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Objetivos Suma Multiplicación Glosario Álgebra de Matrices 1: multiplicación y suma. Álgebra II - 2020 - 1er cuatrimestre Objetivos Suma Multiplicación Glosario 1 Objetivos 2 Suma 3 Multiplicación 4 Glosario Objetivos Suma Multiplicación Glosario Los objetivos de esta unidad son: Aprender a operar con matrices (sumar, multiplicar, cálcular inversas). Familiarizarse con la notación de subíndices para las entradas de matrices. Usar matrices para la resolución de sistemas de ecuaciones. En este primer archivo definiremos la suma y multiplicación de matrices, y la multiplicación por un escalar. Al final, daremos un glosario de matrices. Estas diapositivas estan basadas en las Secciones 1.3 de las Notas de Álgebra II de Agustín Garcia y Alejandro Tiraboschi. Allí se pueden encontrar más detalles y el sustento teórico de todas nuestras afirmaciones. Objetivos Suma Multiplicación Glosario 1 Objetivos 2 Suma 3 Multiplicación 4 Glosario Objetivos Suma Multiplicación Glosario Definición Sean A, B ∈ Rm×n matrices del mismos orden. La suma A + B es la matriz que resulta de sumar “coordenada a coordena” las matrices A y B. En símbolos, A + B ∈ Rm×n con [A + B]ij = [A]ij + [B]ij . Ejemplo Si A = ( 1 2 3 4 5 6 ) y B = ( 10 20 30 40 50 60 ) entonces A + B = ( 11 22 33 44 55 66 ) En este caso: [A + B]12 = [A]12 + [B]12 = 2 + 20 = 22. Objetivos Suma Multiplicación Glosario Podemos visualizar la suma de matrices así: a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... . . . ... am1 am2 · · · amn + b11 b12 · · · b1n b21 b22 · · · b2n ... ... . . . ... bm1 bm2 · · · bmn = a11 + b11 a12 + b12 · · · a1n + b1n a21 + b21 a22 + b22 · · · a2n + b2n ... ... . . . ... am1 + bm1 am2 + bm2 · · · amn + bmn Objetivos Suma Multiplicación Glosario Propiedades La suma de matrices satsiface las mismas propiedades que la suma de números reales. Proposición Si A, B, C son matrices m× n, entonces A + B = B + A (conmutativa) A + (B + C) = (A + B) + C (asociativa) A + 0 = A (elemento neutro) A + (−A) = 0 (opuesto) donde 0 = 0 · · · 0... . . . ... 0 · · · 0 y −A = −a11 · · · −a1n... . . . ... −am1 · · · −amn Objetivos Suma Multiplicación Glosario Demostración Resumidamente, estas propiedades valen porque valen en R y estamos sumando coordenada a coordenada números reales. Veamos a continuación la demostración explicitamente. Empecemos por ver que las matrices A + B y B + A son iguales. O sea, que cada una de sus coordenadas son iguales. Esto es cierto por lo siguiente: [A + B]ij = [A]ij + [B]ij = [B]ij + [A]ij = [B + A]ij Objetivos Suma Multiplicación Glosario Demostración Comprovemos ahora la asociatividad. Queremos ver que las matrices A + (B + C) y (A + B) + C son iguales. O sea, que cada una de sus coordenadas son iguales. Esto es cierto por lo siguiente: [A + (B + C)]ij = [A]ij + [B + C]ij = [A]ij + ( [B]ij + [C]ij ) = ( [A]ij + [B]ij ) + [C]ij = [A + B]ij + [C]ij = [(A + B) + C]ij Objetivos Suma Multiplicación Glosario Demostración Ahora verificamos la propiedade del neutro A + 0 = a11 · · · a1n... . . . ... am1 · · · amn + 0 · · · 0... . . . ... 0 · · · 0 = a11 + 0 · · · a1n + 0... . . . ... am1 + 0 · · · amn + 0 = a11 · · · a1n... . . . ... am1 · · · amn = A Objetivos Suma Multiplicación Glosario Por último verificamos la propiedad del opuesto A + (−A) = a11 · · · a1n... . . . ... am1 · · · amn + −a11 · · · −a1n... . . . ... −am1 · · · −amn = a11 − a11 · · · a1n − a1n... . . . ... am1 − am1 · · · amn − amn = 0 · · · 0... . . . ... 0 · · · 0 = 0 Objetivos Suma Multiplicación Glosario 1 Objetivos 2 Suma 3 Multiplicación 4 Glosario Objetivos Suma Multiplicación Glosario Definición Sean A ∈ Rm×n y B ∈ Rn×p. El producto A ·B es una matriz de orden m× p cuyas entradas son definidas por la siguiente fórmula [A ·B]ij = n∑ k=1 [A]ik · [B]kj . Podemos visualizar la multiplicación así: ... ... ... ai1 ai2 · · · ain ... ... ... · · · · b1j · · · · · · b2j · · · ... · · · bnj · · · = ... · · · ∑n k=1 aik · bkj · · · ... Objetivos Suma Multiplicación Glosario Ejemplo Si A = ( 1 2 3 4 5 6 ) y B = 1 23 4 5 6 entonces A·B = ( 1 · 1 + 2 · 3 + 3 · 5 1 · 2 + 2 · 4 + 3 · 6 4 · 1 + 5 · 3 + 6 · 5 4 · 2 + 5 · 4 + 6 · 6 ) = ( 22 28 49 64 ) En este caso: [A ·B]12 = n∑ k=1 [A]1k · [B]k2 = [A]11 · [B]12 + [A]12 · [B]22 + [A]13 · [B]32 = 1 · 2 + 2 · 4 + 3 · 6 = 28 Objetivos Suma Multiplicación Glosario Observación 1.3.1 En el caso particular que A sea un vector fila y B un vector columna obtenemos un número real: ( ai1 ai2 · · · ain ) · b1j b2j ... bnj = n∑ k=1 aik · bkj Objetivos Suma Multiplicación Glosario La multiplicación de matrices satisface algunas de las propiedades que satisface la multiplicación de números reales. Otras no. Y pueden pasar cosas raras, distintas a las que estamos acostumbradxs cuando multiplicamos números reales. Objetivos Suma Multiplicación Glosario Las propiedades similares son: Proposición Si A ∈ Rm×n, B ∈ Rn×p y C ∈ Rp×q entonces A · (B · C) = (A ·B) · C (asociativa) A · Idn = Idm ·A = A (elemento neutro) donde Idk = 1 · · · 0... . . . ... 0 · · · 1 ∈ Rk×k Proposición Si A ∈ Rm×n y B, C ∈ Rn×p entonces A · (B + C) = A ·B + A ·C Si A, B ∈ Rm×n y C ∈ Rn×p entonces (A + B) ·C = A ·C + B ·C (distributiva) Objetivos Suma Multiplicación Glosario Demostración Vamos a demostrar la primera proposición. La segunda es un ejercicio del práctico. Ambas se demuestran de la misma manera que la proposición referida a la suma. Objetivos Suma Multiplicación Glosario Para probar ver la asociatividad tenemos que verificar que todas las entradas de A · (B · C) y (A ·B) · C son iguales. [A · (B · C)]ij = n∑ k=1 [A]ik · [B · C]kj = n∑ k=1 [A]ik · ( p∑ l=1 [B]kl · [C]lj ) = n∑ k=1 p∑ l=1 [A]ik · [B]kl · [C]lj = p∑ l=1 n∑ k=1 [A]ik · [B]kl · [C]lj = = p∑ l=1 ( n∑ k=1 [A]ik · [B]kl ) · [C]lj = n∑ l=1 [A ·B]il · [C]lj = [(A ·B) · C]ij Objetivos Suma Multiplicación Glosario Demostración Veamos ahora la propiedad del elemento neutro. Notemos que las entradas de la matriz Idk son determinadas de la siguiente manera [Idk]ij = { 1 si i = j 0 si i 6= j porque son todas ceros salvo en la diagonal (donde el número de fila y columna coinciden). Entonces [A · Idn]ij = n∑ k=1 [A]ik · [Idn]kj = [A]ij · 1 = [A]ij [Idm ·A]ij = m∑ k=1 [Idn]ik · [A]kj = 1 · [A]ij = [A]ij Objetivos Suma Multiplicación Glosario Cosas raras Veamos ahora algunas propiedades que no valen cuando multiplicamos matrices. Es decir, daremos contraejemplos. No es conmutativa ( 1 2 3 4 ) · ( 5 6 7 8 ) 6= ( 5 6 7 8 ) · ( 1 2 3 4 ) Multiplicar por algo no nulo puede dar cero ( 1 1 1 1 ) · ( −1 −1 1 1 ) = ( 0 0 0 0 ) Elevar al cuadrado u otra potencia puede dar cero Buscar ejemplos es un ejerciciod del práctico. Objetivos Suma Multiplicación Glosario Casos particulares Multiplicar por la matriz nula 0 ·A = A · 0 = 0 para toda matriz A. [0 ·A]ij = ∑ k [0]ik · [A]kj = ∑ k 0 · [A]kj = 0 [A · 0]ij = ∑ k [A]ik · [0]kj = ∑ k [A]ik · 0 = 0 Objetivos Suma Multiplicación Glosario Casos particulares Multiplicar por una diagonal por la izquierda (Observación 1.3.1) Sea D = d1 0 · · · 0 0 d2 · · · 0 · · · · · · . . . ... 0 0 · · · dm y A = (aij) ∈ Rm×n entonces [DA]ij = m∑ k=1 [D]ik · [A]kj = [D]ii[A]ij = diaij y por lo tanto DA = (diaij) ∈ Rm×n, ⇒ DA = d1a11 d1a12 · · · d1a1n d2a21 d2a22 · · · d2a2n · · · · · · . . . ... dmam1 dmam2 · · · dmamn Objetivos Suma Multiplicación Glosario Casos particulares Tarea Verificar la igualdad anterior para D = ( 2 0 0 3 ) y A = ( 1 2 3 4 5 6 ) En palabras, multiplicar a izquierda por una diagonal es multiplicar cada fila por el elemento correspondiente de la diagonal. Algosimilar pasa cuando multiplicamos a derecha como lo verificaran en la práctica. Objetivos Suma Multiplicación Glosario Multiplicación de una matriz por un escalar Sea A ∈ Rm×n y c ∈ R. La matriz cA es la matriz que se obtiene multiplicando todas las entradas de A por c. En símbolos, cA ∈ Rm×n con [cA]ij = c[A]ij En la Sección 1.3.4 pueden ver algunas propiedades de esta operación Ejemplo Si A = ( 1 2 3 4 5 6 ) y c = 10 entonces 10A = ( 10 20 30 40 50 60 ) En este caso: [cA]12 = 10[A]12 = 20. Objetivos Suma Multiplicación Glosario Observación Hemos visto que las operaciones de suma, multiplicación y multiplicación por escalar en el conjunto de matrices de orden n× n satisfacen ciertas propiedades. En matemática, los conjuntos con este tipo de operaciones se los llama álgebras. Es por eso que esta sección se llama Álgebra de Matrices. Objetivos Suma Multiplicación Glosario 1 Objetivos 2 Suma 3 Multiplicación 4 Glosario Objetivos Suma Multiplicación Glosario Matriz cuadrada Una matriz A ∈ Rn×n se dice cuadrada de orden n porque tiene igual cantidad de filas que de columnas. A = a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... . . . ... an1 an2 · · · ann Los elementos de la diagonal principal son aii con 1 ≤ i ≤ n Objetivos Suma Multiplicación Glosario Matriz diagonal Una matriz cuadrada D de orden n se dice diagonal si todas las entradas fuera de la diagonal son nulas. D = d1 0 · · · 0 0 d2 0 · · · 0 ... 0 . . . ... ... . . . 0 0 0 · · · 0 dn Las entradas de D se pueden describir como sigue [D]ij = { di si i = j 0 si i 6= j Objetivos Suma Multiplicación Glosario Matriz identidad La matriz diagonal de orden n con todos unos en la diagonal se llama matriz identidad de orden n y se denota Idn. Idn = 1 0 · · · 0 0 1 · · · 0 ... ... . . . ... 0 0 · · · 1 Las entradas de Idn se pueden describir como sigue [Idn]ij = { 1 si i = j 0 si i 6= j A veces escribiremos simplemente Id, omitiendo el subíndice n. Objetivos Suma Multiplicación Glosario Matriz nula La matriz nula de orden m× n es la matriz cuyas entradas son todas ceros. Se la denota 0. 0 = 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 ... ... . . . ... 0 0 · · · 0 Las entradas de 0 se pueden describir como sigue [0]ij = 0 ∀i, j Objetivos Suma Multiplicación Glosario Matriz triangular superior Una matriz cuadrada cuyas entradas por debajo de la diagonal principal son cero se llama matriz triangular superior. A = a11 a12 · · · a1n 0 a22 · · · a2n ... 0 . . . ... ... . . . ... 0 0 · · · 0 ann En fórmula, A es triangular superior si aij = 0 para todo i < j. Objetivos Suma Multiplicación Glosario Matriz triangular inferior Una matriz cuadrada cuyas entradas por encima de la diagonal principal son cero se llama matriz triangular inferior. A = a11 0 · · · 0 a21 a22 0 · · · 0 ... ... . . . ... . . . 0 an1 an2 · · · · · · ann En fórmula, A es triangular inferior si aij = 0 para todo i > j. Objetivos Suma Multiplicación Glosario Vector columna Un vector columna es una matriz formada por una sóla columna. v = v1 v2 ... vm ∈ Rm El conjunto de vectores columna es denotado Rm en vez de Rm×1. Usamos un sólo subíndice para identificar las coordenadas de un vector columna. Objetivos Suma Multiplicación Glosario Vector fila Un vector fila es una matriz formada por una sóla fila. v = ( v1, v2, · · · vn ) ∈ Rn El conjunto de vectores fila es denotado Rn en vez de R1×n. Usamos un sólo subíndice para identificar las coordenadas de un vector fila. Si es necesario usamos comas para separar las coordenadas. Objetivos Objetivos Suma Suma Multiplicación Multiplicación Glosario Glosario
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