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Algebra-2008-Practico-1

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ÁLGEBRA Y ÁLGEBRA II
PRÁCTICO 1
Cuerpos y números complejos
1. Decidir si los siguientes conjuntos con las operaciones consideradas en cada caso son o no cuerpos.
(a) Q, ⊕ = +, ¯ = · donde + y · son las operaciones usuales.
(b) R2 con las operaciones
(x1, y1)⊕ (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2), (x1, y1)¯ (x2, y2) = (x1 · x2, y1 · y2).
(c) {0, 1} con las siguientes operaciones
⊕ :
(0,0) 7→ 0
(0,1) 7→ 1
(1,0) 7→ 1
(1,1) 7→ 0
¯ :
(0,0) 7→ 0
(0,1) 7→ 0
(1,0) 7→ 0
(1,1) 7→ 1
(d) R con las operaciones dadas por
x⊕ y = x + y − b, x¯ y = (x−b)(y−b)a + b, donde a, b ∈ R, a 6= 0.
2. Expresar los siguientes números complejos en la forma a + ib. Hallar el módulo, argumento y conju-
gado de cada uno de ellos.
a) (−2 + i)(1 + 2i) b) i31 − i17− 1 c) 3i
1− 2i −
1
1 + 1i
3. Encontrar todos los números complejos z tales que
a) z2 = 1− i b) z3 = −i + 1.
Álgebra de matrices
4. Realizar los productos AB, BA, ABC, ACB y CBA, donde:
A =


1 −2 0
1 −2 1
1 −2 −1

 , B =


1 1 2
−2 0 −1
1 3 5

 , C =


1 −1 1
2 0 1
3 0 1


además verificar que, en los productos de 3 matrices, da lo mismo asociar de una u otra forma.
5. Sea A =
(
2 −1 1
1 2 1
)
, B =


3
1
−1

 y C = (1 −1). Calcular ABC y CAB.
6. Sean
A =


3 −1 2
2 1 1
1 −3 0

 , B =


1 2 1 0
−1 0 3 5
1 −2 1 1

 , C =


1 −1
2 2
3 1
−1 4


Decidir cuáles de los siguientes productos tienen sentido y calcularlos: AB, BA, ABC, AC y CA.
7. Probar que si A y B son matrices n×m y C es una matriz de m×q, entonces (A+B)C = AC +BC.
8. Probar que si A y B son matrices n× n entonces tr(AB) = tr(BA).
1
2 PRÁCTICO 1
9. Hallar ejemplos de matrices que cumplan
(a) A 6= 0 tal que A2 = 0.
(b) A 6= B y C tales que AC = BC.
(c) AB = 0 pero BA 6= 0.
10. Encontrar bajo que condiciones dos matrices n× n A,B satisfacen (A + B)(A−B) = A2 −B2. Dar
un ejemplo en que se cumpla y un ejemplo en el que no.
11. Determinar cuáles de las siguientes matrices están escalón reducidas por filas.
(a)
(
1 2 0
0 0 1
)
(b)
(
1 0 2
0 1 −3
)
(c)
(
0 1 0
0 0 1
)
(d)
(
0 1 0
0 0 0
)
(e)


1 0 0
0 0 1
0 0 1


(f)


1 0 0
0 0 0
0 0 1

 (g)


1 −3 0
0 0 1
0 0 0

 (h)


1 0 0 −2
0 1 0 1
0 0 1 4

 (i)


1 2 0 −2
0 0 1 1
0 0 0 0

 (j)


1 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1


12. (a) Dar todas las posibles matrices 2× 2 escalón reducidas por filas.
(b) Dar todas las posibles matrices 2× 3 escalón reducidas por filas.
13. (a) Encontrar la matriz reducida por filas equivalente a A, R, donde
A =


3 −1 2
2 1 2
1 3 2

 .
(b) Encontrar todos los X ∈ R(3× 1) tales que RX = 0.
(c) Verificar que para los X encontrados en el item anterior, AX = 0.
14. Para cada una de las siguientes matrices, usar operaciones elementales por fila para decidir si son
inversibles y hallar la inversa en caso de que lo sean.


3 −1 2
2 1 1
1 −3 0




i −1 2
3 i 4
0 1 −2




1 2 1 0
−2 0 3 5
1 −2 1 1
1 5 0 −2


15. Sean A1 y A2 las primeras matrices del ejercicio anterior. Para cada una de ellas hallar las matrices
elementales E1, E2, . . . , Ek tales que EkEk−1 . . . E2E1Ai = I, i = 1, 2.
16. Demostrar que una matriz que tiene una fila nula no es inversible.
17. Dar dos matrices tales que BA = Id2, donde A =
[
2 3
1 2
2 5
]
. ¿Existe una matriz C tal que AC = Id3?
Ecuaciones lineales
18. Describir paramétricamente todas las soluciones de los siguientes sistemas homogéneos de ecuaciones.
Además, en todos los casos que sea posible, dar una solución concreta no trivial del sistema.
(a)
{
x + 2y = 0
x− y = 0 (b)



2x− z = 0
x− 2y + 2z = 0
3x + 2y = 0
(c)
{
(1 + i)x + y = 0
ix + y = 0
ÁLGEBRA Y ÁLGEBRA II 3
19. Decidir si los siguientes sistemas tienen solución. En caso de tenerlas, describir paramétricamente
todas sus soluciones y dar expĺıcitamente dos de ellas.
(a)
{
x + 2y = 1
x− y = −2 (b)
{
2x + y + z = 12
1
2x +
1
4y − z = 3
(c)



2x− z = 4
x− 2y + 2z = 7
3x + 2y = 1
(d)



x + 2y + 2z + w = 1
2x + 2y + 3z − w = 1
3x + 4y + 5z = 2
20. Para cada una de las matrices escalón reducida por filas del ejercicio 8,
(a) asumir que es la matriz de un sistema homogéneo, escribir el sistema y dar las soluciones del
sistema,
(b) asumir que es la matriz ampliada de un sistema no homogéneo, escribir el sistema y dar las
soluciones del sistema.
21. Para cada uno de los siguientes sistemas, describir impĺıcitamente el conjunto de los vectores (b1, b2)
o (b1, b2, b3) para los cuales cada sistema tiene solución.
(a)
{
x + y = b1
2x + 2y = b2
(b)



x− y + 2z + w = b1
2x + 2y + z − w = b2
3x + y + 3z = b3
22. ¿Para qué valores de a el siguiente sistema tiene única o infinitas soluciones?


x− y + z = 2
ax− y + z = 2
2x− 2y + (2− a)z = 4a
23. Tres empanadas y un vaso de jugo cuestan $2.90 y cinco empanadas y dos vasos de jugo cuestan
$5.10. ¿Cuánto cuesta cada empanada y el vaso de coca?
24. Una bruja conoce una receta para una pócima de amor que lleva 1 ojo de murciélago, 2 ráıces de
mandrágora y 2 gramos de polvo de cuerno de unicornio. También tiene una receta para convertir
a gente en sapos, la cual lleva 2 ojos de murciélago, una ráız de mandrágora y 3 gramos de polvo
de cuerno de unicornio. Una tercera pócima de juventud lleva 3 ojos de murciélago, 3 ráıces de
mandrágora y 2 gramos de cuerno de unicornio. La bruja tiene 15 ojos de murciélago, 12 ráıces de
mandrágora y 21 gramos de cuerno de unicornio. La bruja tiene un pacto demońıaco por el cual
cuando se ponga a hacer las pócimas, si usa exactamente esa cantidad de ojos, ráıces, y polvo de
unicornio, una cantidad igual se le aparecerá. ¿Cuantas pócimas de cada tipo puede hacer usando
todo su material?

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