Estudio-geometrico-y-analitico-conicas

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ESTUDIO GEOMÉTRICO Y ANALÍTICO DE LAS CÓNICAS EN ALGUNAS 
MÉTRICAS 
 
 
 
JESÚS ADRIÁN ANTONIO PEÑA 
Código: 201311028 
CRISTIAN JULÍAN GARZÓN ZIPA 
Código: 201311064 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA 
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN 
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS 
TUNJA 
2017 
ESTUDIO GEOMÉTRICO Y ANALÍTICO DE LAS CÓNICAS EN ALGUNAS 
MÉTRICAS 
 
JESÚS ADRIÁN ANTONIO PEÑA 
Código: 201311028 
CRISTIAN JULÍAN GARZÓN ZIPA 
Código: 201311064 
 
Requisito parcial para optar por el título de: 
LICENCIADO EN MATEMÁTICAS 
DIRECTOR: 
Mg. WILMER MERARDO GÓMEZ BLANCO 
 
 
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA 
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN 
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS 
TUNJA 
2017 
 
finalmente a mis hermanos Yeidy, Deiby y Celso quienes me apoyaron siempre 
ante las adversidades que se me presentaron, y sin su ayuda no hubiese podido 
culminar esta etapa de mi vida. 
A todas las personas que me apoyaron, mi familia universitaria, compañeros y 
docentes con quienes compartimos maravillosos momentos, todos encaminados 
 
 Al dador de la vida, por darme la oportunidad de poder lograr este objetivo, a 
mis padres Dagoberto e Isabel por apoyarme en esta etapa de mi vida y por 
animarme en los momentos difíciles de mi formación, a mi hermano José por su 
compañía incondicional, y a todas esas personas que de una u otra forma hicieron 
parte de este bonito caminar. 
 
Lanchero y Agustín Peña quien desde el cielo comparte una sonrisa conmigo, 
matemáticas, a mis padres Cristóbal Antonio y Nohora peña, a mis abuelos Rosalía 
 A Dios por brindarme la oportunidad de formarme como licenciado en 
hacia un mismo fin poder realizarnos como profesionales. 
Agradecimientos 
 A los docentes de la licenciatura en matemáticas por su formación integra como 
personas y como profesionales idóneos. 
 A nuestros compañeros quienes hicieron parte fundamental de nuestro proceso 
en la universidad, pues con ellos compartimos momentos de alegría y tristeza. 
 Al docente Mg. Wilmer Merardo Gómez Blanco por la colaboración y asesoría 
prestada durante el desarrollo del trabajo, pues sin su apoyo, su tiempo y su ayuda 
Gonzales, por sus sugerencias y consejos en el desarrollo del trabajo, pues fueron 
parte fundamental para la finalización del mismo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
no se hubiera podido . 
 A los jurados del proyecto Dr. Miguel Patarroyo y Mg. Misael Octavio 
ÍNDICE GENERAL 
Pág. 
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................. 1 
OBJETIVOS .......................................................................................................................... 3 
1. PRELIMINARES .............................................................................................................. 4 
 1.1. Espacio Topológico .................................................................................................... 4 
 1.2. Espacio métrico .......................................................................................................... 4 
 1.2.1. Métrica usual en ̃ ............................................................................................ 5 
 1.2.2. Métrica del taxista en ̃ ................................................................................... 8 
 1.2.3. Métrica del máximo en ̃ .................................................................................. 9 
 1.2.4. Métrica discreta en ̃ ....................................................................................... 1 1 
 1.3. Secciones cónicas ..................................................................................................... 1 3 
 1.4. Otras definiciones .................................................................................................... 1 7 
 
2. CÓNICAS EN LAS DIFERENTES MÉTRICAS .......................................................... 20 
 2.1. Cónicas en la métrica usual ...................................................................................... 20 
 2.1.1. Circunferencia ............................................................................................ …20 
 2.1.2. Parábola .......................................................................................................... 21 
 2.1.3. Elipse .............................................................................................................. 23 
 2.1.4. Hipérbola ........................................................................................................ 26 
 2.2. Cónicas en la métrica del taxista .............................................................................. 28 
 2.2.1. Circunferencia ................................................................................................ 2 8 
 2.2.2. Parábola .......................................................................................................... 30 
 2.2.3. Elipse .............................................................................................................. 38 
 2.2.4. Hipérbola ........................................................................................................ 42 
 2.3. Cónicas en la métrica del máximo ............................................................................ 48 
 2.3.1 Circunferencia ................................................................................................ 48 
 2.3.2. Parábola .......................................................................................................... 5 0 
 2.3.3. Elipse .............................................................................................................. 56 
 2.3.4 Hipérbola ......................................................................................................... 60 
 2.4. Cónicas en la métrica discreta .................................................................................. 65 
 2.4.1 Circunferencia ................................................................................................. 65 
 2.4.2. Parábola .......................................................................................................... 67 
 2.4.3. Elipse .............................................................................................................. 69 
 2.4.4. Hipérbola ........................................................................................................ 71 
 2.5. Paralelo entre cada una de las diferentes cónicas ..................................................... 72 
 2.5.1. Paralelo del estudioanalítico y gráfico de la circunferencia ........................... 72 
 2.5.2. Paralelo del estudio analítico y gráfico de la parábola .................................... 75 
 2.5.3. Paralelo del estudio analítico y gráfico de la elipse......................................... 78 
 2.5.4. Paralelo del estudio analítico y gráfico de la hipérbola ................................... 82 
Conclusiones ........................................................................................................................ 86 
Problemas abiertos ............................................................................................................... 87 
Referencias bibliográficas ................................................................................................... 89 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÍNDICE DE FIGURAS 
Figura. Pág. 
1. Distancia entre dos puntos con la métrica usual en ̃ ................................................. . 6 
2. Distancia entre dos puntos con la métrica del taxista en ̃ ........................................ . 8 
3. Distancia entre dos puntos con la métrica máximo en ̃ ............................................ 10 
4. Distancia entre dos puntos con la métrica discreta en ̃ ............................................ 11 
5. Circunferencia en la métrica usual ………………………………………………….14 
6. Parábola en la métrica usual………………………………………………………….15 
7. Elipse en la métrica usual…………………………………………………………………….16 
8. Hipérbola en la métrica usual……………………………………………………………… .. 17 
9. Distancia mínima de un punto a una recta en la métrica usual en ̃ 
por el método de circunferencias ................................................................................ 18 
10. Circunferencia en la métrica usual centrada en con radio ..................... 20 
11. Circunferencia en la métrica usual con centro en y radio ...................... 21 
12. Parábola con directriz paralela al eje ...................................................................... 22 
13. Parábola con directriz paralela al eje ...................................................................... 22 
14. Parábola oblicua con la métrica usual en ̃ ................................................................ 23 
15. Elipse con focos y ................................................................ 24 
16. Elipse con focos y ................................................................ 25 
17. Elipse oblicua en la métrica usual .............................................................................. 25 
18. Hipérbola con focos Y ......................................................... 26 
19. Hipérbola con focos Y ........................................................ 27 
20. Hipérbola oblicua en la métrica usual ........................................................................ 27 
21. Circunferencia en la métrica del taxista ..................................................................... 28 
22. Circunferencia en la métrica del taxista centrado en el origen ................................... 29 
23. Circunferencia en la métrica del taxista con centro en y ............... 29 
24. Circunferencia con centro y radio ................................................... 30 
25. Distancia mínima del punto a la recta en la métrica del taxista ............................ 31 
26. Intercepción de una circunferencia con una recta en más de un punto ...................... 31 
27. La distancia mínima del punto a la recta, será la menor longitud de los dos 
segmentos que conectan al punto con la recta ............................................................ 32 
28. Rectas & que pasan por e interceptan a la recta ............................. 32 
29. Parábola en la métrica del taxista con directriz horizontal ......................................... 34 
30. Parábola en la métrica del taxista con directriz vertical ............................................. 35 
31. Parábola oblicua en la métrica del taxista .................................................................. 35 
32. Parábola en la métrica del taxista con directriz ........................... 36 
33. Parábola en la métrica del taxista en ̃ ....................................................................... 36 
34. Parábola oblicua con la métrica del taxista en ̃ ........................................................ 37 
35. Elipse en la métrica del taxista con focos ......................... 39 
36. Elipse en la métrica del taxista con focos ......................... 39 
37. Elipse en la métrica del taxista con focos ......................... 40 
38. Grafica de elipse en la métrica del taxista .................................................................. 40 
39. Elipse en la métrica del taxista en ̃ ........................................................................... 41 
40. Elipse oblicua en la métrica del taxista en ̃ .............................................................. 42 
41. Hipérbola en la métrica del taxista con los focos y .............. 43 
42. Hipérbola en la métrica del taxista con los focos y ............. 44 
43. Hipérbola en la métrica del taxista con los focos y .............. 44 
44. Hipérbola en la métrica del taxista con los focos y ............... 45 
45. Hipérbola en la métrica del taxista con los focos y ............... 46 
46. Hipérbola en la métrica del taxista con los focos y ......... 47 
47. Circunferencia en la métrica del máximo con centro en .......................... 48 
48. Circunferencia en la métrica del máximo centrada en el origen ................................ 49 
49. Circunferencia en la métrica del máximo con centro en y ............. 49 
50. Distancia mínima de un punto a una recta en la métrica del máximo ........................ 50 
51. Distancia mínima de un punto a una recta, cuando esta tiene rectas horizontales o 
verticales ..................................................................................................................... 51 
52. Parábola en la métrica del máximo con directriz oblicua ........................................... 52 
53. Parábola en la métrica del máximo con directriz vertical .......................................... 52 
54. Parábola en la métrica del máximo con directriz horizontal ...................................... 53 
55. Parábola oblicua en la métrica del máximo ................................................................ 53 
56. La distancia de un punto de la parábola al foco y a la recta resulta ser el radio de una 
circunferencia que tangencial a la directriz y que pasa por el foco ............................ 54 
57. Parábola en la métrica del máximo con eje de simetría en el eje ........................... 55 
58. . Parábola en la métrica del máximo, con eje de simetría respecto al eje ............... 56 
59. Elipse con focos en la métrica del máximo ..................... 57 
60. Elipse con focos en la métrica del máximo ...................... 57 
61. Elipse con focos en la métrica del máximo ...................... 58 
62. Elipse en la métrica del máximo con focos ..................... 58 
63. Elipse en la métrica del máximo con focos de la forma y .. 59 
64. Elipse en la métrica del máximo con focos de la forma ydonde ................................................................................................. 60 
65. Hipérbola en la métrica del máximo con focos de la forma y ............... 61 
66. Hipérbola en la métrica del máximo con focos de la forma y .............. 62 
67. Hipérbola en la métrica del máximo con focos de la forma y .............. 62 
68. Hipérbola en la métrica del máximo con focos y ................. 63 
69. Hipérbola en la métrica del máximo con focos de la forma y ................ 64 
70. Hipérbola en la métrica del máximo con focos de la forma y ......... 65 
71. Circunferencia con centro en y , donde ....................... 66 
72. Circunferencia en la métrica discreta cuando es diferente de ............................. 67 
73. Puntos cuya distancia a es uno en la métrica discreta ............................................. 68 
74. Puntos cuya distancia a la recta es igual a uno en la métrica discreta ...................... 68 
75. Parábola en la métrica discreta cuando todas las distancias es igual a uno ................ 69 
76. Elipse en la métrica discreta ....................................................................................... 70 
77. Representación de la esfera en la métrica usual y taxista respectivamente, recreado 
en geogebra ................................................................................................................ 88 
 
 
 
 
ÍNDICE DE TABLAS 
Tabla Pág. 
 1. Ecuaciones y gráficas de la circunferencia en las diferentes métricas ....................... 72 
 2. Ecuaciones y gráficas de la parábola en las diferentes métricas ................................ 75 
 3. Ecuaciones y gráficas de la elipse en las diferentes métricas ..................................... 78 
 4. Ecuaciones y gráficas de la hipérbola en las diferentes métricas…………………….82 
INTRODUCCIÓN 
 La presente investigación está referida especialmente al tratamiento de espacios métricos, 
enfocado en el estudio analítico y geométrico de las secciones cónicas usando como herramienta 
principal su definición como lugar geométrico en el conjunto ℝ2, debido a que este tema ha sido 
trabajado desde la métrica usual (distancia euclídea), queda una incógnita sobre el comportamiento 
(analítico y geométrico) de las cónicas en otros espacios métricos. 
 Se plantea una investigación enfocada a dejar un material documental claro y de fácil acceso 
que le permita al lector en general conocer otras formas de concebir una figura geométrica, sin 
cambiar su definición, ya que se da mucho trato analítico a las cónicas y se deja de lado el sentir 
geométrico. 
 Este trabajo se realizó por medio del enfoque teórico-documental donde se tomaron como 
principales referentes los estudios realizados con respecto a los espacios métricos en especial hacia 
la métrica del taxista (ver [1], [6] & [8]), así como textos conocidos en el estudio de la topología 
general y la geometría analítica (ver [4], [7], [9] & [11]); temas como espacios topológicos, 
espacios métricos, y la definición de las cónicas sustentan las bases de este trabajo, donde se busca 
resaltar el concepto de distancia en este tipo de figuras; con estos antecedentes y referentes 
teóricos, se prosiguió con una inspección de la información para así poder generar los resultados 
que expone la monografía. 
 En el desarrollo del trabajo se introdujo el concepto geométrico de cada una de las cónicas 
en diferentes espacios métricos y se muestran los resultados obtenidos al realizar el estudio 
analítico y gráfico en la métrica usual, taxista, máximo y la discreta, expresando la ecuación 
característica en cada caso y una representación gráfica de cada una de ellas; además se ilustra un 
2 
 
ejemplo por cada una de las ecuaciones obtenidas al realizar el estudio, para un mejor 
entendimiento por parte del lector acerca de la temática planteada. 
 Luego de mostrar las ecuaciones características y gráficas de cada cónica de acuerdo a las 
métricas mencionadas anteriormente, se realiza un paralelo de cada cónica de acuerdo a cada una 
de las métricas, relacionándolas conforme a sus características como su representación gráfica y 
su ecuación, para finalmente mostrar de manera sintética y ordenada las conclusiones obtenidas 
acerca de los resultados logrados en la elaboración del trabajo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 OBJETIVOS. 
OBJETIVO GENERAL 
• Realizar un estudio analítico y geométrico de las cónicas en diferentes métricas (usual, 
taxista, máximo y discreta). 
 OBJETIVOS ESPECIFICOS 
• Analizar el comportamiento analítico y geométrico de las cónicas en la métrica usual y en 
otros espacios métricos (taxista, máximo y discreta). 
• Elaborar un paralelo de las diferentes representaciones gráficas y analíticas de las cónicas 
que se obtuvieron en las métricas trabajadas (usual, taxista, máximo y discreta). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
1. PRELIMINARES 
1.1. Espacio Topológico 
 Definición 1. Una topología sobre un conjunto 𝑋 ≠ ∅ es una colección 𝜏 de subconjuntos de 
𝑋 con las siguientes propiedades: 
(1) ∅ y 𝑋 están en 𝜏. ∅ ∈ 𝜏, 𝑋 ∈ 𝜏. 
(2) La unión de los elementos de cualquier subcolección 𝕊 de τ está en τ. ⋃ 𝑠 ∈ 𝜏𝑠∈𝕊 . 
(3) La intersección de los elementos de cualquier subcolección finita de 𝜏 está en 𝜏. 𝑜1, 𝑜2, … , 𝑜𝑛 ∈ 𝜏 → ⋂ 𝑜𝑖 ∈ 𝜏𝑛𝑖=1 . 
 Un conjunto 𝑋 para el que se ha definido una topología τ se llama espacio topológico 
(Munkres, 2002, p.86), es decir, un espacio topológico es un par ordenado (𝑋, 𝜏) formado por un 
conjunto 𝑋 y una topología 𝜏 sobre 𝑋. 
1.2. Espacio métrico. 
 Definición 2. Una distancia en un conjunto 𝑋 ≠ ∅, es una función 
𝑑: 𝑋 x 𝑋 → ℝ , 
que satisface las siguientes propiedades: 
 [M1]. Positividad 𝑑(𝑥, 𝑦) ≥ 0 para todos 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, la expresión se da si, y sólo sí 𝑥 = 𝑦. 
 [M2]. Simetría 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑥) para todos 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋. 
5 
 
 [M3]. Desigualdad triangular 𝑑(𝑥, 𝑧) ≤ 𝑑(𝑥, 𝑦) + 𝑑(𝑦, 𝑧) para todo 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋. 
 El número 𝑑(𝑥, 𝑦) se llama a menudo distancia entre 𝑥 𝑒 𝑦 en la distancia 𝑑 definida en 𝑋. 
 Un espacio métrico es un par ordenado (𝑋, 𝑑) formado por un conjunto no vacío y una función 𝑑: 𝑋 x 𝑋 → ℝ . 
 Dado 𝜀 > 0, Se considera el conjunto 𝐵𝑑(𝑥, 𝜀) = {𝑦 ∈ 𝑋; 𝑑(𝑥, 𝑦) < 𝜀}, 
 de todos los puntos cuya distancia a 𝑥 es menor que 𝜀, se denomina bola abierta de radio 𝜺 
centrada en 𝒙 (Munkres, 2002, p.135). 
 Definición 3. (Base para una topología sobre 𝑿): “Si 𝑑 es una distancia en un conjunto 𝑋 ≠∅, entonces la colección de todas las bolas 𝐵𝑑(𝑥, 𝜀) de radio 𝜀, para 𝑥 ∈ 𝑋 y 𝜀 > 0, es una base 
para una topología sobre 𝑋, denominada topología métrica inducida por 𝑑” (Munkres, 2002, 
p.135), en este orden de ideas, todo espacio métrico es un espacio topológico, ya que la función 
distancia definida sobre el conjunto 𝑋 induce por las bolas abiertas asociadas una topología sobre 
el conjunto. 
 A partir de las condiciones que debe cumplir una función para denominarse distancia, hay un 
gran compendio de ejemplos de métricas, para este caso se trabajaran la métrica usual, del taxista, 
del máximo y la métrica discreta en el conjunto de ℝ2 que en adelante se denotara por �̃�. 
1.2.1. Métrica usual en �̃�. Sean: 𝐴 = (𝑥1, 𝑥2) y 𝐵 = (𝑦1, 𝑦2) puntos que pertenecen a �̃�, se 
denota la función distancia en la métrica usualcomo 𝑑𝑢, y se define de la siguiente forma: 
 
6 
 𝑑𝑢: �̃� × �̃� → ℝ 
 (𝐴, 𝐵) → 𝑑𝑢(𝐴, 𝐵) = (∑(𝑥𝑖 − 𝑦𝑖)22𝑖=1 )
12 
 𝑑𝑢(𝐴, 𝐵) = ((𝑥1 − 𝑦1)2 + (𝑥2 − 𝑦2)2)1/2. 
 
Figura 1. Distancia entre dos puntos con la métrica usual en �̃�. 
Fuente: Los autores. 
 
 Para demostrar que la función distancia 𝑑𝑢 es una métrica, se deben cumplir las condiciones de 
la Definición 2. 
 Para [M1], Sean: 𝐴 = (𝑥1, 𝑥2) y 𝐵 = (𝑦1, 𝑦2) elementos de �̃�, se tiene que si 𝑥1 ≠ 𝑦1 entonces (𝑥1 − 𝑦1)2 > 0 y si 𝑥1 = 𝑦1 entonces (𝑥1 − 𝑦1)2 = 0, análogamente si 𝑥2 ≠ 𝑦2 entonces, (𝑥2 − 𝑦2)2 > 0 y si 𝑥2 = 𝑦2, entonces (𝑥2 − 𝑦2)2 = 0. 
 Por lo anterior, se cumple que 𝑑𝑢(𝐴, 𝐵) = ((𝑥1 − 𝑦1)2 + (𝑥2 − 𝑦2)2)12 ≥ 0. 
 Para [M2], dados 𝐴 = (𝑥1, 𝑥2) y 𝐵 = (𝑦1, 𝑦2) elementos de �̃�, partimos de (𝑥1 − 𝑦1)2 = 𝑥12 − 2𝑥1𝑦1 + 𝑦12, 
 y por la propiedad conmutativa tanto de la adición como de la multiplicación se cumple que: 
𝑥12 − 2𝑥1𝑦1 + 𝑦12 = 𝑦12 − 2𝑦1𝑥1 + 𝑥12 = (𝑦1 − 𝑥1)2, 
7 
 
 partiendo de la anterior aclaración obtenemos la siguiente expresión: ((𝑥1 − 𝑦1)2 + (𝑥2 − 𝑦2)2)1/2 = ((𝑦1 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑥2)2)1/2, 
 por lo que se puede concluir que 𝑑𝑢(𝐴, 𝐵) = 𝑑𝑢(𝐵, 𝐴). 
 Para [M3], dados 𝐴 = (𝑥1, 𝑥2), 𝐵 = (𝑦1, 𝑦2 ) y 𝐶 = (𝑧1, 𝑧2) con 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ �̃�, debemos probar: 𝑑𝑢(𝐴, 𝐶) ≤ 𝑑𝑢(𝐴, 𝐵) + 𝑑𝑢(𝐵, 𝐶), 
 es decir: 
(∑(𝑥𝑖−𝑧𝑖)22𝑖=1 )
12 ≤ (∑(𝑥𝑖−𝑦𝑖)22𝑖=1 )
12 + (∑(𝑦𝑖−𝑧𝑖)22𝑖=1 )
12, 
 si sustituimos a (𝑥𝑖 − 𝑦𝑖) por 𝑎𝑖, (𝑦𝑖 − 𝑧𝑖) por 𝑏𝑖 y a (𝑥𝑖 − 𝑧𝑖) por 𝑎𝑖+𝑏𝑖, se tiene: 
(∑(𝑎𝑖+𝑏𝑖)22𝑖=1 )
12 ≤ (∑ 𝑎𝑖22𝑖=1 )
12 + (∑ 𝑏𝑖22𝑖=1 )
12. 
 Partiendo de: 
((∑(𝑎𝑖+𝑏𝑖)22𝑖=1 )
12)2 = ∑(𝑎𝑖+𝑏𝑖)22𝑖=1 
= ∑(𝑎𝑖2 + 2𝑎𝑖𝑏𝑖 + 𝑏𝑖2) =2𝑖=1 ∑ 𝑎𝑖2 + 2 ∑ 𝑎𝑖𝑏𝑖 + ∑ 𝑏𝑖22𝑖=12𝑖=12𝑖=1 , 
 
 y teniendo en cuenta que la desigualdad 
2 ∑ 𝑎𝑖𝑏𝑖2𝑖=1 ≤ 2 (∑ 𝑎𝑖2 ∑ 𝑏𝑖22𝑖=12𝑖=1 )
12
 
 es equivalente a la desigualdad de Cauchy- Bunyakovsky-Schwarz (ver Definición 11), se 
puede afirmar lo siguiente: 
∑ 𝑎𝑖2 + 2 ∑ 𝑎𝑖𝑏𝑖 + ∑ 𝑏𝑖22𝑖=12𝑖=12𝑖=1 ≤ ∑ 𝑎𝑖2 + 2 (∑ 𝑎𝑖2 ∑ 𝑏𝑖22𝑖=12𝑖=1 )
12 + ∑ 𝑏𝑖22𝑖=1 ,2𝑖=1 
8 
 
 que es similar a tener: 
∑(𝑎𝑖+𝑏𝑖)22𝑖=1 ≤ ((∑ 𝑎𝑖22𝑖=1 )
12 + (∑ 𝑏𝑖22𝑖=1 )
12)2, 
 al aplicar raíz cuadrada a ambos lados se obtiene: 
(∑(𝑎𝑖+𝑏𝑖)22𝑖=1 )
12 ≤ (∑ 𝑎𝑖22𝑖=1 )
12 + (∑ 𝑏𝑖22𝑖=1 )
12. 
 Quedando demostrado [M3]. 
 1.2.2. Métrica del taxista 𝐞𝐧 �̃�. Sean 𝐴 = (𝑥1, 𝑥2) y 𝐵 = (𝑦1, 𝑦2) puntos de �̃�, se denota la 
función distancia en la métrica del taxi como 𝑑𝑡, y se define 
 𝑑𝑡 ∶ �̃� × �̃� → ℝ (𝐴, 𝐵) → 𝑑𝑡(𝐴, 𝐵) = |𝑥1 − 𝑦1| + |𝑥2 − 𝑦2|. 
 
Figura 2. Distancia entre dos puntos con la métrica taxista en �̃�. 
Fuente: Los autores. 
 
 Para [M1], dados 𝐴 = (𝑥1, 𝑥2) y 𝐵 = (𝑦1, 𝑦2) elementos de �̃�, se tiene por propiedades de va
lor absoluto que|𝑥1 − 𝑦1| ≥ 0 y |𝑥2 − 𝑦2| ≥ 0, por tanto𝑑𝑡(𝐴, 𝐵) = |𝑥1 − 𝑦1| + |𝑥2 − 𝑦2| ≥ 0, 
la igualdad se dará si 𝑥1 = 𝑦1 y 𝑥2 = 𝑦2. 
9 
 
 Para demostrar [M2], sean 𝐴 = (𝑥1, 𝑥2) y 𝐵 = (𝑦1, 𝑦2) elementos de �̃�, se debe tener en cuenta 
que por propiedades de valor absoluto se cumple que |𝑥1 − 𝑦1| = |𝑦1 − 𝑥1| y |𝑥2 − 𝑦2| =|𝑦2 − 𝑥2|, por lo que se tiene |𝑥1 − 𝑦1| + |𝑥2 − 𝑦2| = |𝑦1 − 𝑥1| + |𝑦2 − 𝑥2|, cumpliéndose que 𝑑𝑡(𝐴, 𝐵) = 𝑑𝑡(𝐵, 𝐴). 
 Para [M3], dados 𝐴 = (𝑥1, 𝑥2), 𝐵 = (𝑦1, 𝑦2 ) y 𝐶 = (𝑧1, 𝑧2) puntos de �̃�, por propiedades del 
valor absoluto se cumple: 
|𝑥1 − 𝑦1| + |𝑦1 − 𝑧1| ≥ |𝑥1 − 𝑦1 + 𝑦1 − 𝑧1|, |𝑥2 − 𝑦2| + |𝑦2 − 𝑧2| ≥ |𝑥2 − 𝑦2 + 𝑦2 − 𝑧2|. 
 Ahora bien, por propiedades de los números reales, 
si 𝑎 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑑 → 𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏 + 𝑑 donde 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ, 
obteniéndose: |𝑥1 − 𝑦1| + |𝑦1 − 𝑧1| + |𝑥2 − 𝑦2| + |𝑦2 − 𝑧2| ≥ |𝑥1 − 𝑦1 + 𝑦1 − 𝑧1| + |𝑥2 − 𝑦2 + 𝑦2 − 𝑧2|, 
de lo anterior, cancelando y organizando expresiones se obtiene: |𝑥1 − 𝑦1| + |𝑥2 − 𝑦2| + |𝑦1 − 𝑧1| + |𝑦2 − 𝑧2| ≥ |𝑥1 − 𝑧1| + |𝑥2 − 𝑧2|. 
 Se observa que la parte izquierda de la expresión corresponde a 𝑑𝑡(𝐴, 𝐵) + 𝑑𝑡(𝐵, 𝐶), mientas 
que la parte derecha de la expresión es 𝑑𝑡(𝐴, 𝐶), quedando demostrados que: 𝑑𝑡(𝐴, 𝐵) + 𝑑𝑡(𝐵, 𝐶) ≥ 𝑑𝑡(𝐴, 𝐶). 
 1.2.3. Métrica del máximo en �̃�. Sean 𝐴 = (𝑥1, 𝑥2) y 𝐵 = (𝑦1, 𝑦2) puntos de �̃� se denota la 
función distancia en la métrica del máximo como 𝑑𝑀, y se define: 𝑑𝑀 ∶ �̃� × �̃� → ℝ (𝐴, 𝐵) → 𝑑𝑀(𝐴, 𝐵) = 𝑚á𝑥{|𝑥1 − 𝑦1|, |𝑥2 − 𝑦2|}. 
10 
 
 
Figura 3. Distancia entre dos puntos con la métrica máximo en �̃�. 
Fuente: Los autores. 
 
 Para demostrar que la anterior función es una métrica, debemos tener en cuenta, el trabajo 
realizado con la métrica del taxista, por este motivo para [M1] se tiene que por propiedades de 
valor absoluto, para cualquier 𝑥𝑖, 𝑦𝑖 donde 𝑥𝑖 ≠ 𝑦𝑖 se cumple |𝑥𝑖 − 𝑦𝑖| > 0, 𝑖 = 1,2. 
 Por este motivo resulta: 𝑚á𝑥{|𝑥1 − 𝑦1|, |𝑥2 − 𝑦2|} > 0 entonces 𝑑𝑀(𝐴, 𝐵) > 0. 
 Para que 𝑚á𝑥{|𝑥1 − 𝑦1|, |𝑥2 − 𝑦2|} sea igual a cero (0), tendría que ocurrir para todo 𝑥𝑖,𝑦𝑖 que 
fuesen iguales, es decir: 
𝑚á𝑥{|𝑥1 − 𝑦1|, |𝑥2 − 𝑦2|} = 𝑚á𝑥{|𝑥1 − 𝑥1|, |𝑥2 − 𝑥2|}, si 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖, 
 entonces 𝑚á𝑥{|𝑥1 − 𝑥1|, |𝑥2 − 𝑥2|} = 𝑚á𝑥{|0|, |0|} = 𝑚á𝑥{0,0} = 0. 
 En el caso de [M2], es pertinente tener en cuenta que por propiedades de valor absoluto se tiene 
que |𝑥𝑖 − 𝑦𝑖| = |𝑦𝑖 − 𝑥𝑖|, por esta razón seria valido afirmar que: 𝑚á𝑥{|𝑥1 − 𝑦1|, |𝑥2 − 𝑦2|} = 𝑚á𝑥{|𝑦1 − 𝑥1|, |𝑦2 − 𝑥2|}, 
quedando demostrado [M2]. 
11 
 
 Finalmente, para [M3], Sean 𝐴 = (𝑥1, 𝑥2), 𝐵 = (𝑦1, 𝑦2) y 𝐶 = (𝑧1, 𝑧2) con 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ 𝑋,̃ 
empecemos suponiendo: 
 𝑚á𝑥{|𝑥1 − 𝑧1|, |𝑥2 − 𝑧2|} = |𝑥2 − 𝑧2| por lo que se tiene: 𝑑𝑀(𝐴, 𝐶) = |𝑥2 − 𝑧2|, 
 cumpliéndose que |𝑥2 − 𝑧2| ≤ |𝑥2 − 𝑦2| + |𝑦2 − 𝑧2|, con más razón se cumplirá que: |𝑥2 − 𝑦2| + |𝑦2 − 𝑧2| ≤ 𝑚á𝑥{|𝑥1 − 𝑦1|, |𝑥2 − 𝑦2|} + 𝑚á𝑥{|𝑦1 − 𝑧1|, |𝑦2 − 𝑧2|}, 
es decir que por transitividad y reemplazando expresiones resulta: 
𝑚á𝑥{|𝑥1 − 𝑧1|, |𝑥2 − 𝑧2|} ≤ 𝑚á𝑥{|𝑥1 − 𝑦1|, |𝑥2 − 𝑦2|} + 𝑚á𝑥{|𝑦1 − 𝑧1|, |𝑦2 − 𝑧2|}, 
demostrándose que 𝑑𝑀(𝐴, 𝐶) ≤ 𝑑𝑀(𝐴, 𝐵) + 𝑑𝑀(𝐵, 𝐶). 
 1.2.4. Métrica discreta en �̃�. Sean 𝐴 = (𝑥1, 𝑥2) y 𝐵 = (𝑦1, 𝑦2) puntos de �̃� se denota la 
función de distancia discreta como 𝑑𝑑 y se define como: 𝑑𝑑 ∶ �̃� × �̃� → ℝ (𝐴, 𝐵) → 𝑑𝑑(𝐴, 𝐵) = {1 𝑠𝑖 (𝑥1, 𝑥2) ≠ (𝑦1, 𝑦2)0 𝑠𝑖 (𝑥1, 𝑥2) = (𝑦1, 𝑦2). 
 
Figura 4. Distancia entre dos puntos con la métrica discreta en �̃�. 
Fuente: Los autores. 
12 
 
 Para la demostración de esta métrica se tiene: 
 Para [M1], solo basta tomar dos elementos del conjunto �̃�, y evaluar que sucede cuando estos 
dos elementos son diferentes y cuando son iguales. 
 Sean: 𝐴 = (𝑥1, 𝑥2), 𝐵 = (𝑦1, 𝑦2)𝑦 𝐶 = (𝑧1, 𝑧2) puntos que pertenecen a �̃�, entonces: 𝑑𝑑(𝐴, 𝐵) = 1 > 0 si y solo si (𝑥1, 𝑥2) ≠ (𝑦1, 𝑦2), 𝑑𝑑(𝐴, 𝐵) = 0 si y solo si (𝑥1, 𝑥2) = (𝑦1, 𝑦2). 
 Para [M2], tenemos dos casos: 
Si 𝐴 ≠ 𝐵 entonces 𝑑𝑑(𝐴, 𝐵) = 1 = 𝑑𝑑(𝐵, 𝐴), 
Si 𝐴 = 𝐵 entonces 𝑑𝑑(𝐴, 𝐵) = 0 = 𝑑𝑑(𝐵, 𝐴). 
 Y finalmente, para demostrar [M3], tomamos tres elementos del conjunto �̃� y evaluamos en 
distintos casos la expresión triangular; sean 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ �̃�. 
 CASO I: 𝐴 = 𝐵 = 𝐶 
0 = 0 0 = 0 + 0 
 𝑑𝑑(𝐴, 𝐶) = 𝑑𝑑(𝐴, 𝐵) + 𝑑𝑑(𝐵, 𝐶). 
 
 CASO II: 𝐴 ≠ 𝐵, 𝐴 ≠ 𝐶,𝐵 = 𝐶 1 = 1 1 = 1 + 0 𝑑𝑑(𝐴, 𝐶) = 𝑑𝑑(𝐴, 𝐵) + 𝑑𝑑(𝐵, 𝐶). 
 CASO III: 𝐴 ≠ 𝐵, 𝐴 ≠ 𝐶, 𝐵 ≠ 𝐶 1 < 2 1 < 1 + 1 𝑑𝑑(𝐴, 𝐶) < 𝑑𝑑(𝐴, 𝐵) + 𝑑𝑑(𝐵, 𝐶). 
 CASO IV: 𝐴 = 𝐵, 𝐴 ≠ 𝐶, 𝐵 ≠ 𝐶 1 = 1 1 = 0 + 1 𝑑𝑑(𝐴, 𝐶) = 𝑑𝑑(𝐴, 𝐵) + 𝑑𝑑(𝐵, 𝐶). 
13 
 
 CASO V: 𝐴 ≠ 𝐵, 𝐴 = 𝐶, 𝐵 ≠ 𝐶 0 < 2 0 < 1 + 1 𝑑𝑑(𝐴, 𝐶) < 𝑑𝑑(𝐴, 𝐵) + 𝑑𝑑(𝐵, 𝐶). 
 Por los cinco anteriores casos se concluye que: 𝑑𝑑(𝐴, 𝐶) ≤ 𝑑𝑑(𝐴, 𝐵) + 𝑑𝑑(𝐵, 𝐶). 
1.3. Secciones cónicas. 
 Recurriendo a las definiciones presentadas por Lehmann (1992), las secciones cónicas pueden 
ser descritas mediante sus lugares de geometría en el plano: 
Definición 4. La circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un 
plano de tal manera que se conserva siempre una distancia constante a un punto fijo de 
ese plano. (p. 99), dicho punto se denotará como 𝐶 y será llamado el centro de la 
circunferencia, 𝑃 un punto cualquiera que pertenece a ella y 𝑟 ≥ 0, el valor constante al 
que llamaremos radio de la circunferencia. 
Por lo anterior se debe cumplir la siguiente expresión geométrica (1), 𝑑(𝐶, 𝑃) = 𝑟, 
 a continuación, se detalla la representación de los distintos elementos inmersos en la anterior 
expresión geométrica, desde la métrica usual, es claro afirmar, que, en el desarrollo del trabajo, se 
estudiará a más detalle estas especificaciones, no solo desde la métrica usual sino desde métricas 
como el taxista, del máximo y la métrica discreta: 
14 
 
 
Figura 5. Circunferencia en la métrica usual. 
Fuente: Los autores. 
Definición 5. La parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de 
tal manera que su distancia de una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su 
distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. (p. 149). Dicho punto se 
denotará 𝐹 y será llamado foco de la parábola, a la recta fija se le denotará 𝑙 y la llamaremos 
directriz, y el punto del plano que equidista de 𝐹 y 𝑙 será llamado 𝑃. 
Por lo anterior se debe cumplir la siguiente expresión geométrica (2): 𝑑(𝐹, 𝑃) = 𝑑(𝑃, 𝑙), 
 Para detallar las distintas partes de la ecuación anterior, se muestra una parábola en la métrica 
del usual, como se puede detallar a continuación: 
15 
 
 
Figura 6. Parábola en la métrica usual. 
Fuente: Los autores. 
Definición 6. La elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de 
tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es siempre igual a una 
constante, mayor que la distancia entre los dos puntos. (p. 173). Los dos puntos fijos los 
denotaremos 𝐹1 y 𝐹2 y serán llamados focos de la elipse, 𝑃 será todo punto que pertenece 
a la elipse y 𝑘 será la constante positiva mayor que la distancia entre los dos focos. 
 Por lo anterior se debe cumplir la siguiente expresión geométrica (3): 
𝑑(𝐹1, 𝑃) + 𝑑(𝐹2, 𝑃) = 𝑘; 𝑘 > 𝑑(𝐹1, 𝐹2), 
 la anterior expresión se puede detallar de manera más precisa en la siguiente figura de elipse 
en la métrica usual, lo cual será ampliado en el próximo capítulo y manejado desde las distintas 
métricas (usual, taxista, máximo y discreta): 
16 
 
 
Figura 7. Elipse en la métrica usual. 
Fuente: Los autores. 
 
Definición 7. La hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano 
de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos 
del plano, llamados focos, es siempre una cantidad constante, positiva y menor que la 
distancia entre los focos. (p. 191). El punto que se mueve en el plano será llamado 𝑃, los 
dos puntos fijos del plano serán denotados 𝐹1 y 𝐹2, y la cantidad constante se denotara 𝑘. 
Por lo anterior se debe cumplir la siguiente expresión geométrica (4): |𝑑(𝐹1, 𝑃) − 𝑑(𝐹2, 𝑃)| = 𝑘; 0 < 𝑘 < 𝑑(𝐹1, 𝐹2), 
 Se puede detallar esta expresión geométrica en la siguiente figura, representada desde la 
métrica usual, en capítulos posteriores será ampliada a más detalle esta información, en esta parte 
nos limitaremos a mostrar de forma sencilla lo que se quiere expresar con la hipérbola definida 
como lugar geométrico: 
17 
 
 
Figura 8. Hipérbola en la métrica usual. 
Fuente: Los autores. 
1.4. Otras definiciones. 
 Definición 8. (Distancia de un punto a un conjunto): “Sea (𝑋, 𝑑) un espacio métrico, sea 
un subconjunto 𝐴 ⊂ 𝑋, definimos la distancia de un punto 𝑥0 al subconjunto 𝐴 como: 𝑑(𝑥0 , 𝐴) =𝑖𝑛𝑓{𝑑(𝑥0 , 𝑥): 𝑥 ∈ 𝐴}, que existe dado que el conjunto sobre el que tomamos el ínfimo, está 
acotado inferiormente por 0” (Herrero, 2001, p.15). Un ejemplo particular es la distancia de un 
punto a una recta. 
 Definición 9. (Distancia de un punto a una recta): La distancia de un punto 𝑃 a una recta 𝑙 
resulta ser la mínima distancia que existe entre dicho punto y un punto de la recta en cuestión, 
escrito de otra forma: 𝑑(𝑃, 𝑙) = 𝑚í𝑛𝑋∈𝑙𝑑(𝑃, 𝑋). 
 Siguiendo los pasos que exponen Loiola, G., & Costa, S. (2015), para hallar la distancia mínima 
de un punto a una recta se puede proceder de la siguiente forma: 
18 
 
a. Se traza un circulo con centro en 𝑃 y radio 𝑟 < 𝑑(𝑃, 𝑙) 
b. Se aumenta el radio del círculo hasta que este intercepte a la recta 𝑙 en apenas 
un punto, es decir que este círculo sea tangente a la recta. 
c. La distancia mínima del punto a la recta, será el radio del círculo con centro en 𝑃 y tangente a la recta 𝑙. 
 
Figura 9. Distancia mínima de un punto a una recta con la métrica usual en �̃�, por el método de 
circunferencia. 
Fuente: Los autores. 
 
 Por ejemplo, en la métrica usual, la distancia mínima de un punto 𝑃 de coordenadas (𝑎, 𝑏) a 
una recta 𝑙 de la forma 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 , esta dado por: 
𝑑𝑢(𝑃, 𝑙) = |𝐴(𝑎) + 𝐵(𝑏) + 𝐶|√𝐴2 + 𝐵2 
 Definición 10. (Distancia entre dos conjuntos): “Sean 𝐴 y 𝐵 dos subconjuntos de 𝑋, se d
efine la distancia del subconjunto 𝐴 al subconjunto 𝐵 como:𝑑(𝐴, 𝐵) = 𝑖𝑛𝑓{𝑑(𝑥, 𝑦): 𝑥 ∈ 𝐴, ∈ 𝐵}. " 
(Herrero, 2001, p.16). 
 Definición 11. (Caso particular de la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz): 
 Sean 𝑎1, 𝑎2, 𝑏1, 𝑏2 números reales cualesquiera, observemos que: 
19 
 0 ≤ (𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1)2 0 ≤ (𝑎1𝑏2)2 − 2(𝑎1𝑏2)(𝑎2𝑏1) + (𝑎2𝑏1)2 0 ≤ 𝑎12𝑏22 − 2𝑎1𝑎2𝑏1𝑏2 + 𝑎22𝑏12 2𝑎1𝑎2𝑏1𝑏2 ≤ 𝑎12𝑏22+𝑎22𝑏12 𝑎12𝑏12 + 2𝑎1𝑎2𝑏1𝑏2 + 𝑎22𝑏22 ≤ 𝑎12𝑏22+𝑎22𝑏12 + 𝑎12𝑏12 + 𝑎22𝑏22 (𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2)2 ≤ (𝑎12 + 𝑎22)(𝑏12 + 𝑏22), 
 
 la desigualdad que resulto, es un caso particular de la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky- 
Schwarz y se puede reescribir de la siguiente forma: 
(∑ 𝑎𝑖𝑏𝑖2𝑖=1 )
2 ≤ (∑ 𝑎𝑖2 ∑ 𝑏𝑖22𝑖=12𝑖=1 ), 
 la igualdad se da cuando 𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1 = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
2. CONICAS EN LAS DIFERENTES METRICAS 
2.1. Cónicas en la métrica usual. 
 2.1.1. Circunferencia. De acuerdo a la Definición 4, los puntos 𝑃 = (𝑥, 𝑦) y 𝐶 = (ℎ, 𝑘) 
deben satisfacer la expresión (1), por lo que se tiene en la métrica usual: 
𝑑𝑢(𝐶, 𝑃) = √(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2, 
 igualando la ecuación anterior con la expresión (1) se obtiene 
√(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟, 
 por ende, esta es la ecuación de la circunferencia utilizando la métrica usual; la figura que 
representa esta ecuación es: 
 
Figura 10. Representación de circunferencia en la métrica usual centrada en 𝐶 = (ℎ, 𝑘) con radio 𝑟. 
Fuente: Los autores. 
 
 Se presenta el caso en el cual la circunferencia está centrada en el origen, es decir en el punto (0,0), la ecuación de la circunferencia se transforma en: 
√𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟, 
21 
 
 representando la siguiente figura: 
 
Figura 11. Representación de la circunferenciaen la métrica usual con centro en 𝐶(0,0) y radio 𝑟. 
Fuente: Los autores. 
 
 2.1.2. Parábola. Por la Definición 5, analizaremos tres casos, el primero cuando la directriz es 
de forma horizontal, el segundo cuando la directriz es vertical y el tercero cuando la directriz es 
oblicua. 
 Para el primer caso, cuando la directriz 𝑙 es de la forma 𝑦 = 𝑘 donde 𝑘 ∈ ℝ y el foco 𝐹 es de 
coordenadas (𝑎, 𝑏), por la métrica usual, la distancia entre los puntos 𝐹 = (𝑎, 𝑏) y 𝑃 = (𝑥, 𝑦) es: 
𝑑𝑢(𝐹, 𝑃) = √(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2, 
 mientras que la distancia de 𝑃 = (𝑥, 𝑦) a la directriz 𝑙 de la forma 𝑦 − 𝑘 = 0, usando la 
ecuación de distancia de un punto a una recta para la métrica usual expresada en la Definición 9 
queda: 
𝑑𝑢(𝑃, 𝑙) = |𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶|√𝐴2 + 𝐵2 = |(0)𝑥 + (1)𝑦 − 𝑘|√02 + 12 = |𝑦 − 𝑘|√1 = |𝑦 − 𝑘|, 
 por lo anterior, si igualamos 𝑑𝑢(𝐹, 𝑃) y 𝑑𝑢(𝑃, 𝑙)se obtiene: √(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = |𝑦 − 𝑘|, 
22 
 
 a continuación, se muestra su representación: 
 
Figura 12. Representación de la parábola con directriz paralela al eje 𝑋. 
Fuente: Los autores. 
 
 Procediendo análogamente, para el segundo caso cuando la directriz 𝑙 es de la forma 𝑥 = ℎ, ℎ ∈ ℝ, se obtiene la siguiente expresión: 
√(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = |𝑥 − ℎ|, 
 Y se representa de la siguiente forma, 
 
Figura 13. Representación de la parábola con directriz paralela al eje 𝑌. 
Fuente: Los autores. 
23 
 
 Para el tercer caso, la directriz 𝑙 es oblicua y de la forma 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0, obteniéndose la 
siguiente expresión de la parábola: 
 
√(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = |𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶|√𝐴2 + 𝐵2 , 
 su forma es la siguiente: 
 
Figura 14. Parábola oblicua con la métrica usual en �̃�. 
Fuente: Los autores. 
 
 2.1.3. Elipse. De acuerdo a la Definición 6 tenemos tres casos: 
 Caso I. Sean 𝐹1 = (𝑎, 𝑏) y 𝐹2 = (𝑐, 𝑏) los focos de la elipse, y 𝑃 = (𝑥, 𝑦) cualquier punto que 
pertenece a la elipse, de acuerdo a la definición de elipse (expresión geométrica (3)).
 
 Teniendo en cuenta la métrica usual, la distancia de cualquier punto de la elipse se determina: 
𝑑𝑢(𝐹1, 𝑃) = √(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2, 
 igualmente, para el segundo foco se tiene: 𝑑𝑢(𝐹2, 𝑃) = √(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 𝑏)2, 
24 
 
 aplicando la expresión geométrica (3) se tiene: √(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 + √(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑘. 
 La siguiente figura representa la ecuación de la elipse anterior 
 
Figura 15. Elipse con focos 𝐹1 = (𝑎, 𝑏) y 𝐹2 = (𝑐, 𝑏). 
Fuente: Los autores. 
 
 Caso II. En el caso en el cual los focos tienen las siguientes coordenadas 𝐹1 = (𝑎, 𝑏) y 𝐹2 = (𝑎, 𝑑), se obtienen las siguientes expresiones: 
 Distancia del punto al primer foco 
𝑑𝑢(𝐹1, 𝑃) = √(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2, 
 distancia del punto al segundo foco 
𝑑𝑢(𝐹2, 𝑃) = √(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑑)2 
 al reemplazar las expresiones de las distancias de los focos al punto con la expresión geométrica 
(3) se tiene la siguiente representación analítica:
 
√(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 + √(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑑)2 = 𝑘. 
25 
 
 Su grafica es la siguiente, 
 
Figura 16. Elipse con focos 𝐹1 = (𝑎, 𝑏) y 𝐹2 = (𝑎, 𝑑). 
Fuente: Los autores. 
 
 Caso III. En general, la ecuación de la elipse en la métrica usual con focos 𝐹1 = (𝑎, 𝑏) y 𝐹2 = (𝑐, 𝑑) ubicados en cualquier parte del plano queda de la siguiente forma: 
√(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 + √(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 𝑑)2 = 𝑘. 
 tal es el caso de las elipses oblicuas: 
 
Figura17. Representación de la elipse oblicua en la métrica usual 
Fuente: Los autores. 
 
26 
 
 2.1.4. Hipérbola. Para la hipérbola con la métrica usual, igualmente tenemos tres casos: 
 Caso I. En este caso las coordenadas de los focos son 𝐹1(𝑎, 𝑏) y 𝐹2(𝑐, 𝑏) y de acuerdo a la 
Definición 7, y la métrica usual se tiene que:
 𝑑𝑢(𝐹1, 𝑃) = √(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2, 𝑑𝑢(𝐹2, 𝑃) = √(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 𝑏)2, 
 Obteniéndose la siguiente expresión: |√(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 − √(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 𝑏)2| = 𝑘. 
 La figura que representa la ecuación es: 
 
Figura 18. Representación de la hipérbola con focos 𝐹1(𝑎, 𝑏) y 𝐹2(𝑐, 𝑏). 
Fuente: Los autores. 
 
 
 CASO II. Los elementos de la hipérbola para este caso son los focos de la forma 𝐹1(𝑎, 𝑏) y 𝐹2(𝑎, 𝑑) y de manera similar al caso anterior se reemplazan las coordenadas del foco y se 
determinan las distancias de los focos a cualquier punto 𝑃 de la hipérbola, por lo que se tiene: 
|√(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 − √(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑑)2| = 𝑘. 
27 
 
 La figura que representa la ecuación anterior es: 
 
Figura 19. Representación de la hipérbola con focos 𝐹1(𝑎, 𝑏) y 𝐹2(𝑎, 𝑑). 
Fuente: Los autores.
 
 Caso III. Para el caso en donde los focos 𝐹1 = (𝑎, 𝑏) y 𝐹2 = (𝑐, 𝑑) se ubican en cualquier lugar 
del plano, los puntos 𝑃 = (𝑥, 𝑦) que pertenecen a esta hipérbola satisfacen la siguiente expresión: 
|√(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 − √(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 𝑑)2| = 𝑘. 
 Tal es el caso de una hipérbola oblicua como se muestra a continuación: 
 
Figura 20. Representación de una hipérbola oblicua en la métrica usual. 
Fuente: Los autores. 
 
 
 
28 
 
2.2. Cónicas en la métrica del taxista 
 2.2.1. Circunferencia. Para mostrar el comportamiento de la circunferencia en la métrica del 
taxista en �̃�, se recurre a la Definición 4, tomamos 𝐶 = (ℎ, 𝑘) el centro de la circunferencia y 𝑃 = (𝑥, 𝑦) un punto en �̃� que pertenecerá a la circunferencia. 
 De acuerdo a la métrica del taxista, la distancia entre el punto 𝐶 y el punto 𝑃, está dado por la 
siguiente expresión: 𝑑𝑡(𝐶, 𝑃) = |𝑥 − ℎ| + |𝑦 − 𝑘|, igualando la ecuación anterior con la expresión 
geométrica (1) expuesta en la Definición 4, la ecuación de la circunferencia con centro en 𝐶 = (ℎ, 𝑘) y radio 𝑟 en la métrica del taxista está dada por la expresión: 
|𝑥 − ℎ| + |𝑦 − 𝑘| = 𝑟, 
 la gráfica que representa esta ecuación es: 
 
Figura 21. Representación de una circunferencia en la métrica del taxista. 
Fuente: Los autores. 
 
 En el caso particular de que la circunferencia esté centrada en el punto (0,0), la ecuación cambia 
a la siguiente expresión: |𝑥| + |𝑦| = 𝑟. 
29 
 
 La figura que representa la expresión anterior es: 
 
Figura 22. Representación de una circunferencia en la métrica del taxista centrado en el origen. 
Fuente: Los autores. 
 
Entre algunos ejemplos encontramos: 
• Halle la ecuación de la circunferencia con centro 𝐶(1,2) y radio 𝑟 = 2. 
La ecuación tendrá la siguiente forma: 
|𝑥 − 1| + |𝑦 − 2| = 2, 
la gráfica correspondiente es: 
 
Figura 23. Representación de la una circunferencia en la métrica del taxista con centro en 𝐶(1,2) y 𝑟 = 2. 
Fuente: Los autores. 
 
30 
 
• Circunferencia con centro (0,0) y radio 𝑟 = 3, el tratamiento analítico será de la forma: 
 |𝑥| + |𝑦| = 3, 
la gráfica que representa la ecuación es: 
 
Figura 24. Circunferencia con centro (0,0) y radio 𝑟 = 3. 
Fuente: Los autores. 
 
 
 2.2.2. Parábola. A partir de la Definición 5, se debe establecer inicialmente la distancia de un 
punto a una recta en la métrica del taxista, paraesto se tiene a 𝑙 de la forma 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 con 
un punto 𝑀 ∈ 𝑙, y se estudia su distancia a un punto cualquiera 𝑃 de coordenadas (𝑥, 𝑦), para esto 
se recurre al método de las circunferencias mencionado en la Definición 9: 
 Empezamos trazando distintas circunferencias (definidas en la métrica del taxista) concéntricas 
en 𝑃 que irán aumentando progresivamente el radio, hasta encontrar la primera circunferencia que 
se intercepte con la recta 𝑙. 
 El radio de dicha circunferencia resulta ser la mínima distancia del punto 𝑃 a la recta 𝑙 con la 
métrica del taxista definido en �̃�; puede haber solo un punto de intersección (caso I), o varios 
puntos de intersección (caso II). 
31 
 
 
Figura 25. Caso I. Distancia mínima del punto 𝑃 a la recta 𝑙 en la métrica del taxista. 
Fuente: Los autores. 
 
 
Figura 26. Caso II. Intercepción de una circunferencia con una recta en más de un punto. 
Fuente: Los autores. 
 
 Como se puede observar, para el caso I, solo existe un camino para poder medir la distancia 
mínima que hay entre el punto 𝑃 y la recta 𝑙, en cambio para el caso II, existen infinitos caminos 
para poder determinar la distancia mínima del punto a la recta, para facilitar el método, solo se 
asumirán dos caminos, aquel que va del punto 𝑃 y se desplaza de forma vertical hacia la recta, y 
el otro, que parte del punto 𝑃 y se desplaza de forma horizontal hasta llegar a la recta, por tanto, 
todo se resumirá a conocer cuál es la mínima longitud de los dos caminos mencionados, sin 
importar el caso que se trabaje. 
32 
 
 
Figura 27. La distancia mínima del punto a la recta, será la menor longitud de los dos segmentos que conectan al 
punto con la recta. 
Fuente: Los autores. 
 
 Para obtener una expresión analítica a esta distancia, se toma el punto concéntrico 𝑃 y se trazan 
las rectas 𝑋 = 𝑥 y 𝑌 = 𝑦, nombrándose 𝑋1 y 𝑋2, los puntos de intersección entre la recta 𝑙 y las 
rectas 𝑋 = 𝑥 y 𝑌 = 𝑦 respectivamente. 
 
Figura 28. Rectas 𝑋 = 𝑥 & 𝑌 = 𝑦 que pasan por 𝑃 e interceptan a la recta 𝑙. 
Fuente: Los autores. 
 
 Se definen las parejas ordenadas de 𝑋1 y 𝑋2 de la siguiente forma: 
• Para 𝑋1, se sabe que su abscisa es el valor x, el valor de su ordenada se obtendría 
remplazando el valor de su abscisa en la ecuación de la recta 𝑙 de la siguiente forma: 
33 
 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0, 𝑦 = −𝐴𝑥𝐵 − 𝐶𝐵, 
Por tal razón: 𝑋1 = (𝑥, −𝐴𝑥𝐵 − 𝐶𝐵). 
• De forma análoga: 𝑋2= (−𝐵𝑦𝐴 − 𝐶𝐴 , 𝑦). 
 Luego, la distancia de 𝑑𝑡(𝑃, 𝑋1) es: 
𝑑𝑡(𝑃, 𝑋1) = |𝑥 − 𝑥| + |𝑦 − (−𝐴𝑥𝐵 − 𝐶𝐵)| = |𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝐵 | 𝑑𝑡(𝑃, 𝑋1) = |𝑦 − (−𝐴𝑥𝐵 − 𝐶𝐵)| = |𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝐵 |. 
 la distancia de 𝑑𝑡(𝑃, 𝑋2) es: 
𝑑𝑡(𝑃, 𝑋2) = |𝑥 − (−𝐵𝑦𝐴 − 𝐶𝐴)| + |𝑦 − 𝑦| = |𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝐴 | 𝑑𝑡(𝑃, 𝑋2) = |𝑥 − (−𝐵𝑦𝐴 − 𝐶𝐴)| = |𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝐴 |. 
 Por tanto: 
𝑑𝑡(𝑃, 𝑙) = 𝑚í𝑛 {|𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝐵 | , |𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝐴 |} , 𝐴 ≠ 0, 𝐵 ≠ 0, 
 Por lo anterior se tiene: 
𝑑𝑡(𝑃, 𝑙) = |𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶|𝑚á𝑥{|𝐴|, |𝐵|} . 
 Ahora bien, la distancia del punto P al foco F de coordenadas (𝑎, 𝑏) por la métrica del taxista 
está dada de la siguiente forma: 
𝑑𝑡(𝑃, 𝐹) = |𝑥 − 𝑎| + |𝑦 − 𝑏|, 
34 
 
 Y por la Definición 5 se iguala 𝑑𝑡(𝑃, 𝐹) y 𝑑𝑡(𝑃, 𝑙) quedando la expresión de la parábola: 
𝑑𝑡(𝑃, 𝐹) = 𝑑𝑡(𝑃, 𝑙) |𝑥 − 𝑎| + |𝑦 − 𝑏| = 𝑚í𝑛𝑀∈𝑙𝑑𝑡(𝑃, 𝑀) |𝑥 − 𝑎| + |𝑦 − 𝑏| = |𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶|𝑚á𝑥{|𝐴|, |𝐵|} . 
 De la anterior expresión podemos encontrar tres casos particulares de la parábola con la métrica 
del taxista en �̃�: 
 Cuando la parábola tiene directriz horizontal, presenta el siguiente comportamiento tanto 
analítico como gráfico: 
|𝑥 − 𝑎| + |𝑦 − 𝑏| = |𝐵𝑦 + 𝐶|𝐵 , 
 
Figura 29. Parábola en la métrica del taxista con directriz horizontal. 
Fuente: Los autores. 
 
 Cuando la parábola tiene directriz vertical, encontramos la siguiente ecuación y 
representación gráfica: 
|𝑥 − 𝑎| + |𝑦 − 𝑏| = |𝐴𝑥 + 𝐶|𝐴 , 
35 
 
 
Figura 30. Parábola en la métrica del taxista con directriz vertical. 
Fuente: Los autores. 
 
 Cuando la parábola tiene directriz oblicua 
|𝑥 − 𝑎| + |𝑦 − 𝑏| = |𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶|𝑚á𝑥{|𝐴|, |𝐵|} , 
 
Figura 31. Parábola oblicua en la métrica del taxista. 
Fuente: Los autores. 
 
 Para entrar en más detalle se exponen los siguientes ejemplos: 
• Parábola de foco 𝐹(0,2) y directriz 𝑦 = −3. 
|𝑥 − 0| + |𝑦 − 2| = |(1)𝑦 + 3|1 |𝑥| + |𝑦 − 2| = |𝑦 + 3|, 
36 
 
 
Figura 32. Parábola en la métrica del taxista con 𝐹(0,2) directriz 𝑦 = −3. 
Fuente: Los autores. 
 
 Ahora se comprueba que el punto 𝑃 = (4; 1,5) pertenece a la parábola si satisface la expresión 
anterior: |4| + |1,5 − 2| = |1,5 + 3| 4 + 0,5 = 4,5 4,5 = 4,5. 
• Para el caso cuando la directriz es de la forma 𝑙: 𝑥 = −3 y el foco de coordenadas 𝐹 = (1,2), se obtiene la siguiente figura: 
 
Figura 33. Parábola en la métrica del taxista en �̃�. 
Fuente: Los autores. 
37 
 
 Revisemos si el punto 𝑃 = (0,4) pertenece a la parábola, primero reemplacemos los valores de 
este ejemplo en la fórmula general de parábola en la métrica del taxista. 
|𝑥 − 𝑎| + |𝑦 − 𝑏| = |𝐴𝑥 + 𝐶|𝐴 |𝑥 − 1| + |𝑦 − 2| = |(1)𝑥 + 3|1 |𝑥 − 1| + |𝑦 − 2| = |𝑥 + 3|. 
 Ahora evaluemos el punto 𝑃 = (0,4) en la expresión anterior: |0 − 1| + |4 − 2| = |0 + 3| 1 + 2 = 3 3 = 3. 
 Por tanto, se comprueba que este es uno de los puntos que pertenece a la parábola. 
• Un tercer ejemplo hace referencia a la parábola oblicua, es decir, cuando la recta directriz 
no es perpendicular a ninguno de los ejes coordenados, en este caso la recta directriz es de 
la forma 𝑙: − 𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 y el foco es 𝐹 = (3,4), la parábola queda como se muestra a 
continuación: 
 
Figura 34. Parábola oblicua con la métrica del taxista en �̃�. 
Fuente: Los autores. 
38 
 
Y su expresión analítica queda de la siguiente forma: 
|𝑥 − 3| + |𝑦 − 4| = |(−1)𝑥 + (−1)𝑦 + 3|𝑚á𝑥{|−1|, |−1|} 
|𝑥 − 3| + |𝑦 − 4| = |(−1)𝑥 + (−1)𝑦 + 3|𝑚á𝑥{1,1} 
|𝑥 − 3| + |𝑦 − 4| = |−𝑥 − 𝑦 + 3|1 |𝑥 − 3| + |𝑦 − 4| = |−𝑥 − 𝑦 + 3|. 
 Verifiquemos que el punto 𝑃 = (7,2), pertenece a esta parábola 
|𝑥 − 3| + |𝑦 − 4| = |−𝑥 − 𝑦 + 3| |7 − 3| + |2 − 4| = |−7 − 2 + 3| |4| + |−2| = |−6| 4 + 2 = 6 6 = 6. 
 2.2.3. Elipse. En el caso de esta sección cónica, el proceso analítico es más corto y se parte de 
la Definición 6, tomándose como focos 𝐹1 = (𝑎, 𝑏) y 𝐹2 = (𝑐, 𝑑). 
 Para el caso de la distancia entre el punto 𝑃 y el foco 𝐹1 aplicándole la métrica del taxista 
quedaría de la siguiente forma: 
𝑑𝑡(𝑃, 𝐹1) = |𝑥 − 𝑎| + |𝑦 − 𝑏|, 
 de forma análoga, la distancia entre 𝑃 y el foco 𝐹2 queda: 𝑑𝑡(𝑃, 𝐹2) = |𝑥 − 𝑐| + |𝑦 − 𝑑|, 
 la elipse en la métrica del taxista queda definida de forma general como: 𝑑𝑡(𝑃, 𝐹1) + 𝑑𝑡(𝑃, 𝐹2) = 𝑘 |𝑥 − 𝑎| + |𝑦 − 𝑏| + |𝑥 − 𝑐| + |𝑦 − 𝑑| = 𝑘. 
39 
 
 A partir de la expresión anterior se pueden considerar tres casos:Cuando 𝑏 = 𝑑, |𝑥 − 𝑎| + |𝑦 − 𝑏| + |𝑥 − 𝑐| + |𝑦 − 𝑏| = 𝑘. 
 
Figura 35. Representación de la elipse en la métrica del taxista con focos 𝐹1 = (𝑎, 𝑏) 𝑦 𝐹2 = (𝑐, 𝑏). 
Fuente: Los autores. 
 
 Cuando 𝑎 = 𝑐, |𝑥 − 𝑎| + |𝑦 − 𝑏| + |𝑥 − 𝑎| + |𝑦 − 𝑑| = 𝑘. 
 
Figura 36. Representación de la elipse en la métrica del taxista con focos 𝐹1 = (𝑎, 𝑏) 𝑦 𝐹2 = (𝑎, 𝑑). 
Fuente: Los autores. 
 
 
40 
 
 Cuando 𝑎 ≠ 𝑏 ≠ 𝑐 ≠ 𝑑, |𝑥 − 𝑎| + |𝑦 − 𝑏| + |𝑥 − 𝑐| + |𝑦 − 𝑑| = 𝑘. 
 
Figura 37. Representación de la elipse en la métrica del taxista con focos 𝐹1 = (𝑎, 𝑏) 𝑦 𝐹2 = (𝑐, 𝑑). 
Fuente: Los autores. 
 
Para entender con más detalle lo anterior se muestran los siguientes ejemplos: 
• Elipse de focos 𝐹1 = (2,2) y 𝐹2 = (4,2) con una constante 𝑘 = 6. 
Para este ejemplo, la distancia entre 𝐹1 y 𝐹2 en la métrica del taxista es: 𝑑𝑡(𝐹1, 𝐹2) = |2 − 4| + |2 − 2| = 2, 
es decir que 𝑑𝑡(𝐹1, 𝐹2) < 6 cumpliendo una de las condiciones de la elipse, entonces: 
|𝑥 − 2| + |𝑦 − 2| + |𝑥 − 4| + |𝑦 − 2| = 6, 
 y su representación gráfica es la siguiente: 
 
Figura 38. Gráfica de elipse en la métrica del taxista 
Fuente: Los autores. 
41 
 
 Para el anterior ejemplo, miremos que el punto 𝑃 = (2,4) pertenece a la elipse: |𝑥 − 2| + |𝑦 − 2| + |𝑥 − 4| + |𝑦 − 2| = 6 |2 − 2| + |4 − 2| + |2 − 4| + |4 − 2| = 6 |0| + |2| + |−2| + |2| = 6 2 + 2 + 2 = 6. 
• Ahora revisemos un ejemplo cuando la elipse tiene los focos de la forma F1 = (a, b) y F2 = (a, d), para este caso tomamos como focos a F1 = (6,5) y F2 = (6,2) y la constante 𝑘 = 7, quedando la siguiente expresión analítica: |𝑥 − 6| + |𝑦 − 5| + |𝑥 − 6| + |𝑦 − 2| = 7 2|𝑥 − 6| + |𝑦 − 5| + |𝑦 − 2| = 7, 
y su representación gráfica es de la siguiente forma: 
 
Figura 39. Elipse en la métrica del taxista en �̃�. 
Fuente: Los autores. 
• Un ejemplo de elipse oblicua con focos F1 = (8,5) y F2 = (6,3) y constante 𝑘 = 6, 
presenta la siguiente forma: |𝑥 − 8| + |𝑦 − 5| + |𝑥 − 6| + |𝑦 − 3| = 6, 
42 
 
y su representación gráfica es: 
 
 
Figura 40. Elipse oblicua en la métrica del taxista en 𝑋.̃ 
Fuente: Los autores. 
 Se comprueba que el punto 𝑃 = (5,6; 2,4) pertenece a la elipse ya que satisface su 
expresión analítica: |𝑥 − 8| + |𝑦 − 5| + |𝑥 − 6| + |𝑦 − 3| = 6 |5,6 − 8| + |2,4 − 5| + |5,6 − 6| + |2,4 − 3| = 6 |−2,4| + |−2,6| + |−0,4| + |−0,6| = 6 2,4 + 2,6 + 0,4 + 0,6 = 6 6 = 6. 
 En este ejemplo se puede notar como la forma de la elipse cambia en comparación a sus otras 
dos formas, esto es nos deja ver, como una cónica en una misma métrica presenta un 
comportamiento distinto. 
 2.2.4. Hipérbola. De acuerdo a la Definición 7 tenemos tres casos: 
 Caso I, Sean 𝐹1 = (𝑎, 𝑏) y 𝐹2 = (𝑐, 𝑏) los focos de la hipérbola y 𝑃 = (𝑥, 𝑦) un punto 
cualquiera que pertenezca a ella por la métrica del taxista, la distancia 𝑑(𝐹1, 𝑃) y 𝑑(𝐹2, 𝑃) están 
dadas por las siguientes expresiones: 
43 
 𝑑𝑡(𝐹1, 𝑃) = |𝑥 − 𝑎| + |𝑦 − 𝑏|, 𝑑𝑡(𝐹2, 𝑃) = |𝑥 − 𝑐| + |𝑦 − 𝑏|. 
 
 Reemplazando las expresiones anteriores por la expresión geométrica (4) de la Definición 7, 
obtenemos la siguiente ecuación: ||𝑥 − 𝑎| + |𝑦 − 𝑏| − (|𝑥 − 𝑐| + |𝑦 − 𝑏|)| = 𝑘, 
 
 es similar a tener: ||𝑥 − 𝑎| + |𝑦 − 𝑏| − |𝑥 − 𝑐| − |𝑦 − 𝑏|| = 𝑘 ||𝑥 − 𝑎| − |𝑥 − 𝑐|| = 𝑘. 
 
 La gráfica que representa este tipo de hipérbola, tiene la forma de dos líneas paralelas como se 
muestra a continuación: 
 
Figura 41. Representación de la hipérbola en la métrica del taxista con los focos 𝐹1 = (𝑎, 𝑏) y 𝐹2 = (𝑐, 𝑏). 
Fuente: Los autores. 
 
 Caso II, cuando los focos son de la forma 𝐹1 = (𝑎, 𝑏) y 𝐹2 = (𝑎, 𝑑) se tiene la siguiente 
ecuación: ||𝑦 − 𝑏| + |𝑦 − 𝑑|| = 𝑘. 
 
44 
 
 
 La gráfica correspondiente a este caso es: 
 
Figura 42. Representación de la hipérbola en la métrica del taxista con los focos 𝐹1 = (𝑎, 𝑏) y 𝐹2 = (𝑎, 𝑑). 
Fuente: Los autores. 
 Caso III, estudiamos los casos cuando la hipérbola tiene los focos ubicados en diferentes 
lugares, sean 𝐹1 = (𝑎, 𝑏) y 𝐹2 = (𝑐, 𝑑) obteniéndose la siguiente expresión: 
||𝑥 − 𝑎| + |𝑦 − 𝑏| − (|𝑥 − 𝑐| + |𝑦 − 𝑑|)| = 𝑘 ||𝑥 − 𝑎| + |𝑦 − 𝑏| − |𝑥 − 𝑐| − |𝑦 − 𝑑|| = 𝑘, 
 
 finalmente, la gráfica que representa este tipo de hipérbola es: 
 
Figura 43. Representación de la hipérbola en la métrica del taxista con los focos 𝐹1 = (𝑎, 𝑏) y 𝐹2(𝑐, 𝑑). 
Fuente: Los autores. 
45 
 
Revisemos algunos ejemplos particulares de los anteriores resultados: 
• Halle la ecuación de la hipérbola con focos 𝐹1 = (2,2) y 𝐹1 = (2,8) con constante 𝑘 = 4, 
y construir su gráfica. 
 La ecuación de la hipérbola en la métrica del taxista para la hipérbola está determinada por: ||𝑦 − 𝑏| − |𝑦 − 𝑑|| = 𝑘, 
 así la ecuación de la hipérbola queda: 
||𝑦 − 2| − |𝑦 − 8|| = 4, 
la gráfica correspondiente a esta expresión es: 
 
Figura 44. Representación de la hipérbola en la métrica del taxista con los focos 𝐹1 = (2,2) y 𝐹2 = (2,8). 
Fuente: Los autores. 
 Podemos comprobar que el punto 𝑃 = (4,7) pertenece a la hipérbola reemplazando los valores 
del punto en la expresión anterior así: 
||𝑦 − 2| − |𝑦 − 8|| = 4, 
46 
 
 reemplazando el punto: ||7 − 2| − |7 − 8|| = 4, 
 resolviendo las expresiones tenemos: ||7 − 2| − |7 − 8|| = 4 ||5| − |−1|| = 4 |5 − 1| = 4 4 = 4.
 
• Hallar la ecuación de la hipérbola con focos 𝐹1 = (2,1) y 𝐹2 = (6,1) y constante 𝑘 = 2, y 
construir su gráfica. 
 Esta ecuación en la métrica del taxista está determinada por la expresión: ||𝑥 − 𝑎| − |𝑥 − 𝑐|| = 𝑘. 
 Como las coordenadas del primer foco son 𝐹1(2,1) y del segundo foco 𝐹2(6,1) la ecuación 
queda determinada de la siguiente forma: 
||𝑥 − 2| − |𝑥 − 6|| = 2. 
 La gráfica correspondiente a esta expresión es: 
 
Figura 45. Representación de la hipérbola en la métrica del taxista con los focos 𝐹1 = (2,1) y 𝐹2 = (6,1). 
Fuente: Los autores. 
47 
 
 Podemos comprobar que el punto 𝑃 =(3,4) pertenece a la hipérbola reemplazando los valores 
del punto en la expresión anterior así: 
||𝑥 − 2| − |𝑥 − 6|| = 2,
 
 reemplazando el punto: ||3 − 2| − |3 − 6|| = 2,
 
 resolviendo las expresiones tenemos: ||1| − |−3|| = 2 |1 − 3| = 2 |−2| = 2 2 = 2.
 
 Por tanto, este punto pertenece a esta hipérbola. 
• Hallar la ecuación de la hipérbola con focos (3,2) y (−3, −2) y constante 𝑘 = 6. 
 La expresión de la hipérbola en la métrica del taxista está determinada por:
 
||𝑥 − 3| + |𝑦 − 2| − |𝑥 + 3| − |𝑦 + 2|| = 6, 
 la gráfica correspondiente es: 
 
Figura 46. Representación de la hipérbola en la métrica del taxista con los focos 𝐹1 = (3,2) y 𝐹2 = (−3, −2). 
Fuente: Los autores.
 
48 
 
 De manera similar a los ejemplos anteriores se puede comprobar que el punto 𝑃 = (−4,0) satisface la 
ecuación de esta hipérbola. 
2.3. Cónicas en la métrica del máximo. 
 2.3.1. Circunferencia. El comportamiento geométrico de la circunferencia en la métrica del 
máximo se ve determinado por la Definición 4, llamaremos 𝐶 = (ℎ, 𝑘) el centro de la 
circunferencia con radio 𝑟 y 𝑃 = (𝑥, 𝑦) un punto cualquiera que pertenezca a ella, y por la métrica 
del máximo se tiene que la distancia del punto 𝑃 al centro está dado por: 
𝑑𝑀(𝐶, 𝑃) = 𝑚á𝑥{|𝑥 − ℎ|, |𝑦 − 𝑘|}, 
y por la expresión geométrica (1) de la Definición 4, se tiene: 
𝑚á𝑥{|𝑥 − ℎ|, |𝑦 − 𝑘|} = 𝑟, 
 la gráfica que representa la ecuación de una circunferencia con centro en el punto 𝐶 = (ℎ, 𝑘) 
esde la siguiente forma: 
 
Figura 47. Representación de una circunferencia en a métrica del máximo con centro en 𝐶 = (ℎ, 𝑘). 
Fuente: Los autores. 
 
49 
 
 En el caso particular de que la circunferencia está centrada en el punto (0.0) tendremos la 
siguiente expresión: 𝑚á𝑥{|𝑥|, |𝑦|} = 𝑟. 
 La gráfica que representa la circunferencia con centro en el origen es: 
 
Figura 48. Representación de una circunferencia en la métrica del máximo centrada en el origen. 
Fuente: Los autores. 
 
 Como ejemplo, revisemos la circunferencia con centro en el origen y de radio 𝑟 = 2. 𝑚á𝑥{|𝑥|, |𝑦|} = 2 
 Y la gráfica corresponderá a: 
 
Figura 49. Representación de una circunferencia en la métrica del máximo con centro en (0,0) y 𝑟 = 2. 
Fuente: Los autores. 
50 
 
 2.3.2. Parábola. En esta cónica, se realizará un razonamiento muy similar al realizado con la 
parábola en la métrica del taxista, debido a la gran similitud entre ambas métricas, por tanto, 
teniendo en cuenta la Definición 5, se debe encontrar una expresión para la distancia de un punto 𝑃 a una recta l de la forma 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 en la métrica del máximo. 
 Para esto se recurre nuevamente al método de las circunferencias (ver Definición 9), teniendo 
en cuenta lo anterior se podrían presentar dos casos, el primero (CASO I), cuando la circunferencia 
con centro en 𝑃, es tangencial a la recta 𝑙, por tal razón este radio vendría siendo la distancia 
mínima entre el punto 𝐴 y la recta 𝑙. 
 
Figura 50. Caso I. Distancia mínima de un punto a una recta en la métrica del máximo. 
Fuente: Los autores. 
 
 El otro caso (CASO II), es más común que el Caso I, y resulta cuando la recta 𝑙 es de sentido 
horizontal o vertical, en este caso la circunferencia con centro en 𝐴, intercepta en más de un punto 
a la recta, pero la distancia mínima, será el radio de dicha circunferencia, como se muestra a 
continuación: 
51 
 
 
Figura 51. Caso II. Distancia mínima de un punto a una recta, cuando esta tiene rectas horizontales o verticales. 
Fuente: Los autores. 
 
 Para encontrar una expresión analítica a la distancia mínima que hay entre un punto y una recta 
en esta métrica, se tomaran los resultados encontrados en la parábola con la métrica del taxista, 
obteniéndose para el Caso II las siguientes expresiones: 
𝑑𝑀(𝑃, 𝑙) = |𝐴𝑥+𝐵(0)+𝐶||𝐴| = |𝐴𝑥+𝐶||𝐴| , (para una recta vertical). 
𝑑𝑀(𝑃, 𝑙) = |𝐴(0)+𝐵𝑦+𝐶||𝐵| = |𝐵𝑦+𝐶||𝐵| , (para una recta horizontal). 
 En cuanto al Caso I, se tomará un punto 𝑥 de coordenadas (𝑥1, 𝑥2) que pertenece a la recta 𝑙, y 
la distancia mínima del punto 𝑃 de coordenadas (𝑥, 𝑦) a algún punto 𝑋 de la recta 𝑙, estará dado 
por: 𝑑𝑀(𝐴, 𝑋𝑥∈𝑙) = 𝑟, donde 𝑟 es el radio de la circunferencia en la métrica del máximo con centro 
en 𝑃(𝑥, 𝑦) que es tangencial a la recta 𝑙 en el punto 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2). 
 Teniendo en cuenta la Definición 5 y los casos anteriores, se define 𝐹 = (𝑎, 𝑏) y la directriz 𝑙 
de la forma 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0, por tanto, los puntos 𝑃 de coordenadas (𝑥, 𝑦) que pertenecen a la 
parábola satisfacen la siguiente expresión: 
𝑚á𝑥{|𝑥 − 𝑎|, |𝑦 − 𝑏|} = 𝑚í𝑛𝑥∈𝑙𝑑𝑀(𝐴, 𝑋). 
 Obteniéndose tres ejemplos de parábola en la métrica del máximo: 
52 
 
 Parábola con directriz oblicua: 
𝑚á𝑥{|𝑥 − 𝑎|, |𝑦 − 𝑏|} = 𝑟, donde 𝑟 es el radio de una circunferencia con centro en 𝐴(𝑥, 𝑦) que 
es tangencial a la recta 𝑙 en (𝑥1, 𝑦1) y que pasa por el foco 𝐹(𝑎, 𝑏). 
 
Figura 52: Parábola en la métrica del máximo con directriz oblicua. 
Fuente: Los autores. 
 Parábola con directriz vertical. 
𝑚á𝑥{|𝑥 − 𝑎|, |𝑦 − 𝑏|} = |𝐴𝑥 + 𝐶||𝐴| . 
 
Figura 53: Parábola en la métrica del máximo con directriz vertical. 
Fuente: Los autores. 
53 
 
 Parábola con directriz Horizontal 
𝑚á𝑥{|𝑥 − 𝑎|, |𝑦 − 𝑏|} = |𝐵𝑦 + 𝐶||𝐵| . 
 
Figura 54: Parábola en la métrica del máximo con directriz horizontal. 
Fuente: Los autores. 
 Se ejemplificarán los casos mencionados anteriormente: 
• (Directriz oblicua) 
Para este caso, se tomará un foco de coordenadas (5,5) y una directriz de la forma 𝑙: −𝑥 +𝑦 + 4 = 0, su representación es la siguiente: 
 
Figura 55. Representación de parábola oblicua en la métrica del máximo. 
Fuente: Los autores. 
54 
 
 Nótese que el punto (4,5; 3,5) pertenece a la parábola ya que existe una circunferencia con 
centro en 𝑃 tangencial a la recta 𝑙 y que pasa por el foco (5,5), lo que hace que la distancia del 
punto 𝑃 a 𝐹 y de 𝑃 a 𝑙 sea igual al radio de esta circunferencia, veámoslo gráficamente y 
verifiquémoslo analíticamente: 
 
Figura 56: La distancia de un punto de la parábola al foco y a la recta resulta ser el radio de una 
circunferencia que tangencial a la directriz y que pasa por el foco. 
Fuente: Los autores. 
 El radio de esta circunferencia resulta ser la distancia mínima de 𝑃 a 𝑙 y equivale a 1,5 unidades, 
basta comprobar la siguiente expresión: 
𝑚á𝑥{|𝑥 − 𝑎|, |𝑦 − 𝑏|} = 𝑟 𝑚á𝑥{|4,5 − 5|, |3,5 − 5|} = 1,5 𝑚á𝑥{|−0,5|, |−1,5|} = 1,5 𝑚á𝑥{0,5; 1,5} = 1,5 1,5 = 1,5. 
 Por tanto, todos los puntos de la parábola oblicua en la métrica del máximo son el centro de 
una circunferencia que es tangencial a la directriz y que pasa por el foco. 
55 
 
• (Directriz vertical) Parábola de foco 𝐹 = (5,3) y directriz 𝑥 = 3, 
𝑚á𝑥{|𝑥 − 5|, |𝑦 − 3|} = |(1)𝑥 − 3||1| 𝑚á𝑥{|𝑥 − 5|, |𝑦 − 3|} = |𝑥 − 3|, 
 su representación gráfica es la siguiente: 
 
Figura 57. Parábola en la métrica del máximo con eje de simetría en el eje 𝑋. 
Fuente: Los autores. 
 
 Ahora bien, se puede notar que cualquier punto que pertenece a la parábola satisface la 
expresión: 𝑚á𝑥{|𝑥 − 5|, |𝑦 − 3|} = |𝑥 − 3|, como por ejemplo el punto (7,7) pertenece a la 
parábola ya que: 
𝑚á𝑥{|7 − 5|, |7 − 3|} = |7 − 3| 𝑚á𝑥{2,4} = |4| 4 = 4. 
• (Directriz horizontal) Parábola de foco (0,2) y directriz 𝑦 = −2 
𝑚á𝑥{|𝑥 − 0|, |𝑦 − 2|} = |(1)𝑦 + 3||1| 𝑚á𝑥{|𝑥|, |𝑦 − 2|} = |𝑦 + 3|, 
56 
 
 su representación gráfica es la siguiente: 
 
Figura 58. Parábola en la métrica del máximo, con eje de simetría respecto al eje 𝑌. 
Fuente: Los autores. 
 
 Todos los puntos de esta parábola satisfacen la expresión 𝑚á𝑥{|𝑥|, |𝑦 − 2|} = |𝑦 + 2| por 
ejemplo el punto 𝐴(5,3) pertenece a la parábola ya que satisface la siguiente expresión: 
𝑚á𝑥{|𝑥|, |𝑦 − 2|} = |𝑦 + 2| 𝑚á𝑥{|5|, |3 − 2|} = |3 + 2| 𝑚á𝑥{5,1} = |5| 5 = 5. 
 4.3.3. Elipse. Sean 𝐹1 y 𝐹2 de coordenadas (𝑎, 𝑏) y (𝑐, 𝑑) respectivamente, focos de la elipse y 
sea 𝑘 una constante que satisface la expresión 𝑘 > 𝑑𝑀(𝐹1, 𝐹2), por la Definición 6, los puntos de 
la forma (𝑥, 𝑦) de un plano pertenecerán a la elipse en la métrica del máximo si satisface: 
𝑑𝑀(𝑃, 𝐹1) + 𝑑𝑀(𝐴, 𝐹2) = 𝑘 
 Y por la métrica del máximo se tiene: 𝑑𝑀(𝑃, 𝐹1) = 𝑚á𝑥{|𝑥 − 𝑎|, |𝑦 − 𝑏|} 𝑑𝑀(𝑃, 𝐹2) = 𝑚á𝑥{|𝑥 − 𝑐|, |𝑦 − 𝑑|} 
57 
 
 Quedando determinada la ecuación de la elipse de la siguiente forma: 𝑚á𝑥{|𝑥 − 𝑎|, |𝑦 − 𝑏|} + 𝑚á𝑥{|𝑥 − 𝑐|, |𝑦− 𝑑|} = 𝑘 
 A continuación, se muestran tres casos de la elipse en la métrica del máximo. 
 Caso I, elipse con focos 𝐹1(𝑎, 𝑏) y 𝐹2(𝑐, 𝑏). 
 
Figura 59. Elipse con focos (𝑎, 𝑏) y (𝑐, 𝑏) en la métrica del máximo. 
Fuente: Los autores. 
 
 Caso II, elipse con focos 𝐹1(𝑎, 𝑏) y 𝐹2(𝑎, 𝑑). 
 
Figura 60. Elipse con focos (a, b) y (a, d) en la métrica del máximo. 
Fuente: Los autores. 
 
58 
 
 Caso III, elipse con focos 𝐹1 y 𝐹2 de coordenadas (𝑎, 𝑏) y (𝑐, 𝑑) respectivamente. 
 
Figura 61. Elipse con focos (𝑎, 𝑏) 𝑦 (𝑐, 𝑑) en la métrica del máximo. 
Fuente: Los autores. 
 
• Elipse de focos (1,0) y (−1,0) con una constante 𝑘 = 6. 
 𝑚á𝑥{|𝑥 − 1|, |𝑦 − 0|} + 𝑚á𝑥{|𝑥 − (−1)|, |𝑦 − 0|} = 6 𝑚á𝑥{|𝑥 − 1|, |𝑦|} + 𝑚á𝑥{|𝑥 + 1|, |𝑦|} = 6. 
 
Figura 62. Elipse en la métrica del máximo con focos 𝐹1(−1,0) y 𝐹2(1,0). 
Fuente: Los autores. 
 
 A continuación, se comprueba que el punto 𝐴(−2, −3) pertenece a la elipse si satisface la 
expresión anterior. 
59 
 𝑚á𝑥{|−2 − 1|, |−3|} + 𝑚á𝑥{|−2 + 1|, |−3|} = 6 𝑚á𝑥{3,3} + 𝑚á𝑥{1,3} = 6 3 + 3 = 6. 
• Elipse cuando su eje focal mayor es paralelo al eje 𝑌, para este ejemplo los focos son de la 
forma (𝑎, 𝑏) y (𝑎, 𝑑), como se muestran en la siguiente gráfica: 
 
Figura 63. Elipse en la métrica del máximo con focos de la forma (𝑎, 𝑏) y (𝑎, 𝑑). 
Fuente: Los autores. 
 
 En este ejemplo se tienen los focos 𝐹1(5,7) y 𝐹2(5,4) y una constante 𝑘 = 3 quedando la 
siguiente expresión: 𝑚á𝑥{|𝑥 − 5|, |𝑦 − 7|} + 𝑚á𝑥{|𝑥 − 5|, |𝑦 − 4|} = 6, 
 nótese que el punto (3,5; 2,5) hace parte de esta elipse ya que satisface la anterior expresión: 
𝑚á𝑥{|3,5 − 5|, |2,5 − 7|} + 𝑚á𝑥{|3,5 − 5|, |2,5 − 4|} = 6 𝑚á𝑥{|−1,5|, |−4,5|} + 𝑚á𝑥{|−1,5|, |−1,5|} = 6 𝑚á𝑥{1,5; 4,5} + 𝑚á𝑥{1,5; 1,5} = 6 4,5 + 1,5 = 6 6 = 6. 
60 
 
• Ejemplo de elipse oblicua con la métrica del máximo en �̃�, para este ejemplo tomaremos 
como focos a 𝐹1 = (6,6) y 𝐹2 = (8,4) con constante 𝑘 = 4, quedando: 𝑚á𝑥{|𝑥 − 6|, |𝑦 − 6|} + 𝑚á𝑥{|𝑥 − 8|, |𝑦 − 4|} = 4, 
su representación es 
 
 
Figura 64. Elipse en la métrica del máximo con focos de la forma (𝑎, 𝑏) y (𝑐, 𝑑), donde 𝑎 ≠ 𝑏 ≠ 𝑐 ≠ 𝑑. 
Fuente: Los autores. 
 
 Ahora bien, revisemos que el punto 𝑃 de coordenadas (6,5; 3,5) pertenece a la parábola ya que 
satisface la siguiente expresión: 𝑚á𝑥{|𝑥 − 6|, |𝑦 − 6|} + 𝑚á𝑥{|𝑥 − 8|, |𝑦 − 4|} = 4 𝑚á𝑥{|6.5 − 6|, |3,5 − 6|} + 𝑚á𝑥{|6,5 − 8|, |3,5 − 4|} = 4 𝑚á𝑥{|0,5|, |−2,5|} + 𝑚á𝑥{|−1,5|, |−0,5|} = 4 2,5 + 1,5 = 4 4 = 4. 
 2.3.4. Hipérbola. De acuerdo a la Definición 7 se estudia la hipérbola en los siguientes casos: 
 Caso I: Sean 𝐹1, 𝐹2 de coordenadas (𝑎, 𝑏) y (𝑐, 𝑏) respectivamente, los focos de la hipérbola y 𝑃 de coordenadas (𝑥, 𝑦) un punto cualquiera que pertenezca a ella, el punto 𝑃 debe satisfacer la 
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expresión geométrica (4) y teniendo en cuenta la métrica del máximo, la distancia 𝑑(𝐹1, 𝑃) y 𝑑(𝐹2, 𝑃) están dadas por las siguientes expresiones: 
𝑑𝑀(𝐹1, 𝑃) = 𝑚á𝑥{|𝑥 − 𝑎|, |𝑦 − 𝑏|} 𝑑𝑀(𝐹2, 𝑃) = 𝑚á𝑥{|𝑥 − 𝑐|, |𝑦 − 𝑏|}. 
 Obteniendo la siguiente ecuación de hipérbola en la métrica del máximo: |𝑚á𝑥{|𝑥 − 𝑎|, |𝑦 − 𝑏|} − 𝑚á𝑥{|𝑥 − 𝑐|, |𝑦 − 𝑏|}| = 𝑘, 
 la gráfica que representa este tipo de hipérbola, tendrá la siguiente forma: 
 
Figura 65. Hipérbola en la métrica del máximo con focos de la forma (𝑎, 𝑏) y (𝑐, 𝑏). 
Fuente: Los autores. 
 
 Cao II, de forma similar al anterior, se puede llegar a la ecuación de la hipérbola con focos de 
la forma (𝑎, 𝑏) y (𝑎, 𝑑), quedando de la siguiente forma: 
|𝑚á𝑥{|𝑥 − 𝑎|, |𝑦 − 𝑏|} − 𝑚á𝑥{|𝑥 − 𝑎|, |𝑦 − 𝑑|}| = 𝑘, 
 la gráfica correspondiente a la ecuación anterior es: 
62 
 
 
Figura 66. Hipérbola en la métrica del máximo con focos de la forma (𝑎, 𝑏) y (𝑎, 𝑑). 
Fuente: Los autores. 
 
 Caso III, cuando los focos 𝐹1, 𝐹2 son de la forma (𝑎, 𝑏) y (𝑐, 𝑑) están ubicados en cualquier 
lugar del plano, conservando la estructura de la expresión geométrica (4), se tiene: 
𝑑𝑀(𝐹1, 𝑃) = 𝑚á𝑥{|𝑥 − 𝑎|, |𝑦 − 𝑏|} 𝑑𝑀(𝐹2, 𝑃) = 𝑚á𝑥{|𝑥 − 𝑐|, |𝑦 − 𝑏|}. 
 Y la ecuación obtenida al reemplazar los valores es la expresión que representa la ecuación de 
la hipérbola ubicada en cualquier lugar del plano. |𝑚á𝑥{|𝑥 − 𝑎|, |𝑦 − 𝑏|} − 𝑚á𝑥{|𝑥 − 𝑐|, |𝑦 + 𝑑|}| = 𝑘; 
 Con la anterior expresión se tiene la siguiente gráfica: 
 
Figura 67. Hipérbola en la métrica del máximo con focos de la forma 𝐹1 = (𝑎, 𝑏) y 𝐹2 = (𝑐, 𝑑). 
Fuente: Los autores. 
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Revisemos los siguientes ejemplos: 
• Hipérbola con focos (1,2), (7,2) y constante 𝑘 = 4, la ecuación de la hipérbola en la 
métrica del máximo está determinada por la siguiente expresión: |𝑚á𝑥{|𝑥 − 𝑎|, |𝑦 − 𝑏|} − 𝑚á𝑥{|𝑥 − 𝑐|, |𝑦 − 𝑑|}| = 4, 
 reemplazamos las coordenadas de los focos en la expresión anterior y tenemos: |𝑚á𝑥{|𝑥 − 1|, |𝑦 − 2|} − 𝑚á𝑥{|𝑥 − 7|, |𝑦 − 2|}| = 4. 
 La gráfica correspondiente a esta expresión es: 
 
Figura 68. Hipérbola en la métrica del máximo con focos 𝐹1 = (1,2) y 𝐹2 = (7,2). 
Fuente: Los autores. 
 
 Probamos que el punto (1,4) pertenece a la hipérbola reemplazando las coordenadas en la 
ecuación de la hipérbola. Así: |𝑚á𝑥{|𝑥 − 1|, |𝑦 − 2|} − 𝑚á𝑥{|𝑥 − 7|, |𝑦 − 2|}| = 4 |𝑚á𝑥{|1 − 1|, |4 − 2|} − 𝑚á𝑥{|1 − 7|, |4 − 2|}| = 4 |𝑚á𝑥{|0|, |2|} − 𝑚á𝑥{|−6|, |2|}| = 4 |2 − 6| = 4 4 = 4. 
• Hipérbola con focos en (4,1) y (4,8) y constante 𝑘 = 5. 
La ecuación de la hipérbola en la métrica del máximo está dada por la siguiente expresión: |𝑚á𝑥{|𝑥 − 𝑎|, |𝑦 − 𝑏|} − 𝑚á𝑥{|𝑥 − 𝑐|, |𝑦 − 𝑑|}| = 𝑘, 
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 reemplazamos las coordenadas de los focos en la expresión anterior y tenemos: |𝑚á𝑥{|𝑥 − 4|, |𝑦 − 1|} − 𝑚á𝑥{|𝑥 − 4|, |𝑦 − 8|}| = 5, 
 la gráfica correspondiente a esta expresión es: 
 
 
Figura 69. Hipérbola en la métrica del máximo con focos de la forma (4,1) y (4,8). 
Fuente: Los autores. 
 
 Probamos que el punto (6,8) pertenece a la hipérbola reemplazando las coordenadas en la 
ecuación de la hipérbola. Así: |𝑚á𝑥{|𝑥 − 4|, |𝑦 − 1|} − 𝑚á𝑥{|𝑥 − 4|, |𝑦 − 8|}| = 5 |𝑚á𝑥{|6 − 4|, |8 − 1|} − 𝑚á𝑥{|6 − 4|, |8 − 8|}| = 5 |𝑚á𝑥{|2|, |7|} − 𝑚á𝑥{|2|, |0|}| = 5 |7 − 2| = 5 5 = 5. 
• Hipérbola de focos )3,3(1F , )3,3(2 F y constante 4, reemplazamos las coordenadas de 
los focos en la siguiente expresión: |𝑚á𝑥{|𝑥 − 𝑎|, |𝑦 − 𝑏|} − 𝑚á𝑥{|𝑥 − 𝑐|, |𝑦 − 𝑑|}| = 𝑘 |𝑚á𝑥{|𝑥 − 3|, |𝑦 − 3|} − 𝑚á𝑥{|𝑥 + 3|, |𝑦 + 3|}| = 4, 
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 la gráfica correspondiente a esta expresión es: 
 
Figura 70. Hipérbola en la métrica del máximo con focos de la forma (3,3) y (−3, −3). 
Fuente: Los autores. 
 
 Ahora reemplazamos el punto que aparece en la gráfica, en la ecuación para probar que hace 
parte de la hipérbola. |𝑚á𝑥{|𝑥 − 3|, |𝑦 − 3|} − 𝑚á𝑥{|𝑥 + 3|, |𝑦 + 3|}| = 4 |𝑚á𝑥{|2 − 3|, |2 − 3|} − 𝑚á𝑥{|2 + 3|, |2 + 3|}| = 4 |𝑚á𝑥{|−1|, |−1|} − 𝑚á𝑥{|5|, |5|}| =