CARTILLA-DE-ESTADISTICAS-1A-AAÔÇÿO-H-YS

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TECNICATURA EN 
 HIGIENE Y SEGURIDAD 
 EN EL TRABAJO 
 
 
 
 
 
 
 
 
1ºAño 
1° Semestre 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estadísticas y costos 
aplicados a la 
Higiene y Seguridad 
 
 
 Profesora: Contadora Liliana Pistan 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tecnicatura 
HIEGIENE Y 
SEGURIDAD 
EN EL TRABAJO 
 
 
REFERENCIAS DE ÍCONOS 
 
 
 
 
Actividad en el foro. 
 
 
 
Actividad de reflexión no obligatoria. 
 
 
 
Actividad grupal. 
 
 
 
Actividad individual. 
 
 
 
Actividad obligatoria. Debe ser enviada para su evaluación. 
 
 
 
Atención. 
 
 
 
Audio. 
 
 
 
Bibliografía. Lecturas complementarias. 
 
 
 
Glosario. 
 
 
 
Página web. Internet. 
 
 
 
Sugerencia. 
 
 
 
Video.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PLANIFICACIÓN 
 
 
AÑO LECTIVO 
2017
 
 
 
PROGRAMA DE CÁTEDRA MODALIDAD PRESENCIAL 
 
UNIDAD ACADÉMICA: 
 
CARRERA: TECNICATURA EN HIGIENE Y SEGURIDAD EN EL TRABAJO 
 
CÁTEDRA: Estadística y Costos Aplicados a la Higiene y Seguridad 
AÑO: 1° RÉGIMEN: 1º Semestre 
 
 
EQUIPO DOCENTE 
 
PROFESORA 
 
Contadora Publica Nacional Liliana Pistan 
 
 
FUNDAMENTOS DE LA ASIGNATURA 
Los costos ocasionados por los accidentes o lesiones producidas a raíz de las actividades laborales son 
de importancia no sólo para el damnificado y la empresa, sino para la sociedad en su conjunto. La tarea 
de determinarlos, implica la valoración de los costos directos e indirectos, adicionalmente, se debe tener 
en cuenta la influencia de costos fijos representados por los costos asegurados y costos de medidas de 
seguridad, que representan un flujo de egresos constantes. 
 
Por otra parte, es necesario evaluar de manera objetiva los daños sufridos por el personal, la 
maquinaria y los equipos, lo que implica la elaboración de tablas que están sujetas a continuas 
correcciones y actualizaciones. 
 
Al ser la experiencia la fuente de conocimientos más importante de esta disciplina, los datos que ella 
nos brinda deben ser tratados sistemáticamente. De ahí la necesidad de introducir como herramienta la 
Estadística, tanto en su rama descriptiva como inferencial. 
 
La importancia fundamental de la cátedra radica en brindarle al alumno herramientas para analizar los 
riesgos del trabajo, determinar la causalidad de los accidentes y enfermedades profesionales, sus efectos 
económicos y sociales; como así también, poder elaborar medidas preventivas genéricas de utilidad y 
factibilidad práctica dirigidas a disminuir la frecuencia de los accidentes. 
 
Se busca que el alumno se encuentre en condiciones de establecer la relación Daño – Costo de los riesgos 
laborales no sólo en los aspectos económicos directos, tradicionalmente identificada y manejada, 
sino también en función de los costos indirectos y efectos sociales. 
 
OBJETIVOS 
Lograr que el alumno sea capaz de: 
 
• Analizar, clasificar, registrar y evaluar los accidentes y lesiones laborales, haciendo uso de los 
métodos y legislación vigentes. 
• Determinar la causalidad de los accidentes y enfermedades profesionales, sus efectos
 
 
 
 
 
Económicos y sociales. 
• Conocer las técnicas estadísticas y saber decidir, ante un problema concreto, cuál de ellas 
utilizar para poder alcanzar conclusiones generales en base a la experiencia y cómo interpretar 
los resultados obtenidos. 
• Conocer las técnicas de probabilidad y aprender a elegir la más adecuada a cada problema. 
Al finalizar el módulo, se espera que el alumno haya adquirido competencias para: 
• Fundamentar el tratamiento y análisis de datos. 
• Seleccionar medidas representativas adecuadas. 
• Emplear conceptos y técnicas de cálculo de probabilidades en la resolución de problemas. 
• Establecer la relación Daño – Costo de los riesgos laborales. 
• Valorar la tolerancia y el pluralismo de ideas como requisitos tanto para el debate matemático 
como para la participación en la vida en sociedad. 
• Valorar la importancia de la investigación para el progreso del país. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONTENIDOS PROPUESTOS 
UNIDAD I 
Estadística: Concepto. Elementos de la Estadística: Conceptos. Métodos estadísticos: 
Recopilación, organización, presentación e Interpretación. Estadística Descriptiva: Concepto. 
Estadística Inferencial: Concepto. Población: Concepto, tipos. Muestra: Concepto. Variables: 
Concepto. Clasificación. Trabajo practico. 
 
UNIDAD II 
Distribución de Frecuencia. Toma de datos: organización. Intervalos de Clase.: concepto y 
determinación. Marca de clase: concepto y determinación. Reglas para conformar una 
distribución de frecuencia. Histograma: concepto y construcción. Curvas de frecuencias. 
Actividades: Estudio Dirigido. Trabajo Prácticos. 
 
UNIDAD III 
Descripción de datos. Medidas de Tendencia Central. Media poblacional. Media muestral. Propiedades 
de la media aritmética. Media ponderada. Mediana. Determinación gráfica de la mediana. Moda. Media 
geométrica. Media, mediana y moda para datos agrupados. Medidas de dispersión. 
Amplitud/Intervalo/Rango. Varianza. Desvío Estándar. Medidas de dispersión para datos agrupados. 
Interpretación y usos de la desviación estándar. Otras medidas de dispersión: Cuartiles, Deciles, 
Percentiles. 
 
UNIDAD IV 
Qué es una distribución de probabilidad. Variables aleatorias. Distribuciones de probabilidad discretas. 
Media, Varianza y Desvío Estándar de una distribución de probabilidad. Diagrama del árbol. Teorema de 
Bayes. 
 
UNIDAD V 
 
Muestreo de la población. Métodos de muestreo de probabilidad: aleatorio simple, aleatorio sistemático, 
aleatorio estratificado, por conglomeración. Error de muestreo. Distribución de muestreo de medias 
muestrales. Teorema del límite central. 
 
UNIDAD VI 
Control estadístico de accidentes. Diagramas de diagnóstico. Objetivo y tipos de los diagramas de control. 
Números índices simples. Obtención de números índices. Índices para propósitos especiales. Tasas de 
Frecuencia y de Gravedad. Compilación de estadísticas de accidentes. Tasas de riesgo. Baremo. Tasa 
de frecuencia. Tasa de gravedad. Tasas de incidencia. Tasa de duración media. Componentes de una 
serie de tiempo. Método de mínimos cuadrados. Métodos del promedio móvil. Tendencias no lineales. 
Variación estacional. 
UNIDAD VII 
El accidente. Tipos de accidente. Condición insegura. Acto inseguro. Causas de los accidentes. Análisis 
de factores del accidente. Factores personales. Reportes, registros e investigación de accidentes. 
Finalidad de los reportes y registros de accidentes. Bases para la forma científica de proceder. 
Registros llevados según un procedimiento uniforme. Utilidad de los registros. Sistema de reportar los 
accidentes. Empleado accidentado. Tipos de formas impresas. Modelo de planilla. 
 
UNIDAD VIII 
Costo de los accidentes. Determinación de los costos de los accidentes. Concepto de costos directos e 
indirectos. Concepto de costos asegurados y no asegurados. Concepto del costo de los accidentes en 
elementos de producción. Elementos de la producción. Cuerpo de trabajadores. Maquinaria y 
herramientas. Materiales. Equipo. Tiempo. Costo por unidad de producción que grava la fabricación. 
Costos de mano de obra. Costos de maquinaria. Costos de materiales. Costo total de los accidentes. 
 
UNIDAD IX 
Método de la Asociación Americana de Normas. La condición física y/o mecánica insegura. El tipo de 
accidente. El acto inseguro. El factor personalinseguro. Estadísticas acerca del factor humano‖en el 
 
 
 
origen de los accidentes. Importancia relativa del agente material y de la conducta del trabajador como 
causas de accidente. Clasificación de Heinrich. Labor de los expertos de la O.I.T. y de la Conferencia de 
Estadísticas. Análisis y clasificación de los accidentes. La clasificación de causas de los accidentes de 
la O.I.T. Métodos para determinar las causas. Método de la causa principal. Método del árbol de las 
causas. Metodología. Investigación. 
 
UNIDAD X 
Introducción a la teoría de decisiones. Elementos de una decisión. Toma de decisión en condiciones de 
incertidumbre. Estrategias de deploración maximin, maximax y minimax. Valor de la información 
perfecta. Análisis de sensibilidad. Árboles de decisión. 
 
METODOLOGÍA 
•Se deberá tener 80 5 de asistencia y los trabajos prácticos aprobados 
 
EVALUACIÓN 
CRITERIOS 
 
Se tomará un examen global durante el cursado, de carácter teórico-práctico, sobre cualquiera de los 
temas dictados. La aprobación se obtendrá con el 60% de desarrollo correcto, equivalente a nota 6 (seis). 
Dicho parcial tendrá una instancia de recuperación con las mismas condiciones de aprobación.
 
 
 
Los alumnos que aprueben los parcialesy hubieran participado activamente en clase serán considerados 
regulares y tendrán derecho a rendir el examen final como regular. 
 
La materia se aprueba con la aprobación del final correspondiente. En la instancia final, el desarrollo 
correcto del 60% del examen teórico-práctico equivale a la nota 4 (cuatro) en escala de 1 a 10. Se 
informará oportunamente el tiempo para su desarrollo y demás condiciones que la cátedra estime 
oportunas en cada fecha de evaluación. 
 
. CONDICIONES PARA RENDIR EXAMEN: 
• El examen de carácter teórico-práctico tendrá una mayor extensión en lo que respecta a las 
consignas. El tiempo establecido para la resolución del mismo será informado oportunamente. 
 
RECURSOS DIDÁCTICOS 
 
 
BIBLIOGRAFÍA 
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA 
 
AUTOR 
 
TÍTULO 
 
EDITORIAL 
LUGAR Y 
AÑO DE 
EDICIÓN 
BERENSON Mark y 
LEVINE David 
“Estadística básica en administración: 
conceptos y aplicaciones”. 6ª Edición 
Pearson- 
Prentice-Hall 
 
2006 
LIND – MARCHAL – 
MASON 
“Estadística para Administración y Economía”. 
11ª Edición 
 
Alfaomega 
 
2004 
LEVIN Richard y 
RUBIN David 
 
“Estadística para administradores”. 6ª Edición 
 
Prentice Hall 
 
2001 
BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA 
 
AUTOR 
 
TÍTULO 
 
EDITORIAL 
LUGAR Y 
ANO DE 
EDICIÓN 
Ya Lung Chou “Análisis Estadístico” Mac Graw Hill México 
GARCÍA, BACHERO y 
Otros 
“Estadística Descriptiva y nociones de 
Probabilidad” 
 
Thompson 
 
2005 
MONTGOMERY y 
RUNGER 
"Probabilidad y Estadística Aplicadas a la 
Ingeniería" 
 
McGraw-Hill 
 
2003 
 
Murray Spiegel 
 
“Probabilidad y Estadística” 
Mc Graw Hill 
Serie Shaum 
 
México 
 
OIT 
“Enciclopedia de Salud y Seguridad en el 
Trabajo” 
 
OIT 
 
Ginebra 
Links y Recursos en Internet 
URL: http://www.srt.gob.ar/ Superintendencia de Riesgos del Trabajo 
 
Salta, 10 de agosto de 2015
http://www.srt.gob.ar/
 
 
 
 
 
UNIDAD I 
 
 
 
Qué se entiende por estadística 
 
La palabra estadística es un término que encontramos a menudo en nuestro 
lenguaje diario, sin embargo, definirla es una tarea difícil porque tendríamos que 
definir cada una de las técnicas que se emplean en los diferentes campos en los 
 
que interviene. Sin embargo, diremos en forma general, que la estadística es un 
conjunto de técnicas que partiendo de la observación de fenómenos, permiten al 
investigador obtener conclusiones útiles sobre ellos. Es decir, la estadística se 
ocupa de los métodos y procedimientos para la recopilación, presentación, análisis 
e interpretación de datos, siempre y cuando la variabilidad e incertidumbre sea una 
causa intrínseca de los mismos. 
 
 
 
Como indica la definición anterior, el primer paso en la investigación de un 
problema es la recolección de datos importantes. Estos datos deben organizarse de 
cierta manera y tal vez, presentarse en un gráfico. Sólo cuando los datos hayan 
sido organizados es posibles analizarlos e interpretarlos. 
 
Teniendo ya la definición de estadística, surge la pregunta de ¿por qué estudiar 
estadística? ¿por qué se encuentra en el plan de estudio de la Tecnicatura en 
Higiene y Seguridad? La primera razón es que en todos lados encontramos 
información numérica: si se revisan periódicos, revistas de información, páginas 
web (como es el caso de la página de la Superintendencia de Riesgos del Trabajo, 
ampliamente conocida por ustedes - http://www.srt.gob.ar/) publicaciones de interés 
general, revistas femeninas o de deportes; nos veremos bombardeados con 
información numérica. 
 
Ejemplo: el siguiente es un artículo publicado en la página web de la SRT el día 28 
de mayo de 20151 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.srt.gob.ar/index.php/prensa-y-comunicacion/noticias/noticias-srt/1177-industria-de-la- 
construccion-el-compromiso-con-la-prevencion-da-resultados
http://www.srt.gob.ar/
http://www.srt.gob.ar/index.php/prensa-y-comunicacion/noticias/noticias-srt/1177-industria-de-la-construccion-el-compromiso-con-la-prevencion-da-resultados
http://www.srt.gob.ar/index.php/prensa-y-comunicacion/noticias/noticias-srt/1177-industria-de-la-construccion-el-compromiso-con-la-prevencion-da-resultados
 
 
 
 
 
¿Cómo podemos determinar si las conclusiones presentadas son razonables? 
¿Acaso las muestras tomadas fueron lo suficientemente grandes? ¿Cómo se 
seleccionaron las unidades de la muestra? Para poder ser un consumidor 
capacitado de la información que se encuentra colgada en la red o publicada en 
diferentes medios, necesitamos poder leer diagramas y gráficos además de 
entender el análisis de la información numérica. Para esto último, la comprensión 
de los conceptos básicos de estadística será de gran ayuda. 
 
La segunda razón para estudiar estadística es que las técnicas estadísticas se utilizan 
para tomar decisiones que afectan a nuestra vida diaria, influyendo en nuestro 
bienestar personal; y en nuestra vida profesional y laboral. 
 
Ejemplo: las compañías de seguros (incluyendo a las Aseguradoras de Riesgos del 
Trabajo) utilizan análisis estadísticos para establecer sus tarifas o alícuotas. 
 
 
 
 
 
 
La tercera razón que justifica la necesidad de impartir estadísticas en la carrera es 
que el conocimiento de los métodos estadísticos ayuda a entender por qué se 
toman ciertas decisiones y aportan una mejor comprensión respecto a la forma en 
que nos afectan las decisiones. 
 
Sin importar el tipo de trabajo que se elija, deberemos enfrentarnos con la toma de 
decisiones, para lo cual una comprensión del análisis de datos será de gran ayuda. 
Para poder tomar una decisión basada en la información se necesita: 
 
• Determinar si los datos y la información existente es la adecuada o si se 
requiere información adicional. 
• Reunir información adicional, si fuera necesario, de forma tal que no haya 
resultados erróneos. 
• Resumir la información de modo útil e informativo. 
• Analizar la información disponible. 
• Sacar las conclusiones y realizar las inferencias necesarias, al tiempo que 
se evalúa el riesgo de llegar a una conclusión incorrecta. 
 
En resumen, existen por lo menos tres razones fundadas para estudiar estadística: 
los datos se encuentran en todos lados, las técnicas estadísticas se utilizan para la 
toma de muchas decisiones que afectan nuestra vida, y sin importar sus líneas de 
trabajo futuras, tendrán que tomar decisiones que involucran datos. El conocimiento 
de los diferentes métodos estadísticos ayudará a tomar esas decisiones con mayor 
efectividad. 
 
Tipos de Estadística 
 
Generalmente, el estudio de la estadística se divide en dos categorías: estadística 
descriptiva y estadística inferencial. A continuacióncitaremos ejemplos que nos 
ayudarán a llegar a los conceptos mencionados. 
 
Supongamos que un Técnico en Higiene y Seguridad calcula la calificación 
promedio de un grupo al que le dio capacitación en levantamiento manual de 
cargas. Como la estadística describe el desempeño del grupo pero no hace ninguna 
generalización acerca de los diferentes grupos, podemos decir que el Técnico está 
utilizando estadística descriptiva. Las gráficas, tablas y diagramas que muestran los 
datos de manera que sea más fácil su entendimiento son también ejemplos de 
estadística descriptiva. 
 
 
 
Supongamos ahora que el Técnico del ejemplo anterior decide utilizar el promedio 
de calificación obtenido por uno de sus grupos para estimar la calificación promedio 
de las diez unidades del mismo curso de levantamiento manual de carga. El 
proceso de estimación de tal promedio sería un problema concerniente a la 
Estadística Inferencial. Los estadísticos se refieren también a esta rama como 
inferencia estadística. 
 
Obviamente, cualquier conclusión a la que llegue el Técnico sobre las 10 unidades 
del curso estará basada en una generalización que va más allá de los datos del
 
 
 
grupo original y ésta no puede ser completamente válida, de modo que el licenciado 
debe establecer qué posibilidad hay de que sea cierta. De manera similar, la 
inferencia estadística implica generalizaciones y afirmaciones con respecto a la 
probabilidad de su validez. 
 
 
 
Observen las palabras población y muestra en la definición de la estadística 
inferencial. Una población puede constar de individuos, por ejemplo, los estudiantes 
de la Tecnicatura en HyS; puede incluir objetos, como los protectores auditivos que 
fabrique una empresa durante una semana; puede estar también formada por un 
grupo de medidas, como podrían ser los pesos de todos los torneros de la fábrica; 
por tanto, una población, en el sentido estadístico, no siempre se refiere a 
personas. 
 
 
 
Generalmente, se toma una muestra de una población para inferir algo acerca de la 
misma. 
 
 
 
¿Por qué razón tomaríamos una muestra en vez de estudiar a cada miembro de 
una población? Una muestra de electores registrados es necesaria por el alto costo 
que representaría comunicarse con millones de electores antes de una elección; al 
someter a una prueba el contenido de humedad en el trigo, se destruye el mismo, por 
tanto, tomar una muestra es de suma importancia; si los catadores de vino lo probaran 
todo, no habría vino disponible para su venta. Como se observó, el hecho de tomar 
una muestra para obtener información acerca de una población es una práctica 
común en los negocios, la agricultura, la política y el gobierno. 
 
Lo antes expuesto, demuestra que las dos ramas de la estadística que 
mencionamos no son independientes; por el contrario, son complementarias y entre 
ambas dan la suficiente ilustración sobre una posible realidad futura, con el fin de que 
quien tenga poder de decisión, tome las medidas necesarias para transformar ese 
futuro o para mantener las condiciones existentes.
 
 
 
 
 
 
 
 
Tipos de Variables 
 
Llamamos variable estadística a una propiedad característica de la población que 
estamos interesados en estudiar y que cambia al pasar de un elemento unitario a 
otro. Ej.: Estado civil, gastos familiares, longitud de mangueras de incendio instaladas 
en una planta, zona del cuerpo afectada por lesiones, etc. 
 
Primeramente vamos a diferenciar dos tipos de variables: 
 
• Aleatoria: es aquella que el valor que asume depende del azar. Ej.: si 
llamamos x al valor que sale en un tiro de dados entonces x es una variable 
aleatoria ya que la misma puede valer 1, 2, 3, 4, 5 o 6 y el valor que asume 
depende del azar. 
• Determinística: se le da un valor determinado que no depende del azar. Ej.: 
la edad que tenemos (no depende del azar) 
 
A su vez, a las variables se las clasifica en dos grandes grupos: 
 
 
 
A las variables cualitativas las podemos clasificar, a su vez, en: 
 
• Dicotómicas: Cuando admiten sólo dos categorías de respuesta. Ej.: 
Género (femenino - masculino) vive (si - no) etc. 
• De clasificación múltiple: Cuando se puede expresar su resultado en 
varias contestaciones posibles. Ej.: Estado civil, nivel de enseñanza formal, 
etc. 
• Ordinales: aquellas que sugieren una ordenación, una jerarquía o 
preferencia. Ej.: la graduación militar, el nivel de estudios, etc. 
• Nominales o no ordinales: aquellas que sólo admiten una mera ordenación 
alfabética, pero no establece orden por su naturaleza. Ej.: color de pelo, 
género, estado civil, etc.
 
 
 
 
El hecho de que una variable ordinal no es una cantidad, conduce a que este tipo 
de variables no se puedan sumar y por ende, carece de sentido obtener la media 
aritmética de un conjunto de variables nominales. Como medidas de tendencia central 
adecuadas para este tipo de variables tenemos la mediana y la moda. Ej.: si se trata 
de venta de pinturas, la moda estará dada por el color que más se venda. 
 
Las variables cuantitativas se clasifican en: 
 
• Discretas: son aquellas variables cuyos resultados posibles surgen del 
hecho de contar, solo puede tomar números enteros o valores aislados. (Por 
ejemplo, nº de hermanos, goles convertidos, etc). Si bien es muy común que 
una variable discreta asuma como valores números naturales, esto no es 
una exigencia. Ej.: la altura de una pared construida con bloques enteros de 
20 cm x 20 cm x 40 cm podrá ser de 0,2 m, 0,4 m… o n x 0,2 m (con n ∈ N) 
pero nunca de 1,7 m ya que no es múltiplo de n x 0,2 m es decir, el valor 
que asume la variable altura va “saltando” de 0,2 m en 0,2 m. 
• Continuas: son aquellas variables cuyos resultados posibles surgen del 
hecho de medir, pueden tomar todos los valores de un intervalo. (Por ejemplo, 
la estatura de los empleados de la fábrica). 
 
 
Niveles de medición 
 
Los datos pueden clasificarse de acuerdo con los niveles de medición. Generalmente, 
el nivel de medición de un dato determina los cálculos que se pueden realizar 
para resumir y presentar la información y las pruebas estadísticas que pueden 
desarrollarse. 
 
Existen cuatro niveles de medición: nominal, ordinal, de intervalo y de razón. El 
nivel más bajo o más primitivo es el nominal; el más alto o el que proporciona 
mayor cantidad de información acerca de la observación, es el nivel de medición de 
razón. 
 
 
 
PROPIEDADES DE LOS DATOS DE NIVEL NOMINAL: 
 
• Las categorías para los datos son mutuamente excluyentes y exhaustivas. 
• Las categorías para los datos no tienen un orden lógico. 
 
Mutuamente excluyentes: propiedad de un conjunto de categorías, implica que 
una persona, objeto o medición se ha de incluir en sólo una categoría. 
 
Exhaustivo: propiedad de un conjunto de categorías que implica que cada 
individuo, objeto o medición debe aparecer en sólo una categoría.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROPIEDADES DE LOS DATOS DE NIVEL ORDINAL: 
 
• Las categorías para los datos son mutuamente excluyentes y exhaustivas. 
• Dichas categorías para los datos se clasifican por intervalos, o se ordenan 
de acuerdo con las características particulares que poseen. 
 
 
 
PROPIEDADES DE LOS DATOS DE NIVEL DE INTERVALO: 
 
• Las categorías para los datos son mutuamente excluyentes y exhaustivas. 
• Las categorías en cuestión están ordenadas de acuerdo con la cantidad de 
la característica que poseen. 
• Diferencias iguales en la característica que representan por diferencias 
iguales en la medición. 
 
 
 
PROPIEDADES DE LOS DATOS DE NIVEL DE RAZÓN: 
 
• Las categorías para los datos son mutuamente excluyentes y exhaustivas. 
• Dichas categorías tienen un intervalo u orden de acuerdo con la cantidad de 
la característica que poseen. 
• Diferencias iguales en la característica están representadas por diferenciasiguales en los números que se han asignado a las categorías mencionadas. 
• El punto o valor “0” representa la ausencia de la característica. 
 
RESUMIENDO
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 
 
Recordando la definición de Estadística que adoptamos, citamos que es una ciencia 
que se ocupa de los métodos y procedimientos para la recopilación, organización, 
presentación, análisis e interpretación de datos, siempre y cuando la variabilidad e 
incertidumbre sea una causa intrínseca de los mismos. En cuanto a la 
recopilación, los especialistas seleccionan sus observaciones de manera que 
todos los grupos relevantes estén representados en los datos, éstos pueden 
provenir de observaciones reales o de registros que se mantienen para otros 
propósitos. 
 
Antes de depositar nuestra confianza en cualquier conjunto de datos interpretados, 
deberíamos chequear: 
 
• ¿De dónde vienen los datos? ¿La fuente es parcial? Es decir, ¿es posible 
que haya un interés en proporcionar los datos que conduzcan a una cierta 
conclusión más que a otras? 
• ¿Los datos comprueban o contradicen otras evidencias que se tienen? 
• ¿Hace falta alguna evidencia cuya ausencia podría ocasionar que se llegue 
a una conclusión diferente?
 
 
 
 
 
• ¿Cuántas observaciones se tienen? ¿Representan a todos los grupos que 
se desea estudiar? 
• ¿La conclusión es lógica? ¿Se ha llegado a conclusiones que nuestros 
datos no confirman? 
 
Estudiar las respuestas que demos a estar preguntas determinará si vale la pena 
utilizar estos datos o esperar y recabar más información antes de actuar. 
 
 Trabajo practico N° 1 
 
 
1- Para cada una de las siguientes variables aleatorias determine si es categórica o 
numérica. Si es numérica, determine si el fenómeno de interés es Discreto o 
continuo: 
 
 Número de teléfonos por viviendas. 
 Tipo de teléfono principal de uso. 
 Número de llamadas de larga distancia más larga por mes. 
 Color del teléfono principal en uso. 
 Costo mensual (en pesos y centavos). 
 Posesión de un teléfono celular. 
 Número de llamadas locales por mes. 
 Duración (en minutos) de la llamada local más larga por mes. 
 Si hay una línea telefónica conectada a un moden en la vivienda. 
 Si hay un fax en la vivienda. 
 
2- Suponga que se ha obtenido la siguiente información entre los estudiantes que 
salían de la librería “quiero estudiar” durante la primera semana de clases. 
Clasifique cada variable como categórica o numérica. Si es numérica, determine 
si el fenómeno de interés es Discreto o continuo 
 Cantidad de dinero que se utiliza para adquirir libros. 
 Números de libros de texto que se adquieren. 
 Tiempo empleado para comprar en la librería. 
 Especialidad académica. 
 Hombre o mujer. 
 Posesión de una computadora personal. 
 Posesión de una dvd. 
 Numero de las materias en las que se inscribió en el semestre actual. 
 Forma de pago. 
 
3- Para cada una de las variables aleatorias siguientes determine si es categórica o 
numérica. Ídem punto anterior. 
 Marca de gaseosas que consume habitualmente. 
 Costo de la computadora personal. 
 Tiempo de la computadora por semana. 
 Uso principal de la computadora. 
 Número de personas que usan la computadora en la vivienda. 
 Paquete de procesador de textos que usa principalmente. 
 Indicar si posee servidor de internet. 
 
4- Para cada una de las variables aleatorias siguientes determine si es categórica o 
numérica. Ídem punto anterior. 
 
 Cantidad de dinero que destino a compras de ropa durante el último 
bimestre. 
 
 Casa der ropa preferida. 
 Tiempo que invirtió en ir de compras para adquirir ropa en el último mes. 
 Periodo más probable para la compra de ropa. 
 Numero de pares de guantes de invierno. 
 Medio principal de transporte que utiliza para llegar al terciario. 
 
5- Si dos estudiantes obtienen una calificación de 90 en el mismo examen ¿Qué 
argumentos se pueden usar para mostrar que la variable aleatoria – calificación 
de la prueba- es continua? 
6- Suponga que es director de investigación de mercado de una gran cadena de 
tiendas departamentales y desea realizar una encuesta en el área metropolitana 
para determinar el tiempo mensual que invierten en adquirir ropa las mujeres que 
trabajan. 
 Describa la población y la muestra de interés, e indique el tipo de datos 
que el director está interesado en recolectar. 
 Desarrolle un primer borrador del cuestionario requerido en el punto 
anterior, escriba una serie de 3 preguntas categóricas y 3 numéricas que 
sean apropiadas para esta encuesta. 
 
7- Explique la diferencia entre una muestra y una población.√ 
8- Para cada uno de los siguientes ítems, determine si el grupo utilizado es 
una muestra o una población√ 
a. Los participantes en el estudio de un nuevo medicamento para la diabetes. √ 
 b. Todos los conductores que se hicieron acreedores a una multa por 
conducir a exceso de velocidad en la Ciudad de Rafaela el mes pasado. √ 
c. Todas las personas que recibieron el préstamo de honor “Capital Semilla” del 
Ministerio de Industria de la Nación. √ 
d. Las 30 acciones reportadas como parte del Promedio Industrial Dow Jones. √ 
 
 
 
 
 
Exitos!!! 
Y a seguir estudiando!!! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDAD II 
 
 
La información obtenida antes de ser organizada y analizada se conoce como datos 
sin procesar, ya que aún no han sido tratados mediante ningún método estadístico. 
 
El objetivo de organizar los datos es permitirnos ver rápidamente algunas de las 
características de los datos que se han recogido. Buscamos cosas como el alcance 
(valores mayor y menor), patrones evidentes, alrededor de qué valor tienden a 
agruparse los datos, qué valores aparecen con mayor frecuencia, etc. 
 
Existen muchas formas de organizar los datos. Podemos sólo colectarlos y 
mantenerlos en orden, o si las observaciones están hechas con números, entonces 
se puede hacer una lista de los puntos de dato de menor a mayor según su valor 
numérico. Si los datos son trabajadores especializados de una construcción 
(carpinteros, albañiles, soldadores, etc.) o los diferentes tipos de remeras 
fabricadas por una empresa dada, necesitaremos presentar los datos en orden 
alfabético o mediante algún principio de organización. 
 
 
 
 
 
Distribución de frecuencias 
 
El primer método que vamos a ver para la presentación o descripción de un 
conjunto de datos es la distribución de frecuencias. 
 
Agrupamiento de datos en categorías mutuamente excluyentes, que indican el 
número de observaciones en cada categoría. 
 
¿Cómo se elabora una distribución de frecuencias? El primer paso es anotar los datos 
en una tabla que muestre las clases (categorías) y el número de observaciones en 
cada categoría. Recuerden que el objetivo es obtener una tabla que muestre a simple 
vista la forma de los datos. 
 
Dependiendo del tamaño de la muestra trabajaremos con datos agrupados o sin 
agrupar. Cuando la cantidad de elementos muestrales resulta pequeña, trabajaremos 
con datos sin agrupar, teniendo en cuenta todos los datos de la muestra. A 
continuación un ejemplo de tabla de Frecuencias para datos sin agrupar:
 
 
 
 
 
Vamos a definir a continuación algunos conceptos que nos serán de utilidad al 
momento de construir la distribución de frecuencias: 
 
• Frecuencia absoluta (fa): representa el número de veces que se repite 
determinado valor de la variable. La suma de las frecuencias absolutas debe 
coincidir con el tamaño de la población o muestra, según se haya trabajado. 
• Frecuencia relativa (fr): representa la proporción de la población con 
determinado valor de la variable. Puede calcularse mediante: fr = fa / N. La 
suma de las frecuencias relativas debe coincidir con la unidad.• Porcentajes: es la frecuencia relativa expresada en porcentaje. La suma de 
los porcentajes debe coincidir con el 100%. 
• Frecuencia absoluta acumulada (Fa): representa qué parte de la 
población o muestra posee características menores o iguales a determinado 
valor de la variable. El último valor de las frecuencias absolutas acumuladas 
es igual al tamaño de la población o muestra según se haya trabajado. 
• Frecuencia relativa acumulada (Fr): r e p r e s e n t a la proporción de 
la población que posee características menores o iguales a determinado valor 
de la variable. El último valor de las frecuencias relativas acumuladas es 
igual a 1 (uno) 
 
Ejemplo: Un estudio realizado en 25 salones de una localidad del país en mayo de 
2014 con objeto de determinar su grado de protección contra incendios, arrojó los 
siguientes resultados: A, B, A, A, A, Ninguno, C, A, A, A, C, B, C, A, B, C, B, C, A, 
B, B, A, A, C, B. 
 
Para construir la tabla de distribución correspondiente al enunciado anterior 
desarrollaremos una a una sus columnas. 
 
Modalidad: en este caso la modalidad es el grado de protección contra incendios 
que tengan los salones, es decir: Ninguna, A, B y C. 
 
fa: a fin de determinar la frecuencia absoluta de cada modalidad contaremos las veces 
que se repiten cada una. Se debe chequear que la suma de las frecuencias absolutas 
coincida con n = 25 
 
fr: calcularemos el cociente entre la frecuencia absoluta correspondiente y el 
número total de observaciones, que para nuestro ejemplo son 25.
 
 
 
 
 
Porcentajes: es expresar en porcentaje la frecuencia relativa. 
 
Grado de protección fa fr % 
Ninguno 1 0,04 4 
A 11 0,44 44 
B 7 0,28 28 
C 6 0,24 24 
Totales 25 1 100 
 
A pesar de las ventajas, en ocasiones no resulta útil un ordenamiento de datos sin 
agrupar ya que dar una lista de todos los valores puede resultar una forma 
incómoda de mostrar grandes cantidades de datos. En estos casos, para poblaciones 
o muestras cuyos elementos se encuentran distribuidos a través de todo el 
recorrido y el número de veces que se repite cada observación es bajo, se hace 
necesario el agrupamiento, en intervalos o clases, que haga más compacta, 
manejable y presentable la información y todavía ser capaces de utilizarla para su 
interpretación y para la toma de decisiones. 
 
El número de clases y la amplitud de cada intervalo los fija el investigador de acuerdo 
con el conocimiento que posea de la población, la necesidad de hacer comparaciones 
con otras investigaciones y la presentación de la información. No obstante lo dicho, 
se recomienda que la información no sea demasiado compacta ya que restaría 
precisión, ni demasiado extensa o dispersa debido a que no se tendría claridad. 
Entonces, dada una cantidad n de datos comprendido en un rango de valores, surge 
inmediatamente la pregunta ¿cuántas categorías debemos establecer? y en 
consecuencia ¿qué intervalo comprende cada categoría? 
 
A continuación citaremos el paso a paso de la construcción de intervalos: 
• Determinar Xmáx y Xmín esto es, los valores máximos y mínimos de los datos 
obtenidos. 
Calcular el Rango (diferencia entre los valores extremos) 
 
 
R = Xmáx – Xmín 
 
• Determinar el número de intervalos o clases (k) mediante la fórmula de 
Sturges: 
 
k = 1 + 3,33 log (n) 
 
 
 
Donde n es el número de datos 
Calcular la amplitud A > R / k 
Calcular el Rango Ampliado Ra = A * k 
Establecer la diferencia a = Ra – R 
 
Distribuir a: 
 
Xmín – a/2 = LIPI (límite inferior del primer intervalo) 
Xmáx + a/2 = LSUI (límite superior del último intervalo) 
Construir los intervalos 
 
Es importante aclarar que los intervalos deben cumplir con dos condiciones 
fundamentales:
 
 
 
• Ser mutuamente excluyentes: es decir, que un valor determinado debe 
pertenecer a una sola clase. 
• Ser exhaustivos: el cuadro debe contener todos los valores de la variable. 
 
Para evitar que algún valor de la variable se cuente más de una vez, los intervalos 
deben ser cerrados en su extremo inferior (límite inferior) y abiertos en el superior 
(límite superior) con excepción del último intervalo que debe ser cerrado también en 
su extremo superior para asegurar que incluya al valor mayor de la variable. 
 
En cuanto al número de clases a utilizar (cantidad de intervalos) éstos depende del 
número de observaciones con que se cuente, en general, la distribución de 
frecuencias no debe tener menos de 5 (cinco) intervalos de clase ni más de 15 
(quince) Si no hay suficientes clases, hay mucha concentración de datos y se 
obtendría poca información; si por el contrario hay demasiados intervalos, la 
información se dispersa. 
 
Ejemplo: Los metros de manguera contra incendio inspeccionados por un 
trabajador en la fábrica de la ciudad de Carlos Paz (provincia de Córdoba) en junio 
de 2014, son los siguientes: 63, 69, 83, 85, 93, 73, 80, 94, 104, 125, 141, 152, 115, 
120, 127, 139, 105, 114, 123, 121, 107, 100, 109, 83, 85, 93, 128, 90, 75, 137, 131, 
73, 62, 100, 109, 117, 124, 103, 133, 138, 143, 110, 61, 91, 87, 156, 133, 155, 143, 
116, 117, 118, 147, 134, 129, 96, 99, 74, 104, 97, 84, 98, 78, 71, 133, 63, 79, 76, 
86, 88, 77, 124, 116, 119, 102, 107, 106, 111, 119. Determinar los intervalos para 
los datos citados. 
 
A fines prácticos vamos a ordenar los valores en la siguiente tabla: 
 
 
Ahora vamos paso a paso: 
 
• Determinar Xmáx y Xmín Xmáx = 156 y Xmín = 61 
• Calcular el Rango R = Xmáx – Xmín = 156 – 61 = 95 
• Determinar el número de intervalos o clases (k) mediante la fórmula de 
Sturges 
k = 1 + 3,33 log (n) = 1 + 3,33 log (79) = 7,32 8 clases
 
 
 
 
 
Como la fórmula de Sturges es orientativa, tomamos la cantidad de intervalos o clases 
8 (ocho) 
 
• Calcular la amplitud A > R / k A > 95 / 8 = 11,875 A = 12 
• Calcular el Rango Ampliado Ra = A * k = 12 * 8 = 96 
• Establecer la diferencia a = Ra – R = 96 – 95 = 1 
• Distribuir a 
o Xmín – a/2 = 61 – ½ = 60,5 = LIPI 
o Xmáx + a/2 = 156 + ½ = 156,5 = LSUI 
• Construir los intervalos: 
[60,5 ; 72,5) 
[72,5 ; 84,5) 
[84,5 ; 96,5) 
[96,5 ; 108,5) 
[108,5 ; 120,5) 
[120,5 ; 132,5) 
[132,5 ; 144,5) 
[144,5 ; 156,5] 
 
Nótese que los intervalos comienzan con corchete, es decir que el valor inferior se 
encuentra comprendido; y culminan con paréntesis, esto es, el valor superior no se 
encuentra comprendido en el mismo. De esta forma se cumple con la condición de 
que los intervalos sean mutuamente excluyentes. 
 
El valor del límite superior del primer intervalo coincide con el valor del límite inferior 
del segundo intervalo; el valor del límite superior del segundo intervalo coincide con 
el valor del límite inferior del tercer intervalo y así sucesivamente. 
 
Como todos los datos obtenidos toman valores entre 61 y 156 y los intervalos van 
desde 60,5 comprendido y 156,5 sin comprender, todos los datos quedarían incluidos, 
es decir, se cumple la condición de ser exhaustivos. 
 
La distribución de frecuencias para datos agrupados es el despliegue organizado de 
datos que muestran el número de observaciones del conjunto de datos que entran en 
cada una de las clases de un conjunto de clases mutuamente exclusivas y 
colectivamente exhaustivas. A continuación mostraremos el cuadro para datos 
agrupados: 
 
 
 
Un par de conceptos nuevos para la construcción de distribución de frecuencias 
anterior:
 
 
 
• Intervalo de clases: es un recorrido de la variable en el cual se subagrupan 
conjuntos con iguales características. 
• Punto medio de clase: también llamado marca de clase, es el valor 
representativo del intervalo y equivale a la semisuma de los límites inferior y 
superior de cada intervalo de clase: ci = (LIi + LSi) / 2 
 
De todo lo anterior, queda expuesto que cuando agrupamos los datos en una 
distribución de frecuencias NO eliminamos información, sólo la agrupamos aefectos de llagar a resultados que reflejen la realidad del conjunto de datos. 
 
Ejemplo: Tomando ahora el ejemplo de la fábrica de mangueras contra incendios 
en Carlos Paz y los intervalos que ya hemos calculado, construiremos la tabla de 
frecuencias correspondiente. 
 
Intervalo Pto medio fa fr % Fa Fr 
[60,5 ; 72,5) 66,5 6 0,08 8 % 6 0,08 
[72,5 ; 84,5) 78,5 12 0,15 15 % 18 0,23 
[84,5 ; 96,5) 90,5 11 0,14 14 % 29 0,37 
[96,5 ; 108,5) 102,5 13 0,16 16 % 42 0,53 
[108,5 ; 120,5) 114,5 14 0,17 17 % 56 0,70 
[120,5 ; 132,5) 126,5 9 0,12 12 % 65 0,82 
[132,5 ; 144,5) 138,5 10 0,13 13 % 75 0,95 
[144,5 ; 156,5] 150,5 4 0,05 5 % 79 1 
Totales 79 1 100 
 
 
NOTA 1: la Fa del primer intervalo coincide con la fa del mismo intervalo, para 
nuestro caso 6 (seis) La frecuencia absoluta del segundo intervalo se obtiene 
adicionando a ésta (6) la fa del segundo intervalo (12) será entonces igual a 
6+12=18. Se repite la operatoria sucesivamente hasta que en el último intervalo se 
obtiene el valor de n = 79. 
 
NOTA 2: a la Fa citada en la tabla de distribución de frecuencias anterior se la conoce 
también como Fa “menor o igual que” denotada comúnmente como Fa ≤. Se puede 
calcular también la frecuencia acumulada decreciente, es decir, la frecuencia 
acumulada que representa qué parte de la población o muestra posee características 
mayores o iguales a determinado valor de la variable, esta última se conoce como Fa 
“mayor o igual que” y se denota con Fa ≥. La Fa ≥ del primer intervalo coincide 
con n = 79; la frecuencia absoluta del segundo intervalo se obtiene disminuyendo 
a ésta (79) la fa del segundo intervalo (12) será entonces igual a 79-12=67. Se 
repite la operatoria sucesivamente hasta que en el último intervalo se obtiene el valor 
de fa correspondiente, en nuestro caso 4 (cuatro). 
 
NOTA 3: la Fr se obtiene de igual forma que la Fa tomando para ésta las 
frecuencias relativas. El último valor de las Fr debe coincidir con 1 (uno)
 
 
 
 
 
 
Representaciones gráficas de la distribución 
 
 
En la sección anterior se mostró cómo organizar los datos en una distribución de 
frecuencias tanto para datos agrupados como para sin agrupar; resumiendo los datos 
originales y facilitando su comprensión. La principal ventaja que se obtiene al 
organizar los datos en una distribución de frecuencias es que se consigue una imagen 
visual rápida de la forma de la distribución, sin realizar cálculos adicionales; es decir, 
podemos ver dónde se concentran los datos y determinar si hay valores 
extremadamente grandes o sumamente pequeños. 
 
Sin embargo, al trabajar con datos agrupados, existen dos desventajas al organizar 
los datos en tal forma: 
 
1. Se pierde la identidad exacta de cada valor, y 
2. No se sabe bien cómo se distribuyen los valores dentro de cada clase. 
 
Para salvar la pérdida de identidad de cada observación se pueden utilizar las 
representaciones de tallo y hoja. 
 
La representación de tallo y hoja es una técnica estadística que se utiliza para 
mostrar información cuantitativa en forma condensada. Cada valor numérico se divide 
en dos partes: los dígitos principales se toman como el tallo y el dígito siguiente es la 
hoja. Los tallos se ubican a lo largo del eje vertical principal y las hojas, de cada 
observación, a lo largo del eje horizontal. 
 
A fin de ilustrar la elaboración de una representación de tallo y hojas para los 
valores obtenidos en la medición de ruidos en una planta de elaboración, 
supongamos las siete observaciones siguientes expresadas en dbA: 86, 84, 83, 84, 
85, 82 y 87. El valor de tallo es el dígito o dígitos principales, en este caso el 8. Las 
hojas son los dígitos siguientes. Los valores de tallo se colocan a la izquierda de 
una barra vertical y los de hoja a su derecha. 
 
8 | 6 4 3 4 5 2 7 
 
Finalmente, se ordenan los valores dentro de cada tallo, del menor al mayor. 
 
8 | 2 3 4 4 5 6 7 
 
Con la representación de tallo y hoja anterior, se puede observar rápidamente que 
dos de los valores obtenidos en la medición fueron 84 dbA y que los ruidos medidos 
oscilaron entre 82 y 87 dbA. Una representación de tallo y hoja realmente es un 
histograma con más información, es decir, valores de datos en vez de grupos.
 
 
 
 
Los agentes de ventas, administradores de hospitales y otros ejecutivos, con 
frecuencia necesitan tener una percepción rápida de la tendencia en ventas, precios 
de acciones o costos de administración. Estas tendencias pueden mostrarse 
utilizando diagramas o gráficas. Tres diagramas que representan de manera 
adecuada una distribución de frecuencias son el histograma, el polígono de 
frecuencias y el polígono de frecuencias acumuladas. 
 
Histograma: es una gráfica en la que las clases se marcan en el eje horizontal y 
las frecuencias de clase en el eje vertical. Las frecuencias de clase están 
representadas por las alturas de las barras y éstas se colocan adyacentes una a otra. 
 
De esta manera, el histograma describe la distribución de frecuencias utilizando una 
serie de rectángulos, cuyo ancho es proporcional al alcance de los datos que se 
encuentran dentro de una clase y cuya altura es proporcional al número de elementos 
que caen dentro de la clase. Si las clases utilizadas son de la misma amplitud, las 
barras verticales del histograma tienen también el mismo ancho. La altura de la barra 
correspondiente a cada clase representa el número de observaciones de la clase. 
Como consecuencia de lo dicho, el área contenida en cada rectángulo ocupa un 
porcentaje del área total de todos los rectángulos igual al porcentaje de la frecuencia 
de clase correspondiente con respecto a todas las observaciones hechas. 
 
Un histograma que utiliza las frecuencias relativas de los puntos de dato de cada 
una de las clases, en lugar de usar el número real de puntos, se conoce como 
Histograma de frecuencias relativas. Este histograma tiene la misma forma que 
un histograma de frecuencias absolutas construido a partir del mismo conjunto de 
datos. 
 
El poder representar los datos en términos de la frecuencia relativa de las 
observaciones, más que en términos de la frecuencia absoluta, es de mucha 
utilidad ya que mientras los número absolutos pueden sufrir cambios la relación 
entre las clases permanece estable; resultando fácil comparar los datos de 
muestras de diferentes tamaños cuando utilizamos histogramas de frecuencias 
relativas. 
 
A continuación, un modelo de histograma de frecuencias absolutas de la altura de los 
árboles de un bosque:
 
 
 
fr
e
c
u
e
n
c
ia
s
 a
b
s
o
lu
ta
s
 
a
lt
u
ra
s
 
 
 
 
frecuencias absolutas de alturas 
60 
50 
40 
30 
20 
10 
0 
4.75 6.25 7.75 9.25 10.75 12.25 13.75 15.25 16.75 
número de clase 
 
 
 
 
 
frecuencias 
absolutas de 
alturas
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aunque de menor utilización, los polígonos de frecuencias son otra forma de 
representar gráficamente distribuciones tanto de frecuencias absolutas simples 
como relativas. Está formado por segmentos de recta que unen a los puntos medios 
de clase y las frecuencias de clase. 
 
Para su construcción, señalamos las frecuencias en el eje vertical y los valores de 
la variable que estamos midiendo en el eje horizontal (del mismo modo que lo hicimos 
para el histograma) Luego graficamos cada frecuencia de clase trazando un punto 
sobre su punto medio y conectamos los resultantes puntos sucesivos con una línea 
recta para formar un polígono. Se agregan una clase a cada extremo de la escala 
de valores observados, éstas no contienen observaciones pero permiten que el 
polígono alcance el eje horizontal en ambos extremos de la distribución. 
 
Un polígono de frecuencias que utiliza frecuencias relativas de puntos de dato en 
cada una de las clases en lugar del número de puntos, se conoce como Polígono 
de frecuencias relativas. Este tiene la misma forma que el polígonode frecuencias 
construido a partir del mismo conjunto de datos pero con una escala diferente en 
los valores del eje vertical.
 
fr
e
c
u
e
n
c
ia
s
 a
b
s
o
lu
ta
s
 
a
lt
u
ra
s
 
 
 
 
Poligono de frecuencias absolutas 
60 
50 
40 
30 
20 
10 
0 
[4.00 , 
5.50) 
 
 
 
 
 
 
 
 
[5.50 , 
7.00) 
 
 
 
 
 
 
 
 
[7.00 , 
8.50) 
 
 
 
 
 
 
 
 
[8.50 , 
10.00) 
 
 
 
 
 
 
 
 
[10.00 , 
11.50) 
Intervalo 
 
 
 
 
 
 
 
 
[11.50 , 
13.00) 
 
 
 
 
 
 
 
 
[13.00 , 
14.50) 
 
 
 
 
 
 
 
 
[14.50 , 
16.00) 
 
 
 
 
 
 
 
 
[16.00 , 
17.50) 
 
 
 
 
Poligono de 
f recuencias 
absolutas
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Un polígono de frecuencias alisado mediante el aumento de clases y de puntos de 
dato, se conoce como Curva de frecuencias.
 
 
 
 
 
Tanto el histograma como el polígono de frecuencias permiten obtener una imagen 
rápida de las principales características de los datos (altos, bajos, puntos de 
concentración, etc.) Aunque el objetivo de ambas representaciones es similar, el 
histograma tiene la ventaja de indicar cada clase como un rectángulo, cuya altura 
representa el número total de frecuencias en la clase. El polígono de frecuencias, a 
su vez, tiene una ventaja notable con relación al histograma, ya que permite comparar 
en forma directa dos o más distribuciones de frecuencias. 
 
 
Una distribución de frecuencias acumuladas nos permite ver cuántas 
observaciones están por encima de ciertos valores, la gráfica de esta distribución (sea 
del tipo “mayor que” o “menor que”) se conoce como ojiva. 
 
El límite inferior de las clases de la tabla se convierte en el límite superior de la 
distribución acumulativa de la ojiva. 
 
Se puede construir una ojiva de una distribución de frecuencias relativas de la 
misma manera en que trazamos la ojiva de una distribución de frecuencias absolutas, 
el cambio radicará en la escala del eje vertical. 
 
A continuación graficada un ojiva “menor que” de la distribución de niveles de 
producción de una muestra de 30 telares para alfombra:
 
 
 
 
 
Otras representaciones gráficas de datos 
 
 
El histograma, el polígono de frecuencias y el polígono de frecuencias acumuladas 
(ojiva) poseen en general un fuerte atractivo visual. Esto quiere decir que están 
diseñados para captar la atención del lector. Ahora vamos a examinar otras formas 
gráficas, específicamente la gráfica de líneas, de barras y circular ya que son las 
que aparecen continuamente en publicaciones, revistas, diarios y reportes. 
 
Las gráficas de líneas son especialmente efectivas en los negocios ya que pueden 
mostrar el cambio en una variable a través del tiempo. La variable se marca en la 
escala a lo largo del eje vertical y el tiempo en la escala a lo largo del eje horizontal. 
Con frecuencia, en la misma gráfica se representan dos o más series de cifras; por 
tanto, una gráfica puede mostrar la tendencia de varias series lo que permite una 
comparación rápida de varias series en un periodo o intervalo de tiempo. A 
continuación una gráfica de líneas compuesta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Una gráfica de barras es especialmente útil para mostrar cualquiera de los niveles 
de medición: nominal, ordinal, de intervalo o de razón (cociente) Cabe recordar que 
los niveles de medición de los datos se analizaron en apartados anteriores. Al igual 
que en el caso anterior también se pueden mostrar varias series en el mismo 
gráfico, a continuación un ejemplo de ello:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A este tipo de representación se lo conoce como gráfica de barras horizontales 
debido a su configuración aunque también pueden mostrarse de manera vertical. 
Es importante observar que hay un especio entre las barras que representan 
diferentes categorías; esta es una característica que diferencia a las gráficas de 
barras respecto de los histogramas, en un histograma no hay espacio entre las barras 
debido a que los datos pertenecen a una escala de intervalo o razón. 
 
Una gráfica circular es especialmente útil para mostrar datos de nivel nominal, 
generalmente las “rebanadas” muestran el porcentaje de la categoría. A 
continuación un ejemplo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráficas engañosas 
 
 
Al elaborar un representación gráfica se debe tener cuidado de no hacer una que 
lleve a confusión o a una interpretación errónea. Una de las formas más fáciles para 
conducir al lector a una interpretación errónea es hacer que la extensión del eje Y sea 
muy pequeña en términos de las unidades que se utilizan para ese eje; un segundo 
método es comenzar en algún valor diferente de cero sobre el eje Y. 
 
Es de notar que por lo expuesto anteriormente, por medio de gráficos tendenciosos 
se pueden deformar o resaltar situaciones o estados, que presentados en un gráfico 
apropiado, mostrarían un comportamiento normal. Otras causas por las que una 
información es distorsionada son las siguientes:
 
 
 
• La relación entre los ejes no es la apropiada. Existe una regla que establece 
la relación entre ejes como sigue: Lx/Ly = 4/3 Ly = ¾ Lx (la longitud del eje 
vertical es igual a tres cuartos la longitud del eje horizontal) 
• Las escalas no conservan proporción o se eligió mal el punto de origen. 
• Se utilizan dibujos para representarlas las categorías. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIOS DE LA UNIDAD 
 
 
 
 Trabajo practico N° 2 
 
 
1- Explique la diferencia entre datos cualitativos y cuantitativos. Proporcione 
un ejemplo de cada uno. √ 
2- Explique lo que indica la expresión “mutuamente excluyentes” y mencione lo 
que significa el término “exhaustivo”. √ 
3- Un conjunto de datos consta de 38 observaciones ¿cuántas clases 
recomendaría para la distribución de frecuencias? √
 
 
 
 
 
4- Un conjunto de datos consta de 230 observaciones que oscilan desde 235 
hasta 567 ¿qué intervalo de clase recomendaría? 
5- Un informe elaborado para el Gerente General indicó que 56% de los 
accidentes eran lesiones leves sin días de baja, 23% con hasta 3 días de baja 
laboral, 10% con hasta 10 días de baja y 9% con más de 10 días de baja y el 
remanente sin clasificar. Trace una gráfica circular para mostrar la distribución 
de los accidentes de la empresa. √ 
6- Un conjunto de datos consiste en 83 observaciones ¿Cuántas clases 
recomendaría para una distribución de frecuencias? 
7- Un conjunto de dato consta de 145 observaciones que van de 56 a 490 ¿qué 
8- tamaño de intervalo de clase recomendaría? 
9- Los siguientes datos obtenidos de una muestra de hogares presentan las 
cantidades semanales (en pesos) que se gastan en comestibles. 
271 363 159 76 227 337 295 319 250 
279 205 279 266 199 177 162 232 303 
192 181 321 309 246 278 50 41 335 
116 100 151 240 474 297 170 188 320 
429 294 570 342 279 235 434 123 325 
a. ¿Cuántas clases recomendaría? 
b. ¿Qué intervalo de clase sugeriría? 
c. ¿Qué valor sería recomendable como el límite inferior de la primera clase? 
d. Organice los datos en una distribución de frecuencias. 
e. Comente la forma de la distribución de frecuencias. 
12- A continuación se presenta la cantidad en minutos que toma viajar desde el 
hogar al trabajo, para un grupo de ejecutivos en auto. 
28 3732 16 42 33 
31 41 35 23 23 
25 25 26 38 36 
26 19 43 23 28 
21 31 32 33 29 
 
a. Organice los datos en una distribución de frecuencias. 
b. Comente acerca de la forma de distribución recomendada. 
13- Determine si el enunciado es verdadero o falso. 
a. Una ojiva “mayor que” tiene forma de S y su inclinación es hacia abajo a la 
derecha. 
b. Un histograma es una serie de rectángulos, cada uno proporcional en anchoal 
Número de elementos que caen dentro de una clase específica de datos. 
c. Las clases o intervalos de cualquier distribución de frecuencias relativas son 
tanto completamente inclusivas como mutuamente exclusivas. 
d. Si uniéramos los puntos medios de las barras consecutivas de un histograma de 
frecuencias con una serie de rectas, estaríamos graficando un polígono de 
Frecuencias. 
e. Una desventaja del ordenamiento de datos es que no nos permite hallar 
fácilmente los valores mayor y menor del conjunto de datos. 
 
 
 
 
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sacrificio…..
 
 
 
 
 
UNIDAD III 
 
 
Descripción de datos. Medidas de Tendencia Central. Media poblacional. Media 
muestral. Propiedades de la media aritmética. Media ponderada. Mediana. 
Determinación gráfica de la mediana. Moda. Media geométrica. Media, mediana y 
moda para datos agrupados. Medidas de dispersión. Amplitud/Intervalo/Rango. 
Varianza. Desvío Estándar. Medidas de dispersión para datos agrupados. 
Interpretación y usos de la desviación estándar. Otras medidas de dispersión: 
Cuartiles, Deciles, Percentiles. 
 
 
 
DESCRIPCIÓN DE DATOS 
 
En la primera unidad iniciamos el estudio de la estadística descriptiva; para poder 
presentar un conjunto de datos a granel o no agrupados, en un formato comprensible 
se los organizó en una distribución de frecuencias y se los presentó gráficamente con 
un histograma o un polígono de frecuencias; también se describieron otros recursos 
para presentar datos, como las representaciones de tallo y hoja, las gráficas de 
línea, de barras y las circulares. 
 
En esta unidad vamos a continuar con el desarrollo de métodos para describir un 
conjunto de datos, mediante un único valor. A dicho valor se le denomina medida 
de tendencia central. 
 
 
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 
 
Se llaman así a los valores típicos de una serie o de una variable en el sentido que 
ese valor puede representar al conjunto de los valores considerados. 
 
Medida de tendencia central: es un valor único que resume un conjunto de datos. 
Señala el centro de los valores. 
 
El concepto de promedio es el que nos resulta más familiar, sin embargo no existe 
solamente una medida de tendencia central sino varias. Aquí consideraremos seis: 
la media aritmética, la media ponderada, la mediana, la moda, la media geométrica 
y la media armónica. 
 
 
MEDIA POBLACIONAL/MUESTRAL | PROPIEDADES 
 
La media poblacional de datos sin procesar, datos que no han sido agrupados en 
una distribución de frecuencias o en una representación de tallo y hoja, es la suma 
de todos los valores de la población, dividida entre el número total de dichos datos. 
Para calcular la media de una población se utiliza la siguiente fórmula: 
 
 
 
 
 
 
Donde: 
μ: representa la media de la población (letra griega “mu” minúscula) 
N: es el número total de elementos en la población 
x: representa cualquier valor en particular 
Σ: es la letra griega “sigma” mayúscula, indica la operación de sumar 
Σx: simboliza la suma de todos los valores x 
 
Cualquier característica medible de una población se denomina parámetro. La media 
de una población es, por tanto, un parámetro. 
 
Ejemplo: Hay 12 empresas fabricantes de autos en Estados Unidos. A 
continuación se presenta el número de patentes otorgadas el año pasado por el 
gobierno de ese país a cada negociación. 
 
Empresa N° de patentes Empresa N° de patentes 
General Motors 511 Mazda 210 
Nissan 385 Chrysler 97 
Daimler Chrysler 275 Porsche 50 
Toyota 257 Mitsubishi 36 
Honda 249 Volvo 23 
Ford 234 BMW 13 
 
1. ¿Esta información es una muestro o una población? 
2. ¿Cuál es el número medio de patentes otorgadas? 
 
Esta información es una población, porque se consideran TODAS las compañías 
automovilísticas que obtuvieron patentes de cada una de las 12 empresas. La 
cantidad total de patentes de las 12 compañías es 2.340. Para evaluar la media 
aritmética, se divide ese total entre 12. Por tanto, la media es 195, que se obtiene 
de 2.340/12. 
 
 
 
¿Cómo se interpreta el valor 195? El número típico de patentes recibido por una 
empresa es 195. Puesto que se considera a todas las compañías que recibieron 
patentes, este valor es un parámetro poblacional. 
 
Con frecuencia se selecciona una muestra de la población con el objeto de evaluar 
algo acerca de una característica específica de tal población. Para datos a granel, 
es decir, no agrupados, la media es la suma de todos los valores, dividida entre el 
número total de los mismos. 
 
 
 
 
Donde x simboliza la media muestral y se lee “equis barra”. La letra n designa al 
número total de valores de la muestra. 
 
La media de una muestra, o cualquier otra medida basada en datos muestrales, se 
denomina dato estadístico.
 
 
 
 
 
Sin embargo, la media tiene varias desventajas. Como para su cálculo se utiliza el 
valor de cada elemento de la población o muestra; si uno o dos de estos valores es 
muy grande o muy pequeño, la media podría no ser un promedio adecuado para 
representar los datos. La media también resulta inadecuada si hay una clase de 
extremos abiertos en el caso de datos agrupados en una distribución de 
frecuencias. 
 
 
 
 
 
 
 
MEDIA PONDERADA O PROMEDIO PONDERADO 
 
La media ponderada es un caso especial de la media aritmética que se presenta 
cuando hay varias observaciones con un mismo valor, lo cual puede ocurrir si los 
datos se han agrupado en una distribución de frecuencias. 
 
Para explicar el concepto vamos a suponer que en una empresa de elementos de 
protección se venden camisas de trabajo chicas, medianas y grandes y que sus 
precios son los siguientes: $200, $250 y $300 respectivamente. De las últimas 10 
camisas que se vendieron, 3 eran chicas, 4 medianas y 3 grandes. Para calcular el 
precio promedio de las últimas 10 camisas vendidas se puede utilizar la siguiente 
fórmula:
 
 
 
 
 
El precio medio de venta de las últimas 10 camisas es $250. 
 
Un modo más fácil de encontrar el precio medio de venta es determinar la media 
ponderada. Esto quiere decir que cada observación se multiplica por el número de 
veces que se presenta. A la media ponderada se la presenta con el símbolo xw y se 
lee “equis barra subíndice w” 
 
 
 
En general, la media ponderada de un conjunto de números designados por x1, x2, 
x3,…,xn con las ponderaciones (o pesos) correspondientes w1, w2, w3, …, wn se 
calcula como sigue: 
 
 
 
 
Ejemplo: La constructora Carter para a sus empleados $65, $75 o bien $85 por 
hora. Hay 26 empleados contratados por hora; 14 reciben la tarifa de $65, 10 la de 
$75 y 2 la de $85. ¿Cuál es la media de la tarifa por hora que se paga a los 26 
trabajadores? 
 
Para encontrar la media de las tarifas por hora, se multiplica cada una por el 
número de empleados que ganan ese importe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
MEDIANA | DETERMINACIÓN GRÁFICA DE LA MEDIANA 
 
Hemos enunciado anteriormente que para datos que contienen uno o dos valores 
muy grandes o muy pequeños, la media aritmética puede no ser representativa. El 
punto central de tales datos puede describirse mejor utilizando una medida de 
tendencia central, denominada mediana (Me) y que es un solo valor, no 
necesariamente perteneciente a la serie, calculado a partir del conjunto de datos 
que mide la observación central de éstos, es decir, la mitad de los elementos están 
por arriba de este punto y la otra mitad está por debajo. 
 
Es de suponer entonces, que para hallar la mediana de un conjunto de datos, primero 
debemos ordenarlos, ya sea de forma ascendente o descendente. 
 
Para series de datos no agrupados, puede que éstos resulten pares o impares. Si el 
conjunto de datos contiene un número impar de elementos, el del medio del arreglo
 
 
 
es la mediana. Si hay un número par de observaciones, la mediana es el promedio 
de los dos elementos de en medio. 
 
Ejemplo: Supongamos que tenemosla siguiente serie de datos: 15, 17, 2, 11, 20, 
25, 31, 28, 8, 4, 27, 23, 5. El número de elementos de esta serie es 13, por tanto 
estamos en la situación de número impar de observaciones. 
 
Primeramente debemos ordenar los datos. En este caso lo haremos de menor a 
mayor, nos queda entonces: 2, 4, 5, 8, 11, 15, 17, 20, 23, 25, 27, 28, 31 
 
Hemos mencionado que el valor mediano deja la mitad de los elementos por arriba 
de este punto y la otra mitad por debajo. Vamos a calcular entonces la posición 
mediana PMe donde N es el número de datos: 
 
 
 
En nuestro ejemplo: 
 
 
 
Ahora que conocemos la posición en que se encuentra nuestro valor mediano en la 
serie ordenada, vemos: 
 
Posición 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 
Valor 2 4 5 8 11 15 17 20 23 25 27 28 31 
 
Entonces: Me = 17 
 
Como puede observarse hay seis valores por debajo del 17 y seis valores por 
encima. 
 
Ejemplo: Supongamos que tenemos ahora la siguiente serie de datos: 15, 17, 2, 
11, 20, 25, 31, 28, 8, 4, 2, 23, 5, 33. El número de elementos de esta serie es 14, 
por tanto estamos en la situación de número par de observaciones. 
 
Al igual que en el ejemplo anterior se deben primeramente ordenar los datos. Nos 
queda entonces: 2, 4, 5, 8, 11, 15, 17, 20, 23, 25, 27, 28, 31, 33 
 
Para calcular la posición mediana PMe utilizamos la misma fórmula anterior: 
Reemplazando: 
Ahora la posición no es un número entero, por lo que será un valor entre la posición 
7 y la 8, es decir, entre el valor 17 y el valor 20. Si bien puede ser cualquier valor 
comprendido entre los mencionados, por convención se toma como mediana al 
valor intermedio. 
 
Posición 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
Valor 2 4 5 8 11 15 17 20 23 25 27 28 31 33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O sea: 
 
 
Obsérvese que: 
 
• La posición de la mediana se encuentra con la misma fórmula sea el número 
de datos par o impar. 
• El valor de la mediana 18,5 es un valor no perteneciente a la serie, tal como 
lo hemos tenido en cuenta en la definición dada de mediana. En rigor 
cualquier valor entre 17 y 20 es una mediana, ya que todos ellos dejan 
tantos valores por encima (siete) como valores por debajo (siete), el hecho 
que se tome un valor equidistante de 17 y 20 es puramente convencional. 
• Los valores extremos no influyen en el valor de la mediana. Así por ejemplo 
si sustituimos en la serie 2, 4, 5, 8, 11, 15, 17, 20, 23, 25, 27, 28, 31 el 2 inicial 
por 1 y el 31 final por 43, la mediana seguirá siendo la misma. 
 
 
 
Para determinar gráficamente la mediana debemos trazar la ojiva de frecuencia 
acumulada igual o menor y la ojiva de frecuencias acumuladas igual o mayor 
poniendo en las abscisas el número o marca de clase y las frecuencias acumuladas 
respectivas en las ordenadas. 
 
 
300 
 
250 
200 
 
150 
 
100 
 
FA=< 
FA=>
 
50 
 
0 
4,75 6,25 7,75 9,25 10,75 12,25 13,75 15,25 16,75 
 
 
El valor que toma en el eje horizontal la intersección de las mismas coincide con el 
valor mediano.
 
 
 
 
MODA 
 
La moda es otra medida de tendencia central y se la define como el valor de la 
observación que aparece con más frecuencia por tanto, no se calcula mediante 
proceso matemático. La moda es especialmente útil para describir los niveles de 
medición nominales y ordinarios. 
 
Ejemplo: A continuación se muestran los sueldos anuales expresados en miles de 
$ de Licenciados en HyS en algunas provincias. ¿Cuál es el valor modal de los 
sueldos? 
 
Provincia Sueldo Provincia Sueldo Provincia Sueldo 
Jujuy 35 Chaco 58 San Juan 50 
Salta 49 Formosa 60 Mendoza 60 
Tucumán 60 Misiones 60 La Pampa 71 
Catamarca 60 Entre Ríos 40 Stgo del E 60 
La Rioja 40 Corrientes 65 Neuquén 55 
 
Una revisión de las cantidades revela que el sueldo anual de $60.000 aparece con 
mayor frecuencia que cualquier otra percepción. Por tanto, la moda es $60.000. 
 
Cabe destacar que se puede determinar la moda para datos de cualquiera de los 
niveles: nominal, ordinal, de intervalo y de razón. La moda también tiene la ventaja 
de no verse afectada por valores extremadamente altos o muy bajos. Al igual que la 
mediana, puede utilizarse como medida de tendencia central en distribuciones con 
clases de extremo abierto. 
 
Sin embargo, la moda también presenta algunas desventajas, las que hacen que 
sea utilizada con menor frecuencia que la media o la mediana. En muchos 
conjuntos de datos no hay valor modal porque ningún valor aparece más de una 
vez; puesto que cada valor es diferente se podría argumentar que cada valor es 
modal. Por el contrario, en ciertos conjuntos de datos hay más de una moda con lo 
que pueden denominarse bimodal, trimodal, etc según sean los valores que se 
repitan; aunque sería cuestionable utilizar los dos/tres valores de moda para 
representar la tendencia central de ese conjunto de datos. 
 
 
 
 
 
MEDIA GEOMÉTRICA 
 
La media geométrica es útil para encontrar el promedio de porcentajes, razones, 
índices o tasas de crecimiento. Se define como la raíz n-ésima del producto de los n 
valores: 
 
 
 
 
 
 
La media geométrica siempre será menor que o igual a (NUNCA mayor que) la media 
aritmética. Deben observar también que TODOS los valores de datos deben ser 
positivos para determinar la media geométrica. 
 
Ejemplo: Supongamos que recibimos un aumento de sueldo de 5% este año y 
recibiremos uno de 15% el año próximo. El aumento porcentual promedio es 9,886 
y no 10 ¿por qué? 
 
Comencemos calculando la media geométrica recordando que un aumento del 5% 
en el sueldo es 1,05. 
 
 
 
Lo anterior se puede verificar suponiendo que el ingreso mensual inicia el $3000 y 
que recibió los dos aumentos: 
 
Aumento 1: $3000 * 0,05 = $150,00 
Aumento 2: $3150 * 0,15 = $472,50 
Total: $150 + $472,50 = $622,50 
El equivalente a: $3000 * 0,09886 = 296,58 
$3296,58 * 0,09886 = 325,90 
Total: $622,48 redondeado a $622,50 
 
Ejemplo: Las ganancias obtenidas por la constructora Atkins en cuatro proyectos 
recientes fueron 3%, 2%, 4% y 6% ¿cuál es la media geométrica de la ganancia? 
 
 
 
Un segundo uso de la media geométrica es encontrar aumentos porcentuales 
promedio en un intervalo de tiempo. La tasa de aumento se determina mediante la 
siguiente fórmula: 
 
 
 
Donde n es el número de periodos. 
 
Ejemplo: Supongamos que la población en un determinado Distrito era de 2 personas 
en 1990 y en 2000 eran 22 personas ¿Cuál fue la tasa de incremento porcentual 
anual promedio para el periodo? 
 
Hay 10 años de diferencia, por tanto n = 10. La fórmula quedaría entonces: 
 
 
 
El valor final es de 0,271 de modo que la tasa de aumento anual es del 27,1%.
 
 
 
 
 
 
 
MEDIA, MEDIANA Y MODA PARA DATOS AGRUPADOS 
 
Con frecuencia los datos relacionados con ingresos, edades y demás, se agrupan y 
presentan en forma de una distribución de frecuencias. Generalmente, resulta 
imposible obtener los datos originales de modo que, si interesa un valor típico que 
represente a los datos, es necesario estimarlo basándose en la distribución de 
frecuencias. 
 
 
Media Aritmética 
 
Para determinar la media aritmética de datos agrupados se considera que las 
observaciones en cada clase están representadas por el punto medio o marca de 
clase. La media de una muestra de datos organizados en una distribución de 
frecuencias se calcula de la siguiente manera: 
 
 
Donde: 
x es la media aritmética 
x* es el valor central o punto medio de cada clase 
f es la frecuencia de cada clase 
n es el número de frecuencias 
 
Ejemplo: Determinar la media aritmética del precio de venta de los vehículos 
resumidos a continuación y expresados en miles de pesos. 
 
Precio de Ventas f x* f * x* 
120 hasta 150 8 13,5 108,0 
150 hasta 180 23 16,5 379,5 
180 hasta 210 17 19,5 331,5 
210 hasta 240 18 22,5 405,0 
240 hasta 270 8 25,5 204,0 
270hasta 300 4 28,5 114,0 
300 hasta 330 2 31,5 63,0 
TOTAL 80 1605,0 
 
Aplicando la fórmula para calcular la media aritmética para datos agrupados 
tenemos: 
 
 
 
 
 
 
Por tanto se concluye que la media del precio de venta de los vehículos es 
aproximadamente $20.100. 
 
La media de datos agrupados puede ser diferente de la media de los datos reales. 
El hecho de agrupar los datos produce una pérdida de información. 
 
 
Mediana 
 
Recordemos que la mediana se define como el valor debajo del cual se encuentra 
la mitad de los valores y arriba del cual se encuentra la otra mitad. Dado que 
agrupando los datos parte de la información ya no es identificable, no es posible 
determinar la mediana exacta; sin embargo, puede estimarse localizando la clase 
en la que se encuentra la mediana y realizando interpolaciones dentro de esa clase 
para obtener dicho valor. 
 
La razón de este enfoque es que se supone que los elementos de la clase en que 
se encuentra la mediana están espaciados de manera uniforme en toda la clase. 
 
 
 
Donde: 
L es el límite inferior de la clase que contiene a la mediana 
n es el número total de frecuencias 
f es la frecuencia de la clase que contiene a la mediana 
FA es el número acumulado de frecuencias en todas las clases que 
preceden a la clase que contiene a la mediana 
i es la amplitud (o anchura) de la clase en que se encuentra la mediana 
 
Ejemplo: Tomaremos los valores del ejemplo anterior 
 
Precio de Ventas f F
A 120 hasta 150 8 8 
150 hasta 180 23 3
1 180 hasta 210 17 4
8 210 hasta 240 18 6
6 240 hasta 270 8 7
4 270 hasta 300 4 7
8 300 hasta 330 2 8
0 TOTAL 80 
 
Para obtener la mediana de los precios de venta se necesita localizar la 
observación número 40 (ya que hay en total 80 observaciones) en los datos 
ordenados de menor a mayor. La clase que contiene el precio de venta del vehículo 
número 40 es la equivalente a la que tiene la FA igual o mayor a 40, es decir, el 
intervalo que va desde 180 hasta 210. 
 
Recordemos que hay 17 vehículos en el intervalo mencionado. Supongamos que 
los precios de venta se distribuyen de manera uniforme entre los límites inferior 
(180) y superior (210) de la clase y aplicando la fórmula tendremos: 
 
 
 
 
 
 
 
La consideración en que se basa la aproximación de la mediana puede no ser 
correcta; en consecuencia, es más seguro decir que aproximadamente la mitad de 
los precios de venta son inferiores a 195,88 mil pesos y la otra mitad son mayores. 
Nuevamente, es probable que exista una diferencia entre la mediana estimada de 
datos agrupados y la mediana determinada a partir de datos sin agrupar. 
 
La mediana sólo se basa en las frecuencias y los límites de la clase que la contiene. 
Las clases de extremo abierto que se presentan en los extremos rara vez se 
necesitan; en consecuencia, se podrá determinar la mediana de una distribución de 
frecuencias que tenga extremos abiertos. 
 
Si se tienen frecuencias relativas (o porcentuales) en lugar de frecuencias 
absolutas, igualmente se puede determinar la mediana. 
 
 
Moda 
 
Recordemos que la moda se define como el valor que más se repite. Para datos 
agrupados es posible aproximar la moda usando el punto medio o marca de clase 
de aquella que contienen el mayor número de frecuencias de clase. 
 
Si el conjunto de datos tiene más de dos valores modales, a la distribución se 
denomina multimodal. En tales casos probablemente, no se considerarían ninguna de 
las modas como representativas del valor central de los datos. 
 
Posiciones relativas de la media, mediana y moda 
 
Vamos a considerar la siguiente figura: 
 
 
 
Se trata de una distribución simétrica en forma de campana, esto significa que la 
distribución tiene la misma forma en ambos lados del eje central. En una 
distribución simétrica, los valores modal, mediano y medio se localizan en el centro 
y siempre son iguales. En el caso de estudio, la moda, mediana y media son 20 años. 
 
Si un conjunto de datos no es simétrico, sino que es asimétrico o sesgado, 
entonces se modifica la relación entre las tres medidas.
 
 
 
 
 
En una distribución con asimetría positiva o positivamente sesgada, es decir, 
hacia la derecha, la moda se encuentra en el punto más alto de la distribución, la 
mediana hacia la derecha de la moda y la media se encuentra todavía más hacia la 
derecha de la moda y la mediana. Por tanto, la moda es la menor de las tres medidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En una distribución asimétrica negativa o negativamente sesgada, es decir, 
hacia la izquierda, la moda se encuentra en el punto más alto de la distribución, la 
mediana hacia la izquierda de aquella y la media se encuentra todavía más hacia la 
izquierda de la moda y la mediana. Por tanto, el valor modal es el mayor de los tres 
promedios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cuando la población está sesgada positiva o negativamente, con frecuencia la 
mediana resulta ser la mejor medida de posición debido a que siempre se 
encuentra entre la moda y la media. La mediana no se ve influida por la frecuencia 
de aparición de un solo valor (como es el caso de la moda) ni se distorsiona con la 
presencia de valores extremos (como la media aritmética) 
 
 
 
 
 
MEDIDAS DE DISPERSIÓN 
 
Un promedio como la media o la mediana, solamente localiza el centro de los datos 
y esto es importante desde ese punto de vista, pero un promedio nada indica 
acerca de la diseminación de los datos. Vamos a continuar con medidas para
 
 
 
describir el conjunto, concentrándonos en aquellas que refieren la dispersión o 
variabilidad de los datos considerados. 
 
Un valor pequeño en una medida de dispersión indica que los datos se acumulan 
estrechamente, por ejemplo, alrededor de la media aritmética; en consecuencia, el 
valor medio se considera representativo de los datos. Por el contrario, una medida de 
dispersión grande indicaría que la media no es confiable. 
 
Otra razón importante para estudiar la dispersión de un conjunto de datos es 
comparar la correspondiente a dos o más distribuciones. 
 
A continuación vamos a considerar varias medidas de dispersión como por ejemplo 
la amplitud de variación o rango que se basa en la localización de los valores más 
grande y más pequeño de un conjunto de datos; la desviación media, la varianza y 
la desviación estándar que se basan en las desviaciones respecto de la media. 
 
 
AMPLITUD/ALCANCE/RANGO 
 
Es la medida de dispersión más sencilla. Se trata de la diferencia entre el valor más 
grande y el más pequeño de un conjunto de datos. 
 
 
 
El rango es fácil de entender y de calcular, pero su utilidad como medida de dispersión 
es limitada ya que toma en cuenta solamente los valores extremos sin considerar 
ninguna otra observación del conjunto de datos, como consecuencia de esto, ignora 
la naturaleza de variación entre todas las demás observaciones y puede cambiar 
drásticamente de una muestra a la siguiente de una población dada. Debemos tener 
en cuenta que las distribuciones de extremos abiertos no tienen rango. 
 
 
 
 
DESVIACIÓN MEDIA ABSOLUTA 
 
Esta medida de dispersión considera todos los datos del conjunto observado y mide 
el monto medio en que varían los valores de una población o muestra, con respecto 
a su media. 
 
Donde 
x es el valor de cada observación 
x es la media aritmética de los valores 
n es el número de observaciones en la muestra
 
La desviación media tiene dos ventajas: primero que utiliza en su cálculo todos los 
valores en la muestra y segundo que es fácil de comprender, ya que representa el 
promedio en que los valores se desvían con respecto a la media. 
 
Sin embargo, su principal desventaja es el uso de valores absolutos, ya que 
generalmente es difícil trabajar con ellos y en consecuencia, la desviación media no 
se utiliza con la misma frecuencia que las otras medidas de dispersión como por