pde

Vista previa del material en texto

Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales*,
revisadas, corregidas y aumentadas en 2017.
G.A. Raggio
FaMAF, Universidad Nacional de Córdoba
Octubre de 2011
Índice
1. Introducción 3
1.1. Algunos ejemplos relevantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Condiciones “iniciales” y condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Soluciones débiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Ecuaciones lineales y cuasi-lineales. Clasificación y propiedades . . . . . . . 6
2. Ecuación del calor o de difusión 8
2.1. Derivación. Algunas soluciones en variables separadas . . . . . . . . . . . . 8
2.2. Fourier, 1822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3. Método de transformación de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4. Principio extremal y consecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5. Difusión en todo el espacio (Método de transformación de Fourier) . . . . . 18
3. La ecuación de ondas 20
3.1. Caso unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2. Causalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3. Enerǵıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4. Variables separadas y problemas de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.5. Transformaciones de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.6. Ondas en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.6.1. Soluciones radiales en d = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.6.2. Método de medias esféricas – Fórmula de Kirchhoff-Poisson para
d = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.6.3. Reducción dimensional y la fórmula para d = 2. . . . . . . . . . . . 25
*Notas provisorias para Métodos Matemáticos de la F́ısica, 2do-cuatrimestre 2011
1
3.6.4. Principio de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.7. Transformaciones de Lorentz y invariancia de la ecuación de ondas . . . . . 27
4. El Laplaciano. Ecuaciones de Laplace, Poisson y Helmholtz 27
4.1. Las ecuaciones de Laplace y de Poisson. Funciones armónicas. . . . . . . . 27
4.2. Principios extremales, medias esféricas y consecuencias. . . . . . . . . . . . 27
4.3. Fórmula de Poisson para el disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.4. Funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.4.1. Método de las imágenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.5. Funciones esféricas – Armónicos esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.5.1. Separación de variables y las ODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.5.2. Polinomios homogéneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.5.3. Determinación de las funciones esféricas . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.5.4. ¿Y el problema original? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.6. El Laplaciano con condiciones homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5. Funciones de Green II 42
5.1. Funciones de Green para la ecuación de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2. Ecuación de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6. Clasificación de ec. diferenciales de segundo orden (quasi-lineales). Su-
perficies caracteŕısticas 45
6.1. Hiper-superficies caracteŕısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
A. Un esfuerzo: estimación de (13) para x→ 0. 50
B. Sobre la teoŕıa de integración 51
B.1. Funciones de decaimiento fuerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
B.2. El espacio de Hilbert L2(Rd) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
C. Transformación de Fourier 53
C.1. Inversión de la transformación de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
C.2. Transformación de Fourier de funciones de decaimiento rápido. . . . . . . . 58
C.3. Identidad de Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
D. Transformación de Laplace 62
E. Distribuciones 64
E.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
E.2. Distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
E.3. Distribuciones temperadas y su transformada de Fourier . . . . . . . . . . 69
F. Sobre la clasificación de ec. diferenciales de segundo orden 72
G. Bibliograf́ıa 76
2
1. Introducción
Una ecuación diferencial en derivadas parciales es algo aśı como una relación funcional
entre una función de dos o más variables, las derivadas parciales de esta función y las
variables independientes. Intentando formalizar, uno escribiŕıa
(1) F (x1, x2, · · · , xn, f, ∂f/∂xj, ∂2f/∂xj∂xk, · · · , ∂p/∂xj1∂xj2 · · · ∂xjp) = 0 ,
donde x1, x2, · · · , xn son las variables independientes (que varian tipicamente en un con-
junto conexo de Rn), f es la función buscada que depende de estas variable, y ∂kf/∂xj1 · · · ∂xjk
son las derivadas parciales de orden k de f respecto a las variables xj1 , xj2 , · · · , xjk . Lo
que uno busca entonces es una función φ de x = (x1, x2, · · · , xn) que sea tantas veces
diferenciable como necesario y tal que cualquiera sea el valor (permitido) de x, se tenga
F (x, φ(x), (∂φ/∂xj)(x), (∂
2φ/∂xj∂xk)(x), · · · , (∂pφ/∂xj1∂xj2 · · · ∂xjp)(x)) = 0 .
Como en el caso de ec. diferenciales ordinarias (EDO) esta representación puede conducir
a problemas de definición impĺıcita por lo cual es generalmente conveniente reducir esta
forma a expresiones donde se expresan las derivadas parciales de mayor orden en términos
de x, f y sus derivadas parciales de orden menor.
El ejemplo
(2)
∂u
∂x
− ∂u
∂y
= ku , k ∈ R ,
peca de simple (es lineal y de coeficientes constantes) porque podemos rápidamente en-
contrar la solución general, pero ilustra algunas caracteŕısticas que se contrastan con el
caso de las ec. dif. ordinarias. La linealidad sugiere intentar una solución exponencial en
x e y. En efecto, sin demasiado trabajo se cae en
uo(x, y) = exp(k(x− y)/2)
que es una solución de la ecuación diferencial. D’Alembert y la linealidad sugieren probar
con u = vuo y con este Ansatz se obtiene(
∂v
∂x
− ∂v
∂y
)
uo = 0 ;
pero como uo no se anula, nos queda
(3)
∂v
∂x
− ∂v
∂y
= 0 .
Esta ec. acopla las dos derivadas parciales: deben ser iguales. Para desacoplar las derivadas
parciales se sugiere un cambio de variables:
(4) ξ := x+ y , η = x− y ;
3
entonces (regla de la cadena)
∂
∂x
=
∂ξ
∂x
∂
∂ξ
+
∂η
∂x
∂
∂η
=
∂
∂ξ
+
∂
∂η
,
∂
∂y
= · · · = ∂
∂ξ
− ∂
∂η
,
con lo cual con (3)
0 =
∂v
∂x
− ∂v
∂y
= 2
∂v
∂η
.
Por lo tanto v no depende de η = x − y y la derivada parcial respecto de ξ = x + y es:
¡libre! O sea: v(x, y) = f(x+ y) donde f es una función libre de una variable real; luego,
(5) u(x, y) = f(x+ y) exp{k(x− y)/2}
es la solución. ¡No una solución sino que la solución! De hecho; el cambio de variables (4)
directamente en la ec. diferencial original (2) nos da:
2
∂u
∂η
= ku
que es una EDO en η parametrizada por ξ cuya solución es, efectivamente, la encontrada.
Más allá de la simplicidad de este ejemplo, nos sirve para comentar una serie de propie-
dades de las ec. diferenciales en derivadas parciales. Para especificar completamente la
solución (5) hay que determinar una función f (que admita las derivadas parciales nece-
sarias) y no como en el caso de una EDO lineal de primer orden donde basta especificar
una constante (e.g. el valor de la solución en algún punto). Por ejemplo:
Si buscamos una solución de (2) que cumpla con u(x, 0) = h(x) para todo real x,
entonces la función f queda especificada como f(x) = e−kx/2h(x) de modo que la
solución es única y está dada por
u(x, y) = e−kyh(x+ y) .
¿Cuantas soluciones admite (2) en el semiplano {(x, y) : −∞ < x <∞ , y ≥ 0} que
satisfacen u(x, 0) = p(x) en la semirecta {x ≥ 0}? La fórmula(5) para la solución
especifica a f solamente en la semirecta no-negativa: f(x) = e−kx/2p(x) para x ≥ 0; y
obtenemos la solución u(x, y) = e−kyp(x+ y) en el cono C := {(x, y) : x ≥ −y , y ≥
0} (ver la figura). Para obtener una solución en todo R×R+ podemos completar a
f pegandole una función arbitraria definida en {x ≤ 0} que sea diferenciable y de
modo que la derivada en x = 0 este definida. Por lo tanto hay infinitas soluciones.
Además notese que ¡en la región C ′ de la figura la solución (cualquiera que sea) no
depende de la función p
4
No solo la solución no está determinada por sus valores en una curva sino que hay
regiones donde la solución no depende de estos valores.
El siguiente ejemplo es la ecuación de ondas en una dimensión espacial
utt = c
2uxx
que analizaremos bastante detalladamente y en más dimensiones espaciales más adelante.
También aqúı una simple transformación lineal de las variables independientes (x, t) nos
permite integrar. Considere
ξ = ax+ bt , η = αx+ βt
con coeficientes constantes a, b, α, β; entonces
∂
∂x
= a
∂
∂ξ
+ α
∂
∂η
,
∂
∂t
= b
∂
∂x
+ β
∂
∂η
y la ecuación diferencial se transforma en
b2uξξ + β
2uηη + 2bβuξη = c
2
(
a2uξξ + α
2uηη + 2aαuξη
)
.
Las derivadas de segundo orden desaparecen si
|b| = c|a| , |β| = c|α ;
pero queremos que la transformación sea invertible lo que sucede si y slo si
aβ − αb 6= 0 .
Esto no determina univocamente a los coeficientes –hay muchas soluciones. La más simple
es a = α = 1, b = −β = c. La ec. diferencial degenera en
4c2uξη = 0
que se integra inmediatamente (respecto a η) a
uξ(ξ, η) = µ(ξ)
siendo µ una función arbitraria. Una nueva integración (respecto de ξ) entrega
u(ξ, η) = f(ξ) + g(η)
donde f es una primitiva de µ y g es función arbitraria. Entonces en las variables originales
(6) u(x, t) = f(x+ ct) + g(x− ct) .
Esta es la solución general de la ec. de ondas siempre que f y g sean dos veces diferen-
ciables. Observese que u es la superposición de dos perfiles fijos f y g que se “mueven”
hacia la izquierda (f cuando t > 0) y a la derecha (g cuando t > 0) independientemente
el uno del otro.
5
1.1. Algunos ejemplos relevantes
Ec. de transporte, de difusión, de calor, ec.de la cuerda y del tambor, etc. etc.. Con
derivación de ellas !
1.2. Condiciones “iniciales” y condiciones de contorno
El siguiente ejemplo debido Hadamard ilustra una discontinuidad en las condiciones
de borde. Consideremos (ec. de Laplace)
∆u = 0 en {(x, y) : x ∈ R , y > 0} ,
con la condición de borde
u(x, 0) = 0 , uy(x, 0) = φ(x) .
Se puede demostrar que la solución es única. En particular, si φ = φo ≡ 0 la solución es
uo ≡ 0. Cuando
φ(x) = φ�(x) = � sin(x/�) , � > 0 ,
la solución es (verifiquelo): u�(x, y) = �
2 sin(x/�) sinh(y/�). Tenemos
|φ�(x)− φo(x)| = �| sin(x/�)| ≤ � ,
pero, por otro lado,
|u�(x, y)− uo(x, y)| = �2 sinh(y/�)| sin(x/�)|
que para y > 0 y x 6= �mπ con m entero no es convergente para �→ 0. En otras palabras,
si bien ĺım�→0+ φ�(x) = φo(x) = 0 uniformemente en x, ĺım�→0+ u�(x, y) 6= uo(x, y) = 0
salvo para y = 0 o para ciertos valores especiales de x.
1.3. Soluciones débiles
1.4. Ecuaciones lineales y cuasi-lineales. Clasificación y propie-
dades
Una ec. dif. de orden p (≥ 1) será lineal si las derivadas parciales de orden maximal
–o sea p– aparecen linealmente en la ec.;
n∑
α1,α2,··· ,αp=1
cα1,α2,··· ,αp
∂pu
∂xα1∂xα2 · · · ∂xαp
+f
(
x, u,
∂u
∂xj
,
∂2u
∂xj∂xk
, · · · , ∂
p−1u
∂xj1∂xj2 · · · ∂xjp−1
)
= 0 ;
con ciertos coeficientes cα1,α2,··· ,αp constantes (que se suponen invariantes ante permutacio-
nes de los ı́ndices). Cuando estos coeficientes son a su vez funciones de x, u y las derivadas
de orden menor a p, se habla de una ecuación cuasi-lineal.
6
El caso de ecuaciones (cuasi-)lineales de segundo orden es particularmente interesante
desde el punto de la vista de la f́ısica:
(7)
n∑
j,k=1
cj,k
∂2u
∂xj∂xk
+ f(x, u,∇u) = 0 ;
la clasificación en el caso lineal procede via la matriz n× n formada por los coeficientes
C = (cj,k)
n
j,k=1
que es simétrica cj,k = ck,j y por ende diagonalizable con autovalores reales. Sea P la
cantidad de autovalores estrictamente positivos de C, y N la cantidad de autovalores
estrictamente negativos de C. La ec. (7) es:
eĺıptica si todos los autovalores de C son del mismo signo; i.e. P = n y N = 0 o
P = 0 y N = n.
hiperbólica general si no hay autovalores nulos pero son de signos distintos; P ≥ 1,
N ≥ 1 y P +N = n.
hiperbólica normal si P = n− 1 y N = 1 o bien P = 1 y N = n− 1.
parabólica general si hay autovalor nulo; i.e. P +N < n.
parabólica normal si P = n− 1 y N = 0 o bien P = 0 y N = n− 1.
Claramente si los coeficientes son funciones exclusivamente de x en el caso cuasi-lineal,
entonces la clasificación se puede hacer punto por punto con la matriz C(x).
Para 2 variables (x, y) la ecuación de Euler-Tricomi1
yuxx = uyy
es cuasi lineal de segundo orden con
C(x, y) = ±
(
y 0
0 −1
)
y es hiperbólica normal en el semiplano superior (y > 0); eĺıptica en el semiplano inferior
(y < 0) y parabólica normal en la recta y = 0.
1De alguna relevancia en la modelación de flujos supersónicos.
7
2. Ecuación del calor o de difusión
2.1. Derivación. Algunas soluciones en variables separadas
Ec. de difusión (ED)
(8) ut = k∆u , k > 0
en V × W ⊂ Rn × (0,∞). ¿Porque nos restringimos a t > 0? Esto está conectado di-
rectamente con que pedimos que k > 0. Formalmente si u(x, t) es solución entonces
v(x, t) := u(x,−t) es solución de la ED para t < 0 pero con k < 0. ¡Deberemos volver a
esta pregunta!
Observese que por ahora no imponemos otra condición subsidiaria a u más que la ED
propiamente dicha.
Hacemos ahora una particularización simplificadora suponiendo que trabajamos con
una sola dimensión espacial (n = 1). Consideramos entonces a ED en una dimensión
espacial sin restricción alguna sobre t ni sobre k salvo que k 6= 0. Queremos –entre otras
cosas– analizar las propiedades cualitativas de las soluciones a la luz del signo de k (y de t).
Método de separación de variables Intentamos encontrar soluciones que tienen la
particularidad de ser productos de una función de t con otra de x:
(9) v(x, t) = X(x)T (t) .
De ED obtenemos
XTt = kTXxx
o, estando claro que se trata de funciones de una sola variable,
(10) XT ′ = kTX ′′
donde la ′ denota la derivada con respecto a la correspondiente variable. Si la función T
no es identicamente nula, habrá un to > 0 de modo que T (to) 6= 0 y entonces
X ′′ = k−1
T ′(to)
T (to)︸ ︷︷ ︸
=:α
X .
Esta es una EDO de segundo orden lineal con coeficientes constantes. La solución general2
es:
Xα(x) =
{
a+ bx , si α = 0
ae
√
α/kx + be−
√
α/kx , si α 6= 0
2La solución general vive en un espacio vectorial lineal real de dimensión 2.
8
donde la ráız cuadrada debe entenderse como una de las ramas de la correspondiente
función compleja y tanto a como b son constantes complejas de modo que Xα sea real
3.
Especificamente entonces, para α 6= 0
Xα(x) =
{
a cos(
√
|α/k|x) + b sin(
√
|α/k|x) , si α/k < 0
a cosh(
√
α/kx) + b sinh(
√
α/kx) , si α/k > 0
ahora con constantes reales arbitrarias. Para α/k > 0 podemos expresar la solución alter-
nativamente como combinación lineal de las funciones e
√
α/kx y e−
√
α/kx.
Observese que estas son soluciones válidas para k 6= 0 arbitrario y para x arbitrario (lo
que nos servirá para avanzar en la pregunta ya formulada) y dependen de esa constante
α asociada con la aún indeterminada función temporal T . Podemos ahora determinar la
función temporal T ya que por (10)
XT ′ = kX ′′T = k(α/k)XT = αXT
de modo que fuera de los ceros (¡posibles!) de Xα tendremos la ODE
T ′ = αT
que es de primer orden, lineal con coeficientes constantes de modo que
Tα(t) := ce
αt
es la solución (c es constante real arbitraria)4. ¡Observese que a posteriori aprendemos
que la constante α satisface
T ′/T = α
para todo t donde T (t) 6= 0. Por lo tanto podemos fijar arbitrariamente α y proceder
resolviendoprimero la ODE temporal para t y luego aquella para X. α es completamente
arbitrario!
Hemos encontrado que tanto
vo(x, t) := a+ bx
como
vα(x, t) := e
αt(ae
√
α/kx + be−
√
α/kx)
para todo real α 6= 0; donde las constantes son complejos arbitrarios de modo que vα sea
real, es solución de la ED en R × R siempre que k 6= 0. Hemos encontrado entonces un
montón de soluciones; todas aquellas en variables separadas, o sea de la forma (9). Es
de notar que no importa el valor de x que se fije, t 7→ vα(x, t) para α 6= 0 diverge como
3Buscamos siempre –salvo mención especial– soluciones reales a nuestras EDP. Acá los complejos
surgen como artefacto para poder escribir una sola expresión y no tener que distinguir los casos α > 0 y
α < 0
4A posteriori, la extensión de Tα definida en todo abierto que no contenga ceros de Xα –con una
constante c que puede ser distinta en cada uno de estos abiertos– a una función continua y diferenciable
sobre todo R o a cualquier subconjunto conexo de R es Tα(t) = ceαt.
9
función de t ya sea para t → ∞ o bien para t → −∞. Estas soluciones (en variables
separadas) parecen entonces distinguir la dirección del tiempo.
Estas soluciones en variables separadas ¿sirven para algo? ¿O son simplemente bichos
especiales en el zoológico (enorme) de las soluciones de ED? La ED es lineal, por lo tanto:
la suma de soluciones es solución. Luego también la suma finita
v =
∑
α∈A⊂R
cαvα
es solución cualquiera sea el subconjunto finito A en R y los coeficientes (reales) cα,
α ∈ A. Si buscamos entonces soluciones de ED en algún intervalo espacial V (como [0, L]
o [0,∞)) y en algún intervalo temporal W (como [0, T ] o [0,∞)) e imponemos condicio-
nes de borde (valores de u en los extremos o alguna condición asintótica para x → ∞)
y condiciones iniciales/finales (condiciones de borde temporales) podemos intentar cum-
plir con esas condiciones con una de estas sumas. En general esto no va a dar resultado
porque las condiciones de borde y condiciones iniciales que podemos satisfacer con estas
sumas finitas son restringidas. Pero, si consideramos series infinitas, o sea A es ahora un
subconjunto infinito y denumerable de R, entonces la cosa cambia: la clase de condicio-
nes de borde/iniciales aumenta enormemente. Pero, para obtener soluciones clásicas es
menester que la serie en cuestión tenga propiedades de convergencia fuertes para poder
tomar derivadas parciales término a término, lo que no siempre sucede; la convergencia
puede ser puntual pero no uniforme o sólo en media (o media cuadrática) etc.
2.2. Fourier, 1822
2.3. Método de transformación de Laplace
La propiedad sobresaliente de la transformación de Laplace (vease apéndice D) en
cuanto a su utilidad para atacar problemas de ecuaciones diferenciales es que
(Lf)(s) = s(Lf)(s)− f(0) , si ĺımt→∞ e−stf(t) = 0,
lo que surge de una integración por partes de la definición (68). No nos detenemos en las
condiciones necesarias para que Lf y Lf ′ estén bien definidas, si no más bien buscamos
expresiones que formalmente son soluciones de la ec. de difusión. Será preciso entonces
verificar a posteriori si estas expresiones conducen realmente a soluciones clásicas de la ED.
Consideremos la ED de difusión o calor (8) para una función u definida en V × (0,∞)
donde V ⊂ Rd y k > 0. Transformamos según Laplace a la función t 7→ u(x, t):
G(x, s) := (Lu(x, ·))(s) =
∫ ∞
0
e−stu(x, t) dt .
Con (8) y permutando las derivadas espaciales con la integración,
−u(x, 0) + sG(x, s) = k(∆G)(x, s) .
10
Esta es la ecuación de Helmholtz pero ahora inhomogénea debido al término u(x, 0)
especificado por la condición inicial. Debemos resolverla para s fijo para luego –variando
s– obtener la función (x, s) 7→ G(x, s). Nuevamente, para simplificar, consideramos una
sola variable espacial de modo que la ec. de Helmholtz se transforma en una ODE de
segundo orden lineal e inhomogénea con coeficientes que son funciones de s:
G(x, s) = (s/k)G(x, s)− u(x, 0)/k .
La solución general se obtiene sumandole a la solución general de la ec. homogénea cual-
quier solución particular. Aplicando la conocida fórmula (de d’Alembert o de variación
de constantes), observe que
η(x, s) =
1
2
√
k
s
∫ x
xo
u(y, 0)
{
e−
√
s/k (x−y) − e
√
s/k (x−y)
}
dy
es una solución. Luego,
A(s)e
√
s/kx +B(s)e−
√
s/kx + η(x, s)
es la solución general de la ec. de Helmholtz para G. Una vez determinadas las funciones
A y B, el resto es un problema de invertir la transformación de Laplace. Esto puede
hacerse numéricamente sin mayores problemas. Las funciones A y B están determinadas
por condiciones subsidiarias. Por ejemplo, por una condición de borde, o una condición de
borde y alguna condición asintótica, etc. Veremos ejemplos concretos aqúı y en las gúıas
de problemas. En todo caso, si a y b denotan aquellas funciones de t > 0 tales que
A = La , B = Lb ,
podremos expresar a u como suma de la convolución de a con cierta función cuya transfor-
mada de Laplace es e
√
s/kx, y de la convolución de b con cierta función cuya transformada
de Laplace es e−
√
s/kx; y una expresión integral que involucra a la condición inicial y a
aquella función de t > 0 cuya transformada de Laplace es sinh(
√
s/kx).
Es fácil encontrar una solución particular cuando
(11) u(x, 0) = α ,
pues la función constante e igual a α/s es solución. En tal caso la solución general de
nuestra ec. de Helmholtz es
(12) G(x, s) =
α
s
+ A(s)e
√
s/kx +B(s)e−
√
s/kx
con funciones A y B básicamente arbitrarias. Usaremos esta expresión para discutir una
serie de casos.
11
1. Consideremos el caso V = [0, L] con L > 0 y agreguemos las condiciones de bor-
de u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0 , que son compatibles con la condición inicial (11)
solamente si α = 0. En tal caso, la unicidad de la solución nos dice que u es idéntica-
mente nula y luego G también lo es. Esto también se obtiene directamente a partir
de (12) imponiendo G(0, s) = G(L, s) = 05. Si suponemos α > 0 en (11) tendremos
una discontinuidad de t 7→ u(0, t) y de t 7→ u(L, t) en t = 0. Pero podemos proseguir
de todos modos; obtenemos las ecuaciones (ξ(s) := L
√
s/k)
0 = G(0, s) = αs−1 + A(s) +B(s) ,
0 = G(L, s) = αs−1 + A(s)eξ(s) +B(s)e−ξ(s) .
que se resuelven a:
A(s) = −αs−1 e−ξ(s) (1− e
−ξ(s))
1− e−2ξ(s)
B(s) = −αs−1 (1− e
−ξ(s))
1− e−2ξ(s)
.
De modo que
G(x, s) =
α
s
(
1− e
−ξ(s)(1−x/L) − e−ξ(s)(2−x/L) + e−ξ(s)x/L − e−ξ(s)(1+x/L)
1− e−2ξ(s)
)
.
La tarea es ahora calcular la transformación de Laplace inversa de G. Sabiendo que
la transformada de Laplace de
e(t) := erfc(λ/2
√
t) , λ ≥ 0 ,
es
(Le)(s) = e
−λ
√
s
s
se sugiere la expansión6
1
1− e−2ξ(s)
=
∞∑
n=0
e−2nξ(s) .
Esto nos permite expresar a G como serie infinita de términos que son todos pro-
porcionales a e−λ
√
s/s con ciertas λ ≥ 0 que dependen de x, k, L y del ı́ndice de
sumación. Obtenemos aśı la siguiente serie para u
u(x, t) = α
{
1−
∞∑
n=0
[
erfc
(
L(2n+ 1− x/L)
2
√
kt
)
− erfc
(
L(2n+ 2− x/L)
2
√
kt
)
+ erfc
(
L(2n+ x/L)
2
√
kt
)
− erfc
(
L(2n+ 1 + x/L)
2
√
kt
)]}
.
5Vea las expresiones para A y B que siguen y ponga α = 0.
6Que converge uniformemente en s para s ≥ so donde so > 0 es arbitrario.
12
Observese que para t > 0,
u(0, t) = u(L, t) = α
{
1−
∞∑
n=0
[
erfc
(
Ln√
kt
)
− erfc
(
L(n+ 1)√
kt
)]}
= α(1−erfc(0)) = 0 .
Esta serie ha de ser comparada y contrastada con la serie de Fourier obtenida por
separación de variables7. Son “complementarias” en el sentido que la convergencia de
la serie de Fourier mejora si aumentamos t mientras que esta mejora si disminuimos
t8. En cuanto a la discontinuidad en t = 0 en los bordes, lo que podemos decir es
que: la serie converge punto a punto en todo (x, t) con 0 < x < L y t > 0 y que la
suma u satisface (8) y u(x, 0) = α para 0 < x < L aśı como u(0, t) = u(L, t) para
t > 0.
2. Veamos el caso V = [0,∞) conservando la condición inicial (11) y agregando como
condición de borde la condición
u(0, t) = h(t),
que trae consigo que
G(0, s) = H(s)
siendo H la transformada de Laplace de h. Nuevamente observe que habrá una
discontinuidad en (0, 0) si h(0) 6= α. Si suponemos que h es acotada y buscamos una
solución u que sea acotada, vale decir
|u(x, t)| ≤ K para todo x ∈ V y todo t ≥ 0 ,
tendremos
|G(x, s)| ≤ K
∫ ∞
0
e−st dt = K/s ,
de modo que x 7→ G(x, s) es también acotada. Esto no es posible si en (12) se tiene
A(s) 6= 0 para algún s > 0. Por lo tanto planteamos
G(x, s) =
α
s
+B(s)e−
√
s/kx ;
luego
H(s) = G(0, s) =
α
s
+B(s)
de modo que
G(x, s) =
α
s
(
1− e−
√
s/kx
)
+H(s)e−
√
s/kx .
7O sea:
u(x, t) = 4(α/π)
∑
n≥0
e−(2n+1)
2π2kt/L2 sin((2n+ 1)πx/L)
2n+ 1
.
8La función de error complementaria erfc(x) := (2/
√
π)
∫∞
x
e−p
2
dp, x ≥ 0, es decreciente con erfc(0) =
1 y ĺımx→∞ erfc(x) = 0.
13
Ya hemos presentado la transformada de Laplace inversa del primer sumando; te-
nemos
αs−1(1− e−
√
s/kx)
L←− α(1− erfc(x/2
√
kt)) = α erf(x/2
√
kt) .
Para el segundo sumando usamos la propiedad de convolución. Esto con
e−
√
s/kx L←− x
2
√
kπt3
e−x
2/(4kt)
nos da
(13) u(x, t) = α erf(x/(2
√
kt)) +
x
2
√
kπ
∫ t
0
h(t′)
e−x
2/(4k(t−t′))
(t− t′)3/2
dt′ .
Se puede verificar directamente que está función es solución de la ED y que u(x, 0) =
α para x > 0. Que también se tiene u(0, t) = h(t) para t > 0 requiere de cierto es-
fuerzo (ver apéndice) ya que si permutamos el ĺımite x→ 0 con la integración en el
segundo sumando obtenemos simplemente 0.
Es conveniente detenerse a valorar la expresión (13) para la solución. La condición
inicial (en este caso u(x, 0) = α) está incorporada pero la función h es libre; ob-
tuvimos una sola fórmula para acomodar cualquier condición de borde en x = 0.
Además, la integral de convolución (el segundo sumando de (13)) es susceptible de
tratamiento númerico perfectamente directo y sencillo.
2.4. Principio extremal y consecuencias
Considere la ecuación de difusión/calor (k > 0)
(14)
∂u
∂t
= k∆u
para una función u definida en V × [0,∞) donde V ⊂ Rn es un compacto de borde ∂V
para la cual
(15) u(x, 0) = f(x) , x ∈ V ;
(16) u(x, t) = g(x, t) , x ∈ ∂V & t ≥ 0 .
Teorema 2.1 (Principio extremal débil) Para T > 0 sea
ΓT := {(x, 0) : x ∈ V } ∪ {(x, t) : x ∈ ∂V , 0 ≤ t ≤ T} .
Si u definida en V × [0, T ] es solución de (14) y es continua entonces:
(17) mı́n{u(x, s) : (x, s) ∈ ΓT} ≤ u(y, t) ≤ máx{u(x, s) : (x, s) ∈ ΓT}
para todo (y, t) ∈ V \ ΓT .
14
Observese que V \ ΓT = ∂V × (0, T ]. En la figura se esquematiza el espacio de fase
del sistema: un rectángulo de altura T con sección transversal V (constante). ΓT consiste
(trazo grueso) en la base y ambos lados verticales que V \ ΓT es el interior del tubo pero
con la “tapa” en t = T que es la sección V sin su borde: (V \ ∂V )× {T}.
Demostración: Si se ha demostrado el miembro derecho de la desigualdad, entonces –ya
que −u es solución continua de (14)– tendremos
−u(y, t) ≤ máx{−u(x, s) : (x, s) ∈ ΓT} = −mı́n{u(x, s) : (x, s) ∈ ΓT} ;
de modo que basta demostrar el miembro derecho de (17). Esto se hace por contradicción.
Suponemos entonces que la afirmación es falsa y hay (y, to) donde y /∈ ∂V y 0 < to ≤ T , tal
que u(y, to) > máx{u(x, t) : (x, t) ∈ ΓT}. Considere la función v�(x, t) := u(x, t)−�(t−to)
donde � > 0. Entonces v�(y, to) = u(y, to) y
máx
(x,t)∈ΓT
v�(x, t) ≤ máx
(x,t)∈ΓT
u(x, t) + máx
(x,t)∈ΓT
(−�(t− to))
= máx
(x,t)∈ΓT
u(x, t)− mı́n
0≤t≤T
(�(t− to)) = máx
(x,t)∈ΓT
u(x, t) + �to ;
de modo que
v�(y, to)− máx
(x,t)∈ΓT
v�(x, t) ≥ [u(y, to)− máx
(x,t)∈ΓT
u(x, t)]− �to.
Si α := u(y, to)−máxΓT u(x, t), deducimos que si (recuerde que to > 0) � > (α/to), enton-
ces v�(y, to) > máx(x,t)∈ΓT v�(x, t) y por ende v� asume su máximo en V \ ΓT . Tomamos
un � que satisface la condición y escribimos w := v� para este �. Entonces, hay z /∈ ∂V y
0 < t1 ≤ T tal que w(z, t1) es maximal. Como z es un punto interior de V , el Hessiano
de w respecto de las variables (espaciales) x1, · · · , xn evaluado en el pto. maximal debe
ser negativo semi-definido:
n∑
j,k=1
(
∂2w
∂xj∂xk
)
(z, t1)pjpk ≤ 0
cualesquiera sea p = (p1, p2, · · · , pn) ∈ Rn. En particular ∂
2w
∂x2j
(z, t1) ≤ 0 para j =
1, 2, · · · , n y por ende ∆w(z, t1) ≤ 0.
Entonces, con (14),
∂w
∂t
(z, t1) =
∂u
∂t
(z, t1)− � = k∆u(z, t1)− � = k∆w(z, t1)− � ≤ −� < 0 .
15
Por lo tanto la función t 7→ w(z, t) es estrictamente decreciente en las inmediaciones de t1.
En particular, existe t2 < t1 (ya que 0 < t1 ≤ T ) con w(z, t2) > w(z, t1) contradiciendo
la maximalidad de w(z, t1). Por lo tanto la suposición sobre (y, to) es falsa. �
Mencionamos que hay una versión fuerte del Principio Extremal que dice que en (17)
se pueden reemplazar ambas desigualdades por desigualdades estrictas (≤ → <)9.
Las consecuencias de este gran resultado son muchas:
1. Si los “datos” iniciales f y de borde g son no-negativos entonces u(x, t) ≥ 0 para
todo x y todo t ≥ 0. Esto es consecuencia de u(x, t) ≥ mı́nΓT u = mı́n{mı́n{f(z) :
z ∈ V },mı́n{g(z, t) : (z, t) ∈ ∂V × [0, T ]}.
Del mismo modo, |u| es acotado en V × [0, T ] por el mayor de los números máxV |f |
y máx∂V×[0,T ] |g|. Esto lo veremos enseguida.
2. Si la solución continua de la ec. de difusión/calor inhomogénea
∂u
∂t
= v2∆u+ F
con condición inicial (15) y de borde (16) existe para F una función definida en
V × [0, T ] entonces es única.
Esto es consecuencia de
Teorema 2.2 Sean u1 y u2 soluciones continuas de la ec. inhomogénea
vt = k∆v + F
donde F es continua en V × [0, T ], tales que
uj(x, 0) = fj(x) , j = 1, 2
patra todo x ∈ V y
uj(x, t) = gj(x, t) , j = 1, 2
para todo x ∈ ∂V y todo t ∈ [0, T ], entonces
|u1(x, t)− u2(x, t)| ≤ máx{máx
V
|f1 − f2|, máx
∂V×[0,T ]
|g1 − g2|} .
Demostración: Sea u := u1 − u2; entonces ∂u/∂t = k∆u con condición de borde e
inicial dadas por g1 − g2 y f1 − f2 respectivamente. Por el Principio Extremal débil
mı́n
ΓT
u ≤ u(x, t) ≤ máx
ΓT
u ,
9Ver Prosser
16
para todo (x, t) ∈ V × [0, T ]. Con el Lema que sigue
|u(x, t)| ≤ máx
ΓT
|u|; .
Pero
máx
ΓT
|u| = máx{máx
V
|f1 − f2|, máx
∂V×[0,T ]
|g1 − g2|}
�
Lema 1 Si la función real h sobre un compacto X en Rn es continua y Y ⊂ X
es cerrado y se tiene mı́nY h ≤ h(x) ≤ máxY h para todo x ∈ X entonces |h(x)| ≤
máxY |h| para todo x ∈ X.
Demostración: Sean A := máxY h y B := mı́nY h; entonces
|h(x)| ≤ máx{|A|, |B|} .
Probamos que
máx{|A|, |B|} = máx
Y
|h| .
Los casos B ≥ 0 o A ≤ 0 son inmediatos y los dejamos para el lector. Supongamos
entonces que B < 0 y A > 0. En tal caso h asume valores tanto positivos como
negativos en Y de modo que V := {x ∈ Y : h(x) ≥ 0} y W := {x ∈ Y : h(x) ≤ 0}
son ambos no vacios y compactos ya que son cerrados y V ∪W = Y . Ahora |A| =
A = máxV h = máxV |h| y |B| = −B = −mı́nW h = máxW (−h) = máxW |h| de
modo que
máx{|A|, |B|} = máx{máx
V
|h|,máx
W
|h|} = máx
Y
|h| .
�
3. El siguiente resultado explicitado para el caso espacial uni-dimensional muestra otras
virtudes del Principio Extremal débil.
Teorema 2.3 Sea L > 0. Si la serie (de senos)
f(x) =
∞∑
n=1
cn sin(nπx/L)
converge uniformemente para x ∈ [0, L] entonces la serie
u(x, t) =
∞∑
n=1
cn sin(nπx/L)e
−kn2π2t/L2
converge uniformemente para (x, t) ∈ [0, L] × [0, T ] cualquiera sea T > 0 y u es
la solución de la ec. (14) con condición inicial (15) determinada por f y con la
condición de borde u(0, t) = u(L, t) = 0 para todo t ∈ [0, T ].
17
Demostración: Damos solamente una hoja de ruta. Cualquiera sea el conjunto fi-
nito K ⊂ N, la función uK(x, t) =
∑
n∈K cn sin(nπx/L) es solución de (14) con la
condición nulidad en el borde x = 0, L. El criterio de Cauchy para la convergencia
uniforme de una serie nos dice que dado � > 0 hay N de modo que para k ≥ ` ≥ N ,
|
k∑
n=`
cn sin(nπx/L)| < � .
Por el Principio Extremal débil se tendra entonces
|
k∑
n=`
cn sin(nπx/L)e
−kn2π2t/L2| < �
cualquiera sea T > 0. Etc. �
2.5. Difusión en todo el espacio (Método de transformación de
Fourier)
Considerela ec. de difusión/calor (14) en todo Rn con condición inicial (15). La trans-
formación de Fourier de la (14) con û la transformada de Fourier de u respecto de las
variables espaciales dada por
û(k, t) := (2π)−n/2
∫
Rn
eik·xu(x, t)dnx
nos produce
∂û
∂t
= −c|k|2û ;
con condición inicial (transformación de Fourier de la condición inicial para u):
û(k, 0) = f̂(k) .
Cuya integración produce inmediatamente
û(k, t) = f̂(k)e−c|k|
2t .
Esto es el producto de f̂ con la Gaussiana. Por la fórmula de transformación de un
producto
u(x, t) = (2π)−n/2
∫
Rn
Φ̃(x− y, t)f(y)dny ,
siendo Φ̃ la anti-transformada de Fourier de la Gaussiana:
Φ̃(x, t) = (2π)−n/2
∫
Rn
e−ik·x exp{−υ|k|2t}dnk .
Como la integral factoriza en n integrales sobre R con integrando exp{−ikxj−υk2t} basta
calcular esta integral
18
Lema 2 Si z ∈ C, entonces∫
R
exp{−x2 + 2zx} dx =
√
π e−z
2
.
Demostración: Sea a := <(z) y b = =(z). Considere la función compleja f(w) := e−(w−a)2 ,
w ∈ C, que es entera y el camino γ ⊂ C formado por el peŕımetro del rectángulo en C de
vértices w1 = −R, w2 = P , w3 = P − ib y w4 = −R− ib donde P,R > 0. Tenemos
0 =
∮
γ
f(w)dw =
∫ P
−R
e−(x−a)
2
dx+
∫ b
0
e−(P−a−it)
2
dt+
∫ −R
P
e−(x−a−ib)
2
dx+
∫ 0
b
e−(−R−a−it)
2
dt
=
∫ P−a
−R−a
e−x
2
dx+e−z
2
∫ −R
P
e−x
2+2xzdx+e−(P−a)
2
∫ b
0
et
2+2it(P−a)dt+e−(R+a)
2
∫ 0
b
et
2−2it(R+a)dt .
Las dos últimas integrales están acotadas en módulo por |b|e|b|2 con lo cual los dos últimos
sumandos tienden a cero para P,R→∞ y
ĺım
P,R→∞
e−z
2
∫ P
−R
e−x
2+2xzdx = ĺım
P,R→∞
∫ P−a
−R−a
e−x
2
dx =
∫
R
e−x
2
dx =
√
π .
�
Incorporando el factor (2π)−n/2 a la función Φ̃, obtenemos
Φ(x, t) = (2π)−n/2Φ̃(x, t) = (4πυt)−n/2 exp{−|x|2/(4υt)}
y luego
(18) u(x, t) =
∫
Rn
Φ(x−y, t)f(y)dny = (4πυt)−n/2
∫
Rn
exp{−|x−y|2/(4υt)} f(y)dny .
Si bien la derivación de esta fórmula para la solución depende del uso de la transfor-
mación de Fourier, podemos analizar su viabilidad como solución cuando f no admite una
transformada de Fourier porque no decae suficientemente rápidamente cuando |x| → ∞.
El decaimiento exponencial (cuadrático) de Φ es la propiedad crucial para extender esta
fórmula a situaciones más generales (o simplemente distintas):
Teorema 2.4 Si el dato inicial f es continua a trozos con finitos saltos discontinuos en
cada intervalo finito, y si existe (18), entonces es solución de la ec. de difusión en R y es
C∞. Se tiene
ĺım
t→0+
u(x, t) =
f+(x) + f−(x)
2
para todo x ∈ R.
Teorema 2.5 La solución de (14) que cumple (15) y que es acotada, i.e, |u(x, t)| < K
para todo (x, t) ∈ Rn × [0,∞), es única.
Demostración: �
En especial, si el dato inicial f es acotado, entonces (18) es la única solución del
problema de Cauchy acotada.
19
3. La ecuación de ondas
3.1. Caso unidimensional
3.2. Causalidad
3.3. Enerǵıa
3.4. Variables separadas y problemas de contorno
3.5. Transformaciones de Fourier
La transformación de Fourier espacial
û(k, t) := (2π)−d/2
∫
Rd
e−ik·xu(x, t)dx
conduce a
∂2û
∂t2
= −c2|k|2û
cuya solución es
û(k, t) = α(k) cos(c|k|t) + β(k) sin(c|k|t) ,
con funciones α y β definidas en Rd arbitrarias.
Si se trata del problema de Cauchy para u, o sea
u(x, 0) = φ(x) &
∂u
∂t
(x, 0) = ψ(x) ;
entonces obtenemos el mismo problema para û, viz.
û(k, 0) = φ̂(k) &
∂û
∂t
(k, 0) = ψ̂(k)
y por ende
û(k, t) = φ̂(k) cos(c|k|t) + ψ̂(k)sin(c|k|t)
c|k|
.
Observe que no hay ningúna singularidad en 0 ya que û(0, t) = φ̂(0)+t ψ̂(0). Esto implica
que∫
Rd
u(x, t)dx = (2π)d/2û(0, t) = (2π)d/2φ̂(0) + t (2π)d/2ψ̂(0) =
∫
Rd
(φ(x) + t ψ(x)) dx .
Además, si la condición inicial es tal que tanto φ y ψ como φ̂ y ψ̂ son de módulo in-
tegrable entonces inferimos de la inversión de la transformada de Fourier que la solución
al problema de Cauchy es única.
20
3.6. Ondas en el espacio
El problema de Cauchy para la ecuación de ondas en d dimensiones espaciales
(19) utt = c
2∆u , en Rd × [0,∞)
consiste en encontrar soluciones u(x, t) de esta ecuación que cumplan
(20) u(x, 0) = φ(x) , ut(x, 0) = ψ(x)
donde los datos φ y ψ son funciones definidas en Rd.
El caso unidimensional (d = 1) ya se ha discutido y la solución está dada por la fórmula
de d’Alembert
(21) u(x, t) =
φ(x+ ct) + φ(x− ct)
2
+
1
2c
∫ x+ct
x−ct
ψ(y) dy .
En lo que sigue obtendremos una fórmula análoga primero en el caso tridimensional
(d = 3) y luego, por el método de reducción dimensional, la correspondiente fórmula
bidimensional (d = 2).
3.6.1. Soluciones radiales en d = 3
Estudiamos la ec. de ondas (19) en d = 3 pero con condiciones iniciales radiales
u(r) = φ(|r|) , ut(r, 0) = ψ(|r|) ,
y buscamos soluciones que sean radiales, i.e., u(r, t) = v(|r|, t). Con r := |r|, la ec.
diferencial es entonces
vtt = c
2(vrr +
2
r
vr) , en [0,∞)× [0,∞)
con condiciones iniciales v(r, 0) = φ(r), vt(r, 0) = ψ(r). La transformación
10 y(r, t) :=
rv(r, t) conlleva
yrr = rvrr + 2vr , ytt = rvtt ,
de modo que
(22) ytt = c
2yrr , y(r, 0) = rφ(r) , yt(r, 0) = rψ(r) .
Pero si buscamos soluciones continuas y acotadas debemos imponer la condición de borde
(23) y(0, t) = [rv(r, 0)]r=0 = 0
10De gran provecho en problemas que involucren el Laplaciano tridimensional. Por ejemplo: problemas
de mecánica cuántica.
21
El problema para y es una ec. de ondas unidimensional pero para la semirecta R+ como
dominio de la variable espacial. Extendemos la ecuación diferencial y las condiciones
iniciales a todo R y planteamos el problema
(24) ξtt = c
2ξxx , ξ(x, 0) = xφ̃(x) , ξt(x, 0) = xψ̃(x) ,
donde φ̃ y ψ̃ son ciertas extensiones de las funciones φ y ψ respectivamente a R. Para
acomodar nuestra condición de borde (23), pedimos que la solución ξ sea espacialmente
impar, o sea: ξ(−x, t) = −ξ(x, t). En tal caso ξ(0, t) = 0 y la restricción de ξ(·, t) a R+
nos da una solución y(r, t) = ξ(r, t) del problema de Cauchy (22) con la condición (23).
Pero ¿que tomamos como extensiones de las condiciones inciales φ y ψ? Si ξ ha de ser
espacialmente impar entonces para x < 0
xφ̃(x) = ξ(x, 0) = −ξ(|x|, 0) = −|x|φ(|x|) = xφ(|x|) ;
y como ξt también resulta espacialmente impar
11, siempre para x < 0
xψ̃(x) = ξt(x, 0) = −ξ(|x|, 0) = −|x|ψ(|x|) = xψ(|x|) .
Pero entonces obtenemos que las extensiones φ̃ y ψ̃ son las extensiones pares de las
funciones φ y ψ a R. Rescribimos el problema (24)
ξtt = c
2ξxx , ξ(x, 0) = xφ(|x|) , ξt(x, 0) = xψ(|x|) ,
cuya solución –dada por la fórmula de d’Alembert– conocemos. Obtenemos aśı (restrin-
giendonos a x ≥ 0)
y(r, t) =
(r + ct)φ(r + ct) + (r − ct)φ(|r − ct|)
2
+
1
2c
∫ r+ct
r−ct
yψ(|y|) dy .
Procesamos el segundo sumando. Si r − ct ≤ 0 entonces∫ r+ct
r−ct
yψ(|y|) dy =
∫ 0
r−ct
yψ(|y|) dy +
∫ r+ct
0
yψ(y) dy ,
y la primera integral es∫ 0
r−ct
yψ(−y) dy = −
∫ ct−r
0
sψ(s) ds = −
∫ |r−ct|
0
sψ(s) ds ,
de modo que∫ r+ct
r−ct
yψ(|y|) dy = −
∫ |r−ct|
0
yψ(y) dy +
∫ r+ct
0
ψ(y) dy =
∫ r+ct
|r−ct|
yψ(y) dy .
11ξt(−x, t) = ĺımh→0 ξ(−x,t+h)−ξ(−x,t)h = − ĺımh→0
ξ(x,t+h)−ξ(x,t)
h = −ξt(x, h).
22
Cuando r − ct ≥ 0 tenemos r − ct = |r − ct|; luego, en ambos casos,∫ r+ct
r−ct
yψ(|y|) dy =
∫ r+ct
|r−ct|
yψ(y) dy ,
y por ende
(25) y(r, t) =
(r + ct)φ(r + ct) + (r − ct)φ(|r − ct|)
2
+
1
2c
∫ r+ct
|r−ct|
yψ(y) dy
es la solución de (22) que cumple con (23). El primer sumando puede escribirse como
integral ya que
∂
∂t
{∫ r+ct
|r−ct|
yφ(y) dy
}
= c(r + ct)φ(r + ct) + c(r − ct)φ(|r − ct|) .
Entonces
(26) y(r, t) =
1
2c
∫ r+ct
|r−ct|
yψ(y) dy +
∂
∂t
{
1
2c
∫ r+ct
|r−ct|
yφ(y) dy
}
.
Pero entonces la solución radial que buscamos es
v(r, t) =
(r + ct)φ(r + ct) + (r − ct)φ(|r − ct|)
2r
+
1
2cr
∫ r+ct
|r−ct|
yψ(y) dy
=
1
2cr
∫ r+ct
|r−ct|
yψ(y) dy +
∂
∂t
{
1
2cr
∫ r+ct
|r−ct|
yφ(y) dy
}
.
Una aplicación inmediata de la regla de l’Hôspital nos da
(27) v(0, t) = φ(ct) + ctφ′(ct) + tψ(ct) = tψ(ct) +
d
dt
(tφ(ct)) .
3.6.2. Método de medias esféricas – Fórmula de Kirchhoff-Poisson para d = 3
Recordamos la notaciónSr(x) := {y ∈ Rd : |y − x| = r} , Br(x) := {y ∈ Rd : |y − x| ≤ r}
para la esfera respectivamente la bola de radio r > 0 alrededor de x ∈ Rd. Observe que
∂Br(x) = Sr(x).
Si f es una función definida en R3 definimos su promedio esférico f# por
f#(r) :=
1
4πr2
∫
Sr(0)
f(x) dx
=
1
4π
∫
S1(0)
f(r cos(ϕ), sin(θ), r sin(ϕ) sin(θ), r cos(θ)) sin(θ) dθ , r > 0 .
23
Claramente f#(0) = f(0) y, para la n-ésima derivada de f# tenemos
(f#)(n) =
(
∂nf
∂rn
)#
.
Si bien hemos definido a f# como función de r ∈ [0,∞) nada nos impide reinterpretarla –
cuando convenga– como función radial de r ∈ R3: f#(r) = f#(r) donde r = |r|. Se puede
demostrar (de varias maneras –lo dejamos como ejercicio) que el Laplaciano conmuta con
la toma del promedio esférico
(∆f)# = ∆f# ,
Si u es solución del problema de Cauchy para la ec. de ondas (19,20) entonces, ya que
(utt)
# = (u#)tt ,
tendremos
(u#)tt = c
2∆u# , u#(r, 0) = φ#(r) , ((u#)t)(r, 0) = ψ
#(r) .
Pero esta es exactamente la ec. de ondas radial para la cual tenemos la solución obtenida
en la sección anterior. En particular la relación (27) nos entrega
u#(0, t) = tψ#(ct) +
d
dt
(tφ#(ct)) .
Con la definición del promedio esférico
(28) u(0, t) = u#(0, t) =
1
4πc2t
∫
Sct(0)
ψ(y) dy +
∂
∂t
{
1
4πc2t
∫
Sct(0)
φ(y) dy
}
.
Si queremos la expresión para u(r, t) recurrimos a la translación espacial w := T−ru o sea
w(x, t) = u(x+ r, t) que satisface la ec. de ondas con condición inicial
w(x, 0) = φ(x+ r) , wt(x, 0) = ψ(x+ r) ;
de modo que u(r, t) = w(0, t) y (28) para w nos entrega
u(r, t) =
1
4πc2t
∫
Sct(0)
ψ(y + r) dy +
∂
∂t
{
1
4πc2t
∫
Sct(0)
φ(y + r) dy
}
.
La transformación y + r = z en ambas integrales nos entrega la famosa fórmula de
Kirchhoff-Poisson
(29) u(r, t) =
1
4πc2t
∫
Sct(r)
ψ(y) dy +
∂
∂t
{
1
4πc2t
∫
Sct(r)
φ(y) dy
}
.
24
3.6.3. Reducción dimensional y la fórmula para d = 2.
Si estudiamos la ec. de ondas (19) en dos dimensiones espaciales podemos definir la
función ζ de (x, t) ∈ R3 × [0,∞) por
ζ(x1, x2, x3, t) := u(x1, x2, t) .
Entonces
ζtt = c
2∆ζ , ζ(x, 0) = u(x1, x2, 0) = φ(x1, x2) , ζt(x, 0) = ut(x1, x2, 0) = ψ(x1, x2) .
La fórmula de (Poisson-) Kirchhoff aplicada a este problema espacialmente tridimensional
nos da
u(x, t) = ζ(x, 0, t) =
1
4πc2t
∫
Sct((x,0))
ψ(y1, y2)dy +
∂
∂t
{
1
4πc2t
∫
Sct((x,0))
φ(x1, x2)dy
}
.
Ahora
Sct(x, 0) = {(p1, p2, z) ∈ R3 : (p1 − x1)2 + (p2 − x2)2 + z2 = c2t2}
= {(p, z) ∈ R3 : z = ±
√
c2t2 − |p− x|2}
= {(p,
√
c2t2 − |p− x|2) : |p− x| ≤ ct} ∪ {(p,−
√
c2t2 − |p− x|2) : |p− x| ≤ ct}
= {(p,
√
c2t2 − |p− x|2) : p ∈ Bct(x)} ∪ {(p,−
√
c2t2 − |p− x|2) : p ∈ Bct(x)}
El elemento de superficie ambos casos z = ±
√
c2t2 − |p|2 es
dy =
√
1 + [(∂z/∂p1)(p)]2 + [(∂z/∂p2)(p)]2 dp ;
o sea
dy =
√
1 +
|p− x|2
c2t2 − |p− x|2
dp =
ct√
c2t2 − |p− x|2
.
Por lo tanto, tenemos la fórmula de integración general∫
Sct((x,0))
f(y)dy = 2ct
∫
Bct(x)
f(y)√
c2t2 − |y − x|2
dy ;
lo que nos entrega la fórmula buscada
(30)
u(x, t) =
1
2πc
∫
Bct(x)
ψ(y)√
c2t2 − |y − x|2
dy +
∂
∂t
{
1
2πc
∫
Bct(x)
φ(y)√
c2t2 − |y − x|2
dy
}
.
25
3.6.4. Principio de Huygens
Supongamos que los soportes12 de los datos iniciales φ y ψ sean acotados y analicemos
la propagación de estos datos en los caso tridimensional bidimensional de acuerdo a las
expresiones (29) y (30) respectivamente.
En 3 dimensiones espaciales si tanto φ como ψ tienen soporte acotado –llamemosle K
a la unión de los soportes– entonces dado r /∈ K sean
to := mı́n
x∈K
|r − x|/c , tf := máx
x∈K
|r − x|/c ;
entonces u(r, t) se anula para todo t fuera del intervalo [to, tf ] ya que Sct(r)∩K = ∅ para
todo t fuera de este intervalo. Los datos iniciales se propagan a velocidad c, producen un
efecto en el punto r durante un tiempo finito proporcional al tamaño (espacial y “visto”
desde r) de los soportes y luego el efecto cesa. Vease la figura 1.
En dos dimensiones en cambio (figura 2), bajo las mismas premisas, se tiene u(r, t) = 0
para 0 ≤ t < to pero para t > tf se tiene K ⊂ Bct(r) y el efecto no cesa nunca aunque
decaiga como 1/t para t > tf .
Lightcone etc. etc.
r
K
Figura 1: Propagación a r de las condiciones iniciales localizadas en K en dimensión
espacial 3 (proyección bidimensional a un plano que contiene a r y parte de K).
12
26
r
K
Figura 2: Propagación a r de las condiciones iniciales localizadas en K en dimensión
espacial 2.
3.7. Transformaciones de Lorentz y invariancia de la ecuación
de ondas
4. El Laplaciano. Ecuaciones de Laplace, Poisson y
Helmholtz
4.1. Las ecuaciones de Laplace y de Poisson. Funciones armóni-
cas.
Discutir soluciones radiales regulares y singulares.
4.2. Principios extremales, medias esféricas y consecuencias.
4.3. Fórmula de Poisson para el disco
Analizamos el problema de Dirichlet para la ec. de Laplace en el disco de radio a en
el plano
∆u = 0 , 0 ≤ r < a , u(a, ϕ) = h(ϕ) .
Las soluciones en variables separadas u(r, ϕ) = R(r)X(ϕ) con X de peŕıodo 2π se deter-
minan a partir de
X ′′ = λX , R′′ + r−1R′ + λX = 0 .
27
De la periodicidad obtenemos λ = −n2 con n ∈ N y la ecuación de Euler para R tiene las
soluciones rn y r−n cuando n ≥ 1 y, para n = 0, las constantes aśı como ln(r). Rechazando
las soluciones con singularidad en r = 0, planteamos
u(r, ϕ) =
∑
n∈N
rn(an cos(nϕ) + bn sin(ϕ)) .
Ya que
h(ϕ) = u(a, ϕ) =
∑
n∈N
an(an cos(nϕ) + bn sin(ϕ)) ,
identificamos a ana
n y bna
n como los coeficientes de Fourier de h:
ao =
1
2π
∫ 2π
0
h(ϕ) dϕ ,
y para n ≥ 1,
an =
1
πan
∫ 2π
0
h(ϕ) cos(nϕ) dϕ , bn =
1
πan
∫ 2π
0
h(ϕ) sin(nϕ) dϕ .
Luego, permutando la suma con la integración,
u(r, ϕ) = ao +
1
π
∫ 2π
0
dα h(α)
∑
n≥1
(r/a)n {cos(nα) cos(nϕ) + sin(nα) sin(nϕ)}
= ao +
1
π
∫ 2π
0
dα h(α)
∑
n≥1
(r/a)n cos(n(α− ϕ))
=
1
2π
∫ 2π
0
dα h(α)<
{
1 + 2
∑
n≥0
[
r exp(i(α− ϕ))
a
]n}
.
Ya que |r exp(i(α − ϕ))/a| = r/a < 1 para r < a podemos usar la fórmula de sumación
de la serie geométrica para obtener
(31) u(r, ϕ) =
a2 − r2
2π
∫ 2π
0
h(α)
a2 − 2ar cos(α− ϕ) + r2
dα .
4.4. Funciones de Green
Encaramos el problema de obtener una fórmula análoga a la de Poisson para el disco
que exprese el valor de una función armónica en términos de los valores de esta función
en el borde. El punto de partida es la segunda identidad de Green:∫
V
(f∆g − g∆f) dv =
∫
∂V
(f(∂g/∂n)− g(∂f/∂n)) dσ .
28
El caso particular f ≡ 1 da ∫
V
∆g dv =
∫
∂V
(∂g/∂n) dσ .
Si f es una armónica sobre V que es conocida, entonces la segunda identidad de Green
expresa a f∆g como integral de borde. Tomamos para f las armónicas radiales en Rd\{0}
que ya hemos determinado:
v(x) :=
{ 1
2π
ln(|x|) , si d = 2
−1
(d−2)|S(d)|
1
|x|d−2 , si d ≥ 3
, x 6= 0 .
Las constantes elegidas son convencionales. |Sd| denota el volumen de la esfera {x ∈ Rd :
|x| = 1} que es 2πd/2/Γ(d/2); en nuestra notación usual |Sd| = |S1(0)| pero ahora se
remarca la dependencia de la dimensión d. Se tiene
|Sr(a)| = rd−1|Sd| , |Br(a)| = rd|Sd|/d ,
cualquiera sea el vector a del centro.
Dado ξ ∈ V , consideramos la traslación de v por ξ
vξ(x) = v(x− ξ) = (Tξv)(x) , x 6= ξ .
Ya que ∆ conmuta con cualquier traslación,
∆vξ = 0 , x 6= ξ .
Para mitigar la singularidad en ξ consideramos un ρ > 0 lo suficientemente chico tal que
Bρ(ξ) ⊂ V (la bola de radio ρ alrededor de ξ cabe en V que es abierto) y consideramos
Vρ := V \ Bρ(ξ) y su borde ∂V ∪ Sρ(ξ). La aplicación de la segunda identidad de Green
da
(32)
∫
Vρ
vξ∆u dv =
∫
∂Vρ
[
vξ
∂u
∂n
− u∂vξ
∂n
]
dσ ;
y aqúı queremos recuperar V haciendo el ĺımite ρ→ 0+. Recordando que el elemento de
volumen en coordenadas radiales es de la forma dv = rd−1 dr dΩ observamos que vξ es
integrable sobre V de modo que
(33) ĺım
ρ→0+
∫
Vρ
vξ∆u dv =
∫
V
vξ∆u dv .
El miembro derecho de (32) tiene dos contribuciones:∫
∂V
[
vξ
∂u
∂n
− u∂vξ
∂n
]
dσ +
∫
Sρ(ξ)
[
vξ
∂u
∂n
− u∂vξ
∂n
]
dσ ;
29
la primera es independiente de ρ y calculamos el ĺımite de la segunda en lo que sigue.
Para x∈ Sρ(ξ), se tiene n(x) = −(x−ξ)/ρ y ∂∂n = −
∂
∂r
donde r = |x−ξ|. Consideramos
d ≥ 3 dejando el caso bi-dimensional para el lector. Ya que
vξ(x) =
−1
(d− 2)|S(d)|
1
rd−2
,
∂vξ
∂r
(x) =
1
|Sd|rd−1
=
1
|Sr(ξ)|
;
obtenemos, sucesivamente,∫
Sρ(ξ)
vξ
∂u
∂n
dσ =
−1
(d− 2)|Sd|ρd−2
∫
Sρ(ξ)
∂u
∂n
dσ =
ρ2
d(d− 2)
1
|Bρ(ξ)|
∫
Bρ(ξ)
∆u dv
donde usamos el caso particular de la segunda identidad de Green (teniendo en cuenta
que n es la normal interior a Bρ(ξ)); y∫
Sρ(ξ)
u
∂vξ
∂n
dσ = − 1
|Sρ(ξ)|
∫
Sρ(ξ)
u dσ .
Ahora, si f es función continua sobre V entonces
ĺım
ρ→0+
1
|Sρ(ξ)|
∫
Sρ(ξ)
f dσ = f(ξ) , ĺım
ρ→0+
1
|Bρ(ξ)|
∫
Bρ(ξ)
f dv = f(ξ) .
De modo que
(34) ĺım
ρ→0+
∫
Sρ(ξ)
vξ
∂u
∂n
dσ = ĺım
ρ→0+
ρ2
d(d− 2)
1
|Bρ(ξ)|
∫
Bρ(ξ)
∆u dv = ĺım
ρ→0+
ρ2(∆u)(ξ)
d(d− 2)
= 0 ,
y
(35) ĺım
ρ→0+
∫
Sρ(ξ)
u
∂vξ
∂n
dσ = ĺım
ρ→0+
−1
|Sρ(ξ)|
∫
Sρ(ξ)
u dσ = −u(ξ) .
Entonces usando (33,34,35) en (32) obtenemos
(36) u(ξ) =
∫
V
vξ ∆u dv −
∫
∂V
[
vξ
∂u
∂n
− u∂vξ
∂n
]
dσ ,
lo que expresa el valor de u en un punto arbitrario ξ ∈ V en terminos de los valores del
Laplaciano de u en V y los valores de u y de ∂u/∂n en el borde ∂V de V . Si en lo recién
hecho reemplazamos a vξ porG(x, ξ) := vξ(x)+Φ(x, ξ) donde la función V 3 x 7→ Φ(x, ξ)
es armónica para todo ξ ∈ V y continua en V , obtenemos del mismo modo13
u(ξ) =
∫
V
G(x, ξ) (∆u)(x) dv −
∫
∂V
[
G(x, ξ)
(
∂u
∂n
)
(x)− u(x)
(
∂G
∂n
)
(x, ξ)
]
dσ .
13
ĺım
ρ→0+
∫
Sρ(ξ)
[Φ(∂u/∂n)− u(∂Φ/∂n)] dσ = − ĺım
ρ→0+
∫
Bρ(ξ)
Φ∆u dv = 0 .
30
Si también se cumple Φ(x, ξ) = −vξ(x) para x ∈ ∂V , o sea G(x, ξ) = 0 para x ∈ ∂V ,
entonces tenemos
(37) u(ξ) =
∫
V
G(x, ξ) (∆u)(x) dv +
∫
∂V
u(x)
(
∂G
∂n
)
(x, ξ) dσ .
G es la denominada función de Green (del Laplaciano en V ) y ∂G/∂n se denomina el
nucleo de Poisson (para el Laplaciano en V ). Si u es solución del problema de Dirichlet
para la ecuación de Poisson
∆u = f en V con u|∂V = h ,
entonces (37) es
(38) u(ξ) =
∫
V
G(x, ξ) f(x) dv +
∫
∂V
h(x)
(
∂G
∂n
)
(x, ξ) dσ .
Y, vice versa, (38) es solución del problema de Dirichlet para la ecuación de Poisson.
4.4.1. Método de las imágenes
Considere un abierto V ⊂ Rd de borde ∂V para el cual queremos determinar la función
de Green GV que cumple (37). Denotamos con V = V ∪ ∂V al cierre de V . Supongase
que hay una transformación suave τ de Rd tal que:
1. Si x ∈ V entonces τ(x) ∈ Rd \ V .
2. τ(x) = x para todo x ∈ ∂V .
3. Hay una función σ definida en V tal que para todo x ∈ ∂V se tiene:
(39) |x− τ(ξ)| = σ(ξ) |x− ξ| .
Observese que necesariamente σ es positiva con σ ≡ 1 en ∂V . Es usual llamar a τ(x) la
“imagen” de x. En tal caso, para x ∈ ∂V , x es su propia imagen y
vτ(ξ)(x) =
{
(2π)−1 ln |x− τ(ξ)| , si d = 2
−[(d− 2)|Sd|]−1|x− τ(ξ)|2−d , si d ≥ 3
=
{
vξ(x) + (2π)
−1 ln(σ(ξ)) , si d = 2
σ(ξ)2−dvξ(x) , si d ≥ 3
.
Pero entonces la función
Φ(x, ξ) :=
{
−vτ(ξ)(x) + (2π)−1 ln(σ(ξ)) , si d = 2
−σ(ξ)d−2vτ(ξ)(x) , si d ≥ 3
,
31
está definida para (x, ξ) ∈ V × V ya que τ(ξ) /∈ V y por ende τ(ξ) 6= ξ; además
v 3 x 7→ Φ(x, ξ) es armónica (por la misma razón); y se tiene Φ(x, ξ) = −vξ(x) para
todo x ∈ ∂V . De modo que la función de Green (Dirichlet) para V es
(40) GV (x, ξ) :=
{
vξ(x)− vτ(ξ)(x) + (2π)−1 ln(σ(ξ)) , si d = 2
vξ(x)− σ(ξ)d−2vτ(ξ)(x) , si d ≥ 3
.
Hay dos contribuciones a G una es la solución fundamental asociada con ξ, otra es la
solución fundamental asociada con la imagen τ(ξ) de ξ apropiadamente corregida para
cumplir la condición de nulidad en el borde. Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 4.0: Si V es la bola de radio R en d dimensiones. Considerese la transformación
τ(x) :=
R2
|x|2
x , x 6= 0 .
Esta transforma vectores x en la bola pinchada (0 < |x| < R) en vectores fuera de ella;
deja invariante a SR(0) = ∂BR(0) y se cumple que
Lema 3 Para x 6= 0 6= y, |x| |y − τ(x)| = |y| |x− τ(y)|.
lo que se demuestra directamente tomando cuadrados y calculando. En particular para
x ∈ BR(0),
|ξ| |x− τ(ξ)| = R|ξ − τ(x)| = R|ξ − x|
cualquiera sea ξ 6= 0. De modo que la tercera condición (39) se cumple con σ(ξ) = R/|ξ|.
Todavia debemos arreglar las cosas para ξ = 0. Esto se logra suplementando a (40) para
ξ 6= 0 con
GBR(0)(x,0) =
 v0(x)− (2π)
−1 ln(R) , si d = 2
v0(x) +
1
(d− 2)|Sd|Rd−2
, si d ≥ 3 .
J
Ejemplo 4.1: Considere el semi-espacio V := {x ∈ Rd : n · x > 0} asociado con un
vector unitario n ∈ Rd que es normal al hiperplano H := {x ∈ Rd : n · x = 0} que es el
borde de V . Entonces
τ(x) := x− 2(n · x)n , x ∈ Rd ,
es una transformación lineal de Rd que satisface
n · τ(x) = n · x− 2(n · x)n · n = −n · x
de modo que se cumplen las primeras dos condiciones. Además,
|τ(x)|2 = (x− 2(n · x)n) · (x− 2(n · x)n) = |x|2
y τ es isométrico. Pero entonces, si x ∈ H,
|x− τ(ξ)| = |τ(x)− τ(ξ)| = |τ(x− ξ)| = |x− ξ|
y la tercera condición (39) se cumple trivialmente con σ ≡ 1. J
32
4.5. Funciones esféricas – Armónicos esféricos
El objetivo es determinar funciones armónicas en R3 que son producto de una función
radial con una angular. En el camino se determina el espectro de la resticción de Lapla-
ciano a la esfera S2 := {x : |x = 1}.
4.5.1. Separación de variables y las ODE
El Ansatz u(r, ϑ, ϕ) = R(r)Θ(ϑ)Ψ(ϕ) y ∆u = 0 conducen a
∆oΘΨ = −λΘψ , R′′ + 2r−1R′ − λr−2R = 0 ,
donde λ es una constante real y ∆o es la restricción del laplaciano a la esfera S2 dada por
1
sin(ϑ)
∂
∂ϑ
(
sin(ϑ)
∂
∂ϑ
)
+
1
sin(ϑ)2
∂2
∂ϕ2
.
La ecuación angular es equivalente entonces a las dos ODE
Ψ′′ = µΨ ,
1
sin(ϑ)
∂
∂ϑ
(
sin(ϑ)
∂Θ
∂ϑ
)
+
(
µ
sin(ϑ)2
+ λ
)
Θ = 0 .
Las únicas soluciones 2π-periódicas de la primera son Ψ(ϕ) = a cos(mϕ) + b sin(mϕ) con
m ∈ N y entonces la segunda es
∂2Θ
∂ϑ2
+
cos(ϑ)
sin(ϑ)
∂Θ
∂ϑ
− m
2
sin(ϑ)2
Θ = −λΘ .
La transformación de variables x = cos(ϑ) conduce a X(x) = Θ(arc cos(x)) y a la ODE
(1− x2)(d2X/dx2)− 2x(dX/dx) +
(
λ− m
2
1− x2
)
X = 0 .
Usando teoŕıa de funciones clásica se puede demostrar14 que la única solución regular en
[−1, 1] de esta ODE se obtiene para λ = `(`+1) con ` ∈ N y las soluciones correspondientes
son proporcionales a
f`,m(x) := (1− x2)m/2
d`+m
dx`+m
(x2 − 1)` , m = −`,−`− 1, · · · , 0, 1, · · · , ` ;
Estas 2`+ 1 funciones no son linealmente independientes ya que –como veremos– f`,−m ∝
f`,m. Una normalzación conveniente de las f`,m conduce a las funciones asociadas de
Legendre
(41) Pm` (x) = (1− x2)m/2
(−1)m
`!2`
d`+m
dx`+m
(x2 − 1)` , m = 0,±1, · · · ,±` ;
14
33
Estas funciones son polinomios de grado ` cuando m es par y sino el producto de
√
1− x2
con un polinomio de grado ` − 1. Las funciones asociadas de Legendre tienen muchisi-
mas propiedades conocidas y están tabuladas (ver Abramowitz & Stegun); hay que tener
algúna precaución con la normalización y la notación de las fuentes que se consulten. El
polinomio P 0` , que tiene grado `, es igual al polinomio de Legendre de orden ` y se
anota P`.
Desarrollamos ahora una representación integral de estas funciones. Si −1 < x < 1 y
γ := {z(t) = x + i
√
1− x2eit : −π ≤ t ≤ π} es la circunferencia de radio
√
1− x2 en el
plano complejo centrada en z = x, el Teorema de Cauchy indica que
(x2 − 1)` = 1
2πi
∮
γ
(z2 − 1)`
(z − x)
dz ;
con la expresión (41) para las funciones asociadas de Legendre con orden m ≥ 0, tenemos
Pm` (x) =
(−1)m(1− x2)m/2(`+m)!
`!2`2πi
∮
γ
(z2 − 1)`
(z − x)`+m+1
dz
=
(−1)m(1− x2)m/2(`+m)!
`!2`2πi
∫ π
−π
(x2 − (1− x2)ei2t + 2i
√
1− x2eit − 1)`
(i
√
1− x2eit)`+m+1
(−)
√
1− x2eit dt
=
(−1)m(`+m)!
`!i`+m2π
∫ π
−π
(
e−it
x2 − (1− x2)ei2t + 2ix
√
1− x2eit − 1
2
√
1− x2
)`
e−imt dt
=
(−1)m(`+m)!
`!i`+m2π
∫ π
−π
(
−2 cos(t)(1− x2) + 2ix
√
1− x2
2
√
1− x2
)`
e−imt dt
=
im(`+m)!
`!2π
∫ π
−π
(
x+ i cos(t)
√
1− x2
)`
e−imt dt
=
im(`+m)!
`!π
∫ π
0
(
x+ i cos(t)
√
1− x2
)`
cos(mt) dt .
Además, evaluando en x = ±1 obtenemos
P 0` (±1) = (±1/2)` , Pm` (±1) = 0 , m 6= 0 .
Esto demuestra el siguiente resultado
Teorema 4.6
Pm` (x) =
im(`+m)!
`!π
∫ π
0
(x+ i cos(t)
√
1− x2
)`
cos(mt) dt .
34
Observese que
P−m` =
i−m(`−m)!
`!π
∫ π
0
(
x+ i cos(t)
√
1− x2
)`
cos(mt) dt
= (−1)m (`−m)!
(`+m)!
im(`+m)!
`!π
∫ π
0
(
x+ i cos(t)
√
1− x2
)`
cos(mt) dt ;
o sea
(42) P−m` (x) = (−1)
m (`−m)!
(`+m)!
Pm` (x) .
4.5.2. Polinomios homogéneos
Consideramos polinomios homogéneos de grado ` = 0, 1, 2, · · · en tres variables reales
x = (x1, x2, x3) dados por
u(x) =
∑̀
α1,α2,α3=1 , α1+α2+α3=`
cα1,α2,α3x
α1
1 x
α2
2 x
α3
3 ,
donde los coeficientes cα1,α2,α3 son complejos. Estos forman un espacio linear complejo H`.
La dimensión de este puede calcularse a partir de la tabla
α1 ` `− 1 `− 1 `− 2 `− 2 `− 2 · 0 0 0 · 0
α2 0 1 0 2 1 0 · ` `− 1 `− 2 · 0
α3 0 0 1 0 1 2 · 0 1 2 · `
y es
∑`+1
j=1 j = (`+ 2)(`+ 1)/2. Si u ∈ H0 entonces u es constante y ∆u = 0; asimismo
los u ∈ H1 son combinaciones lineales de x1, x2 y x3 de modo que ∆u = 0. Si u ∈ H` con
` ≥ 2 entonces, ∆u ∈ H`−2. Denotamos con K` el nucleo de la restricción de ∆ a H`. Ya
que para ` ≥ 2
dim(H`) = dim(K`) + dim(∆(H`)) ≤ dim(K`) + dim(H`−2) ,
tenemos
(43) dim(K`) ≥ dim(H`)− dim(H`−2) = 2`+ 1 .
Se tiene igualdad en los casos ` = 0 y ` = 1 y, en particular K` no es vacio. Denotando
con x̂ al vector unitario x/|x| cuando 0 6= x ∈ R3, observamos que si u ∈ K` se tiene
(44) u(x) = |x|`u(x̂) ,
de modo que hemos encontrado armónicas que son productos de la función radial x 7→ |x|`
con una función angular S2 3 x̂ 7→ u(x̂). Esta función angular es autofunción de la
restricción ∆o del Laplaciano a la esfera; en efecto si denotamos con û la restricción de u
a S2
35
Lema 4 Si u ∈ K` entonces ∆oû = −`(`+ 1)û.
Demostración: Con r := |x| tenemos
0 = ∆u =
(
∂2
∂r2
+
2
r
∂
∂r
+
1
r2
∆o
)
r`û
= `(`− 1)r`−2û+ 2`r`−2û+ r`−2∆oû = r`−2(`(`+ 1)û+ ∆oû) .
�
Tomemos uj ∈ K`j para j = 1, 2. Entonces la segunda identidad de Green aplicada en
la bola B1 = B1(0) dice
0 =
∫
B1
(u1∆u2 − u2∆u1)dv =
∫
S1(0)
(u1(∂u2/∂r)− u2(∂u1/∂r)dσ ;
pero en S1(0) = S2 tenemos ∂uj/∂r = `jûj de modo que
0 = (`2 − `1)
∫
S2
û1 û2dσ ;
luego como u esta en K` cuando u lo está, tenemos
Lema 5 Si u ∈ K` y v ∈ K`′ con ` 6= `′ entonces∫
S2
û v̂ dσ = 0 .
Para k ∈ N y u ∈ H`, la función x 7→ rku(x) no es un polinomio homogéneo cuando
k es impar pero está en H`+k si k es par15. Esto sugiere analizar los [`/2] + 1 subespacios
H`,k := {x 7→ r2ku(x) : u ∈ K`−2k} (k = 0, 1, 2, · · · , [`/2]) de H`. Proveeemos a H` con el
producto escalar
(45) 〈u, v〉 =
∫
S2
u(x̂) v(x̂) dσ .
Lema 6 Para k, k′ ∈ {0, 1, · · · , [`/2]} con k 6= k′ se tiene que H`,k y H`,k′ son subespacios
ortogonales de H`. La dimensión de H`,k es igual a la de K`−2k y se tiene
H` =
[`/2]⊕
k=0
H`,k .
La dimensión de Kj es 2j + 1 para todo j ∈ N.
15r2p = (x21 + x
2
2 + x
2
3)
p es polinomio homogéneo de grado 2p. Y, claramente, el producto de dos
polinomios homogéneos de cualquier grado es un polinomio homogéneo con la suma de esos grados como
grado.
36
Demostración: Las funciones φ en H`,k son de la forma φ(x) = r2kr`−2kû(x̂) = r`û(x̂) con
u ∈ K`−2k con lo cual queda aclarada la afirmación sobre las dimensiones. Si k 6= k′ y
φ1(x) = r
`û(x̂) y φ2(x) = r
`v̂(x̂) con û ∈ K`−2k y v ∈ K`−2k′ entonces
〈φ1, φ2〉 =
∫
S2
û(x̂) v̂(x̂) dσ = 0
por el Lema 2.
Tenemos entonces que
H` ⊃
[`/2]⊕
k=0
H`,k ;
de modo que
(`+ 1)(`+ 2)
2
= dim(H`) ≥
[`/2]∑
k=0
dim(H`,k) =
[`/2]∑
k=0
dim(K`−2k)
≥
[`/2]∑
k=0
(2`− 4k + 1) = (`+ 1)(`+ 2)
2
,
donde hemos usado la desigualdad (43) para obtener la segunda desigualdad. Pero enton-
ces si para algún k ∈ {0, 1, 2, · · · [`/2]} se tuviere dim(K`−2k) > 2`− 4k + 1 obtendriamos
una contradicción. Por lo tanto para todos estos k se tiene dim(K`−2k) = 2` − 4k + 1.
Pero, cualquiera sea j ∈ N, el sumando directo Kj aparece en la descomposición en suma
directa de Hj; esto muestra que dim(Kj) = 2j + 1. �
El siguiente resultado es consecuencia del famoso Teorema de Weierstraß
Teorema 4.7 El conjunto de las combinaciones lineales de {û : u ∈ K` , ` ∈ N} es
denso en el espacio de las funciones complejas continuas sobre S2 con respecto a la norma
‖f‖ := máx
ê∈S2
|f(ê)| .
Demostración: El Teorema de Weierstraß afirma que los polinomios p en las tres variables
son densos. Pero si p es de grado n entonces p(x) =
∑n
`=0 u` donde u` ∈ H`. Por el Lema
3, cada u` es suma finita de polinomios r
2ku`,k con u`,k ∈ K`−2k y k = 0, 1, · · · , [`/2]. Pero
entonces la restricción de p a S2 es suma finita de funciones en algún Kj. �
Si consideramos a C(S2) munido del producto escalar (45), y de la norma asociada
‖f‖2 :=
√
〈f, f〉 ,
entonces este espacio no es completo; pero existe un único espacio de Hilbert tal que
C(S2) es denso en este espacio con respecto a norma ‖ · ‖2. Este espacio de Hilbert es
denotado por L2(S2).
37
Teorema 4.8 Las combinaciones lineales de {û : u ∈ K` , ` ∈ N} son densas en L2(S2).
Si para cada ` ∈ N, {Y`,−`+j : j = 0, 1, · · · , 2`} es una base ortonormal de K`, entonces
{Y`,−`+j : ` ∈ N , j = 0, 1, · · · , 2`} es una base ortonormal de L2(S2) que diagonaliza a
∆o pues ∆oY`,−`+j = −`(`+ 1)Y`,`+j para todo ` ∈ N y todo j = 0, 1, · · · , 2`.
Demostración: Dada f ∈ L2(S2) y � > 0, hay g ∈ C(S2) con ‖f − g‖2 ≤ �/2 y hay h
combinación de funciones û con u ∈ K` tal que ‖g − h‖ ≤ (�/8π). Entonces
‖f − h‖2 = ‖f − g + (g − h)‖2 ≤ ‖f − g‖2 + ‖g − h‖2
≤ �
2
+
∫
S2
|g(x̂)− h(x̂)| dσ ≤ �
2
+
�
8π
∫
S2
dσ = � .
El resto está claro. �
LLamamos función esférica (de orden `) a cualquier función û con u ∈ K`.
4.5.3. Determinación de las funciones esféricas
Para x ∈ R3 y t real sea
ζ(x, t) := x3 + ix1 cos(t) + ix2 sin(t) ,
tenemos
∂ζ
∂x1
(x, t) = i cos(t) ,
∂ζ
∂x2
(x, t) = i sin(t) ,
∂ζ
∂x3
(x, t) = 1 ;
de modo que si definimos
φ`,m(x) :=
∫ π
−π
(ζ(x, t))`eimt dt , x ∈ R3 , ` ∈ N , m ∈ {0,±1, · · · ,±`} ,
se satisface ∆φ±`,m = 0 cuando ` = 0 o ` = 1. Pero, también, para ` ≥ 2:
∂2φ`,m
∂x21
(x) = −`(`− 1)
∫ π
−π
(ζ(x, t))`−2 cos(t)2eimt dt ,
∂2φ`,m
∂x22
(x) = −`(`− 1)
∫ π
−π
(ζ(x, t))`−2 sin(t)2eimt dt ,
∂2φ`,m
∂x23
(x) = `(`− 1)
∫ π
−π
(ζ(x, t))`−2eimt dt ;
con lo cual ∆φ±`,m = 0 para todo ` ∈ N. Observese que el mapa x 7→ (ζ(x, t))` es un
polinomio homogéneo de grado ` cuyos coeficientes son funciones (2π-periódicas) de t.
Pero entonces, al integrar respecto de t se obtiene un polinomio homogéneo de grado `; o
sea que φ±`,m ∈ K`. Restringiendonos a S2 tenemos
φ`,m(θ, ϕ) =
∫ π
−π
[cos(θ) + i sin(θ) cos(ϕ) cos(t) + sin(ϕ) sin(t)]`eimt dt
38
=
∫ π
−π
[cos(θ) + i sin(θ) cos(ϕ− t)]`eimt dt = eimϕ
∫ ϕ+π
ϕ−π
[cos(θ) + i sin(θ) cos(α)]`e−imα dα
ya que el integrando es 2π-periódico podemos reemplazar el intervalo de integración por
cualquier intervalo de largo 2π; aśı
φ`,m(θ, ϕ) = e
imϕ
∫ π
−π
[cos(θ) + i sin(θ) cos(α)]`e−imα dα
= 2eimϕ
∫ π
0
[cos(θ) + i sin(θ) cos(α)]` cos(mα) dα .
La comparación con el Teorema 1, nos entrega que φ`,m es proporcional a e
imϕPm` (cos(ϑ)).
Renormalizando estas φ`,m podemos escribir
(46) φ`,m(ϑ, ϕ) = c`,me
imϕPm` (cos(ϑ)) ;
y elegiremos las constantes c`,m para que φ`,m esté normalizada. Ya que φ`,m y φ`′,m′ son
ortogonales para ` 6= `′ por el Lema 2, tenemos
〈φ`,m, φ`′,m′〉 = δ`,`′〈φ`,m, φ`,m′〉
= c`,m c`,m′δ`,`′
∫ π
0
dϑ sin(ϑ)Pm` (cos(ϑ))P
m
` (cos(ϑ))
∫ 2π
0
ei(m
′−m)ϕdϕ
= 2π|c`,m|2 δ`,`′δm,m′
∫ 1
−1
[Pm` (x)]
2 dx .
El cálculo de la integral faltante da∫ 1
−1
[Pm` (x)]
2 dx =
2(`+m)!
(2`+ 1)(`−m)!
.
Por lo tanto los armónicos esféricos
(47) Y m` (ϑ, ϕ) :=
√
(2`+ 1)(`−m)!
4π(`+m)!
eimϕPm` (cos(ϑ)) , ` ∈ N , m = 0,±1,±2, · · · ,±` ,
constituyen una base ortonormal del espacio de Hilbert L2(S2). Satisfacen
∆oY
m
` = −`(`+ 1)Y m` ,
∂Y m`
∂ϕ
= imY m` .
Se tiene:
1. Y m` = (−1)mY
−m
` .
2. Y m` (π − ϑ, ϕ+ π) = (−1)`Y m` (ϑ, ϕ).
39
3. Si x es no nulo se tiene
Y m1 (ϑ, ϕ) = |x|−1

−(x1 + ix2)/
√
2 , si m = 1
x3 , si m = 0
(x1 − ix2)/
√
2 , si m = −1
,
lo que define las llamadas componentes esféricas del vector x.
4. Si x̂ y ŷ enS2 forman el ángulo agudo ϑ (o sea: x̂ · ŷ = cos(θ) con 0 ≤ ϑ ≤ π)
entonces
(48) P`(cos(θ)) =
4π
2`+ 1
∑̀
m=−`
Y m` (x̂)Y
m
` (ŷ) ;
aqúı P` = P
0
` es el polinomio de Legendre de grado `.
5.
eik·x = 4π
∞∑
`=0
i`j`(|k| |x|)
∑̀
m=−`
Y m` (k̂)Y
m
` (x̂) ;
aqúı j` es la función esférica de Bessel (de orden `) dada por
j`(z) =
√
π
2z
J`+1/2(z)
donde J denota la función de Bessel (de primera especie).
4.5.4. ¿Y el problema original?
Con la información obtenida las armónicas u(r, r̂) = R(r)Y (r̂) que se separan son
necesariamente aquellas con Y una función esférica de orden ` ∈ N arbitrario16 en cuyo
caso la ec. radial del apartado 4.5.1 es
r2R′′ + 2rR′ − `(`+ 1)R = 0 ;
una ec. de Euler con polinomio indicial α(α+1)−`(`+1) cuyas raices son ` y −(`+1). La
segunda ráız conduce a una singularidad en r = 0 de modo que las armónicas regulares
buscadas son
u`(x) = |x|` Y`(x̂) , x 6= 0 ,
donde Y` es esférica de orden `, con u0(0) = 1 y u`(0) = 0 para ` ≥ 1. Estas armónicas
especiales constituyen una familia muy rica de armónicas y podemos antonces plantear
a una suma (o serie infinita) de ellas como armónica en un abierto acotado V ⊂ R3; los
coeficientes correspondientes quedan determinados por el valor de la armónica en el borde
∂V . Esto conduce a un método para atacar el problema de Dirichlet para la ec. de Laplace
16O sea: combinaciones lineales de Y m` , m ∈M`.
40
o de Poisson.
las funciones w`(x) = |x|−`−1Y`(x̂) son armónicas fuera de x = 0 y todas separan
en variables esféricas. w0 y w1 son integrables en R3 y las demás pueden tomarse como
distribuciones sobre la funciones de soporte compacto fuera de 0.
4.6. El Laplaciano con condiciones homogéneas
Se ha visto que el Laplaciano en un abierto acotado V ⊂ Rd es simétrico si se imponen
las condiciones homogéneas; en consecuencia los autovalores –si existen– son reales. Si u
es autofunción al autovalor λ entonces aplicando la segunda identidad de Green,
(49) λ
∫
V
u2 dv =
∫
V
u∆u dv = −
∫
V
|∇u|2 dv +
∫
∂V
u
∂u
∂n
dσ ;
en los casos (D) o (N) la integral sobre el borde se anula y obtenemos
λ
∫
V
u2 dv = −
∫
V
|∇u|2 dv
de donde deducimos que λ ≤ 0. En el caso de condición de Dirichlet, si λ = 0 entonces
∇u = 0 y de aqúı se obtiene primero que u es constante y luego de que esta constante
es nula contradiciendo la condición de que u es auto-función. En el caso de condición de
Neumann el mismo argumento a partir de λ = 0 nos da u = const. y no hay contradicción.
En el caso de una condición mixta,∫
∂V
u
∂u
∂n
dσ = −
∫
∂V
α
(
∂u
∂n
)2
dσ ;
y si α es una función no-negativa sobre ∂V entonces, nuevamente, (49) implica que λ ≤ 0
y, en el caso λ = 0 se obtiene que u = const. y luego que u ≡ 0. Por lo tanto:
Teorema 4.9 Sea λ un autovalor del Laplaciano sobre el abierto acotado V . En los casos
de condición homogéneas de Dirichlet o mixta con función α no-negativa se tiene λ < 0.
En el caso de condición homogénea de Neumann λ ≤ 0 y 0 es autovalor.
Usemos nuestro conocimiento sobre las funciones esféricas (en R3) y las funciones
trigonométricas para desarrollar una autofunción u a un autovalor λ del Laplaciano.
De ∆u = λu y
u(x) =
∑
m∈Z
um(|x|)eimϕ
en el caso bi-dimensional, obtenemos con r := |x| de la ortogonalidad del sistema {ϕ 7→
eimϕ : m ∈ Z}
r2u′′m + ru
′
m + (r
2|λ| −m2)um = 0 .
41
Con el cambio de variable x :=
√
|λ| r y con Xm(x) := um(x/
√
|λ|) obtenemos la ec.
diferencial de Bessel de orden m para X:
x2X ′′ + xX ′ + (x2 −m2)X = 0 .
La solución general es una combinación lineal de Jm(
√
|λ|r) y Ym(
√
|λ|r). Tanto λ < 0
como los coeficientes en
u(x) =
∑
m∈Z
(amJm(
√
|λ|r) + bmYm(
√
|λ|r))eimϕ
quedarán determinados al imponer las condiciones de contorno que corresponden.
En el caso tri-dimensional
u(x) =
∑
`∈N
∑̀
m=−`
u`,m(r)Y
m
` (θ, ϕ)
y entonces
r2u′′`,m + 2ru
′
`,m + (r
2|λ| − `(`+ 1))u`,m = 0 .
La transformación x :=
√
|λ|r y X`,m(x) :=
√
2xu`,m(x/
√
|λ|) produce
x2x′′ + xX ′ + (x2 − [`+ 1/2])X = 0 ,
la ec. de Bessel de orden `+ 1/2. Entonces u`,m es combinación lineal de las funciones de
Bessel esféricas j`(
√
|λ|r) y y`((
√
|λ|r) de orden ` donde
j`(z) :=
√
π
2z
J`+1/2(z) , y`(z) :=
√
π
2z
Y`+1/2(z) .
Nuevamente, tanto λ como los coeficientes se determinan a través de las condiciones de
contorno homogéneas; esto se puede hacer expĺıcitamente solamente en casos de dominios
V muy especiales (esferas, semiesferas, ...).
5. Funciones de Green II
Calculemos el laplaciano de la función generalizada R3 ∈ x 7→ 1/r, r := |x|. Tenemos
T1/rf =
∫
R3
f(x)
|x|
dx ,
de modo que
(∆T1/r)f = T1/r(∆f) =
∫
S1(0)
dΩ
∫ ∞
0
dr r sin(θ)
(
frr + 2
fr
r
+
fϕϕ
r2 sin(θ)2
+
fθθ
r2
+
cos(θ)fθ
r2 sin(θ)
)
.
42
Ahora, ∫ π
0
dθ sin(θ)
(
fθθ +
cos(θ)fθ
sin(θ)
)
=
∫ π
0
dθ (sin(θ)fθθ + cos(θ)fθ)
= sin(θ)fθ |π0 −
∫ π
0
dθ cos(θ)fθ +
∫ π
0
dθ cos(θ)fθ = 0 ;
y ∫ 2π
0
dϕ fϕϕ = fϕ(r, 2π, θ)− fϕ(r, 0, θ) = 0 ;
de modo que
T1/r(∆f) =
∫
S1(0)
dΩ sin(θ)
∫ ∞
0
dr (rfrr + 2fr)
=
∫
S1(0)
dΩ sin(θ)
{
rfr|∞0 −
∫ ∞
0
dr fr + 2
∫ ∞
0
dr fr
}
=
∫
S1(0)
dΩ sin(θ)
∫ ∞
0
fr dr
= −
∫
S1(0)
dΩ sin(θ)f(0) = −4πf(0) .
O sea –como función generalizada–
∆(1/|x|) = −4πδ0(x) .
5.1. Funciones de Green para la ecuación de Poisson
5.2. Ecuación de ondas
En el electromagnétismo los potenciales A y Φ satisfacen ecuaciones de ondas in-
homogéneas cuya inhomogenidades (dependiendo del gauge elegido) están determinadas
por la distribución de cargas y corrientes. Es entonces preciso resolver la ec. de ondas
inhomogénea
utt − c2∆u = f
donde la inhomgeneidad f es una función de (x, t).
En analoǵıa con la ec. de Poisson se reemplaza la inhomogeneidad por δξ(x)δτ (t):
Γtt(·; ξ, τ)− c2(∆Γ)(·; ξ, τ) = δξ δτ .
Para atacar esta ecuación proponemos el caso ξ = 0, τ = 0 –el caso general se obtiene
trasladando– y consideramos la transformada de Fourier temporal de Γ
Γ̂(x, ω) = (2π)−1/2
∫
R
Γ(x, t) e−iωt dt .
En tal caso,
∆Γ̂ + (ω/c)2Γ̂ =
1
c2
√
2π
δ0 .
43
Buscamos una solución distribucional radial Γ̂(x, ω) = g(r, ω) (r = |x|) ya que δ0 es
radial. Entonces
r−1
d2
dr2
(rg) + (ω/c)2g = 0 , r > 0 .
Equivalentemente, con k := ω/c,
(rg)′′ + k2rg = 0 , r > 0 .
La solución es rg(r) = Aeikr +Be−ikr o bien
g(r) = a
cos(kr)
r
+ b
sin(kr)
r
.
Si tomamos a Γ̂(x, ω) := g(|x|) como función generalizada y calculamos su Laplaciano
obtenemos:
(∆Γ̂)(x) = (a cos(kr) + b sin(kr))(∆[1/r])− k2Γ̂(x, ω)
= −k2Γ̂(x, ω) + (a cos(kr) + b sin(kr))(−4πδ0(x)) = −k2Γ̂(x, ω)− 4πaδ0(x)) ,
de modo que
Γ̂(x, ω) =
−1
4π
√
2πc2|x|
(cos(ω|x|/c) + b sin(ω|x|/c)) .
Para calcular la antitransformada de Fourier recordamos que la transformada de Fourier
de la función generalizada t 7→ δa(t) es (2π)−1/2e−iωa de modo que∫
R
eiω(t−a) dω = 2πδa(t)
y entonces ∫
R
cos(ω|x|/c)eiωt dt = π
(
δ−|x|/c(t) + δ|x|/c(t)
)
,∫
R
sin(ω|x|/c)eiωt dt = −iπ
(
δ−|x|/c(t)− δ|x|/c(t)
)
.
Obtenemos aśı
Γ(x, t; 0, 0) =
−1
8πc2|x|
(
[1− ib] δ−|x|/c(t) + [1 + ib] δ|x|/c(t)
)
.
Cuando t > 0 el primer sumando debe anularse de modo que b = −i mientras que cuando
t < τ es el segundo sumando que debe anularse y entonces b = i. En ambos casos hay un
factor 2 y podemos reescribir
Γ(x, t; 0, 0) =
−1
4πc2|x|
δ|x−ξ|/c(|t|) .
Trasladando espacialmente y temporalmente
Γ(x, t; ξ, τ) =
−1
4πc2|x− ξ|
δ|x−ξ|/c(|t− τ |) .
FALTA incorporar cond. de Cauchy y/o de borde !
44
6. Clasificación de ec. diferenciales de segundo orden
(quasi-lineales). Superficies caracteŕısticas
Si en una ec. diferencial de segundo orden los sumandos donde aparecen las derivadas
parciales de orden 2 son lineales se tiene, para d variables, la expresión general
(50)
d∑
j,k=1
aj,k(x)
∂2u
∂xj∂xk
+ f(x, u,∇u) = 0 ,
donde la función f puede ser no-lineal en sus argumentos y las funciones aj,k satisfacen
aj,k = ak,j. Escribimos A para la matriz (d×d) formada con estos elementos. Consideremos
una transformación de variables dada por
yj = yj(y) , j = 1, 2, · · · , d ,
dondeel Jacobiano
J(x) =
(
∂yj
∂xk
)
es no singular en algún abierto D ⊂ Rd. Con la regla de la cadena, la ED (50) en las
nuevas variables adopta la forma
d∑
j,k=1
(
d∑
m,n=1
Jj,mam,nJk,n
)
∂2w
∂yj∂yk
+ g(y, w,∇w) ,
donde g contiene todos los términos que no tienen derivadas parciales de segundo orden;
aqúı la función w es la función u en términos de las nuevas variables w(y) = u(x). Esta
es una ec. diferencial de segundo orden (50) cuya matriz es ahora
J(x(y))A(x(y))(J∗)(x(y))
siendo J∗ la transpuesta de J . La matriz en las nuevas variables es congruente a la matriz
original. Ya que cualquier matriz cuadrada real y simétrica puede diagonalizarse, A es
congruente (en este caso J es ortogonal o sea J∗ = J−1) a la matriz diagonal formada
con los autovalores {λj : j = 1, 2, · · · , d} repetidos de acuerdo a su multiplicidad. La ec.
diferencial (50) en el punto x es:
eĺıptica si A(x) no tiene autovalor nulo y todos los autovalores tienen el mismo
signo. En tal caso, si las funciones aj,k son suaves, hay un entorno E de x tal que
la ec. es eĺıptica en todo E.
hiperbólica (en general), si no hay autovalor nulo pero no todos tienen el mismo
signo. Se habla de hiperbólica normal si hay exactamente un autovalor de signo
distinto al de los demás. Las ecuaciones hiperbólicas son estables en el sentido de
que permanecen hiperbólicas en un entorno de un punto donde son hiperbólicas.
45
parabólica (en general) si hay autovalor nulo y parabólica normal si hay un
único autovalor nulo y los demás tienen todos el mismo signo.
En el caso de dos variables (d = 2), se tiene
(51) a(x, y)
∂2u
∂x2
+ 2b(x, y)
∂2u
∂x∂y
+ c(x, y)
∂2u
∂y2
+ f(x, y, u,∇u)
y la clasificación queda determinada (¡verifiquelo!) por el signo de la discriminante det(A) =
ac− b2: la ec. es eĺıptica si ac− b2 > 0; hiperbólica (y normal) si ac− b2 < 0; y parabólica
(y normal) si ac = b2.
Antes de seguir es bueno observar que la clasificación solamente usa los signos de los
autovalores (no su magnitud) y que por esto se puede proceder usando la ley de inercia
de Sylvester para matrices simétricas reales. Hacemos algunas precisiones y ejemplos en
el Apéndice F.
6.1. Hiper-superficies caracteŕısticas
Consideramos el problema de Cauchy para la ec. diferencial (50) en Ω con datos
especificados en una superficie S ⊂ Ω. Como superficies tomamos solamente aquellas que
son la superficie de nivel de una función φ continuamente diferenciable definida en Ω; o
sea S = {x ∈ Ω : φ(x) = const.}. Considerando la función φ menos la constante en
cuestión, podemos suponer que
S = {x ∈ Ω : φ(x) = 0} .
Suponemos también que φ es dos veces continuamente diferenciable y que todo punto de
S es lo que se dice no-singular
(∇φ)(x) 6= 0 .
Los datos especificados en S son u y ∇u. Imaginemos que hacemos una expansión de
Taylor de u alrededor de un punto xo ∈ S para calcular u en un entorno de ese punto.
Variando a xo en S podemos obtener la solución u en un abierto que continene a S. Para
ello es preciso conocer (todas) las derivadas parciales de u en S. La pregunta es entonces:
¿es posible determinar las derivadas parciales de u en S a partir de la ec. diferencial
(50) y los valores de u y ∇u en S? Para responder esta pregunta consideramos una
transformación de Ω que aplica a S en un hiperplano. Suponemos que ∂φ/∂x1 no se anula
en Ω y definimos la transformación de variables x→ ξ por
(52) ξ1 := φ(x) , ξj := xj , j = 2, 3, · · · , d .
Para el Jacobiano J(x) de esta transformación se calcula inmediatamente que det(J(x) =
φx1 de modo que la transformación es regular. Denotando con Ωo la imagen de Ω bajo
la transformación, la imagen de la superficie de nivel S bajo esta transformación es un
abierto So contenido en el hiperplano H := {ξ ∈ Rd : ξ1 = 0}. Denotamos con w(ξ) la
46
función a la función u vista como función de las variables transformadas ξ. Es importante
observar que para calcular las derivadas parciales ∂w/∂ξj para j = 2, 3, · · · , d, en un punto
de So, sólo se debe conocer a w en So. En cambio para calcular ∂w/∂ξ en So directamente
tenemos que disponer de los valores de w fuera de So. Sin embargo,
wξ1 = ux1/φx1 ; wξj = uxj − φxjux1/φx1 j ≥ 2 ;
lo que nos permite determinar la derivada parcial wξ1 en So a partir de los datos en S.
Con los datos (u,∇u) en S están determinados los datos (w,∇w) en So.
Para las segundas derivadas se obtiene
de modo que la ec. diferencial (50) toma la forma
(53)
[
d∑
j,k=1
aj,kφxjφxk
]
wξ1ξ1 = −
1
2
∑
{1≤j,k≤d; (j,k)6=(1,1)}
aj,kφxjφxkwξjξk + g(ξ, w,∇w) ,
donde hemos explicitado solamente los términos con derivadas de segundo orden. El
término g puede determinarse en So a partir de los datos (w,∇w) en So. Las deriva-
das parciales wξj ,ξk con j ≥ 2 o bien con k ≥ 2, en So pueden determinarse a partir de
∇w en So ya que para j ≥ 2 y k arbitrario
∂2w
∂ξk∂ξj
=
∂2w
∂ξj∂ξk
= ĺım
h→0
(
∂w
∂ξk
)
(0, ξ2, · · · , ξj + h, · · · , ξd)−
(
∂w
∂ξk
)
(0, ξ2, · · · , ξj, · · · , ξd)
h
y el miembro derecho sólo requiere conocimiento de ∇w en So. El cálculo de wξ1ξ1 requiere
conocer a wξ1 fuera de So. Sin embargo, la ec. diferencial permite el cálculo de esta segunda
derivada (“normal” a So) si el factor asociado con esta derivada en (53) no se anula. Todo
esto depende de que la φx1 6= 0 en algún punto de S. Pero nuestra hipótesis de no-
singularidad de S implica que cualquiera sea el punto de S, hay k ∈ {1, 2, · · · , d} tal que
φxk 6= 0 es en ese punto y a fortiori en algún entorno de él. Realizando la transformación
(52) con 1 y k permutados, el factor de wξkξk en (53) es siempre el mismo (e independiente
de k). La superficie S se dice caracteŕıstica en el punto xo ∈ S si
(54) 0 =
d∑
j,k=1
aj,k(xo)φxj(xo)φxk(xo) = (∇φ)(xo) · [A(xo)(∇φ)(xo)] ,
y no-caracteŕıstica en xo en caso contrario. Para obtener entonces una superficie carac-
teŕıstica es preciso resolver la ec. diferencial (54) y imponerla condición de n0-singularidad
∇φ 6= 0.
Ejemplo 6.0: Un caso especial es aquel de una función lineal φ(x) = d · x donde
∇φ = d y S es el subespacio de vectores ortogonales a d. La ec. caracteŕıstica se re-
duce a d · A(x)d = 0. Cuando A es constante se pueden determinar los vectores d no
nulos en casos hiperbólicos o parabólicos. J
Comentarios, ejemplos y desarrollos
47
1. (Laplaciano) Para la ec. de Laplace –que es eĺıptica– la matriz A es un multiplo
no-nulo de la identidad y la condición (54) implica que (∇φ)(xo) = 0; por lo tanto
no hay superficies caracteŕısticas.
2. (Eĺıpticas) Si la ED es eĺıptica en un punto xo tendremos eventualmente mutipli-
cando a la ED por −1 que los autovalores λ1, λ2, · · · , λd enumerados teniendo en
cuenta sus multiplicidades son todos positivos. Hay una transformación ortogonal
T de Rd tal que
T ∗AT = diag(λ1, λ2, · · · , λd) .
Sea
B = Tdiag(
√
λ1,
√
λ2, · · · ,
√
λd)T
∗ .
Entonces B∗ = B y B2 = A(xo. Suponga que la superficie S es caracteŕıstica en xo;
en tal caso
0 = (∇φ) · [A(∇φ)] = (∇φ) ·
[
B2(∇φ)
]
= (B∗∇φ) · [B(∇φ)] = |B(∇φ)|2
y, por lo tanto, B(∇φ) = 0; o sea
Tdiag(
√
λ1,
√
λ2, · · · ,
√
λd)T
∗(∇φ) = 0 ;
multiplicando desde la izquierda por Tdiag(
√
1/λ1,
√
1/λ2, · · · ,
√
1/λd)T
∗ obtene-
mos que ∇φ = 0. ¡Las ecuaciones eĺıpticas no admiten superficies caracteŕısticas!
3. (Hiperbólicas y parabólicas) Discutimos solamente el caso bi-dimensional (51) su-
poniendo que b2− ac ≥ 0 o sea los casos hiperbólicos (>) y parabólico (= 0). La ec.
caracteŕıstica (54) correspondiente es
a(φx)
2 + 2b(φx)(φ)y + c(φy)
2 = 0 .
Si φ es solución con φy 6= 0 en un entorno de (xo, yo), el Teorema de la Función
Implicita aplicado a φ(x, y) = 0 en el punto xo, yo) entrega un entorno del punto
xo y una función η alĺı definida tal que φ(x, η(x)) = 0 en ese entorno y η
′(x) =
−φx(x, η(x))/φy(x, η(x)). Entonces –siempre en el entorno ese de xo– se tiene
0 = a(−η′/φy)2 + 2b(−η′/φy)φy + c(φy)2 = (φy)2
[
a(η′)2 − 2bη′ + c
]
,
de modo que a(η′)2 − 2bη′ + c = 0. Si a 6= 0 se tiene entonces17