Algebra-2008-Practico-4

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ALGEBRA Y ÁLGEBRA II
PRÁCTICO 4
Independencia lineal, Bases y Dimensión
1. En cada caso, decidir si los vectores indicados son linalmente independientes (LI), y si generan R3 o
R4 (según corresponda). Cuando no, caracterizar impĺıcitamente el subespacio generado y dar una
base del mismo.
(a) (2,−2, 0), (1,−2, 1), (−1, 4,−3).
(b) (1,−2, 2), (2, 1, 3), (0, 3, 1), (1, 2, 3).
(c) (1,−1, 2), (−1, 0, 3), (0,−1, 5), (3, 2, 2).
(d) (1, 1, 2, 4), (2,−1,−5, 2), (1,−1,−4, 0), (2, 1, 1, 6).
(e) (1,−1, 2, 1), (−1, 2, 1, 2), (−1, 3,−3, 1), (2, 1, 2, 6).
2. (a) Probar que en M2×3(R) el siguiente conjunto es LI.
B =
{(
1 0 2
0 −1 −3
)
,
(
1 0 1
−2 1 0
)
,
(
1 2 3
3 2 1
)}
.
(b) Decidir cuáles de las siguientes matrices están en el espacio generado por B.(
3 1 −2
1 −1 −1
)
,
(
4 4 9
4 4 −1
)
,
(
3 −2 1
1 0 1
)
.
3. Probar que P 3 está generado por B = {1, 2 + 2x, 1− x + x2, 2− x2}. Dar un subconjunto de B que
sea base.
4. Sea V un R-espacio vectorial y sean α, β y γ vectores en V . Probar que si α, β, γ son LI , entonces
también lo son α + β, α + γ, β + γ.
5. Sea B una base de un espacio vectorial V de dimensión finita. Sea S ⊆ V tal que B ⊆ 〈S〉. Probar
que 〈S〉 = V .
6. Encontrar una base del subespacio W de R5 generado por
{(−2, 1, 1, 3, 4), (2, 2, 3, 2, 4), (4, 1, 2,−1, 0), (2, 2, 0, 1, 4), (2,−1, 1,−1,−4)}.
7. Extender el siguiente conjunto S = {(1, 0,−1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 2,−1, 4)} a una base de R4.
8. Sea W = {(x, y, z, w) ∈ R4 : y = x− z y w = x + z}.
(a) Hallar una base de W .
(b) Hallar una base que contenga al vector (2, 1, 1, 3).
9. Sea V = Cn el R-espacio vectorial de n-uplas complejas. Dar una base de V y calcular su dimensión.
¿Cuál es la dimensión de V como C-espacio vectorial?
10. Calcular la dimensión y exhibir una base de:
(a) S = {A ∈ Rn×n : A = At}.
(b) S = {A ∈ Cn×n : A = At} (considerado como R-subespacio de Cn×n).
11. Sean
S1 = {(1, 0, 1, 2), (−1, 2, 3, 8), (−1, 1, 1, 3), (0, 1, 2, 5)},
S2 = {(1, 1, 0, 1), (1,−1, 0, 3), (3, 1, 2, 4), (1, 1, 2, 0)}
y sean W1 = < S1 > y W2 = < S2 > los correspondientes subespacios generados en R4.
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2 PRÁCTICO 4
(a) Dar una base Bi de Wi que esté contenida en Si, i = 1, 2.
(b) Describir W1, W2, W1 ∩W2 y W1 + W2 en forma impĺıcita.
(c) Dar una base de W1 ∩W2 y de W1 + W2.
12. Sea V es un espacio vectorial. Decidir si la siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
(a) Sean α, v1, . . . , vn vectores de V. Si α /∈< v1, . . . , vn > entonces {α, v1, . . . , vn} es un conjunto
LI.
(b) Si W1 y W2 son subespacios de V con bases {v1, . . . , vn} y {w1, . . . , wn} respectivamente, entonces
{v1, . . . , vn, w1, . . . , wn} es una base de W1 + W2.
(c) Si W1 es un subespacio de V con base β = {v1, . . . , vn} entonces existe una base de V que
contiene a β.
(d) Si V es un C-espacio vectorial (y por lo tanto un R-espacio vectorial) entonces {v1, . . . , vn} son
LI en V como C-espacio vectorial si y sólo si lo son en V como R-espacio vectorial.