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ÁLGEBRA I
SEGUNDO CUATRIMESTRE - AÑO 2019
PRÁCTICO 5
(1) Demostrar las siguientes congruencias usando las propiedades de la suma y el producto
con respecto a la relación de congruencia:
(a) 365 ≡ −1(37) (b) 6n + 8 ≡ 4(5)
(2) Calcular el resto de la división de x por n sin realizar la división en los siguientes casos
(a) x = 1599 y n = 39 (Ayuda: 1599 = 1600− 1 = 402 − 1).
(b) x = 914 y n = 31.
(c) x = 16 + 26 + 36 + 46 + 56 + 66 + 76 + 86 y n = 9.
(d) x =
∑100
i=1 i! y n = 50.
(3) Hallar la cifra de las unidades y la de las decenas del número 715.
(4) Probar el ejercicio (3)(a) del Práctico 3 usando congruencias, sin usar inducción.
(5) Probar que si m ∈ Z, entonces m2 ≡ 0(3) ó m2 ≡ 1(3). (Notar que esta es otra manera de
realizar el ejercicio (17) del Práctico 3)
(6) Sean m,n ∈ Z. Usando congruencias probar que 3 divide a m2 + n2 si y sólo si 3 divide a
m y a n.
(7) (a) Probar las reglas de divisibilidad por 2, 4, 5, 8.
(b) Decir por cuáles de los números 2, 3, 4, 9 y 11 son divisibles los números 12342,
5176, 314573 y 899.
(8) Decidir cuales de las siguientes ecuaciones tienen solución. Dar el conjunto de soluciones
de las ecuciones que tengan solución.
(a) 2x ≡ −12 (7) (b) 20x ≡ −16 (12) (c) 20x ≡ −15 (12)
(9) Sean a, b, m ∈ Z, d > 0 tales que d | a, d | b y d |m. Probar que la ecuación a ·x ≡ b (m)
tiene solución si y sólo si tiene solución la ecuación
a
d
· x ≡ b
d
(m
d
)
.
(10) Obtener el resto en la división de 221 por 13 y de 825 por 127.
Práctico 4 Álgebra I - 2016
(11) Calcular el resto de 3n dividido 7 para n = 1, ..., 30. Dar una fórmula para los restos en
función del resto de n dividido 6.
(12) Probar que para todo primo p > 3 se cumple que p|2p−2 + 3p−2 + 6p−2 − 1.
(13) Probar que las soluiones de la ecuación x12 ≡ 1(12) en Z12 son 1̄, 5̄, 7̄ y 1̄1.
(14) Sea a un entero tal que (18a49−14, 104) = 26. Calcular el resto en la división de a por 13.
(15) Dar el conjunto de soluciones de los siguientes sistemas de congruencias:
a)

x ≡ 1 (3)
x ≡ 2 (5)
x ≡ 3 (7)
b)
4x ≡ 11(15)10x ≡ 8(10)
(16) Probar que si (a, 1001) = 1 entonces 1001 divide a a720 − 1.
(17) Sean a y b enteros coprimos. Supongamos que el resto de x ∈ Z divido por a es igual al
resto de x divido por b. Llamemos a dicho resto r. Probar que el resto de x dividido por
a · b también es r.
(18) Una banda de 13 piratas se reparten N monedas de oro, le sobran 8. Dos mueren, las
vuelven a repartir y sobran 3. Luego 3 se ahogan y sobran 5. ¿Cuál es la mı́nima cantidad
posible N de monedas?
(19) Dar todos los pares (x, y) ∈ Z7 × Z7 tales que x + 2y ≡ 0 (mod 7).
Más ejercicios. Si ya hizo los ejercicios anteriores continue a la siguiente guı́a. Los ejercicios que
siguen son similares a los anteriores y le pueden servir para practicar antes de los exámenes.
(1) Hacer la primera pare del ejercicio (1) adicional del Práctico 3 usando congruencias, sin
hacer inducción.
(2) Sea n ∈ N. Probar que todo número de la forma 4n − 1 es divisible por 3.
(3) Hacer el ejercicio (17) del Práctico 3 y el ejercicio (2) de los adicionales de la misma guı́a
usando congruencias.
(4) Sean m,n ∈ Z. Probar que 7 divide a m2 + n2 si y sólo si 7 divide a m y a n.
(5) Resolver la ecuación 221x ≡ 85 (340). Hallar todas las soluciones x tales que 0 ≤ x <
340.
(6) Resolver la siguiente ecuación 3x ≡ 5 (4).
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Práctico 4 Álgebra I - 2016
(7) Dado t ∈ Z, decimos que t es inversible módulo m si existe h ∈ Z tal que th ≡ 1 ( m).
(a) Probar que t es inversible módulo m, si y sólo si (t,m) = 1.
(b) Determinar los inversibles módulo m, para m = 11, 12, 16.
(8) Calcular el resto de 2n dividido 7 para n = 1, ..., 30. Notar que los restos se repiten con
cierta periodicidad. Dar una fórmula para los restos en función del resto de n dividido el
perı́odo con que se repiten los valores.
(9) Hallar el resto en la división de x por 5 y por 7 para:
(a) x = 18 + 28 + 38 + 48 + 58 + 68 + 78 + 88;
(b) x = 3 · 11 · 17 · 71 · 101.
(10) Dar la tabla de la suma y del producto en Z2, Z3 y Z4. En cada caso ¿son todos sus
elementos inversibles?
(11) Cinco hombres recogieron en una isla un cierto número de cocos y resolvieron repartirlos
al dı́a siguiente. Durante la noche uno de ellos decidió separar su parte y para ello dividió
el total en cinco partes y dió un coco que sobraba a un mono y se fue a dormir. Enseguida
otro de los hombres hizo lo mismo, dividiendo lo que habı́a quedado por cinco, dando
un coco que sobraba a un mono y retirando su parte, se fue a dormir. Uno tras otro los
tres restantes hicieron lo mismo, dándole a un mono el coco que sobraba. A la mañana
siguiente repartieron los cocos restantes, dándole a un mono el coco sobrante.¿Cuál es el
número mı́nimo de cocos que se recogieron?
(12) Dar todos los triples (x, y, z) ∈ Z7 × Z7 × Z7 tales que x + 2y + 3z ≡ 0 (mod 7).
(13) Dar el conjunto de soluciones de los siguientes sistemas de congruencias:
a)

x ≡ 1 (3)
x ≡ 1 (5)
x ≡ 1 (7)
b)
4x ≡ 11(15)10x ≡ 8(12)
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