UNIDAD-N-1LOGICA

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UNIDAD N° 1 
 
LÓGICA 
SIMBÓLICA 
UNIDAD Nº 1: LÓGICA SIMBÓLICA – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO 
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INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V . GONZÁLEZ” 19 
LÓGICA SIMBÓLICA 
DEFINICIÓN Nº 1: 
 
 
 
 
 
 
¿POR QUÉ ESTUDIAR LÓGICA SIMBÓLICA? 
 
Estudiaremos Lógica Simbólica por varias razones. 
La primera de ellas es que en los distintos espacios curriculares que se 
cursarán, deberá demostrarse a menudo que ciertos enunciados son verdaderos o 
falsos y encontraremos respuesta en la Lógica Simbólica. 
Generalizando un poco más, podemos decir que constituye una herramienta de 
gran valor para comprender la manera en que se organizan los conocimientos 
científicos en teorías, ya que éstas suponen un lenguaje y una forma de 
razonamiento particulares. 
En la vida cotidiana pocas veces nos detenemos a reflexionar sobre el lenguaje 
que utilizamos y la forma en que establecemos argumentos acerca de hechos que 
observamos o imaginamos. A veces se producen malos entendidos, sencillamente 
por efecto de la ambigüedad en el uso de las palabras; menos aún se nos ocurre 
“formalizar” lo que decimos, simplemente nos comunicamos. 
En la ciencia en general y en Matemática en particular, se presenta la situación 
contraria. Se utilizan códigos ya establecidos. Sería imposible pensar en el avance 
de los conocimientos sin un lenguaje común, claro y sin ambigüedades. Y allí 
encontramos otra razón para incluir la Lógica Simbólica en nuestro programa. 
Es necesario entonces, que acordemos con respecto a la precisión del lenguaje 
a utilizar, la simbología a emplear para simplificar enunciados y esquemas de 
razonamiento. 
La LÓGICA SIMBÓLICA o LÓGICA MATEMÁTICA es una disciplina que 
estudia los sistemas formales, todo ello como parte de los fundamentos de las 
matemáticas. Comprende aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas 
matemáticamente. 
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Y a eso apunta esta unidad. En ella nos introduciremos al estudios de la Lógica 
Proposicional, considerando proposiciones, conectivos, operaciones entre las 
proposiciones y lógica cuantificacional. 
 
 
PROPOSICIONES 
 
DEFINICIÓN Nº 2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. ¿Arreglarán bien las veredas de Chilecito? 
2. El cinco es un número impar. 
3. Chilecito tiene 2000 habitantes. 
4. Córdoba es una provincia argentina. 
5. ¡No grites! 
6. El -3 es un número natural. 
7. ¡Ojalá que apruebe álgebra! 
 
Respecto a algunas de estas expresiones lingüísticas, no podemos decir si 
son verdaderas o falsas y con respecto a otras sí. 
Veremos si se comprendió el concepto de proposición a 
través de los siguientes ejemplos. 
 
Formalmente, se define una PROPOSICIÓN como toda expresión del 
lenguaje para la que tiene sentido afirmar que es verdadera o falsa, pero no 
ambas a la vez. 
Al afirmar que tal proposición es verdadera o falsa, estamos dando lo que 
se conoce como el “VALOR DE VERDAD ” de la misma. 
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Dentro de las primeras incluimos los números 1, 5 y 7 puesto que se trata de 
oraciones interrogativa, imperativa y exclamativa respectivamente. 
En cuanto a los números 2, 3, 4 y 6, son susceptibles de ser verdaderas o 
falsas, es decir, son proposiciones. Las proposiciones 2 y 4 son verdaderas, 
mientras que la 3 y la 6 son falsas. 
 
 
 
a) ¡Qué manera de expresarte! 
b) Las calles de Chilecito tienen pozos. 
c) ¿Seré rico algún día? 
d) El conjunto de números enteros está contenido en el de números naturales. 
e) La potenciación de números reales es distributiva con respecto a la sustracción. 
f) ¿Elegí una carrera que me gusta? 
g) La suma de dos números es igual al doble del primero de ellos. 
h) ¡Estudiá! 
 
RTA: Son proposiciones: b) V d) F e) F g) F 
 
 
LENGUAJE PROPOSICIONAL 
 
El primer paso en el estudio de un lenguaje es definir los símbolos básicos que 
lo constituyen (alfabeto) y cómo se combinan para formar sentencias. 
En el caso del lenguaje proposicional, éste está constituido por: 
• Símbolos de veracidad: V para verdadero y F para falso. 
• Símbolos de variables: p, q, r, s,... (se utilizan letras minúsculas del alfabeto). 
• Símbolos de conectivas: , , , (o ), ,∧ ∨ ∨ − ⇒ ⇔∼ . 
• Símbolos de puntuación: ( , ), para evitar ambigüedades. 
Es tu turno… 
Indica si las siguientes expresiones lingüísticas son o no 
proposiciones. Para aquellas que lo sean, da su valor de 
verdad. 
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CONECTIVOS LÓGICOS 
 
DEFINICIÓN Nº 3: 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Los números racionales y los irracionales son reales. 
2) El triángulo es acutángulo o es isósceles. 
3) El número es mayor a cero o es menor a cero. 
4) Si el cuadrilátero es un rombo, entonces es un paralelogramo. 
5) Un número es divisible por el número 3 si y sólo si la suma de sus dígitos es 
divisible por 3. 
6) 
1
2
 no es un número irracional. 
 
 
Analizaremos estos enunciados determinando cuáles son sus proposiciones 
simples y sus conectivos. 
 
1) Los números racionales y los irracionales son reale s. 
El enunciado anterior vincula las siguientes proposiciones simples: 
p: “Los números racionales son reales” 
Analizaremos algunos enunciados en los que se vinculan 
dos o más proposiciones simples: 
 
Cuando se vinculan dos o más proposiciones simples, se obtiene una 
PROPOSICIÓN COMPUESTA. 
El vínculo se establece a través de los llamados CONECTIVOS LÓGICOS. 
Los conectivos son partículas lógicas mediante las cuales se conectan dos 
o más proposiciones simples, o se modifica una proposición dada. 
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q: “Los números irracionales son reales” 
El conectivo utilizado es “y”, al cual simbolizaremos mediante ∧ . 
Así, la proposición puede ser escrita en lenguaje simbólico como: p q∧ . 
 
 
2) El triángulo es acutángulo o es isósceles. 
El enunciado anterior vincula las siguientes proposiciones simples: 
p: “El triángulo es acutángulo” 
q: “El triángulo es isósceles” 
El conectivo utilizado es “o”, al cual simbolizaremos mediante ∨ . 
El conectivo indica que el triángulo puede ser acutángulo o isósceles o ambos a 
la vez, es decir, podemos tener un triángulo acutángulo isósceles. 
Así, la proposición puede ser escrita en lenguaje simbólico como: p q∨ . 
 
 
3) El número es mayor a cero o es menor a cero. 
El enunciado anterior vincula las siguientes proposiciones simples: 
p: “El número es mayor a cero” 
q: “El número es menor a cero” 
El conectivo utilizado es “o”, al cual simbolizaremos mediante ∨ . 
Diferenciamos este caso del anterior puesto que la proposición compuesta 
plantea situacionesexcluyentes, es decir, si ocurre una, es imposible que ocurra la 
otra. 
Así, la proposición puede ser escrita en lenguaje simbólico como: p q∨ . 
 
 
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4) Si el cuadrilátero es un rombo, entonces es un para lelogramo. 
El enunciado anterior vincula las siguientes proposiciones simples: 
p: “El cuadrilátero es un rombo” 
q: “El cuadrilátero es un paralelogramo” 
El conectivo utilizado es “Si…entonces ”, al cual simbolizaremos mediante ⇒ . 
Así, la proposición puede ser escrita en lenguaje simbólico como: p q⇒ . 
 
 
5) Un número es divisible por el número 3 si y sólo si la suma de sus 
dígitos es divisible por 3. 
El enunciado anterior vincula las siguientes proposiciones simples: 
p: “Un número es divisible por 3” 
q: “La suma de los dígitos de un número es divisible por 3” 
El conectivo utilizado es “Si y sólo si ”, al cual simbolizaremos mediante ⇔ . 
Así, la proposición puede ser escrita en lenguaje simbólico como: p q⇔ . 
 
 
6) ½ no es un número irracional. 
En el enunciado anterior sólo podemos observar la proposición: 
p: “
1
2
 es un número irracional” 
 
Hemos dicho ya que un conectivo es un nexo que vincula dos proposiciones, o 
que modifica una de ellas. Esta última situación se da con el conectivo “no ”, que se 
simboliza mediante − . 
Este conectivo se denomina singular, puesto que afecta a una sola proposición, 
mientras que todos los anteriores se denominan binarios. 
Así, la proposición puede ser escrita en lenguaje simbólico como: p− . 
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Podemos resumir lo anterior en la siguiente tabla: 
 
LEEMOS SIMBOLIZAMOS 
“y” ∧ 
“o” ∨ 
“o”…”o” ∨ 
“si….entonces…” ⇒ 
“si y sólo si” ⇔ 
“no” − 
 
 
 
 
1) Indica a qué tipo de disyunción corresponde la planteada en los siguientes 
ejemplos. 
 
a) A las 20 horas iré a la facultad o me quedaré en mi casa. 
b) Un alumno queda libre por inasistencia a los parciales o aplazo. 
c) La provincia de La Rioja está localizada al oeste de la Argentina o al sur de la 
misma. 
d) Los apuntes son útiles o interesantes. 
e) Mi papá es alto o flaco. 
f) Los ángulos son obtusos o agudos. 
 
 
RTA: 
 
 
 
2) Enunciar la negación de cada una de las siguientes proposiciones y analizar 
el valor de verdad de la proposición y de su negación. 
 
DISYUNCIÓN INCLUSIVA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA 
b, d, e a, c, f 
A poner en práctica lo aprendido… 
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a) 5 es divisor de 12. 
b) 2 es un número primo. 
c) Todo número real elevado a la potencia uno da por resultado el mismo número. 
d) La radicación de números reales es distributiva con respecto a la adición. 
e) Los ángulos alternos internos entre paralelas son suplementarios. 
f) Los ángulos correspondientes entre paralelas son congruentes. 
 
 RTA: a) FALSA. Negación VERDADERA: 5 no es divisor de 12. 
 
b) VERDADERA. Negación FALSA: 2 no es un número primo. 
 
c) VERDADERA. Negación FALSA: Todo número real elevado a la potencia uno no da por 
resultado el mismo número. 
 
 d) FALSA. Negación VERDADERA: La radicación de números reales no es distributiva con respecto a 
la adición. 
 
 e) FALSA. Negación VERDADERA: Los ángulos alternos internos entre paralelas no son 
suplementarios. 
 
f) VERDADERA. Negación FALSA: Los ángulos correspondientes entre paralelas no son 
congruentes. 
 
 
3) Para cada uno de los siguientes enunciados, determina las proposiciones 
simples intervinientes, el conectivo a través del cual se vinculan y simbolízalas. 
a) Los encuestados se manifiestan a favor o en contra del gobierno. 
b) La suma y el producto de dos números naturales es otro número natural. 
c) Soy soltero o casado. 
d) La demanda de un bien aumenta si y sólo si bajan los precios. 
e) Si el triángulo es equilátero, entonces es isósceles. 
f) Pasaré las vacaciones en Argentina o en Brasil. 
g) El examen se aprueba si y sólo si se sacan más de 3 puntos. 
h) Si un número es racional entonces es real. 
i) La radicación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división. 
j) No puedo estudiar el fin de semana. 
RTA: 
 
 
 p q SIMBOLIZACIÓN 
a Los encuestados se manifiestan a favor 
del gobierno 
Los encuestados se manifiestan en 
contra del gobierno 
p q∨ 
b La suma de dos números naturales es 
otro número natural 
El producto de dos números naturales 
es otro número natural 
p q∧ 
c Soy soltero Soy casado p q∨ 
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d La demanda de un bien aumenta Bajan los precios p q⇔ 
e El triángulo es equilátero El triángulo es isósceles p q⇒ 
f Pasaré las vacaciones en Argentina Pasaré las vacaciones en Brasil p q∨ 
g El examen se aprueba Se sacan más de 3 puntos p q⇔ 
h Un número es racional Un número es real p q⇒ 
i La radicación es distributiva con respecto 
a la multiplicación 
La radicación es distributiva con 
respecto a la división 
p q∧ 
j Puedo estudiar el fin de semana - p− 
 
 
 
TABLAS DE VERDAD 
 
DEFINICIÓN Nº 4: 
 
 
 
 
 
Una proposición simple, simbolizada en general por una letra p, q, r, etc., o es 
verdadera o es falsa. Por ello, su tabla de verdad consta de dos valores posibles. 
 
p 
V 
F 
 
El valor de verdad de una proposición compuesta se determina conociendo el 
valor de verdad de las proposiciones simples que la componen. Así por ejemplo, si 
hay dos proposiciones p y q, puede ocurrir que ambas sean verdaderas; o bien la 
primera verdadera y la segunda falsa; o falsa la primera y verdadera la segunda o 
ambas falsas. 
p q 
V V 
V F 
F V 
F F 
 
La TABLA DE VERDAD de una proposición es un cuadro que determina si 
ésta es verdadera o falsa, teniendo en cuenta todas las formas posibles que se 
pueden presentar al vincular las proposiciones simples que intervienen. 
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RTA: 
 
 
 
 
 
 
OPERACIONES LÓGICAS 
 
Consideremos ahora las proposiciones compuestas que se originan mediante el 
uso de los distintos conectivos y veamos cómo se construyen sus tablas de verdad. 
Las operaciones lógicas que se realizan al vincular proposiciones mediante los 
distintos conectivos son: conjunción, disyunción, disyunción exclusiva, condicional, 
bicondicional y negación. 
Completamos entonces la tabla presentada anteriormente. 
 
LEEMOS SIMBOLIZAMOS OPERACIÓN 
“y” ∧ Conjunción 
“o” ∨ Disyunción Inclusiva 
“o”…”o” ∨ Disyunción Exclusiva 
“si….entonces…” ⇒ Condicional 
“si y sólo si” ⇔ Bicondicional 
“no” − Negación 
p q r 
V V V 
V V F 
V F V 
V F F 
F V V 
F V FF F V 
F F F 
Presenta las ocho posibilidades para la vinculación de 
tres proposiciones. 
 
Como podemos observar: 
• Si hay una proposición, tenemos 12 2= posibilidades. 
• Si hay dos proposiciones, tenemos 22 4= posibilidades. 
En general, si hay n proposiciones vinculadas, habrá n2 
posibilidades. 
 
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CONJUNCIÓN 
DEFINICIÓN Nº 5: 
 
 
 
 
 
La proposición compuesta Conjunción de p con q, que simbolizamos p q∧ se 
enuncia “Juan estudia Profesorado en Matemática y tiene 18 años cumplidos”. 
Si ambas proposiciones son verdaderas, encontramos coherente afirmar que el 
enunciado compuesto también lo sea. 
En cambio, si alguna de las proposiciones o ambas son falsas, la proposición 
compuesta, también lo será. 
Por lo tanto, para dos proposiciones cualesquiera, el valor de verdad de la 
proposición compuesta p q∧ se muestra en la siguiente tabla: 
p q p ∧ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
 
Analizaremos la conjunción a través de un ejemplo: 
 
p: “Juan estudia Profesorado en Matemática”. 
q: “Juan tiene 18 años cumplidos”. 
 
La CONJUNCIÓN de las proposiciones simples p, q, es la proposición 
compuesta que se obtiene uniéndolas a ambas, en el orden dado, mediante la 
conjunción “y”. 
En símbolos, se indica p q∧ . 
Observando la tabla podemos concluir en que la 
conjunción sólo es verdadera cuando ambas proposiciones 
son verdaderas. 
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DISYUNCIÓN INCLUSIVA 
 
Como ya vimos, asociado al conectivo “o” está la operación disyunción. La 
palabra “o” tiene en la vida diaria un sentido ambiguo, ya que puede significar 
inclusión o exclusión. 
Llamaremos simplemente disyunción a la operación asociada con el primer 
significado. 
 
DEFINICIÓN Nº 6: 
 
 
 
 
Si p y q son las proposiciones del ejemplo anterior, p q∨ es “Juan es estudiante 
de Profesorado en Matemática o Juan tiene 18 años cumplidos”. 
Si las dos proposiciones son falsas, entonces la proposición compuesta 
también lo será, mientras que en los restantes casos, resultará verdadera. 
Por lo tanto, para dos proposiciones cualesquiera, el valor de verdad de la 
proposición compuesta p q∨ se muestra en la siguiente tabla: 
p q p ∨ q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
La DISYUNCIÓN de las proposiciones p, q, es la proposición compuesta 
que se obtiene uniendo ambas proposiciones simples, mediante el conectivo “o”, 
con sentido incluyente. 
En símbolos se indica p q∨ . 
Observando la tabla podemos concluir en que la 
disyunción sólo es falsa cuando ambas proposiciones son 
falsas. 
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DISYUNCIÓN EXCLUSIVA 
 
 
 
La proposición compuesta “El martes a las 22 horas Juan estudiará Matemática 
o irá a jugar al pool con sus amigos” es una disyunción exclusiva ya que es 
imposible hacer ambas cosas al mismo tiempo: “o” estudia Matemática, “o” va a 
jugar al pool con sus amigos. 
El significado del enunciado nos permitirá distinguir entre la disyunción inclusiva 
y la exclusiva. 
Como sólo es posible que Juan realice una de las dos actividades el martes a 
las 22 horas, la proposición compuesta será verdadera cuando ambas proposiciones 
tengan distinto valor de verdad (una verdadera y la otra falsa) y falsa en los demás 
casos. 
Por lo tanto, para dos proposiciones cualesquiera, el valor de verdad de la 
proposición compuesta p q∨ se muestra en la siguiente tabla: 
p q p ∨ q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
 
 
 
Sean: 
p: “Juan estudiará Matemática el martes a las 22 horas”. 
q: “Juan irá a jugar al pool con sus amigos el martes a 
las 22 horas”. 
Observando la tabla podemos concluir en que la 
disyunción exclusiva es verdadera cuando ambas 
proposiciones tienen distinto valor de verdad. 
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CONDICIONAL O IMPLICACIÓN MATERIAL 
 
Como ya vimos, “Si… entonces” es uno de los conectivos lógicos que usamos 
cada vez que enunciamos algo en forma condicional. 
 
Por ejemplo: 
“Si el número es mayor que 7, entonces es mayor que 2”. 
“Si se aumentan los sueldos, entonces el personal estará conforme.” 
“Si el número es divisible por 6, también lo es por 3”. 
 
En este último ejemplo, se ha omitido la palabra entonces. No por ello deja de 
ser un condicional. Tampoco deja de serlo si el enunciado es: “Se podrá rendir 
Álgebra si se tiene el curso de nivelación aprobado”. 
 
DEFINICIÓN Nº 7: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para dos proposiciones cualesquiera, el valor de verdad de la proposición 
compuesta p q⇒ se muestra en la siguiente tabla: 
 
p q p⇒ q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
La IMPLICACIÓN MATERIAL de p con q, es la proposición compuesta 
p q⇒ que se obtiene anteponiendo a la primera el condicional “si” y uniendo 
ambas, mediante la palabra “entonces”. 
p y q reciben el nombre de ANTECEDENTE y CONSECUENTE 
respectivamente. 
En símbolos, se indica p q⇒ . 
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BICONDICIONAL 
 
DEFINICIÓN Nº 8: 
 
 
 
 
 
El bicondicional está estrechamente relacionado con el condicional. El prefijo 
“bi” tiene acá el sentido que habitualmente le damos, esto es, doble. 
En el caso del bicondicional, actúa dos veces el condicional: p q⇒ y q p⇒ . 
 
Para dos proposiciones cualesquiera, el valor de verdad de la proposición 
compuesta p q⇔ se muestra en la siguiente tabla: 
p q p ⇔ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
 
 
Observando la tabla podemos concluir en que el 
condicional es falso sólo cuando el antecedente es 
verdadero y el consecuente es falso. 
El bicondicional de las proposiciones p y q, es la proposición compuesta 
que simbolizamos con p q⇔ , y que formamos uniéndolas mediante las palabras 
“si y sólo si”. 
Observando la tabla podemos concluir en que el 
bicondicional es verdadero sólo cuando ambas 
proposiciones tiene el mismo valor de verdad. 
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NEGACIÓN 
DEFINICIÓN Nº 9: 
 
 
 
 
 
 
Si p es una proposición verdadera, su negación resulta falsa y si es falsa, su 
negación resulta verdadera, como podemos observar en la siguiente tabla: 
 
p −p 
V F 
F V 
 
 
EMPLEO DE MÁS DE UN CONECTIVO 
 
En las proposiciones compuestas consideradas hasta aquí hemos vinculado, a 
lo sumo, dos proposiciones a travésde conectivos lógicos. Pero podemos encontrar 
otros enunciados o proposiciones más complicados que requieran el uso de varios 
conectivos lógicos. 
 
DEFINICIÓN Nº 10: 
 
 
 
 
La negación de una proposición p es la proposición que se obtiene 
anteponiendo a la dada: “Es falso que…”, o bien precediéndola de la palabra 
“no”. 
En símbolos se expresa: p− . 
Cuando ocurre que una proposición compuesta resulta siempre 
verdadera, independientemente de los valores de verdad de las proposiciones 
intervinientes, se dice que es una TAUTOLOGÍA . Por su parte, cuando resulta 
siempre falsa, se dice que es una CONTRADICCIÓN. 
Cuando una proposición compuesta presenta una tabla de verdad en la 
que aparecen valores verdaderos y falsos (como en el ejemplo) se denomina 
CONTINGENCIA. 
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1) Analizaremos la siguiente proposición compuesta: 
“Si hoy sale el sol y no hace frío iré a pasear o m e juntaré con mis 
amigas”. 
 
Esta proposición compuesta involucra 4 proposiciones simples: 
p: Hoy sale el sol. 
q: Hoy hace frío. 
r: Hoy iré a pasear. 
s: Hoy me juntaré con mis amigas. 
 
En forma simbólica esta proposición se expresa: ( ) ( )p q r s∧ − ⇒ ∨ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Realizaremos una serie de ejemplos para comprender 
los conceptos anteriormente expuestos. 
Para construir la tabla de verdad de cualquier 
proposición compuesta, se sigue un procedimiento en el que 
es importante respetar el orden de las operaciones lógicas. 
Éste es: 
• Negación 
• Conjunción. Disyunción. 
• Condicional. 
• Bicondicional. 
Cabe aclarar que la presencia de paréntesis, corchetes 
y llaves puede alterar el orden dado. 
 
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Supongamos que queremos construir la tabla de verdad de la proposición 
compuesta del ejemplo. 
El primer paso consiste en determinar las distintas posibilidades de valor de 
verdad de las proposiciones intervinientes. Recordemos que son n2 donde n es el 
número de proposiciones. Como consta de cuatro proposiciones simples tenemos 
42 16= posibilidades. 
 
( p ∧ − q ) ⇒ ( r ∨ s ) 
V V V V 
V V V F 
V V F V 
V V F F 
V F V V 
V F V F 
V F F V 
V F F F 
F V V V 
F V V F 
F V F V 
F V F F 
F F V V 
F F V F 
F F F V 
F F F F 
1 1 1 1 
 
 
El paso 2 es construir la tabla de verdad de - q. 
 
( p ∧ − q ) ⇒ ( r ∨ s ) 
V F V V V 
V F V V F 
V F V F V 
V F V F F 
V V F V V 
V V F V F 
V V F F V 
V V F F F 
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F F V V V 
F F V V F 
F F V F V 
F F V F F 
F V F V V 
F V F V F 
F V F F V 
F V F F F 
1 2 1 1 1 
 
 
El paso 3 es efectuar la conjunción p q∧ − y la disyunción r s∨ . 
 
( p ∧ − q ) ⇒ ( r ∨ s ) 
V F F V V V V 
V F F V V V F 
V F F V F V V 
V F F V F F F 
V V V F V V V 
V V V F V V F 
V V V F F V V 
V V V F F F F 
F F F V V V V 
F F F V V V F 
F F F V F V V 
F F F V F F F 
F F V F V V V 
F F V F V V F 
F F V F F V V 
F F V F F F F 
1 3 2 1 1 3 1 
 
 
 
El último paso consiste en realizar el condicional entre lo obtenido en el tercer 
paso. 
La columna señalada muestra el resultado final. 
 
 
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( p ∧ − q ) ⇒ ( r ∨ s ) 
V F F V V V V V 
V F F V V V V F 
V F F V V F V V 
V F F V V F F F 
V V V F V V V V 
V V V F V V V F 
V V V F V F V V 
V V V F F F F F 
F F F V V V V V 
F F F V V V V F 
F F F V V F V V 
F F F V V F F F 
F F V F V V V V 
F F V F V V V F 
F F V F V F V V 
F F V F V F F F 
1 3 2 1 4 1 3 1 
 
 
 
2) Verificaremos la validez del siguiente razonamiento: 
 Si no viene la profesora, salgo temprano. 
 Si salgo temprano, entonces me juntaré con mis amigos. 
 No vino la profesora. 
 Por lo tanto me juntaré con mis amigos. 
 
Este razonamiento involucra 3 proposiciones simples: 
p: Viene la profesora. 
q: Salgo temprano. 
r: Me juntaré con mis amigos. 
 
La primera proposición compuesta que compone el razonamiento se simboliza: 
p q− ⇒ . 
 
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La segunda proposición compuesta que compone el razonamiento se 
simboliza: q r⇒ . 
 
La tercera proposición que compone el razonamiento es p− . 
 
La conclusión del razonamiento es : r . 
 
Si ocurre lo que indica la primera proposición compuesta “y” ocurre lo que 
indica la segunda proposición compuesta “y” ocurre lo que indica la tercera 
proposición, “entonces” ocurrirá la conclusión. 
Lo que queremos decir con esto es que unimos la simbolización de las tres 
primeras proposiciones mediante el conectivo ∧ de la siguiente manera: 
( ) ( )p q q r p− ⇒ ∧ ⇒ ∧ − 
Por último, como todo lo anterior implica r , entonces la forma simbólica 
definitiva del razonamiento anterior es: 
( ) ( )p q q r p r − ⇒ ∧ ⇒ ∧ − ⇒  
Realizaremos la tabla de verdad de tal manera de verificar la validez o no del 
razonamiento. 
 
Como se tienen 3 proposiciones simples tenemos 32 8= posibilidades. 
 
 
[ ( − p ⇒ q ) ∧ ( q ⇒ r ) ∧ − p ] ⇒ r 
 V V V V V V 
 V V V F V F 
 V F F V V V 
 V F F F V F 
 F V V V F V 
 F V V F F F 
 F F F V F V 
 F F F F F F 
 1 1 1 1 1 1 
 
 
 
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El paso 2 es resolver las negaciones. 
[ ( − p ⇒ q ) ∧ ( q ⇒ r ) ∧ − p ] ⇒ r 
F V V V V F V V 
F V V V F F V F 
F V F F V F V V 
F V F F F F V F 
V F V V V V F V 
V F V V F V F F 
V F F F V V F V 
V F F F F V F F 
2 1 1 1 1 2 1 1 
 
 
El paso 3 es efectuar la conjunción p q− ⇒ y el condicional q r⇒ (a esto último 
también lo podríamos haber resuelto en el paso anterior). 
[ ( − p ⇒ q ) ∧ ( q ⇒ r ) ∧ − p ] ⇒ r 
F V V V V V V F V V 
F V V V V F F F V F 
F V V F F V V F V V 
F V V F F V F F V F 
V F V V V V V V F V 
V F V V V F F V F F 
V F F F F V V V F V 
V F F F F V F V F F 
2 1 3 1 1 3 1 2 1 1 
 
En cuarto lugar resolveremos la conjunción ( ) ( )p q q r− ⇒ ∧ ⇒ . 
[ ( − p ⇒ q ) ∧ ( q ⇒ r ) ∧ − p ] ⇒ r 
F V V V V V V V F V V 
F V V V F V F F F V F 
F V V F V F VV F V V 
F V V F V F V F F V F 
V F V V V V V V V F V 
V F V V F V F F V F F 
V F F F F F V V V F V 
V F F F F F V F V F F 
2 1 3 1 4 1 3 1 2 1 1 
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En quinto lugar resolveremos la conjunción restante. 
 
[ ( − p ⇒ q ) ∧ ( q ⇒ r ) ∧ − p ] ⇒ r 
F V V V V V V V F F V V 
F V V V F V F F F F V F 
F V V F V F V V F F V V 
F V V F V F V F F F V F 
V F V V V V V V V V F V 
V F V V F V F F F V F F 
V F F F F F V V F V F V 
V F F F F F V F F V F F 
2 1 3 1 4 1 3 1 5 2 1 1 
 
 
El último paso consiste en realizar el condicional entre lo obtenido en el quinto 
paso y r. La columna señalada muestra el resultado final. 
 
[ ( − p ⇒ q ) ∧ ( q ⇒ r ) ∧ − p ] ⇒ r 
F V V V V V V V F F V V V 
F V V V F V F F F F V V F 
F V V F V F V V F F V V V 
F V V F V F V F F F V V F 
V F V V V V V V V V F V V 
V F V V F V F F F V F V F 
V F F F F F V V F V F V V 
V F F F F F V F F V F V F 
2 1 3 1 4 1 3 1 5 2 1 6 1 
 
El resultado obtenido es una tautología , lo cual indica que el razonamiento 
presentado es verdadero siempre. 
 
 
EQUIVALENCIA LÓGICA 
 
DEFINICIÓN Nº 11: 
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p ⇔ q 
V V V 
V F F 
F F V 
F V F 
 
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) 
V V V V V V V 
V F F F F V V 
F V V F V F F 
F V F V F V F 
1 2 1 3 1 2 1 
 
Cada tabla de verdad ha sido construida teniendo en cuenta las tablas de 
verdad de los conectivos vinculantes. 
Podemos observar que las columnas remarcadas en ambos casos son 
idénticas. Ello indica que las proposiciones p q⇔ y ( ) ( )p q q p⇒ ∧ ⇒ son 
lógicamente equivalentes. 
 
 
 
Por ejemplo, las proposiciones p q⇔ y 
( ) ( )p q q p⇒ ∧ ⇒ son lógicamente equivalentes. 
En efecto, veamos las tablas de verdad de una y de otra: 
 
Te invito a resolver los siguientes ejercicios… 
Dos PROPOSICIONES que tienen idénticas tablas de verdad, se dicen 
LÓGICAMENTE EQUIVALENTES . 
Esto significa que al vincularlas con el conectivo bicondicional, el mismo 
resulta lógicamente verdadero. 
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1) Construye las tablas de verdad de las siguientes proposiciones compuestas 
e indica si se trata de tautologías, contradicciones o contingencias. 
 
a) ( )p q q p ⇒ ∧ − ⇒ −  b) ( )p q r∧ ⇒ 
c) ( )p q p q∧ ⇔ − ∨ − d) ( ) ( )p q q r p − ⇒ ⇔ ∧ − ∨  
 
 
RTA: a) Tautología b) Contingencia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Negación d) Contingencia 
 
 
 
 
 
 
 
2) Para cada uno de los siguientes enunciados, señala las proposiciones 
simples intervinientes, simboliza las mismas y los conectivos que las vinculan y 
construye las tablas de verdad. 
 
a) Si intentas resolver los ejercicios, comprobarás cuánto has comprendido el tema 
enseñado y aprenderás más del mismo. 
 
b) Estudio y no apruebo, sólo si la profesora es injusta o tengo mucha mala suerte. 
 
c) Si hago una lectura comprensiva y una aplicación práctica, conseguiré entender 
este tema. 
 
d) Es falso que para aprobar Álgebra se exija el 100% de las respuestas correctas y 
dedicación de tiempo completo. 
 
 
e) El viernes iré a clase, responderé al profesor y haré los trabajos prácticos. 
p ∧ (q ⇒ )r 
V V V V V 
V F V F F 
V V F V V 
V V F V F 
F F V V V 
F F V F F 
F F F V V 
F F F V F 
(p ⇒ )q ∧ − ]q ⇒ − p 
V V V F F V V F V 
V F F F V F V F V 
F V V F F V V V F 
F V F V V F V V F 
(p ∧ )q ⇔ − p ∨ − q 
V V V F F V F F V 
V F F F F V V V F 
F F V F V F V F V 
F F F F V F V V F 
[− (p ⇒ )q ⇔ (q ∧ − )r  ∨ p 
F V V V V V F F V V V 
F V V V F V V V F V V 
V V F F F F F F V V V 
V V F F F F F V F V V 
F F V V V V F F V V F 
F F V V F V V V F F F 
F F V F V F F F V V F 
F F V F V F F V F V F 
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RTA: 
a) p: Intentas resolver los ejercicios. 
 q: Comprobarás cuánto has comprendido el tema enseñado. 
 r: Aprenderás más el tema enseñado. 
 ( )p q r⇒ ∧ 
 
 
 
 
 
 
b) p: Estudio. 
 q: No apruebo. 
 r: La profesora es injusta. 
 s: Tengo mucha mala suerte. 
 ( ) ( )p q r s∧ − ⇔ ∨ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) p: Hago una lectura comprensiva. 
 q: Hago una aplicación práctica. 
 r: Conseguiré entender este tema. 
 ( )p q r∧ ⇒ 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) p: Para aprobar Álgebra se exige el 100% de las respuestas correctas. 
 q: Para aprobar Álgebra se exige dedicación de tiempo completo. 
 ( )p q− ∧ 
 
 
 
 
 
e) p: El viernes iré a clase. 
 q: El viernes responderé al profesor. 
 r: El viernes haré los trabajos prácticos. 
 p q r∧ ∧ 
 
 
 
 
 
 
 
p ⇒ (q ∧ )r 
V V V V V 
V F V F F 
V F F F V 
V F F F F 
F V V V V 
F V V F F 
F V F F V 
F V F F F 
(p ∧ − )q ⇔ (r ∨ )s 
V F F V F V V V 
V F F V F V V F 
V F F V F F V V 
V F F V V F F F 
V V V F V V V V 
V V V F V V V F 
V V V F V F V V 
V V V F F F F F 
F F F V F V V V 
F F F V F V V F 
F F F V F F V V 
F F F V V F F F 
F F V F F V V V 
F F V F F V V F 
F F V F F F V V 
F F V F V F F F 
(p ∧ )q ⇒ r 
V V V V V 
V V V F F 
V F F V V 
V F F V F 
F F V V V 
F F V V F 
F F F V V 
F F F V F 
− (p ∧ )q 
F V V V 
V V F F 
V F F V 
V F F F 
p ∧ q ∧ r 
V V V V V 
V V V F F 
V F F F V 
V F F F F 
F F V F V 
F F V F F 
F F F F V 
F F F F F 
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3) Verifica la validez de los siguientes razonamientos. 
 
a) Si estudio no desaprobaré Álgebra. 
 Si no miro televisión, entonces estudio. 
 Pero desaprobé Álgebra. 
 Por lo tanto miré televisión. 
 
b) Si llueve, las calles se mojan. 
 Las calles están mojadas. 
 Por lo tanto ha llovido. 
 
 
RTA: 
a) p: Estudio. 
 q: Desaprobaré Álgebra. 
 r: Miro televisión. 
( ) ( )p q r p q r ⇒ − ∧ − ⇒ ∧ ⇒  
El razonamiento es válido: 
TAUTOLOGÍA. 
 
 
 
 
 
b) p: Llueve. 
 q: Las calles se mojan. 
 ( )p q q p ⇒ ∧ ⇒  
 Contingencia. 
 
 
 
 
4) Demuestra que las siguientes proposiciones son tautologías construyendo 
sus tablas de verdad. Ellas constituyen algunas de las leyes del Álgebra 
Proposicional. 
 
a) Identidad: 
p p
p p
⇒
 ⇔
 
b) Involución : ( )p p− − ⇔ 
 
c) Idempotencia: 
( )
( )
p p p
p p p
 ∧ ⇔

∨ ⇔
 
 
(p ⇒ − )q ∧ (− r ⇒ )p ∧ ]q ⇒ r 
V F F V F F V V V F V V V 
V F F V F V F V V F V V F 
V V V F V F V V V F F V V 
V V V F V V F V V F F V F 
F V F V V F V V F V V V V 
F V F V F V F F F F V V F 
F V V F V F V V F F F V V 
F V V F F V F F F F F V F 
(p ⇒ )q ∧ ]q ⇒ p 
V V V V V V V 
V F F F F V V 
F V V V V F F 
F V F F F V F 
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d) Absorción: 
( )
( )
p p q p
p p q p
 ∧ ∨ ⇔

∨ ∧ ⇔
 
 
e) Amplificación: p p q⇒ ∨ 
 
f) Conmutatividad: 
p q q p
p q q p
∧ ⇔ ∧
 ∨ ⇔ ∨
 
 
g) Asociatividad: 
( ) ( )
( ) ( )
p q r p q r
p q r p q r
 ∧ ∧ ⇔ ∧ ∧

∨ ∨ ⇔ ∨ ∨
 
 
h) Distributividad: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
p q r p q p r
p q r p q p r
 ∧ ∨ ⇔ ∧ ∨ ∧

∨ ∧ ⇔ ∨ ∧ ∨
 
 
i) Leyes de De Morgan: 
( )
( )
p q p q
p q p q
− ∧ ⇔ − ∨ −

− ∨ ⇔ − ∧ −
 
 
j) No contradicción: ( )p p− ∧ − 
 
 
FUNCIONES PROPOSICIONALES 
 
 
 
En el primer ejemplo si reemplazamos x por un número determinado sí 
obtendríamos una proposición: 
“8 es un número primo” 
“3 es un número primo” 
Cuando decimos: 
• “x es un número primo” 
• “y es un múltiplo de 4” 
las letras x, y aluden a un elemento que está indeterminado 
y son llamadas variables . Por ello estas afirmaciones no 
son proposiciones ya que no podríamos decir que son 
verdaderas o falsas. 
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Estos enunciados pueden ser verdaderos o falsos. En el primer caso es falso, 
en el segundo es verdadero. 
De la misma forma, si en el segundo ejemplo reemplazamos y por 12, la 
expresión “y es un múltiplo de 4” se convierte en la proposición verdadera “12 es un 
múltiplo de 4”. 
 
DEFINICIÓN Nº 12: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Decimos entonces que 2x 1 1+ = − es también una función proposicional (en 
este caso de un argumento, que es x); que ( )p 1 es F pues 2 1 1 3 1⋅ + = ≠ − , ( )p 1− es 
V pues ( )2 1 1 1⋅ − + = − y que su conjunto de verdad es { }1− . 
Existen funciones proposicionales con más parámetros, por ejemplo: 
( ) ( )p x;y : x 2y 5 x 3 y+ = ∧ = − 
En este caso, por ejemplo, ( )p 1;2 es verdadera y es falsa en todos los 
restantes casos. El conjunto de verdad es entonces ( ){ }1;2 
Una expresión que contenga una variable y que se convierte en una 
proposición cuando se sustituye a dicha variable por una constante 
determinada, se denomina FUNCIÓN PROPOSICIONAL DE UNA VARIABLE . 
Genéricamente se simboliza p(x) . 
Si p(x) es una función proposicional que está definida sobre un cierto 
conjunto, los elementos de dicho conjunto que hacen que p(x) sea verdadera, 
definen el CONJUNTO DE VERDAD de p(x). 
Existen muchas situaciones en matemática en las que el 
valor de verdad depende del valor de algunas variables. 
Por ejemplo, cuando escribimos una ecuación como 
2x 1 1+ = − , sólo podemos indicar su valor de verdad cuando x 
toma un valor definido. Por ejemplo si x 1= , la propiedad es 
falsa, y si x 1= − , ésta es verdadera. 
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En general, a una función proposicional de n parámetros la denotamos 
( )1 np x , ,x… . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 RTA: a) { }lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo b) { }1;3;5 
 c) { }2 d) ( ) 1 3x;y / x , y
16 8
 = = 
 
 
 
 
CUANTIFICADORES 
 
Los CUANTIFICADORES aparecen como una manera de transformar de 
manera global funciones proposicionales en proposiciones. Éstos son: 
 
1. CUANTIFICADOR UNIVERSAL : se escribe ∀ y se lee “para todo ”. 
DEFINICIÓN Nº 13: 
 
 
La proposición p es V si para cualquier elemento, la proposición que resulta al 
evaluar p(x) en ese elemento es V. 
Resulta entonces que es falsa si encontramos un elemento que, al evaluarlo en 
p(x), la proposición se hace F. Un elemento 0x como ese, es decir para el cuál 
( )0p x es falsa, se suele llamar un contraejemplo de ( ) ( ) x : p x∀ . 
 
Indica el conjunto de verdad de las siguientes funciones 
proposicionales. 
a) x es un día de la semana. 
b) x es un número natural impar menor que 6. 
c) 5x + 3 = 13 
d) 4x + 2y = 1 ∧ -1 + 3y = 2x 
Dada una función proposicional p(x) definimos la proposición cuantificada 
universalmente asociada a p(x) por x : p(x)∀ . 
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a) x : 3x 2 0∀ ∈ + ≥ℕ es verdadera pues si �
multiplicando por 3 a ambos
miembros de la desigualdad
x x 1∈ ⇒ ≥ ⇒ℕ 
�
sumando 2 a ambos miem-
 bros de la desigualdad
3x 3 3x 2 5≥ ⇒ + ≥ y 5 0≥ ⇒ 3x 2 0 x+ ≥ ∀ ∈ℕ . 
 
¿Por qué efectuamos la demostración de esa manera? 
En primer lugar deberemos haber decidido si la proposición cuantificada 
universalmente es verdadera o falsa. En este caso, es verdadero que todo número 
natural verifica que su triple aumentado en dos unidades es mayor o igual a cero. 
Como lo que debemos demostrar debe verificarse para todo número natural 
tomamos uno cualesquiera, un x ∈ℕ . Pero, ¿qué es lo que sabemos respecto de los 
naturales? Una de las características que conocemos es que todos ellos son 
mayores o iguales a uno. Es por eso que de ahí partimos. 
¿A dónde queremos llegar? De alguna manera precisamos que en nuestra 
demostración “aparezca” la expresión 3x 2+ . Es por esto que multiplicamos a x por 
3, pero debemos hacerlo a ambos miembros de la desigualdad, haciendo uso de la 
propiedad uniforme. Por último sumamos 2, también a ambos miembros lo que nos 
permite llegar a que 3x 2 5+ ≥ . Siendo 5 0≥ puede concluirse finalmente en lo que 
se quería demostrar, que x : 3x 2 0∀ ∈ + ≥ℕ . 
 
 
b) x : 3x 2 10∀ ∈ + ≤ℕ es falsa pues si tomamos, por ejemplo, x 20= ∈ℕ , la 
expresión 3 20 2 10⋅ + ≤ es falsa ( x 20= es un contraejemplo en este caso, no es el 
único). 
Mostrar un contraejemplo cualesquiera es la manera de demostrar la falsedad 
de la proposición cuantificada universalmente. 
 
 
 
Veamos los siguientes ejemplos. 
En ellos nos iniciaremos en la tarea de efectuar 
pequeñas demostraciones. 
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2. CUANTIFICADOR EXISTENCIAL : se escribe ∃ y se lee “existe ”. 
Dada una función proposicional p(x) definimos la proposición cuantificada 
existencialmente asociada a p(x) por x : p(x)∃ . 
La proposición p es verdadera si podemos encontrar por lo menos un elemento 
que hace p(x) verdadero y es falsa si p(x) no es verdadera para ningún elemento x, 
es decir, si x : p(x)∀ − es verdadera. 
Hemos hallado entonces la negación del cuantificador existencial: 
( ) x : p(x) x : p(x)− ∃ ⇔ ∀ − 
La negación de un cuantificador existencial es equivalente a un 
cuantificador universal respecto de la función proposicional negada. 
Por su parte, la negación de un cuantificador universal es equivalente a un 
cuantificador existencial respecto de la función proposicional negada. 
( ) x : p(x) x : p(x)− ∀ ⇔ ∃ − 
 
 
a) x : x 2∃ ∈ < −ℕ es falsa pues ningún número natural es menor a 2− . 
Su negación sería x : x 2∀ ∈ ≥ −ℕ y es verdadera en todos los casos. 
 
b) x : x 3 5∃ + < es verdadera pues, por ejemplo, 1:1 3 5∃ + < . 
Como podemos observar,para demostrar la veracidad de una proposición 
cuantificada existencialmente es suficiente con mostrar un elemento que la verifique. 
La negación de la proposición es x : x 3 5∀ + ≥ y es falsa pues existe, por 
ejemplo, 2− , tal que 2 3 1− + = y 1 no es mayor o igual a 5. 
 
c) x : x 2 4∀ − = es falsa pues existe por ejemplo 5: 5 – 2 ≠ 4. 
Su negación sería: x : x 2 4∃ − ≠ y es, naturalmente, verdadera (5 la verifica). 
 
 
 
Veremos ahora los siguientes ejemplos referidos a 
proposiciones cuantificadas existencialmente. 
 
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3. EXISTENCIA Y UNICIDAD : Se utiliza con frecuencia un cuantificador más: 
!∃ , que se lee “existe un único ”. Dada una función proposicional p(x), ! x : p(x)∃ es 
verdadero cuando hay exactamente un elemento que hace verdadero p(x). 
Aquí hay dos ideas simultáneas: Existe al menos un x que satisface p(x) 
(EXISTENCIA), y es exactamente uno (UNICIDAD). Es así que esta proposición 
puede ser construida usando los dos cuantificadores anteriores: 
 
 
a) 2! x : x 4∃ ∈ =ℤ es falsa pues si bien en este caso se verifica la existencia, 
no se verifica la unicidad: tanto el 2 como el -2 son números enteros que al ser 
elevados al cuadrado dan por resultado 4. 
 
b) 2! x : x 4∃ ∈ =ℕ es verdadera pues el único número natural que al ser 
elevado al cuadrado da por resultado 4 es el dos. Por lo tanto se verifica la 
existencia y la unicidad. 
 
 
 
 
1) Expresar mediante cuantificadores las siguientes proposiciones y su 
negación. Analizar el valor de verdad de ambas: 
 
a) “Existe un x perteneciente al conjunto de los números naturales, tal que x es 
menor que cero”. 
 
b) “Existe un x perteneciente al conjunto de los números naturales, tal que 2x es un 
número impar”. 
 
Analizamos algunas proposiciones en las que se trabaja con 
las ideas de existencia y unicidad en forma simultánea. 
 
Ponemos en práctica los últimos conceptos 
aprendidos… 
UNIDAD Nº 1: LÓGICA SIMBÓLICA – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO 
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c) Todo x perteneciente al conjunto de números racionales puede expresarse como 
cociente entre dos números enteros, siendo el divisor distinto de cero. 
 
 RTA: a) FALSO: x / x 0∃ ∈ <ℕ . Negación VERDADERA: x / x 0∀ ∈ ≥ℕ . 
 
 b) FALSO: x / 2x es un número impar∃ ∈ℕ . Negación VERDADERA: x / 2x∀ ∈ℕ es un número 
par. 
 
 c) VERDADERA: x : x a / b con a,b ,b 0∀ ∈ = ∈ ≠ℚ ℤ . Negación FALSA: x :∃ ∈ℚ x a / b con≠ 
a,b ,b 0∈ ≠ℤ 
 
 
2) Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justificar 
 
a) x : 2x 1∀ ∈ − ∈ℕ ℕ 
b) x : 2x 3∀ ∈ − ∈ℕ ℕ 
c) x : 3x es un número impar∀ ∈ℕ . 
d) x : x 0∀ ∈ <ℤ 
e) x : 2x 18∃ ∈ − ∈ℕ ℕ 
f) ! x : 2x 18∃ ∈ − ∈ℕ ℕ 
g) x : 2x es un número impar∃ ∈ℕ 
h) ! x : 2x es un número impar∃ ∈ℕ 
i) x : 5x 8 2∃ ∈ − ≤ℕ 
j) ! x : 5x 8 2∃ ∈ − ≤ℕ 
k) 
1
! x :
x
∃ ∈ ∈ℤ ℤ 
 
RTA: a) V b) F c) F d) F e) V f) F 
 g) F h) F i) V j) F k) F