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repositorio.uptc@uptc.edu.corepositorio.uptc@uptc.edu.co ENCUENTRO FACULTAD DE CIENCIAS-UPTC Décima Versión II ENCUENTRO NACIONAL Segunda Versión “Ciencia, Tecnología e Innovación en la Sociedad” 6, 7 y 8 de octubre 2015 - Tunja, Colombia ISSN 2389-8321 (en línea) 74 CIEC 4.3.2 ANÁLISIS DEL TEOREMA DE STOKES EN VARIEDADES. Lizeth Estevez1. 1Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia, Av. Central Norte, Tunja, Colombia. 2.Grupo de álgebra y análisis. *alexa_estevez@hotmail.com Introducción Podría pensarse que la relación más simple que existe entre la integral sobre un conjunto y la integral sobre su borde, la da sin duda el Teorema Fundamental de Cálculo con la importante igualdad que establece: � ������� � ,�� ���� � ����, �1� cuya generalización se encuentra expresada en el Teorema de Stokes para variedades. Tres casos particulares de este último son la raíz de su existencia [1] y además el centro del cálculo vectorial, ellos son los Teoremas de Green, Stokes (clásico) y Gauss (o de la Divergencia), que curiosamente ninguno corresponde a su supuesto autor. A continuación se recuerdan brevemente (remitirse a [2] para ver el enunciado completo): Teorema 1. (Teorema de Green): Sea � ⊂ �� la unión de una curva simple cerrada � con la región que ella encierra, entonces � ������ � �� ��� �� �� � ��� � ���.! �2� Teorema 2. (Teorema de Stokes Clásico): Sea � una superficie en �#, � �rot '� ∙ )*+ �� � � ' ∙ �, -� . �3� Teorema 3. (Teorema de la Divergencia): Para un dominio / en �#, acotado por una superficie �, ENCUENTRO FACULTAD DE CIENCIAS-UPTC Décima Versión II ENCUENTRO NACIONAL Segunda Versión “Ciencia, Tecnología e Innovación en la Sociedad” 6, 7 y 8 de octubre 2015 - Tunja, Colombia ISSN 2389-8321 (en línea) 75 CIEC 0 �div F� �� �� �5 � F ∙ )*+ � ��. �4� 7 Es evidente que las expresiones (2), (3) y (4) mantienen la misma relación descrita anteriormente para (1), así que entender cómo se unifican en el enunciado del Teorema de Stokes requiere de una cantidad considerable de nociones, resultados y herramientas, principalmente de la geometría diferencial, el análisis matemático, la topología y el cálculo multivariado. Con el fin de lograr esto se debe hacer un recorrido por el mundo de las variedades y ver cómo es posible llevar a cabo en ellas el cálculo diferencial y el cálculo integral que se conoce para los espacios euclidianos. Entonces, se proporcionará de manera esencial y concreta, una recopilación de la teoría necesaria para finalmente dar los detalles de la demostración del Teorema de Stokes, tal como se conoce hoy en día. Definiciones y conceptos básicos El concepto de forma diferencial y su operador derivada exterior �, generalizan los conceptos de campo escalar, campo vectorial y sus operadores 8, rot y div, cuando se pasa de �# a �:, por lo tanto ellas resultan ser elementos apropiados para ser integrados. Sea / un espacio vectorial sobre � de dimensión finita, una función �: /< ⟶ � se llama > �tensor en / si es lineal en cada variable. El conjunto de todos los ? �tensores se denota por @<�/� y tiene estructura de espacio vectorial. Un ? �tensor es alternado, si para toda permutación A ∈ �< �CDE�F�, … , DE�<�H �IJ) σ���DF, … , D<�. El conjunto de los ? �tensores alternados forman un subespacio vectorial de @<�/�, que será denotado por ⋀<�/�. Para definir las formas diferenciales, es necesario un concepto previo. Sea M ∈ �:, se denota por NO�: P�M; D�: D ∈ �:R al espacio tangente a �: en M (ver definición [3]), para el que se definen las operaciones �M; D� � �M; S� �M; D � S�, ENCUENTRO FACULTAD DE CIENCIAS-UPTC Décima Versión II ENCUENTRO NACIONAL Segunda Versión “Ciencia, Tecnología e Innovación en la Sociedad” 6, 7 y 8 de octubre 2015 - Tunja, Colombia ISSN 2389-8321 (en línea) 76 CIEC T�M; D� �M; TD�, bajo las cuales es un espacio vectorial real isomorfo a �:. Definición 1. (Forma diferencial en �:): Sea U un subconjunto abierto de �:. Una ? �forma diferencial es una función ω que asigna a cada M ∈ U un ? �tensor alternado en el espacio tangente NO�:, es decir, para cada M ∈ U W�M� ∈ ⋀<CNO�:H. El conjunto de las ? �formas diferenciales en U se denota por Ω<�U�. En el contexto a considerar, los conjunto sobre los cuales se efectúan la integración corresponden a las variedades diferenciables en el espacio euclidiano, cuyos casos particulares más aliados a la intuición son las curvas y las superficies regulares en ��y en �#[4,5]. De forma más general, las variedades se interpretan como conjuntos de puntos tales que el entorno de cada uno de ellos es homeomorfo a un conjunto abierto del espacio euclidiano. Definición 2. (Variedad en �:): Sea Y ⊂ �: un conjunto que tiene que tiene la siguiente propiedad: para cada M ∈ Y, existe un conjunto abierto Y que contiene a M, un conjunto abierto U en Z<o en �< con ? [ 0 y una función ,: U ⟶ / tal que: i. , es de clase �]. ii. , es un homeomorfismo. iii. ^,��� tiene rango ? para cada � ∈ U. Entonces Y es una ? �variedad con borde en �:, de clase �], [3]. Finalmente, se enuncia el teorema principal del trabajo: Teorema 4. (Teorema de Stokes): Si Y es una ? �variedad orientada compacta con borde y ω es una �? � 1� �forma diferencial en Y, entonces � �ω _ � ω -_ . ENCUENTRO FACULTAD DE CIENCIAS-UPTC Décima Versión II ENCUENTRO NACIONAL Segunda Versión “Ciencia, Tecnología e Innovación en la Sociedad” 6, 7 y 8 de octubre 2015 - Tunja, Colombia ISSN 2389-8321 (en línea) 77 CIEC Demostración: [6,7]. Resultados y Discusión El importante resultado obtenido fue la construcción de un texto de revisión bibliográfica y de recopilación de información, en el cual se describió y se ejemplificó de manera clara cada elemento que envuelve el enunciado del Teorema de Stokes en variedades, además, se dió de manera detallada la demostración de dicho teorema. En lo que respecta al tema tratado, se confirmó que el Teorema de Stokes en variedades es la gran generalización de los Teoremas Integrales del Cálculo: Teorema Fundamental del Cálculo tomando una 0-forma diferencial en �, Teorema de Green tomando una 1-forma en ��, Teorema de Stokes Clásico tomando una 1-forma en �# y Teorema de la Divergencia tomando una 2- forma en �#. Importancia y aplicación El Teorema de Stokes es una herramienta fuerte cuando se abarcan problemas en el campo de las ciencias. Sus aplicaciones son fuertes en la Física y en las Matemáticas, y comprenden terrenos de la geometría diferencial, la variable compleja y las ecuaciones diferenciales parciales. Referencias 1. Katz, V. J. “The History of Stokes’ Theorem” Mathematics Magazine, Vol 52 p.146-156 (1979). 2. Apostol, T. M. Calculus, Vol 2. Reverté S.A., (1988). 3. Munkres, J. R. Analysis on Manifolds. Addison-Wesley Publising Compañy, (1990). 4. Do Carmo, M. P. Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall, Inc, (1976). 5. Pollack, A., Guillemin, V., Differential Topology. American Mathematical Soc, (2010). 6. Lee, J. Introduction to Smooth Manifolds. Springer Science Bussiness Media, (2012). 7. Tu, L. W. An Introduction to Manifolds.Springer, (2008). 8. Spivak, M. Cálculo en Variedades. Reverté S.A., (1970). ENCUENTRO FACULTAD DE CIENCIAS-UPTC Décima Versión II ENCUENTRO NACIONAL Segunda Versión “Ciencia, Tecnología e Innovación en la Sociedad” 6, 7 y 8 de octubre 2015 - Tunja, Colombia ISSN 2389-8321 (en línea) 78 CIEC
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