4-vectores

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Matemática
Apuntes de Cátedra
IV
Vectores
Dr. Octavio Miloni
Facultad de Bellas Artes Departamento de Diseño Industrial
1 Nociones Previas. Magnitudes Escalares y Vectoriales
Hay magnitudes en F́ısica que para describirlas apenas se necesita un número. La temperatura
de un cuerpo, la masa de una part́ıcula, la densidad, el volumen, la potencia de determinado
circuito eléctrico, etc.
Sin embargo, cuando estamos en presencia de un conjunto de personas tirando de una soga
(cinchada), cuando queremos describir la velocidad de una part́ıcula, su aceleración, etc.
notamos que un sólo número no alcanza para describir el fenómeno. En efecto, ¿qué sentido
tiene decir que una part́ıcula tiene una velocidad de 10 kilómetros por segundo? Si no decimos
adicionalmente en qué dirección se mueve, no podremos saber nada del movimiento de la
part́ıcula. Lo mismo ocurre con las fuerzas: si decimos que en un determinado sistema actúan
dos fuerzas, por ejemplo, de 30 kgf, no sabŕıamos si ellas estan equilibradas, si tiran para el
mismo lado, etc. En este caso, es necesario también adicionar la dirección y el sentido en que
actúan las fuerzas.
Es por estas situaciones que fue necesario introducir un tipo de magnitud matemática: Los
vectores.
En una definición clásica, los vectores son entidades matemáticas caracterizadas por un mó-
dulo, dirección y sentido. También, existen definiciones en las que se definen los vectores como
segmentos orientados.
1.1 Segmentos Orientados en el Plano
Vamos a comenzar con la descripción de los vectores a partir de la definición elemental de
vector como un segmento orientado. Esta descripción, aunque elemental y limitada, nos
permitirá extenderla a conceptos más abstractos donde podamos considerar vectores sin ver
ningún segmento.
Vamos a situar los segmentos en un sistema de coordenadas cartesianos. Para ello, consid-
eremos un par de puntos en el plano xy, P (x1, y1) y Q(x2, y2). Con estos par de puntos,
podemos definir dos segmentos orientados: Los que tienen como origen P y final Q y el que
tiene por origen Q y final P . Graficamente,
x
y
P
Q
x1 x2
y1
y2
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Con los puntos P y Q podremos definir los segmentos denotados ~PQ y el ~QP los cuales
gráficamente se representan:
x
y
x
y
P
Q
P
Q
~PQ ~QP
x1 x2
y1
y2
x1 x2
y1
y2
1.2 Representación Algebraica de los Segmentos Orientados
Vamos a representar segmentos orientados con pares ordenados donde las componentes primera
y segunda se obtienen como la diferencia de las coordenadas x e y de los puntos P (x1, y1) y
Q(x2, y2), respectivamente.
~PQ = (x2 − x1, y2 − y1)
~QP = (x1 − x2, y1 − y2)
Ejemplo. Consideremos los puntos P (1, 3) y Q(7,−1). Entonces, los vectores ~PQ y ~QP son,
respectivamente:
~PQ = (7− 1,−1− 3) = (6,−4)
~QP = (1− 7, 3− (−1)) = (−6, 4)
Observación. Notemos que la notación de un punto en el plano es sin el śımbolo ”=” y la de
vectores śı lo es. Los puntos del plano (y del espacio) son caracterizados como, por ejemplo
P (x1, y1) y un vector, por ejemplo, ~v se escribe como ~v = (a, b).
Los puntos del plano (o del espacio) si bien están definidos por un par de números (o tres
números para el caso del espacio tridimensional) no son considerados como entes algebraicos,
debido a que no se definen operaciones entre puntos, tales como sumas y productos. La única
operación que vamos a definir entre puntos del plano (o espacio) será la distancia entre ellos.
Los vectores en el plano (o en el espacio) son entes algebraicos en el sentido que vamos a
definir en el conjunto de vectores operaciones tales como sumas y producto.
Finalmente, para vectores definidos como segmentos orientados, es decir, definidos a partir
de puntos del plano (o en el espacio) estos serán representados como pares ordenados en
los cuales la primera de las componentes corresponde a la diferencia de coordenadas en la
dirección del eje x, la segunda componente como la diferencia de coordenadas en la dirección
del eje y.
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2 Vectores en general
Si bien introdujimos la definición de vector a partir de puntos en el plano (o en el espacio)
vamos a definir la idea de vector independientemente de puntos del plano. Simplemente serán
definidos como pares ordenados o ternas ordenadas.
Vector del plano. Un vector en el plano, será una entidad matemática representada por un
par ordenado
~v = (vx, vy)
donde las cantidades vx y vy son denominadas componentes x e y, respectivamente.
Ejemplo. El vector ~v = (3, 4) tiene por componente x a vx = 3, y por componente y a
vy = 4.
Esta definición de vector en el plano no hace referencia al par de puntos del plano que lo
originaron. Es, en cierto sentido, más general. En efecto, un vector es un objeto en si, no
depende de los puntos que lo generan.
La definición de vector más general tampoco niega la posibilidad de que el vector haya sido
generado por un par de puntos: Por ejemplo consideremos el vector ~v = (3, 4). Supongamos
que este vector es generado por dos puntos del plano, con origen P (1, 1) y otro punto Q(x2, y2).
Podemos preguntarnos: ¿Cuál es el punto Q tal que el vector ~PQ = ~v? Bueno, la respuesta
es sencilla, notemos que
vx = x2 − x1 = x2 − 1 = 3
vy = y2 − y1 = y2 − 1 = 4
Entonces, resolviendo las ecuaciones para obtener x2 e y2 obtenemos Q(x2, y2) es el punto
Q(4, 5).
Dado un vector del plano representado por el par ordenado ~v = (vx, vy) ya no necesita de
un par de puntos del plano que lo origine: cualesquiera pares de puntos cuya diferencia de
coordenadas resulte (vx, vy) serán equivalentes. Si quisiéramos representar gráficamente en un
plano cartesiano vamos a considerar un par de puntos donde el punto original sea el P (0, 0)
y el punto final sea el Q(vx, vy). Todos los vectores, ahora, y a menos que la aplicación sea
relevante, serán representados con origen en el origen del sistema de coordenadas.
Es necesario establecer una diferencia entre diferentes tipos de vectores, para aplicaciones en
f́ısica:
• Vectores Fijos: Vector cuya acción depende del punto de aplicación, es decir, que para
vectores generados por puntos, los puntos origen y extremos son relevantes.
• Vectores Deslizantes: Vector que puede deslizarse sobre la recta que lo contiene.
Origen y extremo no interesa, sólo deben estar sobre la recta soporte.
• Vectores Libres: Sólo nos interesan sus componentes, no los puntos que lo generan.
Si bien en estudio de F́ısica estas diferencias serán relevantes, para el estudio algebraico
que desarrollaremos en este material consideraremos vectores libres, los cuales podrán ser
”llevados” al origen para su representación gráfica.
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3 Álgebra de Vectores
Una vez definido los objetos que llamaremos vectores, lo interesante resulta al definir opera-
ciones en el conjunto de vectores. Las operaciones definidas y las propiedades que poseen las
operaciones es lo que denominaremos Álgebra Vectorial.
3.1 Suma de Vectores
La suma de vectores del plano viene definida de manera muy sencilla:
Dados dos vectores, ~v = (vx, vy) y ~w = (wx, wy) definimos la suma (denominada suma usual):
~v + ~w = (vx + wx, vy + wy)
Esta suma, puede ser enunciada para recordar, como suma componente a componente.
Ejemplo, dados ~v = (1, 3) y ~w = (−5, 8), la suma resulta
~v + ~w = (1 + (−5), 3 + 8) = (−4, 11)
Notemos que el vector ~0 = (0, 0) es el neutro para la suma, ya que
~v +~0 = (vx, vy) + (0, 0) = (vx + 0, vy + 0) = (vx, vy)
3.1.1 Propiedades de la Suma
En virtud de la definición de suma para vectores en el plano, se observa y comprueba que la
suma entre vectores posee las siguientes propiedades:
S1) Ley de Cierre. Dados dos vectores, la suma de dos vectores es siempre un vector.
S2) Asociatividad. Dados los vectores ~u,~v y ~w, la suma es asociativa:
~u+ (~v + ~w) = (~u+ ~v) + ~w
S3) Conmutatividad. Dados cualquier par de vectores, ~v y ~w, la suma es conmutativa
~v + ~w = ~w + ~v
S4) Existencia del elemento neutro. En efecto, está el vector ~0, que satisface
~v +~0 = ~v
S5) Existencia del elemento opuesto. Para cualquier ~v, existe un vector −~v tal que
~v + (−~v) = ~0
Debido a la definición de suma, es claro que el elemento opuesto a un determinado vector se
obtiene con el opuesto en cada componente.
Ejemplo. El opuesto de ~v = (3,−5) será el (−3, 5). Graficarlos.
Regla del paralelogramo. La regla del paralelogramo es una regla pensada para sumar
vectores de manera gráfica. Para efectuarla, se comienza por un vector, y luego de cada
extremo se van incorporando los vectores, de manera tal de que una vez colocado el último
vector, tendremos que el vector suma será el obtenido con el origen del primer vector y el
extremo del último.
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3.2 Multiplicación de un número real por un vector
Vamos a definir una operación producto, pero entre un número real cualquiera y un vector.
Consideremos un número real, por ejemplo, λ. Consideremos un vector ~v.
Definimos el producto de un número λ ∈ R por un vector ~v = (vx, vy) como
λ · ~v = (λ vx, λ vy)
Ejemplo.
3 · (3,−1) = (3 · 3, 3 · (−1)) = (9,−3)
La operación es denominada producto usual debido a que si tuviéramos que imaginar cómo
se podŕıa definir el producto es muy probable que lo propongamos de esa manera, como una
”distributiva”.
3.2.1 Propiedades del producto de un número por un vector
La operación, por cómo está definida satisface las siguientes propiedades, las cuales son de
utilidad para hacer operaciones combinadas.
Si α, β son números y ~v y ~w son vectores, se cumple:
P1) α · ~v es siempre un vector.
P2) 1 · ~v = ~v
P3) α · (β · ~v) = (α · β) · ~v
P4) (α+ β) · ~v = α · ~v + β · ~v
P5) α · (~v + ~w) = α · ~v + α · ~w
Estructura de Espacio Vectorial. Las propiedades de las operaciones que hemos definido se pueden
comprobar a partir de la misma definición de las operaciones. Sin embargo, en términos abstractos,
se define la estructura de Espacio Vectorial a un conjunto de objetos en el cual es posible definir una
operación ”suma” y una operación ”producto de un número por un elemento del conjunto” que debe
satisfacer las propiedades obtenidas para la suma y el producto por un número.
De esa manera, es posible llamar vectores a objetos que no sean segmentos orientados, sino a objetos
abstractos siempre y cuando no sólo se puedan definir operaciones tipo suma y producto por un
número, sino que además deben satisfacer las propiedades. Eso es lo que dota de una estructura al
conjunto.
Nuestro abordaje no será abstracto, sino que estará orientado a la idea de vector más ele-
mental, como pares ordenados (en el caso de vectores en el plano) y ternas ordenadas (para
el caso de vectores en el espacio tridimensional).
Para el caso de vectores en el plano y el espacio, podremos definir orientaciones relativas
respecto de los ejes. Estas orientaciones relativas se denominan: cosenos directores.
Vamos primero a definir las orientaciones en el plano.
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4 Módulo y Ángulo respecto del eje x
Consideremos un vector ~v en el plano xy e identifiquemos en el gráfico las componentes y el
ángulo que forma el vector con el eje de las x.
x
y
φ
vx
vy
~v
4.1 Módulo de un vector
A partir del gráfico, podemos notar que si conocemos las componentes podemos calcular la
”longitud” del segmento orientado, como aśı también el ángulo de inclunación respecto el eje
de las x. Esta cantidad, que será una cantidad siempre positiva se la denomina módulo o
norma del vector y se calcula a partir del Teorema de Pitágoras:
||~v|| =
√
v2x + v
2
y
Comunmente para denotar la norma o módulo de un vector se utilizan dos ĺıneas verticales a
cada lado del vector, para diferenciar con el valor absoluto de un número. No obstante, si se
utiliza la notación |~v| al tener dentro de las barras un vector no debeŕıa generar confusión.
Ángulo. Con las componentes vx y vy es posible calcular el ángulo que forma el vector con
el eje de las x, simplemente, a partir de trigonometŕıa elemental tenemos que
tan(φ) =
vy
vx
lo que implica que si quisiéramos calcular el ángulo debeŕıamos hacer
φ = arctan
[
vy
vx
]
Es importante tener en cuenta que el ángulo se mide desde el eje x, en sentido antihorario,
como está marcado en el gráfico. Además, recorre desde 0◦ hasta 360◦ o desde 0 hasta 2π
radianes.
Ejemplo. El vector ~v = (1, 3) tiene por módulo
||~v|| =
√
12 + 32 =
√
10
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y forma un ángulo con el eje x
φ = arctan
[
3
1
]
= 71◦33′
Si de un vector conocemos su norma (o módulo) y el ángulo que forma con el eje de las x
podemos obtener sus componentes aplicando trigonometŕıa elemental:
vx = ||~v|| · cos(φ)
vy = ||~v|| · sin(φ)
Ejemplo. Consideremos un vector ~v cuya norma (o módulo) es de 4 y el ángulo que forma
con el eje de las x es de 120◦, entonces:
vx = ||~v|| · cos(φ) = 4 · cos(120◦) = 4 ·
(
−1
2
)
= −2
vy = ||~v|| · sin(φ) = 4 · sin(120◦) = 4 ·
(√
3
2
)
≈ 3.64
x
y
φ
vx
vy
~v
Con lo que hemos visto hasta ahora, podemos entonces relacionar vectores (como pares orde-
nados) con elementos geométricos: Módulo y Ángulo.
En general, si de un vector conocemos las componentes, podemos calcular su módulo y ángulo:
||~v|| =
√
v2x + v
2
y
φ = arctan
[
vy
vx
]
y viceversa, si conocemos el módulo y el ángulo que forma con el eje de las x, podemos obtener
las componentes:
vx = ||~v|| · cos(φ)
vy = ||~v|| · sin(φ)
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4.2 Vectores Unitarios
Los vectores cuya norma o módulo es uno, se denominan unitarios.
El vector ~u =
(√
3
2 ,
1
2
)
es unitario ya que
||~u|| =
√√√√(√3
2
)2
+
(
1
2
)2
=
√
3
4
+
1
4
= 1
Dado un vector cualquiera (no nulo), ~v, cuyo módulo es ||~v|| distinto de 1, podemos definir
un nuevo vector unitario ~u definido a través de la expresión
~u =
1
||~v|| · ~v
Ejercicio. Comprobar que efectivamente este nuevo vector ~u es unitario.
5 Otra Representación: Versores
Vimos que un vector del plano pod́ıa ser caracterizado a partir de sus componentes o bien
con los valores de su norma ||~v|| y el ángulo que forma con el eje de las x, φ.
Veamos ahora otro tipo de representación, la cual establece un concepto muy importante para
el álgebra vectorial, la de vectores base o versores.
Recordemos la suma de vectores y el producto de un número por un vector.
Consideremos un vector del plano ~v = (vx, vy). Dada la definición de la suma de vectores,
podemos descomponer este vector como
~v = (vx, vy) = (vx, 0) + (0, vy)
Ahora, aplicando (al revés) la definición de producto de un número por un vector, podemos
notar que
• (vx, 0) = vx · (1, 0)
• (0, vy) = vy · (0, 1)
Entonces, un vector cualquiera del plano, puede ser representado como:
~v = vx · (1, 0) + vy · (0, 1)
Los vectores (1, 0) y (0, 1) son vectores que indican las direcciones de los ejes x e y, respecti-
vamente. Estos vectores reciben el nombre de versores y se los denontan
• î = (1, 0)
• ĵ = (0, 1)
Por lo que podemos escribir un vector del plano
~v = vx · î + vy · ĵ
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6 Producto Escalar de vectores
Hasta ahora, hemos visto dos operaciones entre vectores: suma y producto de un número por
un escalar. Ahora vamos a definir un producto entre vectores, pero cuyo resultado no sea un
vector, sino un número. Este producto se lo denomina producto escalar.
Dados dos vectores en el plano, ~v = (vx, vy) y ~u = (ux, uy) definimosel producto escalar entre
los vectores como
~v · ~u = vx · ux + vy · uy
Por como se calcula el producto escalar entre los vectores, el resultado es un número.
Podemos notar que si efectuamos el producto escalar entre un vector por śı mismo, resulta
~v · ~v = vx · vx + vy · vy = v2x + v2y = ||~v||2
6.1 Criterio de Perpendicularidad
Consideremos dos vectores, ~v y ~u, y representémoslos en un sistema de coordenadas cartesiano.
Señalemos en el gráfico los ángulos que forman con el eje x, φ (del vector ~v) y θ (del vector
~u). Entonces, el ángulo que forman entre śı los vectores es θ − φ.
x
y
φ
~v
θ
~u
θ − φ
Calculemos el producto escalar entre ~v y ~u. Tenemos
~v · ~u = vx · ux + vy · uy
Si calculamos las componentes con los módulos y los ángulos, tenemos
~v · ~u = ||~v|| cos(φ) · ||~u|| cos(θ) + ||~v|| sin(φ) · ||~u|| sin(θ)
Entonces,
~v · ~u = ||~v|| ||~u||[cos(φ) cos(θ) + sin(φ) sin(θ)]
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Un resultado de la trigonometŕıa es la expresión de la fórmula del coseno de la resta de dos
ángulos
cos(θ − φ) = cos(φ− θ) = cos(φ) cos(θ) + sin(φ) sin(θ)
Entonces,
~v · ~u = ||~v|| ||~u|| cos(θ − φ)
Esta expresión es muy importante, ya que podemos notar que si dos vectores forman entre śı
90◦, tendremos φ− θ = 90◦, entonces,
~v · ~u = ||~v|| ||~u|| cos(θ − φ) = ||~v|| ||~u|| cos(90◦) = ||~v|| ||~u|| · 0 = 0
Entonces, el producto escalar de dos vectores establece un criterio de perpendicularidad:
Si el producto escalar entre dos vectores es cero, entonces los vectores forman entre śı 90
grados, esto es, son perpendiculares.
Ejemplo. Consideremos los vectores ~v = (3, 4) y el vector ~u = (−4, 3). Calculando el
producto escalar, resulta:
~v · ~u = 3 · (−4) + 4 · 3 = −12 + 12 = 0
Entonces, sin necesidad de graficarlos, podemos saber que estos dos vectores son ortogonales.
Graficamente, se ve:
x
y
~v
~u
3
4
−4
3
El producto escalar entre vectores proporciona un criterio de perpendicularidad, que si bien
fue obtenido a partir de hacer la operación para vectores del plano, es aplicable a vectores en
el espacio.
En la próxima sección veremos vectores en el espacio. Una vez definidos los vectores en el
plano, la extensión a una dimensión más no generará dificultad, ya que simplemente será
extender en una componente los vectores.
Las definiciones de sumas entre vectores, producto de un número por un vector y el producto
escalar serán análogas, con la única diferencia que tenemos una componente más.
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7 Vectores en el Espacio Tridimensional
Habiendo introducido el concepto de vector en el plano, vamos a extender las ideas al espacio
de tres dimensiones, donde el ambiente natural será el sistema de coordenadas cartesianas
xyz.
7.1 Vectores en espacios de puntos
Consideremos dos puntos en el espacio tridimensional, P (x1, y1, z1) y Q(x2, y2, z2). Vamos a
definir el vector ~PQ como
~PQ = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)
Este vector tiene como origen el punto P y extremo el punto Q.
Si quisiéramos definir el vector ~QP lo hacemos mediante la relación
~PQ = (x1 − x2, y1 − y2, z1 − z2)
Es decir, de manera análoga, la diferencia de las coordenadas del extremo menos las coorde-
nadas del origen.
Entonces, para vectores que no dependen de qué puntos los generaron, es decir, para vectores
libres, vamos a definir vectores en el espacio, o R3, a los objetos
~v = (vx, vy, vz)
Suma de vectores. Análogamente, la suma de vectores se define como
~v + ~u = (vx + ux, vy + uy, vz + uz)
Es decir, componente a componente.
Producto de un número por un vector. Análogamente, este producto se define como,
siendo λ ∈ R,
λ · ~v = (λ · vx, λ · vy, λ · vz)
Es decir, una suerte de distributiva.
Módulo o Norma de un vector. También de manera análoga a la definición de norma de
un vector del plano, para el espacio tridimensional se define la norma o módulo a partir de la
expresión
||~v|| =
√
v2x + v
2
y + v
2
z
Versores. Llamando
î = (1, 0, 0)
ĵ = (0, 1, 0)
k̂ = (0, 0, 1)
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Cualquier vector del espacio tridimensional podrá escribirse a partir del uso de los versores
(ahora definidos para el espacio)
~v = (vx, vy, vz) = vx · î + vy · ĵ + vz · k̂
Producto Escalar. El producto escalar entre dos vectores del espacio tridimensional, se
define a través de la relación:
~v · ~u = vx · ux + vy · uy + vz · uz
Este producto también puede expresarse a partir de
~v · ~u = ||~v|| · ||~u|| · cos(ϑ)
donde ϑ es el ángulo comprendido entre ambos vectores. Esta última relación vuelve a pro-
porcionar un criterio de perpendicularidad:
Si el producto escalar entre dos vectores del espacio es cero, entonces los vectores son
perpendiculares entre śı.
Obtención del ángulo entre dos vectores. Consideremos dos vectores, ~v = (vx, vy, vz) y
~u = (ux, uy, uz). Si quisiéramos obtener el ángulo que forman entre śı hacemos lo siguiente:
1. Calculo ~v · ~u = vx · ux + vy · uy + vz · uz
2. Calculo para cada vector, su norma, ||~v|| =
√
v2x + v
2
y + v
2
z , ||~u|| =
√
u2x + u
2
y + u
2
z
3. Con lo calculado hacemos la cuenta
~v · ~u
||~v|| · ||~u|| = cos(ϑ)
4. Calculamos arccos(cos(ϑ)) = ϑ (en la calculadora ”inv” + ”cos”)
Si en el paso 1. el producto daba cero, ya sabemos que el ángulo será de 90◦.
Ejemplo. Hallar el ángulo que forman entre śı los vectores ~v = (1, 2, 1) y ~u = (1, 1,−2)
Solución. Calculemos primero el producto escalar entre ellos, resultando
~v · ~u = 1 · 1 + 2 · 1 + 1 · (−2) = 1
. Por otro lado, calculamos los módulos de ambos vectores, ||~v|| =
√
12 + 22 + 12 =
√
6, y
||~u|| =
√
12 + 12 + (−2)2 =
√
6. Finalmente, calculamos
~v · ~u
||~v|| · ||~u|| =
1√
6
√
6
=
1
6
Entonces,
cos(ϑ) =
1
6
, → ϑ = 80◦24′21.35′′
Es decir, entre śı forman 80 grados y 24 minutos, aprox. Notemos que verlo gráficamente ya
no es una tarea tan sencilla como en el caso del plano.
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8 Producto Vectorial entre vectores
Vamos a completar la exposición de vectores definiendo un producto entre vectores cuyo
resultado sea un vector: producto vectorial.
8.1 Definición a partir de los versores
De las múltiples formas de definir el producto vectorial, vamos a comenzar con la que establece
cuánto vale el producto para los versores, y luego extender a los vectores en general.
Vamos a definir el producto vectorial de manera axiomática: Para no generar confusión, si
utilizamos el punto para el producto escalar, usamos el śımbolo × para el producto vectorial.
El producto entre los vectores ~v y ~u lo denotaremos ~v × ~u
v1) El producto vectorial es antisimétrico: Esto es ~v × ~u = −~u× ~v
v2) î× ĵ = k̂
v3) ĵ× k̂ = î
v4) k̂× î = ĵ
v5) Al efectuar el producto
~v × ~u = (vx · î + vy · ĵ + vz · k̂)× (ux · î + uy · ĵ + uz · k̂)
aplicamos la propiedad distributiva
Con estas simples reglas, efectuemos el producto vectorial entre dos vectores ~v y ~u
~v × ~u = (vx · î + vy · ĵ + vz · k̂)× (ux · î + uy · ĵ + uz · k̂)
Aplicando la propiedad distributiva obtenemos:
~v × ~u = vx · ux · (̂i× î) + vx · uy · (̂i× ĵ) + vx · uz · (̂i× k̂) +
= vy · ux · (̂j× î) + vy · uy · (̂j× ĵ) + vy · uz · (̂j× k̂) +
= vz · ux · (k̂× î) + vz · uy · (k̂× ĵ) + vz · uz · (k̂× k̂)
Ahora, usando las propiedades enunciadas, tenemos
(̂i× î) = (̂j× ĵ) = (k̂× k̂) = ~0
Y extrayendo factores comunes, tenemos:
~v × ~u = (vx · uy − vy · ux)k̂ + (vx · uz − vz · ux)(−ĵ) + (vy · uz − vz · uy )̂i
Y si queremos ponerlo en componentes:
~v × ~u = (vy · uz − vz · uy,−(vx · uz − vz · ux), vx · uy − vy · ux)
Ejemplo. Para los vectores ~v = (1, 2, 3) y ~u = (4, 5, 6) tenemos
~v × ~u = (2 · 6− 3 · 5,−(1 · 6− 3 · 4), 1 · 5− 2 · 4) = (−3, 6,−3)
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8.2 Cálculo con determinantes
Otra manera de calcular el producto vectorial de vectores es a partir de la fórmula del deter-
minante para una matriz.
Determinante 2×2. Primero definamos el determinante de una matriz cuadrada, de dos
filas por dos columnas. ∣∣∣∣a bc d
∣∣∣∣ = a · d− c · b
Determinante 3×3. Ahora tomemos una matriz de tres filas y tres columnas. El determi-
nante se calcula como: ∣∣∣∣∣∣
a b c
d e f
g h i
∣∣∣∣∣∣ = a
∣∣∣∣e fh i
∣∣∣∣− b ∣∣∣∣d fg i
∣∣∣∣+ c ∣∣∣∣d eg h
∣∣∣∣
El color rojo es para señalar que es antecedido por un signo menos.
Y como sabemos calcular el determinante 2×2 podemos terminar el cálculo:∣∣∣∣∣∣
a b c
d e f
g h i
∣∣∣∣∣∣ = a
∣∣∣∣e fh i
∣∣∣∣− b ∣∣∣∣d fg i
∣∣∣∣+ c ∣∣∣∣d eg h
∣∣∣∣ = a(e · i− h · f)− b(d · i− g · f) + c(d · h− g · e)
Notemos que con esta expresión para un determinante 3×3 podemos calcular el producto
vectorial de dos vectores de la siguiente manera:
~v × ~u =
∣∣∣∣∣∣
î ĵ k̂
vx vy vz
ux uy uz
∣∣∣∣∣∣ = î
∣∣∣∣vy vzuy uz
∣∣∣∣− ĵ ∣∣∣∣vx vzux uz
∣∣∣∣+ k̂ ∣∣∣∣vx vyux uy
∣∣∣∣
= (vyuz − vzuy )̂i− (vxuz − vzux)̂j + (vxuy − vyux)k̂
Esta última expresión coincide con el cálculo presentado a partir de las reglas anteriores, pero
puede que resulte más sencillo, si recordamos el cálculo de determinantes.
La manera de calcular un producto vectorial depende de la comodidad de quien debe efectuar
el cálculo.
Perpendicularidad del producto. Consideremos dos vectores, ~v y ~u. Calculemos el pro-
ducto mixto:
(~v × ~u) · ~v = (vyuz − vzuy)vx − (vxuz − vzux)vy + (vxuy − vyux)vz
distribuyendo, podemos notar que todos los términos se cancelan, por lo que (~v × ~u) · ~v = 0
(el número cero). Lo mismo ocurre si calculamos (~v × ~u) · ~u = 0.
Por lo que sabemos de producto escalar, tenemos que el vector obtenido por el producto
vectorial de los vectores ~v y ~u es perpendicular a ~v y a ~u, simultáneamente. Esta propiedad
es de mucha utilidad en geometŕıa anaĺıtica, cuando se quiere describir ecuaciones del plano.
En efecto, con dos vectores podemos definir un plano (el plano que contiene simultáneamente
a los vectores) y el producto vectorial de ambos resulta que es un vector perpendicular al
plano.
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Facultad de Bellas Artes Departamento de Diseño Industrial
8.3 Módulo del vector producto
Dados los vectores ~v y a ~u la norma del vector producto vectorial será:
||~v × ~u|| =
√
(vyuz − vzuy)2 + (vxuz − vzux)2 + (vxuy − vyux)2
A partir de propiedades trigonométricas (que no desarrollaremos), se puede obtener el sigu-
iente resultado
||~v × ~u|| = ||~v|| · ||~u|| · sin(ϑ)
donde, como antes, ϑ es el ángulo comprendido entre los dos vectores.
Colinealidad (paralelismo). Notemos que si dos vectores son colineales, es decir yacen
sobre la misma recta, tendremos que el ángulo que forman entre śı será ϑ = 0◦ para el caso
de que tienen la misma dirección o ϑ = 180◦ en el caso que tengan dirección opuesta. Para
ambos casos, ya que sin(0◦) = sin(180◦) = 0 podemos enunciar:
Si el producto vectorial entre dos vectores resulta el vector nulo, entonces los vectores son
colineales, es decir que yacen sobre una misma recta.
El producto escalar nos daba un criterio de perpendicularidad, y el producto vectorial nos
provee de un criterio de paralelismo (o antiparalelismo)
8.3.1 Área encerrada entre dos vectores
Área de un paralelogramo. Consideremos un paralelogramo como indica la figura:
a
b h = b · sin(ϑ)
a
h = b · sin(ϑ)
ϑ
Para calcular el área del paralelogramo es conveniente extraer el triángulo y colocarlo como
indica la figura, de tal manera que tenemos un rectángulo de base a y de altura h = b · sin(ϑ).
Entonces, el área será
A = a · b sin(ϑ)
Una situación semejante nos encontramos al querer calcular el área del paralelogramo definido
por dos vectores (vale para el plano como para el espacio). En efecto, consideremos un par
de vectores no coincidentes. Sean ~v y ~u sus lados. Lo que determina la longitud de los lados
serán los valores de ||~v|| y ||~u||, entonces, el valor del área será
Area = ||~v|| · ||~u|| · sin(ϑ) = ||~v × ~u||
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graficamente,
~v
~u Area = ||~v|| · ||~u|| · sin(ϑ)
ϑ
8.3.2 Volumen de un Paraleleṕıpedo
Calculemos ahora el volumen encerrado por un paraleleṕıpedo de aristas ~v, ~u y ~w como indica
la figura
~v
~u
~w
~v × ~u
ϑ
ϕ
Para calcular el volumen encerrado por los tres vectores, debemos tener en cuenta que el
volumen se calcula como la superficie de la base (que ya la sabemos calcular porque es el área
del paralelogramo) por la altura perpendicular a la base.
La superficie de la base la calculamos como ‖~v× ~u‖, además, la altura en la dirección normal
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será ‖w‖ · cos(ϕ)
Por otro lado, el cos(ϕ) lo podemos calcular como
cos(ϕ) =
(~v × ~u) · ~w
‖~v × ~u‖ · ‖~w‖
Entonces, reemplazando, tenemos
V olumen = ‖~v × ~u‖ · ‖~w‖ · (~v × ~u) · ~w‖~v × ~u‖ · ‖~w‖
Simplificando,
V olumen = (~v × ~u) · ~w
Este producto mixto podemos calcularlo a través del determinante:
V olumen =
∣∣∣∣∣∣
wx wy wz
vx vy vz
ux uy uz
∣∣∣∣∣∣ = (vyuz − vzuy)wx − (vxuz − vzux)wy + (vxuy − vyux)wz
9 Ejercitación
1. Dados los puntos P y Q hallar los vectores ~PQ y ~QP
a) P (1, 1), Q(−2, 1)
b) P (2, 1, 7), Q(−2, 0, 3)
c) P (1, 1, 1), Q(−1, 0, 1)
2. Dados los vectores, efectuar la suma y la resta
a) ~v = (1, 1), ~u = (−1, 3)
b) ~v = (1, 1, 2), ~u = (0, 1, 2)
c) ~v = (2,−1, 2), ~u = (0, 2, 1)
3. Efectuar el producto entre el número λ ∈ R y el vector
a) λ = 2, ~v = (−1, 3)
b) λ = −2, ~v = (−1, 0, 3)
c) λ = 0.5, ~v = (−1, 3, 4)
4. Para los vectores dados en el ejercicio 2 (para los productos vectoriales tomar los vectores
de los incisos b) y c)), calcular los productos
a) ~v · ~u
b) ~u · ~v
c) ~v × ~v
d) ~u× ~u
e) ~u× ~v
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5. Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos P (1, 2), Q(−1, 3) y R(3, 1),
6. Calcular el volumen del paraleleṕıpedo cuyas aristas principales son los vectores
~v = (1, 1, 1), ~u = (1,−1, 0) y ~w = (3, 2, 1)
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	Nociones Previas. Magnitudes Escalares y Vectoriales
	Segmentos Orientados en el Plano
	Representación Algebraica de los Segmentos Orientados
	Vectores en general
	Álgebra de Vectores
	Suma de Vectores
	Propiedades de la Suma
	Multiplicación de un número real por un vector
	Propiedades del producto de un número por un vector
	Módulo y Ángulo respecto del eje x
	Módulo de un vector
	Vectores Unitarios
	Otra Representación: Versores
	Producto Escalar de vectores
	Criterio de Perpendicularidad
	Vectores en el Espacio Tridimensional
	Vectores en espacios de puntos
	Producto Vectorial entre vectores
	Definición a partir de los versores
	Cálculo con determinantes
	Módulo del vector producto
	Área encerrada entre dos vectores
	Volumen de un Paralelepípedo
	Ejercitación