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UNA APROXIMACIÓN A LOS TEOREMAS DE INCOMPLETITUD DE KURT 
GÖDEL
José Nicolás Nájar Salinas*
*Grupo de Álgebra y Análisis, Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia, 
Av. Central del norte, Tunja, Colombia, jose.najar@uptc.edu.co, 
niconajar@hotmail.com
Resumen: Los teoremas de incompletitud, demostrados por el célebre matemático Kurt 
Gödel en el año 1930 son de los teoremas más famosos fuera de las matemáticas. 
Debido a la naturaleza formal de éstos, generalmente no son tan sencillos de 
interpretar, pero dada su importancia se afirma que su postulación cambió la cara de 
la lógica matemática y que aún continúan contribuyendo a su desarrollo. Se piensa que 
el trabajo de Gödel fue uno de los más grandes golpes al programa de formalización de 
David Hilbert, sobre todo el segundo teorema de incompletitud, ya que hay muchas 
afirmaciones que no son ciertas sobre ellos. Además se puede decir que son los 
teoremas más importantes de la lógica formal. El objetivo de ésta charla es indagar 
sobre el primero de éstos teoremas; su demostración y su importancia en los sistemas 
deductivos.
Palabras clave: conectivos unarios y binarios, variables proposicionales, constantes 
proposicionales, axiomatización de Peano. 
1. Vida y obra de Kurt Gödel. 
Kurt Gödel fue un lógico matemático estadounidense de origen austriaco, nació 
en Brünn, Moravia (Austria, Hungría), en 1930 entró a formar parte del cuerpo 
docente de la Universidad de Viena, conocido por sus dos famosos teoremas de 
incompletitud publicados en un artículo del año 1931 el cual llevo el nombre de 
“Sobre proposiciones formalmente indecidibles del Principia Mathematica y 
sistemas relacionados”, y fue precisamente éste artículo el que le dio su fama, se 
destaca también por hacer contribuciones a la teoría de conjuntos, su aporte al 
problema de la decisión, definió por primera vez funciones recursivas, probó la 
consistencia de la lógica, entre muchas otras cosas. Murió de inanición el 14 de 
enero de 1978.
2. Primer Teorema de Incompletitud. 
mailto:niconajar@hotmail.com
mailto:jose.najar@uptc.edu.co
Los teoremas de Gödel son resultados en la lógica de primer orden, como bien 
es sabido, en esta lógica las afirmaciones matemáticas y las deducciones a partir 
de éstas se escriben con una serie de variables, constantes proposicionales, un 
número finito de conectivos proposicionales unitarios, binarios, y paréntesis. 
Este teorema dice que todo sistema axiomático lo suficientemente rico como 
para descubrir la aritmética es de necesidad incompleto o incoherente.
2.1. Demostración del teorema de incompletitud.
El enunciado del teorema de incompletitud que se tratará es el siguiente:
“no existe ningún algoritmo cuya salida contenga todos los enunciados 
verdaderos de la aritmética y ninguno falso”
En la demostración de este teorema, unos de los recursos más utilizados son: la 
aritmética en los números naturales, la axiomatización hecha por Peano, las 
operaciones de multiplicación y suma, y algunas afirmaciones hechas sobre el 
conjunto de los números naturales.
2.2. Importancia del primer teorema de incompletitud
Después de este teorema los matemáticos entendieron que no hay un sistema 
lógico deductivo en que se pueda incluir la aritmética y el resultado más 
importante es que la matemática no se puede reducir a la lógica.
BIBLIOGRAFIA
[1] GUTIÉRREZ, CLAUDIO, El teorema de incompletitud de Gödel (Versión para no 
iniciados), Revista Cubo Matemático, Universidad de la Frontera, Vol. 1, Pág. (68-75), 
1999.
[2] BOOLOS, GEORGE, Una demostración del Teorema de Incompletitud de Gödel, 
La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española, Real Sociedad Matemática 
Española, Pág. (521-527).

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