30--Teoria-de-Distribuciones---Dario--Javier-Zamora

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Teoŕıa de Distribuciones
Lic. Daŕıo Javier Zamora1
1Instituto de F́ısica La Plata, UNLP-CONICET
30 de agosto de 2018
Índice 1
Índice
1. Introducción 3
2. Conceptos previos 3
2.1. Espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2. Espacios localmente convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3. Hahn Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4. Topoloǵıas débiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3. Introducción a distribuciones 6
3.1. Escalón de Heaviside y delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2. Espacios fundamentales de funciones de prueba . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3. Distribuciones como funcionales lineales continuas . . . . . . . . . . . . . . 8
3.4. Localización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.5. Distribuciones en Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.6. Cálculo de distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.7. Teorema de estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4. Propiedades de distribuciones 15
4.1. Convolución y producto directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2. Sucesiones y series de distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.3. Producto de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5. Análisis de Fourier 25
5.1. Transformada de Fourier ordinaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.2. Transformada de Fourier generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.3. Transformadas de Fourier en E∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.4. Distribuciones periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 Conceptos previos 3
1. Introducción
En las últimas décadas el interés en las funciones generalizadas ha estado creciendo
constantemente en varias ramas de la matemática. De hecho, ya hab́ıan sido usadas am-
pliamente por los f́ısicos aún antes de manera no rigurosa.
Los trabajos de Hadamard en los cuales trata con integrales divergentes en soluciones
elementales de ecuaciones de onda han sido importantes para el desarrollo de la teoŕıa de
distribuciones, aśı como algunos trabajos de M. Riesz. Pero el primero en utilizar las fun-
ciones generalizadas en forma expĺıcita fue S. L. Sobolev en 1936 durante sus estudios de
la unicidad de las soluciones al problema de Cauchy para ecuaciones lineales hiperbólicas.
En 1950 Laurent Schwartz sistematiza la teoŕıa de distribuciones, basándose en teoŕıas de
espacios lineales topológicos y obteniendo muchos resultados importantes, lo que marca el
comienzo de la teoŕıa de distribuciones como un campo de estudio por śı mismo [1].
El tratamiento original de Schwartz defińıa una distribución como una funcional lineal
continua en un espacio de funciones de prueba. Es decir, una distribución es esencialmente
un elemento del dual de cierto espacio lineal topológico. Desde la aparición de los textos de
Schwartz se tratan los términos ”función generalizada” y ”distribución” como sinónimos.
El presente trabajo intenta introducir el concepto y principales propiedades de distribucio-
nes, presentadas como en la clásica teoŕıa de Schwartz como funcionales lineales continuas
de ciertos espacios de funciones suaves [2].
2. Conceptos previos
Comenzaremos repasando algunos de los conceptos y teoremas vistos en el curso de
Análisis funcional que nos serán necesarios para desarrollar la teoŕıa de distribuciones. No
se realizarán explicaciones detalladas de dichos conceptos por ya haber sido estudiados y
los teoremas serán enunciados sin demostración.
2.1. Espacios normados
Llamamos al cuerpo K = R o C.
Definición 2.1.1 (Espacio vectorial topológico). Un espacio vectorial topológico (EVT)
es un espacio topológico (E, τ) en el que E es un K-espacio vectorial y además:
1. La topoloǵıa τ es de Hausdorff
2. Las operaciones vectoriales
E × E 3 (x, y) 7→ x+ y ∈ E K× E 3 (λ, x) 7→ λx ∈ E (2.1)
son continuas, cuando en E × E y en K× E se usan las topoloǵıas producto.
Definición 2.1.2 (Norma). Dado un K-EV. La función || · || : E → R+ es una norma sii
∀λ ∈ K y ∀x, y ∈ E se cumple:
1. ||λx|| = |λ|.||x||
2. ||x+ y|| ≤ ||x||+ ||y||
3. ||x|| = 0⇐⇒ x = 0
2 Conceptos previos 4
En tal caso el par (E, || · ||) pasa a llamarse un espacio normado (EN).
Si la función || · || cumple las dos primeras condiciones pero no necesariamente la tercera
diremos que es una seminorma y la notaremos p(·).
Definición 2.1.3 (Métrica). Dados x, y, z ∈ E, la función d : E×E → R es una métrica
sii:
1. d(x, y) = d(y, x)
2. d(x, y) = 0⇔ x = y
3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)
Será útil también recordar la siguiente proposición:
Teorema 2.1.1. Sea (E, || · ||) un EN ⇒ la función d(x, y) = ||x− y|| es una métrica en
E.
Definición 2.1.4 (Familia separadora). Dado E EV, una familia F de seminormas es
separadora sii ∀x, y ∈ E/x 6= y,∃p ∈ F/p(x− y) 6= 0.
Veamos ahora algunas observaciones sobre lo antes definido y algunas notaciones que
utilizaremos de aqúı en adelante:
1. Con la topoloǵıa asociada a d, E resulta ser un EVT.
2. El par (E, || · ||) se llamará espacio de Banach (EB) si la métrica d hace de E un
espacio completo.
3. Denotaremos por E′ = {φ : E → K/µ es lineal} al espacio de funcionales lineales de
E, es decir, al espacio dual algebraico de E.
4. En espacios de dimensión infinita puede ocurrir que una funcional lineal no sea
continua, por ello introducimos también la siguiente notación.
5. Denotamos por E∗ = {φ ∈ E′/µ es τ -continua} al espacio dual topológico de E.
6. Llamaremos σ(E,F ) a la topoloǵıa inicial inducida por la familia de seminormas F
7. Si la familia F de seminormas separa puntos de E, resulta que la topoloǵıa σ(E,F )
hace de E un EVT.
La utilidad de estos procesos para producir topoloǵıas EVT es que permiten encontrar
la topoloǵıa que se adecua a una convergencia dada en E, como haremos con el espacio
de distribuciones. Veamos en que sentido la topoloǵıa σ(E,F ) se describe en término de
convergencias.
Teorema 2.1.2. Sea E un EV y sea σ(E,F ) la topoloǵıa inducida por la familia de
seminormas F . Dada una sucesión (xi) ⊂ E =⇒ ∀p ∈ F :
xi
σ(E,F )−−−−→ x⇐⇒ p(xi − x)
R−→ 0 (2.2)
La siguiente proposición será esencial en el tratamiento de las distribuciones al ser
estas funcionales continuas de cierto espacio. Esta establece que una funcional es continua
sii es acotada:
Teorema 2.1.3. Sea E un EV, y sea φ ∈ E′. Dada una familia separadora F de semi-
normas para E =⇒
φ es σ(E,F )-continua⇐⇒ ∃M ≥ 0 y una n-upla (pk) en F/ |φ(x)| ≤M máxk pk(x),∀x ∈
E
2 Conceptos previos 5
2.2. Espacios localmente convexos
Recordemos las siguientes definiciones que serán útiles para definir el espacio funda-
mental de funciones de prueba:
Definición 2.2.1 (Convexidad). Sea E un K-EV y sea A ⊆ E. A es convexo sii ∀x, y ∈ A,
{(1− λ)x+ λy/λ ∈ [0, 1]} ⊆ A
Definición 2.2.2 (Espacio localmente convexo). Sea (E, τ) un ETV. E es un espacio lo-
calmente convexo (ELC) sii ∀x ∈ E,∃ una base de Oaτ (x) que consiste de abiertos convexos.
Donde Oaτ (x) es un filtro de entornos abiertos de (E, τ).
Definición 2.2.3 (Espacio de Fréchet). E es un espacio de Fréchet sii
1. E es ELC.
2. E es EB.
3. La métrica d definida en E cumple, además de los habituales (definición 2.1.3), los
siguientes axiomas:
a) d(x, y) = d(x− y, 0)
b) ∀(αn) sucesión de escalares/ ĺımn→∞ αn = 0 =⇒ ĺımn→∞ d(αnx, 0) = 0∀x ∈ E
c) ∀(xn) ⊂ E/ xn → 0 y ∀α escalar =⇒ ĺımn→∞ d(αxn, 0) = 0
2.3. Hahn Banach
El teorema de Hahn Banach será esencial en el tratamiento de las distribuciones al ser
estas funcionales que necesitaremos extender a espacios más grandes. Presentaremos aqúı
la siguiente versión del teorema:
Teorema 2.3.1 (Teorema de Hahn Banach). Sea E un EV.Sean S ⊆ E un subespacio y
φ ∈ S∗ =⇒ ∃Φ ∈ E∗/
1. ∀x ∈ S,Φ(x) = φ(x)
2. ||Φ||E∗ = ||φ||S∗
2.4. Topoloǵıas débiles
Definición 2.4.1 (Topoloǵıa débil). Sea E un ELC y E∗ su dual topológico. Consideremos
la familia de seminormas F = {pφ(x) = |φ(x)| : φ ∈ E∗, x ∈ E}
La topoloǵıa inducida se denomina topoloǵıa débil y se denota ω = σ(E,E∗)
Definición 2.4.2 (Topoloǵıa débil *). La topoloǵıa ω∗ = σ(E∗, E) se denomina topoloǵıa
débil * y es la inducida por la familia de seminormas:
F = {px(φ) = |φ(x)| : φ ∈ E∗, x ∈ E}
Las topoloǵıas ω y ω∗ se describen por convergencias, por el teorema (2.1.2):
∀φ ∈ E∗, xi
ω−→ x⇐⇒ φ(xi)→ φ(x) (2.3)
∀x ∈ E, φi
ω∗−→ φ⇐⇒ φi(x)→ φ(x) (2.4)
3 Introducción a distribuciones 6
3. Introducción a distribuciones
3.1. Escalón de Heaviside y delta de Dirac
A modo ilustrativo, comenzaremos con una pequeña revisión de la hechos básicos con-
cernientes a la función escalón de Heaviside H(x) y a la Delta de Dirac δ(x), lo que nos
dará las herramientas necesarias para luego definir rigurosamente una distribución. Ve-
remos que la definición de estas como funciones generalizadas dependen de la acción de
cierto tipo de funciones ordinarias llamadas funciones de prueba. Por ello, comenzare-
mos definiendo funciones de prueba.
Recordemos que el soporte de una función ordinaria ϕ : R→ C se define como la clausura
del conjunto {x ∈ R/ϕ(x) 6= 0}. Se dice que ϕ tiene soporte compacto sii fuera de algún
intervalo finito [a, b] es idénticamente nula.
Definición 3.1.1 (Funciones de prueba). Una función ϕ puede ser utilizada como función
de prueba sii es de soporte compacto y continua en R.
Veamos como estas funciones pueden ser utilizadas para definir la función escalón de
Heaviside, H. Para cada c ∈ R, Hc denota la función definida por:
Hc =

1 si x > 0
c si x = 0
0 si x < 0
(3.1)
Luego, ∀ϕ función de prueba tenemos:∫ +∞
−∞
ϕ(x)Hc(x)dx =
∫ +∞
0
ϕ(x)dx (3.2)
Es decir, la familia {Hc}c∈R define una aplicación (H) independiente de c:
H : ϕ→
∫ +∞
0
ϕ(x)dx (3.3)
Esto significa que H es más que una función ordinaria, sino que realmente está asociada
a una clase de equivalencia de funciones. De la misma forma, toda función localmente
integrable f : R→ C puede generar una función generalizada F mediante el mapeo:
F : ϕ→
∫ +∞
−∞
ϕ(x)f(x)dx (3.4)
Supongamos ahora que ambas funciones f y ϕ son localmente integrables y continua-
mente diferenciables. Si ϕ se anula fuera de [a, b], por integración por partes obtenemos:
∫ ∞
−∞
f ′(x)ϕ(x)dx =
∫ b
a
f ′(x)ϕ(x)dx
= [f(x)ϕ(x)]ba −
∫ b
a
f(x)ϕ′(x)dx
=
∫ ∞
−∞
f(x)[−ϕ′(x)]dx
(3.5)
Si F denota la función generalizada asociada a f , entonces la ecuación anterior sugiere
la siguiente definición:
3 Introducción a distribuciones 7
Definición 3.1.2 (Derivada generalizada). DF es la derivada de la distribución F sii
DF es la aplicación/ DF : ϕ→
∫∞
−∞ f(x)[−ϕ
′(x)]dx
A partir de esta definición podemos ver que la derivada de la función escalón de
Heaviside es: ∫ ∞
−∞
[−ϕ′(x)]Hc(x)dx =
∫ ∞
0
[−ϕ′(x)]dx
= [−ϕ(x)]∞0
= ϕ(0)
(3.6)
La cual, nuevamente no depende del valor de c. Por lo tanto, la delta de Dirac, definida
como δ ≡ DH, resulta ser la función generalizada relacionada al mapeo:
DH ≡ δ : ϕ→ ϕ(0) (3.7)
Tanto H como δ pueden ser descriptas como funcionales, que es la base de la teoŕıa
de distribuciones de Schwartz, que desarrollaremos a continuación.
3.2. Espacios fundamentales de funciones de prueba
Sea p = 1, 2, 3 . . . y K @ R un compacto. Usaremos la siguiente notación:
Cp = Cp(R) el espacio lineal de las funciones complejas sobre los reales con derivadas
continuas hasta orden p.
Cp0 = C
p
0 (R) el subespacio lineal de Cp de funciones con soporte compacto.
CpK = C
p
K(R) el subespacio lineal de C
p
0 de funciones cuyo soporte es el mismo compacto K.
De la misma forma definimos:
C∞ = C∞(R) el espacio lineal de las funciones complejas sobre los reales suaves, es decir,
con derivadas continuas de todo orden.
C∞0 = C
∞
0 (R) el subespacio lineal de C∞ de funciones con soporte compacto.
C∞K = C
∞
K (R) el subespacio lineal de C∞0 de funciones cuyo soporte es el mismo compacto
K.
El espacio fundamental de las funciones de prueba en la teoŕıa de Schwartz es C∞0
equipado con una topoloǵıa localmente convexa (definición 2.2.2), usualmente denotada
como D(R) o simplemente D.
Cada espacio CpK es un EN respecto a la norma:
||ϕ||[p,K] ≡ máx
0≤r≤p
{sup
x∈K
|ϕ(r)(x)|} (3.8)
Una sucesión (ϕn)n∈N ⊂ CpK converge a ϕ en norma sii cada sucesión (ϕ
(r)
n )n∈N, r =
1, 2, ..., p, de las derivadas de ϕn converge uniformemente a la correspondiente derivada
ϕ(r) del ĺımite de la sucesión ϕ. A esta convergencia la llamaremos convergencia p-uniforme.
Para simplificar la notación entenderemos a partir de aqúı en adelante que el ı́ndice n en
las sucesiones corren sobre todos los naturales, y por lo tanto las notaremos simplemente
como (ϕn).
C∞K es un subespacio lineal de C
p
K pero no podemos definir la norma || · ||[∞,K] en este
espacio como el ĺımite de las normas || · ||[p,K]. Sin embargo, el modo de convergencia queda
bien definido de la siguiente manera:
3 Introducción a distribuciones 8
Definición 3.2.1 (Convergencia ω-uniforme). Una sucesión (ϕn) ⊂ C∞K converge ω-
uniformemente a 0 sii cada sucesión (ϕ
(r)
n ), r = 1, 2, . . ., de las derivadas de ϕn converge
uniformemente a 0.
Luego, definimos el espacio DK como el espacio C
∞
K equipado con la convergencia ω-
uniforme. Los espacios DK son subespacios lineales del espacio de Schwartz D, donde D
es la unión de todos los posibles DK cuando K corre sobre todos los posibles compactos
de R. Es decir:
D(R) = ∪∞n=1DKn (3.9)
Por lo tanto, el modo de convergencia en D es como sigue:
Definición 3.2.2 (Convergencia en D). Una sucesión (ϕn) ⊂ C∞K converge a 0 en D sii
(ϕn) converge ω-uniformemente a 0.
Observemos que en las condiciones estamos poniendo impĺıcitamente que ∀n ∈ N, ϕn ∈
C∞K , con K fijo. Es decir, que todas las funciones de prueba ϕn deben tener como soporte
el mismo compacto K. Tenemos el siguiente resultado que enunciaremos sin demostración:
Teorema 3.2.1. Sea ϕ ∈ Cp0 , 0 ≤ p ≤ ∞, una función cualquiera⇒ ∃(ϕn) ⊂ C∞0 /converge
p-uniformemente a ϕ. Aún más, todas las ϕn tienen soporte contenido en el mismo inter-
valo finito.
Se puede demostrar que cada espacio DK es completo y por lo tanto es un EB. Es
más, no sólo es un EB sino que es un espacio de Fréchet (definición 2.2.3).
3.3. Distribuciones como funcionales lineales continuas
Ahora que hemos definido el espacio de Schwartz D estamos en condiciones de definir
rigurosamente una distribución. Cualquier elemento de D será llamado una función de
prueba, y una distribución será un elemento del espacio dual topológico de D (D∗),
es decir, una funcional lineal y continua respecto a la convergencia con la que hemos
equipado a D (ver la notación introducida en 2.1). Notaremos como µ(ϕ) a la imagen de
ϕ ante la aplicación de µ.
Definición 3.3.1 (Distribución). La aplicación µ : D → C es una distribución sii:
1. ∀ϕ ∈ D,µ(ϕ) ∈ C
2. Linealidad: ∀ϕ1, ϕ2 ∈ D y ∀a1, a2 ∈ C,
µ(a1ϕ1 + a2ϕ2) = a1µ(ϕ1) + a2µ(ϕ2) (3.10)
3. Continuidad: Si (ϕn) ⊂ D converge a ϕ en D =⇒ µ(ϕ) = ĺımn→∞ µ(ϕn)
Algunos autores utilizan una definición alternativa (como por ejemplo, [3]) en la que
se reemplaza la continuidad por acotaciones locales y que se puede demostrar que es
completamente equivalente (ver teorema 2.1.3). En particular, se dice que una distribución
µ está localmente acotada si ∀K @ R,∃ un número M(K) > 0 y un entero p(K) ≥ 0/∀ϕ,
|µ(ϕ)| ≤M(K)||ϕ||[p,K] (3.11)
Esto significa que la restricción de una distribución al subespacio DK está acotada
respecto a la norma || · ||[p,K]. Generalmente tanto p como M dependen de K. Pero con
algunas distribuciones sucede que podemos tomar un mismo p ∀K, son las llamadas dis-
tribuciones de orden finito.
3 Introducción a distribuciones 9
Definición 3.3.2 (Distribuciónde orden finito). Una distribución µ ∈ D∗ es de orden
finito sii ∃p ∈ Z+/∀K @ R, ∀ϕ ∈ DK
|µ(ϕ)| ≤M(K)||ϕ||[p,K] (3.12)
Donde el número M(K) depende de K, pero p no.
Si µ es una distribución de orden finito y p es el entero más pequeño para el cual se
cumple la desigualdad (3.12) diremos que µ es una distribución de orden p. Llamaremos
D∗fin al subespacio de D
∗ de las distribuciones de orden finito.
Toda función localmente integrable h produce una distribución µh definiendo la si-
guiente aplicación:
Definición 3.3.3 (Distribución regular). La distribución µh es regular sii puede ser ob-
tenida mediante la aplicación:
ϕ→ µh(ϕ) =
∫ +∞
−∞
ϕ(x)h(x)dx,∀ϕ ∈ C∞0 (3.13)
Si ϕ tiene soporte en el compacto K = [a, b] entonces:
|µh(ϕ)| ≤ { sup
a≤x≤b
|ϕ(x)|}.
∫ b
a
|h(x)|dx = M.||ϕ||[0,K] (3.14)
Por lo tanto, µh es una distribución de orden 0. Notemos algo importante: en la ecua-
ción (3.13) podŕıamos reemplazar h por una función h1 / h1 = h a.e. (almost everywhere),
sin alterar nada. Esto quiere decir, µh no está asociada a una función localmente integra-
ble particular, sino a una clase de equivalencia de funciones. De todas maneras, es común
asociar a µh a una función representativa de dicha clase h(x), llamada función genera-
lizada. Esta es una convención peligrosa pues el valor de una función generalizada en un
punto ha perdido su significado usual y por lo tanto no es una función usual. Este es el
caso, como vimos, de la distribución H, que hay que distinguir de las funciones ordinarias
que la generan Hc.
Definición 3.3.4 (Distribución singular). Toda distribución que no puede ser definida
mediante la ecuación (3.13) será llamada distribución singular.
Este es el caso de la distribución Delta de Dirac, definida en (3.7). De hecho, podemos
ver que δ es una distribución de orden 0 debido al hecho de que:
|δ(ϕ)| = |ϕ(0)| ≤ sup
x∈K
|ϕ(x)| = ||ϕ||[0,K] (3.15)
3.4. Localización
Hasta ahora hablamos de distribuciones definidas en el espacio D(R) pero obviamente
podemos restringir esta distribución a cualquier subconjunto abierto Ω ⊂ R.
Definición 3.4.1 (Localización). Llamamos localización de una distribución µ ∈ D∗(R)
a su restricción a un subconjunto abierto Ω ⊂ R y lo denotamos µ ∈ D∗(Ω).
Podemos demostrar que toda distribución µ ∈ D∗(R) puede ser re-obtenida a partir
de sus localizaciones, para demostrar esto necesitaremos el siguiente lema:
3 Introducción a distribuciones 10
Lema 3.4.1. Sea Ω ⊂ R abierto y {Ωα}α∈J un recubrimiento de abiertos de Ω =⇒
∃{γα}α∈J una familia correspondiente de funciones infinitamente diferenciables definidas
en Ω llamada partición de la unidad de Ω/
1. γα es no negativa en Ω, ∀α ∈ J
2. El soporte de γα está contenido en Ω, ∀α ∈ J
3. ∀K @ Ω compacto, sólo un número finito de funciones γα 6≡ 0 en Ω
4. En Ω se cumple la ecuación
∑
α∈J γα(x) ≡ 1
Teorema 3.4.1 (Principio de Localización). Sea {µα}α∈J una familia de distribuciones
definidas en una familia correspondiente de abiertos {Ωα}α∈J y sea Ω = ∪α∈JΩα. Si
∀α, β ∈ J , µα = µβ en Ωα ∩ Ωβ =⇒ ∃! distribución µ en Ω/ sus localizaciones en los Ωα
coinciden con las dadas µα en Ωα.
Demostración. Sea {γα} una partición de la unidad de Ω/ ∀α ∈ J el soporte de γα está
contenido en Ωα. Luego ∀ϕ ∈ D(Ω)
ϕ =
∑
α∈J
(γα.ϕ) (3.16)
Por el lema (3.4.1) la suma tiene finitos términos distintos de cero. Podemos definir µ en
D(Ω) como:
µ(ϕ) =
∑
α∈J
µα(γαϕ) (3.17)
Si ϕ tiene soporte contenido en Ωβ entonces γαϕ tiene soporte contenido en Ωα ∩ Ωβ. En
esta intersección:
µα(ϕ) = µβ(ϕ) (3.18)
Y por lo tanto:
µ(ϕ) =
∑
α∈J
µα(γαϕ)
=
∑
α∈J
µβ(γαϕ)
= µβ(
∑
α∈J
γαϕ)
= µβ(ϕ)
(3.19)
3.5. Distribuciones en Rm
La m-upla ordenada de enteros no negativos r = (r1, r2, . . . , rm) se llama multi-́ındice
de dimensión m, y definimos su orden como:
|r| = r1 + r2 + . . .+ rm (3.20)
Utilizaremos las siguientes notaciones:
1. xr = xr11 . . . x
rm
n
3 Introducción a distribuciones 11
2. Dr = ∂|r|/∂xr11 . . . ∂x
rm
n
3. Y por lo tanto: Dr+qf(x) = DrDqf(x)
Con estas notaciones estamos en condiciones de generalizar la definición de distribución
a Rm de manera muy sencilla:
Definición 3.5.1 (Sucesión nula). La sucesión (ϕn) ⊂ D(Rm) es una sucesión nula sii:
1. ∃ una bola B(0, ε) = {x ∈ Rm/||x|| < ε}/ ∀n, ϕn(x) = 0 ∀x 6∈ B(0, ε)
2. ∀r multi-́ındice de dimensión m, ĺımn→∞{supx∈B(0,ε) |Drϕn(x)| = 0}
Definición 3.5.2 (Convergencia en D(Rm)). La sucesión (ϕn) ⊂ D(Rm)→ ϕ en D(Rm)
sii (ϕ− ϕn) es una sucesión nula.
Luego, una distribución queda bien definida en D(Rm) simplemente reemplazando en
la definición (3.3.1) D por D(Rm) y la convergencia en D por la convergencia en D(Rm).
Con esta topoloǵıa D(Rm) es un espacio de Fréchet. De igual manera podemos generalizar
el concepto de localización en un abierto Ω ⊂ Rm y la norma || · ||[p,K] se define como:
||ϕ||[p,K] = máx
0≤|k|≤p
{sup
x∈K
|Dkϕ(x)|} (3.21)
donde k es un multi-́ındice de dimensión m.
3.6. Cálculo de distribuciones
Las siguientes definiciones son generales pero por simplicidad trabajeremos en términos
de distribuciones definidas en D.
Definición 3.6.1 (Suma). Dadas µ, ν ∈ D∗ definimos µ + ν/ ∀ϕ ∈ D, (µ + ν)(ϕ) =
µ(ϕ) + ν(ϕ)
Definición 3.6.2 (Multiplicación por escalar). Dadas µ ∈ D∗ y a ∈ C definimos aµ/
∀ϕ ∈ D, (aµ)(ϕ) = aµ(ϕ)
Definición 3.6.3 (Igualdad). Dadas µ1, µ2 ∈ D∗, µ1 = µ2 sii ∀ϕ ∈ D,µ1(ϕ) = µ2(ϕ)
Como ya notamos anteriormente tenemos el siguiente resultado inmediato:
Teorema 3.6.1. Sean µh, µg ∈ D∗ distribuciones regulares definidas por las funciones
localmente integrables h y g respectivamente ⇒ µh = µg sii h(x) = g(x) a.e.
Definición 3.6.4 (Distribución nula). La distribución Θ es la distribución nula sii ∀ϕ ∈
D, Θ(ϕ) = 0
La distribución nula, tiene las siguientes propiedades:
1. Θ + µ = µ+ Θ, ∀µ ∈ D
2. 0µ = Θ,∀µ ∈ D
Definición 3.6.5 (Soporte). Un conjunto S ⊂ D es el soporte de una distribución µ sii
es el complemento del conjunto abierto más grande en el que µ(ϕ) = 0.
Definición 3.6.6 (Punto esencial). x ∈ D es punto esencial de µ sii x ∈ S
3 Introducción a distribuciones 12
Si el soporte S ⊂ A, diremos que µ está concentrado en A. Por ejemplo, la delta de
Dirac δa está concentrada en el conjunto {a}. Si µh es una distribución regular definida
por la función h, el soporte de µ coincide con el soporte de h. Debemos notar, sin embargo,
que un punto x puede ser un punto esencial de µh a pesar de que h(x) = 0. Por ejemplo,
si h(x) = x el soporte de µh es R a pesar de que h(0) = 0.
∀a ∈ R el operador traslación τa de una función ordinaria ϕ está definido como
τaϕ(x) = ϕ(x− a). Para una distribución regular esto da:
µh(τaϕ) =
∫ ∞
−∞
ϕ(x− a)h(x)dx
=
∫ ∞
−∞
ϕ(y)h(y + a)dy
= µg(ϕ)
(3.22)
Donde g = τ−ah. Lo que nos impulsa a realizar la siguiente definición:
Definición 3.6.7 (Traslación de una distribución). El operador τa es una traslación sii
∀ϕ ∈ D, τaµ(ϕ) = µ(τ−aϕ)
Definición 3.6.8 (Derivada). Dµ es la derivada de la distribución µ sii ∀ϕ ∈ D
Dµ(ϕ) = µ(−ϕ′) (3.23)
Al ser ϕ una función suave resulta inmediato de la definición anterior la siguiente
proposición:
Teorema 3.6.2. Toda distribución es infinitamente derivable.
En el caso de una distribución regular obtenemos ∀ϕ ∈ D:
Dµh(ϕ) = µh(−ϕ′)
= −
∫ ∞
−∞
ϕ′(x)h(x)dx
=
∫ ∞
−∞
ϕ(x)h′(x)dx
= µh′(ϕ)
(3.24)
Es claro que la diferenciación cumple las propiedades de linealidad:
1. D(µ+ ν) = Dµ+Dν
2. D(aµ) = aDµ
Para definir la primitiva de una distribución µ, en analoǵıa con las funciones usuales,
pediŕıamos que sea una distribución ν/ Dν = µ. En tal caso se debeŕıa satisfacer ∀ϕ ∈ D:
ν(−ϕ′) = µ(ϕ) (3.25)
Sin embargo no podemos utilizar esta ecuación como definición de primitiva ya que
define un funcional en un subespacio de D, que es el subespacio ∂D de las funciones
derivadas de funciones de D. Debemos mostrar por lo tanto que se puede extender el
funcional ν a todo el espacio D. Para ello notemos que ∀ϕ ∈ D puede ser expresada como:
ϕ(x) =kϕ0(x) + ψ(x) (3.26)
3 Introducción a distribuciones 13
Donde ψ ∈ ∂D y: ∫ ∞
−∞
ϕ0(x)dx = 1 (3.27)
k =
∫ ∞
−∞
ϕ(x)dx (3.28)
Notemos que ϕ0 6∈ ∂D y por lo tanto no puede ser definida por la ecuación (3.25). Si
asignamos un valor arbitrario c a D−1µ(ϕ0) podemos extender la distribución ν = D
−1µ
a D definiéndola de la siguiente manera:
Definición 3.6.9 (Primitiva). La distribución ν ∈ D es la primitiva de µ ∈ D sii:
ν(ϕ) = kc+D−1µ(ψ) = µc(ϕ)− µ(θ) (3.29)
Donde θ ∈ D/θ′ = ψ = ϕ− kϕ0.
Por lo tanto una distribución tiene infinitas primitivas que difieren entre ellas en una
distribución constante µc. Aśı, por ejemplo, las primitivas de la delta de Dirac son de la
forma H + µc, donde H es el escalón de Heaviside.
3.7. Teorema de estructura
Toda función continua f es localmente integrable y por lo tanto genera una distribu-
ción regular µf . No existe otra función continua que pueda producir la misma distribución.
Por lo tanto podemos considerar que C∗(R) como un subespacio lineal de D∗ Todo ele-
mento µf ∈ C∗(R) es infinitamente derivable en el sentido de distribución, y por lo tanto
∀k ∈ N, Dkµf representa una distribución (no necesariamente regular, ya que, como vimos,
la derivada de una distribución regular como el Escalón de Heaviside puede ser singular
como la Delta de Dirac).
Existe un resultado inverso importante, a saber, toda distribución µ ∈ D∗ es, al menos
localmente, la derivada de orden finito de una función continua. Para demostrarlo conside-
remos primero el caso de una distribución de orden 0 en el siguiente lema que aceptaremos
sin demostración:
Lema 3.7.1. Sea µ una distribución de orden 0 y K = [a, b] ⊂ R un compacto =⇒ ∃h
continua/ h(x) = 0, ∀x 6∈ K/ ∀ϕ ∈ DK :
µ(ϕ) =
∫ ∞
−∞
h(x)ϕ′′(x)dx = D2h(ϕ) (3.30)
Teorema 3.7.1 (Teorema de estructura). Toda distribución µ ∈ D∗ es localmente una
derivada de orden finito de una función continua.
Demostración. Sea µ una distribución definida por lo menos en un entorno de un compacto
K = [a, b] ⊂ R. Por ser localmente acotado ∃p ∈ N/ ∀ϕ ∈ DK :
|µ(ϕ)| ≤M(K) sup
x∈K
|ϕ(p)(x)| (3.31)
Sea ∂DK el espacio de las derivadas de las funciones de DK y sea D
−1µ una primitiva de
µ. Por la definición (3.6.9) y el hecho de que ∀ϕ ∈ DK :
|k| =
∣∣∣∣∫ b
a
ϕ(x)dx
∣∣∣∣
≤ (b− a) sup
a≤x≤b
|ϕ(x)| = (b− a)|
∫ x
a
|ϕ′(t)dt|
≤ (b− a)2 sup
a≤x≤b
|ϕ′(x)| ≤ . . . ≤ (b− a)p sup
a≤x≤b
|ϕ(p)(x)|
(3.32)
3 Introducción a distribuciones 14
Obtenemos:
|D−1µ(ϕ)| = |D−1µ(kϕ0 + ψ)|
= |ck +D−1µ(ψ)|
≤ |ck|+M sup
a≤x≤b
|ψ(p−1)(x)|
≤ |ck|+M sup
a≤x≤b
|ϕ(p−1)(x)− kϕ(p−1)0 (x)|
(3.33)
Y
|D−1µ(ϕ)| ≤ |c|(b− a)p sup
a≤x≤b
|ϕ(p)(x)|+M sup
a≤x≤b
|ϕ(p−1)(x)|
+M(b− a)p sup
a≤x≤b
|ϕ(p−1)(x)| sup
a≤x≤b
|ϕ(p−1)0 (x)|
= M1 sup
a≤x≤b
|ϕ(p−1)(x)|
(3.34)
En el caso en que p = 1 y por el lema (3.7.1):
µ(ϕ) = D−1µ(−ϕ′) = h′′(−ϕ′) = h′′′(ϕ) (3.35)
Donde h es una función continua. Luego, por inducción, se demuestra el caso general.
Corolario 3.7.1.1. Si µ ∈ D∗ tiene soporte en K =⇒ µ puede ser expresado como la
suma finita de derivadas de orden finito de funciones continuas, todas con soporte en un
entorno de K.
Demostración. Por el teorema anterior ∀µ ∈ D∗ y ∀ compacto K,∃p ∈ Z+ y una función
continua f/ ∀ϕ ∈ DK :
µ(ϕ) = Dpµf (ϕ)
= (−1)pµf (ϕ(p))
= (−1)p
∫ ∞
−∞
f(x)ϕ(p)(x)dx
(3.36)
Supongamos K = [a, b] y denotemos I a cualquier intervalo finito abierto que contenga a
[a− ε, b+ ε]. Sea λ ∈ D/ λ(x) = 1 en [a− ε, b+ ε] y λ(x) = 0 fuera de I ⇒ ∀ϕ ∈ D:
µ(ϕ) = µ(λϕ)
= Dpµf (λϕ)
= (−1)p
∫ ∞
−∞
f(x)Dp[λ(x)ϕ(x)]dx
(3.37)
Por la fórmula de diferenciación de Leibniz tenemos:
Dp[λϕ] =
p∑
q=0
(
p
q
)
Dp−qλDqϕ (3.38)
Y por lo tanto:
µ(ϕ) = µf ((−1)p
p∑
q=0
(
p
q
)
Dp−qλDqϕ)
= (
p∑
q=0
Dq[(−1)p+q
(
p
q
)
fDp−qλ)(ϕ)
(3.39)
4 Propiedades de distribuciones 15
Definimos fq =
∑p
q=0D
q[(−1)p+q
(
p
q
)
fDp−qλ, fq es continua y tiene soporte en I. De donde
resulta que:
µ =
p∑
q=0
Dqfq (3.40)
4. Propiedades de distribuciones
4.1. Convolución y producto directo
Utilizaremos la notación R2x,y para referirnos al espacio R2 de los pares ordenados
(x, y). De igual manera es conveniente distinguir los espacios D(Rx) de las funciones de
prueba ϕ(x) y D(Ry) cuyos elementos notaremos ψ(y). Las distribuciones de los espacios
duales las notaremos µ(x) ∈ D∗(Rx) y ν(y) ∈ D∗(Ry) respectivamente.
Si f(x) y g(x) son funciones continuas con soporte compacto definen distribuciones
regulares µf y µg. Recordemos que la convolución de f con g se define como:
h(x) ≡ (f ∗ g)(x) =
∫ ∞
−∞
f(y)g(x− y)dy =
∫ ∞
−∞
f(x− y)g(y)dy (4.1)
La cual define una función continua y de soporte compacto, y que por lo tanto genera una
distribución regular que podemos llamar convolución de distribuciones regulares:
(µf ∗ µg)(ϕ) = µh(ϕ) = µ(f∗g)(ϕ) =
∫ ∞
−∞
ϕ(x)
{∫ ∞
−∞
f(y)g(x− y)dy
}
dx (4.2)
Si relajamos las condiciones y suponemos simplemente que f, g ∈ L1 entonces h(x)
sigue estando bien definida. Pidiendo condiciones suficientemente fuertes en alguno de
los factores podemos extender fácilmente esta definición a distribuciones singulares de la
siguiente manera:
Si ϕ ∈ D(Ry) y µ(y) ∈ D∗(Ry),
h(x) = µ(y)(ϕ(x− y)) (4.3)
Lo que constituye una generalización de la ecuación (4.1) para distribuciones singulares
pues si µ(y) fuera una distribución regular generada por una función f obtendŕıamos:
h(x) = µf(y)(ϕ(x− y)) =
∫ ∞
−∞
f(y)ϕ(x− y)dy (4.4)
Definimos por lo tanto la convolución µ ∗ ϕ como la distribución regular generada por h.
Veamos que esta definición tiene sentido.
Por el teorema de estructura (3.7.1) siempre podemos encontrar una función continua f
y un entero m ∈ N/ ∀x ∈ [−a, a]:
h(x) = µ(y)(ϕ(x− y)) = Dmµf(y)(ϕ(x− y))
= (−1)mµf(y)(
∂m
∂ym
ϕ(x− y))
= µf(y)(ϕ
(m)(x− y))
=
∫ a
−a
f(y)ϕ(m)(x− y)dy
= (f ∗ ϕ(m))(x)
(4.5)
4 Propiedades de distribuciones 16
Si bien esta definición es un caso especial de gran importancia no nos permite defi-
nir una convolución de distribuciones arbitrarias al no estar definido el producto entre
distribuciones. De la ecuación (4.2) obtenemos:
(µf ∗ µg)(ϕ) =
∫ ∞
−∞
ϕ(x)
{∫ ∞
−∞
f(y)g(x− y)dy
}
dx
=
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
f(y)g(x− y)ϕ(x)dydx
=
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
f(x)g(y)ϕ(x+ y)dxdy
(4.6)
Esto nos sugiere que una definición satisfactoria de convolución debe obtenerse ge-
neralizando esta expresión para distribuciones arbitarias y no sólo para regulares. Esta
generalización implica la utilización del llamado producto directo o tensorial de dis-
tribuciones.
Antes de definir producto directo observemos que si ϕ(x, y) ∈ R2x,y, ∀x ∈ Rx fijo ϕ(x, y)
es infinitamente diferenciable y de soporte compacto en Ry. Por lo tanto ν(y)(ϕ(x, y)) está
bien definido ∀x. Es más, define una función de x de soporte compacto que cumple:
d
dx
ν(y)(ϕ(x, y)) = ĺım
h→0
{
1
h
ν(y)(ϕ(x+ h, y))− ν(y)(ϕ(x, y))
}
(4.7)
Por linealidad:
d
dx
ν(y)(ϕ(x, y)) = ĺım
h→0
ν(y)
(
[ϕ(x+ h, y)− ϕ(x, y)]
h
)
(4.8)
Y por continuidad:
d
dx
ν(y)(ϕ(x, y)) = ν(y)
(
d
dx
ϕ(x, y)
)
(4.9)
Por inducción podemos mostrar que realmente es infinitamente derivable en x y por
lo tanto ν(y)(ϕ(x, y)) ∈ D(Rx). Por lo tanto, podemos definir el producto directo de la
siguiente manera:
Definición 4.1.1 (Producto directo). La distribución (µ(x) ⊗ ν(y)) ∈ D∗(R2x,y) es el pro-
ducto directo de µ(x) ∈ D∗(Rx) y ν(y) ∈ D∗(Ry) sii ∀ϕ ∈ D(R2x,y):
(µ(x) ⊗ ν(y))(ϕ(x, y)) = µ(x)(ν(y)(ϕ(x, y))) (4.10)
A partir de aqúı, a fin de simplificar la notación, a veces sobreentenderemos que µ ∈
D∗(Rx), ν ∈ D∗(Ry), ϕ ∈ D(Rx) y ψ ∈ D(Ry).
Teorema 4.1.1 (Conmutatividad). El producto directo de distribuciones es conmutativo.
Demostración. Sean ϕ ∈ D(Rx) y ψ ∈ D(Ry) =⇒ ϕ · ψ ∈ D(R2x,y). Luego, sobre ellas
podemos aplicar el producto directo obteniendo:
(µ⊗ ν)(ϕ · ψ) = µ(ϕ · ν(ψ)) = ν(ψ) · µ(ϕ) = µ(ϕ) · ν(ψ) = (ν ⊗ µ)(ϕ · ψ) (4.11)
El conjunto de las funciones de prueba de la forma θ(x, y) =
∑
k ϕk(x) · ψk(y) forma un
subespacio denso de D(R2x,y) y por lo tanto el producto directo es conmutativo en todo
D(R2x,y).4 Propiedades de distribuciones 17
Teorema 4.1.2 (Asociatividad). El producto directo de distribuciones es asociativo.
Demostración. Sean µ ∈ D∗(Rx), ν ∈ D∗(Ry), ξ ∈ D∗(Rz) y ϕ(x, y, z) ∈ D(R3x,y,z). Luego:
((µ⊗ ν)⊗ ξ)(ϕ) = (µ⊗ ν)(ξ(ϕ))
= µ(ν(ξ(ϕ)))
= µ((ν ⊗ ξ)(ϕ))
= (µ⊗ (ν ⊗ ξ))(ϕ)
(4.12)
Al ser asociativa podemos notar el producto directo de tres distribuciones directamente
como µ⊗ ν ⊗ ξ y obviamente este resultado se puede extender a n distribuciones.
Volviendo a la convolución, la ecuación (4.6) nos sugiere definir la convolución de dos
distribuciones aleatorias como:
(µ ∗ ν)(x)(ϕ(x)) = (µ(x) ⊗ ν(y))(ϕ(x+ y)) (4.13)
Pero si bien ϕ(x + y) es infinitamente diferenciable no es de soporte compacto en
D(R2x,y). Podemos solucionar esto de la siguiente manera:
Supongamos que Ω = supp(µ⊗ν)∩supp(ϕ(x+y)) es acotado. Definimos λ(x, y) ∈ D(R2x,y)/
λ(x, y) = 1,∀(x, y) ∈ Ω. Luego λ(x, y)ϕ(x+ y) ∈ D(R2x,y) y coincide con ϕ(x+ y) en Ω.
Definición 4.1.2 (Convolución). µ ∗ ν es la convolución de µ, ν ∈ D∗ sii:
(µ ∗ ν)(ϕ) = (µ(x) ⊗ ν(y))(λ(x, y)ϕ(x+ y)) (4.14)
Observemos que la convolución de dos distribuciones cualesquiera existe si se cumple
alguna de las siguientes condiciones:
1. µ o ν tiene soporte compacto.
2. µ y ν tienen soportes acotados por izquierda.
3. µ y ν tienen soportes acotados por derecha.
Teorema 4.1.3 (Conmutatividad). Si ∃(µ ∗ ν) =⇒ es conmutativa
Demostración. Sale como consecuencia directa del teorema (4.1.1).
A diferencia del producto directo, la convolución de distribuciones en general no es
asociativa. Dadas µ, ν, ξ; (µ ∗ ν) ∗ ξ 6= µ ∗ (ν ∗ ξ) aún si ambas existieran. Veamos el
siguiente contraejemplo:
Sean µ ∈ D∗ y m ∈ Z+, por la conmutatividad de la convolución ∀ϕ ∈ D:
(δ(m) ∗ µ)(ϕ) = (µ ∗ δ(m))(ϕ)
= µ(x)(δ
(m)
(y) (ϕ(x+ y)))
= µ((−1)mϕ(m))
= Dmµ(ϕ)
(4.15)
En particular: δ ∗ µ = µ y δ′ ∗ µ = Dµ. Llamemos ahora I y Θ las distribuciones
regulares generadas por las funciones constantes f(x) = 1 y g(x) = 0 respectivamente.
Luego:
I ∗ (δ′ ∗H) = I ∗ δ = I (4.16)
4 Propiedades de distribuciones 18
(I ∗ δ′) ∗H = Θ ∗H = Θ (4.17)
El siguiente teorema que enunciaremos sin demostración dá las condiciones para las
que la convolución es asociativa:
Teorema 4.1.4. Dadas µ, ν, ξ ∈ D∗, (µ ∗ ν) ∗ ξ y µ ∗ (ν ∗ ξ) existen y son iguales si se
cumple alguna de las siguientes condiciones:
1. Los soportes de todas las distribuciones son acotados por izquierda.
2. Los soportes de todas las distribuciones son acotados por derecha.
3. Al menos dos soportes son acotados.
4.2. Sucesiones y series de distribuciones
Definición 4.2.1 (Convergencia de sucesión de distribuciones). Una sucesión de distri-
buciones (µn) ⊂ D∗ converge a µ sii:
∀ϕ ∈ D,µ(ϕ) = ĺım
n→∞
µn(ϕ) (4.18)
Notemos que µ debe ser una distribución µ ∈ D∗ y por lo tanto D∗ es cerrado ante la
convergencia de sucesiones.
Teorema 4.2.1. Si (hn) es una sucesión de funciones localmente integrables que convergen
a h a.e. y ∃g localmente integrable/ |hn(x)| ≤ g(x) =⇒ µh(ϕ) = ĺımn→∞ µhn(ϕ)
Demostración. Sea (hn) una sucesión de funciones localmente integrables que convergen
a h a.e. Si ∃g localmente integrable/ |hn(x)| ≤ g(x) entonces el teorema de convergencia
de Lebesgue nos asegura que h(x) es localmente integrable y ∀[a, b]:∫ b
a
h(x)dx = ĺım
n→∞
∫ b
a
hn(x)dx (4.19)
Sea ϕ ∈ D con soporte K, luego ϕ(x)hn(x) es también localmente integrable (de hecho
es integrable en R) y la sucesión (ϕhn) converge puntualmente a ϕ(x)h(x). Tenemos que:
|ϕ(x)hn(x)| ≤ ||ϕ||[0,K]|hn(x)| ≤ ||ϕ||[0,K]g(x) (4.20)
Luego, por el teorema de Lebesgue:
µh(ϕ) =
∫ ∞
−∞
ϕ(x)h(x)dx = ĺım
n→∞
∫ ∞
−∞
ϕ(x)hn(x)dx = ĺım
n→∞
µhn(ϕ) (4.21)
El teorema anterior da las condiciones necesarias para que la sucesión de distribuciones
regulares (µhn) generada por la sucesión de funciones (hn) converja en el sentido definido
en (4.2.1) a la distribución regular µh generada por el ĺımite puntual h. Pero no necesaria-
mente los ĺımites puntuales y distribucionales deben coincidir siempre, consideremos por
ejemplo el caso de las funciones dn definidas como:
dn =
{
n si 1/n < x < 2/n
0 en otro lado
(4.22)
4 Propiedades de distribuciones 19
Donde n = 1, 2, . . ..
Esta sucesión converge puntualmente a 0 en R. Sin embargo ∀ϕ ∈ D:
µdn(ϕ) =
∫ ∞
−∞
ϕ(x)dn(x)dx =
∫ 2/n
1/n
ϕ(x)dn(x)dx = ϕ(θn) (4.23)
Donde 1/n < θn < 2/n. Como ϕ es continua en el origen tenemos:
ĺım
n→∞
∫ ∞
−∞
ϕ(x)dn(x)dx = ϕ(0) = δ(ϕ) (4.24)
Por lo tanto el ĺımite distribucional de (µdn) es la distribución singular delta de Dirac
δ y no la distribución nula Θ. De hecho, el ĺımite distribucional puede incluso estar bien
definido aún cuando no exista el ĺımite puntual.
Si una sucesión (fn) de funciones diferenciables tiende puntualmente a f no necesariamente
la sucesión (f ′n) tiende a f
′. En cambio, en el caso de la convergencia distribucional tenemos
el siguiente resultado:
Teorema 4.2.2. Si la sucesión (µn) ⊂ D∗ converge distribucionalmente a µ ∈ D∗ =⇒ la
sucesión (Dµn) converge a Dµ.
Demostración. Sea la sucesión (µn) ⊂ D∗/ converge a µ ∈ D∗. Luego, ∀ϕ ∈ D:
Dµn(ϕ) = µn(−ϕ′)
n→∞−−−→ µ(−ϕ′) = Dµ(ϕ) (4.25)
El concepto de convergencia de distribuciones definido en (4.2.1) nos permite definir
la suma de una serie infinita de distribuciones:
Definición 4.2.2 (Suma de serie infinita de distribuciones). µ ∈ D∗ es la suma de la
serie de distribuciones (µm) sii:
µ =
∞∑
k=1
µm ⇔ µ = ĺım
m→∞
{
m∑
k=1
µk
}
(4.26)
De igual manera:
µ =
∞∑
−∞
µm = ĺım
m→∞
{
m∑
−m
µk
}
(4.27)
Como la suma está definida como un ĺımite distribucional y al ser la diferenciación
continua respecto a la convergencia de distribuciones, obtenemos como resultado inmediato
del teorema (4.2.2) y la definición (4.2.2) el siguiente corolario:
Corolario 4.2.2.1. Sea (µm) ⊂ D∗ =⇒
D
{ ∞∑
−∞
µm
}
=
∞∑
−∞
Dµm (4.28)
La sucesión (dn) discutida en la sección (4.2) es un caso particular de sucesiones de
distribuciones regulares que convergen a la delta de Dirac llamadas sucesiones delta.
Más generalmente definamos:
4 Propiedades de distribuciones 20
Definición 4.2.3 (Sucesión delta). La sucesión de distribuciones regulares producida por
la sucesión de funciones (ρn) es una sucesión delta sii:
1. ∀M > 0 y ∀a, b/ |a|, |b| < M ∣∣∣∣∫ b
a
ρn(x)dx
∣∣∣∣ ≤ k(M) (4.29)
Donde el escalar k(M) es independiente de a, b y n.
2. ∀a, b 6= 0
ĺım
n→∞
∫ b
a
ρn(x)dx =
{
0 si a < b < 0 o 0 < a < b
1 si a < 0 < b
(4.30)
Veamos que esta definición coincide con nuestro concepto intuitivo de sucesión delta.
Definamos las funciones:
hn(x) =
∫ x
−1
ρn(t)dt (4.31)
Luego por la ecuación (4.30):
ĺım
n→∞
hn(x) = H0(x) =
{
1 si x > 0
0 si x < 0
(4.32)
Luego las hn están uniformemente acotadas para todo intervalo finito. Se sigue que
∀ϕ ∈ D:
ĺım
n→∞
∫ ∞
−∞
hn(x)ϕ(x)dx =
∫ ∞
−∞
{ ĺım
n→∞
hn(x)}ϕ(x)dx =
∫ ∞
0
ϕ(x)dx = H(ϕ) (4.33)
Por lo tanto las distribuciones (µhn) convergen al escalón de Heaviside H (definición 3.2).
Por el teorema (4.2.2) la sucesión de sus derivadas convergen a δ.
Notemos que si (µρn) ⊂ D∗ es una sucesión delta, por el teorema (4.2.2), ∀m ∈ N, ∀ϕ ∈ D:
δ(m)(ϕ) = ĺım
n→∞
µ
ρ
(m)
n
(ϕ) (4.34)
Si bien generalmente esto se suele expresar en función de redes delta, todos los resul-
tados importantes son igualmente obtenibles en términos de sucesiones delta y por ello
trabajaremos solamente con sucesiones. Existe en la literatura aspectos tanto teóricos co-
mo aplicados de las sucesiones delta que dependen de algunas propiedades particulares
de la sucesion que se está utilizando y por lo tanto resulta útil clasificarlas según algu-
nas propiedades extra que cumple la sucesión (ρn), que llamaremos sucesiones delta
estrictas.
Definición 4.2.4 (Sucesiones delta estrictas). La suesión de distribuciones regulares ge-
neradas por (ρn) ⊂ D es una sucesión delta estricta sii:
A ∀x ∈ R y ∀n ∈ N, ρn(x) ≥ 0
B ∀n ∈ N,
∫∞
−∞ ρn(x)dx = 1
C 1 Supp(ρn)→ {0} cuando n→∞
A veces la condición C1 es reemplazada por algunade las siguientes condiciones más
fuertes:
4 Propiedades de distribuciones 21
C 2 Supp(ρn)→ {0} cuando n→∞ y ∀p ∈ N, ∃Mp > 0/ ∀n ∈ N∫∞
−∞ |x|
p|ρ(p)n (x)|dx ≤Mp
C 3 Supp(ρn) ⊂ {−1/n, 1/n} cuando n→∞ y ∀p ∈ N, ∃Mp > 0/ ∀n ∈ N∫∞
−∞ |x|
p|ρ(p)n (x)|dx ≤Mp
C 4 ∀n ∈ N, ρn(x) = nρ(nx). Donde ρ(x) ∈ D es una función fija/
∫∞
−∞ ρ(x)dx = 1
Donde si cumple la última condición es conocida como sucesión delta modelo. Ober-
guggenberger distingue los distintos tipos de sucesiones llamándolas Ci-sucesión delta,
según que condición Ci cumpla.
4.3. Producto de Schwartz
Debido a que la teoŕıa de distribuciones es lineal no todas las operaciones de funciones
ordinarias pueden extenderse a todo D∗. Algunas operaciones, como la suma o la multi-
plicación por un escalar que vimos en la sección (3.6), pueden ser extendidas sin dificultad
y se llaman operaciones regulares. Otras, como la convolución y el producto de dis-
tribuciones, pueden ser definidas solo para cierto tipo de distribuciones y las llamamos
operaciones irregulares. Ya vimos que en el caso de la convolución tuvimos que impo-
ner ciertas condiciones para poder definirla y aún aśı algunas propiedades básicas como la
asociatividad fallan. Lo mismo ocurrirá con el producto de distribuciones.
Es deseable que nuestra definición de producto de distribuciones sea consistente con el
producto de funciones ordinarias, sin embargo, dadas dos funciones localmente integrables
h1 y h2 que generan distribuciones regulares, su producto h1h2 no necesariamente es lo-
calmente integrable y por lo tanto puede no generar una distribución regular.
De todas formas existe una forma natural de definir el producto si alguno de los factores
es una distribución regular generada por una función θ ∈ C∞. En ese caso definimos el
producto de Schwartz o producto S como:
Definición 4.3.1 (Producto S). Sea θ ∈ C∞, µθµ es el producto de µθ y µ ∈ D∗ sii
∀ϕ ∈ D:
(µθµ)(ϕ) = µ(θϕ) (4.35)
Como θϕ ∈ D el producto S está bien definido. En el caso en que tengamos una
distribución regular generada por una función localmente integrable g obtenemos:
(µθµg)(ϕ) = µg(θϕ)
=
∫ ∞
−∞
[θ(x)ϕ(x)]g(x)dx
=
∫ ∞
−∞
[θ(x)g(x)]ϕ(x)dx
= µ(θg)(ϕ)
(4.36)
Teorema 4.3.1.
D(µθµ) = Dµθ.µ+ µθ.Dµ (4.37)
4 Propiedades de distribuciones 22
Demostración. ∀ϕ ∈ D:
D(µθµ)(ϕ) = (µθµ)(−ϕ′)
= µ(−θϕ′)
= µ(−(θϕ)′) + µ(θ′ϕ)
= Dµ(θϕ) + µ(θ′ϕ)
= (Dµθ.µ)(ϕ) + (µθ.Dµ)(ϕ)
(4.38)
El producto S se puede aplicar solo a un conjunto restringido de distribuciones. Por
ello aparecen aspectos no deseables en el producto de distribuciones, como que no es
ni asociativo ni conmutativo. Como contraejemplo de asociatividad veamos el siguiente
caso. Si designamos por Pv{x−1} el valor principal de Cauchy de la función f(x) = x−1,
podemos ver que es una distribución singular. El producto S de esta distribución con la
distribución regular generada por f(x) = x es la distribución unidad I:
µxPv{x−1} = Pv{x−1}µx = I (4.39)
Ahora, si tomamos el producto de ella con la distribución δ obtenemos:
[Pv{x−1}µx]δ = Iδ = δ (4.40)
Pero,
Pv{x−1}[µxδ] = Pv{x−1}Θ = Θ (4.41)
El siguiente teorema dá las condiciones bajo las cuales el producto es asociativo, el
cual enunciamos sin demostración.
Teorema 4.3.2. Sean µ, ν, ξ ∈ D∗, si al menos dos de ellas son distribuciones regulares
generadas por funciones de C∞ =⇒ (µν)ξ = µ(νξ)
Para el contraejemplo de conmutatividad primero notemos que H es una distribución
regular pero su función generadora Hc 6∈ C∞. Sin embargo seŕıa razonable intentar exten-
der el producto S para este caso y, en consistencia con el hecho de que HcHc = Hc, definir
el siguiente producto como:
H2 = H.H = H (4.42)
Derivando esta expresión, utilizando la propiedad (4.3.1), y aceptando la conmutividad
obtenemos por un lado:
DH2 = D(H.H) = DH.H +H.DH = δH +Hδ = 2δH (4.43)
Y por el otro:
DH2 = DH = δ (4.44)
Igualando obtenemos δH = 12δ. Ahora dada µx ∈ D
∗ la distribución regular generada por
f(x) = x ∈ C∞, el teorema (4.3.2) no nos puede asegurar la asociatividad del producto
µx(δH). Supongamos, sin embargo, que el producto es asociativo, lo que nos daŕıa:
µx(δH) = (µxδ)H = ΘH = Θ (4.45)
De esto se sigue que δH = kδ con k ∈ R. Sin embargo esto significa que:
[δH]H = kδH = k2δ (4.46)
4 Propiedades de distribuciones 23
Mientras que:
δ[HH] = δH = kδ (4.47)
Por lo tanto k2 = k y k sólo puede valer 1 o 0. Como antes hab́ıamos obtenido que k = 1/2
existe una inconsistencia, la cual puede ser evitada de tres maneras, todas ellas con alguna
implicación no deseada:
1. Aceptar (4.42) y la conmutividad (y por lo tanto el resultado δH = 12δ) y descartar
la asociatividad (4.45). Bajo estas condiciones tendŕıamos los resultados:
[δH]H =
1
2
δH =
1
4
δ (4.48)
δ[HH] = δH =
1
2
δ (4.49)
2. Podŕıamos aceptar (4.42) y la asociatividad, pero descartando la conmutividad. En
este caso tendŕıamos:
δH = k1δ;Hδ = k2δ (4.50)
Y como DH2 = k1δ + k2δ = δ ⇒ k1 + k2 = 1.
Por lo tanto o k1 = 0 y k2 = 1, o k1 = 1 y k2 = 0.
3. La última opción es directamente descartar (4.42). En este caso se necesitaŕıa desa-
rrollar una teoŕıa de la multiplicación de modo de poder definir el producto elemental
HH. El problema de producir esta teoŕıa ha sido objeto de una intensa investigación
durante más de medio siglo.
Consideremos ahora el problema de la división, es decir, dada σ ∈ D∗ y f ∈ C∞ nos
proponemos encontrar µ ∈ D∗/ µfµ = σ.
Si ∀x ∈ R, f(x) 6= 0 entonces g(x) = [f(x)]−1 ∈ C∞ y el problema tiene solución única,
que es µ = gσ. La solución en otras situaciones no es tan simple. Consideremos el caso
en que f(x) = 0 sólo para un conjunto de ceros de orden finito aislados. Por traslación y
partición de la unidad sólo nos hace falta considerar el caso en que f(x) = xm,m ∈ N.
Teorema 4.3.3. Si µ ∈ D∗/ µxmµ = 0 =⇒
µ =
m−1∑
j=0
cjδ
(j) (4.51)
Donde cj son constantes arbitrarias.
Demostración. Sea θ ∈ D/ θ(x) = 1 en un entorno del origen ⇒ ∀r ≥ 1, θ(r)(0) = 0.
∀ϕ ∈ D:
ϕ(x) = θ(x)
m−1∑
j=0
ϕ(j)(0)
j!
xj + η(x) (4.52)
Donde η ∈ D/ ∀s = 0, . . . ,m− 1, η(s)(0) = 0.
4 Propiedades de distribuciones 24
Por lo tanto ∃ψ ∈ D/ η(x) = xmψ(x). Por el teorema de Taylor:
η(x) =
m−1∑
k=0
η(k)(0)
k!
xk +
1
(m− 1)!
∫ x
0
(x− t)m−1η(m)(t)dt
=
1
(m− 1)!
∫ x
0
(x− t)m−1η(m)(t)dt
=
1
(m− 1)!
∫ 1
0
(x− xξ)m−1η(m)(xξ)xdξ
= xmψ(x)
(4.53)
Donde definimos:
ψ(x) =
1
(m− 1)!
∫ 1
0
(1− ξ)m−1η(m)(xξ)dξ (4.54)
Como η ∈ D ⇒ ψ ∈ D. Luego:
ϕ(x) = θ(x)
m−1∑
j=0
ϕ(j)(0)
j!
xj + xmψ(x) (4.55)
Sea ahora µ ∈ D∗/ µxmµ = 0.
µ(ϕ) = µ
θ(x)m−1∑
j=0
ϕ(j)(0)
j!
xj + xmψ(x)

=
m−1∑
j=0
1
j!
µ(xjθ(x))ϕ(j)(0)
=
m−1∑
j=0
(−1)j
j!
µ(xjθ(x))δ(j)
 (ϕ)
=
m−1∑
j=0
cjδ
(j)
 (ϕ)
(4.56)
Donde:
cj =
(−1)j
j!
µ(xjθ(x)) (4.57)
Teorema 4.3.4. ∀σ ∈ D∗, ∃µ ∈ D∗/
µxmµ = σ (4.58)
Demostración. µxmµ = σ ⇔ ∀ψ ∈ D,σ(ψ) = (µxmµ)(ψ) = µ(xmψ)
Esto define un funcional en el subespacio {ψ ∈ D/xmψ ∈ D} ⊂ D. Debemos, pues,
mostrar que se puede extender este funcional a todo D. Por el teorema anterior ∀ϕ ∈ D:
µ(ϕ) = µ
θ(x)m−1∑
j=0
ϕ(j)(0)
j!
xj + xmψ(x)
 =
m−1∑
j=0
cjδ
(j)
 (ϕ) + σ(ψ) (4.59)
Lo que muestra que µ(ϕ) está bien definido en todo D. Además se sigue inmediatamente
que µ es lineal y continua en D.
5 Análisis de Fourier 25
Corolario 4.3.4.1. Dado σ ∈ D∗, si µ0 es una solución de µxmµ = σ =⇒ la solución
general es:
µ = µ0 +
m−1∑
j=0
cjδ
(j) (4.60)
Donde los cj son constantes arbitrarias.
5. Análisis de Fourier
5.1. Transformada de Fourier ordinaria
Antes de definir la transformada de Fourier de distribuciones haremos una revisión
de la transformada de Fourier de funciones ordinarias (TF). Es bien sabido que no toda
función tiene como TF otra función. De igual manera, ocurrirá que no toda distribución
tiene como TF una distribución.
Para toda función absolutamente integrable, es decir f ∈ L1, la TF viene definida por
la integral:
F (f) = f̂(ω) =
∫ ∞
−∞
f(t)e−iωtdt (5.1)
f̂ es una función acotada y uniformemente continua en R.Probaremos algunos resul-
tados importantes respecto a la TF de funciones de L1:
Teorema 5.1.1 (Teorema de Parseval). Si f, g ∈ L1 =⇒∫ ∞
−∞
f(x)ĝ(x)dx =
∫ ∞
−∞
f̂(y)g(y)dy (5.2)
Demostración. Ambas integrales existen porque f̂ y ĝ son acotadas y continuas. Luego:∫ ∞
−∞
f(x)ĝ(x)dx =
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
f(x)g(y)e−ixydxdy
=
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
f(x)g(y)e−ixydydx
=
∫ ∞
−∞
f̂(y)g(y)dy
(5.3)
Teorema 5.1.2 (Teorema de la convolución). Si f, g ∈ L1 =⇒
F (f ∗ g)(x) = f̂(x)ĝ(x) (5.4)
Demostración.
F (f ∗ g)(x) =
∫ ∞
−∞
e−ixy
∫ ∞
−∞
f(y − t)g(t)dtdy
=
∫ ∞
−∞
g(t)
∫ ∞
−∞
e−ixyf(y − t)dydt
=
∫ ∞
−∞
g(t)
∫ ∞
−∞
e−ix(τ+t)f(τ)dτdt
=
∫ ∞
−∞
e−ixtg(t)dt
∫ ∞
−∞
e−ixτf(τ)dτ
= f̂(x)ĝ(x)
(5.5)
5 Análisis de Fourier 26
Sin embargo, con respecto a la transformada inversa ocurre que no toda función acotada
y continua en R es la transformada de una función de L1. La transformada inversa de
Fourier (TIF) viene dada por:
f(x) =
1
2π
∫ ∞
−∞
f̂(y)eixydy (5.6)
Nos topamos inmediatamente con la dificultad de que puede que f̂ no sea una función
absolutamente integrable y por lo tanto la TF no mapea L1 en L1. Sin embargo, tenemos
el siguiente teorema de inversión:
Teorema 5.1.3 (Teorema de inversión en L1). ∀f ∈ L1/ f es de variación acotada en un
entorno de x se cumple:
1
2π
ĺım
R→∞
∫ R
−R
f̂(y)eixydy =
1
2
[f(x+) + f(x−)] (5.7)
Donde f(x±) = ĺımτ→0± f(x+ τ).
La extensión más importante de la TF es a funciones de cuadrado integrable. Dada
f ∈ L2 y m ∈ N la función:
f̂m(ω) =
∫ ∞
−∞
f(t)e−iωtdt (5.8)
existe y pertenece a L2. La sucesión (f̂m) converge a f̂ en el sentido de la norma en L
2.
Esto es, ∃f̂ ∈ L2/
ĺım
m→∞
∫ ∞
−∞
|f̂(ω)− f̂m(ω)|2dω = 0 (5.9)
Y puede mostrarse que: ∫ ∞
−∞
|f̂(ω)|2dω = 2π
∫ ∞
−∞
|f(t)|2dt (5.10)
Esta constituye una generalización de la TF en L1 en el sentido de que si f ∈ L1 luego f̂
asi definida coincide con la TF en L1 definida en la ecuación (5.1). Podemos resumir esto
en el siguiente teorema:
Teorema 5.1.4 (Teorema de Plancherel). ∀f ∈ L2, ∃f̂ ∈ L2:
f̂(ω) = ĺım
m→∞
∫ m
−m
f(t)e−iωtdt (5.11)
f(ω) = ĺım
m→∞
1
2π
∫ m
−m
f̂(t)eiωtdω (5.12)∫ ∞
−∞
|f̂(ω)|2dω = 2π
∫ ∞
−∞
|f(t)|2dt (5.13)
Como toda f ∈ L2 puede ser expresada como la TF de otra función de L2 entonces
TF es una isometŕıa en L2.
Definición 5.1.1 (Funciones de rápido decrecimiento). Una función f es de rápido de-
crecimiento sii ∀n ∈ N, ĺım|x|→∞ |xnf(x)| = 0.
5 Análisis de Fourier 27
Por ejemplo toda función de C∞0 es una función de rápido decrecimiento. Denotamos
por S, al espacio lineal de todas las funciones infinitamente diferenciables tal que ella y
todas sus derivadas son de rápido decrecimiento.
Diremos que una sucesión (ϕn) converge en S sii para p, r = 0, 1, 2, . . . cada una de
las sucesiones (xpϕ
(r)
n (x)) converge uniformemente. Este es el modo de convergencia que
corresponde a la topoloǵıa generada en S por la familia de seminormas:
||ϕ||p,rS = sup
x∈R
|xpϕ(r)(x)|, p, r ∈ N0 (5.14)
La convergencia en S también puede ser caracterizada por una condición equivalente
de acotación. Una sucesión (ϕn) se dice que converge en S sii:
1. ∀p, r ∈ N+; |xpϕ(r)(x)| ≤ cp,r
Donde ∀n ∈ N y ∀x ∈ R, cp,r independientes de x y n.
2. ∀r la sucesión (ϕ(r)n ) converge uniformemente en todo compacto de R.
Supongamos ahora que (ϕn) ⊂ C∞o ⊂ S converge a ϕ en el sentido de D. Luego, todas
las ϕn se anulan fuera de un compacto de R, digamos [−a, a]. ∀p, r y |x| ≥ a tenemos
|x|p|ϕ(r)(x)− ϕ(r)n (x)| = 0 (5.15)
Y está por lo tanto acotado por ap sup−a≤x≤a |ϕ(r)(x) − ϕ
(r)
n (x)|. Como (ϕn) converge
ω-uniformemente a ϕ se sigue que ap sup−a≤x≤a |ϕ(r)(x) − ϕ
(r)
n (x)| converge a 0 y por lo
tanto que:
ĺım
n→∞
{sup
x∈R
|x|p|ϕ(r)(x)− ϕ(r)n (x)|} = ĺımn→∞ ||(ϕ− ϕn)||
p,r
S = 0 (5.16)
Es decir, que la convergencia en D implica convergencia en S. De hecho se tiene el siguiente
resultado:
Teorema 5.1.5. D es denso en S, es decir, ∀ϕ ∈ S, ∃(ϕn) ⊂ D/ converge en S a ϕ.
Si ϕ ∈ S entonces es absolutamente integrable en R y la TF queda bien definida por
la integral:
ϕ̂(ω) = F [ϕ](ω) =
∫ ∞
−∞
ϕ(t)e−iωtdt (5.17)
Teorema 5.1.6. Si ϕ ∈ S =⇒ ϕ̂ ∈ S
Demostración. Primero notemos que∣∣∣∣ ϕ̂(ω + h)− ϕ̂(ω)h
∣∣∣∣ ≤ ∫ ∞
−∞
∣∣∣∣e−iht − 1h
∣∣∣∣ · |ϕ(t)|dt = ∫ ∞
−∞
|ϕ(t)| · |t+O(h)|dt (5.18)
y como tϕ(t) ∈ L1 tenemos:
ϕ̂′(ω) =
∫ ∞
−∞
(−it)ϕ(t)e−iωtdt (5.19)
Por un argumento similar obtenemos que para k = 1, 2, 3, . . .
ϕ̂(k)(ω) =
∫ ∞
−∞
(−it)kϕ(t)e−iωtdt (5.20)
5 Análisis de Fourier 28
Y por lo tanto que ϕ̂ es derivable a cualquier orden. Integrando por partes y recordando
que |ϕ(t)| → 0 cuando |t| → ∞ obtenemos:
ϕ̂(ω) =
∫ ∞
−∞
ϕ(t)e−iωtdt
= (iω)−1
∫ ∞
−∞
ϕ′(t)e−iωtdt
= (iω)−2
∫ ∞
−∞
ϕ′′(t)e−iωtdt
= . . . = (iω)−m
∫ ∞
−∞
ϕ(m)(t)e−iωtdt
(5.21)
Luego ∀m ∈ N ∪ {0}:
|(iω)mϕ̂(ω)| ≤
∫ ∞
−∞
|ϕ(m)(t)|dt <∞ (5.22)
Si ĺım|ω|→∞ |ϕ̂(ω)| 6= 0, luego |(iω)ϕ̂(ω)| no podŕıa ser acotado cuando |ω| → ∞. Se sigue
que ϕ debe ser una función de rápido decrecimiento y un argumento similar muestra que
∀m, k ∈ N ∪ {0}:
|(iω)mϕ̂(k)(ω)| ≤
∫ ∞
−∞
|[tkϕ(t)](m)|dt <∞ (5.23)
Y por lo tanto ϕ̂(k) debe ser una función de rápido decrecimiento.
Teorema 5.1.7 (Fórmula de Poisson en S). Dado λ ∈ R+ y ϕ ∈ S, se cumple que:
∞∑
m=−∞
ϕ(mλ) =
1
λ
∞∑
n=−∞
ϕ̂(2πn/λ) (5.24)
Demostración. Sean ϕ ∈ S y λ ∈ R+ fijo. Consideremos la suma de traslaciones
Φ(t) =
∞∑
m=−∞
ϕ(t+mλ) (5.25)
∀t ∈ R y ∀k entero no negativo tenemos que |(t+mλ)kϕ(t+mλ)| → 0 cuando |m| → ∞
y por lo tanto, dado ε > 0:
|ϕ(t+mλ)| < ε
|t+mλ|k
(5.26)
para todo m suficientemente grande. Luego, la serie converge ∀t, la suma Φ(t) es pe-
riódica con peŕıodo λ y la convergencia es uniforme en compactos y particularmente en
[−λ/2, λ/2]. Φ(t) debe ser acotada y continua en [−λ/2, λ/2] y por lo tanto en todo R.
5 Análisis de Fourier 29
Calculando los coeficientes de Fourier de Φ obtenemos:
cn(Φ) =
1
λ
∫ λ/2
−λ/2
Φ(t)e−2πint/λdt
=
1
λ
∫ λ/2
−λ/2
{ ∞∑
m=−∞
ϕ(t+mλ)e−2πint/λ
}
dt
=
1
λ
∞∑
m=−∞
{∫ λ/2
−λ/2
ϕ(t+mλ)e−2πint/λdt
}
=
1
λ
∞∑
m=−∞
∫ (2m+1)λ/2
(2m−1)λ/2
ϕ(t)e−2πint/λdt
=
1
λ
ϕ̂(2πn/λ)
(5.27)
Donde el intercambio entre la suma y la integración se puede realizar por la uniformidad
de la convergencia. Como ϕ ∈ S los números ϕ̂(2πn/λ) decrecen rápidamente a 0 cuando
|n| → ∞. Luego la serie de Fourier 1λ
∑∞
n=−∞ ϕ̂(2πn/λ)e
2πint/λ converge uniformemente
en [−λ/2, λ/2], y por lo tanto en todo compacto. De la teoŕıa de series de Fourier tenemos
que:
Φ(t) =
∞∑
m=−∞
ϕ(t+mλ) =
1
λ
∞∑
n=−∞
ϕ̂(2πn/λ)e2πint/λ (5.28)
Tomando t = 0 obtenemos:
∞∑
m=−∞
ϕ(mλ) =
1
λ
∞∑
n=−∞
ϕ̂(2πn/λ) (5.29)
Observemos que si tendemos t a∞ en la ecuación (5.28) el lado izquierdo tiende a ϕ(t)
ya que ϕ ∈ S y todos los términos con m 6= 0 tenderán a 0; y el lado derecho converge a
una integral, por lo que tenemos:
ϕ(t) =
1
2π
∫ ∞
−∞
ϕ̂(ω)eiωtdω (5.30)
Que es la Fórmula de Inversión de Fourier para una función ϕ ∈ S. Luego se sigue que
toda función de S es la TF de alguna función de S. De hecho tenemos el siguiente teorema:
Teorema 5.1.8. La Transformada de Fourier y su inversa son aplicaciones lineales con-
tinuas de S en śı misma.
Demostración. Que F (y F−1) son mapeos uno a uno de S en śı mismo es inmediato, y
la linealidad se sigue de la linealidad de la integración. Queda mostar que F y F−1 son
continuas. Sea (ϕn) ⊂ S/ converge en S a 0. Debemos mostrar que (ϕ̂n) también converge
a 0 en S. ∀r, s ∈ N0 tenemos:
(iω)rϕ̂(s)n (ω) =
∫ ∞
−∞
[(−it)sϕn(t)](r)e−iωtdt
= (−i)s
r∑
ν=0
(
r
ν
)∫ ∞
−∞
(ts)(ν)ϕ(r−ν)n (t)e
−iωtdt
(5.31)
5 Análisis de Fourier 30
Y por lo tanto:
|ωrϕ̂(s)n (ω)| ≤
min(r,s)∑
ν=0
(
r
ν
)
s!
(s− ν)!
∫ ∞
−∞
|ts−νϕ(r−ν)n (t)|dt
=
min(r,s)∑
ν=0
(
r
ν
)
s!
(s− ν)!
∫ ∞
−∞
|(1 + t2)ts−νϕ(r−ν)n (t)|
1 + t2
dt
≤ π
min(r,s)∑
ν=0
(
r
ν
)
s!
(s− ν)!
{||ϕn||s−ν,r−νS + ||ϕn||
s−ν+2,r−ν
S }
(5.32)
Para ν = 0, 1, . . . ,min(r, s) tenemos que ||ϕn||s−ν,r−νS y ||ϕn||
s−ν+2,r−ν
S tienden a 0 cuando
n → ∞. Por lo tanto ladesigualdad anterior muestra que ||ϕ̂n||r,sS → 0 cuando n → ∞
uniformemente en compactos para todo par r, s. Esto es, que (ϕ̂n) converge a 0 en S y por
lo tanto F es continua.
No desarrollaremos la demostración de la continuidad de F−1, pero es análoga a la de
F .
5.2. Transformada de Fourier generalizada
Si ϕ ∈ S por el teorema (5.1.5) ϕ puede ser expresada como ĺımn→∞ ϕn, donde ϕn ∈ D
y la convergencia es ω-uniforme en todo compacto K ⊂ R.
Definición 5.2.1 (Distribución temperada). µ ∈ D∗ es una distribución temperada (o dis-
tribución de crecimiento lento) sii ∃ ĺımn→∞ µ(ϕn) ∀(ϕn) ⊂ D/ converge ω-uniformemente
en compactos a ϕ ∈ S.
Por el teorema de Hanh-Banach (2.3.1) podemos extender µ a todo S definiendo ∀ϕ ∈
S:
µ(ϕ) = ĺım
n→∞
µ(ϕn) (5.33)
Cuando A ⊂ B es subespacio vectorial y denso en B y su convergencia es más fuerte,
entonces B∗ es subespacio vectorial de A∗. Por lo tanto, llegamos a que S∗ ⊂ D∗ es
subespacio vectorial de D∗ y que todas las operaciones definidas en D∗ se cumplen para
S∗, pero no al revés. Es fácil mostrar que las operaciones que llevan de S∗ a S∗ son la
adición, la multiplicación por escalar, la diferenciación y la traslación.
Notemos que toda distribución de soporte compacto es una distribución temperada, y por
lo tanto la Delta de Dirac y todas sus derivadas lo son.
Definición 5.2.2 (Transformada de Fourier de distribuciones temperadas). Sea µ ∈ S∗
una distribución temperada, µ̂ es la TF de µ sii es una distribución temperada en S/
∀ϕ ∈ S
µ̂(ϕ) = µ(ϕ̂) (5.34)
Notemos que como ϕ ∈ S entonces ϕ̂ ∈ S y la TF queda bien definida. Podemos definir
fácilmente la TF inversa de la siguiente manera:
Definición 5.2.3 (Transformada Inversa de Fourier de distribuciones temperadas). Sea
σ = µ̂ = F [µ] y ψ = ϕ̂ = F [ϕ], luego µ = F−1[σ] y ϕ = F−1[ψ]. µ es la TIF sii es una
distribución temperada/ ∀σ ∈ S∗ y ∀ψ ∈ S
µ(ψ) = σ(ϕ) (5.35)
5 Análisis de Fourier 31
Algunas propiedades de la TF usual en L1 se cumplen también para la TF en S∗,
como:
F [(−it)kµ(t)](ω) = Dkµ̂(ω) (5.36)
F [Dkµ(t)](ω) = (iω)kµ̂(ω) (5.37)
F [µ(t− a)](ω) = e−iaωµ̂(ω) (5.38)
Notemos que tendremos un problema en la extensión del teorema de la convolución
(5.1.2) ya que si µ, ν ∈ S∗ el producto µ̂ · ν̂ puede no estar definido.
5.3. Transformadas de Fourier en E∗
Denotamos por E a C∞ con el siguiente modo de convergencia: decimos que una
sucesión (ϕn) ⊂ C∞ converge a 0 en el sentido de E sii ϕn converge ω-uniformemente a 0
en todo compacto K ⊂ R cuando n→∞. La convergencia en este sentido corresponde a
la topoloǵıa generada en C∞ por la familia de seminormas:
||ϕ||[m,K] = máx
0≤r≤m
{sup
x∈K
|ϕ(r)(x)|} (5.39)
Donde m ∈ N0 y K es un compacto de R. El espacio E∗ es el espacio lineal de todas las
funcionales sobre E que son continuas en el sentido de que ĺımn→∞ µ(ϕn) = 0, ∀(ϕn)/
converge a 0 en E .
Como vimos en el teorema (2.1.3) podemos establecer una condición equivalente de aco-
tación para definir el espacio:
Teorema 5.3.1. µ ∈ E∗ ⇐⇒ ∃K ⊂ R compacto, m ∈ Z y una constante C ≥ 0/
|µ(ϕ)| ≤ C||ϕ||[m,K] (5.40)
Notemos que si (ϕn) ⊂ D converge a 0 en D entonces converge a 0 en E . De hecho se
puede demostrar que D es un subespacio denso de E . Se sigue que la restricción de cualquier
funcional µ ∈ E∗ en D es una distribución en D∗. Luego, el teorema anterior muestra que
µ(ϕ) = 0 para todo ϕ ∈ D/supp(ϕ) ∩ K = φ y por lo tanto µ es necesariamente una
distribución de soporte compacto. Por otro lado, sea µ ∈ D∗/ µ tiene soporte compacto.
Sea θ ∈ D/ θ(x) = 1 en el soporte de µ y extiende a ésta al funcional µ1 en E de la
siguiente manera: ∀ϕ ∈ E
µ1(ϕ) = µ(θϕ) (5.41)
Se puede mostar que este funcional aśı definido es único, lineal y continuo en E∗. Por lo
tanto podemos identificar a E∗ como el subespacio de D∗ consistente de todas las distri-
buciones de soporte compacto. El siguiente teorema de estructura que enunciaremos
sin demostración fue establecido por Schwartz:
Teorema 5.3.2 (Teorema de estructura para distribuciones de soporte compacto). Sea
µ ∈ E∗ de orden m y soporte K =⇒ µ es la suma de un número finito de derivadas de
orden ≤ m de medidas, cada una con soporte contenido en un entorno de K.
Definición 5.3.1 (Función de banda limitada). Una función f es de banda limitada o de
espectro compacto sii es la TIF de una distribución de soporte compacto.
5 Análisis de Fourier 32
Supongamos que f ∈ L1 tiene como TF a f̂(ω)/f̂(ω) = 0 fuera del intervalo finito
[−πΩ, πΩ], es decir es una función de banda limitada en el sentido clásico. Tenemos que
∀t ∈ R:
f(t) =
1
2π
∫ ∞
−∞
f̂(ω)eiωtdω (5.42)
Como f̂ es continua y acotada, obtenemos derivando ∀r ≥ 0 y ∀a ∈ R:
f (r)(a) =
1
2π
∫ ∞
−∞
(iω)rf̂(ω)eiaωdω (5.43)
Luego:
f(t) =
1
2π
∫ πΩ
−πΩ
f̂(ω)eiω(t−a)eiωadω
=
1
2π
∫ πΩ
−πΩ
f̂(ω)eiωa
{ ∞∑
n=0
[iω(t− a)]n
n!
}
dω
=
1
2π
∞∑
n=0
[i(t− a)]n
n!
∫ πΩ
−πΩ
ωnf̂(ω)eiωadω
(5.44)
Que es el desarrollo de Taylor alrededor de t = a, por lo tanto, f(t) es anaĺıtica sobre
R. El argumento sigue siendo válido si reemplazamos t por una variable compleja z. O sea
que f(t)/ f es de banda limitada extiende a una función f(z) que es anaĺıtica sobre C, es
decir, es entera. Más aún, f(z) satisface ciertas condiciones de acotación:
|f(z)| =
∣∣∣∣ 12π
∫ πΩ
−πΩ
eiωz f̂(ω)dω
∣∣∣∣ ≤ V2πeπΩ|y| (5.45)
Donde y = Im(z) y :
V =
∫ πΩ
−πΩ
f̂(ω)dω (5.46)
Es de nuestro interés determinar cuales de éstas propiedades siguen siendo válidas para
funciones que son la TIF de una distribución de soporte compacto. Un ejemplo importante
de la diferencia entre funciones de banda limitada en sentido clásico y general es el Teorema
de Muestreo.
Teorema 5.3.3 (Teorema de Muestreo de Whitaker-Kotelnikov-Shannon (WKS)). Si
f : R→ R tiene la forma:
f(t) =
1
2π
∫ πΩ
−πΩ
g(ω)eiωtdω (5.47)
Donde g(ω) ∈ L2/g(ω) = 0 a.e. fuera de [−πΩ, πΩ] =⇒ f(t) es continua y acotada en L2
y vale uniformemente en compactos:
f(t) =
∞∑
−∞
f(n/Ω)
sen[π(Ωt− n)]
π(Ωt− n)
(5.48)
La función f(t) puede por lo tanto ser reconstruida a partir de los valores f(n/Ω) en
los puntos discretos n/Ω.
Tomemos ahora el ejemplo de la función f(t) = iteiat, que es la TIF de la distribución de
soporte compacto −2πδ′(ω− a), tenemos que f(n) = ineian = O(n)→∞ cuando n→∞
5 Análisis de Fourier 33
y por lo tanto no se cumple el teorema WKS. Vemos por lo tanto que el hecho de que
f tenga como TF una distribución de soporte compacto no es condición suficiente para
garantizar que se cumpla el teorema WKS. Para poder generalizar esta propiedad primero
debemos definir:
Definición 5.3.2 (Función de tipo exponencial). f(z) : C→ C es de tipo exponencial sii:
|f(z)| ≤ Aeτ |z| (5.49)
Donde A, τ > 0. En particular se dice que f es de tipo exponencial ≤ τ .
Llamaremos H(C) al espacio de funciones enteras y He(C) al subespacio de funciones
enteras de tipo exponencial. Estas últimas cumplen la siguiente importante propiedad:
Teorema 5.3.4 (Teorema de Paley-Wiener). La función f es de tipo exponencial ≤ πΩ
y su restricción al eje real pertenece a L2(R)⇐⇒ puede ser representada como:
f(z) =
1
2π
∫ πΩ
−πΩ
f̂(ω)eiωzdω (5.50)
Para alguna función f̂ ∈ L2(−πΩ, πΩ)
Denotaremos por B0πΩ al espacio de funciones de L
2 con TF idénticamente nula fuera
de [−πΩ, πΩ] y B0 = ∪ΩB0πΩ. Por el teorema de Paley-Wiener f ∈ L2 : R→ C pertenece
a B0 sii puede ser extendida al plano complejo como una función de tipo exponencial/
|f(z)| ≤ CeτIm(z) (5.51)
Para C, τ > 0. Luego B0 es un subespacio de He(C) y es llamado espacio de Paley-
Wiener.
Llamamos BπΩ al subespacio de He(C) de funciones de tipo exponencial ≤ πΩ/ sobre el
eje real están acotadas por un polinomio.
Teorema 5.3.5 (Teorema de Paley-Wiener-Schwartz (PWS)). Si f ∈ BπΩ ⇒ la TF
generalizada de f , µ̂ = F [f ] ∈ E∗, es decir, es una distribución de soporte compacto.
Demostración. Dado ε > 0 sea ϕ̂ε ∈ D con soporte contenido en [−επΩ, επΩ]. Su TIF,
ϕε(t), puede ser extendida anaĺıticamente al plano complejo como una función entera detipo ≤ επΩ que tiende a 0 en el eje real más rápido que cualquier potencia de |t|−1 cuando
t→∞. Lo mismo es cierto para el producto ϕε(t)f(t) y la TF de este producto es:
F [ϕf ] = ϕ̂ ∗ µ̂ (5.52)
Como ϕεf ∈ L2, por el teorema de Paley-Wiener, ϕ̂∗µ̂ es una función de soporte compacto
contenida en [−πΩ(1 + ε), πΩ(1 + ε)]. De la familia {ϕ̂ε}ε>0 podemos extraer una sucesión
convergente en D∗ a δ cuando ε → 0. Por la continuidad de la convolución se sigue que
ϕ̂ε ∗ µ̂→ δ ∗ µ̂ = µ̂ cuando ε→ 0. Como ε puede ser tomado tan pequeño como queramos
y todas las funciones ϕ̂ ∗ µ̂ tienen soporte contenido en [−πΩ(1 + ε), πΩ(1 + ε)] el soporte
de µ̂ debe estar contenido en [−πΩ, πΩ].
Teorema 5.3.6 (Teorema inverso de PWS). Si f es la TIF de una distribución µ̂ de
soporte compacto contenido en [−πΩ, πΩ]⇒ f ∈ BπΩ
5 Análisis de Fourier 34
Demostración. Si µ̂ es de soporte compacto entonces es de orden finito y podemos escribir:
µ̂ =
r∑
j=0
D(j)µ̂j (5.53)
Donde µ̂j son medidas de soporte compacto contenidas en [−πΩ, πΩ]. Para cada j ∃Ĝj
función de variación acotada en [−πΩ, πΩ]/
fj(t) =
1
2π
µ̂j,(eiωt) =
1
2π
∫ πΩ
−πΩ
eiωtdĜj(ω) (5.54)
Las funciones fj pueden ser extendidas a todo el plano complejo definiendo:
fj(z) =
1
2π
∫ πΩ
−πΩ
eiωzdĜj(ω) (5.55)
Estas funciones son enteras de tipo exponencial ≤ πΩ y son acotadas en el eje real.
Tomando la TIF en ambos miembros de la ecuación (5.53):
f(t) =
r∑
j=0
(−it)jfj(t) (5.56)
La cual podemos extender al plano complejo y que cumple:
|f(z)| ≤
r∑
j=0
|z|j |fj(z)| ≤
r∑
j=0
cj |z|jeπΩIm(z) (5.57)
Lo cual muestra que f(z) es una función entera de tipo exponencial ≤ πΩ y que está
acotada por un polinomio en el eje real.
Vimos que el teorema de muestreo WKS no es válido en general para funciones de
banda limitada cuya TF son distribuciones de orden mayor que 0. Existe sin embargo una
forma general del teorema de muestreo debido a Campbell, el cual es válido para funciones
de banda limitada cuya TF son distribuciones arbitrarias de soporte compacto.
Teorema 5.3.7 (Teorema de Muestreo de Campbell). Sea f(t) la TIF de una distribución
µ̂(ω)/ supp(µ̂) ⊂ [−πΩ(1− ε), πΩ(1− ε)], donde 0 < ε < 1⇒
f(t) =
1
Ω
∞∑
n=−∞
f(n/Ω)ρ(t− n/Ω) (5.58)
Donde ρ es una función/ ρ̂ sea infinitamente diferenciable, ∀ω ∈ supp(µ̂), ρ̂(ω) = 1 y ∀ω/
|ω| > πΩ(1 + ε), ρ̂(ω) = 0.
Demostración. Sea µ̂ una distribución con soporte contenido en [−πΩ(1 + ε), πΩ(1− ε)].
Luego la convolución µ̂∗
∑∞
n=−∞ δ(ω−2πnΩ) existe y vale el teorema de convolución (5.1.2).
La TIF de µ̂ es una función continua f(t) = F−1[µ̂] y vale:
Ω
∞∑
n=−∞
µ̂(ω−2πnΩ) =
1
2π
{
µ̂ ∗
∞∑
n=−∞
δ(ω−2πnΩ)
}
= F
{
f(t)
∞∑
n=−∞
δ(t−n/Ω)
}
=
∞∑
n=−∞
f(n/Ω)e−inω/Ω
(5.59)
5 Análisis de Fourier 35
Sea ρ̂ una función infinitamente diferenciable/ ∀ω ∈ supp(µ̂), ρ̂(ω) = 1 y ∀ω/ |ω| >
πΩ(1 + ε), ρ̂(ω) = 0. Utilizando el resultado anterior:
∞∑
n=−∞
µ̂(ω−2πnΩ)(ρ̂(ω)e
iωt) =
(
1
Ω
∞∑
n=−∞
f(n/Ω)e−inω/Ω
)
(ρ̂(ω)eiωt) (5.60)
El único término no nulo del lado izquierdo es cuando n = 0 y evaluado dá:
µ̂(ω)(ρ̂(ω)e
iωt) = 2πf(t) (5.61)
Mientras que un término de la derecha dá:
e−inω/Ω(ρ̂(ω)eiωt) =
∫ ∞
−∞
ρ̂(ω)eiω(t−n/Ω)dω = 2πρ(t− n/Ω) (5.62)
Por lo tanto:
f(t) =
1
2π
µ̂(ω)(ρ̂(ω)e
iωt)
=
1
2π
(
1
Ω
∞∑
n=−∞
f(n/Ω)e−inω/Ω
)
(ρ̂(ω)eiωt)
=
1
Ω
∞∑
n=−∞
f(n/Ω)ρ(t− n/Ω)
(5.63)
5.4. Distribuciones periódicas
Definición 5.4.1 (Distribución periódica). µ̂ ∈ D∗ es una distribución periódica sii ∃p >
0 llamado peŕıodo de µ̂/ ∀ϕ ∈ D
τpµ̂ = µ̂ (5.64)
Definiremos Tp como el espacio de todas las distribuciones con peŕıodo p. Es fácil ver
que Tp es un subespacio de D∗. Luego definimos Pp = Tp ∩ E y se muestra facilmente que
Pp es subespacio de E .
Definición 5.4.2 (Operador extensión periódica). Tp : D → E es el operador extensión
periódica de peŕıodo p sii ∀ϕ ∈ D
Tp[ϕ(ω)] =
∞∑
−∞
τnpϕ(ω) =
∞∑
−∞
ϕ(ω − np) (5.65)
Observemos que como ϕ es de soporte compacto la suma tendrá finitos términos no
nulos.
Definición 5.4.3 (Extensión periódica). T ′p es la extensión periódica de peŕıodo p sii
∀µ̂ ∈ E∗ y ∀ϕ ∈ D
T ′p[µ̂(ϕ)] = µ̂(Tp[ϕ]) (5.66)
Teorema 5.4.1. Sea µ̂ ∈ E ⇒ T ′p ∈ Tp
5 Análisis de Fourier 36
Demostración. Sea ϕ ∈ D, se cumple que:
Tp[τ−pϕ] = τ−pTp[ϕ] = Tp[ϕ] (5.67)
Y por lo tanto:
τpT
′
p[µ̂(ϕ)] = T
′
p[µ̂(τ−pϕ)]
= µ̂(Tp[τ−pϕ])
= µ̂(Tp[ϕ])
= T ′p[µ̂(ϕ)]
(5.68)
Lema 5.4.1. Si η̂ ∈ Tp y ϕ ∈ D ⇒ T ′p[ϕη̂] = (Tp[ϕ])η̂
Demostración. Sea η̂ ∈ Tp, se cumple que:
τp(ϕη̂) = (τpϕ)(τpη̂) = (τpϕ)η̂ (5.69)
Luego:
T ′p[ϕη̂] =
∞∑
−∞
τnp(ϕη̂) =
∞∑
−∞
(τnpϕ)η̂
=
{ ∞∑
−∞
τnpϕ
}
η̂ = (Tp[ϕ])η̂
(5.70)
Lema 5.4.2. Si µ̂ ∈ E∗ y θ ∈ Pp ⇒ T ′p[θµ̂] = θ(T ′p[µ̂])
Demostración. Sea θ ∈ Pp, se cumple que:
τp(θµ̂) = (τpθ)(τpµ̂) = θ(τpµ̂) (5.71)
Luego:
T ′p[θµ̂] =
∞∑
−∞
τnp(θµ̂) =
∞∑
−∞
θ(τnpµ̂)
= θ
∞∑
−∞
τnpµ̂ = θ(T
′
p[µ̂])
(5.72)
Definición 5.4.4 (Partición de la unidad p-periódica). ξ ∈ D es una partición de la
unidad p-periódica sii Tp[ξ] = 1
Teorema 5.4.2. Si θ ∈ Pp ⇒ ∃ϕ ∈ D/ θ = Tp[ϕ]
Demostración. Sea θ ∈ Pp. Para cada ξ ∈ D, partición de la unidad p-periódica, ϕ = ξθ ∈
D. Por el lema (5.4.1):
Tp[ϕ] = Tp[ξθ] = (Tp[ξ])θ = θ (5.73)
5 Análisis de Fourier 37
Teorema 5.4.3. η̂ ∈ Tp ⇒ ∃µ̂ ∈ E∗/ η̂ = T ′p[µ̂]
Demostración. Sea η̂ ∈ Tp. Para cada ξ ∈ D, partición de la unidad p-periódica, µ̂ = ξη̂ ∈
E∗. Por el lema (5.4.1):
T ′p[µ̂] = Tp[ξη̂] = (Tp[ξ])η̂ = η̂ (5.74)
Denotemos por P ∗p el espacio dual de Pp. Si F ∈ P ∗p denotaremos por (F, θ) la acción
de F en una función de prueba θ ∈ Pp.
Teorema 5.4.4. Los espacios P ∗p y Tp son algebraica y topológicamente isomorfos.
Demostración. El mapa Tp : D → Pp transforma continuamente D en Pp. Su transpuesta,
definida como T ′p : P
∗
p → D∗/∀F ∈ P ∗p y ∀ϕ ∈ D,T ′p[(F,ϕ)] = (F, Tp[ϕ]), transforma
continuamente P ∗p en D
∗ y vale:
τpT
′
p[(F,ϕ)] = T
′
p[(F, τ−pϕ)]
= (F, Tp[τ−pϕ])
= (F, Tp[ϕ]) = T
′
p[(F,ϕ)]
(5.75)
Y por lo tanto T ′p ∈ Tp ⊂ D∗. Luego concluimos que T ′p transforma continuamente P ∗p en
Tp.
Sea ahora ξ una partición de la unidad p-periódica en D. El mapa Ξp : Pp → D, definido
por Ξp[θ] = ξθ, es un mapa continuo de Pp a D. Su transpuesta, Ξ
′
p : D
∗ → P ∗p , se define
como:
(Ξ′p[η̂], θ) = η̂(Ξp[θ]) = η̂(ξθ) (5.76)
y por lo tanto la restricción de Ξp en Tp, que por simplicidad notaremos igual, transforma
continuamente Tp en P ∗p . Nos falta mostrar que T ′p y Ξ′p son una inversa de la otra. De
hecho, Tp ◦Ξp es la identidad en Pp y por lo tanto, transponiendo, concluimos que Ξ′p ◦ T ′p
es la identidad en P ∗p . Por otro lado, ∀η̂ ∈ T ∗p y ∀ϕ ∈ D se cumple que:
T ′p ◦ Ξ′p[η̂(ϕ)] = (Ξ′p[η̂], Tp[ϕ])
= η̂(ξTp[ϕ]) = ξη̂(Tp[ϕ])
= T ′p[ξη̂(ϕ)] = η̂(ϕ)
(5.77)
Lo que muestra que T ′p ◦ Ξ′p es la identidad en Tp. Luego T ′p = [Ξ′p]−1 y ambos mapas son
continuos.
Desde ahora podemos identificar los espacios P ∗p y Tp a través del isomorfismo Ξ
′
p
definido como:
(η̂, θ) = η̂(ξθ) (5.78)
∀ξ ∈ D partición de la unidad p-periódica y ∀θ ∈ Pp. Si µ̂ ∈ E∗/ η̂ = T ′p[µ̂] luego:
(η̂, θ) = η̂(ξθ)
= T ′p[µ̂(ξθ)] = µ̂(Tp[ξθ])
= µ̂(θ)
(5.79)
Lo que muestra que la definición (5.78) es independiente de ξ.
5 Análisis de Fourier 38
Consideremos ahora el caso de η̂ ∈ P ∗2π, podemos escribir:
η̂(ω) = T2π[µ̂(ω)] =
∑
n∈Z
τ2nπµ̂(ω) (5.80)
Donde µ̂ ∈ E∗/ supp(µ̂) ⊂ (−π, π). Luego:
η̂ =
∑
m∈Z
cm(η̂)e
−imω (5.81)
La ecuación anterior es la Serie de Fourier de una distribución periódica η̂ ∈ P ∗2π. Sea
ξ ∈ D una partición de la unidad, los coeficientes de de Fourier cm están definidos por:
cm(η̂) =
1
2π
(η̂, eimω)
=
1
2π
η̂(ξ(ω)eimω))
=
1
2π
µ̂(eimω)
(5.82)
Esta es la generalización a distribuciones periódicas de la serie de Fourier clásica. Una
serie trigonométrica cuyos coeficientes son los coeficientes de Fourier de alguna distribu-
ción periódica siempre converge a η̂. Toda serie trigonométrica cuyos coeficientes son de
crecimiento lento convergen en S∗, sin embargo, puede ser mostrado que si los coeficientesno son de crecimiento lento, la serie puede no converger incluso en D∗.
Teorema 5.4.5. Sea η̂ ∈ P ∗2π y sean cm(η̂) definidas como en (5.82)⇒ (cm) es una
sucesión de crecimiento lento y las series (5.81) convergen en S∗ a η̂.
Demostración. La sucesión (cm) es de crecimiento lento si ∃M > 0 y k ∈ N0/ ∀m ∈
Z, |cm| < M.|m|k De la ecuación (5.82) y teniendo en cuenta que η̂ es una distribución de
soporte compacto en [−π, π], existe una función continua f̂ con soporte en un entorno de
[−π, π] y un entero r ∈ N0/
cm(η̂) =
1
2π
µ̂(eimω)
=
1
2π
∫ π
−π
f̂(ω)(−1)r
[
eimω
](r)
dω
(5.83)
Luego
|cm| ≤ |m|r
1
2π
∫ π
−π
|f̂(ω)|dω (5.84)
Y tomando
M =
1
2π
∫ π
−π
|f̂(ω)|dω (5.85)
se sigue que (cm) es una sucesión de crecimiento lento. Finalmente, ∀ϕ ∈ S tenemos:( ∞∑
m=−∞
cm(η̂)e
−imω
)
(ϕ) =
∞∑
m=−∞
cn(η̂)ϕ̂(m) (5.86)
Como ϕ̂ ∈ S implica que cm(η̂)ϕ̂(ω) = O(|m|−2) cuando |m| → ∞ y por lo tanto el
término de la derecha es absolutamente convergente.
Referencias 39
Teorema 5.4.6 (Teorema de estructura de distribuciones periódicas). Toda distribución
periódica de peŕıodo 2π es la derivada de cierto orden de una función continua 2π-periódica
en R y a la inversa.
Demostración. Sea η̂ ∈ P ∗2π/ tiene la serie de Fourier:
η̂ =
∞∑
m=−∞
cme
−imω (5.87)
Donde |cm| ≤M |m|k para algún M > 0 y k ∈ N0. Luego ∀r ≥ k + 2:
η̂ = (1−D)r
∞∑
m=−∞
cm
(1 + im)r
e−imω (5.88)
Y como |cm/(1+ imr)| = O(|m|−2), la serie
∑∞
m=−∞
cm
(1+im)r e
−imω converge puntualmente
a la función continua f̂(ω) cuyo peŕıodo es 2π. Luego:
η̂(ω) = (1−D)rf̂(ω) (5.89)
La demostración de la inversa es inmediata.
Referencias
[1] I. M. Gel’fand and G. E. Shilov, Generalized Functions. Volume I: Properties and
Operations (English and Russian Edition). Academic Press, 1964.
[2] R. F. Hoskins and J. S. Pinto, Theories of Generalised Functions: Distributions, Ul-
tradistributions and Other Generalised Functions. Woodhead Publishing, 2005.
[3] F. G. Friedlander, Introduction to the theory of distributions. Cambridge, UK New
York: Cambridge University Press, 1998.