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Categoŕıas Extensivas y Cohesión Axiomática
M. Menni
Conicet
y
Departamento de Matemática de la
Universidad Nacional de La Plata, Argentina.
2/128
Objeto cero
Definición
Una categoŕıa tiene objeto nulo si tiene inicial 0, terminal 1, y la
única flecha 0→ 1 es un isomorfismo.
Tener un objeto nulo implica la existencia de un morfismo canónico
A
0
;;
// 1 = 0 // B
para todo par de objetos A, B.
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Objeto cero
Definición
Una categoŕıa tiene objeto nulo si tiene inicial 0, terminal 1, y la
única flecha 0→ 1 es un isomorfismo.
Tener un objeto nulo implica la existencia de un morfismo canónico
A
0
;;
// 1 = 0 // B
para todo par de objetos A, B.
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Categoŕıas lineales
Definición
Una categoŕıa es lineal si tiene productos finitos, coproductos
finitos, objeto nulo, y el morfismo canónico
A + B
id 0
0 id

// A× B
es un isomorfismo para todo par de objetos A, B.
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Notas al caṕıtulo VIII de CWM
Shortly after the discovery of categories, Eilenberg and Steenrod
[1952] showed how the language of categories and functors could
be used to give an axiomatic description of the homology and
cohomology of a topological space. This, in turn, suggested the
problem of describing those categories in which the values of such
a homology theory could lie. After discussions with Eilenberg, this
was done by Mac Lane [1948, 1950]. His notion of an “abelian
bicategory” was clumsy, and the subject languished until
Buchsbaum’s axiomatic study [1955] and the discovery by
Grothendieck [1957] that categories of sheaves (of abelian groups)
over a topological space were abelian categories but not categories
of modules, and that homological algebra in these categories was
needed for a complete treatment of sheaf cohomology (Godement
[1958]).
(Notar que los teoremas de representación necesitan existencia de
generadores, etc.)
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Categoŕıas de
haces de conjuntos
(sheaves of sets)
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Topos de Grothendieck
Para C una categoŕıa chiquita (i.e. small) sea Ĉ = ConjCop ;
la categoŕıa de prehaces (presheaves).
Si J es una topoloǵıa de Grothendieck sobre C entonces
Sh(C, J)→ Ĉ
es la subcategoŕıa plena de haces (i.e. sheaves) sobre (C, J).
Definición
Un topos de Grothendieck es una categoŕıa de la forma Sh(C, J).
Proposición (Little Giraud Theorem)
Para toda categoŕıa chiquita C, la asignación J 7→ Sh(C, J) es una
biyección entre las topoloǵıas de Grothendieck sobre C y las
localizaciones de Ĉ.
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Topos de Grothendieck
Para C una categoŕıa chiquita (i.e. small) sea Ĉ = ConjCop ;
la categoŕıa de prehaces (presheaves).
Si J es una topoloǵıa de Grothendieck sobre C entonces
Sh(C, J)→ Ĉ
es la subcategoŕıa plena de haces (i.e. sheaves) sobre (C, J).
Definición
Un topos de Grothendieck es una categoŕıa de la forma Sh(C, J).
Proposición (Little Giraud Theorem)
Para toda categoŕıa chiquita C, la asignación J 7→ Sh(C, J) es una
biyección entre las topoloǵıas de Grothendieck sobre C y las
localizaciones de Ĉ.
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Topos de Grothendieck
Para C una categoŕıa chiquita (i.e. small) sea Ĉ = ConjCop ;
la categoŕıa de prehaces (presheaves).
Si J es una topoloǵıa de Grothendieck sobre C entonces
Sh(C, J)→ Ĉ
es la subcategoŕıa plena de haces (i.e. sheaves) sobre (C, J).
Definición
Un topos de Grothendieck es una categoŕıa de la forma Sh(C, J).
Proposición (Little Giraud Theorem)
Para toda categoŕıa chiquita C, la asignación J 7→ Sh(C, J) es una
biyección entre las topoloǵıas de Grothendieck sobre C y las
localizaciones de Ĉ.
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Topos (‘elementales’ o ‘de Lawvere y Tierney’)
Definición
Un topos (de L-T) es una categoŕıa que:
1. tiene ĺımites finitos,
2. para todo objeto X , X × (−) a (−)X y
3. tiene clasificador de subobjetos.
Teorema
Una categoŕıa localmente chiquita es un topos de Grothendieck si
y solo si es un topos (de L-T) con un conjunto separador y
coproductos indexados por conjuntos arbitrarios.
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Topos (‘elementales’ o ‘de Lawvere y Tierney’)
Definición
Un topos (de L-T) es una categoŕıa que:
1. tiene ĺımites finitos,
2. para todo objeto X , X × (−) a (−)X y
3. tiene clasificador de subobjetos.
Teorema
Una categoŕıa localmente chiquita es un topos de Grothendieck si
y solo si es un topos (de L-T) con un conjunto separador y
coproductos indexados por conjuntos arbitrarios.
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Categories of spaces may not be generalized spaces ...[L86]
It has long been recognized [SGA4], [Lawvere72] that [...] toposes
come in (at least) two varieties: as spaces (possibly generalized,
treated via the category of sheaves of discrete sets), or as
categories of spaces (analytic [G2]1, topological [Johnstone79],
combinatorial, etc.).
The success of theorems [Johnstone85] which
approximate toposes by generalized spaces has perhaps obscured
the role of the second class of toposes, though some explicit
knowledge of it is surely necessary for a reasonable axiomatic
understanding of toposes of C∞-spaces or of the topos of
simplicial sets. [...] There are certain properties which a topos of
spaces often has; a wise selection of these should serve as an
axiomatic definition of the subject.
F. W. Lawvere. Categories of spaces may not be generalized spaces
as exemplified by directed graphs. TAC reprints, 2005.
1Grothendieck, A., Methods of Construction in Analytic Geometry, Cartan
Seminar 1960
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Categories of spaces may not be generalized spaces ...[L86]
It has long been recognized [SGA4], [Lawvere72] that [...] toposes
come in (at least) two varieties: as spaces (possibly generalized,
treated via the category of sheaves of discrete sets), or as
categories of spaces (analytic [G2]1, topological [Johnstone79],
combinatorial, etc.). The success of theorems [Johnstone85] which
approximate toposes by generalized spaces has perhaps obscured
the role of the second class of toposes, though some explicit
knowledge of it is surely necessary for a reasonable axiomatic
understanding of toposes of C∞-spaces or of the topos of
simplicial sets. [...]
There are certain properties which a topos of
spaces often has; a wise selection of these should serve as an
axiomatic definition of the subject.
F. W. Lawvere. Categories of spaces may not be generalized spaces
as exemplified by directed graphs. TAC reprints, 2005.
1Grothendieck, A., Methods of Construction in Analytic Geometry, Cartan
Seminar 1960
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Categories of spaces may not be generalized spaces ...[L86]
It has long been recognized [SGA4], [Lawvere72] that [...] toposes
come in (at least) two varieties: as spaces (possibly generalized,
treated via the category of sheaves of discrete sets), or as
categories of spaces (analytic [G2]1, topological [Johnstone79],
combinatorial, etc.). The success of theorems [Johnstone85] which
approximate toposes by generalized spaces has perhaps obscured
the role of the second class of toposes, though some explicit
knowledge of it is surely necessary for a reasonable axiomatic
understanding of toposes of C∞-spaces or of the topos of
simplicial sets. [...] There are certain properties which a topos of
spaces often has; a wise selection of these should serve as an
axiomatic definition of the subject.
F. W. Lawvere. Categories of spaces may not be generalized spaces
as exemplified by directed graphs. TAC reprints, 2005.
1Grothendieck, A., Methods of Construction in Analytic Geometry, Cartan
Seminar 1960
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Una clase interesante de cats A wise selection of certain props
for an axiomatic dfn of the subject
cats algebraicas (alg. universal) Cats exactas
ModR
cats of sheaves of abelian groups Cats abelianas
cats of sheaves of sets, Sh(C, J) Topos (de L-T)
Conjuntos simpliciales
Topos gros en GA
toposes of C∞-spaces
toposes ‘of spaces’ ??
categories ‘of spaces’ ??
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Categoŕıas extensivas
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Categoŕıas extensivas
Definición
Una categoŕıa C con coproductos finitos es extensiva si, para todo
X , Y en C, el functor canónico
C/X × C/Y + // C/(X + Y )
es unaequivalencia.
Ver [Lawvere91,Schanuel91,CarboniLackWalters,Gates98].
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Proposición. La categoŕıa de conjuntos es extensiva
Sea C = Conj. Buscamos el ‘inverso’ de
C/X × C/Y → C/(X + Y ).
Tomemos un objeto f : Z → X + Y en el codominio y
construyamos el correspondiente objeto en el dominio.
Consideramos los productos fibrados (pullbacks)
X ′
g
��
⊆
j0
// Z
f
��
Y ′
h
��
⊇
j1
oo
X
⊆
in0
// X + Y Y
⊇
in1
oo
de modo que
X ′ = {z | (∃x ∈ X )(fz = in0x)},Y ′ = {z | (∃y ∈ Y )(fz = in1y)}
y....
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Proposición. La categoŕıa de conjuntos es extensiva
Sea C = Conj. Buscamos el ‘inverso’ de
C/X × C/Y → C/(X + Y ).
Tomemos un objeto f : Z → X + Y en el codominio y
construyamos el correspondiente objeto en el dominio.
Consideramos los productos fibrados (pullbacks)
X ′
g
��
⊆
j0
// Z
f
��
Y ′
h
��
⊇
j1
oo
X
⊆
in0
// X + Y Y
⊇
in1
oo
de modo que
X ′ = {z | (∃x ∈ X )(fz = in0x)},Y ′ = {z | (∃y ∈ Y )(fz = in1y)}
y....
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Proposición. La categoŕıa de conjuntos es extensiva
Sea C = Conj. Buscamos el ‘inverso’ de
C/X × C/Y → C/(X + Y ).
Tomemos un objeto f : Z → X + Y en el codominio y
construyamos el correspondiente objeto en el dominio.
Consideramos los productos fibrados (pullbacks)
X ′
g
��
⊆
j0
// Z
f
��
Y ′
h
��
⊇
j1
oo
X
⊆
in0
// X + Y Y
⊇
in1
oo
de modo que
X ′ = {z | (∃x ∈ X )(fz = in0x)},Y ′ = {z | (∃y ∈ Y )(fz = in1y)}
y....
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Proposición.La categoŕıa de conjuntos es extensiva (cont.)
.... y se puede demostrar que el triángulo de abajo conmuta.
X ′
g
��
j0 // Z
f
��
Y ′
h
��
j1oo X ′ + Y ′
g+h %%
[j0,j1]
∼=
// Z
f
��
X
in0
// X + Y Y
in1
oo X + Y
Por eso f : Z → X + Y y g + h : X ′ + Y ′ → X + Y son objetos
isomorfos en C/(X + Y ). La asignación f 7→ (g , h) puede
extenderse a un functor C/(X + Y )→ C/X × C/Y que, junto con
el canónico en dirección opuesta, forman una equivalencia.
QED
La misma idea puede usarse en muchos otros casos pero...
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Coproductos estables y disjuntos
Definición
Un coproducto X
in0 // X + Y Y
in1oo es:
1. Estable, si para todo f : Z → X + Y existen los p.f. de abajo
a la izq.
X ′
��
// Z
f
��
Y ′
��
oo 0
��
// Y
in1
��
X
in0
// X + Y Y
in1
oo X
in0
// X + Y
y el diagrama X ′ → Z ← Y ′ es un coproducto.
2. Disjunto, si in0 : X → X + Y e in1 : Y → X + Y son
monomorfismos y el cuadrado de arriba a la derecha es p.f.
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Extensividad: caracterización
Proposición
Una categoŕıa con coproductos finitos es extensiva si y solo si los
coproductos son estables y disjuntos.
Demostración.
Las hipótesis permiten argumentar como en la demo de que Conj
es extensiva.
Comentario
Si bien la definición de extensividad no menciona ĺımites, implica la
existencia de ciertos productos fibrados.
15/128
Extensividad: caracterización
Proposición
Una categoŕıa con coproductos finitos es extensiva si y solo si los
coproductos son estables y disjuntos.
Demostración.
Las hipótesis permiten argumentar como en la demo de que Conj
es extensiva.
Comentario
Si bien la definición de extensividad no menciona ĺımites, implica la
existencia de ciertos productos fibrados.
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Extensividad: primeros ejemplos (además de Conj)
Corolario
Las siguientes categoŕıas son extensivas.
1. Conjf , conjuntos finitos y funciones entre ellos.
2. Conjω, conjuntos numerables y funciones entre ellos.
3. Top, espacios topológicos y funciones continuas. Todas sus
subcategoŕıas plenas cerradas por ĺımites finitos y coproductos
finitos (Hausdorff, Stone, ...)
4. OP, órdenes parciales y funciones monótonas.
5. OPf , órdenes parciales finitos y funciones monótonas.
6. Variedades diferenciables y funciones C∞ entre ellas.
7. Poliedros y funciones lineales a trozos.
8. Para toda C chiquita, Ĉ = ConjCop es extensiva.
(En particular, ∆̂, ∆̂1.)
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El caso de ∆̂1, el topos de grafos reflexivos [L86]
∆1 es la categoŕıa A ! // 1
doo
c
oo
con un objeto terminal 1 y un objeto
A con dos puntos distintos.
El topos de grafos reflexivos es ∆̂1 = Conj
∆op1 . Más concretamente:
un grafo reflexivo X is un diagrama de conjuntos y funciones
XA
Xd=dom //
Xc=cod
//
X1X !=ioo
tal que dom(i(n)) = n = cod(i(n)) para todo ‘nodo’ n ∈ XN.
Intuición: X1 es el conjunto de ‘nodos’ de X y XA es su conjunto
de ‘aristas (dirigidas)’. Para cada ‘arista’ a ∈ XA, dom a y cod a
son su ‘dominio’ y ‘codominio’; para cada ‘nodo’ n ∈ X1, i n ∈ XA
es la ‘arista identidad’ de n.
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El caso de ∆̂1, el topos de grafos reflexivos [L86]
∆1 es la categoŕıa A ! // 1
doo
c
oo
con un objeto terminal 1 y un objeto
A con dos puntos distintos.
El topos de grafos reflexivos es ∆̂1 = Conj
∆op1 . Más concretamente:
un grafo reflexivo X is un diagrama de conjuntos y funciones
XA
Xd=dom //
Xc=cod
//
X1X !=ioo
tal que dom(i(n)) = n = cod(i(n)) para todo ‘nodo’ n ∈ XN.
Intuición: X1 es el conjunto de ‘nodos’ de X y XA es su conjunto
de ‘aristas (dirigidas)’. Para cada ‘arista’ a ∈ XA, dom a y cod a
son su ‘dominio’ y ‘codominio’; para cada ‘nodo’ n ∈ X1, i n ∈ XA
es la ‘arista identidad’ de n.
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El caso de ∆̂1, el topos de grafos reflexivos [L86]
∆1 es la categoŕıa A ! // 1
doo
c
oo
con un objeto terminal 1 y un objeto
A con dos puntos distintos.
El topos de grafos reflexivos es ∆̂1 = Conj
∆op1 . Más concretamente:
un grafo reflexivo X is un diagrama de conjuntos y funciones
XA
Xd=dom //
Xc=cod
//
X1X !=ioo
tal que dom(i(n)) = n = cod(i(n)) para todo ‘nodo’ n ∈ XN.
Intuición:
X1 es el conjunto de ‘nodos’ de X y XA es su conjunto
de ‘aristas (dirigidas)’. Para cada ‘arista’ a ∈ XA, dom a y cod a
son su ‘dominio’ y ‘codominio’; para cada ‘nodo’ n ∈ X1, i n ∈ XA
es la ‘arista identidad’ de n.
17/128
El caso de ∆̂1, el topos de grafos reflexivos [L86]
∆1 es la categoŕıa A ! // 1
doo
c
oo
con un objeto terminal 1 y un objeto
A con dos puntos distintos.
El topos de grafos reflexivos es ∆̂1 = Conj
∆op1 . Más concretamente:
un grafo reflexivo X is un diagrama de conjuntos y funciones
XA
Xd=dom //
Xc=cod
//
X1X !=ioo
tal que dom(i(n)) = n = cod(i(n)) para todo ‘nodo’ n ∈ XN.
Intuición: X1 es el conjunto de ‘nodos’ de X y XA es su conjunto
de ‘aristas (dirigidas)’. Para cada ‘arista’ a ∈ XA, dom a y cod a
son su ‘dominio’ y ‘codominio’; para cada ‘nodo’ n ∈ X1, i n ∈ XA
es la ‘arista identidad’ de n.
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Ilustración
•id 99 == •
~~
id
YY
��
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Grafos reflexivos (cont.)
Un morfismo f : X → Y de grafos reflexivos es un par de funciones
f1 : X1→ Y 1, fA : XA→ YA tal que los siguientes diagramas
conmutan
XA
dom
��
fA // YA
dom
��
XA
cod
��
fA // YA
cod
��
XA
fA // YA
X1
f1
// Y 1 X1
f1
// Y 1 X1
i
OO
f1
// Y 1
i
OO
o sea que los morfismos ‘preservan dominio, codominio, y aristas
identidad’.
Comentario
Ya dijimos: ∆̂1 es extensiva.
A diferencia de los ejemplos anteriores, en ∆̂1 hay objetos no
terminales con un único punto.
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Grafos reflexivos (cont.)
Un morfismo f : X → Y de grafos reflexivos es un par de funciones
f1 : X1→ Y 1, fA : XA→ YA tal que los siguientes diagramas
conmutan
XA
dom
��
fA // YA
dom
��
XA
cod
��
fA // YA
cod
��
XA
fA // YA
X1
f1
// Y 1 X1
f1
// Y 1 X1
i
OO
f1
// Y 1
i
OO
o sea que los morfismos ‘preservan dominio, codominio, y aristas
identidad’.
Comentario
Ya dijimos: ∆̂1 es extensiva.
A diferencia de los ejemplos anteriores, en ∆̂1 hay objetos no
terminales con un único punto.
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Extensividad: primeras propiedades
Proposición (El inicial es vaćıo)
Si C es extensiva entonces 0 es estricto.
Demostración.
Sea f : X → 0. (Esto implica que 0→ X es un sección.)
La estabilidad implica que el ‘cospan’ superior en el diagrama que
sigue es un coproducto.
X
f
��
id // X
f
��
X
idoo
f
��
0
id
// 0 0
id
oo
Eso implica que, para todo objeto Y en C, existe a lo sumo una
flecha X → Y . Es decir, 0→ X es epi.
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Extensividad: primeras propiedades
Proposición (El inicial es vaćıo)
Si C es extensiva entonces 0 es estricto.Demostración.
Sea f : X → 0. (Esto implica que 0→ X es un sección.)
La estabilidad implica que el ‘cospan’ superior en el diagrama que
sigue es un coproducto.
X
f
��
id // X
f
��
X
idoo
f
��
0
id
// 0 0
id
oo
Eso implica que, para todo objeto Y en C, existe a lo sumo una
flecha X → Y . Es decir, 0→ X es epi.
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Extensividad: primeras propiedades (cont.)
Proposición (El inicial es vaćıo)
Si C es extensiva entonces 0 es estricto.
Corolario
Si C es extensiva y tiene objeto nulo entonces C es terminal.
Intuición: extensividad y aditividad son incompatibles.
21/128
Extensividad: primeras propiedades (cont.)
Proposición (El inicial es vaćıo)
Si C es extensiva entonces 0 es estricto.
Corolario
Si C es extensiva y tiene objeto nulo entonces C es terminal.
Intuición: extensividad y aditividad son incompatibles.
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Extensividad: primeras propiedades (cont.)
Proposición
Si C es extensiva entonces in0 : X → X + Y es mono regular para
todo X , Y en C.
Demostración.
X
in0 // X + Y
[in0,in1] //
[in0,in2]
// X + Y + Y
es un ecualizador.
Pensar en el caso de Top y en la siguiente observación.
Corolario
Un pre-orden que, como cat., es extensiva, es terminal.
Intuición: cats extensivas y pre-órdenes son incompatibles.
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Extensividad: primeras propiedades (cont.)
Proposición
Si C es extensiva entonces in0 : X → X + Y es mono regular para
todo X , Y en C.
Demostración.
X
in0 // X + Y
[in0,in1] //
[in0,in2]
// X + Y + Y
es un ecualizador.
Pensar en el caso de Top y en la siguiente observación.
Corolario
Un pre-orden que, como cat., es extensiva, es terminal.
Intuición: cats extensivas y pre-órdenes son incompatibles.
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Extensividad: primeras propiedades (cont.)
Proposición
Si C es extensiva entonces también lo es C/X para todo objeto X .
Conj/I , familias de conjuntos indexadas por el conjunto I
Top/X , ‘bundles’ sobre el espacio topológico X .
∆̂1/L, grafos sobre L.
. . .
23/128
Extensividad: primeras propiedades (cont.)
Proposición
Si C es extensiva entonces también lo es C/X para todo objeto X .
Conj/I , familias de conjuntos indexadas por el conjunto I
Top/X , ‘bundles’ sobre el espacio topológico X .
∆̂1/L, grafos sobre L.
. . .
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Extensividad: primeras propiedades (cont.)
Una categoŕıa con sumas y productos es distributiva si
(X × Y ) + (X × Z )
[X×in0,X×in1] // X × (Y + Z )
es un iso.
Proposición
Si C es extensiva y tiene productos finitos entonces es distributiva.
Demostración.
X × Y
π1
��
X×in0 // X × (Y + Z )
π1
��
X × ZX×in1oo
π1
��
Y
in0 // Y + Z Z
in1oo
Pensar en Conj, Top, OP, ∆̂1, ...
24/128
Extensividad: primeras propiedades (cont.)
Una categoŕıa con sumas y productos es distributiva si
(X × Y ) + (X × Z )
[X×in0,X×in1] // X × (Y + Z )
es un iso.
Proposición
Si C es extensiva y tiene productos finitos entonces es distributiva.
Demostración.
X × Y
π1
��
X×in0 // X × (Y + Z )
π1
��
X × ZX×in1oo
π1
��
Y
in0 // Y + Z Z
in1oo
Pensar en Conj, Top, OP, ∆̂1, ...
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Extensividad (resumen)
Definición
Una categoŕıa C con coproductos finitos es extensiva si, para todo
X , Y en C, el functor canónico
C/X × C/Y + // C/(X + Y )
es una equivalencia.
Proposición
Si C es extensiva entonces:
1. El inicial es estricto.
2. ∀X ,Y , in0 : X → X + Y ← Y : in1 son mono regulares.
3. C/X es extensiva para todo X .
4. Si C tiene productos finitos entonces es distributiva.
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Fundamentos de la
geometŕıa algebraica
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Rigs [Schanuel91, Lawvere08]
Definición
Un rig es un conjunto R equipado con dos estructuras de monoide
conmutativo (R, ·, 1) y (R,+, 0) tales que
x · 0 = 0 x · (y + z) = (x · y) + (x · z)
para todo x , y , z ∈ R.
Sea Rig la categoŕıa de rigs y homomorfismos entre ellos.
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Ejemplos de rigs
1. anillos [AtiyahMacdonald]: la subcategoŕıa plena Ring→ Rig
de los rigs cuyo monoide aditivo es un grupo (Abeliano).
2. reticulados distributivos (y acotados): la subcategoŕıa plena
RD→ Rig de aquellos rigs con suma y multiplicación
idempotentes y tales que 1 + x = 1.
3. Si K es un rig arbitrario entonces la categoŕıa de K -rigs or
K -algebras es, por definición, la categoŕıa K/Rig.
Por ejemplo, Z/Rig ∼= Ring.
Si 2 es el reticulado distributivo con 2 elementos entonces
2/Rig→ Rig es equivalente a la subcategoŕıa plena de rigs
con suma idempotente.
4. Un rig es integral si satisface 1 + x = 1. La categoŕıa iRig de
rigs integrales aparece como subcategoŕıa plena iRig→ 2/Rig.
Notar que RD→ iRig. [L08, Zuluaga2016]
5. álgebras de Bool: la subcategoŕıa plena BA→ RD de los r.d.
tales que todo elemento tiene complemento.
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Ejemplos de rigs
1. anillos [AtiyahMacdonald]: la subcategoŕıa plena Ring→ Rig
de los rigs cuyo monoide aditivo es un grupo (Abeliano).
2. reticulados distributivos (y acotados): la subcategoŕıa plena
RD→ Rig de aquellos rigs con suma y multiplicación
idempotentes y tales que 1 + x = 1.
3. Si K es un rig arbitrario entonces la categoŕıa de K -rigs or
K -algebras es, por definición, la categoŕıa K/Rig.
Por ejemplo, Z/Rig ∼= Ring.
Si 2 es el reticulado distributivo con 2 elementos entonces
2/Rig→ Rig es equivalente a la subcategoŕıa plena de rigs
con suma idempotente.
4. Un rig es integral si satisface 1 + x = 1. La categoŕıa iRig de
rigs integrales aparece como subcategoŕıa plena iRig→ 2/Rig.
Notar que RD→ iRig. [L08, Zuluaga2016]
5. álgebras de Bool: la subcategoŕıa plena BA→ RD de los r.d.
tales que todo elemento tiene complemento.
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Ejemplos de rigs
1. anillos [AtiyahMacdonald]: la subcategoŕıa plena Ring→ Rig
de los rigs cuyo monoide aditivo es un grupo (Abeliano).
2. reticulados distributivos (y acotados): la subcategoŕıa plena
RD→ Rig de aquellos rigs con suma y multiplicación
idempotentes y tales que 1 + x = 1.
3. Si K es un rig arbitrario entonces la categoŕıa de K -rigs or
K -algebras es, por definición, la categoŕıa K/Rig.
Por ejemplo, Z/Rig ∼= Ring.
Si 2 es el reticulado distributivo con 2 elementos entonces
2/Rig→ Rig es equivalente a la subcategoŕıa plena de rigs
con suma idempotente.
4. Un rig es integral si satisface 1 + x = 1. La categoŕıa iRig de
rigs integrales aparece como subcategoŕıa plena iRig→ 2/Rig.
Notar que RD→ iRig. [L08, Zuluaga2016]
5. álgebras de Bool: la subcategoŕıa plena BA→ RD de los r.d.
tales que todo elemento tiene complemento.
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Ejemplos de rigs
1. anillos [AtiyahMacdonald]: la subcategoŕıa plena Ring→ Rig
de los rigs cuyo monoide aditivo es un grupo (Abeliano).
2. reticulados distributivos (y acotados): la subcategoŕıa plena
RD→ Rig de aquellos rigs con suma y multiplicación
idempotentes y tales que 1 + x = 1.
3. Si K es un rig arbitrario entonces la categoŕıa de K -rigs or
K -algebras es, por definición, la categoŕıa K/Rig.
Por ejemplo, Z/Rig ∼= Ring.
Si 2 es el reticulado distributivo con 2 elementos entonces
2/Rig→ Rig es equivalente a la subcategoŕıa plena de rigs
con suma idempotente.
4. Un rig es integral si satisface 1 + x = 1. La categoŕıa iRig de
rigs integrales aparece como subcategoŕıa plena iRig→ 2/Rig.
Notar que RD→ iRig. [L08, Zuluaga2016]
5. álgebras de Bool: la subcategoŕıa plena BA→ RD de los r.d.
tales que todo elemento tiene complemento.
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Ejemplos de rigs
1. anillos [AtiyahMacdonald]: la subcategoŕıa plena Ring→ Rig
de los rigs cuyo monoide aditivo es un grupo (Abeliano).
2. reticulados distributivos (y acotados): la subcategoŕıa plena
RD→ Rig de aquellos rigs con suma y multiplicación
idempotentes y tales que 1 + x = 1.
3. Si K es un rig arbitrario entonces la categoŕıa de K -rigs or
K -algebras es, por definición, la categoŕıa K/Rig.
Por ejemplo, Z/Rig ∼= Ring.
Si 2 es el reticulado distributivo con 2 elementos entonces
2/Rig→ Rig es equivalente a la subcategoŕıa plena de rigs
con suma idempotente.
4. Un rig es integral si satisface 1 + x = 1. La categoŕıa iRig de
rigs integrales aparece como subcategoŕıa plena iRig→ 2/Rig.
Notarque RD→ iRig. [L08, Zuluaga2016]
5. álgebras de Bool: la subcategoŕıa plena BA→ RD de los r.d.
tales que todo elemento tiene complemento.
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Ejemplos de rigs
1. anillos [AtiyahMacdonald]: la subcategoŕıa plena Ring→ Rig
de los rigs cuyo monoide aditivo es un grupo (Abeliano).
2. reticulados distributivos (y acotados): la subcategoŕıa plena
RD→ Rig de aquellos rigs con suma y multiplicación
idempotentes y tales que 1 + x = 1.
3. Si K es un rig arbitrario entonces la categoŕıa de K -rigs or
K -algebras es, por definición, la categoŕıa K/Rig.
Por ejemplo, Z/Rig ∼= Ring.
Si 2 es el reticulado distributivo con 2 elementos entonces
2/Rig→ Rig es equivalente a la subcategoŕıa plena de rigs
con suma idempotente.
4. Un rig es integral si satisface 1 + x = 1. La categoŕıa iRig de
rigs integrales aparece como subcategoŕıa plena iRig→ 2/Rig.
Notar que RD→ iRig. [L08, Zuluaga2016]
5. álgebras de Bool: la subcategoŕıa plena BA→ RD de los r.d.
tales que todo elemento tiene complemento.
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Ejemplos de rigs
1. anillos [AtiyahMacdonald]: la subcategoŕıa plena Ring→ Rig
de los rigs cuyo monoide aditivo es un grupo (Abeliano).
2. reticulados distributivos (y acotados): la subcategoŕıa plena
RD→ Rig de aquellos rigs con suma y multiplicación
idempotentes y tales que 1 + x = 1.
3. Si K es un rig arbitrario entonces la categoŕıa de K -rigs or
K -algebras es, por definición, la categoŕıa K/Rig.
Por ejemplo, Z/Rig ∼= Ring.
Si 2 es el reticulado distributivo con 2 elementos entonces
2/Rig→ Rig es equivalente a la subcategoŕıa plena de rigs
con suma idempotente.
4. Un rig es integral si satisface 1 + x = 1. La categoŕıa iRig de
rigs integrales aparece como subcategoŕıa plena iRig→ 2/Rig.
Notar que RD→ iRig. [L08, Zuluaga2016]
5. álgebras de Bool: la subcategoŕıa plena BA→ RD de los r.d.
tales que todo elemento tiene complemento.
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Rigs de fracciones
Ejercicio
Demostrar que para cualquier rig A y a ∈ A existe un rig A[a−1] y
un morfismo η : A→ A[a−1] tal que:
1. ηa ∈ A[a−1] es invertible y
2. para todo morfismo f : A→ B en Rig tal que fa es invertible,
existe un único morfismo f ′ : A[a−1]→ B tal que
A
f
""
η // A[a−1]
f ′
��
B
conmuta en Rig.
(Ayuda: Imitar la construcción en el caso de anillos con los
pequeños cambios necesarios.)
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Elementos Booleanos
Definición
Si A es un rig, decimos que a ∈ A es Booleano si existe b ∈ A tal
que ab = 0 y a + b = 1.
Para cualquier a ∈ A existe a lo sumo un tal b. En caso de que
exista se le llama el complemento de a. Además, en este caso, b is
Booleano y a es su complemento. Es fácil ver que todo elemento
complementado es idempotente.
En un anillo, Booleano = idempotente. El complemento de un
idempotente a es 1− a.
En un reticulado distributivo, Booleano = complementado.
Ejercicio
Si a ∈ A es Booleano entonces A→ A[a−1] es surjectiva.
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Elementos Booleanos
Definición
Si A es un rig, decimos que a ∈ A es Booleano si existe b ∈ A tal
que ab = 0 y a + b = 1.
Para cualquier a ∈ A existe a lo sumo un tal b. En caso de que
exista se le llama el complemento de a. Además, en este caso, b is
Booleano y a es su complemento. Es fácil ver que todo elemento
complementado es idempotente.
En un anillo, Booleano = idempotente. El complemento de un
idempotente a es 1− a.
En un reticulado distributivo, Booleano = complementado.
Ejercicio
Si a ∈ A es Booleano entonces A→ A[a−1] es surjectiva.
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Elementos Booleanos
Definición
Si A es un rig, decimos que a ∈ A es Booleano si existe b ∈ A tal
que ab = 0 y a + b = 1.
Para cualquier a ∈ A existe a lo sumo un tal b. En caso de que
exista se le llama el complemento de a. Además, en este caso, b is
Booleano y a es su complemento. Es fácil ver que todo elemento
complementado es idempotente.
En un anillo, Booleano = idempotente. El complemento de un
idempotente a es 1− a.
En un reticulado distributivo, Booleano = complementado.
Ejercicio
Si a ∈ A es Booleano entonces A→ A[a−1] es surjectiva.
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Elementos Booleanos
Definición
Si A es un rig, decimos que a ∈ A es Booleano si existe b ∈ A tal
que ab = 0 y a + b = 1.
Para cualquier a ∈ A existe a lo sumo un tal b. En caso de que
exista se le llama el complemento de a. Además, en este caso, b is
Booleano y a es su complemento. Es fácil ver que todo elemento
complementado es idempotente.
En un anillo, Booleano = idempotente. El complemento de un
idempotente a es 1− a.
En un reticulado distributivo, Booleano = complementado.
Ejercicio
Si a ∈ A es Booleano entonces A→ A[a−1] es surjectiva.
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Elementos Booleanos y descomposiciones directas
Lema
Si a ∈ A tiene complemento b entonces el siguiente diagrama
A[a−1] Aoo // A[b−1]
es un producto en Rig. Además, todo producto es de esta forma.
Demostración.
Para la primera parte argumentar como en el caso de anillos,
usando el ejercicio.
(Ayuda: para todo c ∈ A, c = c1 = c(a + b) = ca + cb.)
Para la segunda parte notar que, para rigs B,C , la proyección
B × C → B tiene la propiedad universal de
B × C → (B × C )[(1, 0)−1].
Las decomposiciones directas de un rig están en biyección con sus
elementos Booleanos.
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Esquemas Afines
Proposición
La categoŕıa Rigop es extensiva.
Demostración.
Veamos primero que los productos son (co)disjuntos.
Ya vimos que las proyecciones son epi (porque son suryectivas).
Ahora, para rigs A, B, si el cuadrado de abajo
A× B
π0
��
π1 // B
��
A // P
es un pushout entonces, tomando (1, 0) ∈ A× B, vemos que 1 = 0
en P, de modo que P es terminal.
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Rigop es extensiva (cont.)
Demostración.
Veamos ahora que los productos son (co)estables en Rig.
Sean A, B rigs y sea f : A× B → C un morfismo...
Pero, mejor... hagámoslo de forma alternativa apelando a la
biyección entre descomposiciones directas y elementos Booleanos.
Sea a ∈ D Booleano con complemento b ∈ D y sea un morfismo
f : D → C .
Es fácil mostrar que los siguientes cuadrados son pushouts
D[a−1]
��
Doo
f
��
// D[b−1]
��
C [(fa)−1] Coo // C [(fb)−1]
y, como fa ∈ C es Booleano con complemento fb, el ‘span’ inferior
es un producto.
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Rigop es extensiva (cont.)
Demostración.
Veamos ahora que los productos son (co)estables en Rig.
Sean A, B rigs y sea f : A× B → C un morfismo...
Pero, mejor...
hagámoslo de forma alternativa apelando a la
biyección entre descomposiciones directas y elementos Booleanos.
Sea a ∈ D Booleano con complemento b ∈ D y sea un morfismo
f : D → C .
Es fácil mostrar que los siguientes cuadrados son pushouts
D[a−1]
��
Doo
f
��
// D[b−1]
��
C [(fa)−1] Coo // C [(fb)−1]
y, como fa ∈ C es Booleano con complemento fb, el ‘span’ inferior
es un producto.
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Rigop es extensiva (cont.)
Demostración.
Veamos ahora que los productos son (co)estables en Rig.
Sean A, B rigs y sea f : A× B → C un morfismo...
Pero, mejor... hagámoslo de forma alternativa apelando a la
biyección entre descomposiciones directas y elementos Booleanos.
Sea a ∈ D Booleano con complemento b ∈ D y sea un morfismo
f : D → C .
Es fácil mostrar que los siguientes cuadrados son pushouts
D[a−1]
��
Doo
f
��
// D[b−1]
��
C [(fa)−1] Coo // C [(fb)−1]
y, como fa ∈ C es Booleano con complemento fb, el ‘span’ inferior
es un producto.
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Rigop es extensiva (cont.)
Demostración.
Veamos ahora que los productos son (co)estables en Rig.
Sean A, B rigs y sea f : A× B → C un morfismo...
Pero, mejor... hagámoslo de forma alternativa apelando a la
biyección entre descomposiciones directas y elementos Booleanos.
Sea a ∈ D Booleano con complemento b ∈ D y sea un morfismo
f : D → C .
Es fácil mostrar que los siguientes cuadrados son pushouts
D[a−1]
��
Doo
f
��
// D[b−1]
��
C [(fa)−1] Coo // C [(fb)−1]
y, como fa ∈ C es Booleano con complemento fb, el ‘span’ inferior
es un producto.
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K -esquemas Afines
Corolario
Para cualquier rig K , (K/Rig)op es extensiva.
Demostración.
Si K es el objeto en Rigop entonces (Rigop)/K es extensiva, pero
(Rigop)/K ∼= (K/Rig)op.Definición
La categoŕıa de K-esquemas Afines (con mayúscula) es
AFFK = (K/Rig)
op
AFFN = (N/Rig)op ∼= Rigop, AFFZ ∼= Ringop,
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K -esquemas Afines
Corolario
Para cualquier rig K , (K/Rig)op es extensiva.
Demostración.
Si K es el objeto en Rigop entonces (Rigop)/K es extensiva, pero
(Rigop)/K ∼= (K/Rig)op.
Definición
La categoŕıa de K-esquemas Afines (con mayúscula) es
AFFK = (K/Rig)
op
AFFN = (N/Rig)op ∼= Rigop, AFFZ ∼= Ringop,
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K -esquemas Afines
Corolario
Para cualquier rig K , (K/Rig)op es extensiva.
Demostración.
Si K es el objeto en Rigop entonces (Rigop)/K es extensiva, pero
(Rigop)/K ∼= (K/Rig)op.
Definición
La categoŕıa de K-esquemas Afines (con mayúscula) es
AFFK = (K/Rig)
op
AFFN = (N/Rig)op ∼= Rigop, AFFZ ∼= Ringop,
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Intervalo
Como es extensiva, AFFK = (K/Rig)
op es distributiva.
Corolario
Para cualquier anillo K y K -algebras A, B, C , el morfismo canónico
A⊗K (B × C )→ (A⊗K B)× (A⊗K C )
es un isomorfismo.
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Core varieties, Extensivity and Rig Geometry [L08]
Ya sabemos que AFF2 es extensiva.
Proposición
Cada una de las categoŕıas
Stone ∼= BAop // RDop // iRigop // (2/Rig)op = AFF2
hereda la extensividad de AFF2.
Demostración.
Las subcategoŕıas encierran co/ĺımites finitos.Ver [L08].
Para hacer énfasis tal vez escribamos iAFF en lugar de iRigop;
la categoŕıa de i-esquemas Afines (con mayúscula).
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Core varieties, Extensivity and Rig Geometry [L08]
Ya sabemos que AFF2 es extensiva.
Proposición
Cada una de las categoŕıas
Stone ∼= BAop // RDop // iRigop // (2/Rig)op = AFF2
hereda la extensividad de AFF2.
Demostración.
Las subcategoŕıas encierran co/ĺımites finitos.Ver [L08].
Para hacer énfasis tal vez escribamos iAFF en lugar de iRigop;
la categoŕıa de i-esquemas Afines (con mayúscula).
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K -esquemas afines
Sea (K/Rig)fp → K/Rig la subcategoŕıa de álgebras f.p..
Proposición
Para cualquier rig K , ((K/Rig)fp)
op es extensiva.
Demostración.
El producto finito de K -álgebas f.p. es f.p..
La categoŕıa de K-esquemas afines (con minúscula) es
AffK = ((K/Rig)fp)
op.
Análogamente podemos considerar iAff → iAFF,
OPf ∼= (RDfp)op → RDop, o
en general (“Fundamentos”) cualquier cat. algebraica A tal que
Aop es extensiva y tal que (Afp)op → Aop hereda la extensividad.
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K -esquemas afines
Sea (K/Rig)fp → K/Rig la subcategoŕıa de álgebras f.p..
Proposición
Para cualquier rig K , ((K/Rig)fp)
op es extensiva.
Demostración.
El producto finito de K -álgebas f.p. es f.p..
La categoŕıa de K-esquemas afines (con minúscula) es
AffK = ((K/Rig)fp)
op.
Análogamente podemos considerar iAff → iAFF,
OPf ∼= (RDfp)op → RDop, o
en general (“Fundamentos”) cualquier cat. algebraica A tal que
Aop es extensiva y tal que (Afp)op → Aop hereda la extensividad.
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K -esquemas afines
Sea (K/Rig)fp → K/Rig la subcategoŕıa de álgebras f.p..
Proposición
Para cualquier rig K , ((K/Rig)fp)
op es extensiva.
Demostración.
El producto finito de K -álgebas f.p. es f.p..
La categoŕıa de K-esquemas afines (con minúscula) es
AffK = ((K/Rig)fp)
op.
Análogamente podemos considerar iAff → iAFF,
OPf ∼= (RDfp)op → RDop, o
en general (“Fundamentos”) cualquier cat. algebraica A tal que
Aop es extensiva y tal que (Afp)op → Aop hereda la extensividad.
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K -esquemas afines
Sea (K/Rig)fp → K/Rig la subcategoŕıa de álgebras f.p..
Proposición
Para cualquier rig K , ((K/Rig)fp)
op es extensiva.
Demostración.
El producto finito de K -álgebas f.p. es f.p..
La categoŕıa de K-esquemas afines (con minúscula) es
AffK = ((K/Rig)fp)
op.
Análogamente podemos considerar iAff → iAFF,
OPf ∼= (RDfp)op → RDop, o
en general (“Fundamentos”) cualquier cat. algebraica A tal que
Aop es extensiva y tal que (Afp)op → Aop hereda la extensividad.
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Resumen de los ejemplos de categoŕıas extensivas
1. Conj, Conjf , Conjω.
2. Top y subcats plenas cerradas por ĺımtes finitos y coproductos
finitos.
3. OP, OPf .
4. Variedades diferenciables y funciones C∞ entre ellas.
5. Poliedros y funciones lineales a trozos.
6. Ĉ y, por lo tanto, ∆̂, ∆̂1.
7. AFFK , AffK , iAFF, iAff, . . .
8. Pero también MVop y categoŕıas relacionadas. [Zuluaga2016].
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Subobjetos complementados y
componentes conexas
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Monomorfismos complementados
Sea C una categoŕıa extensiva.
Definición
Un monomorfismo u : U → X en C es complementado si existe
v : V → X tal que
U
u // X V
voo
es un diagrama coproducto.
(Decimos que v es el complemento de u; y viceversa.)
Para cualquier X , 0→ X y id : X → X son complementarios.
La extensividad implica de inmediato que los monomorfismos
complementados son estables por productos fibrados.
Para todo X en C, el orden parcial BX the subobjetos
complementados resulta ser un álgebra de Boole.
(¡Ojo!) Obtenemos C → BAop entre cats extensivas que preserva
coproductos finitos.
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Monomorfismos complementados
Sea C una categoŕıa extensiva.
Definición
Un monomorfismo u : U → X en C es complementado si existe
v : V → X tal que
U
u // X V
voo
es un diagrama coproducto.
(Decimos que v es el complemento de u; y viceversa.)
Para cualquier X , 0→ X y id : X → X son complementarios.
La extensividad implica de inmediato que los monomorfismos
complementados son estables por productos fibrados.
Para todo X en C, el orden parcial BX the subobjetos
complementados resulta ser un álgebra de Boole.
(¡Ojo!) Obtenemos C → BAop entre cats extensivas que preserva
coproductos finitos.
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Monomorfismos complementados
Sea C una categoŕıa extensiva.
Definición
Un monomorfismo u : U → X en C es complementado si existe
v : V → X tal que
U
u // X V
voo
es un diagrama coproducto.
(Decimos que v es el complemento de u; y viceversa.)
Para cualquier X , 0→ X y id : X → X son complementarios.
La extensividad implica de inmediato que los monomorfismos
complementados son estables por productos fibrados.
Para todo X en C, el orden parcial BX the subobjetos
complementados resulta ser un álgebra de Boole.
(¡Ojo!) Obtenemos C → BAop entre cats extensivas que preserva
coproductos finitos.
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Monomorfismos complementados
Sea C una categoŕıa extensiva.
Definición
Un monomorfismo u : U → X en C es complementado si existe
v : V → X tal que
U
u // X V
voo
es un diagrama coproducto.
(Decimos que v es el complemento de u; y viceversa.)
Para cualquier X , 0→ X y id : X → X son complementarios.
La extensividad implica de inmediato que los monomorfismos
complementados son estables por productos fibrados.
Para todo X en C, el orden parcial BX the subobjetos
complementados resulta ser un álgebra de Boole.
(¡Ojo!) Obtenemos C → BAop entre cats extensivas que preserva
coproductos finitos.
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Ejemplos
1. En Conj, Conjf , Conjω todo mono es complementado;
B : Conj→ BAop es “partes”.
2. En Top, ‘complementados = abiertoCerrado’.
Lo mismo sucede en otras categoŕıas de espacios topológicos.
Por ejemplo, B : Stone→ BAop es una equivalencia.
3. En OP no sé si hay un nombre.
4. En ∆̂ or ∆̂1 ...
5. En AFFN = Rig
op un mono es complementado sii el
correspondiente epi A→ B en Rig tiene la propiedad universal
de A→ A[a−1] para un a ∈ A Booleano; el functor
B : Ringop → BAop puede identificarse con aquel que le
asigna, a cada anillo R, su espectro de Pierce.
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Ejemplos
1. En Conj, Conjf , Conjω todo mono es complementado;
B : Conj→ BAop es “partes”.
2. En Top, ‘complementados = abiertoCerrado’.
Lo mismo sucede en otras categoŕıas de espacios topológicos.
Por ejemplo, B : Stone→ BAop es una equivalencia.
3. En OP no sé si hay un nombre.
4. En ∆̂ or ∆̂1 ...
5. En AFFN = Rig
op un mono es complementado sii el
correspondiente epi A→ B en Rig tiene la propiedad universal
de A→ A[a−1] para un a ∈ A Booleano; el functor
B : Ringop → BAop puede identificarse con aquel que le
asigna, a cada anillo R, su espectro de Pierce.
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Ejemplos
1. En Conj, Conjf , Conjω todo mono es complementado;
B: Conj→ BAop es “partes”.
2. En Top, ‘complementados = abiertoCerrado’.
Lo mismo sucede en otras categoŕıas de espacios topológicos.
Por ejemplo, B : Stone→ BAop es una equivalencia.
3. En OP no sé si hay un nombre.
4. En ∆̂ or ∆̂1 ...
5. En AFFN = Rig
op un mono es complementado sii el
correspondiente epi A→ B en Rig tiene la propiedad universal
de A→ A[a−1] para un a ∈ A Booleano; el functor
B : Ringop → BAop puede identificarse con aquel que le
asigna, a cada anillo R, su espectro de Pierce.
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Ejemplos
1. En Conj, Conjf , Conjω todo mono es complementado;
B : Conj→ BAop es “partes”.
2. En Top, ‘complementados = abiertoCerrado’.
Lo mismo sucede en otras categoŕıas de espacios topológicos.
Por ejemplo, B : Stone→ BAop es una equivalencia.
3. En OP no sé si hay un nombre.
4. En ∆̂ or ∆̂1 ...
5. En AFFN = Rig
op un mono es complementado sii el
correspondiente epi A→ B en Rig tiene la propiedad universal
de A→ A[a−1] para un a ∈ A Booleano; el functor
B : Ringop → BAop puede identificarse con aquel que le
asigna, a cada anillo R, su espectro de Pierce.
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Objetos conexos
Definición
Un objeto es conexo si tiene exactamente dos subobjetos
complementados.
El objeto inicial no es conexo (tiene un único subobjeto).
Ejemplo
Conexidad.
1. En Conj y Conjf el único objeto conexo es 1.
2. En Top, OP y OPf , ∆̂ y ∆̂1 tiene el significado usual.
3. Un rig A es conexo como objeto de Rigop = AFFN si y solo si
0, 1 ∈ A son distintos y son los únicos elementos Booleanos.
4. Idem en AFFK y AffK .
43/128
Conexo VS complementado
Lema
Para todo f : C → X , si C es conexo y u : U → X es
complementado entonces f −1U = 0 o f factoriza a través de u.
Demostración.
Si tomamos el producto fibrado
f −1U
f −1u
��
// U
u
��
C
f
// X
la conexidad de C implica que: f −1U es inicial o f −1u es iso.
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Conexo VS complementado
Lema
Para todo f : C → X , si C es conexo y u : U → X es
complementado entonces f −1U = 0 o f factoriza a través de u.
Demostración.
Si tomamos el producto fibrado
f −1U
f −1u
��
// U
u
��
C
f
// X
la conexidad de C implica que: f −1U es inicial o f −1u es iso.
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Descomposiciones finitas
¿Todo objeto es un coproducto finito de objetos conexos?
1. NO: en Conj, Top, Stone, OP, ∆̂, ∆̂1, AFFK , . . .
2. ŚI: en Conjf , OPf , [∆
op
1 ,Conjf ] (grafos refexivos finitos),...
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Descomposiciones finitas
¿Todo objeto es un coproducto finito de objetos conexos?
1. NO: en Conj, Top, Stone, OP, ∆̂, ∆̂1, AFFK , . . .
2. ŚI: en Conjf , OPf , [∆
op
1 ,Conjf ] (grafos refexivos finitos),...
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Descomposiciones finitas
¿Todo objeto es un coproducto finito de objetos conexos?
1. NO: en Conj, Top, Stone, OP, ∆̂, ∆̂1, AFFK , . . .
2. ŚI: en Conjf , OPf , [∆
op
1 ,Conjf ] (grafos refexivos finitos),...
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El caso de K -esquemas afines
Proposición
Si K es un anillo Noetheriano entonces todo objeto de AffK es un
coproducto finito de objetos conexos.
Demostración.
Probamos que todo objeto de (K/Ring)fp es producto finito de
algebras con exactamente dos idempotentes.
Por el Teorema de la base de Hilbert (!) toda K -algebra libre y
finitamente generada es Noetheriana.
Entonces todo algebra finitamente presentada es Noetheriana.
Si A es Noetheriana entonces BA es finita.
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El caso de K -esquemas afines
Proposición
Si K es un anillo Noetheriano entonces todo objeto de AffK es un
coproducto finito de objetos conexos.
Demostración.
Probamos que todo objeto de (K/Ring)fp es producto finito de
algebras con exactamente dos idempotentes.
Por el Teorema de la base de Hilbert (!) toda K -algebra libre y
finitamente generada es Noetheriana.
Entonces todo algebra finitamente presentada es Noetheriana.
Si A es Noetheriana entonces BA es finita.
46/128
El caso de K -esquemas afines (cont)
Proposición
Todo objeto de Aff2 es un coproducto finito de objetos conexos.
Demostración.
Definiendo una noción apropiada de ‘Noetherianidad’ para objetos
de 2/Rig se puede demostrar un resultado análogo al de Hilbert.
Ver [M2021a].
Corolario
Todo objeto de iAff es un coproducto finito de objetos conexos.
46/128
El caso de K -esquemas afines (cont)
Proposición
Todo objeto de Aff2 es un coproducto finito de objetos conexos.
Demostración.
Definiendo una noción apropiada de ‘Noetherianidad’ para objetos
de 2/Rig se puede demostrar un resultado análogo al de Hilbert.
Ver [M2021a].
Corolario
Todo objeto de iAff es un coproducto finito de objetos conexos.
47/128
Categoŕıas extensivas con
objeto terminal
48/128
Puntos
Sea C una categoŕıa extensiva con objeto terminal 1.
Definición
Un punto es un morfismo con dominio terminal.
Si f : 1→ X es un punto decimos que es un punto “de X”.
1. En Conj o Conjf los puntos de un objeto están en
correspondencia biyectiva con sus elementos.
2. En Top esta noción es compatible con el significado usual.
3. Los casos de OP y OPf son parecidos.
4. En el caso de ∆̂1 el functor ∆̂1(1,−) : ∆̂1 → Conj puede
identificarse con aquel que a cada grafo le asigna su conjunto
de nodos. Lo mismo sucede con ∆̂.
En estos casos los objetos no iniciales tienen un punto.
48/128
Puntos
Sea C una categoŕıa extensiva con objeto terminal 1.
Definición
Un punto es un morfismo con dominio terminal.
Si f : 1→ X es un punto decimos que es un punto “de X”.
1. En Conj o Conjf los puntos de un objeto están en
correspondencia biyectiva con sus elementos.
2. En Top esta noción es compatible con el significado usual.
3. Los casos de OP y OPf son parecidos.
4. En el caso de ∆̂1 el functor ∆̂1(1,−) : ∆̂1 → Conj puede
identificarse con aquel que a cada grafo le asigna su conjunto
de nodos. Lo mismo sucede con ∆̂.
En estos casos los objetos no iniciales tienen un punto.
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Puntos de K -esquemas afines
Teorema (Nullstellensatz ‘débil’)
En AffC todo objeto no inicial tiene un punto.
Demostración.
En (AffC)
op = (C/Ring)fp esto significa que para todo objeto A no
final existe un morfismo A→ C.
En cambio, esto no vale para Affk si k es un cuerpo que no es
algebraicamente cerrado.
Ejemplo
Sabemos que no hay un morfismo C→ R en Ring y, por lo tanto,
no existe un morfismo 1 = R→ C en AffR.
49/128
Puntos de K -esquemas afines
Teorema (Nullstellensatz ‘débil’)
En AffC todo objeto no inicial tiene un punto.
Demostración.
En (AffC)
op = (C/Ring)fp esto significa que para todo objeto A no
final existe un morfismo A→ C.
En cambio, esto no vale para Affk si k es un cuerpo que no es
algebraicamente cerrado.
Ejemplo
Sabemos que no hay un morfismo C→ R en Ring y, por lo tanto,
no existe un morfismo 1 = R→ C en AffR.
49/128
Puntos de K -esquemas afines
Teorema (Nullstellensatz ‘débil’)
En AffC todo objeto no inicial tiene un punto.
Demostración.
En (AffC)
op = (C/Ring)fp esto significa que para todo objeto A no
final existe un morfismo A→ C.
En cambio, esto no vale para Affk si k es un cuerpo que no es
algebraicamente cerrado.
Ejemplo
Sabemos que no hay un morfismo C→ R en Ring y, por lo tanto,
no existe un morfismo 1 = R→ C en AffR.
50/128
Puntos de 2-esquemas afines
Teorema (Nullstellensatz ‘débil’)
En Aff2 todo objeto no inicial tiene un punto.
Demostración.
Se sigue de un teorema de Schanuel: un rig es simple si y solo si es
un cuerpo o es 2. Ver también [M2021a].
En este sentido 2 es ‘algebraicamente cerrado’.
Corolario
En iAff todo objeto no inicial tiene un punto.
50/128
Puntos de 2-esquemas afines
Teorema (Nullstellensatz ‘débil’)
En Aff2 todo objeto no inicial tiene un punto.
Demostración.
Se sigue de un teorema de Schanuel: un rig es simple si y solo si es
un cuerpo o es 2. Ver también [M2021a].
En este sentido 2 es ‘algebraicamente cerrado’.
Corolario
En iAff todo objeto no inicial tiene un punto.
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Intervalo
En una cat. extensiva En esquemas afines.
¿Todo objeto es coproducto finito de conexos? Teorema de la Base
¿Todo objeto conexo tiene un punto? Teorema de los ceros
52/128Objetos con un único punto
En Conj, Top, OP, etc. hay un solo objeto con un único punto.
En ∆̂ y ∆̂1 hay muchos objetos con un único punto.
Definición
Un álgebra de Weil (sobre cuerpo k) es una k-algebra A tal que:
1. A es local, con (unico) ideal maximal m.
2. La composición k → A→ A/m es un iso.
3. A es finita como k-álgebra (i.e. f.g. como k-módulo).
4. mn = 0 para algún n.
Ver [Weil1953], [I.16, KockSDG], [Eck1986], [Kainz-Michor1987].
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Objetos con un único punto
En Conj, Top, OP, etc. hay un solo objeto con un único punto.
En ∆̂ y ∆̂1 hay muchos objetos con un único punto.
Definición
Un álgebra de Weil (sobre cuerpo k) es una k-algebra A tal que:
1. A es local, con (unico) ideal maximal m.
2. La composición k → A→ A/m es un iso.
3. A es finita como k-álgebra (i.e. f.g. como k-módulo).
4. mn = 0 para algún n.
Ver [Weil1953], [I.16, KockSDG], [Eck1986], [Kainz-Michor1987].
53/128
Objetos con un único punto (cont.)
Proposición
En AffC un objeto tiene un único punto si y solo si la C-algebra
correspondiente es Weil.
Demostración.
Se puede demostrar que: para cualquier C-algebra local A los
siguientes ı́tems son equivalentes:
1. A es un álgebra de Weil sobre C.
2. A es finitamente generada.
3. A es Artiniana
(i.e. toda cadena descendente de ideales es estacionaria).
¿Folclore? Ver [MMlevelEpsilon2019].
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Objetos con un único punto (cont.)
Proposición
En AffC un objeto tiene un único punto si y solo si la C-algebra
correspondiente es Weil.
Demostración.
Se puede demostrar que: para cualquier C-algebra local A los
siguientes ı́tems son equivalentes:
1. A es un álgebra de Weil sobre C.
2. A es finitamente generada.
3. A es Artiniana
(i.e. toda cadena descendente de ideales es estacionaria).
¿Folclore? Ver [MMlevelEpsilon2019].
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Figuras chiquitas
Definición
Una figura chiquita es un morfismo cuyo dominio tiene un único
punto.
Todo punto es una figura chiquita.
En Conj, Top, OP, etc. ‘figuras-chiquitas = punto’.
Además, para cualquier objeto X en estas categoŕıas, las figuras
chiquitas de X son conjuntamente epimórficas.
Esto no es cierto en ∆̂ o ∆̂1. En cambio:
54/128
Figuras chiquitas
Definición
Una figura chiquita es un morfismo cuyo dominio tiene un único
punto.
Todo punto es una figura chiquita.
En Conj, Top, OP, etc. ‘figuras-chiquitas = punto’.
Además, para cualquier objeto X en estas categoŕıas, las figuras
chiquitas de X son conjuntamente epimórficas.
Esto no es cierto en ∆̂ o ∆̂1. En cambio:
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Figuras chiquitas en esquemas afines
Proposición
En AffC vale que para todo objeto X , las figuras chiquitas de X
son conjuntamente epimórficas.
(Pero la misma afirmación para puntos no vale.)
Demostración.
¿Folclore? Una combinación del Teorema de Birkhoff sobre la
existencia de suficientes productos subdirectos [Birkhoff1944], la
caracterización de anillos subdirectamente irreducibles
[McCoy1945], y la caracterización de álgebras de Weil dada
arriba.
Recientemente Jipsen y Spada caracterizaron los rigs integrales
subdirectamente irreducibles y aquellos que, como objetos de iAff,
tienen un único punto.
55/128
Figuras chiquitas en esquemas afines
Proposición
En AffC vale que para todo objeto X , las figuras chiquitas de X
son conjuntamente epimórficas.
(Pero la misma afirmación para puntos no vale.)
Demostración.
¿Folclore? Una combinación del Teorema de Birkhoff sobre la
existencia de suficientes productos subdirectos [Birkhoff1944], la
caracterización de anillos subdirectamente irreducibles
[McCoy1945], y la caracterización de álgebras de Weil dada
arriba.
Recientemente Jipsen y Spada caracterizaron los rigs integrales
subdirectamente irreducibles y aquellos que, como objetos de iAff,
tienen un único punto.
56/128
Intervalo: Geometŕıa diferencial sintética radicalizada
Sea T un objeto con la propiedad de tener un único punto.
Llamémoslo 0 : 1→ T .
(Pensado como un vector •→ de long. infinitesimal.)
Asumamos también que T × (−) a (−)T .
Para cualquier X pensamos en XT como el espacio tangente a X .
(El punto 0→ T determina la proyección XT → X 1 = X .)
Si definimos R como el vértice del producto fibrado
R
��
// TT
��
1
0
// T
entonces R hereda la estructura de monoide (composición) de TT
y, a diferencia de TT , suele ser conmutativo.
Se puede demostrar que R actua sobre XT para todo X . [L2011]
56/128
Intervalo: Geometŕıa diferencial sintética radicalizada
Sea T un objeto con la propiedad de tener un único punto.
Llamémoslo 0 : 1→ T .
(Pensado como un vector •→ de long. infinitesimal.)
Asumamos también que T × (−) a (−)T .
Para cualquier X pensamos en XT como el espacio tangente a X .
(El punto 0→ T determina la proyección XT → X 1 = X .)
Si definimos R como el vértice del producto fibrado
R
��
// TT
��
1
0
// T
entonces R hereda la estructura de monoide (composición) de TT
y, a diferencia de TT , suele ser conmutativo.
Se puede demostrar que R actua sobre XT para todo X . [L2011]
57/128
Intervalo (cont.): GDSR en AffC
Sea T en AffC el objeto dado por el álg. de Weil C[x ]/(x2) = C[�].
En este caso, R se corresponde con la ‘linea af́ın’ C[x ] y la
multiplicación que R hereda de TT coincide con la multiplicación
(conmutativa!) de la recta af́ın.
Comentario (Generación infinitesimal [L08])
Notar que, en AffC, todo objeto X aparece como un ecualizador
X // RN
//
// R
M
para N, M conjuntos finitos. Aśı que todo X aparece como
subobjeto de (TT )N ∼= (TN)T . Es aśı que, en cierto sentido, AffC
está ‘generada’ por T , si la generación permite tomar productos
finitos, exponenciales con T , y subobjetos.
58/128
Categoŕıas extensivas
(C/X × C/Y + // C/(X + Y ) equivalencia para todo X , Y )
con productos finitos.
59/128
Objetos decidibles.
60/128
Objetos decidibles
Sea C extensiva con productos finitos (⇒ distributiva).
Definición ([L91, CarboniJanelidze96])
Un objeto X en C es decidible si la diagonal
∆ = 〈id , id〉 : X → X × X es complementada.
Sea Dec C → C la subcategoŕıa plena de objetos decidibles.
Proposición
Para una categoŕıa extensiva C con productos finitos:
1. 0 y 1 son decidibles.
2. X + Y es decidible si y solo si X e Y son decidibles.
3. Dec C → C es extensiva y encierra productos finitos y subobjs.
En Conj, Conjf , Conjω todos los objetos son decidibles (porque
todos los subobjetos son complementados).
60/128
Objetos decidibles
Sea C extensiva con productos finitos (⇒ distributiva).
Definición ([L91, CarboniJanelidze96])
Un objeto X en C es decidible si la diagonal
∆ = 〈id , id〉 : X → X × X es complementada.
Sea Dec C → C la subcategoŕıa plena de objetos decidibles.
Proposición
Para una categoŕıa extensiva C con productos finitos:
1. 0 y 1 son decidibles.
2. X + Y es decidible si y solo si X e Y son decidibles.
3. Dec C → C es extensiva y encierra productos finitos y subobjs.
En Conj, Conjf , Conjω todos los objetos son decidibles (porque
todos los subobjetos son complementados).
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Ejemplo: en Top, decidible sii discreto
Es fácil ver que un espacio topológico discreto es decidible.
Ahora sea X un espacio topológico decidible.
Para cualquier punto x : 1→ X , el siguiente cuadrado es un
producto fibrado
1
x
��
// X
∆
��
X ∼=
// X × 1
X×x
// X × X
y, como ∆ es complementada, también lo es x : 1→ X .
Es decir, el punto es clopen.
En otras palabras, Dec(Top)→ Top coincide con la inclusión
Conj→ Top de espacios topológicos discretos.
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Ejemplo: en Top, decidible sii discreto
Es fácil ver que un espacio topológico discreto es decidible.
Ahora sea X un espacio topológico decidible.
Para cualquier punto x : 1→ X , el siguiente cuadrado es un
producto fibrado
1
x
��
// X
∆
��
X ∼=
// X × 1
X×x
// X × X
y, como ∆ es complementada, también lo es x : 1→ X .
Es decir, el punto es clopen.
En otras palabras, Dec(Top)→ Top coincide con la inclusión
Conj→ Top de espacios topológicos discretos.
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Másejemplos: órdenes parciales y conjuntos simpliciales.
Ejemplo
El caso de OP es análogo al de Top.
El caso de OPf también pero la inclusión Dec(OPf )→ OPf
coincide con Conjf → OPf .
Ejemplo
En ∆̂ y ∆̂1 pasa algo similar (i.e. decidible sii discreto) a pesar de
que los puntos de un objeto pueden no ser conjuntamente
epimórficos.
63/128
El caso de geometŕıa algebraica
Ejemplo
Para un anillo K fijo, una K -algebra A es decidible como objeto de
AFFK = (K/Ring)
op si y solo si es separable en K/Ring en el
sentido clásico [Ford2017]: la COdiagonal A + A→ A es la
proyección de un producto.
(¡OJO! En los libros de referencia suelen considerarse álgebras no
necesariamente conmutativas y la condición puede formularse
como la existencia de un idempotente en A⊗K A◦ tal que ....).
63/128
El caso de geometŕıa algebraica
Ejemplo
Para un anillo K fijo, una K -algebra A es decidible como objeto de
AFFK = (K/Ring)
op si y solo si es separable en K/Ring en el
sentido clásico [Ford2017]: la COdiagonal A + A→ A es la
proyección de un producto.
(¡OJO! En los libros de referencia suelen considerarse álgebras no
necesariamente conmutativas y la condición puede formularse
como la existencia de un idempotente en A⊗K A◦ tal que ....).
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El caso de geometŕıa algebraica (cont.)
Teorema (Corollary 4.5.8 in [Ford2017])
Si K es un cuerpo y A es una K -álgebra entonces: A es separable
en K/Rig si y solo si es un producto finito de extensiones finitas
separables de K .
¿Por qué el producto es finito?
Corolario
Si K es un cuerpo, todo objeto decidible de AFFK = (K/Rig)
op es
un coproducto finito de objetos decidibles y conexos.
Lo mismo sucede en AffK .
Comparar con el caso análogo pero más sencillo:
en OPf todo objeto decidible es un coproducto finito de 1’s.
64/128
El caso de geometŕıa algebraica (cont.)
Teorema (Corollary 4.5.8 in [Ford2017])
Si K es un cuerpo y A es una K -álgebra entonces: A es separable
en K/Rig si y solo si es un producto finito de extensiones finitas
separables de K .
¿Por qué el producto es finito?
Corolario
Si K es un cuerpo, todo objeto decidible de AFFK = (K/Rig)
op es
un coproducto finito de objetos decidibles y conexos.
Lo mismo sucede en AffK .
Comparar con el caso análogo pero más sencillo:
en OPf todo objeto decidible es un coproducto finito de 1’s.
64/128
El caso de geometŕıa algebraica (cont.)
Teorema (Corollary 4.5.8 in [Ford2017])
Si K es un cuerpo y A es una K -álgebra entonces: A es separable
en K/Rig si y solo si es un producto finito de extensiones finitas
separables de K .
¿Por qué el producto es finito?
Corolario
Si K es un cuerpo, todo objeto decidible de AFFK = (K/Rig)
op es
un coproducto finito de objetos decidibles y conexos.
Lo mismo sucede en AffK .
Comparar con el caso análogo pero más sencillo:
en OPf todo objeto decidible es un coproducto finito de 1’s.
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Conexo VS decidible
Proposición
Para todo f , g : C → D con C conexo y D decidible, f = g o, f y
g tienen ecualizador inicial.
Demostración.
Tomando el producto fibrado
P
��
// D
∆
��
C
〈f ,g〉
// D × D
sabemos que P → C es el ecualizador de f , g .
Notar que la demo no invoca puntos.
65/128
Conexo VS decidible
Proposición
Para todo f , g : C → D con C conexo y D decidible, f = g o, f y
g tienen ecualizador inicial.
Demostración.
Tomando el producto fibrado
P
��
// D
∆
��
C
〈f ,g〉
// D × D
sabemos que P → C es el ecualizador de f , g .
Notar que la demo no invoca puntos.
65/128
Conexo VS decidible
Proposición
Para todo f , g : C → D con C conexo y D decidible, f = g o, f y
g tienen ecualizador inicial.
Demostración.
Tomando el producto fibrado
P
��
// D
∆
��
C
〈f ,g〉
// D × D
sabemos que P → C es el ecualizador de f , g .
Notar que la demo no invoca puntos.
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Conexo VS decidible (cont.)
Corolario
Sea f : C → D con C conexo y D decidible. Si C tiene un punto
entonces f es constante.
Demostración.
Sea p : 1→ C un punto de C . Sea D decidible y sea f : C → D.
Tenemos los dos morfismos paralelos
C
f // D C
! // 1
p // C
f // D
que resultan iguales cuando los pre-componemos con p. Entonces
el ecualizador no puede ser nulo y aśı, por el lema, los dos
morfismo deben ser iguales. Es decir, f es constante.
66/128
Conexo VS decidible (cont.)
Corolario
Sea f : C → D con C conexo y D decidible. Si C tiene un punto
entonces f es constante.
Demostración.
Sea p : 1→ C un punto de C . Sea D decidible y sea f : C → D.
Tenemos los dos morfismos paralelos
C
f // D C
! // 1
p // C
f // D
que resultan iguales cuando los pre-componemos con p. Entonces
el ecualizador no puede ser nulo y aśı, por el lema, los dos
morfismo deben ser iguales. Es decir, f es constante.
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Objetos pulcros (neat).
68/128
Objetos Pulcros
Definición
Un objeto de C es pulcro si es decidible y conexo.
En Conj, Top, OP, PL, etc, 1 es el único pulcro.
Corolario
Todas las flechas son epi en la categoŕıa de objetos pulcros. Ergo,
si 1 es conexo en C, 1 es el único objeto pulcro con un punto.
Demostración.
Por la Prop., para f , g paralelas, f = g o nada las ecualiza.
En otras palabras, si 1 es conexo, los pulcros no tienen puntos.
(Pero pueden tener automorfismos.)
68/128
Objetos Pulcros
Definición
Un objeto de C es pulcro si es decidible y conexo.
En Conj, Top, OP, PL, etc, 1 es el único pulcro.
Corolario
Todas las flechas son epi en la categoŕıa de objetos pulcros.
Ergo,
si 1 es conexo en C, 1 es el único objeto pulcro con un punto.
Demostración.
Por la Prop., para f , g paralelas, f = g o nada las ecualiza.
En otras palabras, si 1 es conexo, los pulcros no tienen puntos.
(Pero pueden tener automorfismos.)
68/128
Objetos Pulcros
Definición
Un objeto de C es pulcro si es decidible y conexo.
En Conj, Top, OP, PL, etc, 1 es el único pulcro.
Corolario
Todas las flechas son epi en la categoŕıa de objetos pulcros. Ergo,
si 1 es conexo en C, 1 es el único objeto pulcro con un punto.
Demostración.
Por la Prop., para f , g paralelas, f = g o nada las ecualiza.
En otras palabras, si 1 es conexo, los pulcros no tienen puntos.
(Pero pueden tener automorfismos.)
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Esquemas afines pulcros y ‘puntos generalizados’
Un cuerpo K es perfecto si todo extension finita es separable.
Teorema (Nullstellensatz ‘weak’)
Si K es perfecto entonces para todo objeto no inicial X en AffK
existe un objeto pulcro P y una flecha P → X .
Demostración.
Por el Nullstellensatz, para toda alg. f.g. no trivial A existe una
extensión K → V finita y algebraica y un morfismo A→ V [7.10,
AtiyahMacdonald]. Como K es perfecto, L es separable.
P
��
// X V Aoo
1 AffK K
OO
(K/Ring)fp
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Esquemas afines pulcros y ‘puntos generalizados’
Un cuerpo K es perfecto si todo extension finita es separable.
Teorema (Nullstellensatz ‘weak’)
Si K es perfecto entonces para todo objeto no inicial X en AffK
existe un objeto pulcro P y una flecha P → X .
Demostración.
Por el Nullstellensatz, para toda alg. f.g. no trivial A existe una
extensión K → V finita y algebraica y un morfismo A→ V [7.10,
AtiyahMacdonald]. Como K es perfecto, L es separable.
P
��
// X V Aoo
1 AffK K
OO
(K/Ring)fp
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Objetos con reflexión decidible
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Objetos con reflexión decidible
Definición
Un objeto X tiene reflexión decidible si existe una flecha universal
de X hacia la inclusión Dec C → C.
O sea, X tiene r.d. si existe un morfismo σ : X → π0X con π0X
decidible t.q.: para todo f : X → D con D decidible existe un
único f ′ : π0X → D tal que el siguiente diagrama conmuta en C.
X
f !!
σ // π0X
f ′
��
D
La ortogonalidad entre conexos y decidibles implica que para
cualquier subobjeto C → X con C conexo, la composición
C → X → π0X debe ser constante.
Intuición: π0X es el espacio ‘discreto’ de ‘piezas’ de X .
71/128
Objetos con reflexión decidible
Definición
Un objeto X tiene reflexión decidible si existe una flecha universal
de X hacia la inclusión DecC → C.
O sea, X tiene r.d. si existe un morfismo σ : X → π0X con π0X
decidible t.q.: para todo f : X → D con D decidible existe un
único f ′ : π0X → D tal que el siguiente diagrama conmuta en C.
X
f !!
σ // π0X
f ′
��
D
La ortogonalidad entre conexos y decidibles implica que para
cualquier subobjeto C → X con C conexo, la composición
C → X → π0X debe ser constante.
Intuición: π0X es el espacio ‘discreto’ de ‘piezas’ de X .
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Ejemplos
En algunos casos todos los objetos tienen r.d. y aśı, la asignación
X 7→ π0X se extiende a un adjunto a izquierda π0 : C → Dec C de
la inclusión que, t́ıpicamente, preserva ×-finitos. Por ejemplo:
1. En Conj, Conjf , Conjω, trivialmente.
2. En OPf todo objeto tiene reflexión decidible.
3. En ∆̂ y ∆̂1.
Comentario
Podŕıamos definir: X conexo sii π0X = 1. Si π0 preserva ×-finitos
entonces los productos finitos de conexos son conexos.
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Esquemas afines con reflexión decidible
Proposición (Proposition I, §4, 6.5 in [DemazureGabriel])
Para cualquier cuerpo K , todo objeto de AffK tiene reflexión
decidible. Además, el adjunto a izquierda π0 : AffK → Dec(AffK )
preserva productos finitos.
Comentario sobre la demostración.
El resultado en [DG] está formulado en otros términos; pero el
núcleo de la demostración muestra lo que está enunciado arriba.
Ver [M2014].
¡Ojo! Conjf → AffK también tiene adjunto a izquierda, pero no
preserva productos finitos.
¿Qué objetos de AFFK = (K/Rig)
op tienen reflexión decidible?
73/128
Esquemas afines con reflexión decidible
Proposición (Proposition I, §4, 6.5 in [DemazureGabriel])
Para cualquier cuerpo K , todo objeto de AffK tiene reflexión
decidible. Además, el adjunto a izquierda π0 : AffK → Dec(AffK )
preserva productos finitos.
Comentario sobre la demostración.
El resultado en [DG] está formulado en otros términos; pero el
núcleo de la demostración muestra lo que está enunciado arriba.
Ver [M2014].
¡Ojo! Conjf → AffK también tiene adjunto a izquierda, pero no
preserva productos finitos.
¿Qué objetos de AFFK = (K/Rig)
op tienen reflexión decidible?
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Esquemas afines con reflexión decidible
Proposición (Proposition I, §4, 6.5 in [DemazureGabriel])
Para cualquier cuerpo K , todo objeto de AffK tiene reflexión
decidible. Además, el adjunto a izquierda π0 : AffK → Dec(AffK )
preserva productos finitos.
Comentario sobre la demostración.
El resultado en [DG] está formulado en otros términos; pero el
núcleo de la demostración muestra lo que está enunciado arriba.
Ver [M2014].
¡Ojo! Conjf → AffK también tiene adjunto a izquierda, pero no
preserva productos finitos.
¿Qué objetos de AFFK = (K/Rig)
op tienen reflexión decidible?
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Intervalo
En una cat. extensiva En esquemas afines.
¿Todo objeto es coproducto finito de conexos? Teorema de la Base
¿Todo objeto conexo tiene un punto? Teorema de los ceros
¿Todos los objs cubiertos por figuras chiquitas? Birkhoff, McCoy
¿Todo objeto tiene reflexión decidible? Demazure-Gabriel
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El caso de Top
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El caso de Top
(En cualquier categoŕıa con objeto terminal sea 2 = 1 + 1.)
Conj = Dec(Top)→ Top no tiene un adjunto a izquierda
(no preserva el producto infinito 2N).
Definición
Un espacio topológico es cero-dimensional si es T0 y tiene una
base de abiertoCerrados.
Decidible implica cero-dimensional.
Sea CD→ Top la subcategoŕıa plena de los cero-dimensionales.
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El caso de Top (cont.)
Proposición
La subcategoŕıa CD→ Top tiene un adjunto a izquierda.
Demostración.
Top(X , 2) determina un único X → 2Top(X ,2).
Si tomamos la factorización epi/mono-regular
X // π′0X
// 2Top(X ,2)
el π′0X hereda la cero-dimensionalidad de 2
Top(X ,2) y la flecha
X → π′0X es universal de X hacia la inclusión CD→ Top.
Pensamos a π′0X como el espacio de piezas de X .
Si existe, pensamos a π0X como el conjunto de piezas de X .
Pero hay otra noción de componente.
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El caso de Top (cont.)
Proposición
La subcategoŕıa CD→ Top tiene un adjunto a izquierda.
Demostración.
Top(X , 2) determina un único X → 2Top(X ,2).
Si tomamos la factorización epi/mono-regular
X // π′0X
// 2Top(X ,2)
el π′0X hereda la cero-dimensionalidad de 2
Top(X ,2) y la flecha
X → π′0X es universal de X hacia la inclusión CD→ Top.
Pensamos a π′0X como el espacio de piezas de X .
Si existe, pensamos a π0X como el conjunto de piezas de X .
Pero hay otra noción de componente.
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El caso de Top (cont.)
Para cualquier x ∈ X , el subespacio
Cx =
⋃
{C ⊆ X | x ∈ X and C is connected } ⊆ X
se llama la componente de x .
Se sabe que Cx es conexo y que Cx ⊆ X is cerrado.
Proposición (Marra-M.)
Para todo X en Top son equivalentes:
1. X tiene reflexión decidible.
2. π′0X es discreto.
3. Toda componente de X es abierta.
La clase de espacios topológicos que satisfacen (3) fue estudiada
por [Nieminen1977] (weakly locally connected) y en [Kohli78] (sum
connected) donde se observa que determinan la menor subcat.
coreflexiva de Top que contiene a los espacios conexos.
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El caso de Top (cont.)
Para cualquier x ∈ X , el subespacio
Cx =
⋃
{C ⊆ X | x ∈ X and C is connected } ⊆ X
se llama la componente de x .
Se sabe que Cx es conexo y que Cx ⊆ X is cerrado.
Proposición (Marra-M.)
Para todo X en Top son equivalentes:
1. X tiene reflexión decidible.
2. π′0X es discreto.
3. Toda componente de X es abierta.
La clase de espacios topológicos que satisfacen (3) fue estudiada
por [Nieminen1977] (weakly locally connected) y en [Kohli78] (sum
connected) donde se observa que determinan la menor subcat.
coreflexiva de Top que contiene a los espacios conexos.
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El caso de MVop
Para otra vez.
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Los topos de Gaeta
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Pegado de figuras sencillas
Intuición: Un objeto geométrico arbitrario se obtiene ‘pegando’
objetos geométricos ‘sencillos’.
1. Un esquema es un espacio topológico anillado (X ,OX ) tal que
todo punto x tiene un vecindario U tal que el espacio anillado
(U,OX |U) es isomorfo al espectro de un anillo.
“The definition means exactly that schemes are obtained by
gluing together affine schemes using the Zariski topology.”
2. Variedades diferenciables “a manifold is obtained by gluing
open subsets of a vector space”.
3. Un homemorfismo local sobre un espacio topológico X se
obtiene pegando abiertos de X .
4. Un conjunto simplicial se obtiene ‘pegando śımplices’.
5. Un grafo reflexivo se obtiene pegando nodos y aristas.
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Completación por coĺımites
Sea C una categoŕıa (esencialmente) chiquita.
Definición
La categoŕıa de pre-haces (sobre C) es Ĉ = ConjCop .
Los coĺımites en categoŕıas de functores se calculan ‘punto a
punto’ aśı que: Ĉ es cocompleta.
La asignación C 7→ C(−,C ) se extiende a un functor y : C → Ĉ
pleno y fiel (Yoneda), que preserva todos los ĺımites que existen en
C y que tiene la siguiente propiedad universal.
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Completación por coĺımites (cont.)
Sea C una categoŕıa (esencialmente) chiquita.
Proposición
Para cada functor A : C → E hacia una categoŕıa cocompleta
existe un functor A′ : Ĉ → E que preserva coĺımites y t.q.
C
A ��
y // Ĉ
A′
��
E
Además, es único salvo isomorfismo.
Entonces, para cualquier categoŕıa esencialmente chiquita podemos
construir la ‘mejor’ categoŕıa que objetos que resultan de
‘pegotear’ objetos de C. Por ejemplo, ∆̂ o ∆̂1.
Pero...
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Completación por coĺımites pero...
... el functor y : C → Ĉ destruye casi todos los coĺımites de C.
Ejemplo
Si C es chiquita y con coproductos finitos entonces
C(−,C0) + C(−,C1)→ C(−,C0 + C1)
no es un iso en Ĉ.
Es posible que nosotros queramos preservar algunos coĺımites.
En cierto sentido los sitios de Grothendieck permiten hacer esto.
Veamos un caso particular.
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Los topos de Gaeta
Sea C esencialmente chiquita y con coproductos finitos.
Sea GC → Ĉ la subcategoŕıa plena dada por los P : Cop → Conj
que preservan productos finitos, i.e. tales que
P(C + D)→ PC × PD es iso.
ProposiciónSi C es extensiva entonces:
1. (Subtopos) GC → Ĉ tiene un adjunto a izquierda que preserva
ĺımites finitos.
2. (Subcanonicidad) La inclusión y : C → Ĉ se factoriza a través
de GC → Ĉ.
3. (Extensividad) La factorización C → GC, necesariamente
plena, fiel y continua, también preserva coproductos finitos.
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Los topos de Gaeta
Sea C esencialmente chiquita y con coproductos finitos.
Sea GC → Ĉ la subcategoŕıa plena dada por los P : Cop → Conj
que preservan productos finitos, i.e. tales que
P(C + D)→ PC × PD es iso.
Proposición
Si C es extensiva entonces:
1. (Subtopos) GC → Ĉ tiene un adjunto a izquierda que preserva
ĺımites finitos.
2. (Subcanonicidad) La inclusión y : C → Ĉ se factoriza a través
de GC → Ĉ.
3. (Extensividad) La factorización C → GC, necesariamente
plena, fiel y continua, también preserva coproductos finitos.
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Demo
(Subtopos) Una flia. finita (fi : Xi → X | i ∈ I ) de morfismos en C
cubre a X si [fi | i ∈ I ] :
∑
i∈I Xi → X es un iso.
La extensividad de C implica que esta noción de cubrimiento
determina la base de una topoloǵıa de Grothendieck.
Fácil: un prehaz es un haz sii preserva productos finitos.
(En la p.151 de R. G. Swan, Algebraic K-Theory, LNM 76 se hace
concretamente para una cat. extensiva particular.)
(Subcanonicidad) Los representables preservan ĺımites.
(Extensividad) En GC, para todo cubrimiento (fi : Xi → X | i ∈ I ),∑
i∈I C(−,Xi )→ C(−,X ) esta forzado a ser un isomorfismo. En
particular C(−,X ) + C(−,Y )→ C(−,X + Y ) deber ser un iso
para cualquier par X ,Y en C. (Lo análogo sucede con
0→ C(−, 0).)
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Los topos de Gaeta (cont.)
Proposición
Si C es esencialmente chiquita y extensiva entonces:
1. (Subtopos) GC → Ĉ tiene un adjunto a izquierda que preserva
ĺımites finitos.
2. (Subcanonicidad) La inclusión y : C → Ĉ se factoriza a través
de GC → Ĉ.
3. (Extensividad) La factorización C → GC, necesariamente
plena, fiel y continua, también preserva coproductos finitos.
Intuición: toda cat. chiquita y extensiva se mete canónicamente en
un topos de modo que se preservan los copros finitos y en donde
(como en pre-haces pero ‘mejor’) podemos pegar cosas.
Pensar en AffK → G(AffK ) con K = R,C,2 . . ..
RR → R ΩR
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A veces, los topos de Gaeta son de pre-haces
Sea Con C → C es la subcat. plena de conexos de C.
Proposición
Si todo objeto de C es un coproducto finito de objetos conexos
entonces la inclusión Con C → C determina una equivalencia
GC ∼= Ĉon C.
Demostración.
Corolario del Comparison Lemma.
Ejemplo
1. Conjf , OPf , AffK para K anillo Noetheriano o K = 2, iAff.
2. Conjω es distinto [L21]: Conjω → G(Conjω) no preserva N.
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A veces, los topos de Gaeta son de pre-haces
Sea Con C → C es la subcat. plena de conexos de C.
Proposición
Si todo objeto de C es un coproducto finito de objetos conexos
entonces la inclusión Con C → C determina una equivalencia
GC ∼= Ĉon C.
Demostración.
Corolario del Comparison Lemma.
Ejemplo
1. Conjf , OPf , AffK para K anillo Noetheriano o K = 2, iAff.
2. Conjω es distinto [L21]: Conjω → G(Conjω) no preserva N.
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Los topos de Zariski
Sea K un rig y sea R la recta af́ın en G(AffK ).
Tiene sentido afirmar que:
G(AffK ); x , y ∈ R 2 (x+y) invertible⇒ (x invertible∨y invertible)
y que existe la mayor localización ZK → G(AffK ) t.q.
ZK ; x , y ∈ R � (x + y) invertible⇒ (x invertible ∨ y invertible)
Para el caso de anillos K , ZK es el topos de Zariski (asociado a K).
Para el caso de K = 2 ver [L2021], donde también se trata el caso
“integral”.
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“5. The inexactness of affine schemes”
Algebraic geometry constructs categories X of spaces from
categories A of algebras in such a way that every space has an
algebra of functions and every algebra has a spectral space, a
contravariant adjointness; experience shows that it is not a duality
in the naive sense of equivalence. More specifically, the
finitely-presented algebras
C ⊆ Aop
permit representing A as the left exact functors on C and X as a
subtopos of the classifying topos (consisting of all contravariant
functors on C ), whereas the Yoneda embedding Kan-extends to
spec : Aop → X . The need for a subtopos (i.e. for Grothendieck
topology) is due to the fact that neither the ‘affine schemes’ C nor
the presheaves have the geometrically correct colimits!
Lawvere, Core varieties, extensivity and Rig Geometry, TAC 2008.
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The inexactness of affine schemes (cont.)
“The need for a subtopos (i.e. for Grothendieck topology) is due to
the fact that neither the ‘affine schemes’ C nor the presheaves
have the geometrically correct colimits!”
“AffA = ” C = (Afp)op
y // ConjAfp = Ĉ // Aop
‘Spec’oo
id
X
OO
// Aop
‘Spec’oo
“The co-extensivity of the algebra permits a first step toward
resolving the colimit problem, because it suggests that we can
assume that X → G(C )”
C
��
y //
!!
Ĉ
X // G(C )
OO
P.e., A = K/Rig, iRig,RD,MV, ....
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The inexactness of affine schemes (cont.)
“The need for a subtopos (i.e. for Grothendieck topology) is due to
the fact that neither the ‘affine schemes’ C nor the presheaves
have the geometrically correct colimits!”
“AffA = ” C = (Afp)op
y // ConjAfp = Ĉ // Aop
‘Spec’oo
id
X
OO
// Aop
‘Spec’oo
“The co-extensivity of the algebra permits a first step toward
resolving the colimit problem, because it suggests that we can
assume that X → G(C )”
C
��
y //
!!
Ĉ
X // G(C )
OO
P.e., A = K/Rig, iRig,RD,MV, ....
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The inexactness of affine schemes (cont.)
“The need for a subtopos (i.e. for Grothendieck topology) is due to
the fact that neither the ‘affine schemes’ C nor the presheaves
have the geometrically correct colimits!”
“AffA = ” C = (Afp)op
y // ConjAfp = Ĉ // Aop
‘Spec’oo
id
X
OO
// Aop
‘Spec’oo
“The co-extensivity of the algebra permits a first step toward
resolving the colimit problem, because it suggests that we can
assume that X → G(C )”
C
��
y //
!!
Ĉ
X // G(C )
OO
P.e., A = K/Rig, iRig,RD,MV, ....
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Topos
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Exponenciales
Definición
Una categoŕıa C con productos finitos tiene exponenciales si, para
todo objeto X , el functor X × (−) : C → C tiene adjunto a derecha
(usualmente denotado por (−)X ).
1. En Conj o Conjf , X × (−) a hom(X ,−).
2. En Ĉ, para C chiquita: (Y X )C = Ĉ(C(−,C )× X ,Y ).
3. Si E tiene exponenciales y F → E es una localización
entonces F tiene exponenciales.
4. En particular, localizaciones de Ĉ.
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Clasificadores de subobjetos
Definición
En una categoŕıa con 1, un clasificador de subobjetos es un punto
> : 1→ Ω tal que, para todo mono u : U → X , existe una única
χu : X → Ω t.q. el siguiente cuadrado es producto fibrado.
U
u
��
! // 1
>
��
X χu
// Ω
1. En Conj or Conjf , in0 : 1→ 1 + 1 clasifica subobjetos.
2. En Ĉ, ΩC = Sub(C(−,C )).
3. En particular, en ∆̂ y ∆̂1.
4. Localizaciones de Ĉ tienen clasificador de subs.
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El clasificador de subobjetos de ∆̂1
•id 99 == •
~~
id=>
YY
��
¡Es conexo!
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El clasificador de subobjetos de ∆̂1
•id 99 == •
~~
id=>
YY
��
¡Es conexo!
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Topos
Definición
Un topos (‘elemental’ o ‘de Lawvere y Tierney’) es una categoŕıa
con ĺımites finitos, exponenciales y clasificador de subobjetos.
1. Conjf . Para toda categoŕıa finita C, [Cop,Conjf ] es un topos.
2. Conj, y para cualquier categoŕıa C esencialmente chiquita,
Ĉ = [Cop,Conj] es un topos. En particular, ∆̂ y ∆̂1 son topos.
3. Si E es un topos y F → E es una localización entonces F es
un topos.
4. (Grothendieck) En particular, localizaciones de Ĉ.
5. En particular, si C es extensiva y esencialmente chiquita
entonces GC es un topos.
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Topos
Definición
Un topos (‘elemental’ o ‘de Lawvere y Tierney’) es una categoŕıa
con ĺımites finitos, exponenciales y clasificador de subobjetos.
1. Conjf . Para toda categoŕıa finita C, [Cop,Conjf ] es un topos.
2. Conj, y para cualquier categoŕıa C esencialmente chiquita,
Ĉ = [Cop,Conj] es un topos. En particular,