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Objetivos Suma Multiplicación Glosario
Álgebra de Matrices 1:
multiplicación y suma.
Álgebra II - 2020 - 1er cuatrimestre
Objetivos Suma Multiplicación Glosario
1 Objetivos
2 Suma
3 Multiplicación
4 Glosario
Objetivos Suma Multiplicación Glosario
Los objetivos de esta unidad son:
Aprender a operar con matrices (sumar, multiplicar, cálcular
inversas).
Familiarizarse con la notación de subíndices para las entradas
de matrices.
Usar matrices para la resolución de sistemas de ecuaciones.
En este primer archivo definiremos la suma y multiplicación de
matrices, y la multiplicación por un escalar. Al final, daremos un
glosario de matrices.
Estas diapositivas estan basadas en las Secciones 1.3 de las Notas
de Álgebra II de Agustín Garcia y Alejandro Tiraboschi. Allí se
pueden encontrar más detalles y el sustento teórico de todas
nuestras afirmaciones.
Objetivos Suma Multiplicación Glosario
1 Objetivos
2 Suma
3 Multiplicación
4 Glosario
Objetivos Suma Multiplicación Glosario
Definición
Sean A, B ∈ Rm×n matrices del mismos orden.
La suma A + B es la matriz que resulta de sumar “coordenada a
coordena” las matrices A y B. En símbolos,
A + B ∈ Rm×n con [A + B]ij = [A]ij + [B]ij .
Ejemplo
Si A =
(
1 2 3
4 5 6
)
y B =
(
10 20 30
40 50 60
)
entonces
A + B =
(
11 22 33
44 55 66
)
En este caso: [A + B]12 = [A]12 + [B]12 = 2 + 20 = 22.
Objetivos Suma Multiplicación Glosario
Podemos visualizar la suma de matrices así:
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
... . . .
...
am1 am2 · · · amn

+

b11 b12 · · · b1n
b21 b22 · · · b2n
...
... . . .
...
bm1 bm2 · · · bmn

=

a11 + b11 a12 + b12 · · · a1n + b1n
a21 + b21 a22 + b22 · · · a2n + b2n
...
... . . .
...
am1 + bm1 am2 + bm2 · · · amn + bmn

Objetivos Suma Multiplicación Glosario
Propiedades
La suma de matrices satsiface las mismas propiedades que la suma
de números reales.
Proposición
Si A, B, C son matrices m× n, entonces
A + B = B + A (conmutativa)
A + (B + C) = (A + B) + C (asociativa)
A + 0 = A (elemento neutro)
A + (−A) = 0 (opuesto)
donde 0 =
 0 · · · 0... . . . ...
0 · · · 0
 y −A =
 −a11 · · · −a1n... . . . ...
−am1 · · · −amn

Objetivos Suma Multiplicación Glosario
Demostración
Resumidamente, estas propiedades valen porque valen en R y
estamos sumando coordenada a coordenada números reales.
Veamos a continuación la demostración explicitamente.
Empecemos por ver que las matrices A + B y B + A son iguales.
O sea, que cada una de sus coordenadas son iguales. Esto es cierto
por lo siguiente:
[A + B]ij = [A]ij + [B]ij = [B]ij + [A]ij = [B + A]ij
Objetivos Suma Multiplicación Glosario
Demostración
Comprovemos ahora la asociatividad.
Queremos ver que las matrices A + (B + C) y (A + B) + C son
iguales. O sea, que cada una de sus coordenadas son iguales. Esto
es cierto por lo siguiente:
[A + (B + C)]ij = [A]ij + [B + C]ij = [A]ij +
(
[B]ij + [C]ij
)
=
(
[A]ij + [B]ij
)
+ [C]ij = [A + B]ij + [C]ij = [(A + B) + C]ij
Objetivos Suma Multiplicación Glosario
Demostración
Ahora verificamos la propiedade del neutro
A + 0 =
 a11 · · · a1n... . . . ...
am1 · · · amn
+
 0 · · · 0... . . . ...
0 · · · 0

=
 a11 + 0 · · · a1n + 0... . . . ...
am1 + 0 · · · amn + 0
 =
 a11 · · · a1n... . . . ...
am1 · · · amn
 = A
Objetivos Suma Multiplicación Glosario
Por último verificamos la propiedad del opuesto
A + (−A) =
 a11 · · · a1n... . . . ...
am1 · · · amn
+
 −a11 · · · −a1n... . . . ...
−am1 · · · −amn

=
 a11 − a11 · · · a1n − a1n... . . . ...
am1 − am1 · · · amn − amn

=
 0 · · · 0... . . . ...
0 · · · 0
 = 0
Objetivos Suma Multiplicación Glosario
1 Objetivos
2 Suma
3 Multiplicación
4 Glosario
Objetivos Suma Multiplicación Glosario
Definición
Sean A ∈ Rm×n y B ∈ Rn×p.
El producto A ·B es una matriz de orden m× p cuyas entradas
son definidas por la siguiente fórmula
[A ·B]ij =
n∑
k=1
[A]ik · [B]kj .
Podemos visualizar la multiplicación así:

...
...
...
ai1 ai2 · · · ain
...
...
...
 ·

· · · b1j · · ·
· · · b2j · · ·
...
· · · bnj · · ·
 =

...
· · ·
∑n
k=1 aik · bkj · · ·
...

Objetivos Suma Multiplicación Glosario
Ejemplo
Si A =
(
1 2 3
4 5 6
)
y B =
 1 23 4
5 6
 entonces
A·B =
(
1 · 1 + 2 · 3 + 3 · 5 1 · 2 + 2 · 4 + 3 · 6
4 · 1 + 5 · 3 + 6 · 5 4 · 2 + 5 · 4 + 6 · 6
)
=
(
22 28
49 64
)
En este caso:
[A ·B]12 =
n∑
k=1
[A]1k · [B]k2
= [A]11 · [B]12 + [A]12 · [B]22 + [A]13 · [B]32
= 1 · 2 + 2 · 4 + 3 · 6
= 28
Objetivos Suma Multiplicación Glosario
Observación 1.3.1
En el caso particular que A sea un vector fila y B un vector
columna obtenemos un número real:
(
ai1 ai2 · · · ain
)
·

b1j
b2j
...
bnj
 =
n∑
k=1
aik · bkj
Objetivos Suma Multiplicación Glosario
La multiplicación de matrices satisface algunas de las propiedades
que satisface la multiplicación de números reales.
Otras no.
Y pueden pasar cosas raras, distintas a las que estamos
acostumbradxs cuando multiplicamos números reales.
Objetivos Suma Multiplicación Glosario
Las propiedades similares son:
Proposición
Si A ∈ Rm×n, B ∈ Rn×p y C ∈ Rp×q entonces
A · (B · C) = (A ·B) · C (asociativa)
A · Idn = Idm ·A = A (elemento neutro)
donde Idk =
 1 · · · 0... . . . ...
0 · · · 1
 ∈ Rk×k
Proposición
Si A ∈ Rm×n y B, C ∈ Rn×p entonces A · (B + C) = A ·B + A ·C
Si A, B ∈ Rm×n y C ∈ Rn×p entonces (A + B) ·C = A ·C + B ·C
(distributiva)
Objetivos Suma Multiplicación Glosario
Demostración
Vamos a demostrar la primera proposición. La segunda es un
ejercicio del práctico. Ambas se demuestran de la misma manera
que la proposición referida a la suma.
Objetivos Suma Multiplicación Glosario
Para probar ver la asociatividad tenemos que verificar que todas las
entradas de A · (B · C) y (A ·B) · C son iguales.
[A · (B · C)]ij =
n∑
k=1
[A]ik · [B · C]kj =
n∑
k=1
[A]ik ·
( p∑
l=1
[B]kl · [C]lj
)
=
n∑
k=1
p∑
l=1
[A]ik · [B]kl · [C]lj =
p∑
l=1
n∑
k=1
[A]ik · [B]kl · [C]lj =
=
p∑
l=1
( n∑
k=1
[A]ik · [B]kl
)
· [C]lj =
n∑
l=1
[A ·B]il · [C]lj = [(A ·B) · C]ij
Objetivos Suma Multiplicación Glosario
Demostración
Veamos ahora la propiedad del elemento neutro. Notemos que las
entradas de la matriz Idk son determinadas de la siguiente manera
[Idk]ij =
{
1 si i = j
0 si i 6= j
porque son todas ceros salvo en la diagonal (donde el número de
fila y columna coinciden). Entonces
[A · Idn]ij =
n∑
k=1
[A]ik · [Idn]kj = [A]ij · 1 = [A]ij
[Idm ·A]ij =
m∑
k=1
[Idn]ik · [A]kj = 1 · [A]ij = [A]ij
Objetivos Suma Multiplicación Glosario
Cosas raras
Veamos ahora algunas propiedades que no valen cuando
multiplicamos matrices. Es decir, daremos contraejemplos.
No es conmutativa
(
1 2
3 4
)
·
(
5 6
7 8
)
6=
(
5 6
7 8
)
·
(
1 2
3 4
)
Multiplicar por algo no nulo puede dar cero
(
1 1
1 1
)
·
(
−1 −1
1 1
)
=
(
0 0
0 0
)
Elevar al cuadrado u otra potencia puede dar cero
Buscar ejemplos es un ejerciciod del práctico.
Objetivos Suma Multiplicación Glosario
Casos particulares
Multiplicar por la matriz nula
0 ·A = A · 0 = 0 para toda matriz A.
[0 ·A]ij =
∑
k
[0]ik · [A]kj =
∑
k
0 · [A]kj = 0
[A · 0]ij =
∑
k
[A]ik · [0]kj =
∑
k
[A]ik · 0 = 0
Objetivos Suma Multiplicación Glosario
Casos particulares
Multiplicar por una diagonal por la izquierda (Observación 1.3.1)
Sea D =

d1 0 · · · 0
0 d2 · · · 0
· · · · · · . . .
...
0 0 · · · dm
 y A = (aij) ∈ Rm×n entonces
[DA]ij =
m∑
k=1
[D]ik · [A]kj = [D]ii[A]ij = diaij
y por lo tanto DA = (diaij) ∈ Rm×n,
⇒ DA =

d1a11 d1a12 · · · d1a1n
d2a21 d2a22 · · · d2a2n
· · · · · · . . .
...
dmam1 dmam2 · · · dmamn

Objetivos Suma Multiplicación Glosario
Casos particulares
Tarea
Verificar la igualdad anterior para D =
(
2 0
0 3
)
y
A =
(
1 2 3
4 5 6
)
En palabras, multiplicar a izquierda por una diagonal es multiplicar
cada fila por el elemento correspondiente de la diagonal. Algosimilar pasa cuando multiplicamos a derecha como lo verificaran en
la práctica.
Objetivos Suma Multiplicación Glosario
Multiplicación de una matriz por un escalar
Sea A ∈ Rm×n y c ∈ R. La matriz cA es la matriz que se obtiene
multiplicando todas las entradas de A por c. En símbolos,
cA ∈ Rm×n con [cA]ij = c[A]ij
En la Sección 1.3.4 pueden ver algunas propiedades de esta operación
Ejemplo
Si A =
(
1 2 3
4 5 6
)
y c = 10 entonces
10A =
(
10 20 30
40 50 60
)
En este caso: [cA]12 = 10[A]12 = 20.
Objetivos Suma Multiplicación Glosario
Observación
Hemos visto que las operaciones de suma, multiplicación y
multiplicación por escalar en el conjunto de matrices de orden
n× n satisfacen ciertas propiedades.
En matemática, los conjuntos con este tipo de operaciones se los
llama álgebras.
Es por eso que esta sección se llama Álgebra de Matrices.
Objetivos Suma Multiplicación Glosario
1 Objetivos
2 Suma
3 Multiplicación
4 Glosario
Objetivos Suma Multiplicación Glosario
Matriz cuadrada
Una matriz A ∈ Rn×n se dice cuadrada de orden n porque tiene
igual cantidad de filas que de columnas.
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
... . . .
...
an1 an2 · · · ann

Los elementos de la diagonal principal son aii con 1 ≤ i ≤ n
Objetivos Suma Multiplicación Glosario
Matriz diagonal
Una matriz cuadrada D de orden n se dice diagonal si todas las
entradas fuera de la diagonal son nulas.
D =

d1 0 · · · 0
0 d2 0 · · · 0
... 0 . . .
...
...
. . . 0
0 0 · · · 0 dn

Las entradas de D se pueden describir como sigue
[D]ij =
{
di si i = j
0 si i 6= j
Objetivos Suma Multiplicación Glosario
Matriz identidad
La matriz diagonal de orden n con todos unos en la diagonal se
llama matriz identidad de orden n y se denota Idn.
Idn =

1 0 · · · 0
0 1 · · · 0
...
... . . .
...
0 0 · · · 1

Las entradas de Idn se pueden describir como sigue
[Idn]ij =
{
1 si i = j
0 si i 6= j
A veces escribiremos simplemente Id, omitiendo el subíndice n.
Objetivos Suma Multiplicación Glosario
Matriz nula
La matriz nula de orden m× n es la matriz cuyas entradas son
todas ceros. Se la denota 0.
0 =

0 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
... . . .
...
0 0 · · · 0

Las entradas de 0 se pueden describir como sigue
[0]ij = 0 ∀i, j
Objetivos Suma Multiplicación Glosario
Matriz triangular superior
Una matriz cuadrada cuyas entradas por debajo de la diagonal
principal son cero se llama matriz triangular superior.
A =

a11 a12 · · · a1n
0 a22 · · · a2n
... 0 . . .
...
...
. . . ...
0 0 · · · 0 ann

En fórmula, A es triangular superior si aij = 0 para todo i < j.
Objetivos Suma Multiplicación Glosario
Matriz triangular inferior
Una matriz cuadrada cuyas entradas por encima de la diagonal
principal son cero se llama matriz triangular inferior.
A =

a11 0 · · · 0
a21 a22 0 · · · 0
...
... . . .
...
. . . 0
an1 an2 · · · · · · ann

En fórmula, A es triangular inferior si aij = 0 para todo i > j.
Objetivos Suma Multiplicación Glosario
Vector columna
Un vector columna es una matriz formada por una sóla columna.
v =

v1
v2
...
vm
 ∈ Rm
El conjunto de vectores columna es denotado Rm en vez de Rm×1.
Usamos un sólo subíndice para identificar las coordenadas de un
vector columna.
Objetivos Suma Multiplicación Glosario
Vector fila
Un vector fila es una matriz formada por una sóla fila.
v =
(
v1, v2, · · · vn
)
∈ Rn
El conjunto de vectores fila es denotado Rn en vez de R1×n.
Usamos un sólo subíndice para identificar las coordenadas de un
vector fila.
Si es necesario usamos comas para separar las coordenadas.
	Objetivos
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	Suma
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	Multiplicación
	Multiplicación
	Glosario
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