Teoria de Conjuntos e Funções

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27/12/2022

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Título: TEORÍA DE CONJUNTOS E INTRODUCCIÓN A FUNCIONES
Autores: Fernández Elina del Valle - Trevisson Valeria Luciana
Profesores de MOPE: Esteley Cristina - Gerez Cuevas José Nicolás
Carrera: Profesorado en Matemática
Fecha: 20-11-2014

<a rel="license" href="http://creativecommons.org/licenses/by-nd/2.5/ar/"><img
alt="Licencia Creative Commons" style="border-width:0"
src="https://i.creativecommons.org/l/by-nd/2.5/ar/88x31.png" /></a><br />Esta obra
está bajo una <a rel="license" href="http://creativecommons.org/licenses/by-
nd/2.5/ar/">Licencia Creative Commons Atribución-SinDerivadas 2.5 Argentina</a>.

Informe Final de M.O.P.E.

Clasificación:
97 Mathematical Education
Palabras Claves:
Conjuntos – Operaciones entre conjuntos – Función – Interpretación de gráficos -
Debate
Resumen:
El siguiente informe está elaborado en base a las prácticas educativas realizadas por
Elina Fernández y Valeria Trevisson. Las mismas fueron realizadas en tercer año A y C de una
institución de la ciudad de Córdoba. En este informe se tratan las siguientes cuestiones:
 NOCIONES BÁSICAS DE CONJUNTOS,
 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS,
 INTRODUCCIÓN A FUNCIONES A TRAVES DE LA INTERPRETACION DE GRÁFICOS
Y TABLAS.
Además se desarrolla la siguiente problemática desde una perspectiva teórica: ¿cómo
y para qué dirigir una discusión en clases de matemática en el marco de la enseñanza de teoría
de conjuntos y funciones en las condiciones del "escenario" propuesto en nuestras prácticas?

Informe Final de M.O.P.E.

El Maestro Sufí contaba siempre una parábola al finalizar cada clase,
pero los alumnos no siempre entendían el sentido de la misma...
- Maestro – lo encaró uno de ellos una tarde. Tú nos cuentas los
cuentos pero no nos explica su significado...
-Pido perdón por eso. – Se disculpó el maestro – Permíteme que en
señal de reparación te convide con un rico durazno.
- Gracias maestro.- respondió halagado el discípulo
- Quisiera, para agasajarte, pelarte tu durazno yo mismo. ¿Me
permites?
- Sí. Muchas gracias – dijo el discípulo.
- ¿Te gustaría que, ya que tengo en mi mano un cuchillo, te lo corte en
trozos para que te sea más cómodo?...
- Me encantaría... Pero no quisiera abusar de tu hospitalidad,
maestro...
- No es un abuso si yo te lo ofrezco. Solo deseo complacerte...
- Permíteme que te lo mastique antes de dártelo...
- No maestro. ¡No me gustaría que hicieras eso! Se quejó, sorprendido
el discípulo.
El maestro hizo una pausa y dijo:
- Si yo les explicara el sentido de cada cuento... sería como darles a
comer una fruta masticada

JORGE BUCAY

Informe Final de M.O.P.E.

INDICE:

Introducción 5
Diseño de la práctica e implementación en el aula 10
Problemática 57
Anexo 69
Bibliografía 138

Informe Final de M.O.P.E.

INTRODUCCIÓN:

La intensión de este informe es realizar un análisis acerca de nuestras prácticas
docentes y las observaciones realizadas previamente en los cursos corres pondientes a
tercer año, divisiones “A” y “C”.
Nuestro propósito es rescatar todos aquellos aportes que pueden ser de
utilidad para otros docentes o futuros docentes, rescatando y compartiendo nuestras
experiencias vividas y reflexiones personales.
La institución donde realizamos nuestras prácticas es una escuela bilingüe y
bicultural. Tiene la particularidad de ser una escuela paritaria, esto significa que
además de cumplir con todas las exigencias del Ministerio de Educación de la Provincia
de Córdoba, presenta una oferta formativa integral que responde a los requerimientos
de las escuelas italianas. Por lo tanto, ofrece a sus egresados un título de valor lega l
reconocido en todos los países de la Unión Europea.
La escuela dispone de una página web, donde plasma sus objetivos
institucionales: brindar al estudiante una formación cultural amplia, una sensibilidad
inter-cultural, una visión del mundo integral y articulado que se explicita a través de un
proceso creativo, atendiendo al desarrollo de una personalidad crítica y consciente,
integrada armónicamente en la realidad social. Esta meta puede ser alcanzada
solamente si el estudiante «está bien en la escuela» y si es guiado en todas las
dimensiones del propio crecimiento cognitivo, operativo y relacional.
Por lo tanto la Institución:
 Ofrece una formación bilingüe y bicultural que incorpora una perspectiva
europea dirigida a ampliar las experiencias formativas de los alumnos y a
predisponerlos hacia nuevas oportunidades;
 Tiende a promover las potencialidades individuales de cada estudiante, a
través de una instrucción polivalente, armónica y atenta a las interconexiones entre los
distintos idiomas y culturas;
 Tiene como objetivo prioritario la promoción de la lengua y de la cultura
italianas dentro de la comunidad argentina, permitiendo al mismo tiempo, a los
Informe Final de M.O.P.E.

estudiantes de origen italiano, el redescubrimiento y la recuperación de las propias
raíces lingüístico-culturales;
 Promueve el respeto recíproco, la comprensión de los propios derechos y
los de los demás, el constante interés por el estudio y la capacidad de pensar de
manera crítica y creativa.

Esta institución ofrece a sus estudiantes tres alternativas para el Ciclo
Orientado: humanidades, gestión administrativa y turismo.
La escuela cuenta con una portería al ingreso de la institución, biblioteca,
librería y fotocopiadora, una amplia sala de profesores, dos salones de usos múltiples,
cantina con comedor, cocina y dos patios (uno al aire libre y otro cubierto).
La institución cuenta con nivel inicial, primario y secundario. El horario de
ingreso del nivel secundario es a las 7:15, concluyendo la jornada escolar a las 15:55.
Dentro de los primeros 15 minutos posteriores al ingreso, los preceptores
controlan la asistencia de los alumnos en las aulas de cada curso. En cuanto al
cumplimiento con la normativa escolar sobre el uso del uniforme (unisex: pantalón
jogging azul, remera institucional, buzo o campera gris; jumper azul institucional para
las mujeres), todos los alumnos se visten acorde a los requerimientos de la institución.
En la institución está permitido que los alumnos posean celulares, pero dentro
del aula está prohibido su uso.
En todas las materias, cada docente completa el libro de temas en el cual debe
constar: el día de la semana, la fecha, el mes, el número de clase, el número de unidad,
el tema de la clase del día, las actividades que se desarrollan, la firma del docente, y
luego de un espacio correspondiente a observaciones, la firma de la autoridad que
supervisó la clase, en caso que hubiese habido alguna.
En lo referente a los materiales didácticos necesarios para desempeñar la tarea
áulica, el colegio dispone de pizarras de acrílico forrado y borradores para fibras. Cada
docente debe llevar sus propios marcadores a su clase pero la institución se encarga de
recargarlos con tinta.
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En la institución funcionael “aula móvil”: un armario con ruedas donde están
guardadas aproximadamente 20 notebook (con conexión a internet). Esto implica que
se cuenta con una disponibilidad por curso de una computadora cada dos alumnos
aproximadamente. Además, se cuenta con un cañón y parlantes. Los profesores que
quieran hacer uso de alguno de estos recursos, , tienen que pedirlo con anterioridad al
preceptor encargado, para así reservarlo.
La limpieza esta cuidadosamente lograda a través de la ubicación estratégica de
numerosos cestos y gracias a una empresa privada que se encarga de mantenerla.
Los cursos donde realizamos las prácticas docentes cuentan con 25 alumnos en
la división “A”, de los cuales 12 son varones y 13 mujeres, y 28 alumnos en la división
“C”, de los cuales 13 son varones y 15 mujeres. Estos estudiantes no presentan
problemas de inasistencia. Las clases de matemática en ambos cursos son dictadas por
la misma profesora titular.
Las clases de matemática en 3° A son los días lunes de 10:25 a 11:45, martes
de 10:25 a 11:45 y viernes de 11:05 a 11:45; y en 3°C los días lunes de 8:55 a 9:35,
miércoles de 9:00 a 10:10 y viernes de 9:35 a 10:10.
Estas aulas tienen un ambiente iluminado, limpio, ventilado, donde no se hacen
presentes ruidos molestos que provengan del exterior.
Ambos cursos son heterogéneos. Entre los diferentes alumnos podemos
encontrar variadas personalidades: tímidos, participativos, verborrágicos, etc. En
general, son alumnos que tienen una buena disciplina, son respetuosos, dan
respuestas en tiempo y forma, y tienen una buena predisposición para participar en las
distintas actividades planteadas.
La ubicación de los alumnos en el aula no es fija, aunque la mayoría mantiene
diariamente un mismo lugar en todas las asignaturas. Los bancos son simples, sin
embargo se sientas formando filas de a dos.
En el curso hay estudiantes denominados “paritarios” y otros “no paritarios”, es
decir, alumnos que recibirán los dos títulos (el argentino y el título reconocido en
todos los países de la Unión Europea) y otros que solo recibirán el titulo argentino. En
algunas asignaturas los alumnos se dividen de acuerdo a que sean “paritarios” o “no
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paritarios” y cursan clases con diferente intensidad en el abordaje de los contenidos.
Pero a todos se les ofrece una formación bilingüe y bicultural, que incorpora una
perspectiva europea. Los alumnos “paritarios”, a diferencia de los “no paritarios”,
rinden dos exámenes, uno al finalizar segundo año y otro al finalizar sexto año. Según
el desempeño en los mismos, se les otorga el titulo avalado por la Unión Europea.
En las clases de matemática, en general es posible identificar una introducción,
un desarrollo y un cierre. La profesora las organiza iniciando con una explicación de la
teoría del tema a tratar, seguido de ejercicios, para los cuales los alumnos poseen
libertad de trabajo en cuanto a la formación o no, de grupos para resolver los ejercicios
propuestos.
Los alumnos utilizan carpetas, fotocopias y luego de haber desarrollado el
primer bloque, donde trabajan con números enteros y racionales, se les permite hacer
uso de la calculadora.
En una de las clases de matemática observamos una evaluación, que fue de
integración. Esta no presentaba ni los objetivos de la docente, ni los puntajes
asignados por ítems; los enunciados eran claros y se correspondían con lo trabajado en
las clases. Estos ejercicios, teniendo en cuenta la clasificación de Ponte (2005),
poseían un alto nivel de estructura y bajo nivel de desafío.
Queremos rescatar un suceso que nos llamó poderosamente la atención y que
ilustra la relación entre la docente de matemática con sus alumnos:
Faltando 15 minutos para el recreo, como habían resuelto todos los ejercicios
que se les había propuesto al empezar la clase, la profesora les asignó la realización de
5 ejercicios adicionales. Los alumnos comenzaron a quejarse porque querían salir al
recreo; como eran cerca de las 12 del mediodía estaban un poco cansados. Ante las
quejas de los alumnos la profesora negoció y les propuso que solo realizaran 3 de las
actividades. Vale aclarar que los ejercicios eran de resolución rápida, por lo que era
posible la tarea propuesta por la docente.
Los alumnos no resolvieron los ejercicios y empezaron a dialogar entre ellos;
entonces la profesora optó, sobre la marcha, cambiar el modo de trabajo y los empezó
a interrogar, resolviéndolos así colectivamente, de manera verbal.
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Nos pareció interesante destacar este suceso como importante por el modo en
que la profesora resolvió la situación sin dejar que los alumnos salgan o estén
dispersos, ya que a esta profesora le gustaba aprovechar al máximo el tiempo del que
disponía para su clase. Además, como en la mayoría de los casos sucede, los alumnos
no se comportan de la misma manera con todos los docentes. Notamos que
mostraban actitudes diferentes dependiendo de la modalidad y estilo de conducción
del docente.
Cuando el docente y la materia se prestaban para el dialogo, los alumnos se
desconcentraban con mayor facilidad y resultaba difícil mantener una clase ordenada.
Sin embargo, pudimos notar que en este clima los alumnos tenían mayor participación,
a diferencia de cuando el docente tenía un estilo autoritario y hasta intimidante donde
los estudiantes se comportaban con un respeto absoluto, con una actitud más pasiva.
Creemos que se puede crear un clima de trabajo y aprendizaje, en el que se
intercambien ideas y se creen condiciones para aprender.
Los docentes durante el recreo se reúnen en la sala de profesores, son muy
unidos, intercambian experiencias de clases, inquietudes, consultas, y también
discuten de temas sindicales, mientras comparten café.
En general tanto, el ambiente físico como el humano, son muy gratos y
propicios a la hora de efectuar la tarea docente.

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DISEÑO DE LA PRÁCTICA E IMPLEMENTACIÓN EN EL AULA

A continuación presentamos un análisis de la planificación anual
correspondiente al año lectivo 2014 de tercer año, de la asignatura matemática. Dicha
planificación era la siguiente:

 EXPECTATIVAS DE LOGROS PARTICULARES:
o Incorporar al lenguaje y modo de argumentación habituales las distintas formas
de expresión matemática: numérica, gráfica, con el fin de comunicarse de manera
precisa y rigurosa.
o Establecer relaciones con los contenidos matemáticos y con los de otras
disciplinas.
o Analizar y utilizar, polinomios y funciones, para modelizar y resolver problemas.
o Valorar el conocimiento matemático como formador de la personalidad en los
planos cognitivo, afectivo y social.
o Valorar el pluralismo de ideas como requisito tanto para el debate matemático
como para la participación de la vida en sociedad.
o Valorar el lenguaje preciso, claro y conciso de la matemática como organizador
del pensamiento.
o Responsabilidad en el cumplimiento de las tareas y respeto por las consignas de
trabajo.

 CONTENIDOS CONCEPTUALES:

BLOQUE TEMÁTICO N° I: “NÚMEROS ENTEROS Y RACIONALES”

o Campos numéricos y recta numérica.
o Operaciones: suma, resta, multiplicación, división, potencia y radicación.
o Propiedades. Propiedades de las potencias de igual base. Operaciones
combinadas.
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o Ecuaciones de primer grado, planteoy resolución.
o Regla de tres directa e inversa. Porcentaje.
o Razones y proporciones.

BLOQUE TEMÁTICO N° II: “SEMEJANZA Y RAZONES TRIGONOMÉTRICAS”
o Teorema de Pitágoras. Propiedad de los ángulos de un triángulo.
o Funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente.
o Resolución de triángulos rectángulos.
o Teorema de Thales.
o Criterios de semejanza de triángulos.

BLOQUE TEMÁTICO N° III: “TEORÍA DE CONJUNTOS”
o Idea de conjunto Términos primitivos. Representación de un conjunto: distintas
formas. Pertenencia.
o Subconjuntos. Inclusión. Conjunto de partes y partición de un conjunto.
o Operaciones con conjuntos. Unión. Intersección. Diferencia. Complemento.
Producto cartesiano.

BLOQUE TEMÁTICO N° IV: “FUNCIONES”
o El plano cartesiano. Cuadrantes. Coordenadas de un punto.
o La función lineal. Representación gráfica de funciones empleando tablas.
o Función constante. Función creciente y decreciente.
o Ordenada al origen, pendiente y abscisa al origen.
o Puntos que pertenecen a una recta.
o Rectas paralelas y perpendiculares.
o Magnitudes directa e inversamente proporcionales. Características. Constante
de proporcionalidad. Tablas de proporcionalidad, fórmulas y gráficos. Regla de tres
simple.
o Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

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 BIBLIOGRAFÍA:

o Matemática 4, de Editorial A-Z.
o Matemática I para Polimodal, de Editorial Santillana.
o Matemática 3 de Diana de Buteler.
o Carpeta de Matemática 1 Polimodal, de editorial Aique.
o Apuntes de la cátedra y carpeta completa del alumno.

Considerando el texto “La planificación de la Enseñanza” de Gvirtz y
Palamidessi (2008), dentro de las variables de la planificación propuesta por estos
autores observamos que las metas, objetivos o expectativas de logro, figuran
explícitamente en el programa brindado por la docente.
La segunda variable a tener en cuenta es la selección de los contenidos, en ella
notamos que figuran contenidos como teoría de conjuntos, que actualmente no se
encuentra en el diseño curricular de nivel secundario de la provincia de Córdoba por
esta razón nos fue necesario tener consideración de la particularidad de esta
institución que destacábamos al inicio del informe. En esta escuela se trabaja con los
programas de Argentina e Italia en forma integrada, así que por esta razón que la
planificación correspondiente al tercer año responde a los dos diseños curriculares.
Cotejando con el Diseño Curricular del Ciclo Básico de la provincia de Córdoba,
esta propuesta correspondería a los temas y objetivos que se proponen para un tercer
año. Cabe destacar que dentro de los objetivos propuestos en esta planificación está
presente el tratamiento del tema polinomios, el cual no se halla dentro de los
contenidos conceptuales definidos para el 3º año
En cuanto a la organización de los contenidos consideramos que está dada por
disciplinas, ya que se priorizan los nexos lógicos desde el punto de vista de la docente.
Y la secuenciación del contenido responde a las relaciones conceptuales , porque
refleja las relaciones entre los conceptos siguiendo una estructura lógica.
Por ejemplo, notemos que en el bloque temático IV: “funciones”, la docente
considera un orden estructural: en primer lugar, trabajar con el plano cartesiano,
Informe Final de M.O.P.E.

cuadrantes y coordenadas de un punto; y seguido a esto, trabajar con función lineal y
sus representaciones gráficas y en tablas. Consideramos que esta secuencia de
contenidos ilustra la conexión lógica desde el punto de vista de la docente. Mientras
que, a nuestro entender, si priorizamos los nexos lógicos desde el punto de vista de los
alumnos, se debería trabajar con interpretación de gráficos y tablas de funciones antes
de pasar a función lineal.
Las tareas y actividades no están presentes en la planificación, pero podemos
aproximarnos a esta variable considerando que en el mismo documento se expresa
bajo el titulo expectativas de logro que los alumnos entran en contacto con los
contenidos a través de la modelización, resolución de problemas y relaciones de los
contenidos matemáticos con los de otras disciplinas.
Luego de las observaciones realizadas, podemos decir que en las clases de
matemática se aplicó la resolución de problemas.
En lo referente a la selección de los materiales y recursos, en la planificación no
se aclara como se les va a presentar el contenido a los alumnos. Se considera
explícitamente la bibliografía a utilizar.
Pero podemos decir, después de realizar las observaciones, que estos
materiales no son requeridos como material que los alumnos deban tener, sino como
material al que la profesora se dirige para realizar los apuntes que los alumnos utilizan
en la clase. Notamos también que la escuela cuenta con tecnologías disponibles y en la
planificación está ausente el uso de las mismas.
En esta planificación se les solicita a los alumnos una participación activa en
cuanto al cumplimiento con las tareas y respeto por las consignas de trabajo. Sin
embargo, pudimos notar que la participación que se les pide a los alumnos en la
planificación tiene sus limitaciones puesto que no abarca la posibilidad de que puedan
generar propuestas alternativas, o analizar y enriquecer el plan propuesto por la
docente.
Tampoco, en la planificación se manifiesta el modo en que va a ser organizado
el escenario ni cómo se les van a realizar las evaluaciones de los aprendizajes.

Informe Final de M.O.P.E.

Nuestra practica se correspondió con la Bloque Temático número 3 “Teoría de
conjuntos” y parte dela 4 “Funciones”.
La unidad “Teoría de conjuntos” fue desarrollada en su totalidad en nuestras
prácticas. En esta oportunidad los estudiantes no poseían conocimientos previos
acerca de conjuntos, solamente intuiciones básicas.
Los temas trabajados fueron: noción de conjuntos, conjuntos bien definidos,
elementos de un conjuntos, pertenece, no pertenece, subconjuntos, incluido, no
incluido, formas de representación, universal, y operaciones entre conjuntos: unión,
intersección, diferencia y complemento.
De la unidad “funciones” solo introdujimos el tema mediante la interpretación
y el análisis de gráficos y tablas; finalizando con una definición formal de función
recuperando nociones de conjuntos vistas en la unidad 3. Los estudiantes poseían
conocimiento del plano cartesiano, pares ordenados, ejes de ordenadas y abscisas,
cuadrantes.
Veamos a continuación las secuencias de actividades propuestas en nuestras
prácticas con comentarios de sucesos que consideramos relevantes destacar. Los
mismos estarán enfatizados en cursiva y color azul.

Guía I: Conjuntos

Actividad 1: Concluye diciendo cuales de los siguientes conjuntos están bien definidos:

 Los alumnos de tercer año de esta institución.
 Los números pares.
 Los libros interesantes de nuestra biblioteca.
 Los niños simpáticos de primer año de esta institución.
 Las vocales.
 Los múltiplos de tres.
 Los planetas del sistema solar.
 Los jugadores más talentosos.
 Las ciudades más bellas de Italia.
 Los perros labradores de Cba.

Informe Final de M.O.P.E.

Actividad 2: Considera los siguientes conjuntos y completa con  o 

El conjunto A formado por: perro, gato, caballo, vaca y pato

vaca……….A, elefante……….A, tigre……….A, caballo……….A, perro………A

El conjuntoB formado por los múltiplos de 3

3………B, 8……….B, 9……….B, 23……….B, 27……….B

El conjunto C formado por las cifras del número 102.533

2..……C, 7..……C, 0..……C, 6…..…C, 3..……C

Actividad 3: Sea A, el conjunto formado por las notas musicales. A se puede
representar:

Por extensión:

Por comprensión:

Gráficamente:

Actividad 4: Indica si los siguientes conjuntos son finitos o infinitos. En caso de que
sean finitos, indica si son vacíos o no.

F= {x| x es múltiplo de 3}
G= {x| x es un numero natural comprendido entre 7 y 8}
H= {x| x es un dinosaurio que habita la Tierra en la actualidad}
I= {x| x es un diario cordobés}
J= {x| x es un número impar}

Actividad 5: indica un universal en cada caso:

 A= {x | x es un alumno de medicina}
B= {y | y es un alumno de ingeniería}

 C= {cuaderno; lápiz; lapicera; goma}
D= {regla; libro; plasticola}
E= {tijera; hojas}

Informe Final de M.O.P.E.

El modo en que se trabajó esta primera guía de actividades fue otorgándoles
libertad en cuanto el modo de realizar la misma, dándole la posibilidad de que la
discutan con el compañero de banco o en pequeños grupos. Luego de la breve teoría
suficiente para realizar cada una de las actividades se les brindó cierto tiempo
destinado para la resolución, la corrección se realizó de manera colectiva, a forma de
debate.

Para la guía II de conjuntos: operaciones entre conjuntos, se incluyeron
actividades para realizar con “sobres de bloques lógicos”.
Cada sobre contenía 24 bloques de cartulina, estos bloques se diferenciaban
entre ellos por tres variables:
 Forma: Cuadrados, rectángulos, círculos y triángulos
 Color: rojo, azul y amarillo
 Tamaño: grandes y chicos

Además, dentro de cada sobre se disponía también de unas pequeñas cuerdas.
El modo de trabajo que se implementó fue separarlos en grupos de 4 personas.
Los estudiantes fueron evaluados en esta instancia de trabajo grupal, y para
ello utilizamos la rúbrica como herramienta (ver anexo). Según el desempeño de cada
grupo, se les otorgó un punto adicional en la evaluación correspondiente a este tema;
es decir, si un estudiante obtenía un 8 en la prueba escrita entonces la nota ascendía a
un 9.

Guía II: Operaciones entre conjuntos.

1) Actividad para realizar con los bloques lógicos: Encierre con un redondel,
formado con una cuerda, todos los bloques que sean cuadrados y solos estos. En el
interior de otro redondel coloque solo los cuadrados de tamaño más pequeño.

Informe Final de M.O.P.E.

Un error frecuente observado en los grupos al resolver esta actividad fue que
plasmaban el primer conjunto de los cuadrados, luego quitaban de este los cuadrados
pequeños para realizar el segundo conjunto.
Esta actividad nos dio lugar para introducir la noción de subconjunto. Es por
esto que se siguió con las actividades que se muestran a continuación.

2) Considerando los conjuntos N y P, completa con el símbolo  ó 
N= {n| n es un numero natural y n  10}
P= {p| p es un numero natural par y p  10}

N……….P P……….N

3) Considerando los conjuntos A , B y C, completa con el símbolo  ó 
A= {a | a es una letra de la palabra “salsicce”}
B= {b | b es una letra de la palabra “sale”}
C= {c | c es una letra de la palabra “salsa”}

A…..B B…..C C…..A
B…..A C…..B A…..C

4) El siguiente gráfico representa el conjunto A y dos subconjuntos B y C.

Completa lo que está escrito a continuación:
A= {…………………………………………….}
B= {…………………………………………….}
C= {…………………………………………….}
Complete utilizando los símbolos  y  :
B……A
C……A
C……B
Informe Final de M.O.P.E.

5) Observa la siguiente representación de los conjuntos A, B, C Y D y completa
utilizando los símbolos  y 

A…..B C…..A B…..A D…..A
B…..C C…..B B…..D C…..D

Estos ejercicios fueron de utilidad para aplicar la noción de subconjunto.

6) Actividad para realizar con los bloques lógicos: Encierre dentro de un redondel,
todas las piezas que sean círculos y sólo estos. En el interior de otro redondel, coloque
todas aquellas piezas que sean azules y sólo éstas. Reúna ahora, con una tercera
cuerda, todas las piezas que sean círculos o azules y sólo éstas.
Conteste:
a. ¿Es necesario que un bloque sea a la vez círculo y azul para estar dentro del
tercer redondel?
b. ¿Es suficiente que un bloque sea círculo para estar dentro del tercer redondel?
¿Es esto necesario?
c. ¿Es suficiente que un bloque sea azul para estar dentro del tercer redondel?
¿Es esto necesario?
d. ¿Si no es un círculo y está en el tercer redondel necesariamente es: _____
Si no es azul y está en el tercer redondel necesariamente es: __________
e. ¿Qué piezas quedan por fuera? ¿Qué propiedad tienen?

Informe Final de M.O.P.E.

Observamos varias dificultades a la hora de encarar la actividad, entre ellas
lograr la intersección de los conjuntos y diferenciar las nociones necesario de suficiente.
Análogamente a la actividad 1, esta actividad nos fue de utilidad para introducir
unión de conjuntos.

7) Si I= {a; b; c; d; e; f} y L= {a; b; e; g; h}, indique con una tilde cuál de los
siguientes conjuntos es IL
a) IL= {a; b; c; d; e; f; g; h}
b) IL= {a; b; c; d; e; f; a; b; e; g; h}
c) IL= {a; b; e }

A los alumnos les resultó sencillo reconocer que tanto el ítem a como b son
respuestas correctas. Aprovechamos este ejercicio para repasar la igualdad de
conjuntos y la redundancia de escribir los elementos en un conjunto más de una vez.

8) Si D= {10; 20; 30; 40; 50} y C= {100; 200; 300; 400}, indique con una tilde cuál de
los siguientes conjuntos es DC
a) DC= {10; 20; 100; 200}
b) DC= 
c) DC= {10; 20; 30; 40; 50; 100; 200; 300; 400}

9) Completa la siguiente frase:
“Si AB, entonces AB=………”

Debido a la incertidumbre de los alumnos, sugerimos la realización de una
representación gráfica mediante diagramas de Venn para la realización de este
ejercicio.

Informe Final de M.O.P.E.

10) Si A=B, el conjunto AB es:
a) Vacío
b) Es A o B
c) Es imposible determinarlo

11) Sea P= {p| p es una letra de la palabra “mamma”} y C= {c| c es una letra de la
palabra “serpente”}. Identifica cuál de los siguientes gráficos representan a los
conjuntos, luego, sobre el diagrama correcto, pinte PC

12) Sea P= {pan; agua; leche; vino} y C= {pasta; carne; pan; verdura}. Identifica cuál
de los siguientes gráficos representan a los conjuntos, luego sobre el diagrama
correcto pinte PC

13) Sea A= {a; b; c; d; e; f; h; i; l}, B= {a; b; c; d; e} y C= {a; e; i}. ¿Cuál de las
siguiente igualdades son ciertas y cuales son falsas?

AB=B……. AC=C…… ABC=A….
ABC= …… AB=A ….. BC=C…….
AC= ……. ABC=B …… BC=B …..

Nuevamente en la realización de esta actividad sugerimos la realización de la
representación gráfica para aquellos alumnos donde este tipo de representación les
facilita la comprensión de los conjuntos.
Informe Finalde M.O.P.E.

14) Dado T= {3; 6; 9; 12} y C= {5; 10; 15}. Representa el conjunto TC por
extensión, por comprensión y gráficamente.

15) Dado R= {r| r es un numero natural y 10r20} y O= { o| o es un numero
natural y o20}. Representa el conjunto RO por extensión, por comprensión y
gráficamente.

Debido a la necesidad de avanzar en el desarrollo de las clases, los ejercicios 14
y 15 no fueron realizados por los alumnos.

16) Actividad para realizar con los bloques lógicos: Encierre dentro de un redondel
todas las piezas que sean cuadrados y sólo estos. En el interior de otro redondel,
coloque todas aquellas piezas que sean rojos y sólo éstos.
Conteste
a. ¿Es suficiente que un bloque sea cuadrado para estar dentro de los dos
redondeles? ¿Es esto necesario?
b. ¿Es suficiente que un bloque sea rojo para estar dentro de los dos redondeles?
¿Es esto necesario?
c. ¿Es suficiente que un bloque sea cuadrado y rojo para estar en los dos
redondeles? ¿Es esto necesario?
d. Si es un círculo y está en los dos redondeles necesariamente es: ________
Si es rojo y está en los dos redondeles necesariamente es: _____________

Esta actividad nos sirvió para introducir la operación intersección de conjuntos.
Debido a que los estudiantes ya habían realizado las actividades 1 y 6 no les
resulto compleja la resolución de la misma, sin embargo para dar respuesta a las
preguntas surgieron incertidumbres nuevamente relacionadas con las condiciones
“necesario” y “suficiente”.

Informe Final de M.O.P.E.

17) Si E= {10; 100; 1000; 10000} e I= {20; 200; 2000}, indique con una tilde cuál de
los siguientes conjuntos es EI
a) EI = { 10; 20; 100; 200; 1000; 2000}
b) EI = { 20; 200; 2000}
c) EI = 

Pudimos notar en esta actividad que los estudiantes realizaban la
representación gráfica de los conjuntos sin sugerencia del docente y sin que la consigna
lo solicite.

18) Si A = {1; 2; 3; 4} Y B= {3; 4; 5} determina por extensión el conjunto AB. Dibuja
el diagrama y ubica los números.

19) Calcula la intersección entre A y B
a) A = {1; 3; 5; 4} y B= {1; 2; 3; 5}
b) A = {0; 1; 3; 2} y B= {4; 5}
c) A = {x| x es un numero natural} y B= { x| x es un numero par}
d) A= {x| x es una consonante} y B= {x| x es una vocal}

En esta ocasión algunos alumnos intentaban realizar la representación gráfica
de los conjuntos detallados en el ítem “c”; esto les generó incertidumbre debido a que
los conjuntos son infinitos. Aprovechamos esta oportunidad para comentarles a los
alumnos que dependiendo del conjunto podemos decidir la representación más
adecuada.

20) Sea M= {m| m es una letra de la palabra “mattone”} y N= { n| n es una letra de
la palabra “matto”} }. Identifica cuál de los siguientes gráficos representan a los
conjuntos, luego sobre el diagrama correcto pinte MN

Informe Final de M.O.P.E.

21) Completa la siguiente frase:
“Si AB, entonces AB=………”

22) Dados los siguientes conjuntos, determina por extensión y gráficamente
UAB
U= {1; 2; 3; 4; 5} A= {1; 2; 3; 4} B= {3; 4; 5}

23) Sombrea en cada esquema la zona que corresponde a la operación indicada.

(AB)C (AB)C
En esta actividad surgió la necesidad de realizarla en la pizarra debido a una
cantidad considerable de resoluciones incorrectas. Creemos que esto sucedió debido a
que es la primera actividad relacionada a regiones.

24) Actividad para realizar con los bloques lógicos: Encierre dentro de un redondel
todos los bloques que sean rectángulos y solo estos. Luego encierre dentro de otro
redondel aquellos bloques que sean de menor tamaño.
Conteste
a. ¿Es suficiente que un bloque rectangular sea de tamaño grande para no
pertenecer a los dos redondeles?
b. Si es un rectángulo y no pertenece a la intersección necesariamente es: _____
c. Si es un bloque pequeño y no pertenece a la intersección necesariamente es:__
Informe Final de M.O.P.E.

Esta actividad no fue realizada por una cuestión de tiempo. Por esta razón la
operación diferencia de conjuntos fue explicada mediante una representación gráfica
en la pizarra.
Luego se resolvieron las siguientes actividades de aplicación.

25) Sean A= {a; b: c; d; e} y B= {b; c; f}
a) Determina: A – B y B – A
b) Dibuja el diagrama de Venn general y ubica las letras
c) Dibuja el diagrama de Venn particular de cada operación y píntalo.

26) Sean los conjuntos C= {c| c es una sílaba de la palabra “panettone”} y D= {d| d
es una sílaba de la palabra “torrone”}. Representa por extensión y gráficamente los
conjuntos C-D y D-C

En esta actividad no consideramos el modo en que se separan las palabras en
silabas en el idioma italiano, por ejemplo si separamos en silabas la palabra panettone
nos queda pa-net-to-ne; a diferencia del español donde nos queda pa-ne-tto-ne. Esto
ocasionó dos modos de realizar el ejercicio y nosotras sugerimos la resolución en el
modo español.

27) Sean los conjuntos C= {c| c es un múltiplo de 3 y c25} D= {d| d es un múltiplo
de 4 y d25}. Representa por comprensión y gráficamente los conjuntos C-D y D-C

Informe Final de M.O.P.E.

28) Sombrea en cada esquema la zona que corresponde a la operación indicada

(AB)-C (A-B)-C

(AC)-B A(B-C)
29) Escribe la operación indicada:

Las actividades 27, 28 y 29 no fueron realizadas por los alumnos, nuevamente por falta
de tiempo
Informe Final de M.O.P.E.

30) a) Define por comprensión los siguientes conjuntos:
A= {3; 4; 5} B= {5; 6; 7} C= {1; 3; 5; 7}

b) Representa los conjuntos gráficamente, ubica los números.

c) Defina por extensión:
a. (BC)-A
b. (A-B)-C
c. (AB)-C

En esta actividad surgieron inconvenientes a la hora de realizar la
representación por comprensión ya que los alumnos no usaban de un modo fluido los
signos “<” “>”

31) Actividad para realizar con los bloques lógicos: Encierre, dentro de un redondel,
todas las piezas que sean triángulos amarillos y sólo éstas.
Conteste:
a. ¿Es necesario que un bloque sea, a la vez, no triangulo y no amarillo para estar
fuera del redondel?
b. ¿Es suficiente que un bloque sea no triangular para estar fuera del redondel?
¿Es esto necesario?
c. ¿Es suficiente que un bloque no sea amarillo para estar fuera del redondel?
¿Es esto necesario?
d. Si es un triángulo y está fuera del redondel necesariamente es:
Si es amarrillo y está fuera del redondel necesariamente es:
e. ¿Qué piezas quedan por fuera? ¿Qué propiedad tienen?

Informe Final de M.O.P.E.

Esta actividad nos fue de utilidad para introducir la operación complemento de
un conjunto. Dicho tema no fue incluido en el trabajo práctico, nuevamente por escases
de tiempo, pero les aclaramos a los alumnos que tendríamos en cuenta la realización
de las actividadescorrespondientes a la operación complemento para definir a qué
grupos se les asignaría el punto extra a favor.
En esta oportunidad la noción de complemento de un conjunto fue construida
en su totalidad por los alumnos.

32) Sabiendo que el universal U= {manzana; uva; pera; mango; melón; banana} y
A= {manzana; banana; pera}. Indique A ͨ.

33) Si U= {x| x es un numero entero} y M= {x| x es un numero entero positivo}.
Indique M ͨ

34) Si U= {1; 2; 3; 4; 5; 6}, A= {1; 2; 3} y B= {2; 3; 4; 5}. Representa los conjuntos
gráficamente e indique (AB) ͨ y (AB) ͨ

35) Colorea la región indicada:
(AB) ͨ (AB) ͨ (AB) ͨ

Informe Final de M.O.P.E.

Guía de repaso
1) Dados los siguientes conjuntos U= {1; 2; 3; 4; 5}, A= {1; 2; 3; 4} y B={3; 4; 5}.
Determina por extensión:
a) A  B
b) A  B
c) A – B
d) A ͨ
e) B ͨ

2) Colorea la zona indicada

a) AUB

b) AB

c) A-B

d) B-A

Informe Final de M.O.P.E.

3) Dados los conjuntos A= {a; f; c; r; m; p}, B= {m; p} y C= {a; f; h; x}
a) Representa los conjuntos en diagrama de Venn
b) Completa:
a) a……….B
b) f………..C
c) B……….A
d) A……….C
e) x….……C
f) m……….C

c) Defina por extensión. Además dibuja el diagrama de Venn particular de
cada operación y colorea la región indicada.

a) AC
b) AB
c) AC
d) ABC
e) (A-B)-C
f) (AC)-B

4) ¿Cuál de los siguientes esquemas me sirve para representar en cada una de las
situaciones? ¿Cuál es el más conveniente en cada caso?

1º) A= {3; 8; 9; 1} B= {3; 8}
2º) A= {x| x es una letra de la palabra “toma”}
B= {x| x es una letra de la palabra “mota”}
3º) A= {a; b; c} B= {a; e; I; o; u}
4º) A= {x| x es un numero par y x8} B= {1; 3; 5; 7}
5º) A= {a; b; c; d} B={c; d; e}
6º) A= {Diego} B= {Verónica; Diego}
Informe Final de M.O.P.E.

5) Actividad para realizar con los bloques lógicos: Sea A= {a| a es un bloque
amarrillo}, C={c| c es un bloque cuadrado} y G= {g| g es un bloque grande}

Define por comprensión:
a. ACG
b. ACG
c. (AC)G
d. (A-C)G
e. (CA) ͨ

Esta guía de repaso fue realizada antes de la actividad 31, ya que la utilizamos a
modo de repaso para el trabajo practico. Recordemos que la operación complemento
de conjuntos no ingresaba en dicho trabajo, por esta razón las actividades relacionadas
a este tema no fueron realizadas.
Los ejercicios 1, a, b y c , el ejercicio 2 y 3 fueron realizados y corregidos en la
clase de tercer año A.
En tercer año C esta guía no fue realizada en clases. Los alumnos disponían de
las soluciones de los ejercicios en fotocopiadora.
El modo de trabajo implementado en las siguientes actividades fue libre en
cuanto la posibilidad de realizarla de manera individual o en pequeños grupos. Luego
de cada actividad realizábamos una puesta en común colectiva para la corrección de
las mismas.

Informe Final de M.O.P.E.

Guía III: Funciones.

Actividad 1:
Patricio se levantó con fiebre, su hermana Sofía se encargó de tomarle la
temperatura a distintas horas del día. El siguiente grafico representa la evolución de la
misma durante ese día

a) ¿Cuáles son las magnitudes relacionadas en este problema? ¿En qué
unidad de medida están expresadas?
b) ¿Durante qué periodo de tiempo se tomaron los datos de la
temperatura?
c) ¿Entre qué valores osciló la temperatura de Patricio?
d) ¿Cuál fue la máxima temperatura y cuándo la alcanzo?, ¿cuál fue la
mínima y cuándo se alcanzó?
e) ¿Cuándo la temperatura llego a 38°?
f) ¿Cuál era la temperatura transcurridas las 14hs?

Informe Final de M.O.P.E.

El objetivo de esta actividad fue dar un primer paso a la interpretación de
gráficos.
Los alumnos respondieron a las consignas propuestas con menores dificultades
de las que esperábamos, utilizando nociones como: máximo, mínimo, magnitudes,
entre otras. Además la resolvieron en menor tiempo del que considerábamos destinarle
(40 min)

Actividad 2:
Carolina y Sabrina trabajan en la misma empresa. Carolina tiene auto y suele
pasar a buscar a Sabrina para ir juntas a trabajar.
Observen el gráfico, que muestra como varia la distancia recorrida por Carolina
desde que sale de su casa hasta que llega a la empresa, y contesten las preguntas:
a) ¿Cuánto tarda en llegar a la casa de Sabrina? Expliquen cómo se dan
cuenta en el grafico
b) ¿A qué distancia de la casa de Carolina se encuentra la de Sabrina?
c) ¿Cuánto tiempo la espera?
d) En una parte del trayecto van más rápido porque utilizan una autopista
¿Qué parte de la gráfica es la que corresponde a este tramo? Expliquen cómo se dan
cuenta en el gráfico.
e) ¿A qué distancia se encuentra la empresa de la casa de Sabrina?

Informe Final de M.O.P.E.

Debido a una dificultad en la interpretación del problema, o a una falta de
atención en la lectura, muchos estudiantes no consideraron las paradas que realizaba
Carolina, y suponían que el recorrido graficado era desde la casa de Carolina a la de
Sabrina.
Otra de las dificultades que debimos afrontar fue que algunos alumnos
consideraban de manera errónea, la gráfica como un mapa que representaba el
camino desde la casa de Carolina hasta el trabajo.
Luego de esta actividad se continuó con la siguiente presentación de teoría, que
los alumnos tenían a disposición en sus fotocopias.

Variables independientes y dependientes.

El tiempo, la distancia, la temperatura, el peso, el volumen, entre otras
magnitudes que se pueden encontrar en los diferentes problemas, tienen el nombre
de variables. Una variable es aquello que puede cambiar, que puede tomar diferentes
valores. En los ejercicios anteriores se puede notar que entre las variables existe una
relación.”
En el gráfico, la variable que se representa en el eje horizontal se llama variable
independiente, a la que usualmente o también por convención matemática llamamos
“x”. Y la que se representa en el eje vertical se llama variable dependiente, a la que
usualmente llamamos “y”. Como sus nombres los indican, “y” depende de “x”.

Informe Final de M.O.P.E.

Actividad 3:
En el Observatorio Meteorológico de la ciudad de Córdoba se midieron en
distintos momentos del día 29 de julio las siguientes temperaturas:

Hora Temperatura
0 2°
2 -1°
4 -1°
6 3°
8 8°
10 9°
12 13°
14 16°
16 15°
18 9°
20 5°
22 3°
24 1°

1) Realiza el gráfico correspondiente a los datos de la tabla
2) En función de la información presentada , responde:
a) ¿Cuál es la temperatura a las 10 hs? ¿Y a las 21 hs?
b) En un cierto momento del día la temperatura era de 9°, ¿se puedesaber a partir de la
tabla qué hora era?, ¿y si la temperatura hubiese sido de 7°
c) ¿En qué momentos del día la temperatura se mantuvo estable?
d) ¿En qué momentos del día la temperatura subió y en cuáles bajó?
e) ¿Cuál habrá sido la temperatura máxima de ese día y a qué hora?

Informe Final de M.O.P.E.

En esta oportunidad la información, a diferencia de las anteriores, está dada en
una tabla. Entre las preguntas hay algunas que no se pueden contestar de forma
exacta y los alumnos debieron realizar ciertos suposiciones.
No presentaron dificultades en la realización del gráfico solicitado ya que
intuitivamente se percataron que el fenómeno era continuo. Para graficar la situación
hicieron uso de pares ordenados.

Actividad 4:
En una fábrica se están probando tres sistemas de regulación automática de la
temperatura del agua de una ducha. En todas las duchas el agua sale inicialmente a
10º y se pretende que la temperatura del agua se estabilice en 40 º. Las personas que
prueban los tres sistemas A, B y C dan los siguientes informes

A) Funciona muy bien. En 10s alcanza la temperatura adecuada (40º) sin
altibajos y después se mantiene todo el rato igual.
B) El agua sale a 10º los 10 primeros segundos, para subir muy bruscamente
hasta alcanzar los 80º a los 15 s exactos. Desde los 15 a los 20 segundos, la
temperatura desciende sin altibajos hasta los 40º, que se mantienen constantes a
partir de los 20 segundos.
C) No hay manera de ducharse. En los 5 primeros segundos la temperatura
asciende sin altibajos hasta 40º pero no se mantiene. A partir de los 5 segundos,
siempre pasa lo mismo: se enfría hasta 20º en otros 5 segundos, vuelve a subir hasta
40º en los 5 segundos siguientes, baja hasta 20º en los 5 segundos siguientes, vuelve a
subir hasta 40º en los 5 segundos siguientes y así todo el tiempo restante.

Informe Final de M.O.P.E.

1. Exprese en este sistema de ejes coordenados en diferentes colores, el
funcionamiento de las tres duchas:

2. Si se ponen en marcha las tres duchas a la vez

a) ¿En qué instante estará el agua de las tres duchas a la misma temperatura?
b) ¿Podría ocurrir que las temperaturas de B y C sean iguales, pero distintas de
la de A? De ser así, ¿para qué valores del tiempo t?
c) ¿Podría ocurrir que las temperaturas de A y C sean iguales pero distintas de
la de B? De ser así, ¿para qué valores del tiempo t?
d) ¿Hay algún período de tiempo en el que la temperatura de C es superior a la
de A y B?
e) ¿Hay algún período de tiempo en el que la temperatura de A es superior a la
de B y a la de C? ¿Para qué valores del tiempo t?”

En esta ocasión hicimos uso del cañón para proyectar las diferentes soluciones
posibles. De esta manera analizamos las respuestas a las preguntas de manera
colectiva.
Seguido a esta actividad se continuó con la presentación de la noción de
función, que los alumnos tenían a disposición en sus fotocopias.

Informe Final de M.O.P.E.

Función.
Llamaremos dominio a los valores que toma la variable independiente e imagen
o codominio a los valores que toma la variable dependiente.
Una función es una relación entre un conjunto X (dominio) y otro conjunto Y
(codominio o imagen de X) de forma que a cada elemento “x” del dominio le
corresponde un único elemento “y” del codominio.

Diremos que y es imagen de x y lo representamos por y = f(x)
Luego de esta breve teoría analizamos algunas relaciones para fijar la noción.

Análisis de relaciones.

Esta relación no es función pues existe un elemento del dominio (el “2”) que
no le corresponde ningún elemento del conjunto imagen

Esta relación no es función ya que existe un elemento del dominio al que le
corresponde más de un elemento de la imagen

Esta relación es función, pues a cada elemento del dominio le corresponde un
único elemento de la imagen.
http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Relaciones_y_funciones.html
Informe Final de M.O.P.E.

Actividad 5:
Con una soga de 20m se quieren formar diferentes rectángulos fijando previamente el
largo del rectángulo a armar.
Completar la tabla con los anchos del rectángulo relacionados a los largos ya fijados

Largo (m) 1 0,5 3 5 7 9 10
Ancho (m)

1) La relación, ¿es función? Si piensan que sí, indiquen el dominio. Si piensan que no,
expliquen por qué.

2) ¿Cuáles de estas fórmulas relaciona el largo (L) y el ancho (A) de los rectángulos?
Expliquen cómo lo pensaron.

3) Realizar el grafico de la relación

4) ¿Qué variable utilizaron en el eje horizontal? ¿Cómo cambiaría el grafico si hubiesen
tomado otra decisión?

En esta actividad surgió la necesidad de realizar el gráfico del rectángulo para
comprender las dimensiones planteadas en la tabla. En esta instancia surgió la
problemática cuando el largo del rectángulo era de 10 cm, ¿podía ser el ancho 0?
¿Sería ese un rectángulo?
Respondimos que debido al contexto planteado la función que me relaciona el 0
con el 10 representa un segmento.
Con respecto al inciso 2, la gran mayoría opto por la ecuación 2L+2A=20, sin
notar que la ecuación L=10-A es equivalente.

Informe Final de M.O.P.E.

Actividad 6:
A) Una pileta se vacía por una boca a ritmo constante. El gráfico muestra la cantidad de
agua que queda en la pileta a medida que se realiza el proceso de vaciamiento

1) ¿Cuántos litros tenía la pileta antes de comenzar el vaciado?

2) ¿Existe algún momento en el que en la pileta haya 6000 litros? ¿Y 4000 litros?

3) ¿Cuáles son las variables relacionadas? Identifica cual es la variable dependiente y
cual la independiente.

4) Indica el dominio y la imagen

B) Una segunda pileta que está vacía se llena con una bomba que larga agua a ritmo
constante. Por olvido de quien controlaba el llenado, la cantidad de agua en la pileta
superó el nivel estipulado para su uso. Entonces, se apagó la bomba y se inició un
proceso de desagote hasta alcanzar el nivel deseado.
El gráfico que sigue muestra la cantidad de agua en la pileta a lo largo de todo el
proceso detallado.

1) ¿En qué momento la pileta tenía 10000 litros?
Informe Final de M.O.P.E.

2) ¿Cuál es el nivel deseado de llenado de la pileta?

3) ¿Hubo en algún momento 12000 litros de agua en la pileta?

4) Indique el dominio y la imagen.

En esta ocasión para indicar el dominio y la imagen de las funciones
recuperamos los modos de representación de teoría de conjuntos.

Actividad 7:
El siguiente gráfico muestra la distancia a la escuela de un transporte escolar.

Informe Final de M.O.P.E.

a) ¿Cuáles son las variables relacionadas en este problema? ¿En qué unidad de
medida están expresadas? Identifica las variables dependiente e independiente
b) ¿Cuántas paradas hizo el transporte? ¿De qué duración cada una?
c) ¿Cuál fue la parada más próxima a la escuela? ¿Y la más alejada?
d) ¿Cuánto tiempo dura el recorrido?
e) ¿A qué distanciade la escuela se encontraba luego de transcurridos 22
minutos?
f) ¿Cuánto tiempo fue el transcurrido cuando se encontraban a 500 m de la
escuela?
g) Indica en que momentos la gráfica crece, decrece y en cuales es constante
h) Indica el conjunto dominio e imagen.

Actividad 8:
Camila se fue de viaje en su auto a una ciudad balnearia situada a 400 km de su lugar
de residencia. El radar de la ruta registro la siguiente información sobre la posición del
auto:
 A los 30 minutos paso por el Mojón del km 50
 A las 2horas de viaje estaba a mitad de camino
 Por el km 250 pasó a las 2 horas y media de viaje
 Llego a destino a las 3 horas y media

a) Realizar el grafico de una función que pueda representar la posición a la que se
encuentra Camila de su ciudad de origen a lo largo del viaje.
b) ¿Cuáles son el dominio y el conjunto imagen de la función graficada?
c) Encontrar en forma exacta o aproximada el momento en que Camila paso por
el Mojón del Km 100

Informe Final de M.O.P.E.

Actividad 9:
Una empresa fabrica ropa. Observar el gráfico siguiente, que muestra el precio de confección
de una camisa desde que la empresa comenzó su actividad, y responder a las preguntas.

a) ¿Cuál fue el precio de confección de una camisa a los 12 meses?
b) ¿En qué momento el precio fue de $60?
c) ¿En qué períodos el precio de confección fue en aumento?
d) ¿Cuál fue el precio más alto que alcanzó la confección de una camisa? ¿Cuándo
lo alcanzó? ¿y cuál fue el precio más bajo?
e) Indique la variable independiente y dependiente.
f) La relación representada en la gráfica, ¿es una función? De ser así indique el
dominio y la imagen.

Actividad 10:
En un parque de diversiones los asientos de una vuelta al mundo giran alrededor de su
centro continuamente. La altura de uno de ellos desde que sube una persona hasta
que se cumple su tiempo, y se baja del juego, va cambiando.
El siguiente grafico describe la variación de la altura del asiento con respecto al suelo,
en dos vueltas completas
Informe Final de M.O.P.E.

a) ¿Cuáles son las variables relacionadas en este problema? ¿en qué unidad de
medida están expresadas? Identifique la variable independiente y la dependiente.
b) Indique dominio e imagen.
c) ¿A qué altura se encuentra el asiento en el momento en que la persona se
sienta? ¿entre qué valores varia la altura?
d) ¿Cuál es la altura máxima? ¿Cuándo se alcanza?
e) ¿Cuánto tiempo tarda en dar una vuelta completa?
f) ¿Qué altura alcanza a los 70 s?
g) ¿En qué instante alcanza una altura de 11m?

En tercer año C se alcanzó a trabajar hasta la actividad 7, luego se realizó un
repaso que consistía en analizar relaciones (representadas mediante diagramas de
Venn en la pizarra).
En cuanto a las actividades 8, 9 y 10 fueron entregadas en el material a los
alumnos pero no realizadas en clases.
En tercer año A se lograron realizar todas las actividades antes de la evaluación.

Informe Final de M.O.P.E.

Veamos a continuación el cronograma implementado en nuestras prácticas.

FECHA CONTENIDOS TRABAJADOS ACTIVIDADES DESARROLLADAS
04/08/2014 Nociones básicas de conjuntos Presentación de power point - guía I
05/08/2014 Subconjuntos
Guía II : actividad 1 - definición conceptual -
actividades de la 2 a la 5
08/08/2014 Unión de conjuntos
Guía II : actividad 6 - definición conceptual -
actividades de la 7 a la 13
11/08/2014
12/08/2014
Unión de conjuntos. Intersección
de conjuntos.
Corrección de actividades de la 7 a la 13 -
actividad 16 - definición conceptual -
actividades de la 17 a la 23.
15/08/2014 Diferencia de conjuntos.
Definición conceptual - Guía II : actividades 25,
26 y 30 - Guía de repaso.
18/08/2014
19/08/2014
19/08/2014 Complemento de un conjunto
Guía II : actividad 31 - definición conceptual -
actividades de la 32 a la 35
22/08/2014
Interpretación de gráficos de
funciones.
Guía III : actividad 1
25/08/2014
Interpretación de gráficos y
tablas de funciones. Variables
independientes y dependientes
Guía III : actividades 2 y 3
26/08/2014
Interpretación de gráficos de
funciones. Definición de función
Guía III : actividad 4 - Análisis de relaciones
29/08/2014 Relaciones. Dominio e imagen Guía III : actividad 5
01/09/2014
Interpretación de gráficos de
funciones.
Guía III : actividades 6, 7 y 8
02/09/2014
Interpretación de gráficos de
funciones.
Guía III : actividades 9 y 10
05/09/2014
3° A
Evaluación de teoría de conjuntos -
Evaluación de funciones
Feriado nacional
Suspensión de actividades por duelo

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FECHA CONTENIDOS TRABAJADOS ACTIVIDADES DESARROLLADAS
04/08/2014 Nociones básicas de conjuntos Presentación de power point - Guía I
06/08/2014 Universal. Subconjuntos
Corrección actividad 5 guía I - Guía II :
actividad 1 - definición conceptual- actividad
2 y 3.
08/08/2014 Subconjuntos. Unión de conjuntos
Actividad 4 y 5 guía I- Guía II : actividad 6 -
definición conceptual.
11/08/2014
13/08/2014
Unión de conjuntos. Intersección
de conjuntos.
Guía II: actividades de la 7 a la 13 - actividad
16 - definición conceptual.
15/08/2014
Intersección de conjuntos.
Diferencia
Guía II: actividades de la 17 a la 21 -
definición conceptual - actividades 25 y 26
18/08/2014
20/08/2014
20/08/2014 Complemento de un conjunto
Guía II : actividad 31 - definición conceptual -
actividades de la 32 a la 35
22/08/2014
Interpretación de gráficos de
funciones.
Guía III : actividad 1
25/08/2014
Interpretación de gráficos de
funciones.
Guía III : actividad 2
27/08/2014
Interpretación de tablas de
funciones. Variables
Guía III : actividades 3 y 4
29/08/2014 Definición de función. Análisis de relaciones.
01/09/2014 Relaciones. Dominio e imagen Guía III : actividad 5
03/09/2014
Interpretación de gráficos de
funciones.
Guía III : actividades 6 y 7
05/09/2014
3° C
Suspensión de actividades por duelo
Evaluación de teoría de conjuntos
Feriado nacional
Evaluación de funciones

Informe Final de M.O.P.E.

EVALUACIÓN:

El diseño curricular de la provincia de Córdoba (2011- 2015) adopta la
conceptualización de evaluación que proponen Stufflebeam y Shinkfield (1993, citado
en “La evaluación de los aprendizajes en Educación Secundaria”) , quienes la
caracterizan por el proceso de diseñar, recoger y analizar sistemáticamente cualquier
información.
En base a estos tres pasos claves analizaremos e informaremos los procesos de
evaluación y control que decidimos utilizar en nuestras prácticas docentes.
El primer modo de control que diseñamos fue una rúbrica o también llamada
matriz de valoración, la cual utilizamos como herramienta para observar el desempeño
de los grupos (organizados por nosotras) a la hora de realizar las actividades con los
bloque lógicos.
Recordemos que dichas actividades fueron propuestas con el fin de introducir
las operaciones entre conjuntos, por esta razón es que consideramos la necesidad de
la rúbrica, la cual nos sirvió a la hora de concluir si las actividades planteadas
colaborarían o no a la comprensión del tema trabajado.
A modo de ilustración, veamos a continuación una la actividad que sugería la
unión de conjuntos (actividad 6) y su respectiva rúbrica:“Encierre dentro de un redondel todas las piezas que sean círculos y solo estos.
En el interior de otro, coloque todas aquellas piezas que sean azules y solo estas.
Reúna ahora, con una tercera cuerda, todas las piezas que sean círculos o azules y solo
estas. Luego responda:
a. ¿Es necesario que un bloque sea a la vez círculo y azul para estar dentro del
redondel?
b. ¿Es suficiente que un bloque sea círculo para estar dentro del redondel?
¿Es esto necesario?
c. ¿Es suficiente que un bloque sea azul para estar dentro del redondel?
¿Es esto necesario?
d. ¿Si no es un círculo y está en el redondel necesariamente es: _____
Informe Final de M.O.P.E.

Si no es azul y está en el redondel necesariamente es: __________
e. ¿Qué piezas quedan por fuera? ¿Qué propiedad tienen?

Rúbrica de la actividad 6

GRUPO: ALUMNOS:
ITEMS BAJO BASICO ALTO
Comprenden y
respetan la
consigna
Preguntan a la
docente a cargo o a
la ayudante que se
les explique la
consigna y aunque
se les hace releerla
siguen sin entender
que es lo que se
solicita.
Preguntan a la
docente a cargo o a
la ayudante que se
les explique la
consigna y luego de
que se les hace
releerla entienden
que es lo que se
solicita.
Comprenden
correctamente la
consigna mediante
debates y
opiniones grupales
Logran la
intersección del
subconjunto
En el grupo no sale a
la luz discusiones
respecto a la
contención de un
conjunto en otro
En el grupo sale a la
luz discusiones
respecto a la
contención de un
conjunto en otro, sin
embargo no
concretan la
actividad
Concretan la
contención de un
conjunto en el
otro.
Logran un
óptimo trabajo
en grupo
Los integrantes no
logran un trabajo
dinámico. No se
respetan las
sugerencias
individuales.
Poseen una actitud
negativa.
Los integrantes
logran organizar el
grupo e integran las
sugerencias
individuales de cada
integrante.
Los integrantes
logran una buena
organización del
grupo, buena
integración de las
sugerencias
individuales y
respeto mutuo.
Trabajan con
actitud positiva.
Responden a las
preguntas/sacan
conclusiones

Luego de las debidas
intervenciones de la
docente no
concretan las
respuestas
correctas.
Luego de las debidas
intervenciones de la
docente logran
concretar las
respuestas
correctas.
Sin necesidad de
las intervenciones
de la docente
logran concretar
correctamente las
respuestas.
Informe Final de M.O.P.E.

Todas las rúbricas que utilizamos en nuestras prácticas se encuentran
disponibles en nuestros guiones conjeturales (ver anexo pág. 83 y 93)
El modo de trabajo que planteamos en nuestro guion conjetural consistía que
cada practicante completará con una tilde en el casillero que más corresponda a lo
observado de cada grupo. Además la rúbrica contaba con espacios en blancos en el
caso que se quiera dejar asentado algún comentario u observación en particular.
Otra de las cuestiones que tuvimos en cuenta a la hora de diseñar este método
de evaluación fue ofrecerles a los alumnos un incentivo que los motive a trabajar en
grupo, método de estudio al cual no estaban acostumbrados en el área de
matemática. De esta manera, les propusimos a los estudiantes la posibilidad de
obtener 1 punto extra en la evaluación para todos aquellos que logren un óptimo
trabajo en equipo, es decir, si el alumno obtenía un 8 en la prueba entonces la nota
ascendería a un 9.
Al momento de completar las rúbricas nos encontramos con un escenario muy
diferente al que habíamos planteado en nuestro guion conjetural. Los tiempos con el
que disponíamos resultaron ser más acotados de lo esperábamos y debido a esto solo
pudimos realizar anotaciones breves de cada grupo, como por ejemplo las dificultades
de cada equipo.
Luego de la recopilación de las observaciones realizadas en las dos primeras
actividades con los bloques lógicos (referidas a subconjunto y unión de conjuntos) vino
el momento de decisión, momento en el cual, tras analizar la información obtenida
respecto al desempeño de los alumnos concluimos que, a nuestro entender, las
actividades colaboraban con el entendimiento de dichas operaciones entre conjuntos.
Por esta razón, es que se decidió continuar con la utilización de los bloques lógicos.
Claramente podemos ultimar que esta herramienta nos sirvió para reorientar y
continuar la planificación de nuestras prácticas educativas.
Decidimos, además, otorgar el punto extra a todos los alumnos de ambas
divisiones, ya que consideramos que todos los grupos trabajaron adecuadamente,
respetaron las ideas y aportes de todos sus compañeros y en mayor o menor medida
obtuvimos la colaboración de todos los estudiantes
Informe Final de M.O.P.E.

El segundo método de control que decidimos utilizar fue el siguiente trabajo
referido al tema conjuntos. A continuación presentamos el documento idéntico en
texto al que se les fue entregado a los alumnos.

Trabajo Práctico de Matemática
Nombre y Apellido: ……………………………………………………………………... Curso: 3° ………..
Calificación:
Con este trabajo práctico se busca evaluar las posibilidades de los alumnos para:
-Representar conjuntos apelando a diferentes modos reconocidos en matemática
-Reconocer si un elemento pertenece o no a un conjunto dado o si un conjunto está
incluido o no en otro conjunto dado
-Operar con conjuntos y representar el conjunto resultante de la operación dada
1) Sean los conjuntos A= {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, B= {1; 3; 5} y C= {2; 4; 6; 8}
a) Representa a cada uno de los conjuntos dados gráficamente y por
comprensión.

b) Acorde a la información dada complete los puntos suspensivos de abajo según
corresponda. Sugerencia: puede ayudarse con lo hecho en 1)a)
8……..C C…....A 1……..A
10……B C……...B 4………B
A………C B………C 5………A

c) Considerando los conjuntos dados, A, B y C del ítem 1, defina por extensión los
siguientes conjuntos.
B  C A  C
B  A A – C
B  C

2) En los diagramas dados a continuación, sombree los conjuntos indicados debajo de
cada diagrama

E  F E  G
Informe Final de M.O.P.E.

F – E F – E
Si bien los alumnos no están acostumbrados a encontrar dentro de sus
evaluaciones de matemáticas los objetivos planteados por la docente, consideramos
pertinente incluir en este trabajo los propósitos requeridos por nosotras. De esta
manera queríamos dejar en claro a donde apuntaban cada una de nuestras acciones y
que pretendíamos de nuestros estudiantes.
Decidimos diseñar este trabajo con la intención de recopilar los conocimientos
que los alumnos poseían sobre conjuntos y consideramos que cada una de las
actividades que les planteamos en él son representativas de lo realizado en clase.
Una de las cuestiones importantes que deseamos resaltar fue la flexibilidad
que debimos adoptar a la hora de corregir el ejercicio 1a) que solicita la
representación grafica de los conjuntos A, B y C.Nuestra intensión con este ejercicio
fue que los alumnos plantearan en un mismo diagrama la intersección que se presenta
entre estos tres conjuntos. Sin embargo, y debido a una incorrecta redacción de la
consigna, nos encontramos con resoluciones en donde se planteaban los diagramas de
Venn por separados, sin considerar las respectivas intersecciones que existían.
Decidimos ante esto, considerar este tipo de resoluciones como correctas aunque no
correspondían con nuestro objetivo.
Las puntuaciones de cada ejercicio fueron:
Ejercicio Puntuación
1) A 2 puntos
1) B 2 puntos
1) C 2 puntos
2 4 puntos

Informe Final de M.O.P.E.

Los resultados obtenidos fueron:

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
CANTIDAD DE
ALUMNOS
3°A
NOTAS TRABAJO PRÁCTICO

Informe Final de M.O.P.E.

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
CANTIDAD DE
ALUMNOS
3°C
NOTAS TRABAJO PRÁCTICO
Informe Final de M.O.P.E.

La tercera y última evaluación implementada correspondió al tema funciones y
fue diseñada para ser completada por los estudiantes en 40 minutos. Nuevamente y
de manera similar a lo realizado con el trabajo de conjuntos, incluimos los objetivos
buscados. A continuación presentamos el documento idéntico en texto al que se les
fue entregado a los alumnos.

EVALUACIÓN DE MATEMÁTICA
TEMA: Funciones
Nombre y Apellido: ……………………………………………………………………... Curso: 3° ………..
Calificación:
En esta evaluación se busca apreciar las posibilidades de los alumnos para:
-Interpretar y leer gráficos de funciones
-Representar correctamente los conjuntos dominio e imagen apelando a diferentes
modos reconocidos en matemática, vistos con anterioridad.
-Reconocer variables dependiente e independiente y magnitudes.
-Lograr identificar cuando una relación es o no función

1) El siguiente gráfico muestra como varia la distancia a la escuela durante una
excursión.

a) ¿Cuáles son las variables relacionadas en este problema? Especifique cuál de
estas es la variable independiente y cual la dependiente según corresponda. ¿En qué
unidad de medida están expresadas estas variables?
b) ¿Cuántas paradas hizo el grupo? ¿de qué duración cada una?
c) ¿Cuánto duró la excursión en total?
d) Si salieron a las 8 de la mañana ¿a qué hora se detuvieron por primera vez?
e) ¿Cuántos km recorrieron en total?
f) ¿A qué distancia de la escuela se encontraban luego de transcurridas 4hs?
g) ¿En qué momento o momentos se encontraban a 8 km de la escuela?
h) ¿Durante qué periodo de tiempo el grupo se aleja de la escuela? ¿y durante
qué periodo se acerca?
i) ¿El grupo regresa a la escuela?
Informe Final de M.O.P.E.

j) Indique el conjunto dominio e imagen utilizando el modo de representación
por comprensión.

2) Indica si las siguientes relaciones son o no son funciones y justifica en todos los
casos.

I II III

Dominio Imagen Dominio Imagen Dominio Imagen

Las puntuaciones de cada ejercicio fueron:

Ejercicio Puntuación
1) A 1 punto
1) B, C, D, E,
F, G, H, I
5 puntos
1) J 1 puntos
2 3 puntos

Informe Final de M.O.P.E.

Los resultados obtenidos fueron:

Informe Final de M.O.P.E.

En esta evaluación hubo tres alumnos ausentes en 3°A y un alumno ausente en
3°C. A estos alumnos la profesora del curso les tomó la evaluación la clase siguiente.
Los resultados obtenidos en esta instancia fueron los esperados en función a
nuestros objetivos planteados.
Informe Final de M.O.P.E.

PROBLEMÁTICA:

Durante el avance de nuestras prácticas notamos cierta falta de atención de
algunos alumnos en el proceso de discusión durante la corrección y/o validación de las
actividades ya realizadas en instancias de trabajo grupal o individual. Cabe destacar
que estos procesos de discusión a los cuales nos estamos refiriendo, se dieron en
instancias generales, es decir, con todo el curso. Es por esta razón que decidimos
investigar acerca de lo observado y plantearnos la siguiente cuestión: ¿cómo y para
qué dirigir una discusión en clases de matemática en el marco de la enseñanza de
teoría de conjuntos y funciones en las condiciones del "escenario" propuesto en
nuestras prácticas?
Para abordar esta pregunta decidimos trabajar con dos actividades propuestas
en nuestras prácticas. Una referida a teoría de conjuntos y la otra al tema funciones.
Estas actividades no fueron seleccionadas al azar, sino que tuvimos presente dos
cuestiones importantes para tal selección, una de ellas es la cantidad de registros
disponibles de lo sucedido en clases en la interacción con estas actividades, y la otra,
es que en ambas, el conocimiento o saber central primero se trabajó implícitamente y
luego la practicante lo institucionalizó en instancia de debate con el curso completo.
Coincidimos con la noción de debate en la clase de matemática que propone
Quaranta y Wolman (2003):
Los momentos de discusión conforman una de las modalidades que adquiere la
interacción entre pares en el aula: se trata de un intercambio entre todos los
alumnos de la clase conducido por el docente. De ninguna manera constituyen
"eventos naturales" de la vida en el aula: las discusiones no pueden quedar
libradas a las contingencias de una clase o a la espontaneidad de los
alumnos (...) (pág. 190)

Del mismo modo Patricia Sadovsky (2005) indica:
El debate se organiza en dos etapas: Una primera de trabajo en pequeños
grupos en el que los alumnos trabajan analizando cada uno de los
Informe Final de M.O.P.E.

procedimientos, definiendo con que aspectos coinciden y con cuáles no y
pensando en eventuales modificaciones; la segunda etapa es la del debate
propiamente dicho (…)” (pág. 70)

Para ilustrar lo expresado, observemos el primer ejercicio mencionado
anteriormente, el cual se trabajó con los bloques lógicos:

Encierre dentro de un redondel todas las piezas que sean círculos y solo estos.
En el interior de otro, coloque todas aquellas piezas que sean azules y solo
estas. Reúna ahora, con una tercera cuerda, todas las piezas que sean círculos o
azules y solo estas. Luego responda:
a. ¿Es necesario que un bloque sea a la vez círculo y azul para estar dentro del
tercer redondel?
b. ¿Es suficiente que un bloque sea círculo para estar dentro del tercer
redondel? ¿Es esto necesario?
c. ¿Es suficiente que un bloque sea azul para estar dentro del tercer
redondel? ¿Es esto necesario?
d. ¿Si no es un círculo y está en el tercer redondel necesariamente es: _____
Si no es azul y está en el tercer redondel necesariamente es: __________
e. ¿Qué piezas quedan por fuera? ¿Qué propiedad tienen?

Vale