Objetivación do Número Racional através da Medição

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II Encuentro Internacional de Matemáticas, Estadística y Educación Matemática 2013 
 
LA OBJETIVACIÓN DEL NÚMERO RACIONAL DESDE LOS PROCESOS DE 
MEDICIÓN 
José Wilde Cisneros*; y Sandra Yaned Cadavid Muñoz** 
*Universidad de Antioquia, IE Andrés Bello jose.wilde@ gmail.com 
**Universidad de Antioquia sarapaulina22@yahoo.es 
 
 
RESUMEN 
 
Los lineamientos curriculares de matemáticas de Colombia, proponen un enfoque que busca el 
desarrollo de competencias que permita a los alumnos afrontar los problemas matemáticos de la 
vida y del trabajo empleando los mejores medios posibles, para ello, las instituciones educativas 
podrían adelantar esfuerzos para proponer procesos de aprendizaje matemático que armonicen el 
desarrollo del pensamiento matemático con actividades matemáticas que ayuden al desarrollo en la 
formación de sujetos críticos. Para ello, esta investigación pretende analizar la objetivación del 
número racional desde los procesos de medición que generan la razón, basado en un paradigma 
cualitativo teniendo como soporte el estudio de casos, el cual se focaliza en la interacción social de 
los sujetos y la mediación instrumental, que presentan como fundamentación la Teoría de la 
Actividad de Leontiev (1978), y los aportes de Radford (2006, 2011, 2013) desde la teoría de la 
objetivación. 
 
 ABSTRACT 
The math curriculum guidelines Colombia, propose an approach that seeks to develop skills that 
allow students to deal with mathematical problems of life and work using the best possible means to 
this end, educational institutions could advance efforts to propose processes mathematical learning 
to harmonize the development of mathematical thinking with mathematical activities that support 
the development in the formation of critical. To this end, this research aims to analyze the 
objectification of rational number measurement processes that generate the right, based on a 
qualitative paradigm as support taking the case study, which focuses on social interaction and 
instrumental mediation subjects , posing as the basis of Activity Theory Leontiev (1978), and input 
from Radford (2006, 2011, 2013) from the theory of objectification. 
PALABRAS CLAVE: actividad, mediación, razón, objetivación, número racional. 
 
1. INTRODUCCIÓN. 
 
 Esta comunicación da cuenta de la investigación en proceso, donde se pretende analizar la forma 
en que los alumnos del grado séptimo de la Institución Educativa Andrés Bello del municipio de 
Bello (IEAB), objetivan el número racional, la pregunta que se genera es, ¿Cómo objetivar el 
número racional, a partir de los procesos de medición, en estudiantes de grado séptimo de la 
Institución Educativa Andrés Bello?, planteando como objetivo general de la investigación: analizar 
la objetivación del número racional desde los procesos de medición que generan la razón. 
 
 La fundamentación teórica se sustenta en la perspectiva sociocultural de la Educación y en 
particular de la Educación Matemática, presentada desde la Teoría de la Actividad (Leontiev A. , 
1978) , la fundamentación sociocultural (Vygostky, 1982), la Teoría de la Objetivación Radford 
 
II Encuentro Internacional de Matemáticas, Estadística y Educación Matemática 2013 
(2006, 2011, 2013), las situaciones y actividades, diseñadas de forma que permeen la interacción 
entre el investigador, los alumnos y el conocimiento matemático, expresadas como una unidad entre 
la teoría y la práctica; la propuesta de Obando, Vasco & Arboleda (2012), marco donde se moviliza 
esta propuesta, a partir de la noción fundamental de la razón para la generación del número racional. 
 
2. DESARROLLO DEL TEMA. 
 
 
 En este apartado se presentan algunos fundamentos que permiten el análisis del conjunto de 
datos y los elementos que sirven de base para la investigación e inciden en la objetivación del 
número racional. Se consideran además, aspectos de naturaleza curricular, matemática, y cognitiva 
relacionados con los números racionales y específicamente investigaciones y estudios que han 
reconocido dificultades para su aprendizaje y comprensión. 
 
2.1. Problema 
El aprendizaje escolar referente a la razón, a la proporcionalidad y en general a los números 
racionales, ha presentado dificultades, así lo han informado diversas investigaciones (Petit, Laird & 
Marsden, 2010; Escolano, 2010; Charalambous, Pitta, & Demetra, 2007; Gould, ét al, 2000; 
Mazzocco & Devlin, 2008). 
 Algunos autores (Escolano, 2010) abordan las dificultades de comprensión de los escolares, y 
prestan atención a los procedimientos, relaciones y operaciones de la estructura numérica de los 
números racionales. 
 Por su parte Lamon (2012) afirma: 
Varios saltos conceptuales muy grandes contribuyen a la dificultad de los niños en el 
aprendizaje de las fracciones. En los años de preescolar, los niños aprenden a contar, 
haciendo coincidir el nombre de un número con cada objeto del conjunto que están 
contando. La unidad "uno" siempre se refiere a un solo objeto. En las fracciones, sin 
embargo, la unidad puede constar de más de un objeto o puede ser una unidad 
compuesta, es decir, que puede constar de varios objetos empaquetados en uno. Sin 
embargo, la nueva unidad es particionada (dividida en partes iguales) y un nuevo tipo 
de número se utiliza para referirse a las partes de dicha unidad”. (p. 21). 
 
 Los alumnos, manifiestan comprensiones sobre el número racional, como las que se ilustran en 
la gráfica 1, a partir de una representación gráfica de los 
 
 
 se pregunta: ¿qué significa en términos 
de la situación
1
 el resultado 
 
 
 ? dos niños de grado séptimo responden: 
 
 
 
 
 
1
 En este caso, la situación es un caso típico del aula donde la instrucción dada al alumno no es explícita. Así 
mismo no se es claro al preguntar sobre los 
 
 
 referentes a alguna magnitud. 
 
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 Gráfica 1 
 Se aprecia que los niños consideran la fracción como dos números aislados y con énfasis en la 
partición sin que luzca evidente la relación entre magnitudes. 
 A pesar de la importancia concedida al número racional en el currículo y de los resultados 
logrados durante muchos años de investigación, aún persisten dificultades tanto en su enseñanza, 
como en su aprendizaje. Algunas investigaciones (Pontón, 2012; Lamon, 2012) sugieren realizar 
esfuerzos que permitan brindar a los maestros que enseñan matemáticas, herramientas que los 
ayuden en su tarea de enseñanza de las fracciones. 
 
2.2. Marco teórico 
 Se consideran cuatro ejes interrelacionados : fundamentación sociocultural Vygostky (1982), 
la teoría de la Actividad Leontiev (2001), la teoría de la Objetivación Radford (2006,2011,2013) y 
el conocimiento matemático que subyace en la objetivación del número racional. 
 Desde la postura sociocultural (Vygostky, 1982) se considera deseable vincular la actividad 
matemática con el entorno social y cultural en el cual viven los niños en tanto que ofrece a éstos, 
orientaciones de desarrollo y formas de apropiación del saber. 
 Para Radford (2011,2013) la objetivación
2
 es un proceso social dinámico de construcción de 
sentidos y significados (para los objetos de conocimiento) en relación con las formas culturales de 
conocimiento matemático aceptado, es decir, el proceso de reconocimiento de lo que son los 
objetos. En este sentido se considera que los procesos de medición pueden ser apropiados para 
motivar el uso de la razón y por lo tanto podrían ser un camino de entrada hacia la construcción del 
concepto de número racional. 
 
 
 
2
 En esta disertación, se entiende la objetivación como los procesos sociales mediante los cuales los alumnos 
alcanzanuna comprensión crítica, a través de dotación de significados, de los objetos culturales matemáticos. 
 
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 Para Leontiev (1978) la actividad está en relación al conjunto de acciones socialmente dirigidas 
con el objetivo de alcanzar un fin, es decir, la actividad se constituye de acciones organizadas, 
estructuradas, y orientadas hacia la consecución de una finalidad. 
 Según Leontiev (2001) el hombre actúa para satisfacer sus necesidades, tales actuaciones las 
realiza en forma colectiva, utilizando instrumentos
3
 (medios externos) que potencian su acción 
sobre el medio. 
 
 Obando, Vasco y Arboleda (2012) indican: 
Se puede decir que una atribución de cantidad es aquella que realizada sobre un 
fenómeno […] permite organizar diferentes estados del mismo según que la 
atribución sea objeto de aumento o disminución, de comparación o de igualación. Si 
la atribución es de naturaleza continua, entonces refiere a una magnitud, la cual es 
susceptible de ser medida, pero si es de naturaleza discreta, refiere a una pluralidad 
y es susceptible de ser contada. En toda atribución de cantidad es posible definir 
una relación de equivalencia, una relación de orden y una operación aditiva, la 
relación de equivalencia permite definir clases de equivalencia. Cada clase de 
equivalencia se puede definir como una cantidad en la atribución dada […]. Así 
entonces, el conjunto de cantidades con la relación de equivalencia y la operación 
aditiva forman un semigrupo aditivo conmutativo y se tiene entonces lo que Stein 
(1990) ha denominado un sistema de cantidades. (p.2). 
 El sistema de cantidades generado de eta forma, permite concebir la razón como una relación 
entre dos cantidades comparadas por cociente. Tal cociente expresa una cantidad numérica y 
cuando las dos cantidades están en un mismo sistema de cantidades, la cantidad numérica es un 
número real, el cual es un número racional cuando las cantidades comparadas son conmensurables. 
 
2.3. Metodología 
 Las actividades focalizan la atención tanto en la descripción de interacciones de los niños, 
como en el análisis e interpretación de los componentes de la actividad, constituidos por acciones 
organizadas, estructuradas y orientadas por el profesor hacia la consecución de una finalidad. 
 Se propone a los niños la siguiente actividad cuya intención es realizar la medición de una 
longitud con unidades artificiales para la generación y comprensión del número racional. 
 Material: Artefactos del entorno. 
 Enunciado: Medir la longitud del lado de un “rectángulo” ubicado sobre el piso de la 
cancha de basquetbol de la Institución. 
 
 Los niños se dividen en dos grupos y establecen unidades artificiales para realizar la medición, 
una de ellas es el zapato y la otra una cartuchera (Figuras 9 y 10). 
 
 
 
 
3
 Un instrumento es al mismo tiempo un objeto social al cual han estado incorporadas y fijadas las 
operaciones de trabajo históricamente desarrolladas (Leontiev, 1978, p. 268). 
 
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Figura 9. Midiendo con la cartuchera. Figura 10. Midiendo con los zapatos. 
 
 Para expresar su solución, los niños utilizan instrumentos materiales y psicológicos (medios 
semióticos de objetivación, artefactos tecnológicos) que son portadores de prácticas admitidas para 
responder a eventos y formas culturales; en este sentido, Radford (2006) argumenta: “los artefactos 
y los signos son portadores de convenciones y formas culturales de significación…” (p.7). 
 
En el siguiente episodio
4
, se analiza las interacciones entre los niños (en el patio) mediante 
palabras que constituyen aspectos subjetivos de la comprensión del número racional. 
Se usa la letra P para denotar al profesor, N1, N2, N3, N4, N5 y N6 denota a los niños. 
 
P: … vamos a continuar con el proceso de medición que hemos venido haciendo,…hoy vamos 
hacer la medida de la longitud este rectángulo, unos van a medir un lado y los otros van a medir el 
otro lado, ustedes verán como lo hacen, a medida que realizan la actividad, discuten y recapacitan 
sobre la medición. 
N1: Nosotros vamos a medir con una cartuchera. 
(Silencio) 
P: Vamos hacer entonces la medición… Bueno jóvenes ¿Cómo lo van a medir ustedes? 
N2: Con los zapatos 
P: Con los zapatos, entonces ¿ese zapato que viene a representar para ustedes? 
N2: Una… 
N3: una unidad de medida 
P: A bueno listo, voy a observar el otro grupo. 
(Silencio) 
P: ¿Cómo están haciendo la medida? 
N1: Tomé la unidad de medida esta cartuchera 
N1: Y la estoy poniendo varias veces donde queda pongo mi dedo para poderla poner acá. 
P: … continúen y ahora hablamos, recuerden que ustedes puede hablar y discutir. 
(Silencio) 
 
 
 El anterior episodio da evidencia de la mediación semiótica en el papel que desempeñan los 
artefactos (objetos, instrumentos, sistemas de signos, etc.) en la realización de la actividad social, se 
piensa con y a través de los artefactos culturales. “Los artefactos no son meras ayudas al 
 
4
 Episodio es la metodología para el análisis de los registros de las clases (en grabaciones, video y escrito) en 
el que se destaca un conjunto de elaboraciones y las acciones de los estudiantes que entienden los factores 
relacionados con la cuestión que impulsa la investigación, es decir, "el conjunto de acciones que desencadena 
el proceso de búsqueda de la respuesta al problema de que se trate" (Moura, 1992, p. 77). 
 
 
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pensamiento (como lo plantea la psicología cognitiva) ni simples amplificadores, sino partes 
constitutivas y consustanciales de éste” (Radford 2006, p.107). 
 
N1: Al parecer mi compañero me hizo perder la cuenta, voy a volver a empezar. 
(Silencio) 
P: Dos medidas distintas y ¿si lo pueden hacer con dos medidas distintas? 
N2: Si 
P: ¿Por qué? 
N4: Porque las dos son unidades de medida ¿no? 
N3: Porque se pueden dividir 
P: Bueno, ahora lo discutimos 
(Silencio) 
P: Ustedes ya terminaron. 
N1: No 
 (Silencio) 
N1: bueno en estos momentos mi compañera está midiendo con una cartuchera. 
(Silencio) 
N1: ¿Cuánto lleva? 
N5: Trece 
 (Silencio) 
N1: En este momento mi compañera está terminando de hacer la medición. Y le va dando... y le 
dio… 
N5: Nooo, me dio veintidós pero me sobro un pedazo. 
N1: A mi compañera le dio veintidós, pero le acaba de sobrar un pedazo, hay que hacer la medición 
más pequeña. 
N5: hagámosla entonces con este lapicero. 
(Silencio) 
P: Bueno muchachos, ¿Cómo van las medidas? 
N1: Profe pues, mi compañera midió con la cartuchera y le acaba de sobrar un pedazo, entonces 
vamos a… 
P: Bueno cuéntenme como así, no entiendo como que un pedazo 
N1: Le dio veintitrés y le sobro un pedacito 
N5: Mire profe… me dio veintidós… 
P: ¿Veintidós qué? 
N5: Veintidós cartucheras, pero me sobro este pedazo, por lo cual estoy midiendo con una unidad 
más pequeña, que es con este lapicero. 
P: Una unidad más pequeña, entonces ¿la cartuchera ya nos les va a servir? 
N5: No 
P: ¿Van a tomar otra unidad de medida? 
N5: Si 
N1: Si 
 (Silencio) 
N1: En estos momentos nos acaba de sobrar un pedazo, un pedacito más chiquito que el de la 
cartuchera, entonces vamos a coger una unidad más grande, un poco más grande. 
(Silencio) 
N1: Hay un color y si nos queda grande le sacamos punta. 
 
 En los diálogos, se revela como al no obtener una medición precisa de la longitud del lado del 
rectángulo al compararlo con la unidad de medida inicial establecida arbitrariamente, los 
estudiantes la cambian por otra unidad de medida más pequeña. Losniños desarrollan el 
 
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pensamiento a través de una combinación de actividad perceptual y de acciones semióticamente 
mediatizadas. Al mismo tiempo, el problema sobre el cual los alumnos reflexionan es parte de una 
realidad históricamente constituida (Radford 2006, p.108). 
 
N5: Hagamos con un borrador 
N1: No 
N5: Es mejor con este borrador 
N1: Vamos a seguir con un color 
N5: Y con un borrador 
N1: Perdón sí y con un borrador 
N5: uno, pongan el otro… dos… 
 
 Se evidencia en los diálogos, elementos conceptuales claves del proceso de comprensión del 
número racional, elementos asociados al rol social de las prácticas de medición y al cambio 
conceptual en torno a la noción de unidad. Se identifica que los niños poseen claridad del conteo, 
pero no han logrado asociar la relación entre las magnitudes. 
 
P: Chicos vamos a discutir. 
P: ¿Quién quiere contar cómo realizó la medición? 
N5: Diga usted 
(silencio) 
N6: Yo noté que, como es, que nosotros también estábamos midiendo con, como se dice, con un 
zapato más… mucho más grande, pero nos quedaba siempre (Silencio) eh nos sobraba. 
N4: Sobraba, entonces. 
N6: Nos sobraba mucho pedazo. 
N6: Entonces eh el zapato nos dio diecisiete, pero pues no quedó completo porque quedó sobrando, 
entonces dividimos la unidad de medida en una unidad más pequeña. 
P: ¿Cuál era la unidad de medida? 
N5: El zapato. 
N5: Dividimos la unidad de medida 
N4: Y nos dio diecisiete y medio (Silencio) 
 
 Al no obtener una medida precisa, los niños dividen la unidad en sub-unidades para generar el 
número racional, pero aún no lo logran identificar debido a que no han realizado la acción de 
comparación de las dos magnitudes, para determinar la relación entre ellas, aunque para calcular la 
medida de la longitud, colocaron una magnitud sobre la otra, estableciendo aparentemente una 
comparación entre magnitudes. 
 
P: ¿Cómo fue la relación entre las medidas? 
(Silencio) 
N6: Fue exacta. 
N6: Eh mmm… 
P: Fue exacta y ¿Cómo se logró? 
N6: Comparándo 
P: ¿Cómo? 
N6: Comparando (Silencio) 
 
 Los niños han logrado identificar que al colocar una magnitud sobre la otra han obtenido una 
medida “exacta”, lo cual indica que la longitud es conmensurable con la unidad de medida elegida. 
 
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P: Bueno, cuéntenme entonces… si ustedes hubieran tenido, otros artefactos para medir esa 
longitud, ¿Con cuál creen ustedes que les darían más precisa? 
N5: Con el metro. 
P ¿Por qué le hace sentir eso? 
N5: Porque el metro se puede dividir, eh en centímetros y los centímetros en milímetros. 
N7: Unidades más pequeñas 
N5: Si, unidades más pequeñas. 
N5: Eso hace eh… la unidad puede dar exacta. 
P: si midiéramos con el… 
N5: Con el metro. 
N7: Con el metro. 
 (Silencio) 
N5: La comparación daría más exacta. 
P: Y entonces como se llamaría esa comparación de medidas 
N5: El racional 
P: ¿Cómo? 
N5: Racional 
N5: Un número racional. 
 
 Los niños logran generar el número racional a partir de una unidad artificial, sin embargo 
reconocen que es necesario el uso de un patrón de medida estándar como el metro, con el cual 
pueden obtener unidades de la misma especie cada vez más pequeñas y lograr más exactitud para la 
obtención del número racional. 
 
 
3. CONCLUSIONES Y RESULTADOS. 
 
 La mediación semiótica no es suficiente para objetivar un objeto matemático, se debe favorecer 
la interacción entre los niños, y entre los niños y otras personas, en esta relación sujeto-sujeto, la 
elaboración del conocimiento es negociado y compartido. 
 El aula, es el espacio de interacción donde el niño, a través de los recursos materiales que le 
brinda el entorno sociocultural, puede formalizar las generalizaciones y las síntesis sobre la 
formación de conceptos. 
 El paso del número natural al número racional puede ser logrado mediante el uso de situaciones 
de medida, en las que la unidad de medida no está contenida un número exacto de veces en la 
cantidad que se desea medir. 
 La objetivación es entendida, bajo esta mirada, como un proceso donde el conocimiento emerge 
de la interacción social, el sujeto se transforma y al mismo tiempo transforma al conocimiento, en el 
cual la relación sujeto-objeto está “mediada” no sólo por los artefactos, sino también por la 
presencia del otro; este proceso da cuenta de la forma en la que el niño alcanza y se apropia y dota 
de sentido el saber cultural. 
 Esta investigación aporta la objetivación del número racional a partir del proceso de medición, 
donde las magnitudes continuas y discretas se tornan como un camino fundamental para la 
generación de la razón. Este aporte es de importancia para la IEAB por la contribución que se hace 
al currículo institucional en el sentido de incluir en el plan de área del grado séptimo el número 
 
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racional como eje transversal articulado a la razón, donde se incluye la relación parte-todo y las 
aplicaciones de proporcionalidad. 
 Es significativo para la educación matemática en Colombia, atendiendo a las sugerencias de 
inclusión del número racional en el currículo de la matemática escolar, como se plantea en los 
Estándares Básicos de Competencias. 
 
AGRADECIMIENTOS 
 
 Al profesor de la Universidad de Antioquia Walter Fernando Castro Gordillo por sus invaluables 
aportes, ya que sin ellos esta disertación no hubiese sido posible. 
 
 A los estudiantes, del grado séptimo cuatro de la IE. Andrés Bello por participar en este arduo 
trabajo y a la rectora de la Institución Aida Betancur Mira por permitir la realización de esta 
investigación. 
 
 
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