2021-MATEMATICA-PRACTICA

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Universidad Tecnológica Nacional – F.R.L.P. 
 
21 
Matemática 
Práctica 
Seminario Universitario de Ingreso 
 
Seminario Universitario de Ingreso 2021 
 
 
UTN - FRLP 1 
TRABAJO PRÁCTICO Nº1 
Temas: 
 Conjuntos numéricos. 
 Propiedades. 
 Operaciones combinadas. 
 Mínimo común múltiplo (mcm) 
 Máximo Común Divisor (MCD) 
 
1. Colocar según corresponda 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. √ 
g. { 
 
 
 ̂} 
h. 
 
2. Convertir en fracción irreducible las siguientes expresiones decimales: 
a. 0,02= 
b. 2,5= 
c. 6,25= 
d. ̂= 
e. ̂ 
f. ̂ 
g. 
h. -2,7= 
 
3. Hallar el valor de las siguientes potencias: 
a)
2 
4
1







= b) 
3 
4
3







 = c) 




4
2
1
2 d) 4
1
16 = e) 3
2 
8

= 
4. Ejercicios combinados: 
a. ( ) ( ) 
b. 
 
 
 ( ) 
c. (a - b) - (- a - b) = 
d.  10123 22222 
e. [( ) ] [ ( )]= 
f. (
 
 
 
 
 
) (
 
 
 
 
 
) 
g. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h.    6,0:1,288,0:40,0

 
 
5. Resolver, aplicando convenientemente propiedades: 
  5 
5
3
 
3
4
)a b) 3
8
7
1 c) 
6. Calcular 
  





3 729 
64
27
 
512
1
Seminario Universitario de Ingreso 2021 
 
 
UTN - FRLP 2 
a.      322532 23122432271253 
b. 








4,0:)2,0(
008,0
2
1
2,0
25
1
3
3
2
 
c. 

2
3
2
1
2
1
2
3
4444 
7. Determinar el resultado de las siguientes expresiones 
a) 
b) 
c) 
 
 
 
d) ( ) 
e) ( ) 
f) √ 
 
 √ 
 
 √ 
 
 
g) √ 
 √ 
 √ 
 
h) 
 
 
 
8. Plantear y resolver 
a) Calcular cuantos segundos hay en 
 
 
 de 
 
 
 de un minuto. ¿Qué fracción del minuto 
representan estos segundos? 
b) Queremos plantar árboles en ambas márgenes de un arroyo de 7,2 km de longitud. 
Si la distancia entre dos árboles consecutivos es de 8 m, calcular cuántos árboles 
necesitamos. 
 
9. Hallar el máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo de los siguientes 
valores: 
 32 y 68 
 320 y 640 
 180, 252 y 594 
 
 
10. Analizar las siguientes situaciones problemáticas 
a) Tres amigos pasean en bicicletas por un camino de una sola mano que bordea un 
lago. Para dar una vuelta completa, uno de ellos tarda 15 minutos, otro tarda 18 
minutos y el restante tarda 20 minutos. Parten juntos y acuerdan interrumpir el 
paseo la primera vez que los tres pasen simultáneamente por el punto de partida. 
¿Cuánto tiempo duró el paseo?. ¿Cuántas vueltas dio cada uno?. 
b) Un niño tiene 25 pelotitas blancas, 45 pelotitas azules y 90 pelotitas verdes y quiere 
hacer el mayor número de collares iguales sin que sobre ninguna pelotita. 
¿Cuántos collares iguales puede hacer?. ¿Qué número de bolas de cada color 
tendrá cada collar? 
c) En una frutería hay 180 kg de manzanas y 160 kg de naranjas. El frutero quiere 
ponerlas en bolsas del mismo peso, embolsando separadamente las manzanas y las 
naranjas. ¿Cuántos kilos podrá tener como máximo en cada bolsa, y cuántas bolsas 
necesitará para cada fruta? 
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 3 
TRABAJO PRÁCTICO Nº2 
Temas: 
 Ecuaciones. 
 Intervalos 
 Inecuaciones 
 Valor absoluto 
 
1. Resolver las siguientes ecuaciones lineales. Verificar la solución obtenida 
a) 
b) 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
e) (
 
 
 ) 
f) 
 
 
 
2. Pasar del lenguaje coloquial al lenguaje simbólico las siguientes ecuaciones y 
resolver 
 
a. Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el número? 
b. La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si 
el perímetro mide 30 cm? 
c. Se han consumido 7/8 de un bidón de aceite. Reponemos 38 litros y el bidón ha 
alcanzado sus 3/5 partes. Calcula la capacidad del bidón. 
d. En una librería, Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero y un 
cómic con las dos terceras partes de lo que le quedaba. Al salir de la librería 
tenía $ 12. ¿Cuánto dinero tenía Ana? 
e. Halla el valor de los tres ángulos de un triángulo sabiendo que B mide 40° más 
que C y que A mide 40° más que B. 
f. Agustín empieza un juego y gana $10. Después duplica su dinero, pierde $25 y 
queda igual que al principio. ¿Con cuánto dinero comenzó jugando? (Rta: $ 5) 
g. Un terreno rectangular tiene el largo igual al doble del ancho. Su superficie es de 
512 m2. ¿Cuál es la medida, en metros, de su perímetro? 
h. Juan pesa la mitad que su padre, y este pesa 15 kg más que la madre de Juan. 
Entre los tres pesan 185 kg. ¿Cuánto pesa cada uno? 
i. En una fiesta de fin de curso hay el doble de mujeres adultas que de hombres 
adultos y el triple de niños que de adultos. Calcular el número de hombres 
adultos y niños que hay en la fiesta si en total asistieron 156 personas. 
j. De un tanque lleno de nafta se utilizan 40 litros y luego tres quintos del resto. Si 
aún quedan 16 litros, ¿cuántos litros tenía el tanque? 
 
 
3. En las siguientes expresiones, despejar la variable indicada 
a) 
 
 
 
 
 
 
 b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 4 
c) 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
( )
 
 
 
Video: https://www.youtube.com/watch?v=Zpl9K6AdhaY 
 
4. Representar gráficamente las siguientes situaciones en un eje de abscisas. Escribir 
el intervalo y el conjunto solución. 
 
a) Todos los números reales mayores que -2 
b) Todos los números reales menores o iguales que 3. 
c) Todos los números reales mayores que -4 y menores o iguales que 2. 
d) Todos los números reales mayores o iguales que 0 y menores o iguales que 4. 
 
5. Resolver las siguientes inecuaciones indicando el intervalo y el conjunto solución. 
Representar la solución en la recta numérica 
a) 
b) 
c) 
d) ( ) 
e) 
f) 
g) 
 
 
 
h) ( ) ( ) 
 ( ) ( )
 
6. Representar las operaciones en la recta numérica y determinar el conjunto solución 
a) ( ) [ ] 
b) ( ) [ ] 
c) ( ) [ ] 
d) [ ) ( ) 
e) ( ) [ ) 
f) [ ] ( ) 
g) ( ) ( ) 
h) ( ) ( ) 
 
7. Resolver usando la definición de valor absoluto. 
a) | | 
b) | | 
c) | | 
d) | | 
e) | 
 
 
 | 
 
 
 
f) |
 
 
 | 
 
 
 
 
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 5 
TRABAJO PRÁCTICO Nº3 
Tema: Radicación 
 Extracción 
 Operaciones 
 Racionalización 
 Situaciones problemáticas 
 
1) Extraer todos los factores posibles de cada uno de los siguientes radicales: 
 
a) 150 
b) 3 532b 
c) 4 5243a 
318) hd 
18322) xe 
4
22
15
)
p
n
f 
 
2) Resolver la adición y sustracción de radicales: 
a)  3.23.53 b) 5.35
2
1
5  
c)  8.382.22 d) 48277512  
 

8
13
2
12)e f) 
400
6
600
7
4
15010)i 
 
3) Calcular. 
a) 8.2 b) yxx .. c) 
33 24.9 
d) 2.50 e) 
3 2.3 f) 
63 2.4 
 
4) Resolver los siguientes cálculos combinados: 
    3213)
2
a    105552)
2
b 
 )27()27)(c  )52(:)8045)(d 
     22 35452)e 
 
5) Verificar:     30015133132
2
22




  
 
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 6 
6) Racionalizar: 
2
3
)a 
5
3
)b 
x
c
22
3
)
 
4 2
2
)
yx
d
 
7 3
2
4
2
)
x
x
e
 
32
1
)

f
 
27
2
)

g
 
253
1
)

h
 
 
 
 
7) Resolver las siguientesecuaciones: 
2
6
65)3(2)  xa 
3
8
2
1
2.3
3
)




x
x
b 
 
8) Resolver : 
a) Hallar el valor exacto de la medida de la superficie y del perímetro de un 
rectángulo cuya base mide 23 cm y cuya diagonal mide 25 cm 
b) Calcular la altura del trapecio sabiendo que su superficie es de 2318 cm 
 
 
 
 
 
 
c) Hallar el perímetro y la superficie de la figura: 
 
 
 
 
 
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 7 
TRABAJO PRÁCTICO Nº4 
Temas: 
 Logaritmos  Números complejos 
 
1. Aplicando la definición, resolver: 
9log) 3a 
8log) 2b 

5
1
log) 5c 
1log) 2d 

4
1
log)
2
1e 
100log) 10f 
6log) 6g 
7log)
7
h 
9log)
3
i 

25
1
log)
5
j 
5log) 25k 
3log) 81k 

7
1
log)
49
l 
35 5log)m 

4
25
log)
5
2n 
1,0log)o 
ep ln) 
 
 
2. Calcular aplicando propiedades: 
 4.8log) 2a 






23 27
1
log)b 
 3 100.1,0log)c 
 
 34 4.2log)d 






5
25
log) 5e 
 
3. Resolver las siguientes ecuaciones 
52 101000)   xxa  31
2
2.8
2
1
) 






 x
x
b 
  243log) 5 xc   110log)1(log) 22  xxd 
Video: https://www.youtube.com/watch?v=F9OsD7UJDQI&t=10s
4. Dados los siguientes números complejos: 
iz 321  iz 432  iz 323  iz 54  
 
https://www.youtube.com/watch?v=F9OsD7UJDQI&t=10s
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 8 
Calcular: 
a) 
322 zzz  b)  
2
234 zzz  c) 2
3
12 z
z
z
 
5. Resolver la siguiente operación entre complejos: 
a) ( ) ( ) ( ) 
 
b) (
 
 
 ) ( ) ( ) 
6. Representa gráficamente cada complejo, su opuesto y su conjugado. 
a) – b) c) 
 
 
 
 
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 9 
TRABAJO PRÁCTICO Nº5 
Temas: Polinomios 
 Valor numérico 
 Operaciones 
 Regla de Ruffini 
 Teorema del Resto 
 
1. Determinar cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios. 
 
a) √ 
b) 3 2 41 13x x x
2 x
   
 
c) 3 4 53x 2x x 16x
5
   
d) 
 
 
 √ 
 
2. Utilizando los polinomios: ( ) – 
 ( ) – – 
 ( ) – 
 
Hallar el valor numérico indicado ( ) ( ) (
 
 
) 
 
 
3. Dados los siguientes polinomios: 
 ( ) ( ) – ( ) – 
Calcular: 
 ) ( ) ( ) 
 ) ( )– ( ) 
 ) ( ) ( )– ( ) 
 ) ( ) ( ) 
 ) ( )– ( ) ( ) 
 
4. Hallar el cociente y el resto de cada división: 
 
a) ( ) ( )
b) ( ) ( )
c) ( ) ( 
d) ( ) ( ) 
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10 
5. Dividir usando la regla de Ruffini los siguientes polinomios: Verificar los resultados aplicando el 
Teorema del Resto. 
 
a) P(x) = 3.x³ + 2.x ² - x - ½ Q(x) = x + 2 
b) P(x) = x7 + x5 - x³ - x Q(x) = x - 1 
c) P(x) = 64x6 + 2 Q(x) = x – 1 
d) P(x) = -x5 + x³ Q(x) = x + ½ 
 

6. Calcular k para que: 
a. ( ) sea divisible por ( ) 
b. ( ) sea divisible por ( ) 
 
7. Determinar h en (-3 + 2.x ² + h.x) de tal modo que al dividirlo por (x - 5) de resto 140. 
 
8. Determinar k, sabiendo que el resto de la división entre P(x) y Q(x) es 30. 
P(x) = 3.x³ - k.x ² - 2 Q(x) = x + 2 
 
9. Siendo ( ) – , calcular el valor de sabiendo que es raíz de ( ). 
Video: https://www.youtube.com/watch?v=VzsGVz86K14 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=VzsGVz86K14
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11 
TRABAJO PRÁCTICO Nº6 
Temas: Factorización de polinomios 
 
Factorizar aplicando el caso indicado en cada ejercicio: 
 
1. Factor Común 
a )  324 15105 xxx b )  32342
5
21
5
12
5
6
axpxpampa 
c )  54336
5
2
426 xypmpxmgmtx d) 
e) 20xh5 - 12x5y8 + 4xyz = f) 64x4 m5- 30x3 hm + 2x2h3my = 
2. Factor Común por Grupos 
 
a )  xbayybax 22 33 b )  ayxycxac 35142665 
c )  134 xxx d )  632 45 xxx 
e) f) – – 
3. Trinomio Cuadrado Perfecto 
a )  144 2 aa b ) 
4
9
32 xx 
c ) 6 3x 2x 1   d ) 2 2p pq q
4 3 9
   
e ) 
4
12hh f) – 
4. Cuatrinomio Cubo Perfecto 
a )  3223 6128 abaabb b ) 
8
1
32464 23 yyy 
c )  nnn 7515125 32 d )  1
2
3
4
3
8
1 23 mmm 
e )  644812 23 xxx f)  116
4
1
64 23 vvv 
5. Diferencia de Cuadrados 
a )  814a b )  426 64
9
4
pmx 
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12 
c )  682 9169 rnx d )  24 49mx 
e) 
246284 4
36
1
zyxbmn f)  10824100 pnmx 
6. Binomio homogéneo 
 
a )  325a b )  273x 
c ) 17n d ) 
8
13m 
e) 8
3b f) 164x 
7. Fórmula resolvente 
 
a)  42132 xx b)  mm 1449
2 
c) 
 
 
8. Factorizar combinando los distintos casos 
 22 5105) yxyxa 
9779 123) yxyxb  mxbmxambmac
2222) 
 432323547
40
27
20
27
10
9
5
1
) abxxbaxbaxbad  babxaxe 6262)
33
 
 axxaaaf 44) 324  xyyxyxxg
32234 3183624) 
9. Resolver las siguientes ecuaciones: 
 
234 62) xxxa  
23 2) xxb  
0) 26  xxc 
mmd 322) 5  
10820) 23  xxe 
10. Utilizando el método de completar cuadrados resolver las ecuaciones siguientes. 
 
a) x2 + 4x + 2 = 0 
b) x2 - 16x + 39 = 0 
c) t2 – 10t + 5 = -20 
d) x2 + x = 1 
 
 3042 2 xx  xxd 13) 2
 2264) ppe  xxf 6102) 2
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13 
TRABAJO PRÁCTICO Nº7 
Temas: Expresiones racionales 
 Simplificación 
 Operaciones 
 Ecuaciones 
 
1. Simplificar las siguientes expresiones racionales. 
 
2. Resolver. 






1
12
12
133
)
2
2
2
23
x
xx
xx
xxx
a 






yx
yx
yx
yxyx
b
3
9
93
96
)
2222
 
3
1
 





x
xx
yy
xyxy
c
2
32
2510
151032
)
2
2
 
5
2


y
 






yyx
yxy
x
x
d
2
3
93
12
) 
3
1
 






22 4444
1
1)
yx
yx
yx
e 
 


3
4
9
96
)
2 xxx
f 
3
3x
 
 






 107
54
52
1
)
2 xx
x
x
x
x
g 1 
 











 3
2
96
2
3
)
2 x
x
xxx
x
h 
3
1


x
x
 
i) j) = k) l) 
24 18
44 33
16
8 16
9 30 25
6 10
25
20
2
2
2 2
2
x y
x y
x
x x
x x
x
x
x x




 
 



 





)(5
33
 d) 
32
96
 c) =
75
25
 b) 
72
48
 a)
34
23
2
2
ba
ba
nm
nm
ab
ba
ab
a
e) f) = g) h) 
4 4
5 5
3 6
5 10
8 7
64 49
2
2 2 2
a b
a b
x y
x y
x xy
xy y
x y
x y











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14 
3. Hallar la solución de las ecuaciones indicando los valores de la variable que no pueden ser 
solución: 
 
3
1
2
1
73
)
2
2





xx
x
a 
2
1
3
2
)





m
m
m
m
b 
xx
xx
x
x
xx
x
c
3
93419
3
2
)
2
2
22 




 
xx
xx
x
xx
x
d
2
1
:
410
25
2
1
.
12
33
)
2 

















 
168
4
4
3
)
2 




xx
x
x
x
e Video: https://www.youtube.com/watch?v=hsRJVpRce7s&t=19s 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=hsRJVpRce7s&t=19s
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15 
TRABAJO PRÁCTICO Nº8 
Temas: 
 Distancia entre puntos 
 Ecuación de la recta 
 Sistemas de dos ecuaciones lineales con 
dos incógnitas 
 Sistemas de tres ecuaciones lineales con 
tres incógnitas 
 
4. Calcular las distancias entre los puntos. 
a) A(1;0) , B(2;0) 
b) ( 
 
 
) ( ) 
 
c) A(1;0) , B(0;-2) 
d) A(1;1) , B(-1;-1) 
5. Representar gráficamente las rectas 
a) y - x = 4 
b) 
 
 
 
c) 2y + x = -4 
d) x - 3 = 2 
e) y - 3 = 1 
 
6. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es –3 y corta al eje y en 9. Graficar. 
7. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y su pendiente es – . 
Graficar. 
8. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (0;-2) y es paralela al eje x. Graficar. 
9. Determinar la ecuación de la recta que corta al eje x en –7 y es paralela al eje y. Graficar. 
10. Dadas las rectas – y – , determinar de modo que: 
 a) r y s sean paralelas. b) r y s sean perpendiculares. 
11. Hallar la ecuación de la recta que: 
a. pasa por los puntos (1/2; -1) y (1; -1/2). 
b. pasa por el punto (-2; 5) y su pendiente es –3. 
c. su pendiente es la tercera parte de 12 y pasa por el origen de coordenadas. 
d. su abscisa al origen es 5 y su ordenada al origen es –3. 
 
12. Resolver los siguientes sistemas por los métodos indicados y clasificarlos. 
 Igualación 
 
Sustitución Sumas y restas 
 
3x+ y =15 
-x + y =-1 
 
x + 3y =1 
2x + 6y = 2 
 
 
5x-y =9 
2x+ 4y =8 
 
3x+ 7y = 36 
3x – 2y = 9 
 
x + y = 2 
2x + 2y = 3 
 
 
3x + 7y = - 4 
x + 8 = - 9y 
 
3x - 5y =19 
2x + y = 4 
 
3x + 3y = 2 
2x + 2y = 4 
 
 
10x +10 y = 20 
2x + 2y = 4 
 
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16 
 
13. Resolver los siguientes sistemas por el método gráfico y clasificarlos. 
x + y = 3 2x + 4y = 10 x – y = 6 
2x – y = 0 x + 2y = 5 2x – 2y = 4 
14. Armar el sistema de ecuaciones y luego resolverlo 
a) Una persona tiene en el bolsillo de su pantalón $110 en billetes de $5 y $ 10. Si en total posee 17 
billetes. ¿Cuántos son de 10 y cuántos de 5? 
b) Dos ángulos son suplementarios y uno de ellos es 20º mayor que el otro. ¿Cuánto mide cada 
ángulo?. 
c) Halla dos números tales que el doble del primero más el segundo, sea igual a trece, y al dividir 
el primero con segundo se obtenga uno de cociente y dos de resto. 
d) En un corral hay 40 animales entre conejos y gallinas. Se suman un total de 106 patas. ¿Cuántos 
conejos y cuantas gallinas hay? 
e) Se quiere mezclar vino de $ 25 el litro con vino de $ 70 el litro para preparar un vino de calidad 
intermedia. Se pretende que el precio de un tonel de 100 litros del nuevo vino sea de $ 5.650, 
calculen que cantidad de cada tipo deben poner en el tonel. 
f) La entrada a un cine cuesta $10 los mayores y $6 los menores. Una noche entraron 320 personas 
y pagaron $2720. ¿Cuántos menores y mayores entraron? (Rta: 200 mayores y 120 menores) 
g) En un número de dos cifras las decenas exceden en 5 a la cifra de las unidades. Si se invierte el 
orden de las cifras resulta un nuevo número que sumado con el anterior da 121. Determine el 
número. (Rta: 83) 
h) En un galpón hay cajas con tornillos (todas del mismo peso) y cajas de tuercas (todas del mismo 
peso). Se pesaron juntas 2 cajas de tornillos y 5 de tuercas y la balanza marcó 24,8 kg. Luego se 
pesaron juntas 1 caja de tornillos y 7 de tuercas y la balanza marcó 25 kg. ¿Cuál es el peso de 
cada caja? 
i) Juan y Daniela compraron entradas para un recital. Juan compró cuatro localidades de platea y 
dos de superpullman y gastó U$S 244. En cambio, Daniela gastó U$S 295, pues compró tres 
plateas y cinco superpullman. ¿Cuánto cuesta cada entrada? 
 
 
15. Resolver los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas por el método de Cramer 
 
a) 








62
2
43
zyx
zyx
zyx
 Rta: S =   121 ,, b) 








554
1
332
zyx
zx
zyx
 Rta: S =   0,1,1 
 
 
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17 
TRABAJO PRÁCTICO Nº9 
Temas: Funciones 
1. Determinar el dominio de las siguientes funciones: 
a. ( ) 
b. ( ) 
c. ( ) √ 
d. ( ) 
 
 
 
e. ( ) ( ) 
f. ( ) ( ) 
g. ( ) 
 
 
 
 
2. Graficar las siguientes parábolas y determinar: Dominio, Imagen, raíces, vértice, eje de simetría, 
máximo, mínimo, y concavidad: 
4)() 2  xxfa 
xxxfb 213)() 2  
  3.1)()  xxxfc 
 
3. Representar las siguientes funciones exponenciales y analizar dominio, imagen, crecimiento, 
decrecimiento, asíntotas e intersección con los ejes. 
 
a) ( ) 
b) ( ) (
 
 
)
 
 
c) ( ) 
 
4. El número de bacterias presentes en un cultivo después de t minutos está dado por: 
t
tn 






5
4
.200)(
 
a. ¿Cuántas bacterias están presentes al inicio? 
b. ¿Cuántas bacterias están presentes después de 4 minutos, aproximadamente? 
c. Trazar una gráfica aproximada de la función dada. 
 
5. Suponiendo que la población de cierta ciudad responde al modelo de crecimiento de ( ) 
 ( ) , donde ( ) es la población t años después de 1980. 
a. ¿Cuál será la población en 2020? 
b. ¿Cuál será la población en 2080? 
c. Aproximadamente en cuanto tiempo se duplicará la población de 1980 
 
6. Graficar las siguientes funciones logarítmicas y analizar dominio, imagen, crecimiento, 
decrecimiento, asíntotas e intersección con los ejes. 
xxfa 2log)()  
1log)() 2  xxfb 
 
 
)1(log)() 2  xxfc 
2log)() 2/1  xxfd 
 
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18 
7. Para analizar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Graficar las siguientes funciones definidas por tramos y determinar: dominio e imagen. 







2,;2
22;2
)()
2
2
xsix
xsix
xfa 







0,;
0,;1
)()
2
xsix
xsix
xfb 
 ) ( ) | | ) ( ) | | 
 ) ( ) | | ) ( ) | | 
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19 
TRABAJO PRÁCTICO Nº10 
Temas: 
 Sistemas de medición de ángulos 
 Operaciones entre ángulos 
 Trigonometría 
 
1- Pasar al sistema sexagesimales los siguientes ángulos: 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
 
2- Convertir al sistema circular los ángulos: 
a) 
o
1 315   
b) 
o
2 0   
 
c) 
o
3 90   
d) 
 
3- Dados los ángulos 18 32'25''   y 87 54'47''   . Calcular: 
a)   b) 1( )
2
   
c) 
4- Probar que: 2 2(sen ) (cos ) 1    
5- Consideremos un triángulo rectángulo cuyos catetos miden a, b y su hipotenusa c. Sean  y  
ángulos agudos. Probar que: 
a) sen(90 ) cos   
b) cos(90 ) sen   
c) 1tg(90 )
tg
 

 
 
6- Un ferrocarril une en línea recta dos ciudades A y B. Una tercera ciudad C dista de las vías 22 Km. 
Si el ángulo que forman CAB es de 30 y el CBA es de 48 , calcular la distancia AB . 
7- Desde la terraza de un edificio, se observa, con un ángulo de depresión de 15°, un automóvil que se 
encuentra a 200 m del pie del edifico. ¿A qué altura se encuentra la terraza? 
8- Un tronco de 4,2 m está apoyado en una pared y forma con el suelo un ángulo de 60° 30’ 
 ¿Qué altura sobre la pared alcanza el tronco? 
Calcular la distancia desde el extremo inferior del tronco hasta la pared. 
9- Calcularla longitud que debe tener una escalera para que, apoyada en la pared alcance una altura 
de 2,85 m al formar con el piso un ángulo de 58°1’ (Rta: 3,36 m) 
10- Un faro construido al nivel del mar mide 50 m de altura. Desde su extremo superior, el ángulo de 
depresión con el que se observa una boya es de 25°. ¿A qué distancia de la base del faro se 
encuentra la boya? (Rta: 107,232 m) 
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20 
11- Calcular la sombra que proyecta una varilla vertical de 90 cm, cuando la oblicuidad de los rayos 
solares es tal que, forma con el plano del horizonte un ángulo de 67°45’20’’. (Rta: 36,809 cm) 
12- Hallar el ángulo de ascenso de un avión que, recorre 12.500 m en el aire, para alcanzar una altura de 
1.500m. (Rta: 6°53’31’’) 
13- Calcular la amplitud de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, sabiendo que un cateto es la 
cuarta parte del otro. (Rta: 14°2’11’’ y 75°57’49’’) 
14- El lado desigual de un triángulo isósceles mide 4,6 cm, y el ángulo opuesto a dicho lado mide 50°. 
Calcular el perímetro y el área del triángulo 
15- La rueda de una bicicleta cuyo radio es de 45 cm, tiene 36 rayos. Calcular: 
-La longitud de la rueda (en cm) entre dos rayos consecutivos. 
-El ángulo entre dos rayos consecutivos. 
-¿Cuántas vueltas completas da la rueda en 1 km?. 
16- Desde una ventana que está 23,4 m de altura se observa una pelota que se encuentra a 150 m del pie 
del edificio. ¿Cuál es el ángulo de depresión con el cual se observa el balón? 
17- Una escalera tiene dos hojas y cada una de ellas mide 8,5 m. Si se abre para alcanzar una altura de 
7,2 m, ¿cuál es el ángulo de abertura de la escalera? 
18- Las bases de un trapecio isósceles miden 16 m y 8 m. Si su altura es de 3 m. ¿Cuál es el área y 
perímetro del trapecio? 
 
 
 
 
 
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21 
TRABAJO PRÁCTICO Nº11 
Temas: 
 Razones trigonométricas 
 Identidades trigonométricas 
 Teorema del seno y coseno 
 
19- Determinar el cuadrante en que se encuentra el ángulo  en cada uno de los siguientes casos. 
 
a) sen 0  y cos 0  
b) tg 0  y cos 0  
 
c) sen 0  y sec 0  
d) 
20- Calcular las razones trigonométricas del ángulo  en los siguientes casos. 
a) 2sen
3
   ; 
b) tg 3  ; 
c) 2cos
5
   ; 
d) 
 
21- Simplificar cada una de las siguientes expresiones: 
a) 
2sec sec .sen  = 
b) sen .sec .cotg  = 
c) 
2 2sen (1 cotg )   = 
d) 
2 2(sen cos ) (sen cos )     =
 
22- Verificar las siguientes identidades. 
a) (1 sen )(sec tg ) cos      
b) 
sen cotg
1 sen .tg
cotg
  
   

 
c) cos 1 sen 2tg
1 sen cos
  
  
  
 
 
d) 4 4 2cos sen 2cos 1    
e) 21 1 2cosec
1 cos 1 cos
  
   
 
f) 
sec tg
sec .tg
cos cotg
  
  
  
23- Demostrar que: 
a) ( ) b) ( ) 
 
 
24- Dos boyas están situadas a 60 metros de distancia. Un barco se encuentra a 32 metros de la más 
cercana. El ángulo formado por las visuales a las boyas es de 35 . ¿Qué distancia separa el barco de 
la boya más alejada? 
25- Calcular la altura de una torre, si el ángulo de elevación disminuye de 75° a 40°, cuando un 
observador situado a una determinada distancia del pie de la torre, se aleja 300 m en la misma 
dirección. 
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22 
26- Desde el balcón de un edificio, se ve con un ángulo de depresión de 50° un automóvil estacionado 
en la calle. Desde el balcón de otro piso del mismo edificio, situado 10,5 m más arriba que el 
anterior, el ángulo de depresión con que se ve el mismo automóvil es de 60°35’. Calcular a qué 
distancia de la entrada al edificio se encuentra el automóvil. 
27- Calcular los ángulos de un triángulo cuyos lados miden 24 cm, 18 cm y 15 cm. 
28- Calcular la superficie de un triángulo cuyos lados miden 20 cm, 14 cm y 15 cm.