Cuadernillo-Matematica

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MATEMÁTICA 
 
 
Curso de nivelación en matemática destinado a alumnos ingresantes al 
IFDC -cede San Luis-, mayores de 25 años y sin el nivel secundario 
completo. 
 
 
 
Profesoras: G. Lorena Kasián – Inés Abdala 
 
 
 
 
AÑO: 2017 
 
 
 
 
 
2 
INDICE 
 
 
 Página 
 
Anexo Teórico 
 
- Conjuntos Numéricos. Definición 3 
− Los números naturales y enteros 3 
− Los números racionales 10 
− Propiedades de los conjuntos numéricos 14 
Anexo Práctico 
− Número naturales y enteros. Operaciones 15 
− Múltiplos y Divisores 19 
− Números racionales. Operaciones 20 
− Bibliografia 24 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
ANEXO TEORICO 
Conjuntos Numéricos 
 
 La noción de número es tan antigua como el hombre. Los distintos tipos de 
números han ido apareciendo por necesidades diferentes a lo largo de la historia, incluso 
se han usado sin tener una fundamentación para ese uso. Es, de alguna manera, lo que 
hacemos muchos cuando, al tratar de calcular la longitud de una circunferencia por 
ejemplo, nos encontramos con el número y lo remplazamos por 3,14. En realidad no 
vale 3,14; pero esta es una buena aproximación. 
 
Los Conjuntos Numéricos son colecciones, agrupaciones o grupos de números 
con características comunes que los definen como una clase, entre los más comunes 
están: el conjunto de los números naturales, el conjunto de los enteros, el conjunto de 
los números racionales y el conjunto de los números reales. 
 
 Números naturales y números enteros 
 
 Los números naturales son los que nos permiten contar cuántos elementos hay 
en una colección, determinar qué posición ocupa un elemento en una lista e identificar 
qué elemento es uno entre otros. 
 El símbolo que se utiliza para referirnos a este conjunto es N, también suele 
escribirse: N = {1, 2, 3, ……..} 
 El primer número natural es el 1 y cada número natural tiene un sucesor o 
siguiente, que se obtiene sumando uno. Por ejemplo, el siguiente de 4 es 5, y lo 
obtenemos sumando 1 a 4: 4 + 1 = 5. 
 Entre dos números naturales consecutivos, no existe ningún número natural. Es 
decir, entre 2 y 3 no hay otro número natural. 
 Cada cultura, desde la antigüedad hasta hoy, asocia un nombre y uno o más 
símbolos a cada número. A través de la historia de la humanidad, las formas de 
representar fueron variando según las necesidades y conocimientos numéricos de cada 
época. 
4 
 Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que indican de 
qué manera se combinan para representar cantidades. 
 Es necesario poder comparar diferentes escrituras ya que esto contribuye, como 
ocurre con todos los objetos matemáticos, a diferenciar determinado número natural y 
sus representaciones, y también a reconocer la idea de que un sistema de numeración 
implica la elección de una forma particular de representación con símbolos y reglas que 
le son propias. 
 Por esa razón, suele incluirse el estudio en el nivel primario, de otros sistemas de 
numeración, con otros símbolos y otras reglas, como por ejemplo el sistema romano de 
numeración, cuya enseñanza es parte de la tradición escolar y que tiene como interés 
particular que su presencia aún persiste en el uso para numerar siglos, relojes y 
volúmenes de colecciones de libros; o en la enseñanza de la Historia misma, al 
mencionar décadas o siglos. 
 Hay dos tipos de sistemas de numeración escrita: aditivos y los posicionales. Los 
sistemas egipcio y romano son aditivos porque un número se escribe con una sucesión 
finita de símbolos y para conocer su valor es necesario sumar (a veces restar en el 
sistema romano) los valores de cada símbolo, que no cambian y son independientes de 
su posición. 
 En los sistemas posicionales, como el babilonio, maya y el decimal, que es el 
sistema numérico que nosotros utilizamos, cada cifra tiene un valor en si misma, a su 
vez, tiene un valor relativo puesto que depende de la posición que ocupa en el número. 
 Veamos un ejemplo de nuestro sistema: 3485 
 3485 = 3 x 1000 + 4 x 100 + 8 x 10 + 5, la cifra 8 vale 8 veces 10; en cambio en 
el número 2823, la cifra 8 vale 8 veces 100. 
 En el sistema decimal, cada unidad de un orden se forma agrupando diez 
unidades; 10 unidades forman una decena; 10 decenas forman una centena; 10 centenas 
forman una unidad de mil; etc. 
 Una manera de representar los números naturales es mediante la recta numérica, 
en la cual se marca el 0, que es el origen desde donde se empieza a contar; la unidad es 
la distancia uniforme que separa dos números naturales consecutivos. 
 
5 
 
 
 Cuando sumamos números naturales entre sí, siempre obtenemos un número 
natural. En el caso de la resta, para que m – n dé como resultado otro número natural, m 
debe ser mayor que n. 
 Al efectuar sumas, el cero tiene una característica importante: sumar cero a un 
número natural, obtenemos el mismo número natural, por ejemplo: 7 + 0 = 7. 
 Los números naturales permiten resolver muchos problemas, pero hay ocasiones 
que se nos presentan operaciones que no se pueden resolver en el campo de los N, 
como por ejemplo: 3 – 9; para ello los matemáticos necesitaron definir nuevos números, 
así es que crearon los números enteros negativos. 
 Muchos problemas de la vida cotidiana necesitan de números para ser resueltos. 
La utilidad de los signos + y – no sólo para representar las operaciones de suma y resta, 
sino que también son útiles para indicar relaciones de cantidades, o de orden respecto a 
una referencia como el cero. 
 Por ejemplo, si tomamos un termómetro ambiental, podemos observar las 
temperaturas inferiores a cero en rojo, las superiores en negro. Usualmente, en invierno 
solemos decir u observar en noticieros: “Hacen 3º bajo cero” y se representa con el 
número entero negativo -3. O en pleno verano: “Qué calor!!!!! La temperatura actual es 
de 28º” y se representa mediante el número +28, que por ser natural o entero positivo se 
suele omitir el signo +. 
 
6 
 
 Los signos en este conjunto de números, también se utilizan para indicar 
transformaciones en la cantidad de elementos de una colección, para comparar 
cantidades. Por ejemplo, +3 puede interpretarse como avanzar 3 unidades, agregar 3, y 
tener -6 sería retrocedes 6, quitar 6. 
 Todas las sumas entre números naturales dan como resultado otro número 
natural, no así sucede con las restas; por ejemplo si necesitamos resolver esta cuenta: 5 
– 8 no lo podríamos hacer en el campo de los naturales, por ello surge la necesidad de 
definir la resta entre dos números naturales cualesquiera, sin aclarar que el minuendo es 
mayor que el sustraendo, lo que lleva a definir los números enteros negativos, como el – 
20; -15; -6; etc. 
 Los números naturales, o enteros positivos, el cero y los números enteros 
negativos forman el conjunto de los enteros. La simbología que se utiliza para referirnos 
al conjunto de los números enteros es Z. 
 Si extendemos la semirrecta utilizada para representar los números naturales, en 
sentido contrario, podemos representar los números enteros. 
 
 
7 
 
 Dos números enteros que están a la misma distancia del cero, y tienen signo 
distinto, se llaman números opuestos. Si los sumamos nos dan como resultado cero; 
quien es el elemento neutro de la suma en el campo de los Z. 
 Todo número entero negativo es menor que cero, y que todo entero positivo. 
Dados dos números enteros negativos, será mayor el que se encuentre a menor distancia 
del cero. 
 En el campo de los enteros, como hemos visto, tenemos signos positivos y 
signos negativos. Para poder interpretar la suma y la resta, con estos números,suele 
pensarse en agregar o quitar, en debo y tengo. Por ejemplo, -6 + 13, podría pensarse 
como: Si debo -6 y tengo 13, ¿ cuánto me queda?. O si tenemos -3 – 4, es decir debo 3 y 
debo 4, en total debo 7, es decir: -3 -4 = -7. 
 Si los sumandos tienen distinto signo, el módulo (o valor absoluto) del resultado 
es la diferencia entre los módulos de los números y el signo del resultado es el signo del 
número que tiene mayor módulo. Si los sumandos tienen igual signo, éste se mantiene y 
el módulo del resultado es la suma de los módulos de los números. 
 Por ejemplo: a) (-5) + 3 = -2 
 b) (-4) + (-3) = -7 
 c) 7+ 2 = 9 
 La diferencia (resta) entre dos números entero m y n, es r, m – n = r, si y sólo si r 
+ m = n. De manera análoga, m – r = n. 
 Veamos ejemplos de la resta: 
 a) 8 – 3 = 5 
 b) 7 + (-4) = 3; lo que equivale decir que a 7 debemos restarle el opuesto de (- 
4), es decir, 7 – 4 = 3. 
 c) (-9) + 5 = - 4; tomando el análisis anterior, a -9 debemos restarle el opuesto 
de 5, es decir. (-9) - (- 5) = -4. 
 La suma entre números enteros es asociativa y conmutativa, pero no es posible 
asociar y conmutar en la resta. Por ejemplo: 
 a) 4 +6 + 2 = 12 y 6 + 2 + 4 = 12 Propiedad conmutativa 
 b) ( 3 + 5) + 2 = 10 y 3 + (5+ 2) = 10 Propiedad asociativa 
 La multiplicación se puede definir a partir de la suma, y la división a partir de la 
multiplicación. 
8 
 Como hemos visto, los números enteros tienen signo positivo y negativo. Ya 
vimos como sumar y restar enteros con distinto signo, ahora veremos cómo multiplicar 
y dividir. 
 La multiplicación de dos números enteros n y m, puede definirse como la suma 
de n veces m; es decir: m + m + m + …........ + m = n . m. Si llamamos b, otro número 
entero al resultado de multiplicar n x m; n x m = b; b es el producto: y n; m son los 
factores. 
 Si los signos de los factores de una multiplicación entre dos o más números 
enteros son distintos, el signo del producto se puede determinar de la siguiente manera; 
por ejemplo, 3 x ( - 2) = (-2) + (-2) + (-2) = -6; el mismo resultado se obiente si 
efectuamos (-2) x 3 ya que se cumple la propiedad conmutativa. 
 Se define a el 1 como elemento neutro en la multiplicación ya que 1 x n = n, por 
ejemplo 5.1= 5; y al número cero como el elemento absorbente, puesto que 0. n = 0 por 
ejemplo 3.0 = 0, -5. 0 = 0. 
 Observación: Muchas veces, y en muchos libros de textos matemáticos, se 
utiliza el punto como símbolo de la multiplicación en vez de utilizar el símbolo x. 
 A partir de esta definición, y de manera equivalente, podemos afirmar que b es 
múltiplo de n; o que m es divisor de b dado que b : m = n. También puede derivarse que 
b : m = n y b : m= n. Teniendo un cuidado particular que m y n, al ser tomados como 
divisores sean distintos de cero, puesto que la división por cero no está definida, porque, 
por ejemplo, (-4) . 0 = 0 y 7 . 0= 0, entonces se podría concluir que -4 = 7, lo que no es 
cierto!! 
 La división exacta entre números enteros, con divisor distinto de cero, es la 
operación inversa de la multiplicación. 
 Para la división entre dos números naturales D y d es encontrar dos únicos 
números naturales c y r; con r < c, que cumplen d.c + r = D. Por ejemplo, 140 dividido 
40, da como cociente 30 y resto 20. En la relación mencionada: 140 = 40. 3 + 20, donde 
el resto no puede superar al cociente, ya que se podría dividir una vez más! 
 Ahora, si los números a dividir son enteros, siempre considerando el divisor 
distinto de cero, debemos modificar la definición anterior, ya que podríamos tener más 
de un resultado: 
 140 = 40. 4 + (-20) y -20 < 40!! 
9 
 
 140 = 40. 5 + (-60) y – 60 < 40!! 
 Para que el resultado de dividir dos números enteros sea único, se debe poner 
como condición que el divisor sea mayor que ceros y que el resto sean mayor o igual a 
cero. 
 Si el dividendo y divisor tienen distinto signo, el cociente es negativo y, si tienen 
el mismo signo, el cociente es positivo. 
 Hay reglas nemotecnicas para trabajar la multiplicación y división de números 
enteros, que detallamos a continuación: 
MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN 
 + . + = + + : + = + 
- . - = - - : - = - 
+ . - = - + : - = - 
- . + = - - : + = - 
 
 La multiplicación suele utilizarse para resolver problemas como el que sigue 
“En una fábrica de bombones, se hacen bombones rellenos de dulce de leche y otros 
rellenos de dulce de fruta; en moldes con forma de corazón, flor, cara de oso y 
rectángulo. ¿Cuántos moldes distintos se fabrican? 
 Corazón Flor Oso Rectángulo 
Dulce de Leche DLC DLF DLO DLR 
Dulce de frutas DFC DFF DFO DFR 
 
A través de este cuadro de doble entrada puede observarse la cantidad de moldes a 
realizar: 4. 2 = 8. 
 Otras operaciones que se definen en el campo de los enteros son la potenciación 
y radicación. 
 Si tenemos (-3) . (-3). (-3) = ( -3)3 = -27, es decir que la potenciación es 
multiplicar tantas veces la base, en este caso (-3), como lo indica el exponente, 3. 
 Podemos definir formalmente que, para cualquier a entero y n natural, si se 
10 
multiplica a por si mismo n veces, se obtiene b, lo que se escribe: an = b. Si a es entero 
negativo y b es natural par, an será positivo y si n es impar será negativo. 
 Obtener la raíz cuadrada de un número entero, es determinar si existe algún 
número entero elevado al cuadrado que dé como resultado ese entero. En el caso de la 
raíz cuadrada y de los índices pares, sólo está definida la operación si el número entero 
es positivo, por ejemplo √16 = 4, ya que 4. 4 = 16; en cambio √ 16 no tiene solución 
puesto que (-4).(-4) = 16 y no -16!!!!!! 
 Formalmente, si n es un número natural, se dice que el número entero a es la raíz 
enésima del número b, si b es la potencia enésima de a. 
Es decir, 
n√b = a si y solo si an = b. 
Números racionales 
 
 Del mismo modo que sucedía en los naturales, pasa en los enteros, pues hay 
operaciones en las que no podemos resolver solo con enteros, por ejemplo no hay entero 
que resuelva (-10) : 4 o que 4. n = -10 con n entero. Por lo cual, se necesitó ampliar en 
campo de los números y es así como surgen los números racionales, cuyos números se 
definen como el cociente de dos enteros, cuyo divisor sea distinto de cero. Su símbolo 
es Q. 
 Al igual que los números naturales, enteros, la forma de anotar los números 
racionales ha ido cambiando a los largo del tiempo. 
 Desde los tiempos egipcios, se usaron las expresiones fraccionarias para indicar 
cocientes en situaciones de reparto y medición. En esas épocas, las fracciones tenían 
como numerador a 1: 
1
2
; 1
4 etc. En general, el numerador era 1 y el denominador 
cualquier número natural. Actualmente, contamos con esas expresiones pero no sólo 
para números menores que uno, sino también para los mayores que la unidad. Por 
ejemplo 
5
2 . 
 Los babilonios, en cambio utilizaban expresiones decimales puesto que tenían un 
sistema posicional, sistema sexagesimal, y anotaban las cantidades menores a uno 
colocando símbolos a la derecha de aquellos que indicaban la parte entera. 
11 
 
 Los números racionales se escriben respetando la misma regla de agrupamiento 
que se usa para los números enteros: cada unidad de un orden se forma agrupando de 
diez unidades del orden anterior. La coma separa la parte entera de las subunidades que 
surgen de dividir la unidad en diez partes iguales (décimos), en cien partes iguales 
(centésimos), etc. 
 Las expresiones fraccionarias pueden transformarse en expresiones decimales 
mediante la división del numerador con el denominador. Si la división es exacta, la 
expresión decimal es exacta y se puede expresar mediante una fracción decimal, por 
ejemplo: 
5
2 = 5 : 2 = 2, 5. Ahora si no se obtiene resto cero, la expresión decimal se 
llama periódica; se observa que a partir de un momento dado comienzana repetirse los 
restos, por lo cual también comenzarán a repetirse los cocientes. Por ejemplo, 
1
3 = 3, 
33333....... = 3 3 . 
 Una forma de representar en la recta numérica un número racional 
a
b es 
dividiendo cada segmento unidad en b partes iguales y tomando a partes a partir del 
punto que representa el origen, es decir del cero. 
 
 Un mismo número racional puede resultar de la división entre pares de números 
enteros diferentes: 
1
3
= − 24
6
= 4
 
 El signo del número estará dado por aplicar la regla de los signos al cociente 
entre ellos. 
 Para efectuar sumas y restas entre racionales, se puede proceder mediante la 
suma de expresiones fraccionarias o expresiones decimales: 
12 
FRACCIONES DECIMALES 
Si las fracciones a sumar y/o restar tienen 
igual denominador, se coloca el mismo 
denominador y se suman o restan los 
numeradores: 
* 
7
3
+ 4
3
= 11
3 * 
1
4
− 9
4
= 6
4
= 3
2 
Se deben sumar o restar las unidades del 
mismo orden, realizando las conversiones 
correspondientes y teniendo en cuenta que 
una unidad es igual a diez decimos, que un 
décimo es igual a diez centésimos, etc. 
* 1,3 + 0, 68 = 1, 98 
* 0, 75 – 1, 30 = - 0, 55 
Si las fracciones tienen distinto 
denominador, debemos transformarlas en 
fracciones equivalentes del mismo 
denominador, y luego procedemos como 
suma o resta de fracciones de igual 
denominador. 
3
4
+ 5
3
= 9
12
+ 20
12
= 29
12 
 
 
 Veamos como multiplicar y dividir fracciones: 
¿Cuál es el área del rectángulo menor si se considera como unidad de medida el área del 
rectángulo grande? 
 
 
 
 
 
El rectángulo grande= R se encuentra compuesto por 20 cuadraditos, el área del 
rectángulo menor = r está compuesto por 6 cuadraditos verdes. Podemos concluir que el 
área r = 
6
2 
13 
 
El área del rectángulo está dada por el producto del ancho por el alto, podemos 
interpretar que el área r = 
3
4
. 2
5
= 6
20 
MULTIPLICACION DE FRACCIONES MULTIPLICACION DE DECIMALES 
La multiplicación de dos fracciones es el 
resultado de multiplicar los numeradores y 
los denominadores entre si. Aplicando la 
regla de los signos entre los factores 
intervinientes. 
* 
4
5
. − 2
3
= − 8
15 
La multiplicación entre números 
decimales, se efectúa mediante la 
multiplicación de las fracciones decimales 
correspondientes y luego se consideran 
tantas cifras decimales como resulten de 
sumar las partes decimales de ambos 
factores. 
* 0,32 . 1,24 = 0, 3968 
 
 Otra situación a resolver: Si de 1 kg de naranjas se obtienen 
3
4 litros de jugo, 
¿Cuántos kg se necesitan para obtener 
3 1
2 litros de jugo? 
Una forma de resolverlo es pensar cuanto jugo se va obteniendo por cada kilo de 
naranjas: 
kilos 1 2 
4 = 
1
3 
1
3 
2
3 
1
3 
litros 3
4 
6
4 
1
4 
1
4 
2
4 
1
4 
 
Para obtener 3 litros de jugo necesitamos 4 kilos de naranjas, para obtener medio litro 
más de jugo, necesitamos 
2
3 de kg más de naranjas; es decir que se necesitan 
4 2
3 kilos 
de naranjas para poder hacer 
3 1
2 litros de jugo. 
Otra manera de calcularlo es: 
1
4 : 
3
4 = 
1
3 = 
4 2
3 Quiere decir que para obtener 
3 1
2 litros de jugo debemos tener 
4 2
3 kilos de naranjas. 
14 
 
DIVIDIR FRACCIONES DIVIDIR DECIMALES 
La división entre dos fracciones se puede 
calcular mediante la multiplicación del 
primer numerados con el segundo 
denominador, que forman el numerador 
resultante, y el denominador resultante 
viene dado por el producto entre el primer 
denominador con el segundo denominador. 
* 
3
5
: 4
7
= 21
20 
La división de números decimales se 
puede transformar en una división de 
números enteros entre sí. 
* 1,25 : 0, 25 = 125 : 25 = 5 
 
 Las propiedades que cumplen estos conjuntos numéricos. 
Propiedades del Conjunto de los Números Naturales 
El conjunto de los números naturales incluido el cero se representa: N0y cumple 
las siguientes propiedades: 
 Tiene primer elemento y no tiene último elemento. 
 Es un conjunto infinito. 
 Es un conjunto ordenado, es decir que, dados dos números naturales a y 
b se puede establecer exactamente si a=b ó a<b ó a>b. 
 Todo número natural tiene un sucesor. 
 El conjunto de los números naturales es un conjunto discreto pues entre 
dos números naturales siempre hay un número finito de números 
naturales. 
Propiedades del Conjunto de los Números Enteros 
El conjunto de los números enteros, como vimos, lo simbolizamos con la letra Z 
y cumple las siguientes propiedades: 
 No tiene primer ni último elemento. 
 Es un conjunto infinito. 
 Es un conjunto ordenado. 
 Todo número entero tiene un sucesor y un antecesor. 
 El conjunto de los números enteros es un conjunto discreto. 
15 
 
Propiedades del Conjunto de los Números Racionales 
El conjunto de los números racionales, que simbolizamos con la letra Q, cumple 
las siguientes propiedades: 
 No tiene primer ni último elemento. 
 Es un conjunto infinito. 
 Es un conjunto ordenado. 
 El conjunto de los números racionales es un conjunto denso, porque entre 
dos números racionales existen infinitos números racionales. 
Propiedades del Conjunto de los Números Reales 
Los reales cumplen las siguientes propiedades: 
 No tiene primer ni último elemento. 
 Es un conjunto infinito. 
 Es un conjunto ordenado. 
 El conjunto de los números reales es denso. 
 El conjunto de los reales es continuo, ya que a cada número real le 
corresponde un único punto en la recta numérica y viceversa, a cada 
punto de la recta numérica le corresponde un único número real. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
ANEXO PRACTICO 
 
NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS. SUS OPERACIONES 
 
1) Después de transitar la escuela primaria, donde resolvieron muchos problemas de 
matemática; ¿Podrían escribir tres enunciados de problemas que se resuelvan con 
sumas, restas, multiplicaciones y/o divisiones? 
 
2) Completar con “mayor” o “menor” y explica porque. 
a) Todo número positivo es…………………..que 0 (cero). 
b) Todo número negativo es………………….que cualquier número positivo. 
c) El cero es…………………que cualquier número negativo. 
 
3) Determinar. 
a) Qué número hay que sumarle a -5 para obtener 2. 
b) Qué número hay que restarle a 5 para obtener -4. 
c) Qué número hay que sumarle a 3 para obtener 0. 
 
4) Completar con “positivo” o “negativo” y explica porque. 
a) Si se multiplican tres números negativos el producto es………………….. 
b) Si se multiplican dos números negativos y uno positivo el producto es…………………….. 
c) Si multiplicamos cinco números negativos y dos positivos el producto es…………………….. 
d) ¿Cuántos números enteros hay entre el -2 y el 2, incluyendo ambos números?¿y 
cuántos números enteros hay entre 4 y el 5 sin incluirlos a ambos? Explica tu respuesta 
 
5) Lean los siguientes enunciados: 
a) Para terminar de pagar un auto que cuesta $ 136000, se pagaron $125120. ¿Cuánto 
falta pagar? 
17 
 
b) Martín tiene 5 años más que su prima y 6 menos que su hermano. Si la prima tiene 6 
años, ¿Cuántos años tiene el hermano de Martín? 
c) El mes pasado Ana le debía $120 a su mamá. Este mes compró 4 libros y le pidió 
dinero nuevamente. Ahora le debe más de $350. ¿Cuánto gastó Ana en libros? 
d) Se desea alfombrar un dormitorio que tiene 12 m2 y colocar el zócalo. ¿Cuántos 
metros de alfombra de 2m de ancho se necesitan? ¿Cuántos metros de zócalo se deben 
comprar? 
e) ¿Es posible dividir un número por 25 y obtener cociente 8 y resto 24? ¿Y dividir 25 
por un número de modo que el cociente sea 8? 
 
6) Comparen los enunciados que se escribieron en el ejercicio 1 con los que leyeron en 
2. Para ello, tengan en cuenta, por ejemplo, cuales son las situaciones o los temas a los 
que se refieren los problemas, si la respuesta es un único número, si para resolverlos se 
usan todos los números que aparecen en el enunciado, si no se puede dar una respuestacon los datos que se tienen, si se usan palabras clave para indicar la operación, como 
total, cuando se usa la suma, o repartir si se usa la división. Luego completen el cuadro 
con las comparaciones que establecieron. 
 
Problema Tema ¿La respuesta es 
un único número? 
¿Se usan todos 
los números? 
¿Se puede dar 
una respuesta 
con los datos 
que se tienen? 
¿Se usan 
palabras 
claves? 
a 
b 
c 
d 
e 
 
 
18 
7) Una empresa que atiende varios comedores escolares tenía organizado este menú 
para el mes de Noviembre: 
 
Cuando se envió el menú a las escuelas, muchos alumnos y padres se quejaron porque 
los chicos siempre comían lo mismo. El dueño de la empresa pensó, entonces, que con 
esos platos y esos postres se podían armar menús distintos para más de dos meses. 
¿Piensan que el dueño de la empresa estaba exagerando o que tenía razón? ¿Porqué? 
 
a) Comparen el procedimiento que usaron para responder a la pregunta, con la manera 
que aparece en el apartado teórico. ¿Cuáles son las diferencias? ¿Cuál es el más 
ventajoso? ¿Porqué? 
b) Dibujen un diagrama de árbol y escriban un cálculo para resolver el problema 
anterior. 
 
8) El dueño de la misma empresa de comedores escolares quiere aumentar la cantidad 
de menús posibles incorporando algunos platos nuevos. 
 
a) ¿Se obtiene la misma cantidad de menús distintos si se incluyen dos postres nuevos 
que si se incluyen dos platos de carne o pastas? Registren cómo piensan 
19 
 
b) ¿Se modifica mucho la cantidad de menús posibles si se combinan cuatro platos, 
cuatro guarniciones y cuatro postres o cinco platos, cinco guarniciones y cinco postres? 
¿Porqué? 
c) Si se desea mantener la misma cantidad de platos que de guarniciones y de postres, 
¿cuántas variedades tendría que haber de cada uno para tener un menú diferente cada 
día de año escolar? 
 
9) El lunes Ana ahorró $1, el martes $2 y el miércoles $4. Pensó que si seguía así, y 
cada día podía ahorrar el doble que el día anterior, podría llegar a tener $256 en cierto 
tiempo. ¿Cuántos días tiene que ahorrar para lograrlo? 
 
10) a) Pedro dice que en una caja entran 27 cubos en el largo, 25 en el ancho y 40 en la 
altura, y quiere saber cuántos cubos entran en total. 
Ricardo dice que primero hay que calcular la superficie de la base con la fórmula sup. 
de la base = largo x ancho y hacer la cuenta 27 x 25. Enseguida, Esteban dice que entran 
27.000 cubos. ¿Qué cuenta habrá hecho Esteban para terminar tan rápido? 
b) Si se quieren ubicar los cubos en cajas del mismo largo y ancho, pero de menor 
altura, ¿cuáles podrían ser las alturas si se reemplaza cada caja por dos sin utilizar cajas 
de menos de 10 cubitos de altura? 
 
11) Una pileta de natación rectangular tiene 8m de largo y 4 m de ancho. Para seguridad 
de los niños, se quiere colocar una reja alrededor de la pileta a 1 m del borde, dejando 
dos aberturas de 1 m cada una para colocar puertas. En un catálogo del local Todocantri, 
se lee: 
 
 
a) Sabiendo que no se quieren subdividir los módulos, ¿Cuáles conviene comprar? 
b) ¿Qué tuvieron en cuenta para decidirse? 
20 
c) ¿Creen que alguien podría tomar otra decisión? ¿Porqué? 
d) Al ser consultado sobre este caso, un vendedor del local afirmó rápidamente: 
!Quedesé tranquilo, que con $320 le sobra". ¿Cómo obtuvo ese valor? 
 
12) Investiga 
En 1858, el egiptólogo escocés A. Henry Rhind visitó Egipto y en Luxor compró un 
papiro que había sido encontrado en las ruinas de un antiguo edificio de Tebas. 
Actualmente este papiro se conoce como papiro Rhind o papiro de Ahmes. 
Investiga en Internet o en otras fuentes qué tipo de problemas había en el papiro de 
Rhind. a) ¿Cómo era su sistema de numeración? ¿Cómo representaban las fracciones los 
egipcios? 
 
MULTIPLOS Y DIVISORES 
 
13) Para armar ofertas de golosinas, Don Héctor cuenta con 60 chupetines, 75 galletitas 
con chocolate y 120 caramelos. Quiere armar bolsitas iguales que contengan el mayor 
número posible de cada cosa. ¿Cómo pueden averiguar las cantidades? ¿Cuántas 
bolsitas pueden armar? 
 
14) Además don Héctor tiene una caja de bolitas que quiere colocar en bolsas que 
contengan la misma cantidad. 
Si coloca 2 en cada una de las bolsas, le queda una suelta. Pero si coloca 3 en cada una, 
le sobran 2. En cambio, al colocar 4, le sobran 3. 
Finalmente, logra armar bolsas con 5 bolitas cada una, sin que queden sueltas. ¿Con 
cuántas bolitas contaba Don Héctor si en caja habían más de 70 y menos de 100? 
¿Cómo lo averiguaron? 
 
15) En un control policial, se decidió examinar los frenos cada 6 automóviles; la 
documentación, cada 10 y las luces reglamentarias, cada 15. Si a un vehículo se le 
realizó una revisión completa, ¿Cuántos serán examinados después de éste para que 
nuevamente se realice una revisión completa? 
21 
 
16) a) Dado un número natural cualquiera, ¿Cuál es su divisor más pequeño? ¿Y el 
mayor? ¿Se cumple para cualquier número natural? ¿Porqué? 
b) Si un número es divisor de otro, ¿también lo es de los múltiplos de éste? ¿Porqué? 
c) Dado un número natural cualquiera, ¿Cuál es su múltiplo menor? ¿ Y el mayor? 
d) La suma de varios múltiplos de un número, ¿también es múltiplo de dicho número? 
Expliquen su respuesta. 
 
17) a) ¿Cuáles son los números que tienen sólo dos divisores distintos? ¿Cómo lo 
averiguaron? 
b) La suma de dos números primos, ¿es un número primo? ¿Siempre? ¿Porqué? 
c) El producto de números primos, ¿es un número primo? Justifiquen su respuesta. 
 
 
NUMEROS RACIONALES Y SUS OPERACIONES 
 
18) Alejandro compró un lavarropas que costaba $6900. Le ofrecieron pagarlo sin 
recargo haciendo una entrega de $5000 y el resto en cuotas iguales. ¿Cuánto tendrá que 
pagar por cuota? 
 
19) Martina quiere preparar una torta para 6 personas. Si la receta para 4 personas es la 
que aparece a continuación: "Para 4 personas: 150 gr de manteca; 1 taza de harina; 4 
huevos; 1 cucharadita de ralladura de limón; 3/4 taza de azúcar" ¿Cuánto necesita de 
cada ingrediente? 
 
20) Dibujen la unidad si el siguiente segmento mide: 
a) 
1
4 de la unidad 
b) 
2
3 de la unidad 
c) 
5
4 de la unidad 
21) Representen, en las rectas numéricas, los siguientes números: 
22 
a) 
− 1
6
;− 1 y 7
3 0 
b) − 1,3 ;− 0,2 y
2
5 
22) Ubiquen el 0 y 1 en las siguientes rectas numéricas: 
9) 
 
23) Escriban el número racional que representa cada uno de los puntos P, Q y R. 
 
24) El mecánico le dijo a Ramiro que, si el motor de su auto funciona bien, no puede 
gastar más de 12 litros de nafta cada 100 km recorridos en la ciudad. Ramiro cargó 39 
litros y anduvo 300 km con esa cantidad de combustible. ¿Funciona bien el auto de 
Ramiro? ¿Porqué? 
 
25) Resuelva la siguiente actividad que se presenta en un pizarrón escolar: 
 "Colocar >, < ó = 
a) 2,432 .................. 2, 54 b) 0,36..................... 0,360 c) 5,01 ..................... 5, 12 
23 
 
 26) Berta dice que 2, 432 es mayor que 2, 54 por que los dos números tienen un 2 antes 
de la coma y 432 es mayor que 54. ¿Estás de acuerdo con lo que expresa Berta? 
¿Porqué? 
 
27) a) Juan dice que el siguiente de 0, 235 es 0,236. ¿Tiene razón? ¿Porqué? 
b) ¿Se puede determinar el siguiente de un número racional cualquiera? Explique 
porqué. 
 
28) a) Propongan sumas de números racionales que den como resultado: 
i) 
7
4 ii) 2, 35 iii) 0,72 
b) Propongan restas de números racionales que den como resultados los mismos 
números que figuran en el item a). 
c) En los casos anteriores, cuántas cuentas pueden plantearse para las distintas 
situaciones? 
 
29) Completar las operaciones que aparecen en el siguiente cuadro. Escriba la cuenta 
que realizó en cada caso. 
7
4 - ..........................= 
1
4 
 
2,38 + ......................... = 2, 49 
..................... + 
5
6 = 
9
5 
 
1, 02 -.................. = 0, 25 
1 - ..................... = 
1
7 
 
3, 25 - ( 1, 15 + ...............) =1 
24 
30) Se compraron 7 botellas de gaseosa de 2 
1
4 litros, ¿Cuántos litros se compraron en 
total? 
 
31) ¿Cuáles pueden ser las dimensiones de un rectángulo si su área es de 5m2? ¿La 
respuesta es única o habrían distintas medidas? 
 
32) ¿Cuál es el número racional tal que si se le resta su mitad da por resultado 0? 
Explica cómo razonas tu respuesta. 
 
Bibliografía 
 
− Enseñar matemática en la escuela primaria. Adriana Diaz, Adriana Castro y 
otros. Serie respuestas. Tinta fresca 
− Material Ingreso IFDC mayores de 25 años sin secundario completo, Paculnis, 
Claudia. 2014. 
− Matemática 7: Anexo teórico + trabajos prácticos/ Adriana Diaz; Ana Lía 
Crippa; Mónica Agrasar; Graciela Chemello. Longseller, 2011. 
− Matemática 8: Anexo teórico + trabajos prácticos/ Adriana Diaz; Ana Lía 
Crippa; Mónica Agrasar; Graciela Chemello. Longseller, 2011. 
− Matemática. Bachillerato 1. Miguel de Guzmán. Jose Colera. Adela Salvador. 
Grupo Anaya. 1991 
 
 
 
 
 
 
 
 
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	AÑO: 2017
	INDICE
	Página
	Anexo Teórico
	ANEXO TEORICO
	Conjuntos Numéricos
	ANEXO PRACTICO