Cartilla-de-Trab-PrAícticos-de-MatemAítica-Ingreso-2020-UTN-FRT

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Matemática
Seminario de Ingreso 2020 
Ing. SAAVEDRA, Raúl 
COORDINADOR ÁREA MATEMÁTICA 
UTN – FACULTAD REGIONAL TUCUMÁN 
 
 
 
ÍN D I C E 
 
SÍMBOLOS ……...…………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………… Pág. I 
 
UNIDAD 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 EJERCICIOS PROPUESTOS ……...…………………………………………………………………………………………… Pág. 1 
 
UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
 EJERCICIOS PROPUESTOS …………………………………………………………………………………………………… Pág. 7 
 
UNIDAD 3: TRIGONOMETRÍA 
 EJERCICIOS PROPUESTOS …………………………………………….……………………………………………………… Pág. 14 
 
UNIDAD 4: ECUACIONES 
 EJERCICIOS PROPUESTOS ………………………………………………………………………………………….….…… Pág. 25 
 
UNIDAD 5: FUNCIONES 
 EJERCICIOS PROPUESTOS ……………………………………………………………………………………….….…. Pág. 30 
 
 
ANEXO: EJERCICIOS DE PARCIALES …………………………..…………………………………………………………… Pág. 39 
 
BIBLIOGRAFÍA ……...…………………………………………………………………………………..…………………………………………………………… Pág. 41 
 
Matemática 
Seminario de Ingreso – UTN – FRT Página | I 
Símbolos Matemáticos 
 
 
Alfabeto Griego 
 alfa  beta  gamma  delta 
 épsilon  lambda  mu  rho 
 pi  sigma  psi  omega 
 
 
= igual a ∧ y 
≠ no es igual a ∨ o, en sentido inclusivo 
≅ aproximado a ∨ o, en sentido exclusivo 
< menor que  implica (condición necesaria) 
≮ no es menor que  
Implica doblemente (condición necesaria y 
suficiente) 
> mayor que ∴ Por lo tanto; en consecuencia 
≯ no es mayor que / Tal que 
≤ menor o igual que ∃ Existe 
≥ mayor o igual que ∀ Para todo 
± mas o menos ∈ Pertenece 
∞ Infinito ⊆ Incluido en 
∝ proporcional a ⊂ Incluido estrictamente en 
// paralelo a ⊇ Incluye a 
⊥ perpendicular a ⊃ Incluye estrictamente a 
∡ ángulo ∪ Unión o junta 
⊾ ángulo recto ∩ Intersección o reunión 
 
 
 
 
 
Contenidos 
 Conjuntos. Operaciones 
 Números Naturales y Enteros 
 Números Racionales 
 Números Irracionales 
 Números Reales 
 Intervalos 
 Valor Absoluto 
 Potenciación y Radicación 
 Notación Científica 
 Logaritmo 
 Números Complejos
 
Conjuntos Numéricos 
Matemática Unidad 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS 
Seminario de Ingreso – UTN – FRT Página | 1
EJERCICIOS PROPUESTOS 
1) Dados los conjuntos por extensión, escribirlos por compresnion 
a) 𝐴 = {1, 3, 5, 7, 9} 
b) 𝐵 = {0, 2, 4, 6, 8, 10} 
c) 𝐶 = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64} 
d) 𝐷 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … } 
 
2) Dados los siguientes conjuntos 
𝐴 = {2, 4, 6, 8, 10, 11, 13} 𝐵 = {1, 3, 5, 6, 8, 10, 13, 15} 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑁| 𝑥 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑦 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 5} 
Hallar 
a) 𝐴 ∪ 𝐵 b) 𝐴 ∩ 𝐵 c) 𝐵 ∩ 𝐶 d) 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) e) 𝐵 ∩ (𝐴 ∩ 𝐶) 
 
3) Contesta si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas 
a) La diferencia entre dos números racionales es otro racional. 
b) Existen infinitos números naturales entre 10 y 25. 
c) Si a = 4 y b = 0, entonces a : b = 0 
d) El cociente entre un número y su opuesto es igual a (-1). 
e) Para todo a  R, (a-1)-1 = a 
 
4) Sean a y b enteros, b  0. Si a – b = 175 y la división de a por b tiene cociente 15 y resto 
7, halla a y b. 
 
5) Si se divide un número natural a por 2 se obtiene como cociente entero un número que 
llamamos b y el resto 0. Al dividir b por 2 obtenemos como cociente entero un número 
c y el resto 1. Luego dividimos c por 2 y en este caso el cociente es 1 y el resto 0. ¿Cuál 
es el número a? 
 
6) Razona si las afirmaciones siguientes son falsas o verdaderas poniendo un 
contraejemplo en aquellas que sean falsas. 
a) Hay números enteros que no son racionales 
b) Hay números reales que no son racionales 
c) Un número real es racional o irracional 
d) Todo número decimal es real 
e) Todo número decimal se puede escribir en forma de fracción 
f) Todo número decimal periódico se puede escribir en forma de fracción 
g) Un número irracional es real 
Matemática Unidad 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS 
Seminario de Ingreso – UTN – FRT Página | 2 
h) Hay números racionales que no son reales 
i) Los números irracionales tienen infinitas cifras decimales 
j) Todos los números racionales tienen infinitas cifras decimales que se repiten 
k) Algunos números racionales tienen infinitas cifras decimales que se repiten 
 
7) Realiza las siguientes operaciones sobre el conjunto de los números reales. 
a) (3 8) [5 ( 2)]    d) 
3 1 5 1
:
4 2 3 6
       
   
 
b) 5 [6 2 (1 8) 3 6] 5       e) 
2
4 6 2 3 512 . .2 : (2 .2 .2)
2

  
 
 
 
c) 
2 2 4 3 5
10 2 1 2
3 3 5 5 2
               
   
 f) 
1 1
3 2
5 6
        
   
 
 
8) Escribe un número que cumpla con las condiciones dadas: 
a) Decimal periódico puro que al redondear a la milésima da 3,667 
b) Decimal periódico mixto que al truncar a la centésima da 8,97 
c) Irracional que al redondear a la diezmilésima da 5,0023 
 
9) Calcula 
a) ¿De qué número es 150 la sexta parte? 
b) ¿De qué número es 900 el 51%? 
 
10) Expresa en forma de fracción los siguientes números: 
a) 3,666… d) 4,33333… c) 12,1333… 
b) 3,0002222… e) 3,3332323232… f) 105,330202… 
 
11) Desarrolla las potencias 
a)  21p  b) 2 2( )q p c) 2 3( 1)q  
d)  22 33x z y e) 3 33( )y x f) 11 33(2 )z y x  
 
12) Expresa estos radicales como potencia. 
a) 3 27 c)  3 125 
b) 8 64 d) 4 1000 
 
 
Matemática Unidad 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS 
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13) Expresa los radicales dados como potencia de exponente racional y resuelve: 
 
a) 3 97 b) 413 c) 
a a
a

3
 
d) 3 1210 e) 4 815 f) 



2
3 5
1
7 .
7
7
 
 
14) Efectúa las siguientes operaciones: 
a) 32 8 b) 5 18 32 2 72  c) 64 3 43 3 . 3 : 3 
d)  25 . 3 e) 3 102 75 2 : 2 . 2 f) 3 33 24 375 
 
15) Racionaliza el denominador 
a) 
3. 5
3
 b) 
2 1
2 1


 c) 
8
3 5
 
d) 
4 5
4 5


 e) 


p m
p m
 f) 
√
 
 
16) Desarrolla y expresa el resultado usando exponentes racionales. 
a) 
33 4
5 2
x x
x

 b) 
35. 9
27 . 125
 c) 1x x y d) 
 6
3
2 . 2
16
 
 
17) Resuelve las siguientes operaciones combinadas. 
 
a) 
2
1 ( 3) 1 3
2,16 .
4 2 2 8
        
   

 
 
 c) 
√
√
 
 
18) Expresa cada número en notación científica 
a) 123,5248 x 105 = ……………..………… d) 0,01245 x 109 = ………………….………… 
b) 5437,65 x 108 = ……………..…….…… e) 9877,3288 x 10-5 = ……………..………… 
c) 1200000 = ……………..…………….…… f) 0,00000000132 = ……………..…..……… 
 
2 3
2
1 3
1 6 5 2 1
2 . :
700 105 7 4 7 2
) :
1 1 1 1 0,035 102 . :3 2 3 4 59
b


            
         
11 20,5 0,5 3 3) (9 9 ) ( 27) ( 8)d

       
Matemática Unidad 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS 
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19) Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en notación científica (usa tu 
calculadora). 
 
a) 8,05 x 107 + 3,16 x 107 = ……………..………… c) 3,13 x 108 - 1,66 x 107 = ……………..………… 
b) 3,11 x 104 . 2,22 x 102 = ……………..………… d) 9,14 x 1010 : 3,07 x 106 = ……………..………… 
 
20) Expresa medianteintervalos el conjunto de reales que cumplan: 
a) Que sean menores que 7
5
 b) Que sean mayores que – 2 
c) Que estén entre 
1
3
 y 2 d) Que sean mayores o iguales que 0. 
 
21) Expresa el conjunto solución de las operaciones entre intervalos. Luego, grafícalas. 
 
a) 7 3x x  c) 3 5x x    e) 
2
3( , 0) (0, 2)o 
b) 1 2x y x   d)  2, 0,     f)     1 14 21, , 4 
 
22) El número – 12 es menor que – 3, es decir: – 12 < – 3. 
a) ¿es (– 12) . 5 menor que (– 3) . 5? 
b) ¿es (– 12) . (– 4) menor que (– 3) . (– 4)? 
 
23) Determina el conjunto de los números: 
a) Naturales, que satisfacen 4x e   
b) Enteros, que satisfacen 5 2 2 ( : 2,71...)e x e número e    
 
24) Desarrolla aplicando propiedades. 
a) loga
x y
z
 b) 
2
loga
x
y
 
 
 
 c) 
3
loga
x y
z
 
 
25) Escribe como un solo logaritmo 
a) log 2 log
x
xy
y
  
b) 
4
2 2
1
4 log log
2
a b a b
a a
    
 
 
Matemática Unidad 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS 
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c)  5 5 5
1
2 log log 2 log 7
3
x b x    
 
26) Sabiendo que log 2  0,3 y que log 3  0,48, calcula aplicando propiedades: 
a) log 0,02 d) 3
5
log
9
 
b) 52 2 2
1
log 2 log 8 log
4
  e) 4log 780 1,25 
c) 
4
1
log
0,6
 f) 
4 3
3 10
0,125. 80
log
(3,2) .0,8
 
 
27) Halla el conjugado y el opuesto de cada uno de los siguientes números complejos. 
a) 3 j b) 2 2 j  c) 7 d) 5 j 
 
28) Dados los complejos: 1 25 7 3 2Z j y Z j     . Calcula: 
a) 1 2Z Z c) 
1
1 2Z Z
 e) 22 1.Z Z 
b) 1 2 1Z Z Z d)  
1
1 2Z Z

 f) 1
2 12
Z
Z Z
 
 
29) Calcula m y n para que se verifique:  3 2 5 2 2 6m j nj j     
 
30) Efectúa las siguientes operaciones: 
a) 
4 5
2
j
j
 

 b)  51 2 j c) 
3
3 3 3
2 2
j
 
  
 
 d) 
7 7
4
j j
j

 e)   23 j  
 
 
31) Grafica los complejos obtenidos en los aparatados a), c) y d) del ejercicio 33. También 
grafica los conjugados y opuestos. 
 
32) Calcula u de manera que 
1
u j
j


 sea: 
a) Igual (1 + 2j) b) Un número real c) Un imaginario puro 
 
33) Dados los números complejos 2 m j y 3 n j , halla los valores que deben tener m y n 
para que el producto de los complejos dados sea 8 4Z j  . Luego, calcula el módulo 
de Z. 
Matemática Unidad 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS 
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CIRCUITO SERIE RL 
LZ R jX  
Z: impedancia compleja. 
XL: reactancia inductiva medida en 
ohm, []. 
Se calcula: XL = .L 
: pulsación eléctrica, medida en 
ciclos por segundos, [c/s] 
Se calcula:  = 2..f 
L: inductancia, se mide en henry, 
[Hy]. 
f: frecuencia de la red, medida en 
hertz, [Hz]. 
 
Módulo de la impedancia 
2 2
LZ R X   [] 
 
Desfase entre tensión y corriente 
LXarctg
R
  
APLICACIONES 
34) En una escuela, el 33% de los alumnos estudia inglés y 
1
3
francés. ¿Cuál es el idioma más 
elegido? 
 
35) Un producto sufre dos aumentos consecutivos del 5% y del 10% respectivamente. Luego 
sufre un descuento del 12 %. ¿En cuánto se modificó el valor original? ¿Cuál es el 
porcentaje de aumento que sufrió? 
 
36) La velocidad de la luz, en el vacío, es de 3 x 105 km/s. ¿Cuántos centímetros recorre la 
luz en una hora? ¿y en un año? Expresa los resultados en notación científica. 
 
37) Una determinada bacteria mide 3,0 x 10–6 m. ¿Cuántas bacterias colocadas en línea 
recta serían necesarias para cubrir 1,2 x 102 cm de longitud? 
 
38) El diámetro de la luna es de aprox. 3500 km. ¿Cuánto tiempo 
tardaría en dar una vuelta completa alrededor de la misma, un 
satélite cuya órbita se encuentra a 100 km de la superficie lunar, 
si su velocidad media es de 5 x 105 m/h? 
 
 
 
39) Un circuito serie R-L se alimenta con una fuente de 
tensión alterna V de 50 Hz de frecuencia. 
a) Determina la impedancia compleja del 
circuito. 
b) ¿cuál será el desfasaje entre la tensión y 
corriente del circuito? ¿Y el módulo de la 
impedancia? 
 
 
 
 
R = 100  
L = 0,1 Hy 
 
 
 
 
 
Contenidos 
 El Lenguaje Algebraico 
 Clasificación de las Expresiones Algebraicas 
 Polinomios 
 Regla de Ruffini y Teorema del Resto 
 Teorema del Factor y Teorema Fundamental del Algebra 
 Factoreo 
 Expresiones Algebraicas Fraccionarias 
 Simplificación
Expresiones 
Algebraicas 
Matemática Unidad 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
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EJERCICIOS PROPUESTOS 
 
1) Expresiones algebraicas. El lenguaje algebraico 
La variable x representa un número natural. Expresa en función de él: 
a) Su cuádruple. 
b) El doble de su posterior. 
c) La mitad de su anterior más cuatro unidades. 
 
2) Expresa algebraicamente los siguientes enunciados: 
a) Las dos terceras partes del cuadrado de un número. 
b) El cuadrado del triple de un número. 
c) El triple de un número menos tres. 
d) El triple de un número, más tres. 
 
3) Expresa algebraicamente 
a) el área de la figura b) la diagonal de la figura 
 
 
4) Completa la siguiente tabla indicando el valor numérico de cada expresión. 
 
 1x   0x  2x  
1
2
x  
2x x 
2
6
2
x
x  
 10 5x x 
 3 1 2x   
Matemática Unidad 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
Seminario de Ingreso – UTN – FRT Página | 8 
5) ¿Cuáles de estas expresiones algebraicas son polinomios? 
a. 𝑃(𝑥) = c. 𝑇(𝑥) = 𝑥 + 1 − 𝑥 e. 𝐿(𝑥) = √2𝑥 − 𝑥 + 1 
b. 𝐻(𝑥) = d. 𝐺(𝑥) = 2 + 1 f. 𝑀(𝑥) = + 2𝑥 + 1 
 
6) Describe los siguientes polinomios, indicando el número de términos, coeficientes, 
grado, ordenamiento. 
a) 3 2( ) 32 12A x x x  b) B( ) 2 5 3 4x x x x    
c) 3 3 5C( ) 3 4 6 40 10x x x x x     d) 2D( ) 6 3 5 8x x x x    
 
7) Dados los siguientes polinomios: 
𝑃 (𝑥) = 3𝑥 + 5𝑥 − 1 𝑃 (𝑥) = 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 + 5 
𝑃 (𝑥) = 𝑥 + 2 𝑃 (𝑥) = 3𝑥 + 3 
Calcula e indica el grado del polinomio resultante 
a) [𝑃 (𝑥) + 𝑃 (𝑥)] . 𝑃 (𝑥) 
b) 𝑃 (𝑥) . 𝑃 (𝑥) − 𝑃 (𝑥) 
c) [𝑃 (𝑥) + 𝑃 (𝑥)] . [𝑃 (𝑥) − 𝑃 (𝑥)] 
 
8) Para los polinomios del ejercicio anterior, calcula los siguientes valores numéricos: 
a) 𝑃 (1) b) 𝑃 (−1) c) 𝑃 (0) d) 𝑃 (−2) e) 𝑃 
 
9) Efectúa, en el caso que sea posible, las siguientes divisiones, indicando para cada caso 
el polinomio cociente y el polinomio resto. Aplica regla de Ruffini en el caso que sea 
posible. 
a) (𝑥 + 3𝑥 − 4𝑥 − 12): (𝑥 + 2) 
b) (4𝑥 + 6𝑥 − 11𝑥 + 21𝑥 ): (𝑥 + 3𝑥) 
c) (2𝑥 − 24𝑥 + 4𝑥 + 18𝑥): (2𝑥 − 3𝑥) 
d) (4𝑥 − 3𝑥 + 7): (2𝑥 − 6) 
e) (𝑥 + 3𝑥 − 4𝑥 − 8): (1 + 2𝑥) 
 
10) Para cada caso del ejercicio anterior, escriba el algoritmo de la division y señale si la 
division es exacta (¿Por qué?). 
 
 
Matemática Unidad 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
Seminario de Ingreso – UTN – FRT Página | 9 
11) Utilizando el teorema del resto, obtiene el resto de dividir al polinomio 
𝑃(𝑥) = 𝑥 + 2𝑥 − 2𝑥 − 12 por: 
a) (x + 2) b) (x + 1) c) (x – 1) d) (x – 2) 
¿conoces algún cero del polinomio? 
 
12) Escribe un polinomio de grado 5 que sea divisible por 2 2x  
 
13) Escribe un polinomio de grado 6 cuyo resto en la división por 4 3x  sea 2 1x  . 
 
14) Calcula el resto de las divisiones dadas siguiendo dos caminos; i) por división clásica, ii) 
aplicando el teorema del resto. 
a. (2x3 – 9x2 + 4x + 10): (2x – 5) b. (x4 – 2x3 – 2x2 – 3) : (x2 – 2x + 1) 
c. (8x3 + 36x2 + 54x + 13) : (4x2 + 12x + 9) d. (32x5 – 1) : (2x – 1) 
 
15) Aplica la regla de Ruffini e indica los polinomios cociente y resto para cada caso: 
a. x x x x x
      
 
4 3 213 7 12 4 :( 3)
5
 c. 4 2(5 3 2 6):( 2)x x x x    
b.  x x x x     
 
3 2 13 12 4 : 3
2
 d. (x3 + 3x2 – 8x + 1): (x + 1) 
 
16) Determina C(x) y el resto. 
a.   
4( 3 1):(2 0,2)x x x b. (x3 + 3x2 – 8x + 1): (2x + 2) 
c. (2x
3 – 9x2 + 4x + 10) : (2x – 5) d.  3 2 14 : 3 1
3
x x x x
     
 
 
 
17) Sean los siguientes polinomios, P x ax bx c  2
5
( ) 3
2 y 
Q x x bx  2
1 1
( ) 5
2 2 
 
sabiendo que: P(x) – Q(x) = ax x c 2
3
4 8
2
. Calcula a, b y c. 
 
18) Si se sabe que en la división de 𝑃(𝑥) = 𝑥 − 4𝑥 + 3 por (x – c) se obtiene un resto igual a 
– 1, ¿Cuáles son los posibles valores de c? 
 
19) Halla el valor de “k” para que la división sea exacta, (𝑥 + 4𝑏 𝑥 − 𝑘𝑏 𝑥 + 𝑏 ): (𝑥 − 𝑏) 
 
Matemática Unidad 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
Seminario de Ingreso – UTN – FRT Página | 10 
20) Sea 𝑃(𝑥) = 24𝑥 + 36𝑥 − 25𝑥 + 50𝑥 + 15𝑥 − 5 
a) Si se lo divide por (x + 1), ¿Cuál es el resto? 
b) ¿el polinomio P(x) es divisible por (x + 1)? 
c) ¿Es (x + 1) factor de P(x)? 
 
21) Halla el valor de “m” si P(x) si Q(x) es factor de P(x). Siendo, 𝑃(𝑥) = 2𝑥 + 𝑚𝑥 + 1 𝑦 
𝑄(𝑥) = (𝑥 − 2) 
 
22) Para que valores “a” y “b” el polinomio P(x) es divisible en Q(x), si: 
a) 4 3 2P(x) 3 ( ) ( 1) ( 1)x x bx ax b Q x x x        
b) 3 2 2P(x) 73 102 ( ) 5 6ax bx x Q x x x       
 
 
23) Para los siguientes polinomios, extrae factor común y escribe la expresión como un 
producto de dos factores. Indica sin hacer cuentas, cuales son los ceros de los 
polinomios. 
a) 𝑃(𝑥) = −2𝑥 + 𝑥 c) 𝑅(𝑥) = 3(𝑥 + 2) + 3(𝑥 + 2) 
b) 𝑄(𝑥) = 4𝑥 + 2𝑥 d) 𝑃(𝑥) = 𝑥 − 𝑥 
 
 
24) Halla los ceros faltantes de los polinomios dados; luego, expresa a P(x) en forma de 
factores: 
a. 3 2( ) 14 24 2P x x x x x es cero de P      
b. 4 3 2( ) 3 3 11 6 2T x x x x x x es cero de P      
 
 
25) Halla los ceros de los siguientes polinomios: 
a. P(x) = 2x3 – x2 + 2x – 1 c. P x x x x   3 2
1 11
( ) 3 3
2 2
 
b. P(x) = x4 + x3 – 4x2 – 4x d. P x x x  4 2
7
( ) 3
4
 
 
 
Matemática Unidad 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
Seminario de Ingreso – UTN – FRT Página | 11 
26) Factorea las siguientes expresiones algebraicas: 
 
a)  2 2 6 8 4 45 125 50a b b x ax b e) a m b m a n b n  2 2 2 2 
b) a m abm a n abn  2 2
1 1 2 2
3 3 3 3
 f) 2 2( 2 ) ( 3 )x a x a   
c) a a a  3 2 1 g) a x a x ax x  3 2
3 9 9
3
8 4 2
 
d) a a a x ax  
4 2 34 4 h) x a x x y a y x y a x y    7 3 4 3 2 3 2 5 3 22 2 
 
27) Factorea los siguientes polinomios y calcula los ceros. Indica la multiplicidad de los ceros 
a) 3 2( ) 2 4 8P x x x x    b) 4( ) 81P x x  
c) 5 3( )P x x x  d) 5 4 3 2( ) 5 5 6 6P x x x x x x      
e)    2 22( ) 9 3P x x x    f) 4 2( ) 5 4P x x x   
g) 3( ) 3 2P x x x   h) 7 4 3( ) 16 16P x x x x    
i) 5 4 3 2( ) 3 3P x x x x x    j) 5 4( ) 2 2 1P x x x x    
k) 2 4( ) 16 40 25P x x x   l) P(x) = 2x³ - x² + 2x - 1 
 
28) Determine el polinomio de tercer grado cuyos ceros son 2, -1, 3 y el coeficiente del 
término cúbico es 5. 
 
29) Determine el polinomio de cuarto grado cuyos ceros son 1, 2 (doble), 5 y P(0) = 20. 
Expresa el polinomio en su forma factoreada. 
 
30) Diga si el número 2 es un cero del polinomio: x4 – 5x3 + 8x2 – 4x. ¿Cuál es su multiplicidad?. 
Expresa el polinomio en su forma factoreada. 
 
31) Para cada caso, encuentra el polinomio dados sus ceros. Además, el coeficiente del 
término principal es uno para todos los casos. 
a) 1, 2, 4 b) 1, , 0,j j  
c) 1, 1 j  d) 1, 2 , 1j  
 
32) Verifica si (2x – 1) es un factor del polinomio 4x3 – 31x + 15. Si es así, encuentre el otro 
factor y expresa P(x) como producto de esos factores. 
 
Matemática Unidad 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
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33) Determina a  R tal que los polinomios P x x a x  2( ) ( ) ( 1) y Q x x a x x   4 2 2( ) 2 5 
tengan al menos una raíz en común. 
 
34) Si el residuo de dividir el polinomio 5 3( ) 8P x ax bx c x    entre (x + 3) es 6, determine, 
entonces, el residuo de dividir P(x) entre (x – 3). 
 
35) El polinomio P x x px q  3( ) tienes tres ceros tales que: 
 x1 = x2 x3 = x1 – 6 x1 + x2 + x3 = 0 Calcula p y q. 
 
36) Sea 3( ) ( )P x a b x a   , determina los valores de a y b tal que al dividir P(x) en (x – 1) se 
obtenga resto 4 y al dividir en (x + 1) la división sea exacta. 
 
37) Simplificar las siguientes expresiones algebraicas 
a. 
2 2 3
3
x x
x
 

 b. 
3 2 2 2 2 2
4
4 2 8
16
y x x y y x x
xy x
  

 
c. 
2 2
2 22
x y
x xy y

 
 d. 
4
2 2(3 3).( 2 1)
ax a
x x x

  
 
e. 
2 6 9
3 3
y y
my m y
 
  
 f. 
2 2
3 2 2
6
6 9
a ab b
a x a bx ab x
 
 
 
 
38) Opera y simplifica las siguientes expresiones algebraicas, indicando el conjunto de 
validez. 
a) + 
b) + 
c) 2 + + 
d) − 
e) 
( )( ) ( )( )
 
f) ∙ 
 
Matemática Unidad 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
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APLICACIONES 
39) Encuentra las expresiones que representan el perímetro y la superficie de las siguientes 
figuras. 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
40) Dada la figura formada por un cuadrado de lado x, y cuatro triángulos isósceles, cuyos 
lados iguales miden y: 
i. Encuentra la expresión algebraica que representa el 
área de la figura. ¿Es un polinomio? Justifica. 
ii. Si la figura es la base de una columna recta de altura z, 
encuentra la expresión algebraica que represente el 
volumen de la columna. ¿Es un polinomio? Justifica 
 
41) Si dos resistencias eléctricas R1 y R2 son conectadas en paralelo, entonces la resistencia 
total RT será: = + 
 
a) Encuentra la expresión de RT 
b) Calcula RT si: i) R1 = 50 y R2 = 20 
 ii) R1 = R2 = 100 
c) Elabora una conclusión respecto al valor que toma RT en función de los valores de 
R1 y R2. 
 
42) Un rectángulo tiene una altura que mide 3 veces la longitud de la base. Si se 
incrementan la base en 3 cm y la altura en 5 cm entonces el área es de 319 cm. ¿cuáles 
son las dimensiones del rectángulo? Escribir una expresión algebraica que represente 
el área del rectángulo. ¿Es un polinomio?
 
 
 
 
 
Contenidos 
 Figuras Planas 
 Polígonos. Perímetro y área 
 Ángulos. Sistemas de Medición de Ángulos 
 Triángulos. Cuadriláteros. Circunferencia. Perímetros y Áreas 
 Cuerpos Geométricos. Volumen 
 Razones Trigonométricas 
 Resolución de Triángulos Rectángulos 
 Circunferencia Trigonométrica 
 Relación entre Ángulos de Distintos Cuadrantes 
 Resolución de Triángulos Oblicuángulos. Teoremas del Seno y del Coseno
 
Trigonometría 
Matemática Unidad 3: TRIGONOMETRÍA 
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EJERCICIOS PROPUESTOS 
UN POCO DE GEOMETRÍA 
1) Los siguientes ángulos están dados en radianes. Exprésalos en el sistema sexagesimal. 
a) 
3

 b) 
7
5

 c) 16, 
d) 
1
6
 
 e) 
4
3

 f) 6 28, 
 
2) Expresa en radianes a los siguientes ángulos. 
a) 22 b) 45 6, c) 125 23 19 ''' 
d) 720 e) 100 28, f) 78 15 42 ' '' 
 
3) Dada la figura, calcula el ángulo . 
25
20
35



 
 
 
 
 
4) Determina el área de los triángulos cuyos lados son: a) 4, 5, 6. b) 5, 6, 7. 
 
5) Calcula el área para las siguientes situaciones: 
a) Un rectángulo de base 7 m y perímetro 24 m. 
b) Un triángulo equilátero de lado 6 m. 
 
6) Determina el área de las siguientes figuras: 
a) 
 
b) 
 
Matemática Unidad 3: TRIGONOMETRÍA 
Seminario de Ingreso – UTN – FRT Página | 15 
c) 
 
d) 
 
 
7) Calcula el área con los siguientes datos: 
a) Una circunferencia de 6 cm de radio. Hallar también su longitud. 
b) Un sector circular de 120 º de amplitud y 20 cm de radio. 
c) Un círculo de 4 m de diámetro. Luego calcula su longitud. 
d) Un sector circular en un círculo de 8 m de diámetro, con una abertura de 60º. 
 
8) Realiza los siguientes cálculos. 
a) Calcula el área de la figura. 
 
b) Dado el cuadrado de la figura, 
calcula el área sombreada. 
 
c) El lado del cuadrado es 5 cm. 
Calcula el área y el perímetro de la 
región sombreada. 
 
 
Matemática Unidad 3: TRIGONOMETRÍA 
Seminario de Ingreso – UTN – FRT Página | 16 
9) Para hacer un lazo, se necesitan 40 cm de cinta. ¿Cuántos lazos se pueden hacer con 
un rollo de 12 metros de cinta? 
 
10) Una prueba ciclística consiste en dar 12 vueltas a un circuito 
circular de 15,8 km de longitud. Si un corredor ya ha dado 
tres vueltas y media, ¿qué distancia le queda por recorrer? 
 
 
11) Un auto en una pista circular recorre un ángulo de 135° y barre una longitud de arco 
de 54π. Halla: 
a) el radio de la pista circular. 
b) el área del sector circular recorrida. 
 
 
12) El péndulo de un reloj al balancearse describe un ángulo de 20° y una 
longitud de arco de 3π. ¿Cuál es la longitud del péndulo? 
 
 
13) Se desea recortar un espejo de forma circular de radio 50 cm a partir de un cuadrado 
¿Cuál es el área del menor cuadrado? 
 
14) Calcula el volumen de los siguientes cuerpos: 
a) Un cubo de 9 m de arista. Halla también su área. 
b) Un prisma triangular regular recto de arista básica 5 cm y 16,5 cm de altura. Calcula 
también su área. 
 
15) Dadas las figuras, calcula los volúmenes y las áreas: 
a) b) c) 
 
Matemática Unidad 3: TRIGONOMETRÍA 
Seminario de Ingreso – UTN – FRT Página | 17 
16) Calcula el área y el volumen para cada de cuerpo de la figura. 
 
a) b) 
 
 
 
17) Calcula el volumen y la superficie de la Tierra (considerada 
esférica), teniendo en cuenta que su radio medio es de 
aproximadamente 6378 km. 
 
 
18) Hallar el volumen de la pirámide de Keops, sabiendo que 
su altura actual es de aprox. 230,4 m y el cuadrilátero que 
forma su base tiene 137 m de lado. 
 
 
19) A un paciente se le aplica un suero intravenoso tal que cae una 
gota cada minuto. Si suponemos que el recipiente es un cilindro recto 
de 4 cm de radio y 14 de altura, y la gota es aproximadamente una 
esfera de 4 mm de diámetro. ¿Cuánto durará el suero?. 
 
 
20) Para abastecer de agua algunas zonas de 
África, una empresa dona depósitos como 
el de la figura. Calcula el volumen de cada 
depósito. 
 
Matemática Unidad 3: TRIGONOMETRÍA 
Seminario de Ingreso – UTN – FRT Página | 18 
TRABAJEMOS CON TRIGONOMETRÍA 
21) Teniendo en cuenta el triángulo de la figura, calcula las razones trigonométricas para: 
 
a) los ángulos A y B de un triángulo rectángulo ABC donde, a = 8 
y b = 15. 
b) el ángulo B, sabiendo que cos B = 0,6. 
c) Los ángulos A y B, sabiendo que tg B = 1,3. 
 
22) Determina los lados y ángulos faltantes (ten en cuenta el triángulo de ejercicio anterior): 
 
a) A = 60° 25’ a = 120 b) b = 25 c = 34 
c) B = 37° 45’ c = 12 d) a = 15 b = 18 
e) c = 7 a = 12 
 
23) Sabiendo que el área de un triángulo es 
15
4
 y que la medida de sus lados es 1 y 2. 
Calcula la longitud (más corta) del tercer lado. ¿Qué tipo de triángulo se obtiene? 
 
24) Calcula la base de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 17 cm y su altura 8 cm. 
 
25) Calcula la altura del triángulo equilátero y la diagonal del cuadrado. 
 
 
26) Halla el área de la circunferencia circunscrita a un rectángulo de lados 15 y 20 cm. 
 
 
 
 
 
 
Matemática Unidad 3: TRIGONOMETRÍA 
Seminario de Ingreso – UTN – FRT Página | 19 
 
 
27) Calcula el área de la figura. 
 
 
 
28) Desde un punto situado a 200 m, medido horizontalmente respecto del pie de una torre, 
se observa que el ángulo hacia la cúspide es de 60°. Calcula la altura de la torre. 
 
29) Un faro de 30 m de altura se encuentra ubicado sobre un acantilado. Si desde un barco, 
en un instante dado, se observa el extremo y la base del faro con ángulos de elevación 
de 45° y de 30° respectivamente, determina a que distancia se encuentra el barco de 
la perpendicular que contiene al eje del faro. Grafica la situación y justifica. 
 
30) Dos boyas son observadas en dirección sur desde lo alto de un acantilado cuya parte 
superior esta 312 m sobre el nivel del mar. Calcula la distancia entre las boyas si sus 
ángulos de depresión medidos desde la punta del acantilado son 46° 18’ y 27° 15’. 
 
31) Un helicóptero se mantiene a una altitud constante de 340 metros (m) y pasa por 
encima de un punto de observación 𝐴 ubicado en el suelo. Después de un minuto, el 
ángulo de elevación de 𝐴 al helicóptero es de 60°. Grafica la situación y determina la 
velocidad del helicóptero en kilometros por hora (km/h). 
 
32) Para las siguientes proposiciones, indique a que cuadrante pertenece el ángulo : 
a. tg  > 0 y sen  < 0 
b. tg  y cos  tienen el mismo signo 
c. sen  y cos  tienen el mismo signo 
d. sen  y tg  tienen signos opuestos 
e. cos  > 0 y tg  < 0 
f. Todas las funciones trigonométricas tienen el mismo signo 
 
 
 
Matemática Unidad 3: TRIGONOMETRÍA 
Seminario de Ingreso – UTN – FRT Página | 20 
TRABAJANDO CON TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 
33) Dado el triángulo; determina para cada caso el valor de la relación trigonométrica 
pedida. 
a) Si 
2
2
sen   , entonces cos  =? 
b) Si 
5
12
tg   , siendo  un ángulo agudo, entonces cos  =? 
c) Si 
1
2
sen   , entonces cotg  =? 
d) Si 
3
5
sen   , siendo  un ángulo agudo, entonces, ¿cuánto 
vale la expresión tg  – cos ? 
 
34) En la figura, ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) verdadera(s)? 
 
 
) 2
4 5
) cos
5
) 1
i tg
ii sen
iii tg tg

 
 

 
 
 
 
 
 
35) 
 
 
a) Si el ángulo ABC mide 30º, ¿Cuál es la medida 
del ángulo ACD? 
 
 
 
 
b) De acuerdo al triángulo rectángulo de la figura, 
¿Cuánto mide el ángulo x? 
 
 
 
Matemática Unidad 3: TRIGONOMETRÍA 
Seminario de Ingreso – UTN – FRT Página | 21 
36) Dada la figura, calcula los segmentos AD, AC, BC y BD. 
 
 
 
 
 
37) Determina el área del triángulo rectángulo MPN, sabiendo que MQ = 10 m y  = 50°. 
(RQ = QP) 
 
 
APLICACIONES DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 
38) Una escalera de 8,2 m está apoyada en una pared de forma que alcanza una altura 
de 6 m. a) realiza un esquema de la situación; b)¿qué ángulo forma con el suelo? 
 
39) La Iuz de un puente forma un arco de 66° correspondiente a una 
cuerda de 34 m. Calcula el radio de dicho arco. 
 
 
 
40) Un árbol de 10 m de altura proyecta su sombra sobre el suelo cuando los rayos delsol 
forman con la horizontal un ángulo de 15º. a) realiza un esquema de la situación; b) 
halla la longitud de la sombra. 
 
41) Una persona se encuentra al pie de un árbol disfrutando de la sombra que este 
produce. Si los rayos del sol inciden sobre el árbol de 30 m altura formando un ángulo 
de 25° con el suelo. a) esquematiza la situación; b) ¿Cuánto debería desplazarse esta 
persona para salir totalmente de la zona de sombra? 
M 
N 
R 
Q P 
  
Datos 
 = 60°  = 53° 
AB = 18 m 
 
 
A 
B 
D 
C 
Matemática Unidad 3: TRIGONOMETRÍA 
Seminario de Ingreso – UTN – FRT Página | 22 
42) Un observador situado a 12 m por encima del suelo divisa un objeto (sobre el suelo) con 
ángulo de 53°. ¿Aproximadamente qué tan lejos está el objeto del punto en el suelo 
que está directamente bajo el observador? 
 
 
43) Calcula la altura de una chimenea sabiendo que la visual dirigida 
al punto más alto por un observador de 1,80 m de altura, que se 
encuentra a 48 m de distancia del pie de la chimenea, forma un ángulo 
de 36,67º con la horizontal. 
 
 
TRABAJANDO CON TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS 
 
44) Con los datos dados en cada caso, determine los 
otros elementos del triángulo oblicuángulo y 
complete la tabla. Si no se puede determinar 
explique por qué. 
 
   a b c 
De acuerdo a los datos, ¿qué 
fórmula/s emplearías? 
Área 
30° 45° 40cm 
 65° 120m 84m 
 
5
9

 60m 70m 
 
0,92 215m 150m 
 12m 8m 2m 
5
18

 120° 0,175 
 
 
 
45) La circunferencia de la figura tiene como centro el punto P; 
dentro de ella se ha trazado un triángulo con un ángulo de 80º, 
¿Cuál es el valor del ángulo y? ¿Cuánto vale el lado opuesto al 
ángulo de 80°? 
 
 
  
a 
c 
b 
Matemática Unidad 3: TRIGONOMETRÍA 
Seminario de Ingreso – UTN – FRT Página | 23 
 
46) Calcule el lado DB , sabiendo que este es 
perpendicular a AC . 
Además: 15 20 ' 105 10 ' 80AC cm      
 
 
 
 
47) Dado el grafico, calcula el segmento AB 
sabiendo que BD es una bisectriz por B y 
 = 62,1°. 
 
 
 
APLICACIONES DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS 
 
 
 
48) Halla la longitud a del faro inclinado si se sabe 
que en el triángulo ABC que se observa el 
lado b mide 9,9 m, los ángulos A, B miden 42° 
y 53° respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
49) Halla la distancia que existe entre las 
personas. 
 
 
 
Matemática Unidad 3: TRIGONOMETRÍA 
Seminario de Ingreso – UTN – FRT Página | 24 
50) Un poste vertical situado sobre una pendiente que forma un ángulo de 7º con la 
horizontal, proyecta hacia abajo de la pendiente una sombra de 36.3 m de longitud. 
Los rayos solares inciden sobre el poste con un ángulo de 26º respecto de la horizontal. 
a) realiza un esquema de la situación; b) calcula la longitud del poste. 
 
 
51) A medida que un globo aerostático sube, su ángulo de elevación desde 
un punto P al nivel del suelo y a 110 km del punto Q, que está 
directamente bajo el globo, cambia de 19°20’ a 31°50’. ¿Cuánto sube el 
globo durante ese período? 
 
 
 
52) En el paralelogramo de la figura, el lado a mide 10 cm y 
el ángulo , 120°; además el área del mismo es de 433 cm2. 
Determina los valores de: a) el lado b; b) la diagonal 
mayor. 
 
 
53) Desde lo alto de un faro, se observa dos barcos en direcciones opuestas con ángulo 
de depresión de 16° y 37°. Si la altura del faro es de 21 m. a) Realiza un esquema de la 
situación; b) ¿Qué distancia separa a los barcos? 
 
 
54) La famosa torre inclinada de Pisa tenía originalmente 58 m de 
altura. Desde un punto situado a 42 m de la base de la torre, se 
encuentra que el ángulo de elevación a la parte más alta de la torre 
es de 60°. 
a) Encuentra la altura de la torre. 
b) ¿Cuánto se ha inclinado la torre desde su posición original? 
 
 
 
 
a 
b 
 
 
 
 
 
Contenidos 
 Conceptos Generales. Clasificación 
 Ecuaciones de Primer Grado (lineales). Aplicaciones 
 Ecuaciones de Segundo Grado (cuadráticas). Formas de Resolución 
 Naturaleza de las Raíces. El Discriminante. Aplicaciones 
 Ecuaciones Racionales 
 Ecuaciones Irracionales 
 Inecuaciones. Propiedades 
 Inecuaciones Lineales, Fraccionarias y con Valor Absoluto 
 Resolución de Inecuaciones. Aplicaciones
 
Ecuaciones 
Matemática Unidad 4: ECUACIONES 
Seminario de Ingreso – UTN – FRT Página | 25 
EJERCICIOS PROPUESTOS 
 
1) Representa como expresión algebraica cada una de las siguientes expresiones. 
a) El cuadrado de la suma de dos números. 
b) Un quinto de un número más un medio. 
c) El cuadrado de la tercera parte de la suma de dos números. 
d) La mitad del cuadrado de la diferencia de dos números. 
e) El cuadrado de un número más el doble producto de ese número por otro. 
f) El producto de tres números consecutivos. 
g) El quinto de la diferencia de un numero menos tres. 
 
2) Despeja la variable indicada para cada caso: 
a) La velocidad de una partícula está dada por 𝒗 = 𝒗𝟎 + 𝒂𝒕. Despeja v0 y a. 
b) La expresión 𝑺 =
𝒂 𝒓𝑳
𝟏 𝒓𝑪
aparece en el estudio de las progresiones geométricas. 
Despeja C. 
c) La potencia de una resistencia eléctrica está dada por 𝑷 = 𝒊𝟐𝑹. Despeja i. 
d) La relación entre la temperatura en ° F y en ° C es 𝑭 =
𝟗
𝟓
𝑪 + 𝟑𝟐. Despeja C. 
e) El área de un cilindro está dada por 𝑨 = 𝟐𝝅𝒓(𝒓 + 𝒉). Despeja h y r. 
f) La expresión que describe la dilatación de una varilla de metal cuando se calienta 
es 𝑳 = 𝑳𝟎(𝟏 + 𝜶𝒕). Despeja . 
 
3) Resuelve las siguientes ecuaciones lineales: 
a) 3 2 5x x   b)  2 2 1 5 4x x x      c)    3 6 3 4x x x      
d)      1 1 4w w w w    e) 1 1 1
2 4 6
x x  f) 
3 2
5 2
4 3
x x   
g)  1 2 42 2
3 3 3
t t t    h) 
3 12
7
4 4
y
y y
 
 
 i) 
3 2 4 1
3
5 3
w w 
  
 
4) Determina, si es posible, los valores reales de a y b para que la ecuación dada: 
(𝑥 + 2) − (𝑏 − 2) = 𝑥(𝑥 − 𝑎) − (𝑏 − 4𝑏 + 8) 
a) Tenga solución unica 
b) No tega solucion 
 
Matemática Unidad 4: ECUACIONES 
Seminario de Ingreso – UTN – FRT Página | 26 
5) Construye una ecuación cuadrática para la cual 
a) 𝑥 = 2 𝑦 𝑥 = 1 𝑠𝑒𝑎𝑛 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 
b) 𝑥 = −√2 𝑦 𝑥 = √2 𝑠𝑒𝑎𝑛 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 
c) 𝑥 = 3 𝑠𝑒𝑎 ú𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 
d) 𝑁𝑜 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙 
 
6) Analiza el discriminante de las ecuaciones dadas e indica la naturaleza de las raíces. 
 
a) 𝑥 − 5𝑥 + 6 = 0 b) 3𝑥 − 4 = 28 + 𝑥 c) (𝑥 + 1)(𝑥 − 5) + 5 = 0 
d) = 4 e) (𝑥 − 5) + 3 = 1 f) 𝑥 − 2𝑥 = 
 
a) Teniendo en cuenta las ecuaciones del ejercicio anterior, encuentra sus soluciones 
mediante: a) Bhaskara b) completando cuadrado. 
 
7) Encuentra, si existen, las soluciones de las siguientes ecuaciones, utilizando las sutitucion 
adecuada. 
a) 𝑥 − 𝑥 − 2 = 0 
b) 𝑥 − 3𝑥 − 4 = 0 
c) (𝑥 + 3) − (𝑥 + 3) = 
d) 3𝑥 − 7𝑥 + 4 = 0 
e) 𝑥 − 4𝑥 + 4𝑥 = 0 
 
8) Encontrar el valor de k para que al dividir 𝑃(𝑥) = 2𝑥 − 𝑘𝑥 + 2 𝑝𝑜𝑟 (𝑥 − 2) dé como 
resto 4. 
 
9) Dada la ecuación 𝑥 − (𝑚 + 2)𝑥 + 10 = 0. Halla m para que tenga raíces iguales. 
 
10) Encontrar el valor de q para que la ecuación 𝑥 − 𝑥 + = 0 admita única solución 
real. Encuentra dicha solución. 
 
11) Halla p  R de tal forma que una solución de la ecuación (𝑝 + 2)𝑥 − 7𝑥 − 2𝑝 = 1 sea 
x = – ½. Luego, encuentra la solución faltante y expresa la ecuación en forma 
factorizada. 
 
12) Considera la ecuación      23 2 6 4 0x m x m x m     , siendo m una constante real. 
Determina m tal que x = – 2 sea solución de la ecuación. Luego, encuentra la solución 
faltante y expresa la ecuación en forma factorizada. 
Matemática Unidad 4: ECUACIONESSeminario de Ingreso – UTN – FRT Página | 27 
APLICACIONES DE ECUACIONES LINEALES 
13) La suma de dos números es 15 y el segundo número es tres menos que el primer número. 
¿Cuáles son esos números? 
 
14) Un terreno rectangular tiene un perímetro de 500 m, su largo es 30 m mayor que el doble 
de su ancho. Encuentra sus dimensiones. 
 
15) Un número es 8 veces mayor que otro. La suma de ambos números es 20. ¿Cuáles son 
esos números? 
 
16) Determina un número cuyo exceso sobre 232 equivale a la diferencia entre 
2
5
 y 
1
8
 del 
mismo? 
 
17) Una empresa de viajes aéreos divide a sus pasajeros en tres categorías. La primera clase 
tiene una cantidad de asientos que es la octava parte del total, la clase ejecutiva tiene 
una vez y media la cantidad de asientos que primera clase, y hay 165 asientos de clase 
turista. ¿Cuántos asientos tiene ese avión? 
 
APLICACIONES DE ECUACIÓN CUADRÁTICA 
18) Juan tiene un perro, que actualmente tiene 12 años menos que él. Dentro de 4 años, la 
edad de Juan será el triple que la de su perro. a) plantea la situación; b) calcula las 
edades de Juan y su perro? 
 
19) El cuadrado de un número menos su quíntuplo es igual a 6. ¿Cuál es el número natural 
que verifica esta condición? 
 
20) ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado cuyo perímetro es 10 cm mayor que el perímetro 
de un rectángulo de largo igual al lado del cuadrado y de ancho igual a 4 cm? 
 
a) Una fotografía de 27 × 35 cm se va a enmarcar. Para esto, se le colocará alrededor 
una banda de papel especial para adornarla. El ancho del papel alrededor de la 
fotografía es constante. a) ¿Cuál es la expresión que modela esta situación? 
b) ¿Cuánto debe medir este ancho para que el aumento en el área total de la 
fotografía con su marco de papel sea de 335 cm2 ? 
Matemática Unidad 4: ECUACIONES 
Seminario de Ingreso – UTN – FRT Página | 28 
21) Se dispone de un terreno rectangular donde se construye una piscina tambien 
rectangular. La piscina esta rodeada por una vereda 
de ancho 1,5m y es 10m mas larga que ancha. Halla: 
a) La expresión que determina el área del terreno 
b) La expresión que da el área del pasillo 
c) Si el perímetro del terreno es de 264 m, ¿cuáles son 
las dimensiones de la piscina? 
 
22) Resuelve las siguientes ecuaciones racionales y verifica tus resultados: 
a) 
3 5
5 3
x x
x x
 

 
 b) 2
8 1
55 4
x
x x


 
 c) 1
2 1
x x
x x
 
 
 
d) 
3 2
8 4
x x
x x



 e) 
3
2
16 12
6 8
2 4
x
x
x

 

 
 
23) Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales, luego verifica tus respuestas: 
a) 30x x  b) 1 9x x   c) 3 2x x x  
d) 2 1 4 6x x    e) 3 2x x x  f) 3 4 4 1x x x     
g) 9 15 6 2 3x x   
 
24) Resuelve las siguientes inecuaciones. Luego grafica las soluciones. 
 
a. 1 6
4
x 
 e. 
4
2
1x

 i) 
  1 2 9x x 
b. 4 1x x   f.  
2( 1) 1x j) 
8
2
x
 
c.    

4 2 2 3
3 5 3
x x
 g. 
5
3
2
x 
 k) 
3 10
1 2
7
x
x

 

 
d. 4 2 1
1
x
x

 

 h.  6 1x l)    3(2 1) 4 5( 1)x x 
 
 
Matemática Unidad 4: ECUACIONES 
Seminario de Ingreso – UTN – FRT Página | 29 
Aplicaciones de Inecuaciones 
 
25) Un número natural es tal que la sexta parte del número anterior es menor que 6; además 
la sexta parte del número natural siguiente es más que 6. ¿Cuál será la raíz cuadrada 
del número natural, disminuido en 1? 
 
26) ¿Entre qué medidas se debe aumentar el lado de un cuadrado que tiene por área 36 
cm2 si se quiere que la nueva superficie esté comprendida entre cuatro y nueve veces 
la inicial? 
 
 
27) Las instrucciones en una caja de película indican que ésta debe 
almacenarse a una temperatura entre 2 °C y 34 °C. ¿A qué rango 
en la escala Fahrenheit corresponden estas temperaturas). 
Recuerda: °𝐶 = (°𝐹 − 32) 
 
 
28) Un juego consiste en lanzar un dado x veces. Si la diferencia entre el máximo y el mínimo 
puntaje que se puede obtener es mayor que x2 + x. ¿Cuál es el máximo valor de x? 
 
29) Un automóvil se desplaza por una ruta a una velocidad comprendida entre 100 y 150 
km/h. ¿Entre qué valores oscila la distancia del auto al punto de partida al cabo de las 
primeras 3 horas?
 
 
 
 
 
 
Contenidos 
 Conceptos Generales 
 Dominio, Rango y Grafica de Funciones 
 Intersección con los Ejes. Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento 
 Clasificación de Funciones 
 Funciones Polinómicas 
 Función Afín. Ecuación de la Recta 
 Sistemas de Dos Ecuaciones Lineales con Dos Incógnitas 
 Función Cuadrática 
 Función Racional e Irracionales 
 Aplicaciones 
 
 
 
 
 
Funciones 
Matemática Unidad 5: FUNCIONES 
Seminario de Ingreso – UTN – FRT Página | 30 
EJERCICIOS PROPUESTOS 
 
1) Construir una tabla de valores para cada una de las siguientes funciones: 
a) 𝑦 = 3𝑥 + 2 b) 𝑓(𝑥) = −2𝑥 c) 𝑦 = 𝑥 − 4 d) 𝑔(𝑥) = √𝑥 
 
2) Completa la siguiente tabla (obsérvese el primer ejemplo): 
 
 
3) Dadas las siguientes gráficas, identifica cuales corresponden a funciones. 
 
 
4) Para una experimentación de Biología, se midió el largo y el ancho de las hojas de una 
rama y se obtuvieron los datos que aparecen en la tabla. Además, el largo y el ancho 
de las hojas de una rama cualquiera siempre 
guardan el mismo tipo de relación. 
a) Representar los datos de la tabla en un sistema 
de ejes cartesianos. 
b) Dibujar la curva que los aproxime. 
 
Matemática Unidad 5: FUNCIONES 
Seminario de Ingreso – UTN – FRT Página | 31 
5) Tres alumnos, que nombraremos A, B y C, participan en una carrera de 1000 m. La 
presente gráfica muestra de forma aproximada su comportamiento en la prueba. 
¿Cómo describirías dicha carrera? 
 
 
 
6) Para las siguientes funciones afines, indica ordenada al origen, pendiente, clasifícalas. 
2
) ( ) 3 ) ( ) 1 ) 2 3 1 0 ) 3 5
3
3
) ( ) 3 ) 1 ) ( ) 2( 1) 5 ) ( ) 2
4 2
a f x x b f x x c x y d y x
x y
e f x x f g f x x h f x
         
      
 
 
7) Teniendo en cuenta las funciones del ejercicio 4, a) determinar las intersecciones con 
los ejes coordenados, b) las funciones crecientes y decrecientes. 
 
8) Graficar en un mismo plano cartesiano: 
a) Una función afín de pendiente positiva y ordenada en el origen positiva. 
b) Una función afín de pendiente positiva y ordenada en el origen negativa. 
c) Una función afín de pendiente negativa y ordenada en el origen positiva. 
d) Una función afín de pendiente negativa y ordenada en el origen negativa. 
e) Una función de proporcionalidad directa de pendiente positiva. 
f) Una función de proporcionalidad directa de pendiente negativa. 
 
9) Dados los puntos (2, – 2) y (– 1, 4) 
a) Halla la ecuación de la recta que pasa por dichos puntos. 
b) Indica cual/es de los siguientes puntos pertenecen a dicha recta 
i. (0, – 2) ii. (1, 0) iii. (– 1, – 1) iv. (3, – 4) v. 
3
, 1
2
  
 
 
Matemática Unidad 5: FUNCIONES 
Seminario de Ingreso – UTN – FRT Página | 32 
10) Para la ecuación de la recta determinada en el ejercicio 6, escribe en las formas: 
a) canónica b) general 
 
11) Dada la recta 3𝑦 − 𝑥 = 1; halla y grafica la ecuación de una recta paralela a la dada 
y que pase por (– 3, 2). 
 
12) Dada la recta 2 3y x  ; halla y grafica la ecuación de una recta perpendicular a la 
dada y que pase por (– 3, – 1). 
 
13) Para cada caso escribe la ecuación de la recta en su forma explícita, segmentaria y 
general. 
a) b)c) 
 
 
14) Grafica una recta, 
a) que pase por (0, – 1), tenga pendiente 2 y dominio [– 3, ). ¿Cuál es el rango? 
b) que pase por el origen de coordenadas, tenga pendiente – 3 y rango (– , 6]. ¿Cuál 
es el dominio? 
c) que pase por (0, 2) y (9, 8) y tenga dominio [– 6, 12]. ¿Cuál es el rango? 
 
15) Resuelve el sistema dado por dos métodos analíticos y verifica con el método gráfico. 
a) 
5 2 2
2 4 8
x y
x y
 

 
 c) 
2 1
5
3 3
1 1 3
4 6 2
x y
x y
   

  

 
 
b) 
     
 
2 5 1
2 1
5
x x y x x
x y
x y
     

 
  

 d) 
 
5 2 1
2
3 2
1
2 3 7
3
x y
y x
   

   

 
Matemática Unidad 5: FUNCIONES 
Seminario de Ingreso – UTN – FRT Página | 33 
16) La diferencia entre dos números es 3, y la suma entre el mayor de ellos y el doble del 
menor es 27. ¿Cuáles son los números? 
 
17) En un trapecio isósceles la base mayor es el doble que la menor y su perímetro es de 42 
cm. Si cada uno de los lados iguales es 
3
10
 de la base mayor, ¿Cuánto mide la base 
mayor del trapecio? 
 
18) En un paralelogramo, la suma entre la mitad de uno de sus ángulos y la tercera parte 
de otro, no opuesto con el primero, es igual a 79°. ¿Cuál es la amplitud de los ángulos 
interiores del paralelogramo? 
 
APLICACIONES DE FUNCIONES DE PRIMER GRADO 
19) Para cada uno de los siguientes ejercicios, encuentra la función polinomial de primer 
grado que modela la situación y grafícala. Indica para cada una su dominio, rango y 
su ordenada al origen. Explica la interpretación de la pendiente de cada función de 
los ejercicios de acuerdo al contexto del problema. 
 
20) Un árbol crece a razón de 3,5 cm por mes. Si y representa la altura del árbol y x 
representa la edad del árbol medida en meses, encuentra y = f (x). 
 
 
21) Un disco de acetato gira a 35,2 revoluciones por minuto. Si n es el 
número de revoluciones y t es el tiempo medido en segundos, 
determina n = f (t). 
 
 
 
 
22) Una señal eléctrica oscila 50 veces por segundo en una 
línea de tensión. Si y es el número de oscilaciones y t es el 
tiempo en segundos, determina y = f (t). 
 
 
 
Matemática Unidad 5: FUNCIONES 
Seminario de Ingreso – UTN – FRT Página | 34 
 
23) Una avioneta viaja a 250 kilómetros por hora. Escribe la 
función que describe la relación entre la distancia D recorrida 
medida en metros con el tiempo t medido en segundos. 
 
 
 
24) Para las siguientes funciones polinomiales de grado dos, calcula sus raíces y vértice. 
 
a) 2( ) 2f x x x  b) 2( ) 4f x x x    
c) 2( ) 10f x x x  d) 2
1
( ) 3 1
2
t x x x   
e) 2( ) 2 1g x x x    f) 2( ) 3 1r x x   
g) 2h( ) 2 2 4x x x   h) 2
1
( )
3
g x x  
 
25) Indica cuales de las funciones del ejercicio anterior intersectan al eje X y especifica en 
dónde. 
 
26) Completa las siguientes oraciones correspondientes a la función, 23 2y x x    
a) Los coeficientes de los términos de la función son: a = b = c = 
b) El vértice de la parábola es el punto: 
c) La ordenada al origen de la función es el punto: 
d) Las raíces de la función son: x1 = x2 = 
e) Realiza la gráfica de la parábola y verifica tus respuestas. 
 
27) Grafica las siguientes parábolas. 
a) 23 12 12y x x   b) 2
5
2 4
2
y x x   
c) 2
1 7
5
2 2
y x x    d) 21 3 11
4 2 4
y x x    
Matemática Unidad 5: FUNCIONES 
Seminario de Ingreso – UTN – FRT Página | 35 
28) Evalúa el valor del discriminante de la ecuación cuadrática asociada a 
2( )f x ax bx c   ; luego indica el tipo de raíces y los puntos en los que la parábola 
intersectara al eje X. 
 
a b c  
Tipo de 
raíces 
Un punto Dos puntos 
Ningún 
punto 
1 4 4 
1 3 4 
2 2 2 1 
1 0 3 
3 6 3 3 
 
 
29) Calcula el o los valores de k para los cuales las siguientes funciones tienen dos raíces 
reales iguales y escribe su expresión. 
a) 2( ) 2f x x kx k   b)  2( ) 1f x x k x k    
 
30) Expresa cada una de las siguientes funciones en la forma en que se solicita. 
a) 2( ) 4 3f x x x    en forma canónica es: 
b)    1( ) 2 3
2
f x x x     en forma general es: 
c)  2( ) 2 3 2f x x    en forma general es: 
d) 2( ) 2 3f x x x     en forma factorizada es: 
 
31) Escribe las siguientes funciones en la forma más conveniente de acuerdo con los datos 
dados y luego halla las expresiones generales (polinómica) de cada una. 
a) El vértice es  3, 2  y el coeficiente principal es – 2. 
b) Las raíces son 1 4x   y 2 2x  y el coeficiente principal es – 1. 
c) El vértice es  3, 2  y pasa por el punto  0, 1 . 
d) Corta al eje X en  1, 0 y  4, 0 y pasa por el punto 54,
6
   
 
. 
Matemática Unidad 5: FUNCIONES 
Seminario de Ingreso – UTN – FRT Página | 36 
32) Determina la expresión general de la parábola para las siguientes graficas: 
a) b) 
 
 
33) Indica dominio y rango para las funciones determinadas en el ejercicio anterior. Luego 
exprésalas en sus formas canónica y factorizada. 
 
34) Halla en forma canónica, la función cuadrática que corta el eje X en 10 y tiene un 
máximo en (7, 8). 
 
35) Sea    ( ) 3 1f x x x k    , la ecuación de una parábola cuyo vértice tiene abscisa igual 
a – 5. Luego, calcula 
1
3
f
 
 
 
. 
 
36) Halla las rectas paralelas a la recta r: x + y – 2 = 0, que pasan por las raíces de 
2( ) 2 3 2f x x x    
37) Halla la ecuación de la recta perpendicular a la recta r: 
1
2 6 0
2
x y   , que pasa por 
el vértice de 2 2y x x   . 
 
38) Encuentra analíticamente los puntos de intersección (si existe) entre las gráficas de 
( ) 3 1f x x  y 2( ) 2 7g x x x    . Luego, grafica. 
 
39) Encuentra analíticamente los puntos de intersección (si existe) entre las gráficas de 
2( ) 2f x x x  y 2( ) 4 8g x x x   . Luego, grafica. 
40) Encuentra analíticamente los puntos de intersección (si existe) entre las gráficas de 
22y x  y 3 2y x  . Luego, grafica. 
Matemática Unidad 5: FUNCIONES 
Seminario de Ingreso – UTN – FRT Página | 37 
APLICACIONES DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA 
 
41) Resuelve: 
 
a) Según leyes físicas, para un auto que viaja sobre 
asfalto seco, la función que ayuda en el cálculo de la 
distancia d que requiere para frenar completamente 
en una ruta sin inclinación en función de la velocidad 
v a la que inicia el frenado es: 
 
 
i. Grafica esta función usando el intervalo 0 ≤ v ≤ 100 con incrementos en v de 10 
unidades. 
ii. De acuerdo a la gráfica, ¿Qué distancia recorrerá un coche que empieza a 
frenar a los 20 km/h? 
iii. ¿Qué distancia recorrerá un coche que empieza a frenar a los 40 km/h? 
iv. ¿Qué distancia recorrerá un coche que empieza a frenar a los 60 km/h? 
v. ¿Qué distancia requiere un coche que empieza a frenar a los 80 km/h? 
 
 
b) Una hoja de papel tamaño A4 tiene 29,7 cm de alto y 21 cm de ancho. A la hoja se 
le cortará el doble en su largo que, en su ancho, x (cm). Encuentra la función que 
expresa el área de la hoja recortada en función de x. 
 
c) El jardín de una casa actualmente mide 12 m de largo por 5 de ancho. Él desea 
aumentar la misma distancia x en ambas dimensiones para incrementar su área. 
Encuentra la función que expresa el área final del jardín como una función de x. 
 
d) Si la diferencia entre dos números es 6, ¿Cuáles deben ser los números para obtener 
el menor producto? 
 
e) Un lanzamiento de peso puede ser modelado usando la 
expresión 20,0073 0,3051,676y x x    ; donde x es la 
distancia recorrida e y es la altura (ambas en metros). ¿Qué 
tan largo es el tiro? 
 
 2( ) 0,005 0,15 : en metros
v : en km/ h
d v v v d
Matemática Unidad 5: FUNCIONES 
Seminario de Ingreso – UTN – FRT Página | 38 
f) Un delfín toma impulso y salta por encima de la superficie del mar siguiendo una 
trayectoria dada por la expresión 2 10 16y t t    , donde “y” es la distancia 
medida desde el nivel del agua (en metros) y “t” el tiempo empleado en segundos. 
i. Grafica la trayectoria que realiza el delfín e indica 
cuándo sale a la superficie y cuándo vuelve a 
sumergirse. Justifica analíticamente. 
ii. ¿A qué profundidad inicia el ascenso? 
iii. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza en su salto? 
¿en qué instante la logra? 
 
 
42) Para las funciones dadas, determina analíticamente el dominio. Luego, calcula sus 
asíntotas, intersección con los ejes, grafícalas e indica el rango de la función. 
 
a) 𝑓(𝑥) = b) 𝑓(𝑥) = 
c) 𝑓(𝑥) = d) 𝑓(𝑥) = 
e) 𝑓(𝑥) = ** Verifica con Geogebra tus resultados. 
 
 
 
 
43) Escribe la expresión de la función de la gráfica. Indica 
dominio y rango. 
 
 
 
 
 
44) Para las funciones dadas, determina las intersecciones con los ejes, grafícalas e indica 
dominio y rango. Finalmente, grafica con Geogeba en un mismo sistema de ejes 
coordenados. Verifica el dominio indicado, determinándolo analíticamente. 
 
a) 𝑓(𝑥) = √2𝑥 b) 𝑓(𝑥) = 3√2𝑥 − 1 + 2 
c) 𝑓(𝑥) = √2𝑥 + 2 d) 𝑓(𝑥) = 3√2𝑥 − 1 + 4 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios de Parciales 
Matemática ANEXO: EJERCICIOS DE PARCIALES 
Seminario de Ingreso – UTN – FRT Página | 39 
EJERCICIOS PARA PRIMER PARCIAL 
Ejercicio N° 1: Selecciona la opción correcta 
a) Al racionalizar la expresión 
11a
a

 se obtiene: 
A) 11a  ; B) 11a  ; C) a ; D) 1a 
 
b) Al factorear y simplificar :obtenemos
2 x2x
x2 x23x
,


 
     
2-x
1xx 
 D) 
2x
1-xx 
 C) 
2x
1-xx 
 B) 
2
2x
 - A)


 
 
c) El resultado de, :es 48277512  12 D) 3 14 C) 3 B) 0 A) 
Ejercicio N° 2: 
a) Selecciona la opción correcta: 
La solución de la ecuación, :es 22)3(x7)2.(x  
2 x D) 22 x C) 22- x B) 10 x A)  
b) Si al dividir el polinomio 127x3 xa 54 x3  por 1x  obtenemos un resto de 10, 
entonces ¿Cuál será el valor de “a”? ¿y el polinomio cociente C(x)? 
Ejercicio N° 3: Selecciona la opción correcta 
a) Dada la expresión 
4
2 (1 ) 1
1
Z j j j
j j j
  

 
, se obtiene Z igual a: 
 
) 1 ) 1 ) 1 ) 1A j B j C j D j      
b) 
 
Los lados rectos de la figura miden 10 cm, entonces, el área de la región 
sombreada (en cm2): 
) 50( 2) ) 50(2 2) ) 25( 2) ) 25(2 2)A B C D       
 
Ejercicio N° 4: En la cima de una montaña se instala una antena. Un observador de 1,80 m de altura situado 
sobre la ladera de la montaña a una distancia d, observa la parte más alta de la antena con un ángulo de 
35°. La pendiente de la misma 15°: 
a) Realiza un esquema de la situación planteada; b) Determine la distancia d; c) Si la longitud total de la 
ladera es de 95 m, calcula a que altura respecto del nivel del suelo se encuentra el observador. 
Matemática ANEXO: EJERCICIOS DE PARCIALES 
Seminario de Ingreso – UTN – FRT Página | 40 
EJERCICIOS PARA SEGUNDO PARCIAL 
 
Ejercicio N° 1: Determina el dominio de las funciones dadas, luego grafícalos en la recta real. 
a) 2x-9f(x)  b) 
x
1x
g(x)

 
 
Ejercicio N° 2: Dada la función 56x
2xy  
a) Determina analíticamente el vértice y las intersecciones con el eje X (si hubiera). Luego grafícala. 
b) Determina la ecuación de la recta que pasa por dos puntos de la parábola; uno de ordenada 
nula y el otro, el vértice de la misma. La pendiente de la recta debe ser positiva. 
c) Grafica la recta (en el mismo sistema del apartado a)); luego indica dominio y rango de cada 
función. 
 
 
Ejercicio N° 3: Un ferretero debe realizar una venta de 355 herramientas, siendo estas pinzas 
de fuerza y destornilladores Philips. Si el precio de cada pinza es de $40 y el de 
destornilladores $12, ¿cuántas pinzas y destornilladores debería vender el ferretero para 
recibir por la venta un total de $10700? 
 
Ejercicio N° 4: Cierto proyectil, después de ser lanzado, alcanzo una altura de 196 km. Su 
trayectoria fue parabólica, yendo a caer a 14 km de la base de lanzamiento. i) ¿Cuál es la expresión 
de su trayectoria?; ii) ¿Qué supuestos debió considerar para resolver el apartado i)? 
 
Ejercicio 5: Grafica las siguientes funciones en un mismo sistema de ejes, 
        
 
5
4 3 2
2 2
y
y x x x luego: 
a) Determina analíticamente los puntos de intersección entre ambas (si existieran) 
b) Determina el punto de menor ordenada de la función de mayor grado. 
c) Las funciones dadas, ¿intersectan al eje X? ¿en dónde? 
 
Ejercicio 6: Encuentra el conjunto solución de 
a) 
x
 
8
2 luego, grafica dicho conjunto 
b) 
x
 
3
15 luego, grafica dicho conjunto 
 
Matemática BIBLIOGRAFÍA 
Seminario de Ingreso – UTN – FRT Página | 41 
 
B I B L I O G R A F Í A 
 
 
 
 
SISTEMA DE INGRESO A LA UNIVERSIDAD UTN – FRT. Argentina 2014 
CURSO INTRODUCTORIO – MATEMÁTICAS UTN – FRT. Argentina 1999 
MATEMATICA 3 – ACTIVA Arroyo, Bernio, D’albano. Editorial Puerto de 
Palos S.A. (1° ed. 2003). Argentina 2010. 
 
MATEMÁTICA 7 – 8 – 9 EGB (3º ciclo) Editorial A – Z 
EL LIBRO DE LA MATEMÁTICA 7 EGB 3 – Editorial Estrada. Argentina 
ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA Sullivan, M. Pearson – Prentice Hall. 7° Edición. 
México 2006 
 
 
MATEMÁTICA – POLIMODAL Altman, Comparatore, Kurzrok. Edit Longseller 
 
 
CÁLCULO DE LEITHOLD L. Leithold – 7° Edicion (español). Mexico 1994. 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Frank Ayres Jr. - Serie de Compendios Schaum - 
Editorial McGraw-Hill. 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Stewart, J.- International Thomson Editores. 
 
CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA Swokowski, E.- Grupo Editorial Iberoamericana. 
 
	CARTILLA DE TP DE MATEMATICA_INGRESO 2020.pdf (p.1-44)
	Separadores.pdf (p.45-50)