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Analisis-teorema-stokes-variedades

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 ENCUENTRO FACULTAD DE CIENCIAS-UPTC 
Décima Versión 
II ENCUENTRO NACIONAL 
Segunda Versión 
“Ciencia, Tecnología e Innovación en la Sociedad” 
6, 7 y 8 de octubre 2015 - Tunja, Colombia 
ISSN 2389-8321 (en línea) 
 
 
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4.3.2 ANÁLISIS DEL TEOREMA DE STOKES EN VARIEDADES. 
Lizeth Estevez1. 
1Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia, Av. Central Norte, 
Tunja, Colombia. 
2.Grupo de álgebra y análisis. 
*alexa_estevez@hotmail.com 
 
Introducción 
Podría pensarse que la relación más simple que existe entre la integral 
sobre un conjunto y la integral sobre su borde, la da sin duda el Teorema 
Fundamental de Cálculo con la importante igualdad que establece: 
 
� �������
�	,��

 ���� � ����,																																																																																�1� 
 
cuya generalización se encuentra expresada en el Teorema de Stokes 
para variedades. Tres casos particulares de este último son la raíz de su 
existencia [1] y además el centro del cálculo vectorial, ellos son los 
Teoremas de Green, Stokes (clásico) y Gauss (o de la Divergencia), que 
curiosamente ninguno corresponde a su supuesto autor. A continuación se 
recuerdan brevemente (remitirse a [2] para ver el enunciado completo): 
 
Teorema 1. (Teorema de Green): Sea �	⊂	�� la unión de una curva simple 
cerrada � con la región que ella encierra, entonces 
 
� ������ �
��
���	��	�� 
 	 � ��� � ���.! 																																																																			�2� 
 
Teorema 2. (Teorema de Stokes Clásico): Sea � una superficie en �#, 
 
� �rot		'� ∙ )*+	��
�

 	 � ' ∙ �,
-�
.																																																																										�3� 
 
 
Teorema 3. (Teorema de la Divergencia): Para un dominio / en �#, 
acotado por una superficie �, 
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0 �div	F�	��	��	�5 
 	 � F ∙ )*+
�
	��.																																																																								�4�
7
 
 
Es evidente que las expresiones (2), (3) y (4) mantienen la misma relación 
descrita anteriormente para (1), así que entender cómo se unifican en el 
enunciado del Teorema de Stokes requiere de una cantidad considerable 
de nociones, resultados y herramientas, principalmente de la geometría 
diferencial, el análisis matemático, la topología y el cálculo multivariado. 
Con el fin de lograr esto se debe hacer un recorrido por el mundo de las 
variedades y ver cómo es posible llevar a cabo en ellas el cálculo 
diferencial y el cálculo integral que se conoce para los espacios 
euclidianos. Entonces, se proporcionará de manera esencial y concreta, 
una recopilación de la teoría necesaria para finalmente dar los detalles de 
la demostración del Teorema de Stokes, tal como se conoce hoy en día. 
 
 
Definiciones y conceptos básicos 
El concepto de forma diferencial y su operador derivada exterior �, 
generalizan los conceptos de campo escalar, campo vectorial y sus 
operadores 8, rot	y	div, cuando se pasa de �# a �:, por lo tanto ellas 
resultan ser elementos apropiados para ser integrados. 
 
Sea / un espacio vectorial sobre � de dimensión finita, una función �:	/< ⟶
� se llama > �tensor en / si es lineal en cada variable. El conjunto de 
todos los ? �tensores se denota por @<�/� y tiene estructura de espacio 
vectorial. Un ? �tensor es alternado, si para toda permutación A ∈ �< 
 
�CDE�F�, … , DE�<�H 
 �IJ)	σ���DF, … , D<�. 
 
El conjunto de los ? �tensores alternados forman un subespacio vectorial 
de @<�/�, que será denotado por ⋀<�/�. 
 
Para definir las formas diferenciales, es necesario un concepto previo. Sea 
M ∈ �:, se denota por NO�: 
 P�M; D�: D ∈ �:R al espacio tangente a �: en M 
(ver definición [3]), para el que se definen las operaciones 
 
�M; D� � �M; S� 
 �M; D � S�, 
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T�M; D� 
 �M; TD�, 
 
bajo las cuales es un espacio vectorial real isomorfo a �:. 
 
Definición 1. (Forma diferencial en �:): Sea U un subconjunto abierto de 
�:. Una ? �forma diferencial es una función ω que asigna a cada M ∈ U	un 
? �tensor alternado en el espacio tangente NO�:, es decir, para cada M ∈ U 
 
W�M� ∈ ⋀<CNO�:H. 
 
El conjunto de las ? �formas diferenciales en U se denota por Ω<�U�. 
 
En el contexto a considerar, los conjunto sobre los cuales se efectúan la 
integración corresponden a las variedades diferenciables en el espacio 
euclidiano, cuyos casos particulares más aliados a la intuición son las 
curvas y las superficies regulares en ��y en �#[4,5]. De forma más general, 
las variedades se interpretan como conjuntos de puntos tales que el 
entorno de cada uno de ellos es homeomorfo a un conjunto abierto del 
espacio euclidiano. 
 
Definición 2. (Variedad en �:): Sea Y ⊂ �: un conjunto que tiene que tiene 
la siguiente propiedad: para cada M ∈ Y, existe un conjunto abierto Y que 
contiene a M, un conjunto abierto U en Z<o en �< con ? [ 0 y una función 
,: U ⟶ / tal que: 
 
i. , es de clase �]. 
ii. , es un homeomorfismo. 
iii. ^,��� tiene rango ? para cada � ∈ U. 
 
Entonces Y es una ? �variedad con borde en �:, de clase �], [3]. 
 
Finalmente, se enuncia el teorema principal del trabajo: 
 
Teorema 4. (Teorema de Stokes): Si Y es una ? �variedad orientada 
compacta con borde y ω es una �? � 1� �forma diferencial en Y, entonces 
� �ω
_

 	 � ω
-_
. 
 
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Demostración: [6,7]. 
 
Resultados y Discusión 
 
El importante resultado obtenido fue la construcción de un texto de 
revisión bibliográfica y de recopilación de información, en el cual se 
describió y se ejemplificó de manera clara cada elemento que envuelve el 
enunciado del Teorema de Stokes en variedades, además, se dió de 
manera detallada la demostración de dicho teorema. En lo que respecta 
al tema tratado, se confirmó que el Teorema de Stokes en variedades es la 
gran generalización de los Teoremas Integrales del Cálculo: Teorema 
Fundamental del Cálculo tomando una 0-forma diferencial en �, Teorema 
de Green tomando una 1-forma en ��, Teorema de Stokes Clásico 
tomando una 1-forma en �# y Teorema de la Divergencia tomando una 2-
forma en �#. 
 
 
Importancia y aplicación 
 
El Teorema de Stokes es una herramienta fuerte cuando se abarcan 
problemas en el campo de las ciencias. Sus aplicaciones son fuertes en la 
Física y en las Matemáticas, y comprenden terrenos de la geometría 
diferencial, la variable compleja y las ecuaciones diferenciales parciales. 
 
Referencias 
1. Katz, V. J. “The History of Stokes’ Theorem” Mathematics Magazine, 
Vol 52 p.146-156 (1979). 
2. Apostol, T. M. Calculus, Vol 2. Reverté S.A., (1988). 
3. Munkres, J. R. Analysis on Manifolds. Addison-Wesley Publising 
Compañy, (1990). 
4. Do Carmo, M. P. Differential Geometry of Curves and Surfaces. 
Prentice-Hall, Inc, (1976). 
5. Pollack, A., Guillemin, V., Differential Topology. American 
Mathematical Soc, (2010). 
6. Lee, J. Introduction to Smooth Manifolds. Springer Science Bussiness 
Media, (2012). 
7. Tu, L. W. An Introduction to Manifolds.Springer, (2008). 
8. Spivak, M. Cálculo en Variedades. Reverté S.A., (1970). 
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