AMII-Finales-ciclo-lectivo-2017

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Análisis Matemático II (95-0703) – Finales tomados durante el “Ciclo lectivo 2017” 
Son 10 (diez) fechas de final, desde el 24/05/17 al 27/02/18 inclusive 
 
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Análisis Matemático II (95-0703) – Final del 24/05/17 
Condición mínima para aprobar: 3 (tres) ítems bien, uno de “T1) o T2)” y dos de “E1), E2), E3) o E4)”. 
T1) Enuncie el teorema de la divergencia (Gauss). Suponiendo que puede aplicar el teorema, sabiendo que 
f es solenoidal y que  6 dnf

 cuando  es la superficie semiesférica de ecuación 
224 yxz  orientada hacia z , calcule el flujo de f a través del disco 4
22  yx en el 
plano xy también orientado hacia z . 
T2) Defina función potencial. Sabiendo que )(),(
2222
2
,
2
yx
y
yx
x
yxf

 admite función potencial  en 
}0{2  y que 3)0,1(  , halle la ecuación de la línea equipotencial que pasa por el punto )0,1( . 
E1) Sea o el plano tangente a la superficie de ecuación 03)42ln(  yzxzyx en el punto 
)2,1,1(A . Calcule el flujo del campo f a través del trozo de o incluido en el 1º octante, sa-
biendo que ),2,3(),,( zxyxyxzyxf  ; indique gráficamente cómo ha orientado al plano. 
E2) Sea C la curva incluida en la superficie de ecuación 
xy
exxz
422 2

 . Sabiendo que la proyec-
ción de C sobre el plano xy tiene ecuación xy 2 , analice si la recta tangente a C en 
),2,1( ozA  interseca en algún punto al plano yz . 
E3) Dada yyexyxf
y
4),( 22  , analice si f produce extremos locales; en caso afirmativo clasi-
fíquelos y calcule su valor. 
E4) Calcule el volumen del cuerpo definido por: 32,
22  yzyxz . 
 
 
Análisis Matemático II (95-0703) – Final del 11/07/17 
Condición mínima para aprobar: 3 (tres) ítems bien, uno de “T1) o T2)” y dos de “E1), E2), E3) o E4)”. 
 
T1) Defina continuidad de una función en un punto. Dada 
22
22
1
3),(
yx
yxeyx
eyxf


 para 
)0,0(),( yx , analice si puede definirse )0,0(f para que f resulte continua en )0,0( . 
T2) Enuncie el teorema de Green. Siendo fD la matriz jacobiana de 
f , calcule la circulación de f a lo largo de la frontera del trián-
gulo de vértices )3,0(,)0,2(,)0,1( recorrida en sentido positivo. 







 

yx
xyx
yxDf
23
3316
),(
2
2
 
E1) Calcule el volumen del cuerpo definido por: 3,22 2222  yxzyxz . 
E2) Sea )(
31 Cf tal que )3,),(,),((),,( zzxhzygzyxf  , calcule el flujo de f a través de la superfi-
cie abierta  de ecuación 
2210 yxz  con 1z . Indique gráficamente cómo decidió orientar a  . 
Nota: Se sugiere hacer una conveniente aplicación del teorema de la divergencia (Gauss). 
E3) Dado el campo escalar f tal que )(),( 2 xgxyxyxf  , halle )(xg para que la gráfica de f en 
todo punto ))0,(,0,( xfx con 0x admita plano tangente de ecuación 3z . 
E4) Dado ),,(),,( 22 zzyxzyxf  , calcule la circulación de f a lo largo del arco de curva definido 
por la intersección de las superficies de ecuaciones 
24 xz  e 
2xy  desde )0,4,2( hasta 
)4,0,0( . 
 
Análisis Matemático II (95-0703) – Finales tomados durante el “Ciclo lectivo 2017” 
Son 10 (diez) fechas de final, desde el 24/05/17 al 27/02/18 inclusive 
 
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Análisis Matemático II (95-0703) – Final del 25/07/17 
Condición mínima para aprobar: 3 (tres) ítems bien, uno de “T1) o T2)” y dos de “E1), E2), E3) o E4)”. 
T1) Defina derivada direccional de f en un punto A según r

. Dado zyxyxzyxf  2),,( , calcule 
el valor de la máxima derivada direccional de f en el punto )1,1,1(A y determine la correspon-
diente dirección ( r

) de derivada máxima. 
T2) Enuncie el teorema de la divergencia (Gauss). Dado el campo ),)(,)((),,(
2 zxxgyzxgxzyxf  
con )1,2,1()1,1,1( f , halle una )(xg tal que resulte nulo el flujo de f a través de toda superficie ce-
rrada; suponga que se puede aplicar el teorema enunciado. 
E1) Calcule el área del trozo de plano de ecuación yxz 2 en el 1º octante, con 6 zyx . 
E2) Sea or la recta normal a la superficie definida implícitamente por 09
2 
 yxz
ezyzx en el 
punto )2,2,1( de la misma, analice si or interseca en algún punto a la curva dada por la intersección 
de las superficies de ecuaciones: 
223 yx  y 15 zyx . 
E3) Calcule el volumen del cuerpo definido por: 22 yxz  , 6
22  zyx . 
E4) Dado ),(),(
2 yxxyxf  , calcule la circulación en sentido positivo de f a lo largo de la curva 
frontera de la región plana definida por: 1
22  yx , xyx 2
22  , 0y . 
 
 
Análisis Matemático II (95-0703) – Final del 26/09/17 
Condición mínima para aprobar: 3 (tres) ítems bien, uno de “T1) o T2)” y dos de “E1), E2), E3) o E4)”. 
T1) Defina coordenadas polares. Resuelva en coordenadas polares la integral doble de 22),( yxyxf  
en la región D definida por: 0con41
22  xyx . 
T2) Defina punto regular de una superficie. Dada la superficie  de ecuación 
)23,,2( 2 vuvuvuX  con 
2),( vu , analice si la recta normal a  en )7,1,4( A tie-
ne algún punto en común con el plano de ecuación 16 zyx . 
E1) Siendo )4,6,9(),,( yxzzyxf  , calcule el flujo de f a través del trozo de plano de ecuación 
6322  zyx en el 1º octante. Indique gráficamente cómo decidió orientar al plano. 
E2) Calcule el volumen del cuerpo definido por: yzyx 2
22  . 
E3) Sea  una superficie de ecuación ),(
2 yxfxz  . Sabiendo que 52432  yxz es la ecuación del 
plano tangente a  en el punto ),2,2( ozA  , calcule aproximadamente )98.1,02.2(f . 
E4) Dado ))(,)(2(),( yxxgxgyyxf  con 
1Cf  , calcule la circulación de f a lo largo del 
arco de curva de ecuación 
24 xy  desde )0,2(A hasta )0,2(B . 
Sugerencia: Realice una conveniente aplicación del teorema de Green. 
 
 
 
 
Análisis Matemático II (95-0703) – Finales tomados durante el “Ciclo lectivo 2017” 
Son 10 (diez) fechas de final, desde el 24/05/17 al 27/02/18 inclusive 
 
Pág.: 3 de 5.- 
 
Análisis Matemático II (95-0703) – Final del 05/12/17 
Condición mínima para aprobar: 3 (tres) ítems bien, uno de “T1) o T2)” y dos de “E1), E2), E3) o E4)”. 
T1) Enuncie el teorema de la divergencia. Dado ),),(,),((),,( zyzxhzyhxzyxf  y suponiendo 
que se puede aplicar el teorema, calcule el flujo de f a través de la superficie esférica de radio 4 
con centro en el origen de coordenadas. Indique gráficamente cómo orienta a la superficie. 
T2) Defina solución general (SG) y solución particular (SP) de una ecuación diferencial ordinaria 
(EDO) lineal de orden n . Dada la EDO )(xfyy  , analice cuál debe ser )(xf para que 
xexy  sea solución de la ecuación diferencial; indique si es una SG o una SP. 
E1) Calcule el volumen del cuerpo definido por: xyzxxz  ,2,4 2 , 1º octante. 
E2) Dado ),2,2(),,(
2zzyzxzyxf  , calcule el flujo de f a través de la superficie abierta  de 
ecuación 22 yxz  con 9z , 0x . Indique gráficamente cómo orienta a  . 
E3) Calcule el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de 
3 donde la superficie de ecuación 
5232 22  yxxxyxz tiene plano tangente paralelo al plano xy . 
E4) Siendo ),(),( xyyxf  , calcule el área de la región plana acotada cuya frontera es la línea de 
campo de f que pasa por el punto )2,1( . 
 
 
 
Análisis Matemático II (95-0703) – Final del 12/12/17 
Condición mínima para aprobar: 3 (tres) ítems bien, uno de “T1) o T2)” y dos de “E1), E2), E3) o E4)”. 
T1) Defina coordenadas cilíndricas. Dada  
1
2
2
00
)(3 dzsendd 

 planteada en coordenadas cilín-
dricas, grafique la región de integración en el espacio xyz y plantee la integral con los límites ex-
presados en coordenadas cartesianas. 
T2) Defina función f continua en un punto. Dada 
22 32
9
),(
yx
yx
yxf

 para )0,0(),( yx , analice si 
puede definirse )0,0(f para que f resulte continua en )0,0( . 
E1) Dado )3,,2(),,( zyxzyxf  , calcule el flujo de f a través de la superficie  de ecuación 
24 yx  con 0,0, zxxz . Indique gráficamente cómo decidió orientar a  . 
E2) Calcule el volumen del cuerpo definido por: 
222 yxz  , 1,422  zyx . 
E3) Analice la existencia de extremos locales de zyxzyxf  2),,( evaluada en puntos de la superfi-
cie de ecuación 242  yyz . De existir, clasifíquelos y calcule su valor. 
E4) Calcule la circulación de )2,,2(),,( yzyxzyxf  a lo largo de la curva intersección de las su-
perficies de ecuaciones: 222 yxz  y 28 xz  . Indique gráficamente cómo orientó la curva. 
 
 
 
 
 
 
Análisis Matemático II (95-0703) – Finales tomados durante el “Ciclo lectivo 2017” 
Son 10 (diez) fechas de final, desde el 24/05/17 al 27/02/18 inclusive 
 
Pág.: 4 de 5.- 
 
Análisis Matemático II (95-0703) – Final del 19/12/17 
Condición mínima para aprobar: 3 (tres) ítems bien, uno de “T1) o T2)” y dos de “E1), E2), E3) o E4)”. 
T1) Enuncie el teorema de derivación de la composición de funciones (re-
gla de la cadena). Si )),((),( yxgfyxh  con uvvuvuf  2),( , cal-
cule la derivada direccional de h en )3,2( según )12,5(r siendo la 
matriz jacobiana de g la ),( yxgD que se indica a la derecha y 
)3,1()3,2( g . 







224
21
),(
xyx
yxgD 
T2) Defina punto regular de una curva. Dada la curva de ecuación ),83,( 222 uuuuX  con 
u , analice si )2,4,4(A es un punto regular de la misma. 
E1) Siendo ))(,)(2(),( 2 ygxyygxyxf  con g continua, calcule la circulación de f a lo largo de 
la recta de ecuación xy 2 desde el punto )6,3( hasta el punto )2,1( . 
E2) Dada la superficie  de ecuación 
22 yxz  en el 1º octante con 9z , calcule el flujo de f 
a través de  orientada hacia z sabiendo que )2,2,2(),,( zxyzyxf  . 
E3) Calcule la masa del cuerpo definido por 
2222 343 yxzyx  , si su densidad en cada pun-
to es proporcional a la distancia desde el punto al eje z . 
E4) Halle la solución particular de la ecuación diferencial 124  yy que en el punto )5,0( tiene 
recta tangente horizontal (paralela al eje x ). 
 
 
 
 
Análisis Matemático II (95-0703) – Final del 06/02/18 
Condición mínima para aprobar: 3 (tres) ítems bien, uno de “T1) o T2)” y dos de “E1), E2), E3) o E4)”. 
T1) Defina extremo local (máximo y mínimo). Dada con , anali-
ce si produce algún extremo local; en caso afirmativo clasifíquelo y calcule su valor. 
T2) Enuncie el teorema de Green. Dado , suponiendo que se puede 
aplicar el teorema, calcule la circulación de a lo largo de la curva de ecuación 
indicando gráficamente cómo decidió orientar la curva. 
E1) Calcule el área del trozo de superficie cónica de ecuación con . 
E2) Dado con , calcule la circulación de a lo largo de 
la curva de ecuación con , orientada según impone la 
parametrización dada. 
E3) Dada la familia de curvas planas de ecuación , halle la curva de la familia ortogonal 
que pasa por el punto (3, 5). 
E4) Siendo , calcule el flujo de a través de la superficie frontera 
del cuerpo D definido por orientada hacia afuera de D. 
 
 
 
 
 
 
Análisis Matemático II (95-0703) – Finales tomados durante el “Ciclo lectivo 2017” 
Son 10 (diez) fechas de final, desde el 24/05/17 al 27/02/18 inclusive 
 
Pág.: 5 de 5.- 
 
Análisis Matemático II (95-0703) – Final del 20/02/18 
Condición mínima para aprobar: 3 (tres) ítems bien, uno de “T1) o T2)” y dos de “E1), E2), E3) o E4)”. 
T1) Enuncie el teorema de la divergencia. Proponga un campo tal que el flujo de a 
través de la superficie frontera de la esfera de ecuación resulte saliente de la es-
fera y numéricamente igual al doble de su volumen. 
T2) Defina función potencial. Siendo la función potencial de un campo 
en , calcule la circulación de a lo largo de la curva de ecuación 
con en el 1º octante orientada con creciente. 
E1) Calcule el volumen del cuerpo definido por: . 
E2) Sea C la curva definida por la intersección de con . Cal-
cule la circulación de a lo largo de C indicando gráficamente cómo decidió orientar la curva, sa-
biendo que . 
E3) Sea la superficie de ecuación con , calcule el área del 
trozo de cuyos puntos pertenecen al 1º octante. 
E4) Siendo , resulta . Calcule aproximadamente sa-
biendo que el plano tangente a la superficie de ecuación en es . 
 
 
 
Análisis Matemático II (95-0703) – Final del 27/02/18 
Condición mínima para aprobar: 3 (tres) ítems bien, uno de “T1) o T2)” y dos de “E1), E2), E3) o E4)”. 
T1) Defina coordenadas polares. Sea planteada en coordenadas polares, 
dibuje la región de integración en el plano y plantee la integral indicando los límites de inte-
gración en coordenadas cartesianas. 
T2) Defina solución general de una ecuación diferencial ordinaria de orden . Dada la ecuación dife-
rencial , analice si es solución y –en caso afirmativo– indique si 
es la solución general. 
E1) Sea C la curva definida por la intersección de con , represénte-
la gráficamente, oriéntela y –con la orientación elegida– calcule la circulación de a lo largo de C 
sabiendo que y que . 
E2) Dado analice si produce extremos absolutos en la región plana defi-
nida por . 
E3) Siendo , calcule el flujo de a través de la superficie abierta de 
ecuación con orientada con versor normal tal que . 
E4) Calcule el volumen del cuerpo definido por: .