MatemAítica-Prof-Noelia-SIlva-1A-aAo-Lectura-obligatoria-TEORIA-Prof--Biologia

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Contenidos a trabajar 
- Concepto de función. 
- Dominio e imagen. 
- Diferentes formas de representación: algebraica, coloquial, numérica y gráfica. 
- Función Lineal: dominio, imagen, representación gráfica, crecimiento y decrecimiento. 
Lectura obligatoria que involucra los conceptos a trabajar 
Introducción 
Una función es una regla. Para una función, es necesario darle un nombre. Usamos letras como 𝑓, 𝑔, ℎ, … para 
representar funciones. Por ejemplo, podemos usar la letra 𝑓 para representar la regla: 
“𝑓" es la regla “elevar al cuadrado el número” 
Cuando escribimos 𝑓(2) queremos decir “aplicar la regla 𝑓 al número 2”. La aplicación de la regla da 𝑓(2) =
22 = 4, del mismo modo 𝑓(3) = 32 = 9, 𝑓(4) = 42 = 16, y en general 𝑓(𝑥) = 𝑥2. 
Definición de una función 
Una función 𝑓 es una regla que asigna a cada elemento 𝑥 de un conjunto A exactamente un elemento, llamado 
𝑓(𝑥) , de un conjunto B. 
 
 
El símbolo 𝑓(𝑥) se lee “𝑓 de 𝑥”o “𝑓 en 𝑥” y se denomina valor de 𝑓 en 𝑥, o la imagen de 𝑥 bajo 𝑓. El conjunto 
A recibe el nombre de dominio y el conjunto de todos los valores posibles de f(x) cuando x varía en todo su 
dominio se llama Imagen. 
El símbolo que representa un número arbitrario del dominio de una función f se llama variable independiente. El 
símbolo que representa un número de la imagen de f se llama variable dependiente. Por tanto, si escribimos 
y = f(x)entonces x es la variable independiente e y es la variable dependiente. 
 
Cuatro formas de definir una función. 
Podemos describir una función específica en las siguientes cuatro formas: 
 Verbalmente (por descripción en palabras) 
 Algebraicamente (por una fórmula explícita) 
 Visualmente (por una gráfica) 
 Numéricamente (por una tabla de valores) 
 
Por ejemplo: 
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1) Una función f está definida por la fórmula f(x) = x + 1, que es una formula algebraica. 
 
a) Exprese verbalmente cómo actúa f sobre la entrada x para producir la salida f(x). 
Respuesta: al número sumarle 1. 
 
b) Evalúe f(3) y f(−13). 
𝒇(𝟑) = 𝟑 + 𝟏 = 𝟒 
𝒇(−𝟏𝟑) = −𝟏𝟑 + 𝟏 = −𝟏𝟐 
 
c) Visualmente 
 
Dominio de una función 
El dominio de una función es el conjunto de todos los valores de x que puede tomar la función. 
El dominio de una función puede indicarse explícitamente. Por ejemplo, si escribimos f(x) = x2 Con 0 ≤ x ≤ 5. 
Entonces el dominio es el conjunto de todos los números reales x para los cuales 0 ≤ x ≤ 5. 
 
Si la función está dada por una expresión algebraica y el dominio no se indica explícitamente, entonces por 
convención el dominio de la función es el dominio de la expresión algebraica, es decir, el conjunto de todos los 
números reales para los cuales la expresión está definida como un número real. Por ejemplo, considere las 
funciones: 
f(x) =
1
𝑥−4
 𝑔(𝑥) = √𝑥 
 
La función f no está definida en 𝑥 = 4 , de modo que su dominio es 𝐷 = {x ∈ ℝ/x ≠ 4}, se lee “son todos los x 
que pertenecen a los números reales, tal que x es distinto de 4”. La función g no está definida para x negativa, de 
modo que su dominio es D = {x ∈ ℝ/x ≥ 0} se lee, “son los x que pertenecen a los números reales y son 
mayores que 0”. 
 
En la gráfica de la función, el dominio se representa en el eje horizontal, denominado eje de las abscisas, y la 
imagen en el eje vertical, denominado eje de las ordenadas. 
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Funciones Crecientes y Decrecientes 
Es útil saber en dónde sube la gráfica y en dónde baja. A continuación se presenta una gráfica que sube, baja y 
luego sube de nuevo a medida que avanzamos de izquierda a derecha: sube de A a B, baja de B a C y sube otra 
vez de C a D. Se dice que la función 𝑓 es creciente cuando su gráfica sube y decreciente cuando baja. 
 
 
 
Definición de Funciones Crecientes y Decrecientes 
 𝑓 es creciente en un intervalo I si 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)siempre que 𝑥1 < 𝑥2en I 
 𝑓 es decreciente en un intervalo I si 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2)siempre que 𝑥1 < 𝑥2en I 
 
 
 
Función Lineal 
Una función es lineal si responde a la forma 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 donde 𝑚,𝑏𝜖ℝ, 𝑚 recibe el nombre de pendiente y 𝑏 
es la ordenada al origen. Su representación gráfica es una recta. 
 
Dominio: (−∞, ∞) 
Imagen: (−∞, ∞) 
𝑓 es creciente cuando 𝑚 > 0 
𝑓 es decreciente cuando 𝑚 < 0 
 
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Intersecciones con los ejes 
La intersección con el eje 𝑦 la encontramos haciendo 𝑥 = 0 ⇒ 𝑓(0) = 𝑚. 0 + 𝑏 = 𝑏 luego la gráfica corta al eje 
𝑦 en el punto (0, 𝑏). 
La intersección con el eje 𝑥 la encontramos haciendo 𝑦 = 0 ⇒ 0 = 𝑚. 𝑥 + 𝑏 ⇒ 𝑥 = −
𝑏
𝑚
 luego la gráfica corta al 
eje 𝑥 en el punto (−
𝑏
𝑚
, 0). 
𝑚 es la pendinte y graficamente representa la inclinaciòn de la recta, y podemos encontrar utilizando la siguiente 
formula 𝑚 =
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑦
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 
=
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
. 
 
Función Cuadrática 
Es una función polinómica de segundo grado. Una función cuadrática tiene la forma 
 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0. 
𝑎 se denomina coeficiente cuadrático, 𝑏 es el coeficiente del término lineal y 𝑐 el término independiente. 
De modo que: 
Si 𝑏 ≠ 0 𝑦 𝑐 ≠ 0 ⇒ 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 es una función cuadrática 
Si 𝑏 ≠ 0 𝑦 𝑐 = 0 ⇒ 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 es una función cuadrática 
Si 𝑏 = 0 𝑦 𝑐 ≠ 0 ⇒ 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑐 es una función cuadrática 
Si 𝑏 = 0 𝑦 𝑐 = 0 ⇒ 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 es una función cuadrática 
 
Gráfica de una función cuadrática 
Su gráfica es una parábola con eje de simetría paralelo o coincidente con el eje de las ordenadas. Puede ser 
cóncava hacia arriba o hacia abajo. 
 
 
 
 
Punto Máximo y Mínimo 
Una parábola tiene un punto: 
-Máximo cuando su concavidad es hacia abajo. 
-Mínimo cuando su concavidad es hacia arriba. 
 
Dominio e imagen 
La función cuadrática por ser polinómica tiene como dominio a ℝ. Su imagen es el intervalo infinito que tiene 
como extremo inferior o superior al valor de la ordenada al origen de su vértice. 
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Intersecciones con los ejes 
-Intersección con el eje de las abscisas (eje x) 
Para encontrar las intersecciones con el eje 𝑥 debemos hacer 𝑦 = 0 de donde resulta 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, luego 
debemos resolver la ecuación cuadrática. Se pueden presentar los siguientes casos: 
 
 
 
-Intersección con el eje de las ordenadas (eje y) 
Para encontrar la intersección con el eje de las ordenadas debemos hacer 𝑥 = 0 de donde tenemos que 𝑓(0) =
𝑎02 + 𝑏0 + 𝑐 ⇒ 𝑓(0) = 𝑐 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑦 = 0. 
 
 
Coordenadas del vértice. 
Para encontrar las coordenadas del vértice se debe encontrar primero 𝑥𝑣, para ello hacemos 
𝑥𝑣 =
𝑥1+𝑥2
2
 𝑜 𝑥𝑣 =
−𝑏
2𝑎
 Luego reemplazamos para encontrar 𝑦𝑣 = 𝑎(𝑥𝑣)
2 + 𝑏𝑥𝑣 + 𝑐, así obtenemos (𝑥𝑣, 𝑦𝑣). 
 Si 𝑎 > 0 (cóncava hacia arriba) 
𝑓 decrece en (−∞, 𝑥𝑣 ) y crece en (𝑥𝑣, ∞ ) 
 Si 𝑎 < 0 (cóncava hacia abajo) 
𝑓 crece en (−∞, 𝑥𝑣 ) y decrece en (𝑥𝑣, ∞ )