1-numeros-y-operaciones

Esta es una vista previa del archivo. Inicie sesión para ver el archivo original

Matemática
Apuntes de Cátedra
I
Números Reales
Operaciones
y Problemas
Facultad de Bellas Artes Departamento de Diseño Industrial
1 Conjuntos Numéricos
Una idea bastante arraigada, pero no siempre fácil de definir, es la de número. Sin en-
trar en aspectos epistemológicos, vamos a definir simplemente como número a una enti-
dad matemática que representa una determinada cantidad. Esta cantidad puede
representar cuántos perros hay en una jauŕıa, peces en un cardumen, estudiantes en una
carrera, etc. Estas cantidades estan representadas por números redondos, los que llamamos
naturales o enteros positivos. Es claro que nunca el número de estudiantes en una carrera
puede ser negativo, lo mismo ocurre con el conteo de cosas. Este conjunto de números se lo
denomina naturales. En el conjunto de los naturales incluiremos el cero.
Números negativos podemos encontrar al medir temperaturas, cuando decimos que en deter-
minada ciudad hace −5◦ significa que el temómetro indica 5 grados bajo cero. Los enteros
negativos, junto con los enteros positivos forman el conjunto denominado enteros.
Cuando comemos una pizza, podemos notar que en general la cortamos en 8 porciones. Eso
significa que una porción de pizza representa 18 de la pizza, y que si comemos media pizza es
lo mismo que comer 4 porciones, es decir, 4/8 de pizza. 4/8 = 1/2 de pizza. Los números que
además de poder representar enteros (positivos y negativos) pueden representar fracciones de
una determinada cantidad se lo denominan racionales. Racionales viene de ”razón” que es
equivalente a división o cociente.
Y cuando parećıa que ya teńıamos a todos los números representados con los números racionales
apareció el número
√
2. Este número se estudió mucho en la antigua Grecia y se descubrió
que no era ni entero, ni racional. Por tal motivo, este número y todos aquellos que teńıan
propiedades similares se los denominaron irracionales.
El conjunto que abarca a todos los conjuntos, es decir, el conjunto compuesto por los enteros
junto con los racionales y los irracionales forman el conjunto más general con el que vamos a
trabajar: El conjunto de los números reales.
1.1 Notación y representación
Habiendo descripto intuitivamente los conjuntos, vamos a representarlos como conjuntos, de
manera más formal
• Naturales: N = {0, 1, 2, 3, . . . } sin fin
• Enteros: Z = {0,±1,±2,±3, . . . } sin fin
• Racionales Q = {pq , q 6= 0 con p, q ∈ Z} = {0,±11 ,±21 ,±22 ,±12 ,±13 ,±23 , · · · } todas las
fracciones posibles.
• Irracionales: I = {
√
2,
√
2+1,
√
3, π, e, · · · } todos los que no tienen representación como
fracciones de enteros.
Claramente tenemos que
N ⊂ Z ⊂ Q.
Entonces, los números reales serán definidos como la unión de los racionales con los irra-
cionales.
R = Q ∪ I.
Cátedra: Matemática Año 2017
Facultad de Bellas Artes Departamento de Diseño Industrial
2 Operaciones
El estudio de los conjuntos numéricos comienza con el comportamiento de los mismos con
relación a las operaciones definidas. La mera descripción de los conjuntos no constituye
estudio alguno, sino que lo importante es estudiar los conjuntos y las propiedades de las
operaciones. Estas propiedades dotan a los conjuntos de una determinada estructura.
2.1 Suma
La suma es una operación definida en todos los conjuntos numéricos. Es una operación que
en todos los conjuntos numéricos satisface las siguientes propiedades:
I. Ley de Cierre. Esta ley indica que sumar dos elementos de un determinado conjunto
da como resultado un elemento del mismo conjunto.
II. Asociatividad. Esta propiedad se puede simbolizar como
(a+ b) + c = a+ (b+ c)
donde a, b y c son elementos de cualquier conjunto numérico definido.
III. Conmutatividad. Esta propiedad se puede simbolizar como
a+ b = b+ a
IV. Elemento neutro. En la suma tenemos el número cero que es el neutro, ya que sumarle
cero a cualquier número no altera al número en cuestión.
a+ 0 = a
V. Elemento opuesto. Para cada elemento de un conjunto (excepto el de los naturales)
existe un número denominado opuesto tal que al sumarselo resulta el neutro,
a+ (−a) = 0
Sobre el uso de letras en vez de números. Una ”queja” frecuente resulta del hecho de
usar letras en vez de números. Se supone que en Matemática usamos números y de repente
nos encontramos con letras y más letras... Bueno, esto tiene una razón fundamental: Si
trabajásemos con números, las propiedades seŕıan válidas sólo para aquellos números que
usamos, mientras que cuando usamos letras, éstas representan cualquier número, y por lo
tanto, las propiedades serán generales, no particulares.
Cuando decimos ”el cuadrado de todo número par es par” decimos ”todo”. Imaginemos que
usamos números: Deŕıamos empezar por el 2, luego por el 4, luego por el 6 y aśı sucesivamente.
No terminaŕıamos nunca, ya que hay infinitos números pares. En cambio si usamos letras,
hacemos la comprobación una vez y será suficiente.
Es por eso que no debemos complicarnos con las letras, sino considerarlas como números, con
la particularidad que representa cualquier número y no uno en particular.
Cátedra: Matemática Año 2017
Facultad de Bellas Artes Departamento de Diseño Industrial
2.2 Producto
El producto o multiplicación es una operación definida en todos los conjuntos numéricos. Es
una operación que en todos los conjuntos numéricos satisface las siguientes propiedades:
I. Ley de Cierre. Esta ley indica que sumar dos elementos de un determinado conjunto
da como resultado un elemento del mismo conjunto.
II. Asociatividad. Esta propiedad se puede simbolizar como
(a · b) · c = a · (b · c)
donde a, b y c son elementos de cualquier conjunto numérico definido.
III. Conmutatividad. Esta propiedad se puede simbolizar como
a · b = b · a
IV. Elemento neutro. En la suma tenemos el número uno que es el neutro, ya que multiplicar
por uno a cualquier número no altera al número en cuestión.
a · 1 = a
V. Elemento inverso. Para cada elemento no nulo de un conjunto (excepto el de los natu-
rales, enteros en los que no existe el inverso) existe un número denominado inverso tal
que al multiplicárselo resulta el neutro,
a · a−1 = 1
La notación para opuesto e inverso. Dado un número a denotamos como −a al opuesto
respecto de la suma y como a−1 para el inverso multiplicativo. Esta notación es formal
y en principio (sólo en principio) no tiene que ver con multiplicar por −1 al primero y con
elevar a la −1 al segundo. Sin embargo va a resultar lo que suponemos, pero primero hay que
demostrarlo.
2.3 La propiedad distributiva
Esta propiedad es la relaciona las operaciones suma y producto y se puede resumir como
a · (b+ c) = a · b+ a · c
Notemos que por cómo leamos esta propiedad tenemos dos aspectos importantes:
a · (b+ c) = a · b+ a · c distributiva
a · b+ a · c = a · (b+ c) factor común
Repaso: Suma y producto de fracciones
La operación suma si bien es asumida como la operación más sencilla, no ocurre lo mismo
cuando de fracciones se trata. Vamos a repasar el procedimiento para la suma de fracciones.
Consideremos dos fracciones p1q1 y
p2
q2
.
La suma (o resta) de fracciones se efectúa
p1
q1
± p2
q2
=
p1 · q2 ± p2 · q1
q1 · q2
Cátedra: Matemática Año 2017
Facultad de Bellas Artes Departamento de Diseño Industrial
Ejemplo
2
5
+
3
2
=
2 · 2 + 3 · 5
5 · 2 =
19
10
Ejemplo
2
5
− 3
2
=
2 · 2− 3 · 5
5 · 2 =
−11
10
El producto de fracciones se efectúa
p1
q1
· p2
q2
=
p1 · p2
q1 · q2
Ejemplo:
2
5
· 3
2
=
2 · 3
5 · 2 =
6
10
El inverso de una fracción
Recordemos que dado un número a, el inverso multiplicativo es un número que al multiplicarlo
por a resulta el número 1.
Entonces, si tenemos una fracción pq el inverso multiplicativo deberá ser
q
p aśı tenemos
p
q
· q
p
=
p · q
q · p = 1
De esta manera, el inverso de 25 será
5
2 . El inverso del 4 será el
1
4 y aśı sucesivamente.
Invertimos la fracción y tenemos el inverso de una fracción determinada.
Entonces, (
p
q
)−1
=
q
p
División de fracciones
Una vez definido el inverso de un número racional, podemos considerar la operación división:
Una división será una multiplicación por el inverso multiplicativo, entonces
p1
q1
÷ p2
q2
=
p1
q1
·
(
p2
q2
)−1
=
p1
q1
· q2
p2
=
p1 · q2
q1 · p2
Ejemplo.
2
3
÷ 5
2
=
2
3
· 2
5
=
2 · 2
3 · 5 =
4
15
2.4 Propiedades del producto. Regla de los signos
Todas las propiedades de los números surgen directamente de las propiedades de las opera-
ciones definidas. No es necesario un recetario de propiedades, sino un buen uso de la lógica.
El enunciado
Cátedra: Matemática Año 2017
Facultad de Bellas Artes Departamento de Diseño Industrial
” La multiplicación de cualquier número por cero, resulta cero”
no es un enunciado divino (como a veces nos enseñan en la escuela), sino producto de la
aplicación de las propiedades del producto y de la suma.
En efecto, a partir de 1 · a = a podemos escribir entonces
a = 1 · a =︸︷︷︸
por neutro de la suma
(1 + 0) · a =︸︷︷︸
por distributiva
1 · a+ 0 · a
volviendo a que 1 · a = a tenemos
a = a+ 0 · a
Entonces, por la definición de neutro, tenemos que 0 · a al sumarle a a no altera el resultado,
por lo que 0 · a es el neutro, que era el cero. Entonces
0 · a = 0
como queŕıamos probar.
El producto (−1) · a. Cuando enunciamos la propiedad de que cada número a tiene un
opuesto, el que denotamos −a, no se ha dicho nada como podemos obtenerlo. Sabemos
que debemos cambiar de signo, pero nada más. Ahora veremos que, como supońıamos, la
obtención se basa simplemente en multiplicar por -1.
En efecto, a partir de la propiedad que acabamos de probar, tenemos que
0 = 0 · a = [1 + (−1)] · a = 1 · a+ (−1) · a = a+ (−1) · a
Entonces, por definición de opuesto de la suma, tenemos que
−a = (−1) · a
La regla de los signos. De manera análoga a la anterior, podemos probar que
a · (−b) = −(a · b), (−a) · b+ (−a) · (−b) = 0
Con estos dos resultados podemos enunciar la regla de los signos
+ ·+ = +
+ · − = −
− ·+ = −
− · − = +
Es importante remarcar que la regla de los signos se aplica además a la división, ya que la
división no es otra cosa que la multipicación por un inverso.
Cátedra: Matemática Año 2017
Facultad de Bellas Artes Departamento de Diseño Industrial
2.5 Potencia natural de un número
Definimos la potencia n-ésima de a
an = a · a · a · · · a︸ ︷︷ ︸
n veces a
Por ejemplo, 32 = 3 · 3 = 9, 23 = 2 · 2 · 2 = 8, etc.
2.6 Propiedades de la Potenciación
Consideremos a, b números, consideremos potencias naturales, es decir, la definición de po-
tencias de un número será la multiplicación por śı mismo una cierta cantidad de veces (que
será el ı́ndice de la potencia)
a) Definición.
an = a · a · · · · a︸ ︷︷ ︸
n veces a
b) Producto de potencias de igual base. (Se suman los exponentes!)
an · am = (a · a · · · · a︸ ︷︷ ︸
n veces a
) · (a · a · · · · a︸ ︷︷ ︸
m veces a
) = a · a · · · · a︸ ︷︷ ︸
(n+m) veces a
= an+m
c) Potencia de potencia. (Se multiplican los exponentes!)
(an)m = an · an · · · · an︸ ︷︷ ︸
m veces an
= (a · a · · · · a︸ ︷︷ ︸
n veces a
) · (a · a · · · · a︸ ︷︷ ︸
n veces a
) · · · · (a · a · · · · a︸ ︷︷ ︸
n veces a
)︸ ︷︷ ︸
m veces an
= a · a · · · · a︸ ︷︷ ︸
(n·m) veces a
= an·m
d) Potencia de un producto. Distributividad de la potencia en el producto.
(a · b)n = ab · ab · · · · ab︸ ︷︷ ︸
n veces a·b
= a · a · · · · a︸ ︷︷ ︸
n veces a
· b · b · · · · b︸ ︷︷ ︸
n veces b
= an · bn
ATENCIÓN! La potencia NO ES DISTRIBUTIVA CON LA SUMA. Ni con la resta.
(a+ b)n 6= an + bn
Con un contraejemplo ponemos en evidencia la falsedad:
(2 + 1)2 = 32 = 9
por otro lado,
22 + 12 = 4 + 1 = 5
entonces,
(2 + 1)2 6= 22 + 12
Cátedra: Matemática Año 2017
Facultad de Bellas Artes Departamento de Diseño Industrial
Vamos a definir la potencia de manera axiomática, es decir, a partir de propiedades. Esta
manera, permite superar el ĺımite de la potencia natural, para poder definir cualquier tipo de
exponente.
Axiomas de Potencia
Consideremos un número a 6= 0 vamos a definir la potencia an con n natural como
• a0 = 1, esto es una imposición.
• a1 = a
• an = a · an−1
Observación. Si bien las propiedades de las potencias fueron obtenidas a partir de potencias
naturales, la definición formal de potencia se aplica a todo número, es decir que comienza a
tener sentido expresiones como 4
√
2 que sin tener definiciones no sabŕıamos interpretar qué
número es ese. Otra cosa es poder saber qué número será este, pero por lo menos podemos
decir que existe, que no es poco.
Ejemplo. Si suponemos que 21/2 ≈ 1.4142135 entonces, calcular 27/2.
Solución. Tenemos que
27/2 = 2 ·27/2−1 = 2 ·25/2 = 2 ·2 ·25/2−1 = 2 ·2 ·23/2 = 2 ·2 ·2 ·23/2−1 = 2 ·2 ·2 ·21/2 = 23 ·21/2
Reemplazando 23 = 8 y 21/2 ≈ 1.4142135 y multiplicamos, encontramos el valor del número
buscado.
Potencias de Índice par
A partir de la definición de potencia y de la regla de los signos podemos enunciar
Toda potencia de indice par de cualquier número real es positiva.
Comencemos con un cuadrado. Sea a un número positivo. Entonces, a2 = a · a ahora, como
a es positivo, tendremos que el signo que tendrá el cuadrado será positivo, ya que más por
más es positivo.
Si el número es negativo, tendremos nuevamente que a2 = a · a ahora, como a es negativo,
tendremos que el signo que tendrá el cuadrado será positivo, ya que menos por menos es
positivo.
Notemos ahora que cualquier potencia par posee la misma propiedad. En efecto, un número
par es un múltiplo de 2. Entonces, una potencia n par es an = a2 k para algún entero k.
Entonces
an = a2k = (ak)2
entonces una potencia par termina siendo un cuadrado, por lo que siempre será un número
positivo.
De esta manera, completamos la demostración de que toda potencia par da como resultado
un número positivo. Nunca puede ser negativo.
Cátedra: Matemática Año 2017
Facultad de Bellas Artes Departamento de Diseño Industrial
2.7 Potencias de un inverso. Potencias negativas
Con las definiciones de inverso multiplicativo, esto es, dado un número a, un inverso es un
número tal que al multiplicarlo por a resulta el uno,
a · b = 1
Ya en la notación hab́ıamos utilizado una notación como si fuera una potencia (que en mo-
mento de definir el inverso no hab́ıamos definido la potencia)
Si suponemos que el inverso es una potencia, por ejemplo, ap tendremos a partir de la defini-
ción,
a · ap = a1 · ap = a1+p = 1
Pero por los axiomas de potencias, teńıamos que
a0 = 1
entonces tendremos que
a1+p = a0, → 1 + p = 0
Entonces, el inverso de un número es
a−1 =
1
a
ahora śı, como potencia.
Potencias de fracciones
Ahora consideremos fracciones y consideremos las potencias.
Dada la fracción pq vamos a poder calcular las potencias(
p
q
)n
=
pn
qn
Esto significa que la potencia es también distributiva con respecto al cociente.
Inverso de potencias de fracciones
Ahora consideremos que queremos obtener el inverso de una fracción elevada a una potencia(
p
q
)−1
=
q
p
Es decir, invertimos la fracción.
Finalmente, si queremos obtener el inverso de una fracción elevada a una potencia[(
p
q
)n]−1
=
(
p
q
)−n
=
(
q
p
)n
Cátedra: Matemática Año 2017
Facultad de Bellas Artes Departamento de Diseño Industrial
3 Radicación
Vamos ahora a estudiar una operación del tipo inversa denominada radicación. Por lo general
y aunque muchas veces no reflexionamos al respecto, esta operación no se calcula: En efecto,
si queremos obtener 3
√
8 pensamos, probamos y finalmente decimos ¡2! porque 23 = 8
De la misma manera, decimos
3
√
27 = 3, porque 33 = 27
Esto significa que para dar con una ráız pensamos, proponemos un número, a este número lo
elevamos al ı́ndice de la ráız y si el resultado es el número de adentro de la ráız encontramos
esa ráız. De lo contrario, seguimos probando.
Vamos a definir la potencia de un número real
Definición de ráız n-ésima. Dado un número real a, se define la ráız n-ésima
de a a un
nuevo número b tal que se relacionan de la siguiente manera
n
√
a = b, si y sólo si bn = a
A partir de la definición y en virtud de lo que estudiamos con potencias pares podemos
concluir que
Sólo puede extraerse ráıces de ı́ndice par a números positivos. Es decir, no existe un número
real que sea la ráız de indice par de un número negativo.
√
−4 /∈ R
Cuando en una ráız no se pone el ı́ndice, se asume que es la ráız cuadrada.
La Ráız como Potencia
Supongamos que la ráız de un número a puede expresarse como una potencia, esto es
n
√
a = ap
Entonces, por definición tendremos que (ap)n = a entonces por la propiedad de potencias de
potencias (que se multiplican los exponentes)
ap·n = a, → p · n = 1 → p = 1
n
Entonces
n
√
a = a
1
n
Cátedra: Matemática Año 2017
Facultad de Bellas Artes Departamento de Diseño Industrial
Además de esta propiedad podemos obtener
n
√
am = a
m
n
Como las propiedades de potencias las conocemos, las propiedades de la ráız, también.
Ejemplo. Aplicando la propiedad de que la ráız n-ésima es una potencia, vamos a expresar
de manera más compacta, es decir, utilizando un sólo signo ráız, la expresión
2
√
33 · 3
√
9 · 4
√
3
Para expresar toda esta operación con un sólo signo de ráız (después se verá con qué ı́ndice)
debemos tener en cuenta que
•
2
√
33 =
(
33
) 1
2 = 3
3
2 (potencia de potencia se multiplican exponentes)
•
3
√
9 =
3
√
32 =
(
32
) 1
3 = 3
2
3 (potencia de potencia se multiplican exponentes)
•
4
√
3 = (3)
1
4
Entonces, sólo resta multiplicar cada factor, aprovechando ahora las propiedades de las po-
tencias
2
√
33 · 3
√
9 · 4
√
3 = 3
3
2 · 3 23 · 3 14 = 3 32+ 23+ 14
Sumando las fracciones del exponente, tenemos
3
2
+
2
3
+
1
4
=
18 + 8 + 3
12
=
29
12
Entonces,
2
√
33 · 3
√
9 · 4
√
3 = 3
29
12 =
12
√
329
Ahora el producto de las tres ráıces está representado con un solo signo de ráız.
Problemas de escribir todo dentro de un solo signo de ráız no tiene muchas aplicaciones más
que la de ejercitar el dominio del manejo de la operación, como aśı también la de aplicación
de uso de las propiedades de la poteciación de números.
El dominio de estas propiedades otorga seguridad a la hora de realizar cálculos, y permite
que la concentración se oriente a un determinado problema y no a aspectos elementales de
cálculo y de aplicación de propiedades de operaciones.
Otro de los aspectos que vamos a desarrollar es el poder traducir matemáticamente -esto
es, expresar en términos de operaciones matemáticas- enunciados y problemas expresados en
lenguaje coloquial. O como comúnmente se dice, en palabras.
Antes de abordar las simbolizaciones -esto de poner en ecuaciones enunciados en palabras-
vamos a culminar con algunos aspectos más de propiedades de las potencias.
Vamos a analizar potencias de binomios, cuadrados, cubos, etcétera, para llegar luego a una
expresión general que nos permita calcular cualquier potencia.
Cátedra: Matemática Año 2017
Facultad de Bellas Artes Departamento de Diseño Industrial
4 Potencias de un binomio
El término (o palabra) binomio encierra sólo una caracteŕıstica: Es una expresión matemática
que posee dos términos (cada término se lo llama comunmente monomio). Entonces, expre-
siones tales como
a+ b, a2 b c+ b2 a, a2 + ab
son ejemplos de binomios, ya que en todos ellos hay solo dos términos. Cada término se separa
de otro por un signo + o − y dentro de cada término (o monomio) sólo hay operaciones de
producto, cocientes, potencias de factores, etc. Sumas y restas separan términos.
Hemos visto a partir de un contraejemplo (contraejemplo es un ejemplo que se utiliza para
mostrar la falsedad de una afirmación matemática) que la potencia no es distributiva con
respecto a la suma y a la resta, esto es, para n > 1 (para n = 1 vale),
(a+ b)n 6= an + bn
Esto es
(a+ b)2 6= a2 + b2
(a+ b)3 6= a3 + b3
y aśı sucesivamente. Obviamente, como las ráıces son potencias, es decir
n
√
a+ b 6= n√a+ n
√
b
Esto es
2
√
a+ b 6= 2√a+ 2
√
b
3
√
a+ b 6= 3√a+ 3
√
b
y aśı sucesivamente.
Vamos a concentrarnos en potencias y preguntarnos cómo podemos calcular potencias de
binomios. Vamos a hacer uso de la razón, y trataremos de usar la memoria lo menos posible.
4.1 Cuadrado de un Binomio
Elevar al cuadrado determinada cantidad es multiplicar esa cantidad por śı misma. Entonces
consideremos un binomio, por ejemplo, el a+ b. El cuadrado lo calcularemos como
(a+ b)2 = (a+ b) · (a+ b)
Aplicando la propiedad distributiva, tenemos
(a+ b)2 = (a+ b) · (a+ b) = a · a+ a · b+ b · a+ b · b
Los dos términos del centro son iguales en virtud de la propiedad conmutativa, por lo que
(a+ b)2 = a2 + 2 a b+ b2
Esta es la expresión que se conoce como cuadrado de un binomio.
Es importante remarcar que a y b pueden no ser necesariamente números, sino expresiones
algebraicas más complicadas. Por ejemplo, si queremos calcular (comprobar)
(a2 b+ c3 d)2 = a4 b2︸︷︷︸
(a2 b)2
+2 a2 b c3 d+ c6 d2︸︷︷︸
(c3 d)2
Cátedra: Matemática Año 2017
Facultad de Bellas Artes Departamento de Diseño Industrial
4.2 Cubo de un Binomio
Habiendo calculado el cuadrado de un binomio, podemos calcular el cubo, haciendo
(a+ b)3 = (a+ b) · (a+ b)︸ ︷︷ ︸
(a+b)2
·(a+ b) = (a+ b)2 · (a+ b)
Pero (a+ b)2 ya lo hab́ıamos calculado, porque lo que podemos reemplazar
(a+ b)3 = (a2 + 2 a b+ b2) · (a+ b).
Finalmente, haciendo la distributiva, tenemos
(a+ b)3 = a2 a+ 2 a b a+ b2 a+ a2 a+ 2 a b b+ b2 b
Sumando, tenemos
(a+ b)3 = a3 + 3 a2 b+ 3 a b2 + b3
4.3 Potencia cuarta de un Binomio
Si queremos ir calculando las potencias de un binomio podemos repetir este procedimiento las
veces necesarias, ya que, por ejemplo, para calcular la cuarta potencia del binomio hacemos
(a+ b)4 = (a+ b)3 · (a+ b),
y como (a+ b)3 ya lo calculé, sustituyo la expresión, hago distributiva y agrupo para obtener
el resultado. Este da:
(a+ b)4 = a4 + 4 a3 b+ 6 a2 b2 + 4 a b3 + b4
Observemos cada término de la cuarta potencia (que se cumple también en las anteriores)
• a4 = a4 b0
• a3 b = a3 b1
• a2 b2 = a2 b2
• a b3 = a1 b3
• b4 = a0 b4
Observamos que las potencias de a van disminuyendo hasta llegar hasta la potencia cero y la
potencia de b va creciendo desde cero hasta la potencia a la cual se elevó el binomio.
4.4 Expresión General (Opcional)
Para ver la expresión general de una potencia de un binomio ayuda mucho verlas todas juntas
y observar una propiedad (que es conocida por los matemáticos persas desde el siglo XI o
los matemáticos chinos, también desde el siglo XI e incluso hay escritos en Sánscrito por
matemáticos de la India alrededor del 200 antes de Cristo, pero que en el 1654 se llamó
Cátedra: Matemática Año 2017
Facultad de Bellas Artes Departamento de Diseño Industrial
triángulo Aritmético, por Blaise Pascal) respecto al comportamiento de las potencias de los
términos, como aśı también respecto a los coeficientes numéricos.
La expresión general de la potencia de un binomio se conoce como Binomio de Newton ya que
la formulación moderna de la expresión la halló y demostró Isaac Newton en el siglo XVII.
Vayamos poniendo las primeras potencias del binomio:
• (a+ b)0 = 1
• (a+ b)1 = a+ b
• (a+ b)2 = a2 + 2 a b+ b2
• (a+ b)3 = a3 + 3 a2 b+ 3 a b2 + b3
• (a+ b)4 = a4 + 4 a3 b+ 6 a2 b2 + 4 a b3 + b4
• (a+ b)5 = a5 + 5 a4 b+ 10 a3 b2 + 10 a2 b3 + 5 a b4 + b5
• (a+ b)6 = a6 + 6 a5 b+ 15 a4 b2 + 20 a3 b3 + 15 a2 b4 + 6 a b5 + b6
• (a+ b)7 = a7 + 7 a6 b+ 21 a5 b2 + 35 a4 b3 + 35 a3 b4 + 21 a2 b5 + 7 a b6 + b7
¿Y? ¿Se descubre la propiedad general?
Lo que primero podemos descubrir es el comportamiento de las potencias de a y b. Las de a
(que puede tomarse la s de b indistintamente ya que la suma es conmutativa) comienzan con la
máxima potencia y van disminuyendo hasta la potencia cero. Contrariamente, las potencias
de b van desde cero hasta la máxima a la que se eleva el binomio. Por otro lado, siempre la
sumas de las
potencias de a y de b, en cada término, suman la potencia a la que se eleva el
binomio. Esto parece no generar ningún tipo de problemas.
Ahora, ¿qué numeritos van acompañando cada término? Si miramos detenidamente podemos
notar que con los coeficientes se forma un triángulo, denominado Triángulo de Pascal:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
¿Te animás a confeccionar una nueva ĺınea en el triángulo? Hay que notar que los numeritos
que van apareciendo son suma de los dos que estan arriba...
Si completas una ĺınea más por debajo de la que está en el triángulo, podras conocer la
potencia 8 del binomio. Comprueba que
(a+ b)8 = a8 + 8 a7b+ 28 a6b2 + 56 a5b3 + 70 a4b4 + 56 a3b5 + 28 a2b6 + 8 ab7 + b8
Si se quiere seguir investigando sobre el triángulo, es interesante la lectura
https://es.wikipedia.org/wiki/Triángulo_de_Pascal
Cátedra: Matemática Año 2017
Facultad de Bellas Artes Departamento de Diseño Industrial
5 Modelización Matemática
Un aspecto que queremos desarrollar y que es de suma utilidad en matemática aplicada es la
modelización matemática.
Por modelización matemática vamos a entender la traducción en ecuaciones de un determinado
enunciado o problema. Si sabemos operar matemáticamente y sabemos entender un enunciado
podremos resolver problemas que muchas veces aparecen como ”problemas de ingenio”, cuando
en realidad se basa en problemas matemáticos formulados coloquialmente.
Modelizar matemáticamente se aplica tanto en problemas que parecen elementales, como en
problemas de la F́ısica Teórica, desde la Mecánica Clásica, Electromagnetismo, Mecánica
Cuántica, etc.
La clave es entender correctamente el enunciado, simbolizar las cantidades involucradas para
luego relacionarlas matemáticamente.
Ejemplo 1. Modelizar matemáticamente el siguiente enunciado:
” La cantidad de ingresantes en la carrera de Diseño Industrial de la Facultad de Bellas
Artes de la Universidad Nacional de La Plata es de 280, entre hombres y mujeres. Además,
se sabe que la cantidad de hombres es un tercio de la cantidad de mujeres.”
Este enunciado es muy claro de entender, pero vamos a traducir a ecuaciones. Para ello,
debemos asignar letras, una que represente la cantidad de hombres y otras que represente a
la cantidad de mujeres.
Paso 1: Simbolización. Simbolicemos la cantidad de hombres y de mujeres:
• Llamemos con la letra h a la cantidad de hombres
• Llamemos con la letra m a la cantidad de mujeres
Paso 2: Relaciones entre las variables. Habiendo asignado letras para simbolizar las
cantidades involucradas, ahora plasmemos las relaciones existentes entre ellas
• ” La cantidad de ingresantes en la carrera de Diseño Industrial de la Facultad de Bellas
Artes de la Universidad Nacional de La Plata es de 280, entre hombres y mujeres...”.
Esto significa que
h+m = 280
• ”... se sabe que la cantidad de hombres es un tercio de la cantidad de mujeres.”. En-
tonces, esta relación se expresa como
h =
1
3
m
Con lo cual, la cantidad de hombres, h, y la cantidad de mujeres, m, satisfacen simultánea-
mente las siguientes relaciones {
h+m = 280
h = 13 m
Cátedra: Matemática Año 2017
Facultad de Bellas Artes Departamento de Diseño Industrial
Claramente la respuesta es h = 70 y m = 210, es decir, entraron a la carrera 210 mujeres y
70 hombres, pero la resolución se verá más adelante, como parte de resolución de ecuaciones.
Lo importante del ejemplo era la simbolización.
Ejemplo 2. (un poquito más dificil...)
” Hoy, la edad del padre es 6 veces la edad del hijo, pero dentro de siete años será el triple,
más uno.”
Paso 1: Simbolización. Simbolicemos las edades de hoy del padre y del hijo:
• Llamemos con la letra p a la edad actual del padre
• Llamemos con la letra h a la edad actual del hijo
Paso 2: Relaciones entre las variables. Habiendo asignado letras para simbolizar las
cantidades involucradas, ahora plasmemos las relaciones existentes entre ellas
• ” Hoy, la edad del padre es 6 veces la edad del hijo...”. Esto significa que
p = 6h
• ”... dentro de siete años será el triple, más uno.”. Aqúı debemos tener en cuenta
que dentro de 7 años, ambas edades se incrementan en 7, y luego plasmar la relación
establecida
p+ 7 = 3 (h+ 7) + 1
Con lo cual, la edad del padre, p, y la del hijo, h, satisfacen simultáneamente las siguientes
relaciones {
p = 6h
p+ 7 = 3 (h+ 7) + 1
La respuesta es p = 30 y h = 5, pero lo veremos cuando estudiemos resolución de ecuaciones.
Los ejemplos se han resuelto de manera extremadamente esquemática, planteando Paso 1,
Paso 2, etc. Esto no es necesario, pero puede ser de gran ayuda en los primeros pasos de
problemas de modelización.
Ejemplo 3. Vamos a considerar un último ejemplo, un poco más sencillo que el anterior:
” El radio de una circunferencia se incrementa en dos tercios de su valor.”
Si llamamos r al radio en cuestión, entonces, podemos llamar r′ al valor aumentado. La
relación entre uno y otro será:
r′ = r +
2
3
r =
(
1 +
2
3
)
r =
5
3
r
Estos problemas ayudan a pensar matemáticamente, modelizar y cuando se repase la resolu-
ción de ecuaciones, resolver completamente el problema.
Cátedra: Matemática Año 2017
Facultad de Bellas Artes Departamento de Diseño Industrial
6 Notación Cient́ıfica
Como la mayoŕıa de las notaciones propuestas en matemática, la notación cient́ıfica viene
al auxilio de quien hace cuentas con números extremadamente grandes o extremadamente
pequeños.
Por ejemplo, supongamos que queremos hacer la siguiente operación:
20000000000000000000× 1000000000000000000000
Podemos notar que no sólo nos puede llevar mucho tiempo, sino que es más critico: podemos
confundirnos con tantos y tantos ceros.
Lo mismo ocurrirá si nos encontramos con la necesidad de calcular
0, 0000000000000000000031× 0, 0000000000000000000001
Para hacer estas operaciones, vayamos calculando potencias de 10:
1 = 100
10 = 101
100 = 102
1000 = 103
... =
...
1 000 . . . 0︸ ︷︷ ︸
n ceros
= 10n
Esta propiedad elemental, nos sirve de mucha ayuda para tratar con números con muchos
ceros, ya que por ejemplo, para la operación en consideración
20000000000000000000× 1000000000000000000000
notamos que
20000000000000000000 = 2× 10000000000000000000
Si además contamos la cantidad de ceros, que son 19, este número enorme puede escribirse
como
20000000000000000000 = 2× 1019
que como número sigue siendo enorme, pero que su representación es más reducida.
Por otro lado,
1000000000000000000000 = 1× 1021
entonces, volviendo a la operación
20000000000000000000× 1000000000000000000000 = 2× 1019 × 1× 1021
Como el producto es conmutativo, tenemos
2× 1019 × 1× 1021 = 2× 1× 1019 × 1021
Y como ahora llevamos a producto de potencias de igual base, sumamos los exponentes de
los 10. Por lo tanto
2× 1019 × 1× 1021 = 2× 1019+21 = 2× 1040
Cátedra: Matemática Año 2017
Facultad de Bellas Artes Departamento de Diseño Industrial
6.1 Uso de la Calculadora
Generalmente, al operar con números muy grandes en una calculadora, el resultado en el
display lo presenta en notación cient́ıfica. Por ejemplo, el Número de Avogadro, que representa
la cantidad de moléculas en un mol de molécula, aparece en la calculadora en la forma
Cuando en la pantalla de la calculadora aparece esta notación, significa 6, 02× 1023.
Nota: Para usar notación cient́ıfica en la calculadora, se debe usar la tecla EXP. Si se desea
escribir 2, 1× 108 debes tipear en la calculadora 2,1 EXP 8
Es decir, que hacer la cuenta de esta manera, solo necesitamos sumar exponentes, y no teńı-
amos que hacer el producto, que por cierto podŕıamos haber cometido errores, debido a la
cantidad de ceros.
Algo similar ocurre con números extremandamente pequeños. Para tratar con este tipo de
números, tomemos en cuenta que
0, 1 = 10−1
0, 01 = 10−2
0, 001 = 10−3
0, 0001 = 10−4
... =
...
0, 0 . . . 0︸ ︷︷ ︸
n ceros
1 = 10−n
Entonces, para calcular
0, 0000000000000000000031×
0, 0000000000000000000001 = 3, 1× 10−21 × 1× 10−22
que, ordenando los productos adecuadamente y sumando las potencias de 10, obtenemos:
0, 0000000000000000000031× 0, 0000000000000000000001 = 3, 1× 10−43
Cátedra: Matemática Año 2017
Facultad de Bellas Artes Departamento de Diseño Industrial
En esto se basa lo que se denomina notación cient́ıfica: expresar cualquier número x en la
forma
xnotacion cientifica = a× 10n
Donde a debe ser menor que 10, pero que pueda tener parte decimal. Y la potencia de 10
puede ser positiva o negativa.
Todo número puede ser escrito en notación cient́ıfica, pero no siempre se justifica.
Por ejemplo, 121 = 1, 21 × 102. En este caso, la notación cient́ıfica no es de gran ayuda, a
menos que querramos multiplicarlo por otro número en que śı se justifique y aprovechemos la
propiedad de multiplicación de potencias (de 10, en este caso).
7 Representación en la Recta Numérica
Finalmente, vamos a denotar subconjuntos de R en una notación denominada intervalos que
será de utilidad para estudiar uniones e intersecciones de subconjuntos de R de una manera
gráfica en la recta numérica.
El uso de la representación de intervalos está sustentado en la hipótesis de Dedekind que
establece -muy simplificadamente- que cada número real puede representarse en una recta,
que llamaremos recta numérica, y que cada número al ser sustitúıdo por un punto en la recta,
dividirá la misma en dos partes, los de la derecha y los de la izquierda de él. De esta manera
se da un sentido geométrico al hecho de que cada número tiene infinitos números mayores que
él, como aśı también infinitos menores.
Además, representar conjuntos numéricos que sean infinitos es más facil representarlos sobre
una recta, para luego poder relacionarlos con otros conjuntos numéricos, a la hora de unirlos,
intersectarlos, etc.
Consideremos el subconjunto
A = {x ∈ R : 1 < x < 5}
Este conjunto es el subconjunto de R cuyos elementos son aquellos que son mayores estrictos
que 1 y menores estrictos que 5. Es decir que ni 1 ni 5 pertenecen a A. Notemos que este
conjunto no tiene inclúıdo el número más pequeño como tampoco el número mayor. Este tipo
de conjuntos se los denominan abiertos.
Consideremos ahora, el conjunto
B = {x ∈ R : −2 ≤ x ≤ 8}
Este conjunto es el subconjunto de R cuyos elementos son aquellos que son mayores o iguales
que -2 y menores o iguales que 8. Con lo cual, -2 y 8 están en el conjunto. En este caso, -2
es el más pequeño de los elementos y 8 es el mayor de todos los elementos de B. Este tipo de
conjuntos son denominados cerrados.
Para denotar el primer conjunto, usaremos paréntesis que indicarán que los extremos no
pertenecen al conjunto. Para el segundo, usaremos corchetes que indicarán que los extremos
Cátedra: Matemática Año 2017
Facultad de Bellas Artes Departamento de Diseño Industrial
pertenecen.
Es decir,
A = (1, 5) B = [−2, 8]
El conjunto
C = {x ∈ R : −1 < x ≤ 8}
será semicerrado (o semiabierto, no es tan importante esta denominación). Lo que realmente
importa es que este conjunto tiene un elemento que es mayor que todos, pero no tiene un
elemento que podŕıamos decir que es el menor.
Gráficamente, los conjuntos A y B, se representan:
x( )0 1 5
A
x[ ]0−2 8
B
Pintar de esta manera los intervalos ayuda para visualizar operaciones entre conjuntos.
Veamos el siguiente ejemplo.
Consideremos A y B los conjuntos definidos como
A = {x ∈ R : x > 1}
B = {x ∈ R : x ≤ 4}
En notación de intervalos, tenemos que
A = (1,+∞)
B = (−∞, 4]
Observación: Un intervalo en el cual uno de los extremos sea +∞ o −∞ no puede ser
cerrado.
Gráficamente, tendremos
Si quisiéramos obtener gráficamente el conjunto A∩B superpongamos ambos gráficos y donde
se ”solapan” los gráficos será la intersección. En este caso, superpongamos primero los gráficos
Con color amarillo simbolizamos la superposición de los intervalos. Por lo cual, podemos
afirmar que
Cátedra: Matemática Año 2017
Facultad de Bellas Artes Departamento de Diseño Industrial
x(0 1
A
x]0 4
B
A ∩B = (1, 4] = {x ∈ R : 1 < x ≤ 4}
Ejercitación
1. Realiza las siguientes operaciones
a)
(
3
5 + 2
)
· 14 b)
(
1
3 − 14
)−1
c) 5(3+2) +
(
3+2
5
)
÷ 13 d)
{
3
2
[
3−( 13)
−2]
−3+(−1)5
}−1
e)
[
( 56)
−2−(−5)−2
1− 2
7
]
f)
3− 8
4
·(1− 316)
1
2
−4·(3− 332)
g)
2−4·(3+ 52)
3,5− 3
4
(8−6) h)
1,94− 3
√
(−1)5−( 5027)
−1
√
24
√
2√
75
2. Aplicando las propiedades de la potencia, comprueba que
a) (
90 · 32n + 12 · 32n+1 + 2 · 32n+2
)
·
[
3−(n+1)
4
]2
− 1 = 0
b)
2−
(
5 · 43n+4 + 5 · 43n+3 + 8 · 43n+2
)
·
(
1
3 · 4n+1
)3
= 1
3. Simboliza matemáticamente los siguientes enunciados
a) m es un número par
b) m es un número impar
c) m es la suma de un número par con otro número par
d) m es el producto de un número par por un número impar
e) m es el producto de dos números pares
4. Determina, si es posible, la paridad (es decir, si es par o impar) del número m
Cátedra: Matemática Año 2017
Facultad de Bellas Artes Departamento de Diseño Industrial
x](0 41
AB
a) m es la suma de un múltiplo de 5 con un múltiplo de 7
b) m es la suma de dos números impares
c) m es el producto de números pares
d) m es el cuadrado de un número par
e) m es el cuadrado de un número impar
5. Determina la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones
a) La suma de un múltiplo de 6 con un múltiplo de 8 es un número par.
b) La suma de un múltiplo de 10 con un múltiplo de 25 es siempre un múltiplo de 15.
c) Si n es par, entonces 4n+ 32 es un múltiplo de 8.
d) Si n es impar, entonces n2 − 3n+ 7 es siempre impar.
6. Escribe en notación cient́ıfica los siguientes números y realizar las operaciones
a) 0, 001 b) 0, 000234 c) 234000000000
e) 0, 00002× 1230000 f) 0, 000001× 0, 12000000 g) 400000000000× 300000000000
7. Escribe en extenso los siguientes números representados en notación cient́ıfica
a) 2, 3× 107 b) 1, 2× 10−8 c) 4, 25× 10−2
e) 2, 3× 10−7 f) 1, 23× 10−9 g) 1, 3345678× 107
8. Representa geométricamente en la recta real los siguientes conjuntos
a) A = {x ∈ R : x > −1} b) B = {x ∈ R : x ≤ 1} c) C = {x ∈ R : −7 < x ≤ 2}
e) A ∪B f) B ∩ C g) A ∪B ∪ C
Cátedra: Matemática Año 2017
	Conjuntos Numéricos
	Notación y representación
	Operaciones
	Suma
	Producto
	La propiedad distributiva
	Propiedades del producto. Regla de los signos
	Potencia natural de un número
	Propiedades de la Potenciación
	Potencias de un inverso. Potencias negativas
	Radicación
	Potencias de un binomio
	Cuadrado de un Binomio
	Cubo de un Binomio
	Potencia cuarta de un Binomio
	Expresión General (Opcional)
	Modelización Matemática
	Notación Científica
	Uso de la Calculadora
	Representación en la Recta Numérica