CO-6A-Matematica-Actividad-1-2Aetapa

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ESCUELA NORMAL SUPERIOR “DR. AGUSTÍN GARZÓN AGULLA” 
 
Viamonte 150- B° Gral. Paz – Córdoba – CP. 5900 – Tel. 4339177 
E-mail: escuelagarzonagulla@gmail.com 
 
 
Matemática 6º Año Página 1 
 
MATEMÁTICA 
6° AÑO - Ciclo Orientado 
Actividad Virtual N° 1 - Segundo Etapa 
 
¡Queridos/as Estudiantes! 
 
¿Cómo están? Comenzamos la segunda etapa del año! En los planes de trabajo anteriores vimos: 
SISTEMAS DE MEDICION DE ANGULOS O, RAZONES TRIGONOMETRICAS, RESOLUCIÓN DE 
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 
En este nuevo plan de trabajo vamos a utilizar los conocimientos que hemos ido aprendiendo a 
lo largo del año e incorporaremos los siguientes temas: RESOLUCION DE TRIANGULOS 
OBLICUANGULOS, TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO, CALCULO DEL AREA DE UN TRIANGULO A 
PARTIR DE LA TRIGONOMETRIA. 
Recuerden que, aún a la distancia estamos con ustedes, dispuestos a responder dudas, consultas 
y a guiarlos en la resolución de las actividades… ¿Comenzamos? 
 
 Docentes responsables: 
 
6to A y B: Prof. Prof. Adriana Sanzarello. 
6to C: Prof. María Eugenia Delgado. 
6to D: Prof. Francisco Ferraris. 
6to F: Prof. Nora Beatriz Tamanini. 
 
 Para tener en cuenta: 
 
 Fecha para consultas: Semana del 07 al 15 de Septiembre 
 Medio de contacto para consultas: Grupo de WhatsApp, mail, reunión por Meet (con 
anterioridad se enviara enlace) Los modos de comunicación varían según el docente de cada 
división. 
 Fecha de entrega de la actividad resuelta: del 16 al 20 de Septiembre 
 Medio de contacto para la Entrega de la Actividad resuelta: 
matematica6toagulla@gmail.com 
 Recuerden: Es importante que todos los trabajos estén correctamente identificados, Actividad 
Virtual N°1-Matemática 6°año-Alumno: Apellido, nombre y División. Colocar nombre y curso / 
tomar fotos claras (no borrosas) de sus actividades / enviar las fotos verticales y no 
horizontales / enumerar por orden de “aparición” las fotos. 
 
 
¡Esperamos sus trabajos! 
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Matemática 6º Año Página 2 
 
MARCO TEÓRICO 
 
Repasamos lo visto en los planes de trabajo anteriores 
 
Es importante para seguir avanzando en los aprendizajes, volver a releer y repasar todo lo visto este 
año, por eso les pedimos que vuelvan a leer los contenidos dados. Les dejamos algunos links para 
refrescar la memoria. 
 
Razones trigonométricas: 
https://www.youtube.com/watch?time_continue=3&v=HCiJO2ogAv8&feature=emb_logo 
Resolución de triángulos rectángulos: https://www.youtube.com/watch?v=mvSipYTqHOY 
 
 
A .- RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS 
 
Anteriormente vimos la resolución de triángulos rectángulos, en esta actividad incorporamos la 
resolución de triángulos oblicuángulos. 
 
Los triángulos oblicuángulos son los que no tienen ningún ángulo recto, por lo tanto ninguno de 
sus ángulos internos es igual a 90º. Entonces, un triángulo oblicuángulo puede 
ser acutángulo u obtusángulo. 
 
En el primer caso, los ángulos internos del triángulo son agudos o lo que es igual: menores a 90º, 
mientras que en el segundo, hay siempre un ángulo mayor a 90º, o sea, un ángulo obtuso. Veamos un 
ejemplo de cada uno en la siguiente figura: 
 
 
Triángulos oblicuángulos: a la izquierda un triángulo oblicuángulo y acutángulo. A la derecha un triángulo 
oblicuángulo y obtusángulo. 
Triángulo acutángulo: 
Sea el triángulo de lados a, b y c, con α el ángulo frente al lado a. 
Si el cuadrado del lado a opuesto al ángulo agudo α, es menor que la suma de los cuadrados de los 
lados restantes, el triángulo es acutángulo. 
Algebraicamente: a2 < b2 + c2; α < 90º 
El familiar triángulo equilátero, aquel que tiene sus tres lados de la misma medida, es acutángulo y 
por ende oblicuángulo, ya que sus ángulos internos son iguales y miden 60º. 
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Matemática 6º Año Página 3 
 
 
Triángulo obtusángulo 
En cambio, si el cuadrado del lado opuesto a al ángulo obtuso α es mayor que la suma de los 
cuadrados de los otros dos, estamos en presencia de un triángulo obtusángulo. Por lo tanto: 
a2 > b2 + c2; α > 90º 
Por ejemplo, un triángulo cuyos ángulos internos sean 105º, 60º y 15º es un triángulo oblicuángulo 
obtusángulo. Nótese que 105º + 60º + 15º = 180º. 
 
Veamos la siguiente clasificación: 
 
 
Para encontrar las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos internos de esta clase de 
triángulos, en ausencia de ángulos rectos no es posible aplicar el teorema de Pitágoras. 
 
Sin embargo, existen alternativas para resolver estos triángulos: los teoremas del coseno y del 
seno y el hecho de que la suma de los ángulos internos es igual a 180º. 
 
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Matemática 6º Año Página 4 
 
 Un problema de resolución de triángulos oblicuángulos consiste en hallar tres de sus 
elementos, lados o ángulos, cuando se conocen los otros tres (uno de los cuales ha de ser un lado). 
Se utilizan tres propiedades: 
Suma de los ángulos de un triángulo 
A + B + C = 180º 
Teorema del seno 
 
Teorema del coseno 
a2 = b2 + c2 - 2·b·c·Cos A 
b2 = a2 + c2 - 2·a·c·Cos B 
c2 = a2 + b2 - 2·a·b·Cos C 
 
I.- TEOREMA DE LOS SENOS 
 
Este teorema se emplea para resolver un triángulo, cuando se conocen: 
- Dos ángulos y cualquier lado 
- Dos lados y el ángulo opuesto a uno de estos lados 
 
 
El siguiente triángulo es oblicuángulo: 
 
 
 
 
Trazamos la altura desde C hasta c: 
 
Tomando como referencia el ángulo B podemos escribir: 
 
Despejando h obtendremos: h = a . sen B 
 
Tomamos ahora el ángulo A: 
Y despejando h obtendremos: h = b . sen A 
 
 
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Matemática 6º Año Página 5 
 
Observamos: 
 h = a . sen B 
 h = b . sen A 
 
podemos decir que : a . sen B = b . sen A 
 
Esta última igualdad podemos escribirla: 
 
 
Recuerda que en toda proporción, el producto de extremos es igual al producto de medios. 
Si trazamos la altura desde el vértice B tenemos: 
 
 
El cateto opuesto al ángulo C es la altura (h) que partiendo del vértice B es perpendicular al lado b 
(90º en amarillo), la hipotenusa es el lado a. El triángulo en celeste claro BDC es rectángulo en D. 
El sen C será igual al cateto opuesto (h) sobre la hipotenusa (a): 
si despejamos h obtendremos: h = a . sen C 
Si calculamos el sen A en el triángulo color naranja escribiremos: 
( h y b son los catetos y c la hipotenusa), luego espejando h obtendremos: h = c . sen A. 
 Luego a . sen C = c . sen A 
 Esta última igualdad podemos escribirla: 
 
 
El recuadro último representa el teorema del seno. 
Lo definimos: En todo triángulo la relación de un lado entre el valor del seno del ángulo 
opuesto se mantiene constante. 
Les dejamos un link para quepuedan ver la resolución de triángulos oblicuángulos con el 
Teorema del seno: https://www.youtube.com/watch?v=hN7xWwdoKL8 
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Matemática 6º Año Página 6 
 
II.- TEOREMA DEL COSENO 
 
Este teorema se emplea para resolver un triángulo, cuando se conocen: 
- Los tres lados 
- Dos lados y el ángulo que se encuentra entre estos dos lados. 
 
Sea un triángulo cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ (son los ángulos 
opuestos a los lados, respectivamente). 
Entonces, se cumplen las relaciones 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: se dice que es una generalización de Pitágoras porque si uno de los ángulos es recto, el 
triángulo es rectángulo, siendo la hipotenusa el lado opuesto a dicho ángulo y se obtiene el teorema 
de Pitágoras al aplicar el del coseno. 
 
Por ejemplo, si α = 90º, entonces, la primera de las tres fórmulas anteriores queda como a2=b2+c2 
siendo a la hipotenusa del triángulo. 
Demostración: Haremos la demostración por el teorema de Pitágoras, pero demostraremos 
únicamente la fórmula 
b2=a2+c2−2ac . cos(β) 
Para el caso en el que el lado b es adyacente a dos 
ángulos agudos (como en la imagen siguiente). En los 
otros casos, se procede de forma similar. 
Hemos dividido el triángulo en dos triángulos 
rectángulos. Observemos que el lado c es 
 
de donde 
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Matemática 6º Año Página 7 
 
Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo de la izquierda, obtenemos la relación 
y aplicando Pitágoras al triángulo de la derecha, 
Escribimos en esta última relación y como c - x: 
Sumamos las dos relaciones obtenidas: 
 
Simplificamos la expresión: 
 
 
 
Finalmente, puesto que el triángulo de la derecha es rectángulo, por definición del coseno, 
 
Despejamos x: 
Sustituimos esta x en la expresión que teníamos: 
 
 
Les dejamos unos links para que puedan ver la resolución de triángulos oblicuángulos con el 
Teorema del coseno:https://www.youtube.com/watch?v=Y285KwXAuuY 
https://www.youtube.com/watch?v=CYHWl_7dIdw 
 
 
 
 
 
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Matemática 6º Año Página 8 
 
III.- AREA DE UN TRIANGULO 
 
¿Cómo se calcula el área de un triángulo con razones trigonométricas? 
Cualquier triángulo puede resolverse si se conocen tres de sus elementos, donde, como mínimo, uno 
de ellos debe de ser un lado. En particular, conociendo dos de sus lados y el ángulo que forman se 
puede calcular el área de un triángulo por razones trigonométricas. 
Por lo tanto, se pueden aplicar tres fórmulas para el cálculo del área dependiendo de los dos lados 
que se conozcan (a y b, a y c ó b y c). 
 
¿Cómo obtenemos el área del triángulo? 
Sea un triángulo con dos lados conocidos (b y c) y el ángulo que 
forman (A). El área de éste será un medio la base (b) por la 
altura (h). 
 
La altura (h) se puede calcular a partir del lado (c) y el seno del 
ángulo (A). 
 
Sustituyendo obtenemos la fórmula del área. 
 
Fórmula de Herón 
La fórmula de Herón calcula el área de un triángulo del cual se conocen todos sus lados. El área 
se calcula a partir del semiperímetro del triángulo s y de la longitud de los lados (a, b y c). 
 
 
 
El área de un triángulo cualquiera es igual a la raíz cuadrada del producto entre el semiperímetro y 
las diferencias del semiperímetro y cada uno de los lados del triángulo 
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https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/triangulo/
https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/triangulo/
https://www.universoformulas.com/matematicas/trigonometria/razones-trigonometricas/
https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/triangulo/
https://www.universoformulas.com/matematicas/trigonometria/seno/
https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/formula-heron/
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Matemática 6º Año Página 9 
 
ACTIVIDADES 
 
Resuelve las siguientes situaciones problemáticas 
 
 
1.- Una ambulancia está socorriendo a los heridos de 
un accidente de tráfico. Observa el mapa y señala 
cuál de los dos hospitales se encuentra más cerca del 
lugar del accidente. 
 
 
 
 
 
2.- Una parcela triangular está delimitada por tres 
árboles como se muestra en la figura. Sus dueños han 
decidido vallarla. Si la alambrada se vende en rollos de 
50 metros, ¿cuántos rollos necesitan comprar? 
¿Cuántos metros les sobrarán? 
 
 
 
3.- Un ingeniero topógrafo que se le olvidó llevar su equipo de medición, desea calcular la 
distancia entre dos edificios. El ingeniero se encuentra en el punto A, y con los únicos datos 
que tiene hasta ahora son las distancias de el respecto a los otros edificios, 180 m y 210 m, 
respectivamente, también sabe que el ángulo formado por los dos edificios y su posición 
actual “A” es de 39.4° ¿Qué distancia hay entre los dos edificios? 
 
 
 
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4.- Desde lo alto de un globo se observa un pueblo A con un ángulo de 50º, y otro B, situado al otro 
lado y en línea recta, con un ángulo de 60º. Sabiendo que el globo se encuentra a una distancia de 6 
kilómetros del pueblo A y a 4 del pueblo B, calcula la distancia entre los pueblos A y B. resuelve y 
completa el diagrama con los datos correspondientes 
 
 
 
5.- Sea un triángulo del cual se conocen dos lados (a=3 cm y c=5 cm) y el ángulo que éstos forman 
(B=60º). ¿Calcula cuál es su área? 
 
 
 
 
 
 
¡ESPERAMOS SUS DEVOLUCIONES ANTES DEL 
20 DE SEPTIEMBRE! 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 6º Año Página 11 
 
BIBLIOGRAFIA / WEBGRAFIA 
 
 Una puerta abierta a la Matemática: Trigonometría – Liliana Ferraris, María A. March – Editorial 
Comunicarte. 
 Carpeta de Matemática- Polimodal 1-Carlos Abdala, Mónica Real y Claudio Turano- Editorial 
AIQUE. 
 Matemática 1, 2 y 3 – Polimodal - Adriana Derio y otros- Editorial Puerto de Palos. 
 Trigonometría – Diana Buteler de Defrancisco y Ana Giorgetti de Giubergia. 
 Triángulos Oblicuángulos: https://www.lifeder.com/triangulos-oblicuangulos-ejercicios-
resueltos/ 
 Teorema del seno: https://www.aulafacil.com/cursos/matematicas/trigonometria-plana/resolucion-de-triangulos-oblicuangulos-teorema-del-seno-l11117 
 Área de un triángulo con razones trigonométricas: 
https://www.universoformulas.com/matematicas/trigonometria/area-triangulo-razones-
trigonometricas/ 
 
 
 
 
 
 
mailto:escuelagarzonagulla@gmail.com
https://www.lifeder.com/triangulos-oblicuangulos-ejercicios-resueltos/
https://www.lifeder.com/triangulos-oblicuangulos-ejercicios-resueltos/
https://www.aulafacil.com/cursos/matematicas/trigonometria-plana/resolucion-de-triangulos-oblicuangulos-teorema-del-seno-l11117
https://www.aulafacil.com/cursos/matematicas/trigonometria-plana/resolucion-de-triangulos-oblicuangulos-teorema-del-seno-l11117
https://www.universoformulas.com/matematicas/trigonometria/area-triangulo-razones-trigonometricas/
https://www.universoformulas.com/matematicas/trigonometria/area-triangulo-razones-trigonometricas/