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PRIMER ENCUENTRO INTERNACIONAL DE MATEMÁTICAS, 
ESTADÍSTICA Y EDUCACIÓN MATEMÁTICA 
 
XXII JORNADA DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA 
 
 
CURSILLO: COMUNICACIÓN Y PENSAMIENTO VISUAL EN LA CLASE DE 
MATEMÁTICAS 
 
 
 Miguel Arcángel Díaz Moreno 
mdiazm.edumat@yahoo.es 
Grupo de Investigación PIRÁMIDE UPTC 
Profesor Escuela de Matemáticas y Estadística UPTC 
 
RESUMEN 
 
El Cursillo tiene como finalidad compartir una experiencia de aula realizadas con 
estudiantes de los dos primeros semestres del Programa de Licenciatura en Matemáticas 
de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia con la intención de mejorar 
su competencia comunicativa. 
Esta experiencia incluyó algunas modificaciones en los ambientes evaluativos y la 
inclusión de dinámicas que promovieran la observación de patrones visuales, facilitando 
la construcción de nociones y generalizaciones que involucran acciones de 
interpretación, argumentación y proposición. 
El cursillo comprende un primer momento de contextualización y reflexión teórico-
práctica, y en segundo lugar, una simulación del ambiente de aula para vivenciar 
propuestas de trabajo como el de Rutas hacia el álgebra y Raíces del álgebra elaboradas 
por John Mason, Alan Graham, David Pimm y Norman Gowar (1999), investigadores 
del Centro de Educación Matemática de la Facultad de Matemáticas de la Open 
University de Inglaterra. 
 
PALABRAS CLAVE 
 
Ver, decir, registrar, interpretar, argumentar, proponer, particularizar, conjeturar, 
generalizar. 
 
GENERALIDADES 
 
Gran parte de los conflictos entre las personas o entre ellas y su contexto tienen su 
origen en problemas de comunicación. En los ambientes educativos institucionalizados 
concebidos por la sociedad para la formación de las nuevas generaciones se juega un 
doble rol aparentemente contradictorio: el de ser depositario de toda la herencia cultural 
para que sea comprendida y valorada por los niños y jóvenes, y por otro lado, el de 
generar propuestas para transformarla buscando solucionar o prevenir nuevos 
problemas. En este proceso de conservación-renovación cultural, el aula de clase se 
constituye en uno de los espacios en los que se concreta, con más frecuencia, el diálogo 
 
 
 
formativo a través de los procesos de enseñanza y de aprendizaje, procesos cuya 
reflexión da origen (y a la vez son orientados por) la Pedagogía y la Didáctica. Es 
oportuno citar aquí la propuesta de Tamayo de “…ubicar como núcleo de la 
competencia pedagógica, la competencia comunicativa…” (Tamayo, 2003, p. 3), en el 
sentido de señalar igualmente que la mayoría de los fracasos que se presentan en el aula 
de clase se deben a fallas en la competencia comunicativa de profesores o alumnos, 
competencia que “…hace referencia al poder que tiene un hablante para comunicarse de 
manera eficaz en contextos culturalmente significantes” (Hernández, Rocha y Verano, 
1998, p. 30) y que comprende las (sub)competencias interpretativa, argumentativa y 
propositiva. 
 
En el caso particular de la clase de matemáticas la situación comunicativa se complica 
con el uso de otros sistemas de símbolos propios de la disciplina, manejados algunas 
veces con relativo éxito operatorio por los estudiantes, pero carentes de significado, 
dificultando su aprendizaje aún en los estudiantes que han decidido cursar un programa 
académico que tenga estrecha relación con ella, por lo tanto, es necesario investigar 
nuevas alternativas para trabajar en el aula en los diferentes niveles del sistema 
educativo o al menos conocer, practicar y evaluar las propuestas que ya existen y que 
buscan hacer más agradable la relación del estudiante con las matemáticas y desde 
luego con el docente. 
 
De manera informal es compartido por la mayoría de colegas que orientan cursos de 
matemáticas en los primeros semestres de universidad, el estado de confusión que 
tienen los estudiantes frente al manejo de los sistemas algebraicos, hecho que se refleja 
en los resultados de las Pruebas de Estado que aplica el ICFES. Ante esta situación, 
algunos programas académicos han incluido una asignatura de Precálculo o 
Matemáticas Fundamentales con el objetivo de hacer una nivelación, y en otros casos se 
desarrolla por lo menos una unidad de repaso, a pesar de lo cual, en el semestre 
siguiente buena parte de esas dificultades permanecen. 
 
La ausencia de un sistema conceptual y de imágenes mentales que respalden el uso de 
reglas operatorias entre símbolos, hacen que la mayoría de estudiantes que ingresan a la 
universidad tengan un recuerdo muy superficial y distorsionado sobre el manejo de 
variables y expresiones algebraicas. Los aportes de John Mason y Carlos Vasco, entre 
otros, facilitan la creación de caminos alternativos para construir de manera más sólida 
y agradable las rutinas algebraicas, mediante la identificación de patrones visuales y el 
desarrollo de la competencia comunicativa oral y escrita, que conduzcan al desarrollo de 
un pensamiento variacional 
 
Las razones para explicar estas deficiencias son variadas, incluyen inadecuadas formas 
de enseñanza, de aprendizaje y de evaluación, y una concepción equivocada de álgebra. 
Para Mason (1999) “Con demasiada frecuencia el álgebra es enseñada como si ésta 
fuera un cuerpo de conocimiento, y no como una herramienta que ayuda a la expresión 
y manipulación de generalizaciones” (p. 110). 
 
En los vagos recuerdos de muchos estudiantes se alcanzan a identificar expresiones con 
números y letras (especialmente x y y), factorizaciones y ecuaciones; pero hay que 
empezar de nuevo con ellos a explorar los sistemas concretos o familiares que faciliten 
la construcción de los sistemas conceptuales y la adopción de diferentes sistemas 
simbólicos más adecuados, con sus interrelaciones, para consolidar la estructuración de 
 
 
un pensamiento variacional, considerado como uno de los más importantes en la 
Educación Matemática de hoy. 
 
El doctor Carlos Eduardo Vasco Uribe escribe a propósito: 
 
 (…) Todo lo anterior resalta la importancia de la principal 
innovación que trae el nuevo documento de lineamientos 
curriculares para el área de matemáticas. Allí se propone que 
el tipo de pensamiento que vamos a cultivar más en el Siglo 
XXI es el llamado “pensamiento variacional”, y no tanto los 
sistemas analíticos (y en particular los sistemas operacionales 
o “algebraicos”), los cuales por más que sean herramientas 
indispensables para desarrollar ese pensamiento, nunca lo 
agotan. No hay pues que preocuparse tanto por el sistema 
simbólico de la mal llamada “álgebra de bachillerato”. No 
hay que pensar directamente en ella como sistema 
conceptual, porque no lo es: es sólo un sistema simbólico, 
¿Pero para simbolizar qué? (2000, p. 26). 
 
Para mí, el principal propósito del pensamiento variacional es 
la modelación y no es propiamente la resolución de 
problemas ni de ejercicios. (…) Para poder resolver un 
problema interesante tengo que armar primero un modelo de 
la situación en donde las variables covaríen en forma 
semejante a las de la situación problemática, y no puedo 
hacerlo sin activar mi pensamiento variacional. (2003, p. 71) 
 
Tomar como punto de partida el pensamiento visual desarrollado a partir de modelos 
dinámicos materiales o gráficos, supone un atractivo para el observador, sin olvidar que 
el hecho de cautivarse o de interesarse es consecuencia misma de una respuesta en las 
estructuras mentales del quien observa. “La mirada puede encontrar belleza y arte en la 
naturaleza, pero es ella la que construye en la naturaleza la belleza. En cierto sentido, la 
mirada se encanta con lo que ella misma crea, porque construye el paisaje, lo convierte 
en un objeto de la representacióny es en ésta en donde reconoce la belleza.” 
(Hernández, Rocha y Verano, 1998, p. 46). El paisaje en el caso que nos ocupa es un 
diseño, al menos inicialmente, del profesor de matemáticas, para tratar de seducir la 
mirada atenta de los estudiantes y poder identificar qué es lo que permanece invariante, 
qué es lo que varía y cómo varía, para ir creando modelos mentales de variación 
elemental. 
 
El pensamiento variacional que permitirá el manejo de los sistemas analíticos y de su 
objeto fundamental, el concepto de función, inicia su desarrollo desde los primeros 
grados de educación básica primaria cuando el estudiante trabaja en forma activa 
dramatizando el efecto de operadores naturales aditivos o multiplicativos, para 
posteriormente llenar casillas en expresiones como + 3 = 5, o en diagramas de 
flechas que los representan. A partir del grado octavo se hace la introducción de otros 
sistemas simbólicos, en la mayoría de los casos para presentar sin las condiciones y 
reflexiones adecuadas el álgebra como la aritmética generalizada. 
 
 
 
La tendencia a hacer generalizaciones es una función natural del cerebro humano y tiene 
sus primeras manifestaciones cuando un bebé observa, escucha, palpa y pone en juego 
todos los sensores para interiorizar sus acciones. Jean Piaget describe las diferentes 
etapas por las que pasa el desarrollo de la inteligencia humana, desde el pensamiento 
sensoriomotor hasta el pensamiento formal o hipotético-deductivo. (Piaget, 1975). 
 
Una noción, un concepto, una estructura o una categoría se obtienen como resultado de 
procesos de generalización cada vez más complejos que requieren identificar 
diferencias y similitudes, abstraer qué cambia y qué permanece invariante, por lo que 
son construcciones que requieren tiempo y dedicación. Éstos son elementos para 
construir pensamiento matemático y por supuesto, deben constituirse en objeto de 
análisis de la educación matemática actual. “La expresión de la generalidad forma la 
raíz básica del álgebra porque ésta les da significado a los símbolos que después hay 
que manipular. Expresar la generalidad que uno percibe es tanto un placer como un 
esfuerzo” (Mason, 1999, p.106). El uso significativo de este nuevo lenguaje simbólico, 
se constituye en un nuevo peldaño para conquistar nuevas generalizaciones como 
expresión de un pensamiento variacional más complejo. 
 
La capacidad de generalizar requiere atención y concentración y una vez conquistada 
hay que superar otro reto, expresarla. Aquí entra en juego el desarrollo de la 
competencia comunicativa tanto oral como escrita, primero usando el lenguaje 
cotidiano, gráficos y diagramas para convencer(se) de qué generalización se obtuvo y 
sobre todo cómo se obtuvo, recalcando de esta manera la importancia que debe tener (en 
matemáticas) el procedimiento y la argumentación que justifican una respuesta; y 
luego, empleando un lenguaje más especializado: el algebraico. Antes de socializar o 
hacer pública una generalización debe considerarse inicialmente como una conjetura y 
por lo tanto someterla a prueba examinándola con varios casos particulares para 
verificar su cumplimiento. Esto proporciona mayor entendimiento y por lo tanto más 
confianza para explicar con claridad y sencillez las razones que sustentan la 
generalización. 
 
 “No entiendes realmente algo a menos que 
 seas capaz de explicárselo a tu abuela” 
 (Albert Einstein) 
 
Hay diversos tipos de generalización en matemáticas con variadas estrategias de apoyo. 
En el cursillo se hace énfasis en el pensamiento visual y la comunicación (Ver-Decir-
Registrar), por su atractivo para los que se inician o no fueron adecuadamente iniciados 
en el trabajo con las variables y con las reglas algebraicas, pues permite la posibilidad 
de ver para identificar patrones en una secuencia de configuraciones o arreglos 
geométricos. El trabajo con números figurados referenciados por Eves (1969) 
proporciona una fuente fascinante de recursos y posibilidades para el desarrollo creativo 
y lúdico del pensamiento variacional en concordancia con la naturaleza Homo Ludens 
(Huizinga, citado en De Zubiría, 1992) del ser humano, así que la actividad lúdica es 
siempre bienvenida en los ambientes de aprendizaje sin importar el nivel educativo. 
 
“la madurez del hombre es haber vuelto a 
 encontrar la seriedad con la que jugaba 
 cuando era niño” 
 (Federico Nietzsche) 
 
 
 
 
DESARROLLO: El trabajo se programa para tres sesiones de una hora, en las que se 
combinará la reflexión teórica pedagógica y didáctica con el desarrollo de acciones 
comunicativas para lograr: 
 
 
 Identificar criterios para ambientar sesiones de aprendizaje que favorezcan el 
desarrollo del pensamiento matemático y la competencia comunicativa. 
 Afinar el proceso de observación de modelos concretos o gráficos para 
identificar patrones visuales. 
 Comunicar en forma oral y escrita el registro de generalidades. 
 Construir caminos que representen reglas de asignación. 
 
 
BIBLIOGRAFÍA: 
 
Eves, H. (1969). Estudio de las geometrías. México: UTEHA. 
 
De Zubiría M., & De Zubiría J. (1992). Biografía del Pensamiento. Bogotá: Cooperativa 
Editorial Magisterio. 
 
Hernández, C., Rocha, A. y Verano, L. (1998). Exámenes de Estado: Una propuesta de 
 Evaluación por Competencias. ICFES. 
 
Mason, J., Graham, A., Pimm, D. & Gowar, N (1999). Rutas hacia el algebra y Raíces 
del álgebra. Traducción y edición de Cecilia Agudelo Valderrama. Tunja: 
Sección de Publicaciones, UPTC. 
 
Tamayo, V. Alfonso. (2003). Cuatro tendencias de la Pedagogía en Colombia. Acción 
Pedagógica, No 31 UPTC, Tunja. 
 
Vasco, C. (2000) Las Competencias Matemáticas. En: Publicación Universidad 
del Valle. Compilación de María Amilba Ramírez Idrobo. Cali. 
 
________. (2003) El pensamiento variacional, la modelación y las nuevas tecnologías. 
En: Tecnologías computacionales en el currículo de matemáticas, Ministerio de 
Educación Nacional. Bogotá. 
 
Piaget, J. (1975). Seis Estudios de Psicología. Barcelona: Barral Editores. 
 
 
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M.A.D.M. 13-05-2011