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Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
Álgebra de Matrices 2:
inversibles y elementales.
Álgebra II - 2020 - 1er cuatrimestre
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
1 Objetivos
2 Matrices inversibles
definición
motivación
como calcular la inversa
3 Matrices elementales
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
En este archivo definiremos las matrices inversibles, explicaremos
como calcularlas y su relación con los sistemas de ecuaciones.
También definiremos las matrices elementales.
Estas diapositivas estan basadas en las Secciones 1.4 y 1.5 de las
Notas de Álgebra II de Agustín Garcia y Alejandro Tiraboschi. Allí
se pueden encontrar más detalles y el sustento teórico de todas
nuestras afirmaciones.
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
1 Objetivos
2 Matrices inversibles
definición
motivación
como calcular la inversa
3 Matrices elementales
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
Definición (1.5.1 y 1.5.2)
Una matriz A ∈ Rn×n es inversible si existe A−1 ∈ Rn×n tal que
A ·A−1 = A−1 ·A = Idn
Se dice que A−1 es la inversa de A
Ejemplo
Idn es inversible con (Idn)−1 = Idn pues Idn · Idn = Idn
Observación
La matriz Idn es como el 1 de los números reales.
La matriz A−1 es como el inverso de un ńumero real.
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
Definición (1.5.1 y 1.5.2)
Una matriz A ∈ Rn×n es inversible si existe A−1 ∈ Rn×n tal que
A ·A−1 = A−1 ·A = Idn
Se dice que A−1 es la inversa de A
Ejemplo (?)
A =
(
2 −1
1 3
)
y A−1 =
( 3
7
1
7
−17
2
7
)
pues
(
2 −1
1 3
)
·
( 3
7
1
7
−17
2
7
)
=
(
237 +
1
7 2
1
7 −
2
7
3
7 − 3
1
7
1
7 + 3
2
7
)
Tarea: verificar la multiplicación A−1 ·A
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
Definición (1.5.1 y 1.5.2)
Una matriz A ∈ Rn×n es inversible si existe A−1 ∈ Rn×n tal que
A ·A−1 = A−1 ·A = Idn
Se dice que A−1 es la inversa de A
Ejemplo
A =
(
cos θ − sen θ
sen θ cos θ
)
y A−1 =
(
cos θ sen θ
− sen θ cos θ
)
pues
(
cos θ − sen θ
sen θ cos θ
)
·
(
cos θ sen θ
− sen θ cos θ
)
=
(
cos2 θ + sen2 θ cos θ sen θ − cos θ sen θ
cos θ sen θ − cos θ sen θ cos2 θ + sen2 θ
)
Tarea: verificar la multiplicación A−1 · A
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
Definición (1.5.1 y 1.5.2)
Una matriz A ∈ Rn×n es inversible si existe A−1 ∈ Rn×n tal que
A ·A−1 = A−1 ·A = Idn
Se dice que A−1 es la inversa de A
Ejemplo
A =
 2 1 −21 1 −2
−1 0 1
 y A−1 =
 1 −1 01 0 2
1 −1 1

Tarea verificar las multiplicaciones A ·A−1 y A−1 ·A
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
Definición (1.5.1 y 1.5.2)
Una matriz A ∈ Rn×n es inversible si existe A−1 ∈ Rn×n tal que
A ·A−1 = A−1 ·A = Idn
Se dice que A−1 es la inversa de A
No toda matriz en inversible
Por ejemplo, A =
(
1 0
0 0
)
no es inversible.
En efecto, si A−1 =
(
a b
c d
)
fuera la inversa entonces
A ·A−1 =
(
1 0
0 0
)
·
(
a b
c d
)
=
(
a b
0 0
)
6=
(
1 0
0 1
)
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
1 Objetivos
2 Matrices inversibles
definición
motivación
como calcular la inversa
3 Matrices elementales
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
Observación
La notación AX = Y para sistema de ecuaciones es consistente
con la multiplicación de matrices
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
... . . .
...
am1 am2 · · · amn


x1
x2
...
xn
 =

y1
y2
...
ym


a11 x1 + a12 x2 + · · ·+ a1n xn = y1
a21 x1 + a22 x2 + · · ·+ a2n xn = y2
...
...
am1 x1 + am2 x2 + · · ·+ amn xn = ym
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
Teorema
Sea A ∈ Rn×n es inverisble e Y ∈ Rn. Entonces el sistema
AX = Y tiene una única solución que es A−1Y .
Es decir, si A−1 =

b11 b12 · · · b1n
b21 b22 · · · b2n
...
... . . .
...
bm1 bm2 · · · bmn
 entonces
la solución es

x1 = b11 y1 + a12 y2 + · · ·+ b1n yn
x2 = b21 y1 + b22 y2 + · · ·+ b2n yn
...
xn = bn1 y1 + bn2 y2 + · · ·+nn yn
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
Teorema
Sea A ∈ Rn×n es inverisble e Y ∈ Rn. Entonces el sistema
AX = Y tiene una única solución que es A−1Y .
O si la escribimos en forma de vector la solución es
x1
x2
...
xn
 =

b11 y1 + a12 y2 + · · ·+ b1n yn
b21 y1 + b22 y2 + · · ·+ b2n yn
...
bn1 y1 + bn2 y2 + · · ·+nn yn

Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
Teorema
Sea A ∈ Rn×n es inverisble e Y ∈ Rn. Entonces el sistema
AX = Y tiene una única solución que es A−1Y .
Ejemplo (?)
La solución del sistema
(
2 −1
1 3
)(
x1
x2
)
=
(
3
−2
)
es
(
x1
x2
)
=
( 3
7
1
7
−17
2
7
)(
3
−2
)
=
(
1
−1
)
.
Tarea: verificar que es solución
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
Teorema
Sea A ∈ Rn×n es inverisble e Y ∈ Rn. Entonces el sistema
AX = Y tiene una única solución que es A−1Y .
Demostración
Reemplazando X por A−1Y vemos que efectivamente es una
solución:
AX = A(A−1Y ) = (AA−1)Y = Idn Y = Y
(La unicidad la analizaremos luego)
Observación
Es como la solución de una ecuación lineal ax = y en R.
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
1 Objetivos
2 Matrices inversibles
definición
motivación
como calcular la inversa
3 Matrices elementales
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
Preguntas
Sea A ∈ Rn×n.
¿ Es A es inversible? ¿ Cuál es su inversa?
Dicho de otro modo, nos preguntamos si existe una matriz
A−1 ∈ Rn×n tal que
A ·A−1 = Id = A−1 ·A.
Consideremos la primera igualdad y razonemos como podemos
responder a las preguntas.
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
Si escribimos a A−1 resaltando sus columnas:
A−1 =
 | | |C1 C2 · · · Cn
| | |

por la forma en que multiplicamos las matrices, debe suceder que
AC1, AC2, ..., ACn tienen que ser iguales a las columnas de Id:
AC1 =

1
0
...
0
 , AC2 =

0
1
...
0
 , ..., ACn =

0
0
...
1

Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
AC1 =

1
0
...
0
 , AC2 =

0
1
...
0
 , ..., ACn =

0
0
...
1

cada una de estas igualdades es un sistema de ecuaciones donde
C1, C2, ... , Cn son las incógnitas.
Entonces podemos usar el Método de Gauss.
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
El Método de Gauss consiste en aplicarle operaciones elementales
por filas a cada una de las matrices ampliadasA
1
0
...
0
 ,
A
0
1
...
0
 , ...,
A
0
0
...
1

hasta transformar a A en una MERF.
Dado que en todas estas matrices esta A y por ende le vamos a
aplicar las mismas operaciones a todas podemos unirlas a todas en
una sola matriz ampliada más grandeA
1 0 · · · 0
0 1 · · · 0
...
... . . .
...
0 0 · · · 1

para escribir menos.
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
Recapitulando,
1 Armamos la matriz ampliada (“grande”)
(A| Id)
2 Aplicamos operaciones elementales por filas hasta obtener una
matriz de la forma
(B|Z)
donde B es MERF y Z es una matriz cuadrada n× n
Con esto la respuesta a nuestras preguntas es dada por lo siguiente.
Teorema
1 Si B = Id, entonces A es inversible y A−1 = Z.
2 Si B 6= Id, entonces A no es inversible.
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
Ejemplo
Apliquemos el teorema a nuestro ejemplo (?): A =
(
2 −1
1 3
)
(
2 −1 1 0
1 3 0 1
)
F1↔F2−→
(
1 3 0 1
2 −1 1 0
)
F2−2·F1−→
(
1 3 0 1
0 −7 1 −2
)
− 17 ·F2−→
(
1 3 0 1
0 1 −17
2
7
)
F1−3·F2−→
(
1 0 37
1
7
0 1 −17
2
7
)
Entonces A−1 =
( 3
7
1
7
−17
2
7
)
como ya lo sabíamos.
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
Ejemplo
En cambio la matriz
(
1 1
2 2
)
no es inverisble. Pues
(
1 1 1 0
2 2 0 1
)
F2−·F1−→
(
1 1 1 0
0 0 −2 1
)
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
Demostración del Teorema
Sean Z1, Z2, ... , Zn las columnas de Z.
Por el razonamiento que hicimos antes, hemos transformado cada
uno de los sistemas de ecuacionesAC1 =

1
0
...
0
 , AC2 =

0
1
...
0
 , ..., ACn =

0
0
...
1

en sistemas equivalentes
BC1 = Z1, BC2 = Z2, ..., BCn = Zn
Por lo tanto, cada uno de estos sistemas tienen las mismas
soluciones.
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
Demostraciones
Analicemos las soluciones de los sistemas
BC1 = Z1, BC2 = Z2, ..., BCn = Zn
Si B = Id, entonces cada sistema tiene una única solución las
cuales son Z1, Z2, ..., Zn.
=⇒ AZ1 =

1
0
...
0
 , AZ2 =

0
1
...
0
 , ..., AZn =

0
0
...
1

O lo que es lo mismos
AZ = Id
Para terminar de probar que A es inversible y A−1 = Z, debemos
ver que ZA = Id. Esto lo haremos en la próxima sección porque
necesitamos las matrices elementales.
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
Demostración
Probemos ahora el caso B 6= Id. Lógicamente pueden susceder dos
cosas:
(1) Algún sistema no tiene solución y por ende A no es inversible.
(2) Todos los sistemas tienen solución. En este caso observemos lo
siguiente.
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
Demostración
Observemos lo siguiente:
B tiene filas nulas (por ser cuadrada y MERF)
Las entradas de Z1, Z2, ..., Zn correspondientes a las filas
nulas de B son iguales a cero
Z =
(
Z̃
0 · · · 0
)
Z1, Z2, ..., Zn son soluciones de cada uno de los sistemas
AZ = Id
Las dos últimas valen por la manera en que caracterizamos los
sistemas que tienen solución (recordar pág 27 del archivo Sist. de
ec. lineales: Método de Gauss.)
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
Supongamos que A es inversible.
Por la tercer observación tenemos que
AZ = Id =⇒ A−1(AZ) = A−1 · Id =⇒ (A−1A)Z = A−1
=⇒ Id ·Z = A−1 =⇒ Z = A−1
Entonces, usando la segunda observación vemos que(
Ĩd
0 · · · 1
)
= Id = ZA =
(
Z̃
0 · · · 0
)
A =
(
Z̃A
0 · · · 0
)
Lo cual es un absurdo. Entonces A no es inversible si B 6= Id.
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
1 Objetivos
2 Matrices inversibles
definición
motivación
como calcular la inversa
3 Matrices elementales
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
Definición 1.4.1
Una matriz n× n se dice elemental si fue obtenida por medio de
una única operación elemental a partir de la matriz identidad Idn
Como hay tres tipos de operaciones elementales, hay tres tipos de
matrices elementales.
A continuación las explicitaremos.
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
El primer tipo de matriz elemental se obtiene tras multiplicar la fila
k de Idn por un número real c 6= 0:

1 · · · 0
... . . .
...
0 · · · 1 · · · 0
... . . .
...
0 · · · 1

cFk−→ E =

1 · · · 0
... . . .
...
0 · · · c · · · 0
... . . .
...
0 · · · 1

Es una matriz diagonal con todos 1 excepto una c en el lugar k, k.
Las entradas de E se pueden definir así
[E]ij =

1 si i = j 6= k
c si i = j = k
0 si i 6= j
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
El segundo tipo de matriz elemental se obtiene tras sumar a la fila
r de Idn la fila s multpilicada por t:

1 · · · 0
... 1
...
0 . . . 0
... 1
...
0 · · · 1

Fr+tFs−→ E =

1 · · · 0
... 1 t
...
. . .
... 1
...
0 · · · 1

Es la matriz identidad con una t en el lugar r, s.
Las entradas de E se pueden definir así
[E]ij =

1 si i = j
t si i = r y j = s
0 en el resto
Aquí r < s. Si r > s, la t aparecerá debajo de la diagonal principal.
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
El tercer tipo de matriz elemental se obtiene tras intercambiar las
filas r y s de Idn:

1 · · · 0
... 1
...
0 . . . 0
... 1
...
0 · · · 1

Fr↔Fs−→ E =

1 · · · 0
... 0 1
...
0 . . . 0
... 1 0
...
0 · · · 1

Las entradas de E se pueden definir así
[E]ij =
{
1 si r 6= i = j 6= s ó i = r, j = s ó i = s, j = r
0 en el resto
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
Teorema 1.4.1
Sea e una operación elemental por fila y E = e(Idm) la matriz
elemental que se obtiene tras aplicar e a la matriz Idm.
Sea A ∈ Rm×n. Entonces
e(A) = EA,
es decir, la matriz que se obtiene tras aplicarle e a A es igual a la
multiplicación EA.
Ejemplo (?)
E = eF1↔F2 (Id) =
(
0 1
1 0
)
eF1↔F2
(
2 −1
1 3
)
=
(
1 3
2 −1
)
=
(
0 1
1 0
)
·
(
2 −1
1 3
)
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
Demostración del Teorema 1.4.1
La prueba se divide en 3 casos, uno por cada tipo de operación
elemental.
Si e es multiplicar la fila k por un número real c 6= 0, entonces ya
vimos que e(Idm) es una matriz diagonal con todos 1 excepto una
c en el lugar k, k.
Por otro lado, en el archivo anterior (pág 23), vimos que
multiplicar por una matriz diagonal a izquierda es multiplicar cada
fila por el elemento correspondiente de la diagonal.
En este caso, multiplicamos todas las filas por 1 excepto la fila k
por c.
Como queríamos.
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
Demostración del Teorema 1.4.1
EA =

1 · · · 0
... . . .
...
0 · · · c · · · 0
... . . .
...
0 · · · 1


a11 · · · a1n
... . . .
...
ak1 · · · akj · · · akn
... . . .
...
am1 · · · amn

=

a11 · · · a1n
... . . .
...
cak1 · · · cakj · · · cakn
... . . .
...
am1 · · · amn

= e(A)
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
Demostración del Teorema 1.4.1
La prueba para las otras 2 operaciones usa las fórmulas de la
multiplicación y de las entradas de las matrices elementales.
Hay que manipular las sumas y los subíndices. No vale la pena
hacerlo ahora. Si alguien no sabe que hacer durante esta larga
cuarentena le recomiendo hacerlo :)
En las notas de Garcia-Tiraboschi esta hecha la prueba para las
matrices elementales 2× 2.
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
Ahora podemos terminar de probar:
Teorema
1 Si B = Id, entonces A es inversible y A−1 = Z.
2 Si B 6= Id, entonces A no es inversible.
Nos faltaba demostrar que ZA = Id si B = Id
Recordemos como construimos Z
(A| Id) e1−→ ( e1(A)|e1(Id) )
e2−→ · · · en−→ (Id |Z)
le aplicamos a la matriz (A| Id) varias operaciones elementales por
filas hasta transformar a A en Id
Entonces podemos usar el Teorema 1.4.1 para interpretar las
operaciones elementales como producto de matrices.
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
(A| Id) e1−→ ( e1(A)|e1(Id) )
e2−→ · · · en−→ (Id |Z)
podemos interpretar como sigue
Z = en(en−1(· · · e2(e1(Id))))
Teo 1.4.1= en(Id) · en−1(· · · e2(e1(Id)))
Teo 1.4.1= en(Id) · en−1(Id) · · · e2(Id)e1(Id) Id
Id = en(en−1(· · · e2(e1(A))))
Teo 1.4.1= en(Id) · en−1(· · · e2(e1(A)))
Teo 1.4.1= en(Id) · en−1(Id) · · · e2(Id)e1(Id)A
= ZA
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
Veamos lo anterior en nuestro ejemplo (?)(
2 −1 1 0
1 3 0 1
)
F1↔F2−→
(
1 3 0 1
2 −1 1 0
)
F2−2·F1−→
(
1 3 0 1
0 −7 1 −2
)
− 17 ·F2−→
(
1 3 0 1
0 1 −17
2
7
)
F1−3·F2−→
(
1 0 37
1
7
0 1 −17
2
7
)
Las matrices elementales correspondientes a cada una de las
operaciones son
E1 = eF1↔F2 (Id) =
(
0 1
1 0
)
E2 = eF2−2·F1 (Id) =
(
1 0
−2 1
)
E3 = e− 17 ·F2 (Id) =
(
1 0
0 −17
)
E4 = eF1−3·F2 (Id) =
(
1 −3
0 1
)
Objetivos Matrices inversibles Matrices elementales
Tarea
Verificar que valen las siguientes igualdades
E1 ·A =
(
1 3
2 −1
)
E2 · E1 ·A =
(
1 3
0 −7
)
E3 · E2 · E1 ·A =
(
1 3
0 1
)
E4 · E3 · E2 · E1 ·A = Id
E4 · E3 · E2 · E1 = A−1
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