 
número que corresponde al punto medio entre ellos es: 
a.
1
24
 b. 
1
5
 c. 
5
24
 d. 
2
9
 
9. Antes que Amalia saliera a dar un paseo de dos horas, el kilometraje de su carro mostraba 
el número 27972, que es un número palíndromo, (un número que se lee igual de izquierda 
a derecha que de derecha a izquierda). Cuando llego a su destino, la lectura del 
kilometraje era otro palíndromo. Si Amalia jamás excedió el límite de velocidad de 75 
km/hr. ¿cuál de los siguientes números representa el promedio de velocidad de Amalia en 
el paseo? 
a. 50 b. 55 c. 60 d. 65 e. 70 
10. Sí a.b = 17 qué puede decirse de los enteros a y b? 
 
11. Juego Interactivo: A continuación vamos a jugar con los números Reales. Entra al 
siguiente enlace: 
https://view.genial.ly/5bb134df0c96e06f5f3852d3/interactive-content-numeros-reales 
 
Solo hay que jugar, no debe enviar evidencia de este punto. 
 
 
GUIA 2: POTENCIACION DE NUMEROS REALES Y SU PROPIEDADES 
REPASEMOS LO VISTO ANTERIORMENTE… 
¿Qué es una potencia? 
Una potencia cuya base es un número entero y cuyo exponente es un número natural, es un 
producto de factores iguales. 
 
La base, a, es el factor que se repite. El exponente, n, indica el número de veces que se repite 
la base y el resultado es la potencia. 
Ejemplos: 
𝟑𝟓 = 3. 3. 3. 3. 3 = 243 
(−𝟐)𝟒= -2.-2.-2.-2 = 16 
𝟎𝟐 = 0.0 = 0 
𝟒𝟎 = 1 (este es un caso especial, ya que no podemos multiplicar un número por sí mismo 0 
veces) 
Signos de una potencia 
https://www.youtube.com/watch?v=rtNC7g1h_JA
https://view.genial.ly/5bb134df0c96e06f5f3852d3/interactive-content-numeros-reales
Al calcular potencias de base de un número entero, preste atención al signo de la base y al 
exponente. También debe distinguir a qué número exactamente está afectando la potencia. 
 
En general cualquier potencia de un número positivo será positiva y el opuesto de esa potencia 
será siempre negativo. 
Si la base es negativa y el exponente par o cero, el valor de la potencia será positivo. 
Pero si la base es negativa y el exponente es impar, el valor de la potencia será negativo. 
Ejemplos: 
𝟑𝟒 = 81 
𝟑𝟑 = 27 
(−𝟐)𝟖 = 256 
𝟐𝟖 = 256 
−𝟐𝟖 = -256 (se trata del opuesto de la 
potencia anterior) 
- 
 
PROPIEDADES DE LA POTENCIACION DE NUMEROS REALES 
1. Producto de potencias de igual base: El producto de potencias de igual base es otra 
potencia de la misma base cuyo exponente es la suma de los exponentes de los 
factores. Ejemplos: 
 
 
2. Cociente de potencias de igual base: El cociente de potencias de igual base es otra 
potencia cuyo exponente es la diferencia del exponente del dividendo y el exponente 
del divisor. 
Ejemplos: 
 
 
3. Potencia de potencia: La potencia de potencias es otra potencia de la misma base cuyo 
exponente es el producto de los exponentes de las potencias. 
Ejemplos: 
 
4. Potencia de un producto: La potencia de un producto es igual al producto de las 
potencias de cada factor con el mismo exponente. 
Ejemplos: 
 
5. Potencia de un cociente: La potencia de un cociente es otro cociente entre la potencia 
del dividendo y la potencia del divisor con el mismo exponente. 
Ejemplos: 
 
6. Potencia con exponente cero: La potencia de una cantidad con exponente cero es igual 
a la unidad. 
Ejemplos: 
 
7. Potencia con exponente negativo: Toda potencia con exponente negativo es igual a la 
inversa de la base con exponente positivo. 
Ejemplos: 
 
 
 
8. Potencia con exponente 1: Toda potencia con exponente negativo es igual a la inversa 
de la base con exponente positivo. 
Ejemplos: 
1) 𝟏𝟐𝟏 = 12 2) 𝟕𝟎𝟏 = 70 
 
Puede reforzar este tema viendo el video: 
https://www.youtube.com/watch?v=fCiQKJP5BlQ 
 
 
TALLER 2 
1. Escriba cada expresión con exponente positivo 
a. 
𝟏
𝟖.𝟖.𝟖
 = b. 2y. 2y. 2y. 2y = c. 
𝟏
𝒛
. 
𝟏
𝒛
 = 
2. Simplifique y elimine cualquier exponente negativo 
a. 𝒙𝟔𝒙−𝟐 
b. 𝟐−𝟏𝟎𝟐𝟏𝟐 
c. (𝟕𝒙𝟒)(−𝟑𝒙𝒚−𝟐) 
d. 
𝟔−𝟐𝒂−𝟏𝒃𝟑𝒄−𝟓
𝟐−𝟑𝒂𝟐𝒃−𝟏𝒄−𝟐
 
3. Determine si el número dado es positivo o negativo al simplificarlo, usando las leyes de 
los exponentes. 
a. (−𝟒)−𝟑(𝟐−𝟒) 
b. (−𝟏)−𝟏(−𝟏)𝟎(−𝟏)𝟏 
c. [𝟏𝟎−𝟓(−𝟏𝟎)𝟓(−𝟏𝟎)−𝟓] 
d. [(−𝟏)−𝟐]−𝟑
e. 
4. Simplifique la expresión usando las leyes de los exponentes: 
a. 
 
b. 
 
5. Hallar el valor del exponente o de la base según corresponda: 
a. (𝟐)𝒏 = 64 
b. (𝒚)𝟑 = -27 
c. (𝒛)𝟓. (𝒛)𝟑= 256 
d. (−𝟓)𝒏 = 625
e. 
6. Hallar una expresión para el área de cada figura 
 
7. Resuelva los siguientes problemas 
a. Una bacteria colocada en cierto medio, se reproduce cada hora. Se sabe que en 
la primera hora dio origen a 2 bacterias, en la segunda a 4 y en la tercera a 8 
¿Cuántas reproduce cada hora? ¿Cuántas horas han transcurrido cuando llega a 
reproducir 512 bacterias? 
b. Una bacteria colocada en cierto medio se triplica cada hora. ¿Cuántas horas han 
transcurrido cuando llega a reproducir 81 bacterias? ¿Cuántas horas han 
trascurrido cuando llega a reproducir 243 bacterias? 
AUTOEVALUACION 
 1. Simplifica las siguientes expresiones 
a. ( 222 )yx  ( 3)yx  
b. 
2
52
4
44 
 
c. 
3
5
3
5
b
a
/
4
3
9
10
b
a
 
d. 
2
222
2
23
a
aaa 
 
e. ((52)0)3 
f. 
2
2
2
2·2
6
52
 
2. Hallar el valor de x aplicando las propiedades de los exponentes: 
 
a. 
 
b. 2x 22 = 29 
c. 
xa
a 2 5a 
d. 4
1
*
3
2

x
x
 
 
3. Efectúa las operaciones y exprese el resultado sin exponentes negativos. 
a. (
)4(
)2(
3
32
yx
yx


 
b. ( 2223 )  pnm 
c. 
32
213
4
2




ba
ba
 
 
 
PROBLEMAS EN FAMILIA 
1. Partiendo de cualquier casilla blanca de la fila inferior, buscar un camino, realizando 
el movimiento de la dama sabiendo que el movimiento en el sentido de esta flecha 
divide y el movimiento en el sentido de esta flecha multiplica, hasta salir por 
una de las casillas superiores con el resultado igual a 1. 
 
 
 
 Escriba las operaciones que realizo para llegar a 1 
 
2. De la misma manera realícelo con el siguiente cuadrado 
 
GUIA 3: RADICALES Y OPERACIONES 
 
 
 
 
 
 
Observe los siguientes videos: Simplificación de Radicales 
https://www.youtube.com/watch?v=2HachLBuoZo&list=PLeySRPnY35dEhgikNGJjXZUOpWGt6LGz
n 
https://www.youtube.com/watch?v=-
EMjsWjPDLM&list=PLeySRPnY35dEhgikNGJjXZUOpWGt6LGzn&index=2 
https://www.youtube.com/watch?v=2HachLBuoZo&list=PLeySRPnY35dEhgikNGJjXZUOpWGt6LGzn
https://www.youtube.com/watch?v=2HachLBuoZo&list=PLeySRPnY35dEhgikNGJjXZUOpWGt6LGzn
https://www.youtube.com/watch?v=-EMjsWjPDLM&list=PLeySRPnY35dEhgikNGJjXZUOpWGt6LGzn&index=2
https://www.youtube.com/watch?v=-EMjsWjPDLM&list=PLeySRPnY35dEhgikNGJjXZUOpWGt6LGzn&index=2
https://www.youtube.com/watch?v=qSRMjsanmuU&list=PLeySRPnY35dEhgikNGJjXZUOpWGt6LGz
n&index=3 
Es importante observarlos videos propuesto en este taller, entre otros. 
Taller 3 
1. Resuelva las siguientes simplificaciones de radicales 
 a. √64 2 𝑏. √−8𝑥3 3 𝑐. √−32 𝑥10𝑦20
5
 
 d. √81𝑥4𝑦12
2
 𝑒. √4𝑥7𝑦12𝑧11
4
 𝑓. √
𝑚3
𝑚−2
5
 
 𝑔. √
𝑎−4𝑏−6
𝑎3𝑏2
6
 ℎ. √𝑎6𝑏8𝑐21
6
 (Continua abajo…) 
 
 
 
Observe los siguientes videos que le clarificarán los temas, obsérvelos en el orden que están, 
pues se va explicando desde el caso uno: 
 https://www.youtube.com/watch?v=PUjZCFUzlUQ 
https://www.youtube.com/watch?v=pqdgom7q44A 
https://www.youtube.com/watch?v=qSRMjsanmuU&list=PLeySRPnY35dEhgikNGJjXZUOpWGt6LGzn&index=3
https://www.youtube.com/watch?v=qSRMjsanmuU&list=PLeySRPnY35dEhgikNGJjXZUOpWGt6LGzn&index=3
https://www.youtube.com/watch?v=PUjZCFUzlUQ
https://www.youtube.com/watch?v=pqdgom7q44A
 
Lee el siguiente texto y busca el significado de las palabras que no entiendes y anéxalas al 
diccionario matemático. 
Radicales semejantes: Dos radicales son semejantes si son del mismo índice y la expresión 
subradical es también la misma. Ejemplo: los radicales 2√3 , −5√3 y 12√3 son semejantes, 
mientras que los radicales 3√5 y −8√3 no son semejantes. 
En consecuencia, sumar radicales es tener en cuenta los radicales que son semejantes. 
Ejemplo 1: 3√7 + 10√7 − 15√7 = −2√7 
Ejemplo 2: 4√3 − 8√5 − √3 + 12√5 = 3√3 + 4√5 
Para multiplicar radicales del mismo índice, solo habrá que tener en cuenta la siguiente 
propiedad de los radicales: √𝑎
𝑛
. √𝑏
𝑛
= √𝑎𝑏
𝑛
 y luego simplificar, es decir se multiplica lo 
que este dentro del radical con lo que este dentro del otro radical y lo que este fuera del 
radical con lo que este fuera del otro radical. 
Pero, cómo se hace cuando los radicales tienen distinto índice? Recordemos otra de las 
propiedades de los radicales: √𝑎
𝑛
= √𝑎𝑡
𝑛𝑡
. Aprovechando esta “ganga” podemos reducir 
los radicales a un índice común y solucionado el problema, es decir, es necesario escribirlos 
con el mismo índice y luego procedemos como en el caso anterior. 
Ejemplo: √𝑥2
3
 √𝑥 = √(𝑥2)2
6
 √𝑥3
6
= √𝑥4
6
 √𝑥3
6
= √𝑥7
6
= √𝑥6𝑥
6
= √𝑥6
6
 √𝑥
6
= 𝑥 √𝑥
6
 
Continuación Taller 3 
2. Con base en la lectura responda lo siguiente: 
a. Explica con tus palabras el procedimiento para multiplicar radicales que tienen diferente 
índice. Da ejemplos. 
b. Que quiere decir que dos radicales sean semejantes? 
c. Los radicales √50 y √18, serán semejantes? o, podrán serlo? Cómo? 
d. √24
5
 √12 = ? 
3. Resuelva los siguientes ejercicios y simplifique el resultado 
 
𝑎. 6√18 − 4√200 + 7√32 − 2√50 = ? 
𝑏. √16𝑥 − 4√36𝑥 + 2√9𝑥 = ? 
𝑐. 3√20 − 7√45 + 10√80 + 9√48 = ? 
e. 5√12 + 2√27 − 7√48 − 3√75 + 6√108 = ¿ ? 
f. 2√14 * √21= 
g. √𝑎4𝑏2𝑐
3
 √𝑎𝑏𝑐3
3
 = ? 
h. √𝑥3𝑦2 
4
 √𝑥2𝑦5 
3
=? 
i. √2 √3
3
 √4
4
= ¿ ? 
j. (√𝑥 − √𝑦)
2
=¿ ? 
k. (√2 + √5)
2
 = ? 
 
AUTOEVALUACION 
 
Efectúe las operaciones indicadas y simplifique los resultados: 
1. Reducir a términos semejantes y resolver 24427312548  
2. Simplificar 





 5 12151032 cba
 
 
3. Al multiplicar yx
4
2 * y6 * x
512 
4. Al multiplicar *2ab  3 3b 
5. La expresión   53 102427  es igual a: 
 
Cordialmente, 
 
Ana Lucia Reina L. 
Docente Matemática 
Teléfono- WhatsApp 3163912388 
 
“El hombre feliz no es el hombre que ríe, sino aquel cuya alma, llena de alegría y confianza, se 
sobrepone y es superior a los acontecimientos” - Séneca.

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