Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Vista previa del material en texto
repositorio.uptc@uptc.edu.corepositorio.uptc@uptc.edu.co UNA APROXIMACIÓN A LOS TEOREMAS DE INCOMPLETITUD DE KURT GÖDEL José Nicolás Nájar Salinas* *Grupo de Álgebra y Análisis, Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia, Av. Central del norte, Tunja, Colombia, jose.najar@uptc.edu.co, niconajar@hotmail.com Resumen: Los teoremas de incompletitud, demostrados por el célebre matemático Kurt Gödel en el año 1930 son de los teoremas más famosos fuera de las matemáticas. Debido a la naturaleza formal de éstos, generalmente no son tan sencillos de interpretar, pero dada su importancia se afirma que su postulación cambió la cara de la lógica matemática y que aún continúan contribuyendo a su desarrollo. Se piensa que el trabajo de Gödel fue uno de los más grandes golpes al programa de formalización de David Hilbert, sobre todo el segundo teorema de incompletitud, ya que hay muchas afirmaciones que no son ciertas sobre ellos. Además se puede decir que son los teoremas más importantes de la lógica formal. El objetivo de ésta charla es indagar sobre el primero de éstos teoremas; su demostración y su importancia en los sistemas deductivos. Palabras clave: conectivos unarios y binarios, variables proposicionales, constantes proposicionales, axiomatización de Peano. 1. Vida y obra de Kurt Gödel. Kurt Gödel fue un lógico matemático estadounidense de origen austriaco, nació en Brünn, Moravia (Austria, Hungría), en 1930 entró a formar parte del cuerpo docente de la Universidad de Viena, conocido por sus dos famosos teoremas de incompletitud publicados en un artículo del año 1931 el cual llevo el nombre de “Sobre proposiciones formalmente indecidibles del Principia Mathematica y sistemas relacionados”, y fue precisamente éste artículo el que le dio su fama, se destaca también por hacer contribuciones a la teoría de conjuntos, su aporte al problema de la decisión, definió por primera vez funciones recursivas, probó la consistencia de la lógica, entre muchas otras cosas. Murió de inanición el 14 de enero de 1978. 2. Primer Teorema de Incompletitud. mailto:niconajar@hotmail.com mailto:jose.najar@uptc.edu.co Los teoremas de Gödel son resultados en la lógica de primer orden, como bien es sabido, en esta lógica las afirmaciones matemáticas y las deducciones a partir de éstas se escriben con una serie de variables, constantes proposicionales, un número finito de conectivos proposicionales unitarios, binarios, y paréntesis. Este teorema dice que todo sistema axiomático lo suficientemente rico como para descubrir la aritmética es de necesidad incompleto o incoherente. 2.1. Demostración del teorema de incompletitud. El enunciado del teorema de incompletitud que se tratará es el siguiente: “no existe ningún algoritmo cuya salida contenga todos los enunciados verdaderos de la aritmética y ninguno falso” En la demostración de este teorema, unos de los recursos más utilizados son: la aritmética en los números naturales, la axiomatización hecha por Peano, las operaciones de multiplicación y suma, y algunas afirmaciones hechas sobre el conjunto de los números naturales. 2.2. Importancia del primer teorema de incompletitud Después de este teorema los matemáticos entendieron que no hay un sistema lógico deductivo en que se pueda incluir la aritmética y el resultado más importante es que la matemática no se puede reducir a la lógica. BIBLIOGRAFIA [1] GUTIÉRREZ, CLAUDIO, El teorema de incompletitud de Gödel (Versión para no iniciados), Revista Cubo Matemático, Universidad de la Frontera, Vol. 1, Pág. (68-75), 1999. [2] BOOLOS, GEORGE, Una demostración del Teorema de Incompletitud de Gödel, La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española, Real Sociedad Matemática Española, Pág. (521-527).
Compartir