24--Marun-Trabajo-funcional

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Extrayendo subsucesiones en espacios de Banach
El teorema `1 de Rosenthal
Pedro Marun
Índice
0. Introducción 1
1. Numerabilidad y topoloǵıa débiles 3
2. Teoŕıa de Ramsey 8
3. La topoloǵıa de Ellentuck 12
4. La prueba del teorema de Rosenthal 20
0. Introducción
Consideremos un espacio de Banach E y una sucesión acotada (xn) en E. En analoǵıa con el viejo
y querido teorema de Bolzano-Weiestrass, uno podŕıa preguntarse cuándo será posible encontrar
una subsucesión convergente. Obviamente, la respuesta a esta pregunta depende del tipo de
convergencia que estemos considerando.
Un primer intento inocente seŕıa tratar de encontrar una subsucesión que converga en norma.
Lamentablemente, esto es mucho pedir, ya que la afirmación “toda sucesión acotada contiene una
subsucesión convergente en norma” equivale (trasladando y dilatando) a que la bola unitaria de
E sea compacta, y, por un corolario de lema de Riesz, esto sucede si y sólo si el espacio tiene
dimensión (algebraica) finita.
El segundo lugar para mirar seŕıa la topoloǵıa débil, la cual tiene como base de entornos para
x ∈ E los conjuntos
U(ε, ϕ0, . . . , ϕn) := {y ∈ E : ∀i ≤ n(|ϕi(x)− ϕi(y)| < ε)},
donde movemos n ∈ N, ϕ0, . . . , ϕn ∈ E∗ (el dual topológico de E) y ε > 0. Es un hecho elemental
que una red (xα) converge a x con esta topoloǵıa si y sólo si ϕ(xα)→ ϕ(x) para todo ϕ ∈ E∗.
Denotaremos a la topoloǵıa débil como σ(E,E∗). En general, si F ⊆ E∗, σ(E,F) es la topoloǵıa
inicial generada por los elementos de F , es decir, la menor topoloǵıa que hace continuas a todas
las funciones de F . La misma tiene como base de entornos a los mismos (U, ε, ϕ0, . . . , ϕn), sólo
que ahora ϕi ∈ F .
1
Introducción Pedro E. Marun
Nos preguntamos ahora si toda subsucesión acotada1 admite una subsucesión débilmente conver-
gente. Resulta que esto vale si y sólo si el espacio E es reflexivo. El quid de la cuestión radica en
que, si bien la topoloǵıa débil de un Banach infinitodimensional no cumple el primer axioma de
numerabilidad (lo veremos en la próxima sección), un conjunto A ⊆ E es compacto si y sólo si es
secuencialmente compacto, de modo que las sucesiones alcanzan para testear la compacidad (y
no hay que ponerse a delirar con redes). Este hecho sorprendente es parte del célebre teorema de
Eberlein-Šmullian, que encontraremos más adelante.
Volviendo a la pregunta original, vemos que la respuesta es, en general, no, y no hace falta toda
la maquinaria de reflexividad mencionada antes para probarlo. Tomar simplemente la sucesión
xn := e1 + · · ·+ en ∈ l1(N) (donde ek es el k-ésimo vector canónico) y notar que, considerando
el funcional ek ∈ `∞ ∼= (`1)∗ vemos que ek(xn) :=
∑
j ek(j)xn(j) = xn(k) = 1 si n ≥ k. Luego,
si existiese x ∈ `1 tal que alguna subsucesión de (xn) converge debilmente a x, tendŕıamos de
lo anterior que la k-ésima coordenada de x es 1 para todo k, contradiciendo que x ∈ `1 sea
absolutamente sumable.
El ejemplo anterior deja en evidencia el siguiente hecho: una sucesión (xn) en un espacio de
Banach puede verificar que (ϕ(xn)) sea convergente (en el cuerpo) para todo ϕ ∈ E∗ y los números
cϕ := ĺımn ϕ(xn) no tienen por qué cumplir cϕ = ϕ(x) para algún x ∈ E fijo. Esto motiva la
siguiente definición, y nos dice que la misma no equivale a la convergencia débil:
Definición 0.1. Sea (xn) una sucesión en un Banach E. Diremos que (xn) es débilmente de
Cauchy si (ϕ(xn)) es de Cauchy en el cuerpo (o sea convergente) para toda ϕ ∈ E∗. ♣
Teniendo ahora esta noción de pseudo convergencia que es estrictamente más débil que las
anteriores, volvemos a preguntarnos, ¿toda sucesión acotada en un Banach arbitrario tiene una
subsucesión débilmente de Cauchy? Y la respuesta es, nuevamente, no:
Ejemplo 0.2. La sucesión de vectores canónicos (en) de `
1 no admite subsucesiones que sean
débilmente de Cauchy. En efecto, dada una sucesión estrictamente creciente de números naturales
(nk), consideremos la sucesión y ∈ `∞ = (`1)∗ definida por
y(j) =
{
1 si j = n2k para algún k,
−1 caso contrario.
Entonces y(enk) :=
∑
j y(j)enk(j) = ynk , de modo que (y(enk))k = (ynk)k = (1,−1, 1,−1, . . . ),
que no es convergente.
Sin embargo, en este caso la situación es más alentadora, pues el contraejemplo anterior es, en
algún sentido, el único. Como sugiere nuestra apelación a la frase “en algún sentido”, necesitamos
algo de terminoloǵıa:
Definición 0.3. Sea E un espacio de Banach sobre el cuerpo K ∈ {R,C}, y sea (xn) una sucesión
en E. Diremos que (xn) es equivalente a la base canónica de `
1(N,K) si existen números positivos
a y b tales que para todo n ∈ N y todo ci ∈ K, i < n, vale que
a
n−1∑
i=0
|ci| ≤
∥∥∥∥∥
n−1∑
i=0
cixi
∥∥∥∥∥ ≤ b
n−1∑
i=0
|ci|.
Notar que, en tal caso, la flecha `1 3 (ci) 7→
∑∞
i=0 cixi en un embedding bien definido de `
1 en
X. ♣
1La acotación es a priori en norma, pero utilizando el Principio de Acotación Uniforme (PAU, para los amigos)
se prueba que un subconjunto A ⊆ E es ‖ · ‖-acotado si y sólo si para todo ϕ ∈ E∗, ϕ(A) es acotado (en el cuerpo
en cuestión).
2
Numerabilidad y topoloǵıa débiles Pedro E. Marun
Dado un conjunto no vaćıo S, denotamos por `∞(S,K) (o simplemente `∞(S) cuando no haya
peligro de confusión) al conjunto de funciones acotadas f : S → K. Notar que el mismo resulta
un Banach con la norma del ‖f‖∞ := sup{|f(x)| : x ∈ S}.
Con estas definiciones:
Teorema 0.4 (Rosenthal). Sea (fn) una sucesión acotada `
∞(S,R). Entonces existe una subsu-
cesión (fnk) tal que, o bien converge puntualmente, o bien es equivalente a la base canónica de
`1.
El resultado anterior da la siguiente dicotomı́a sobre espacios de Banach, imaginativamente
llamada “Dicotomı́a de Rosenthal”:
Corolario 0.5 (Rosenthal). Sea E un espacio de Banach real2. Son equivalentes:
(i) Toda subsucesión (xn) en E tiene una subsucesión (xnk) que es débilmente de Cauchy.
(ii) No existe un embedding `1 ↪→ E.
Demostración. (i)⇒(ii): Ya vimos que la sucesión de vectores canónicos de `1 no admite sucesiones
que sean débilmente de Cauchy. Luego, si asumimos que `1 ↪→ E, la imagen por el embedding
isométrico de dicha sucesión proporciona el contraejemplo para (i).
(ii)⇒(i): Un x ∈ E puede verse como una función en S := B1(E∗) v́ıa la dualidad usual
x(ϕ) := ϕ(x). Con esta identificación, ‖x‖ = ‖x‖∞, donde ‖ · ‖∞ es la norma del espacio `∞(S).
Luego, si (xn) es acotada en E, también lo es en `
∞(S), y por el teorema de Rosenthal debe
admitir una subsucesión que converge puntualmente, ya que la otra opción proporciona un
embedding de `1 en `∞(S) (ver el comentario al final de la definición (0.3)). Pero es obvio de las
definiciones que (xnk) converge puntualmente si y sólo si es débilmente de Cauchy. �
1. Numerabilidad y topoloǵıa débiles
Sea E un espacio de Banach de dimensión (algebraica) infinita. Como anticipábamos en la
introducción, la topoloǵıa débil σ(E,E∗) no verifica el primer axioma de numerabilidad (aśı
que mucho menos es metrizable). La demostración es, para sorpresa de nadie, por reducción al
absurdo. Supongamos que B = {Un : n ∈ N} es una base numerable de entornos básicos de 0,
y notemos que todo entorno básico de 0 contiene una intersección finita de núcleos de ciertos
funcionales (esto es trivial de la definición de los entornos como se dio en la introducción). El
hecho de que esto efectivamente es un conjunto “grande” es consecuencia de que
Lema 1.1. Sea V un espacio vectorial de dimensión infinita, y f0, . . . , fn−1 : V → K funcionales
lineales. Entonces
⋂
i<n ker(fi) 6= {0}.
Demostración. Sea T : V → Kn definida por T (x) = (f0(x), . . . , fn(x)). Es obvio que T es
K-lineal, pues las fi lo son, y que ker(T ) =
⋂
i<n ker(fi). Luego, si
⋂
i<n ker(fi) = {0}, T seŕıa
inyectiva, y por tanto V ∼= T (V ). Pero T (V ) ⊆ Kn, de modo que tiene dimensión finita (pues
dim(Kn) = n), aśı que V también la tiene, lo cual es una contradicción. �
Un lemita más para no tener que volver ainterrumpir:
2Si asumimos que el teorema de Rosenthal vale para espacios complejos, entonces la demostración del caso real
que damos a continuación prueba la dicotomı́a para el caso complejo.
3
Numerabilidad y topoloǵıa débiles Pedro E. Marun
Lema 1.2. Sea V un espacio vectorial y fi : V → K funcionales lineales, i < n. Dada f : V → K
lineal, vale que ⋂
i<n
ker fi ⊆ ker f ⇐⇒ f ∈ span{fi : i < n}
Demostración. ⇐) Trivial.
⇒): Si T : V → Kn es como en el lema anterior, entonces Tx = Ty implica f(x) = f(y), pues si
T (x − y) = 0 entonces x − y ∈ kerT =
⋂
i<n ker fi ⊆ ker f aśı que f(x − y) = 0 y por lo tanto
f(x) = f(y). Luego g : ran T → K dada por g(Tx) = f(x) está bien definida, y puede extenderse
con linealidad a todo Kn ⊇ ran T por álgebra lineal básica (nada de Hahn-Banach ni ninguna
cosa rara). Por los mismos motivos elementales, existe λi ∈ K tales que g =
∑
i<n λiπi, donde
πi : Kn → K es la i-ésima proyección canónica. Pero entonces,
f(x) = g(Tx) =
∑
i<n
λiπi(Tx) =
∑
i<n
λifi(x)
para todo x ∈ V . �
Volviendo al argumento anterior, sea Sn ⊆ E∗ el span de las finitas funcionales que generan a
Un ∈ B. Como Sn tiene dimensión finita, Sn 6= E∗ (si E∗ fuese finitodimensional, E también lo
seŕıa), y como es un subespacio, deducimos que S◦n = ∅. Luego, por le teorema de categoŕıa de
Baire, ⋃
n∈N
Sn 6= E∗,
y podemos elegir ψ ∈ E∗ \
⋃
n Sn. Definamos V := {x ∈ X : |ψ(x)| < 1}. Como ψ es σ(E,E∗)-
continua, V es abierto con dicha topoloǵıa. Ahora bien, para cada n, ψ 6∈ Sn, y por el segundo
lema ⋂
ϕ∈Sn
kerϕ 6⊆ kerψ
de modo que podemos elegir xn ∈
⋂
ϕ∈Sn kerϕ tal que ψ(xn) 6= 0. Fijado n, por la propiedad
arquimediana existe N ∈ N tal que |ψ(Nxn)| = N |ψ(xn)| > 1, por lo que Nxn 6∈ V . Por otra
parte, xn ∈
⋂
ϕ∈Sn kerϕ ⊆ Un, y como el primero es un subespacio, Nxn ∈ Un. Concluimos que
Un 6⊆ V . Pero n era arbitrario, aśı que ningún miembro de la supuesta base B está contenido en
el entorno V del 0; absurdo, que provino de suponer que σ(E,E∗) era N1.
En vista de todo este desastre, uno podŕıa suponer que las sucesiones no sirven para nada
en la topoloǵıas débiles, y no queda otra que meterse con sus cochinos parientes; las redes.
Sorprendentemente, esto no es siempre aśı:
Teorema 1.3 (Eberlein-Šmulian). Sean E un espacio de Banach y A ⊆ E. Entonces A es
débilmente precompacto si y sólo si es débilmente secuencialmente precompacto. En particular, A
es débilmente compacto si y sólo si es débilmente secuencialmente compacto.
Recordemos las definiciones involucradas:
Definición 1.4. Sea (X, τ) un espacio topológico y A ⊆ X. Diremos que A es
precompacto si su clausura es compacta.
secuencialmente precompacto si toda sucesión de elementos de A tiene una subsucesión
convergente (el punto ĺımite no tiene por qué estar en A).
4
Numerabilidad y topoloǵıa débiles Pedro E. Marun
numerablemente precompacto (o ℵ0-precompacto) si todo subconjunto infinito de A
tiene un punto de acumulación3 (nuevamente, el punto podŕıa no pertenecer a A). ♣
Observación 1.5. Todo conjunto secuencialmente precompacto es ℵ0-precompacto. En efecto, si
S ⊆ A es infinito, entonces existe C ⊆ S con |C| = ℵ0 (numerable, para la gilada). Esto requiere
alguna forma del axioma de elección, pero eso jamás nos importó, aśı que no es momento para
preocuparse. Consideremos una enumeración {xn : n ∈ N} de C. Por la hipótesis, existe (xnk)k∈N
que converge a algún x ∈ X. Como todos los xn son distintos, x es punto de acumulación de
{xnk : k ∈ N} ⊆ A. N
Para la prueba necesitamos algunos resultadillos técnicos:
Lema 1.6. Sean (X, τ), (Y, σ) espacios topológicos, y sea f : (X, τ) → (Y, σ) continua. Dado
A ⊆ X ℵ0-precompacto, f(A) es ℵ0-precompacto.
Demostración. Si S ⊆ f(A) es infinito, f−1(S) es infinito, aśı que existe una red xi ∈ f−1(S)
y x ∈ X tales que xi → x. Por continuidad, f(xi) → f(x), y entonces f(x) es un punto de
acumulación de f(S). �
Lema 1.7. Sea F ⊆ E∗∗ un espacio finito dimensional, con E Banach. Entonces existe P ⊆
SE∗ := {ϕ ∈ E∗ : ‖ϕ‖ = 1} finito tal que para todo x∗∗ ∈ F ,
‖x∗∗‖
2
≤ máx{|x∗∗ϕ| : ϕ ∈ E}.
Demostración. Como SF := {x∗∗ ∈ F : ‖x∗∗‖ = 1} es compacto (por ser F de dimensión finita),
existen x∗∗1 , . . . , x
∗∗
n ∈ SF tales qe SF ⊆
⋃n
i=1B(x
∗∗
i , 1/4). Elijamos ϕ1, . . . , ϕn ∈ SE∗ tales que
|x∗∗i ϕi| > 3/4. Entonces, dado ϕ ∈ SF ,
|x∗∗ϕi| ≥ |x∗∗i ϕi| − |x∗∗ϕi − x∗∗i ϕi| ≥
3
4
− 1
2
=
1
2
para algún 1 ≤ i ≤ n conveniente. �
Demostración del teorema de Eberlein-Šmullian. ⇒) Ya vimos que todo conjunto secuencialmen-
te compacto es ℵ0-precompacto, aśı que basta considerar A ⊆ E ℵ0-precompacto con la topoloǵıa
débil σ(E,E∗). Para cada ϕ ∈ E∗, ϕ(A) es ℵ0-precompacto en el cuerpo por el lema, aśı que
en particular es acotado. Luego A es débilmente acotado, y entonces acotado, por el PAU. Si
J : E → E∗∗ es el embedding canónico, J(A) es acotado en E∗∗, aśı que su clausura débil*
clw∗(J(A)) es compacta con la topoloǵıa débil
∗ (o sea, la σ(E∗∗, E∗)), por Alaoglu. Bastará
probar que clw∗(J(A)) ⊆ J(X), pues, como J : (E, σ(E,E∗)) → (J(E), σ(E∗∗, E∗)|J(E)) es un
homeomorfismo4, A estará contenido en el conjunto precompacto J−1(clw∗(J(A))), y por tanto
resultará precompacto.
Fijemos x∗∗ ∈ clw∗(A), y elijamos x∗1 ∈ E∗ unitario. Como x∗∗ ∈ clw∗(J(A)), existe un a1 ∈ A
con |(x∗∗ − J(a1))x∗1| < 1. Como span{x∗∗, x∗∗ − Ja1} es finito dimensional, podemos elegir
x∗2, . . . , x
∗
n(2) ∈ X
∗ de norma 1 tales que
máx{|y∗∗(x∗m)| : 1 ≤ m ≤ n(2)} ≥
‖y∗∗‖
2
3x ∈ X es punto de acumulación de A si todo entorno de x contiene un punto de A distinto de x. En śımbolos,
∀N ∈ Nx [(N ∩A){x} 6= ∅].
4Esto sale de mirar las definiciones de las convergencias involucradas v́ıa redes.
5
Numerabilidad y topoloǵıa débiles Pedro E. Marun
para todo y∗∗ ∈ span{x∗∗, x∗∗−Ja1}. Volviendo a usar que x∗∗ ∈ clw∗(J(A)), podemos elegir a2 ∈
A tal que máx{|(x∗∗−Ja2)x∗m| : 1 ≤ m ≤ n(2)} < 1/2, y luego encontrar x∗n(2)+1, . . . , x
∗
n(3) ∈ X
∗
unitaros tales que
máx{|y∗∗(x∗m)| : n(2) < m ≤ n(3)} ≥
‖y∗∗‖
2
para todo y∗∗ ∈ span{x∗∗, x∗∗ − Ja1, x∗∗ − Ja2}. Una vez más, como x∗∗ ∈ clw∗(J(A)), podemos
elegir a3 ∈ A tal que máx{|(x∗∗ − Ja3)x∗m| : 1 ≤ m ≤ n(3)} < 13 , y el proceso puede continuar.
Por la hipótesis, existe un x ∈ E que es punto de acumulación (en σ(E,E∗))de la sucesión {an}.
Pongamos S = span{an : n ∈ N}, donde la clausura es con la norma de E. Como span{an : n ∈ N}
es convexo, S es débilmente cerrado, de modo que x ∈ S, y
x∗∗ − Jx ∈ span{x∗∗}+ span{x∗∗ − Jan : n ∈ N}.
Por construcción, supm |y∗∗(x∗m)| ≥ (1/2)‖y∗∗‖ para cualquier y∗∗ en el subespacio span{x∗∗}+
span{x∗∗ − Jan : n ∈ N}, de modo que lo mismo es cierto para la clausura del subespacio, y en
particular para el elemento x∗∗ − Jx.
Por otro lado, de la construcción tenemos que |(x∗∗ − Jan)x∗m| < 1/p para m < n(p) < n, y
entonces |(x∗∗−Jx)x∗m| ≤ |(x∗∗−Jan)x∗m|+|x∗m(an−x)| ≤ 1/p+|x∗m(an−x)| para m < n(p) < n.
Fijemos ahora m ∈ N y N > m. Como x es un punto de acumulación débil de (an), existe un an
con |x∗m(an − x)| < 1/N y n > n(N) > m, y entonces, de lo anterior,
|(x∗∗ − Jx)x∗m| ≤ |(x∗∗ − Jan)x∗m|+ |x∗m(an − x)| ≤ 1/N + |x∗m(an − x)| < 2/N.
Haciendo N → ∞ vemos que (x∗∗ − Jx)x∗m = 0 para todo m, pero entonces ‖x∗∗ − Jx‖ ≤
supm |(x∗∗ − Jx)x∗m| = 0, aśı que x∗∗ = Jx y ya está.
⇐) Para la rećıproca, recordar que un conjunto F ⊆ E∗ se dice total si
∀ϕ ∈ F(ϕ(x) = 0) ⇐⇒ x = 0.
Como consecuencia del teorema de Hahn-Banach, X∗ es total. El chiste es que podŕıa haber
conjuntos totales bastante más chicos:
Afirmación 1. Sea X un espacio de Banach separable. Entonces X∗ contiene un conjunto total
numerable. Más aún, las funcionales pueden tomarse todas de norma 1.
Demostración de la afirmación 1. Dado x ∈ X, por Hahn-Banach existe ϕx ∈ X∗ tal que ‖ϕx‖ = 1
y ϕx(x) = ‖x‖. Sea D = {xn : n ∈ N} un denso numerable, y pongamos ϕn = ϕxn . El cojunto
{ϕn : n ∈ N} es claramente numerable. Afirmamos que es total. En efecto, si no fuese aśı, existiŕıax ∈ X con x 6= 0 y ϕn(x) = 0 para todo n ∈ N. Ahora bien, como D es denso en X, existe xnk
tales que xnk → x cuando k →∞. Ahora bien, como ϕn(x) = 0 para todo n,
‖xnk‖ = ϕnk(xnk) = ϕnk(xnk − x) = |ϕnk(xnk − x)|.
Luego, como la flecha y 7→ ‖y‖ es ‖ · ‖-continua) y ‖ϕn‖ = 1 para todo n,
‖x‖ = ĺım sup
k
|ϕnk(xnk − x)| ≤ ĺım sup
k
‖xnk − x‖ = 0,
lo cual contradice x 6= 0. �
Continuemos disfrazando lemas adentro de la prueba:
6
Numerabilidad y topoloǵıa débiles Pedro E. Marun
Afirmación 2. Sea X un espacio de Banach cuyo dual contiene un conjunto total y numerable.
Entonces la topoloǵıa débil σ(X,X∗) sobre un subconjunto σ(X,X∗)-compacto K es metrizable.
Demostración de la afirmación 2. Sea {ϕn : n ∈ N} el dichoso conjunto total, y definamos, para
x, y ∈ X,
d(x, y) :=
∑
n∈N
2−n
|ϕn(x)− ϕn(y)|
1 + |ϕn(x)− ϕn(y)|
.
Es fácil ver que esto define efectivamente una métrica, la desigualdad triangular sale de la
subaditividad de la función t 7→ t1+t , y la totalidad implica que d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.
Sea I : (K,σ(X,X∗)|K)) → (K, d) la función identidad; afirmamos que es continua con estas
topoloǵıas. En efecto, si xi → x en σ(X,X∗)|K , con xi, x ∈ K, en particular ϕ(xi)→ ϕ(x) para
toda ϕ ∈ X∗, y entonces d(xi, x)→ 0 mediante unas acotaciones rutinarias. Esto dice justamente
que I es continua. Pero entonces I es una función continua de un compacto en un Hausdorff (por
ser métrico), aśı que resulta ser un homeo. �
Ya podemos completar la demostración. Tomemos A ⊆ E σ(E,E∗)-precompacto, y (xn) una
sucesión de elementos de A. Pongamos S := span{xn : n ∈ N}, donde la clausura es en la
norma de E. Como S es un subespacio, en particular es convexo, aśı que resulta ser débilmente
cerrado (o sea, con la topoloǵıa σ(E,E∗)), y entonces A ∩ S es σ(E,E∗)-precompacto. Ahora
bien, como S es obviamente separable, por la afirmación 1 S∗ contiene un subconjunto total y
numerable, y por la afirmación 2 A ∩ S es metrizable con la topoloǵıa σ(S, S∗). Pero en espacios
métricos la compacidad y la compacidad secuencial coinciden, de modo que A ∩ S es débilmente
secuencialmente precompacto, y entonces (xn) tiene una subsucesión que converge débilmente en
X, es decir, converge a un x ∈ E con la topoloǵıa σ(E,E∗). �
Observación 1.8. En el último párrafo de la prueba usamos impunemente el siguiente hecho
general: si F v E, entonces σ(E,E∗)|F (o sea la topoloǵıa que F hereda como subespacio de
(E, σ(E,E∗))) coincide con σ(F, F ∗). Veamos esto:
⊆) Un elemento subbásico de σ(E,E∗)|F es de la forma F ∩U , con U := {x ∈ X : |ϕ(x− y)| < ε}
para y ∈ F , ϕ ∈ E∗ y ε > 0. Pero F ∩ U = {x ∈ F : |ϕ|F (x− y)| < ε} es σ(F, F ∗) abierto, pues
ϕ|F ∈ F ∗.
⊇) Consideremos el conjunto {x ∈ F : |ϕ(x − y)| < ε} para y ∈ F , ϕ ∈ F ∗, y ε > 0. Por
Hahn-Baach, ϕ puede extenderse a todo E, es decir, existe ψ ∈ E∗ tal que ψ|F = ϕ. Pero entonces
{x ∈ F : |ϕ(x − y)| < ε} = F ∩ {x ∈ E : |ψ(x − y)| < ε}, que es abierto con la topoloǵıa
relativa. N
Ahora podemos probar lo que mencionamos en la introducción. Si E es un Banach tal que
toda subsucesión acotada tiene una subsucesión débilmente convergente, en particular BE es
débilmente secuencialmente compacto, y por Eberlein-Šmullian BE es σ(E,E
∗) compacta, aśı
que E es reflexivo, ya que
Teorema 1.9. Si E es un espacio de Banach, entonces las siguientes propiedades son equivalentes:
1 E es reflexivo.
2 E∗ es reflexivo.
3 σ(E∗, E) = σ(E∗, E∗∗), o sea que, en E∗, coinciden la topoloǵıa débil y la débil∗.
4 BE es σ(E,E
∗)-compacta.
7
Teoŕıa de Ramsey Pedro E. Marun
La prueba puede encontrarse en [7], Teorema 5.7.1.
Para la vuelta, si E es reflexivo y (xn) es una sucesión acotada en E, el teorema anterior BE
es σ(E,E∗)-compacta, y, nuevamente por Eberlein-Šmullian, BE es σ(E,E
∗)-secuencialmente
compacta, aśı que lo mismo es cierto para todo conjunto cerrado y acotado, y entonces (xn) tiene
una subsucesión débilmente convergente.
2. Teoŕıa de Ramsey
Si bien hoy en d́ıa la teoŕıa de Ramsey es principalmente una rama de la combinatoria, Ramsey
probó su teorema homónimo en 1928 mientras trataba de resolver un caso particular del Ents-
cheidungsproblem, un problema de lógica formal relacionado al décimo problema de Hilbert. El
Entscheidungsproblem fue resuelto finalmente por Church en1936 (e independientemente por
Turing en el mismo año). Si el lector piensa que este párrafo fue tan solo una excusa para escribir
Entscheidungsproblem muchas veces, entonces está en lo cierto.
Damos ahora una prueba del célebre teorema de Ramsey. El mismo no será utilizado para
demostrar los resultados de Rosenthal, pero motiva algunas consideraciones posteriores.
Definición 2.1. Sean A un conjunto y κ un cardinal. Definimos [A]κ := {X ⊆ A : |X| = κ}.
También se define [A]<κ := {X ⊆ A : |X| < κ}. ♣
Fijemos r, n ∈ N. Si tenemos una paleta de r colores, podemos colorear cada subconjunto de n
elementos de N con uno de los r-colores. En términos menos hippies, estamos definiendo una
función (llamada coloreo) π : [N]n → r. Recordar que cada número natural k ∈ N es el conjunto
de sus predecesores, es decir k = {0, . . . , k − 1}, y por tanto k ⊆ N. Es natural preguntarse si
existe algún H ∈ [N]ℵ0 de modo que todos sus subconjuntos de n elementos tengan el mismo
color, es decir π restringida a [H]ℵ0 ⊆ [N]ℵ0 es constante. En tal caso, diremos que [H]n es
monocromático. Con esta terminoloǵıa, el teorema de Ramsey puede enunciarse diciendo que
todo coloreo admite un conjunto monocromático. Todo lo anterior puede interpretarse usando
grafos, pero dibujar con tikz es una porqueŕıa el punto de vista geométrico no aporta demasiado
para nuestros propósitos.
Damos primero el caso particular para 2-coloreos, ya que el mismo resulta particularmente
instructivo.
Proposición 2.2. Sean r ∈ N, S ∈ [N]ℵ0 y π : [S]2 → r. Entonces existe H ∈ [S]ℵ0 tal que [H]2
es monocromático, es decir π restringida a [H]2 (notado π|[H]2) es constante.
Demostración. Sean S0 := S y a0 := mı́nS0. Definamos η0 : S0 \{a0} → r por η0(b) := π({a0, b}).
Por el principio del palomar (infinito), existe S1 ⊆ S0 \ {a0} infinito tal que η0|S1 es constante,
digamos con valor ρ0. Supongamos ahora que hemos encontrado Si ∈ [S]ℵ0 , ρi ∈ r para i ≤ k que
verifican las siguientes propiedades:
Si+1 ⊆ Si \ {ai} para todo i < k, donde ai := mı́nSi.
Dado i < k, si ηi : Si \ {ai} → r está definida por ηi(b) := π({ai, b}), entonces ηi|Si+1 es
constante con valor ρi.
Pongamos ak := mı́nSk, y definamos ηk : Sk \ {ak} → r por ηk(b) := π({ai, b}). Por el principio
del palomar, existe Sk+1 ⊆ Sk \ {ak} tal que ηk|Sk+1 es constante, digamos con valor ρk+1. Luego
el proceso inductivo puede continuar, y tenemos sucesiones (Si)i∈N y (ρi)i∈N.
8
Teoŕıa de Ramsey Pedro E. Marun
Notemos que, si n < k, entonces ak ∈ Sn+1, y por tanto
π({an, ak}) =: ηn(ak) = ρn.
Definamos η : {an : n ∈ N} → r como η(an) := ρn. Nuevamente por el principio del palomar,
existe H ⊆ {an : n ∈ N} ⊆ S infinito tal que η|H es constante, digamos con valor c. Afirmamos
que [H]2 es monocromático. En efecto, si {a, b} ∈ [H]2, existe i < j tales que a = ai y b = aj ,
con lo cual
π({a, b}) = π({ai, aj}) = ρi =: η(ai) = c,
pues ai ∈ H. Luego π|[H]2 ≡ c. �
Vamos ahora con el caso general:
Teorema 2.3 (Ramsey). Sean r, n ∈ N, S ∈ [N]ℵ0 . Entonces para todo coloreo π : [S]n → r
existe un conjunto H ∈ [S]ℵ0 que es homogéneo para π, es decir, [H]n es monocromático.
Demostración. La prueba es por inducción sobre n. Los casos n = 0, n = 1 son triviales. El caso
n = 2 es exactamente la proposición anterior. Supongamos entonces que vale para n ≥ 2.
Dado un coloreo π : [S]n+1 → r, para cada a ∈ S podemos definir un nuevo coloreo πa :
[S \ {a}]n → r via πa(x) := π(x ∪ {a}). Luego, si S′ ∈ [S]ℵ0 y a ∈ S′, por la hipótesis inductiva
existe HS
′
a ∈ [S \ {a}]ℵ0 tal que [HS
′
a ]
n es monocromático para πa. Construimos ahora sucesiones
a0 < a1 < . . . y S0 ⊇ S1 ⊇ . . . recursivamente como
S0 := S
a0 := mı́nS0
Si+1:= H
Si
ai
ai+1 := mı́n{a ∈ Si+1 : a < ai}.
El chiste de todo esto es que, para cada i ∈ N, el conjunto [{aj : j > i}]n es monocromático para
πai , simplemente porque {aj : j > i} ⊆ HSiai y por la definición de los H
Si
ai . Luego, si llamamos
τ(ai) a este color, esto define una función τ : {ai : i ∈ N} → r, a la cual podemos aplicarle el
principio del palomar para deducir la existencia de H ∈ [{ai : i ∈ N}]ℵ0 tal que τ |H es constante,
digamos con valor c. Notar que H ⊆ S0 = S. Ahora bien, si {xi : i < n + 1} ∈ [H]n+1, con
x0 < x1 < . . . < xn, entonces
π({x0, x1, . . . , xn}) = πx0({x1, . . . , xn}) = τ(x0) = c,
y por tanto π restringida a [H]n+1 es constante. �
Considerando que la demostración anterior fue por inducción en el tamaño de los subconjuntos de
N, es natural preguntarse si vale lo mismo para coloreos de [N]ℵ0 . Por motivos que serán claros
más adelante, será preferible reescribir todo lo anterior en términos de particiones de [N]n, en
lugar de funciones [N]n → r. Con este cambio de terminoloǵıa, el teorema de Ramsey puede
enunciarse aśı:
Teorema 2.4 (Ramsey). Sean n, r ∈ N. Si [N]n =
⊔
i<n Pi (donde t quiere decir que los Pi son
disjuntos dos a dos), entonces existe H ∈ [N]ℵ0 tal que [H]n ⊆ Pj para algún j < r.
9
Teoŕıa de Ramsey Pedro E. Marun
Es obvio que esta versión es equivalente a la anterior, pues toda suryección π : [N]n → r induce
una partición de [N]n en r conjuntos, y viceversa.
Con esta terminoloǵıa, la pregunta de antes adquiere la siguiente forma: si [N]ℵ0 =
⊔
i<k Pi, ¿existe
H ∈ [N]ℵ0 tal que [H]ℵ0 ⊆ Pi para algún i < k? La respuesta a esto es, desafortunadamente,
no:
Ejemplo 2.5. Como
∣∣[N]ℵ0 ∣∣ = 2ℵ0 (pues [N]<N es numerable), podemos enumerar los subconjun-
tos infinitos de N como [N]ℵ0 = {Hξ : ξ < 2ℵ0}. Procediendo por recursión transfinita, podemos
encontrar Aξ, Bξ ∈ [N]ℵ0 para ξ < 2ℵ0 todos distintos entre si tales que Aξ ⊆ Bξ ⊆ Hξ. En
efecto, supongamos que hemos elegido Aξ, Bξ para ξ < η, donde η < 2
ℵ0 . Como Hη es infinito,∣∣[Hη]ℵ0 ∣∣ = 2ℵ0 , y por tanto el conjunto
[Hη]
ℵ0 \ ({Aξ : ξ < η} ∪ {Bξ : ξ < η})
es infinito (de hecho tiene exactamente 2ℵ0 elementos), de modo que en particular tiene 2 elementos
distintos, Aη 6= Bη.
Pongamos P0 := {Aξ : ξ < 2ℵ0} y P1 := [N]ℵ0 \P0. Entonces, si H ∈ [N]ℵ0 es cualquiera, existe un
ξ < 2ℵ0 tal que H = Hξ, y por tanto Aξ ∈ P1 ∩ [H]ℵ0 y Bξ ∈ P1 ∩ [H]ℵ0 , con lo cual [H]ℵ0 6⊆ P0
y [H]ℵ0 6⊆ P1.
Sin embargo, no todo está perdido. La construcción anterior es tan estrafalaria, que podŕıamos
pensar que el teorema de Ramsey vale si los Pi de la partición son suficientemente agradables. El
asunto es hacer precisa la noción de “agradable”.
Definición 2.6. Un espacio topológico (X, τ) se dice polaco si es completamente metrizable
y separable. En otras palabras, su topoloǵıa está dada por una métrica d, con la cual (X, d) es
completo y separable. ♣
Por ejemplo, cualquier Banach es polaco. Además, tenemos una forma de construir nuevos espacios
polacos:
Lema 2.7. Sean (Xn, τn) espacios polacos, n ∈ N. Entonces el producto
∏
nXn es polaco con la
topoloǵıa producto.
Demostración. Elijamos para cada n una métrica dn en Xn compatible con τn. Definimos, para
x, y ∈ X =
∏
n∈NXn,
d(x, y) :=
∑
n∈N
2−n
dn(x(n), y(n))
1 + dn(x(n), y(n))
.
Es fácil ver que d es una métrica en X (para la desigualdad triangular, usar que 0 ≤ t 7→ t1+t
es subaditiva), y una apelación al teorema de la convergencia dominada muestra que, dada una
sucesión (xk) en X, xk
k→∞−−−−→ x con la métrica d si y sólo si xk(n)
k→∞−−−−→ x(n) en Xn para todo n.
Sea τd la topoloǵıa generada por esta métrica, y τ la topoloǵıa producto. Afirmamos que τd = τ :
⊇) Sean ε > 0 y x ∈ X. Probaremos que el entorno básico U := {y ∈ X : d(x, y) < ε} es
abierto con la topoloǵıa producto. Para ello, elijamos N ∈ N tal que 21−N < ε/2. Pongamos
Vi := {p ∈ Xi : di(p, x(i)) < ε/(2N)} para i < N , y consideremos el conjunto
W := V0 × . . . VN−1 ×
∏
n≥N
Xn,
10
Teoŕıa de Ramsey Pedro E. Marun
el cual es un abierto básico en τ . Ahora bien, si y ∈W , entonces
d(x, y) =
∑
n<N
2−n
dn(x(n), y(n))
1 + dn(x(n), y(n))
+
∑
n≥N
2−n
dn(x(n), y(n))
1 + dn(x(n), y(n))
≤
∑
n<N
dn((x(n), y(n)) +
∑
k≥N
2−n
<
(∑
n<N
ε
2N
)
+ 2−N+1
<
ε
2
+
ε
2
= ε,
con lo cual W ⊆ U , y entonces U es abierto en τ .
⊇) Como la topoloǵıa producto es la topoloǵıa más gruesa que hace continuas a las proyecciones
canónicas, pasa probar que, para cada i ∈ N, πi : (X, τd)→ (Xi, di) es continua. Ahora bien, si
(xk) es una sucesión en X, y xk → x ∈ X cuando k →∞, entonces por lo dicho anteriormente
xn(i)→ x(i) cuando k →∞, es decir, πi(xk)→ πi(x). Luego, πi es secuencialmente continua y,
como (X, d) es un espacio métrico, πi es continua con la métrica d.
La Cauchycidad es fácil, ya que si (xk) es de Cauchy en X, entonces, como di(xk(i), xl(i)) <
Cid(xk, xl) para alguna constante Ci > 0 que depende de i, la sucesión (xk(i))k∈N es de Cauchy
en Xi, y por tanto converge a algún elemento que hábilmente llamaremos x(i). Pero entonces
xk(i)→ x(i) para todo i, aśı que xk → x en el producto.
La separabilidad puede probarse del siguiente modo. Fijemos un elemento z ∈ X, y tomemos
subconjuntos densos Di ⊆ Xi con |Di| ≤ ℵ0. Definamos:
D := {x ∈ X : ∃N [x(i) ∈ Di si i < N ∧ x(i) = z(i) si i ≥ N ]},
que también puede escribirse como
D =
⋃
N
D0 × · · · ×DN−1 × ∏
i≥N
{z(i)}
 .
Ahora bien, para cada N fijo el conjunto D0 × · · · ×DN−1 ×
∏
i≥N{zi} tiene cardinalidad a lo
sumo ℵN0 = ℵ0, con lo cual |D| ≤ ℵ0ℵ0 = ℵ0. Completamos la demostración mostrando que D
es denso en X. De hecho, basta repasar la prueba de que τd ⊆ τ , notando simplemente que,
como cada Di es denso, entonces (en la notación de la prueba), podemos tomar un y ∈W ∩D, y
entonces el argumento de antes da d(x, y) < ε. �
Podemos ahora dar una estructura de espacio polaco a [N]ℵ0 . En efecto, comencemos notando
que el conjunto de partes P(N) se identifica con 2N mandando cada subconjunto en su función
caracteŕıstica. Ahora bien, 2 = {0, 1} es polaco con la topoloǵıa (métrica) discreta, de modo que
2N =
∏
i∈N 2 lo es. Más aún, por Tychonoff es compacto con esta topoloǵıa (métrica). Por otra
parte,
x ∈ [N]ℵ0 ⇐⇒ ∀n ∈ N ∃k > n(k ∈ x),
es decir,
[N]ℵ0 =
⋂
n∈N
⋃
k>n
{x ∈ 2N : x(k) = 1}.
11
La topoloǵıa de Ellentuck Pedro E. Marun
Luego, como {x ∈ 2N : x(k) = 1} = π−1k ({1}) es abierto en 2ℵ0 , entonces [N]ℵ0 es polaco con la
topoloǵıa relativa, puesto que
Teorema 2.8 (Alexandrov). Si X es un espacio tológico completamente metrizable y G ⊆ X es
de clase Gδ, entonces G con la topoloǵıa relativa es completamente metrizable. En particular, si
X es polaco, G también lo es.
Demostración. Fijemos una métrica acotada5 d compatible con la topoloǵıa de X. Primero
probaremos el resultado para G abierto. Sea f : G→ X × R definida por
f(x) :=
(
x,
1
d(x,X \H)
)
(x ∈ G).
Claramente f es inyectiva y continua. Más aún, como f−1 = πY |G (siendo πY (x, y) = x), f−1 es
continua y f es un homeo con su imagen f(G), la cual es cerrada en X×R. En efecto, supongamos
f(xn)→ (x, y). En particular, xn → x, con lo cual
y = ĺım
n
1
d(xn, X \G)
=
1
d(x,X \G)
,
y por tanto (x, y) = f(x) ∈ f(G).
Tenemos entonces que G es homeomorfo a f(G), que por ser cerrado en X ×R, resulta completa-
mente metrizable. Luego G es completamente metrizable.
Ahora vamos con el caso general G =
⋂
Gn, donde cada Gn es abierto en X. Sea f : G→ X×Rℵ0
definida por
f(x) =
(
x,
1
d(x,X \G0)
,
1
d(x,X \G1)
, . . .
)
(x ∈ G).
Por el mismo razonamiento de antes, f es un embedding de G en un cerrado de X ×Rℵ0 , lo cual
completa la prueba. �
Ya tenemos todo el material necesario para definir rigurosamente la palabra “agradable”:
Teorema 2.9 (Galvin-Prikry). Supongamos que [N]ℵ0 = P0 t · · · t Pk−1, donde cada Pi es de
Borel6 con la topoloǵıa de [N]ℵ0 . Entonces existe H ∈ [N]ℵ0 tal que [H]ℵ0 ⊆ Pi para algún i < k.
Observación 2.10. El análogo para particiones infinitas (osea [N]ℵ0 =
⊔
i∈N Pi) es rotundamente
falso. Basta considerar el ejemplo Pi := {A ∈ [N]ℵ0 : mı́n(A) = i}. N
La prueba del teorema de Galvin-Prikry pasa por definir una nueva topoloǵıa en [N]ℵ0 , en la cual
las propiedades combinatorias tipo Ramsey equivalen a ciertas propiedades topológicas. Hacia
allá vamos.
3. La topoloǵıa de Ellentuck
Utilizaremos letras minúsculas a, b, c, . . . para subconjuntos finitos de N, y letras mayúsculas
A,B,C, . . . para subconjuntos infinitos de N. Escribimos
a ≺ A ⇐⇒ máx(a) < mı́n(A).
5Si d es compatible con la topoloǵıa de X, la métrica d
1+d
también lo es.
6O sea, pertenece a la menor σ-álgebra generada por los abiertos de [N]ℵ0 .
12
La topoloǵıa de Ellentuck Pedro E. Marun
Notar que si a ≺ A, entonces en particular a ∩A = ∅. Dados a ≺ A, definimos:
[a,A] :=
{
X ∈ [N]ℵ0 : a ⊆ X ⊆ a ∪A
}
.
Esta definición un tanto extraña está motivada por el forcing de Mathias, que se usa para
construir modelos donde valen ciertas desigualdades entre cardinales de subconjuntos de R.
El lector interesado puede consultar [4]. Cabe destacar que [∅, A] = [A]ℵ0 , donde definimos
máx(∅) = 0 (también se puede llegar a esto escribiendo la definición de máx con un condicional y
viendo que el antecedente es falso).
Definición 3.1. La topoloǵıa de Ellentuck en [N]ℵ0 está generada por la familia
{[a,A] : a ≺ A},
siguiendo las convenciones notacionales mencionada antes. ♣
Fijado a ⊆ N , existen 2ℵ0 A ∈ [N]ℵ0 , de modo que la topoloǵıa de Ellentuck tiene tamaño
2ℵ0 . Posee además varias propiedades extrañas; no es metrizable ni compacta, más aún, no es
normal (ver [6]), pero śı es de Baire7 (ver [8]), aunque esto no será relevante para nuestros
propósitos.
Lema 3.2. La topoloǵıa de Ellentuck es más fina que la topoloǵıa usual de [N]ℵ0 .
Demostración. Usaremos el siguiente hecho general: si (X, τ) es un espacio topológicoo, A ⊆ X,
y S es una subbase para τ , entonces S |A := {S ∩A : S ∈ S } es una subbase para la topoloǵıa
τ |A := {A ∩ U : U ∈ τ} que A hereda del ambiente. La prueba es trivial, y la omitimos.
En vista del párrafo anterior, basta tomar un elemento S de la subbase de la topoloǵıa usual de
2N, y probar que S ∩ [N]ℵ0 es abierto con la topoloǵıa de Ellentuck. Pero tal S es de la forma
π−1i (s) para algún i ∈ N y algún s ⊆ 2.
Si s = ∅, entonces es trivial.
Si s = 2, ı́dem.
Si s = {0}, entonces π−1i (s) ∩ [N]ℵ0 = {A ∈ [N]ℵ0 : i 6∈ S} = [∅,N \ {i}].
Si s = {1}, entonces p−1i (s) ∩ [N]ℵ0){A ∈ [N]ℵ0 : i ∈ A} = [{i},N]. �
Tenemos también la siguiente pseudo monotońıa entre los miembros de la subbase de la topoloǵıa
de Ellentuck:
Lema 3.3. Sean a ≺ A y b ≺ B. Entonces [a,A] ⊆ [b, B] si y sólo si valen las siguientes
condiciones:
(i) a ⊇ b.
(ii) a \ b ⊆ B.
(iii) A ⊆ B.
7Un espacio topológico (X, τ) se dice de Baire si la intersección de una cantidad numerable de abiertos densos
en densa.
13
La topoloǵıa de Ellentuck Pedro E. Marun
Demostración. ⇒) Pongamos, para n ∈ N, Xn := a ∪ [A \ (n + 1)] = a ∪ {i ∈ A : i > n}.
Claramente a ⊆ Xn ⊆ a ∪ A, de modo que Xn ∈ [a,A], y entonces Xn ∈ [b, B], por hipótesis.
Luego, por definición de [b, B], b ⊆ Xn ⊆ b ∪B para todo n ∈ N, y por tanto
b ⊆
⋂
n
Xn = a ∪
⋂
n
A \ (n+ 1) = a ∪ ∅ = a,
lo que prueba (i).
Por otra parte, también tenemos a =
⋂
nXn ⊆ b ∪B, y entonces
a \ b ⊆ (b ∪B) \ b = ∅ ∪ (B \ b) ⊆ B,
probando (ii).
Para ver (iii), comenzar notando que a ∪ A ∈ [a,A] ⊆ [b, B], con lo cual b ⊆ a ∪ A ⊆ b ∪ B.
Además, a ≺ A implica en particular que a ∩A = ∅, y entonces tenemos
A = (a ∪A) \ a ⊆ (b ∪B) \ a = (b \ a) ∪ (B \ a) ⊆ B.
⇐) Sea X ∈ [a,A]. Entonces b ⊆ a ⊆ X ⊆ a ∪A = b ∪ (a \ b) ∪A ⊆ b ∪B. �
Ahora una nueva versión de un viejo conocido:
Definición 3.4. Un conjunto X ⊆ [N]ℵ0 se dice Ramsey si existe un A ∈ [N]ℵ0 tal que [∅, A] ⊆ X
o [∅, A] ⊆ Xc(= [N]ℵ0 \X). Diremos que X es completamente Ramsey si para todo a ≺ A
existe B ⊆ A con [a,B] ⊆ X o [a,B] ⊆ Xc. ♣
Antes de continuar, necesitamos otra noción topológica:
Definición 3.5. Sea (X, τ) un espacio topológico. Un conjunto A ⊆ X se dice denso en ninguna
parte (o nunca denso) si su clausura tiene interior vaćıo, en śımbolos int(A) = ∅. Diremos
que E ⊆ X es magro (o de la primera categoŕıa) si está incluido en una unión numerable de
conjuntos nunca densos. En otro caso, diremos que es de la segunda categoŕıa. Un conjunto se
dirá comagro si su complemento es magro. Finalmente, diremos que B ⊆ X tiene la propiedad
de Baire si existe un abierto U ∈ τ tal que B∆U es magro. ♣
Informalmente, los conjuntos magros son topológicamente pequeños, y un conjunto tiene la
propiedad de Baire si es “casi” abierto. La situación es similar a lo que sucede en teoŕıa de la
medida, donde dos conjuntos son casi iguales si su diferencia simétrica tiene medida cero. Esto
equivale a cocientar la σ-álgebra de Boole de conjuntos medibles por el σ-ideal de conjuntos de
medida nula. Acá pasa lo mismo:
Definición 3.6. Un ideal de subconjuntos de X es un conjunto I ⊆ P(X) tal que:
X 6∈ I, ∅ ∈ I
Si A,B ∈ I entonces A ∪B ∈ I.
Si A ∈ I y E ⊆ I, entonces E ∈ I.
Diremos que I es un σ-ideal si es cerrado por uniones numerables, es decir, si An ∈ I para n ∈ N,
entonces
⋃
nAn ∈ I.
Si A,B ⊆ X, anotaremos A =I B cuando A∆B ∈ I, es decir, cuando la diferencia simétrica es
“chiquita” en el sentido del ideal I. ♣
14
La topoloǵıa de Ellentuck Pedro E. Marun
No debeŕıa ser ninguna sorpresa que
Lema 3.7. Si I es un ideal, entonces =I es una relación de equivalencia en X .
Demostración. Si A ⊆ X, A∆A = ∅ ∈ I, de modo que A =I A, es decir, es reflexiva. Si A =I B,
entonces B∆A = A∆B ∈ I, o sea B =I A y entonces =I es simétrica. Para la transitividad,
supongamos A =I B y B =I C. Vamos a usar el hecho (sorprendentemente útil) de que (P(X),∆)
es un grupo (abeliano) con neutro ∅, y donde cada elemento es su propio inverso. La única propiedad
no trivial es la asociatividad, que es una cuenta fácil pero engorrosa, aśı que la omitimos. Volviendo
al lema, tenemos, usando la estructura de grupo, que A∆C = (A∆B)∆(B∆C), de modo que
basta probar que I es cerrado por ∆. Pero, si R,S ∈ I, entonces R∆S = (R \ S) ∪ (S \R) ∈ I,
pues R \ S ⊆ R y S \R ⊆ S. �
Ya mencionamos que los conjuntos de medida nula en un espacio de medida forman un σ-ideal.
Acá hay otro ejemplo:
Lema 3.8. Sea (X, τ) un espacio topológico. Entonces el conjunto I = {A ⊆ X : A es magro}
es un σ-ideal. La relación =I en este caso se anota =
∗.
Demostración. Como int(cl(∅)) = int(∅) = ∅, entonces ∅ ∈ I. Además, cl(int(X)) = int(X) =
X 6= ∅, de modo que X 6∈ I. Es obvio que un subconjunto de un conjunto magro es magro,
y si Ak ⊆
⋃
n∈NM
k
n con M
k
n magro, entonces
⋃
k Ak ⊆
⋃
{Mkn : (k, n) ∈ N × N}, y N × N es
numerable. �
De hecho vale algo más fuerte:
Proposición 3.9. Sea (X, τ) un espacio topológico. La colección de subconjuntos de X que tienen
la propiedad de Baire es una σ-álgebra en X. Más aún, es la menor σ-álgebra que contiene a
todos los abiertos y a todos los conjuntos magros.
Demostración. Comencemos notando que, si U es abierto, entonces U \ U es cerrado y nunca
denso, pues si V ⊆ U \ U es abierto y no vaćıo, entonces V ∩ U 6= ∅, de modo que V ∩ U 6= ∅,
contradiciendo V ⊆ U \ U . Luego U \ U es magro para todo abierto U . Tomando complementos,
vemos que F \ int(F ) es cerrado y nunca denso (aśı que magro) para todo cerrado F . Luego
U =∗ U y F =∗ int(F ).
Tomemos ahora A con la propiedad de Baire, digamos A =∗ U para algún abierto U . Luego8
X \ A =∗ X \ U =∗ int(X \ U) por el párrafo anterior, y entonces X \ A tiene la propiedad de
Baire. Por otra parte, si An tiene la propiedad de Baire para cada n ∈ N, digamos An =∗ Un con
Un abierto, entonces
⋃
nAn =
∗ ⋃
n Un, que es abierto, y por tanto
⋃
nAn tiene la propiedad de
Baire. Hemos usado que los subconjuntos de conjuntos magros son magros, junto la siguiente
propiedad, que vale en general:(⋃
α
Aα
)
∆
(⋃
α
Bα
)
⊆
⋃
α
Aα∆Bα.
Para verlo, tomar x pertenecienteal miembro izquierdo. Supongamos x ∈
⋃
αAα pero x 6∈
⋃
αBα.
Entonces x ∈ Aβ para algún β, y por De Morgan x 6∈ Bβ , de modo que x ∈ Aβ ∪Bβ , con lo cual
x está en el lado derecho. El caso x ∈
⋃
αBα y x 6∈
⋃
αAα es absolutamente simétrico.
8Sale de que: Ac∆Bc := (Ac \Bc) ∪ (Bc \Ac) = (Ac ∩B) ∪ (Bc ∩A) = (B \A) ∪ (A \B) =: A∆B, donde los
complementos se toman con respecto a X.
15
La topoloǵıa de Ellentuck Pedro E. Marun
Tenemos entonces que los conjuntos con la propiedad de Baire conforman una σ-álgebra. Además,
si U es abierto y Mes magro, entonces U∆U = ∅ y M∆∅ = M , de modo que U y M tienen
la propiedad de Baire. La segunda parte de la proposición se sigue de la primera, pues toda
σ-álgebra es cerrada por diferencias simétricas. �
Para que el lector no pierda la fé, enunciamos el resultado principal de esta sección:
Teorema 3.10 (Ellentuck). Sea X ⊆ [N]ℵ0 . Entonces X es completamente Ramsey si y sólo si
X tiene la propiedad de Baire en la topoloǵıa de Ellentuck.
Esto da una caracterización topológica de una propiedad a priori combinatoria (aunque un tanto
delirante). La prueba del teorema de Ellentuck depende de una serie de lemas, que damos a
continuación. En todo lo que sigue, los términos topológicos se refieren a la topoloǵıa de Ellentuck,
salvo aviso de lo contrario.
Lema 3.11. Si U es abierto en [N]ℵ0 , entonces U es completamente Ramsey.
Demostración. Fijemos un abierto U . Dados a ≺ A, diremos que [a,A] es bueno si existe un
B ⊆ A tal que [a,B] ⊆ U . Diremos que [a,A] es malo si no es bueno, y que es muy malo si
para todo n ∈ A, [a ∪ {n}, A \ (n+ 1)] es malo9. Afirmamos que:
Afirmación 1. Si [a,A] es malo [resp. muy malo] y B ⊆ A, entonces [a,B] es malo [resp. muy
malo].
Demostración de la afirmación 1. Si [a,B] no fuese malo, entonces seŕıa bueno, y existiŕıa C ⊆ B
con [a,C] ⊆ U . Por el lema 3.3, [a,C] ⊆ [a,B] ⊆ [a,A], pues C ⊆ B ⊆ A, de modo que [a,A] es
bueno, lo cual es una contradicción.
Supongamos que [a,B] no es muy malo. Entonces existe un n ∈ B tal que [a ∪ {n}, B \ (n+ 1)]
no es malo, y por la primera parte [a ∪ {n}, A \ {n+ 1}] tampoco lo es, lo cual contradice que
[a,A] sea muy malo, pues n ∈ B ⊆ A. �
Afirmación 2. Si [a,A] es malo, entonces existe B ⊆ A con [a,B] muy malo.
Demostración de la afirmación 2. Si no fuese aśı, existiŕıa un n0 ∈ A con [a ∪ {n0}, A \ (n0 + 1)]
bueno, de modo que hay un B0 ⊆ A\(n0+1) tal que [a,B0] ⊆ U . Ahora, por la afirmación 1, [a,B0]
no es muy malo, aśı que existe n1 ∈ B0 (aśı que en particular n1 > n0) con [a∪{n1}, B0 \ (n1 +1)]
bueno, por lo que hay un B1 ⊆ B0 \ (n1 + 1) tal que [a ∪ {n1}, B1] ⊆ U . Supongamos que hemos
elegido Bi y ni para i ≤ k tales que,
ni < ni+1
ni+1 ∈ Bi
Bi+1 ⊆ Bi \ (ni+1 + 1)
[a ∪ {ni+1}, Bi+1] ⊆ U ,
para todo i < k. Por la hipótesis, [a,Bk] no es muy malo, aśı que hay un nk+1 ∈ Bk tal que el
conjunto [a∪{nk+1}, Bk\(nk+1+1)] es bueno, y en particular nk+1 > nk, pues nk+1 ∈ Bk ⊆ Bk−1\
(nk + 1). Por definición de bueno, existe Bk+1 ⊆ Bk \ (nk+1 + 1) tal que [a ∪ {nk+1}, Bk+1] ⊆ U ,
y entonces el proceso recursivo puede continuar.
9La notación es económica, aunque un tanto extraña. Recordar que n+ 1 = {0, 1, . . . , n}, aśı que A \ (n+ 1) =
{m ∈ A : m > n}.
16
La topoloǵıa de Ellentuck Pedro E. Marun
Habiendo construido todos los ni y Bi, pongamos B := {ni : i ∈ N} ⊆ B y tomemos S ∈ [a,B]. Si
j = mı́n{i : ni ∈ S}, entonces S ⊆ {nj}∪{ni : i > j} ⊆ {nj}∪Bj , con lo cual S ∈ [a∪{nj}, Bj ] ⊆
U . Luego, como S era arbitrario, [a,B] ⊆ U , aśı que [a,A] es bueno, lo cual es contrario a la
hipótesis. �
Afirmación 3. Supongamos que {ni : i < k} ⊆ N y que [a ∪ b, A] es muy malo para todo
b ⊆ {ni : i < k}. Entonces, dado n ∈ A, existe un B ⊆ A tal que [a∪ b, B] es muy malo para todo
b ⊆ {ni : i < k} ∪ {n}.
Demostración de la afirmación 3. Construiremos B en el último paso de un proceso recursivo
(obviamente finito). Consideremos una enumeración {bi : i < 2k} del conjunto de partes P({ni :
i < k}). Por hipótesis, [a ∪ b0, A] es muy malo, aśı que en particular [a ∪ b0 ∪ {n}, A \ (n+ 1)]
es malo, y por la afirmación 2 existe un B0 ⊆ A \ (n + 1) tal que [a ∪ b0 ∪ {n}, B1] es muy
malo. Notar que B0 ⊆ A \ (n+ 1), aśı que B0 ∪ {n} ⊆ A. Luego, como [a ∪ b1, A] es muy malo,
[a ∪ b1, B0 ∪ {n}] también lo es (por la afirmación 1), y entonces [a ∪ b1 ∪ {n}, B0] es malo, de
modo que, por la afirmación 2, existe B1 ⊆ B0 tal que [a∪b1∪{n}, B1] es muy malo. Supongamos
en general que tenemos Bi para i ≤ j con Bi+1 ⊆ Bi y [a ∪ bi ∪ {n}, Bi] muy malo. Entonces,
Bj ⊆ . . . ⊆ B0 ⊆ A \ (n + 1), aśı que Bj ∪ {n} ⊆ A, y por tanto [a ∪ bj , Bj ∪ {n}] es muy
malo, y en particular [a ∪ bj ∪ {n}, Bj ] es malo. Luego, por la afirmación 2, existe un Bj+1 ⊆ Bj
con [a ∪ bj ∪ {n}, Bj+1] es muy malo, y el proceso puede continuar. SeaB := B2k−1 el conjunto
construido en el último paso. Si ahora b ⊆ {ni : i < k} ∪ {n}, entonces hay dos posibilidades:
Si n 6∈ b, entonces [a ∪ b, A] es muy malo, y como B ⊆ A, [a ∪ b, B] también lo es.
Si n ∈ b, entonces b = b′ ∪ {n} para algún b′ ⊆ {n0, . . . , nk−1}, digamos b′ = bi. Pero
entonces [a∪ bi ∪ {n}, Bi] es muy malo por la construcción, y nuevamente por la afirmación
1, [a ∪ b, B] también lo es, pues B ⊆ Bi.
Luego B hace lo que queremos. �
Volviendo a la prueba del lema, sea [a,A] dado. Si es bueno, entonces ya está. Asumamos entonces
que es malo; encontraremos [a,B] ⊆ U c. Para ello, usar la afirmación 2 para hallar un B0 ⊆ A
tal que [a,B0] es muy malo. Supongamos que hemos encontrado Bi para i ≤ k tales que, si
ni := mı́nBi e i < k,
Bi+1 ⊆ Bi.
Para todo b ⊆ {n0, . . . , ni−1}, [a ∪ b, Bi] es muy malo.
Aplicando la afirmación 3, existe un Bk+1 ⊆ Bk tal que para todo b ⊆ {n0, . . . , nk}, [a ∪ b, Bk]
es muy malo, lo cual completa esta (nueva) construcción recursiva. Notar que en particular
[a ∪ b, Bi \ (ni + 1)] es malo para todo b ⊆ {n0, . . . , ni}. Pongamos B := {ni : i ∈ N}, y notemos
que [a,B] ⊆ U c. En efecto, si [a,B] ∩ U 6= ∅, entonces, como U es abierto, existe [a′, B′] ⊆ [a,B]
tal que [a′, B′] ⊆ U . Aplicando el lema 3.3, tenemos que a ⊆ a′ y a′ \ a ⊆ B, de modo que existe
i ∈ N y b ⊆ {n0, . . . , ni} tal que a′ = a ∪ b. Más aún, por el mismo lema, B′ ⊆ B, y entonces
B′ \ (ni + 1) ⊆ B \ (ni + 1), de modo que podemos apelar una vez más al lema 3.3 para concluir
que [a ∪ b, B′ \ (ni + 1)] ⊆ [a′, B′] ⊆ U . Pero entonces [a ∪ b, B \ (ni + 1)] es bueno, lo cual
contradice la construcción de B. Luego [a,B] ⊆ U c, lo que completa la prueba. �
Lema 3.12. Si X es nunca denso, entonces para todo a ≺ A existe B ⊆ A con [a,B] ⊆ Xc.
Demostración. Es inmediato de la definición que un conjunto es completamente Ramsey si y
sólo si su complemento lo es. Luego, por el lema anterior, X es completamente Ramsey, aśı que
17
La topoloǵıa de Ellentuck Pedro E. Marun
existe B ⊆ A tal que [a,B] ⊆ (X)c o [a,B] ⊆ X, y, como int(X) = ∅, la segunda alternativa es
imposible. �
Ya casi estamos:
Lema 3.13. Si X es magro, entonces para todo a ≺ A existe B ⊆ A tal que [a,B] ⊆ Xc.
Demostración. La prueba utiliza nociones de álgebra homológica. No, mentira, es otra construcción
recursiva. Si X =
⋃
nXn, con Xn nunca denso, definamos a0 := a y elijamos, usando el lema
anterior, A0 ⊆ A tal que [a0, A0] ⊆ Xc0 . Supongamos que hemos elegido Ai para i ≤ k de modo
que, si ni = mı́nAi, entonces Ai+1 ⊆ Ai \ (ni + 1) y [a∪ b, Ai] ⊆ Xci para todo b ⊆ {n0, . . . , ni−1}.
Notemos que, dado cualquier b ⊆ {n0, . . . , nk}, a ∪ b ≺ Ak \ (nk + 1) por la hipótesis inductiva
y la definición de nk, aśı que podemos aplicar el lema anterior para deducir la existencia de
un B ⊆ Ak \ (nk + 1) con [a,B] ⊆ Ak \ (nk + 1). Si ahora consideramos una enumeración
{bi : i < 2k+1} de P({n0, . . . , nk}), podemos iterar lo anterior para encontrar B0 ⊆ Ak \ (nk + 1)
con [a ∪ b0, B0] ⊆ Xck+1. Por el mismo motivo, existe B1 ⊆ B0 con [a ∪ b1, B1] ⊆ Xck+1, y
repitiendo esto 2k+1 veces encontramos Bj tal que Bj+1 ⊆ Bj y [a ∪ bj , Bj ] ⊆ Xck+1. Luego, siponemos Ak+1 := B
2k+1−1, tenemos del viejo lema 3.3 que [a ∪ bj , Ak+1] ⊆ [a ∪ bj , Bj ] ⊆ Xck+1
para todo j < 2k, lo cual completa la construcción de los Ai.
Pongamos B = {ni : i ∈ N} (en la notación del párrafo anterior), y sea S ∈ [a,B]. Fijado k ∈ N,
probaremos S 6∈ Xk. El caso k = 0 es trivial porque [a,B] ⊆ [a,A0] ⊆ Xc0 , aśı que suponemos
k > 1. Como a ⊆ S ⊆ a ∪B y ni 6∈ Ak para i > k, tenemos que b := S ∩Ak−1 ⊆ {n0, . . . , nk−1 y
a∪ b ⊆ S ⊆ (a∪ b)∪Ak, y entonces S ∈ [a∪ b, Ak] ⊆ Xck, por lo que S 6∈ Xk. Luego, como k ∈ N
era arbitrario, S 6∈ X, y como S ∈ [a,B] era cualquiera, [a,B] ⊆ Xc, como queŕıamos probar. �
Ahora śı:
Demostración del teorema de Ellentuck. Una de las implicaciones no usa ninguno de los lemas,
aśı que empecemos por esa. Si X es completamente Ramsey, afirmamos que Y = X \ int(X)
es nunca denso (y por tanto X tiene la propiedad de Baire). En efecto, si no fuese aśı, existen
a ≺ A con [a,A] ⊆ Y . Como X es completamente Ramsey, existe B ⊆ A tal que [a,B] ⊆ X o
[a,B] ⊆ Xc. Como [a,B] ⊆ [a,A] ⊆ Y , en particular [a,B] ∩ Y 6= ∅, aśı que [a,B] ∩X 6= ∅, y
entonces deducimos [a,B] ⊆ X. Más aún, como [a,B] es abierto, [a,B] ⊆ int(X), con lo cual
[a,B] ∩ Y = ∅, lo cual es una contradicción.
Para la rećıproca, supongamos que X tiene la propiedad de Baire, aśı que existe un abierto U
tal que Y := X∆U es magro, y entonces U∆Y = U∆(U∆X) = (U∆U)∆X = X. Dados a ≺ A,
apliquemos el lema 3.13 para deducir la existencia de B ⊆ A con [a,B] ⊆ Y c. Además, como
U es abierto, es completamente Ramsey (lema 3.11), por lo que existe C ⊆ B con [a,C] ⊆ U o
[a,C] ⊆ U c. En el primer caso, como [a,C] ⊆ Y c, entonces [a,C] ⊆ U ∩ Y c ⊆ U∆Y = X. En el
segundo caso, [a,C] ⊆ U c ∩ Y c = (U ∪ Y )c ⊆ Xc. �
Veamos cómo usar esto para probar el teorema de Galvin-Prikry, mencionado al final de la sección
anterior. Para ello, requerimos un pequeño lema técnico:
Lema 3.14. Dado B ∈ [N]ℵ0 , sea f : N→ B la enumeración creciente de B, es decir, B = {f(i) :
i ∈ N} con f(i) < f(i+ 1). Entonces la función f∗ : 2N → 2B definida por f∗(x) = x ◦ f−1 es un
homeomorfismo. Además, la restricción (f∗)|[N]ℵ0 : [N]ℵ0 → [B]ℵ0 también es un homeomorfismo.
18
La topoloǵıa de Ellentuck Pedro E. Marun
Observación 3.15. La función f∗ corresponde a la asignación S 7→ f [S] v́ıa la identificación
natural 2X ∼= P(X), con X = N o B. Para ver esto último, simplemente notar que
(f∗(x))
−1
({1}) =
(
x ◦ f−1
)−1
({1}) = f
[
x−1({1})
]
.
Para el lector algebroso, f∗(x) puede definirse como la única flecha que hace conmutar el siguiente
diagrama:
N B
2 2.
f
x f∗(x)
La notación f∗ no es casual, pues f∗ es la imagen de f
−1 por el hom functor covariante Set(·, 2)
en la categoŕıa de conjuntos, algo totalmente inútil, pero que suena muy lindo. N
Demostración. Si definimos f∗ : 2B → 2N por f∗(x) = x ◦ f , entonces (f∗)−1 = f∗, pues
f∗(f∗(x)) = (f∗(x)) ◦ f = (x ◦ f−1) ◦ f = x, y análogamente para la otra composición. Tenemos
entonces que f∗ es invertible.
Notemos que f∗ es continua, pues si xk → x en 2N cuando k →∞, entonces para b ∈ B fijo,
(f∗(xk)) (b) = xk(f
−1(b)) −−−−→
k→∞
x(f−1(b)) = (f∗(x)) (b).
Luego, cada coordenada de f∗(xk) converge a la coordenada correspondiente de f∗(x), lo cual
prueba que f∗(xk) → f∗(x), y por lo tanto f∗ es continua. Más aún, como es una biyección
continua entre el compacto 2N (Tychonoff) y el Hausdorff 2B , f∗ es un homeomorfismo.
La segunda afirmación del lema se sigue de la primera, pues como f es biyectiva, f [S] es finito si
y sólo si S lo es, aśı que f∗
(
[N]ℵ0
)
= [B]ℵ0 , y la restricción de un homeo es un homeo (con su
imagen). �
Demostración del teorema de Galvin-Prikry. Comencemos con el caso k = 2, es decir [N]ℵ0 =
P0 t P1, con P0, P1 de Borel en la topoloǵıa usual de [N]ℵ0 . Por el lema 3.2, P0 es de Borel en
la topoloǵıa de Ellentuck, y por tanto tiene la propiedad de Baire (proposición 3.9), con lo cual
es completamente Ramsey por el teorema de Ellentuck. Se sigue que existe A ⊆ N infinito (en
śımbolos, A ∈ [N]ℵ0) con [∅, A] ⊆ P0 o [∅, A] ⊆ [N]ℵ0 \ P0 = P1. Pero [∅, A] = [A]ℵ0 , y tenemos el
caso k = 2.
Supongamos inductivamente que tenemos el teorema probado para k, y consideremos una partición
[N]ℵ0 = P0 t · · · t Pk. Si llamamos Q0 = P0 t · · · t Pk−1 y Q1 = Pk, los Qi son de Borel con
la topoloǵıa usual, son disjuntos y cumplen Q0 t Q1 = [N]ℵ0 , aśı que podemos aplicar el caso
del párrafo anterior para deducir que existe un B ∈ [N]ℵ0 con [B]ℵ0 ⊆ Q0 o [B]ℵ0 ⊆ Q1. En el
segundo caso, tenemos [B]ℵ0 ⊆ Pk, que es lo que queŕıamos, aśı que vamos a concentrarnos en
el primero. Si f∗ es como en el lema anterior, pongamos h = (f∗)
−1|[B]ℵ0 , para simplificar la
notación. Como h : [B]ℵ0 → [N]ℵ0 es un homeo, en particular es medible con inversa medible
(ambas con la σ-álgebra de Borel correspondiente). Tenemos entonces10
[N]ℵ0 = h
(
[B]ℵ0
)
⊆ h(Q0) = h(P0) t · · · t h(Pk−1) ⊆ [N]ℵ0 .
10La unión sigue siendo disjunta porque h es una biyección.
19
La prueba del teorema de Rosenthal Pedro E. Marun
Como Pi es Borel, h(Pi) también lo es, y podemos aplicar la hipótesis inductiva para deducir que
existe un C ∈ [N]ℵ0 tal que [C]ℵ0 ⊆ h(Pi) para algún i < k. Pero entonces
Pi = h
−1(h(Pi)) ⊇ h−1
(
[C]ℵ0
)
= f∗
(
[C]ℵ0
)
= [f(C)]ℵ0 ,
donde hemos usado la primera parte de la observación 3.15. Tomando A = f(C), estamos
hechos. �
4. La prueba del teorema de Rosenthal
En esta sección, vamos a usar toda la maquinaria que desarrollamos antes para demostrar el
teorema de Rosenthal 0.4. Recordemos que hay que probar que si (fn) una sucesión acotada `
∞(S)
para un conjunto arbitrario S. Entonces existe una subsucesión (fnk) tal que, o bien converge
puntualmente, o bien es equivalente a la base canónica de `1. A lo largo de toda esta sección, el
conjunto S y la sucesión acotada (fn) estarán fijos. Todos los escalares que se consideran son
reales (al menos hasta llegar a la generalización de Dor).
Definición 4.1. Dados A,B ⊆ S, diremos que el par (A,B) es disjunto si A ∩ B = ∅. Una
sucesión de pares disjuntos ((An, Bn)) se dice independiente si para todo par de conjuntos
finitos F,G ⊆ N con F ∩G = ∅ vale que⋂
n∈F
An ∩
⋂
n∈G
Bn 6= ∅. ♣
Lema 4.2. Dados racionales r < s, definimos
Ar,sn := {x ∈ S : fn(x) < r},
Br,sn := {x ∈ S : fn(x) > s}.
Si ((Ar,sn , B
r,s
n )) es independiente, entonces (fn) es equivalente a la base canónica de `
1.
Demostración. Fijados r y s, pongamos An = A
r,s
n y Bn = B
r,s
n para simplificar la notación.
Como (fn) es acotada, digamos ‖fn‖ ≤ b <∞ para todo n, entonces
∥∥∥∑n−1i=0 cifi∥∥∥∞ ≤ b∑n−1i=0 |ci|,
aśı que basta probar ∥∥∥∥∥
n−1∑
i=0
cifi
∥∥∥∥∥
∞
≥
(
s− r
2
) n−1∑
i=0
|ci|. (1)
Fijemos entonces n ∈ N y pongamos F = {i < n : ci ≥ 0} y G = {i < n : ci < 0}. Como ambos
son finitos, por independencia podemos elegir x ∈
⋂
i∈F Ai ∩
⋂
i∈GBi e y ∈
⋂
i∈GAi ∩
⋂
i∈F Bi.
Entonces, si i ∈ F , cifi(y) ≥ cis = |ci|s, y, si i ∈ G, cifi(y) ≥ cir = −|ci|r, con lo cual
c :=
∑
i<n
cifi(y) =
∑
i∈F
cifi(y) +
∑
i∈G
cifi(y) ≥
∑
i∈F
|ci|s−
∑
i∈G
|ci|r].
Análogamente,
d :=
∑
i<n
cifi(x) =
∑
i∈F
cifi(x) +
∑
i∈G
cifi(x) ≤
∑
i∈F
|ci|r −
∑
i∈G
|ci|s,
20
La prueba del teorema de Rosenthal Pedro E. Marun
y restando las dos desigualdades, tenemos que
c− d ≥ (s− r)
∑
i<n
|ci| (2)
Por otra parte,
2
∥∥∥∥∥
n−1∑
i=0
cifi
∥∥∥∥∥
∞
≥
∣∣∣∣∣
n−1∑
i=0
cifi(y)
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣
n−1∑
i=0
cifi(x)
∣∣∣∣∣
≥
n−1∑
i=0
cifi(y)−
n−1∑
i=0
cifi(x)
= c− d, (3)
donde hemos usado que |t| ≥ t y |t| ≥ −t para todo t ∈ R. Juntando (2) y (3), tenemos (1). �
Introduciremos ahora nuevos cuantificadores lógicos, muy utilizados en la teoŕıa descriptiva de
conjuntos para simplificar la escritura de algunas fórmulas lógicas:
Definición 4.3. Sea P (n) alguna propiedad11 que depende de n ∈ N. Definimos
∀∞nP (n) ⇐⇒ P (n) es verdadera para todo n ∈ N salvo finitos.
Equivalentemente, podemos decir ∀∞nP (n) ⇐⇒ ∃n∀k > nP (k). Por otra parte, escribimos
∃∞nP (n) ⇐⇒ P (n) es verdaderapara infinitos valores de n ∈ N.
En análoǵıa con ∀∞, vale que ∃∞nP (n) ⇐⇒ ∀n∃k > nP (k). Esto muestra, en particular, que
sigue valiendo la vieja regla para pasar la negación dentro del cuantificador:
¬∀∞nP (n) ⇐⇒ ∃∞n¬P (n). ♣
Definición 4.4. Diremos que usa sucesión ((An, Bn)) de pares disjuntos es convergente si
∀x ∈ S [∀∞n(x 6∈ An) ∨ ∀∞n(xn 6∈ Bn)] . ♣
La elección de terminoloǵıa está justificada por el siguiente lema, que usa la notación del lema
4.2:
Lema 4.5. Si para todo par de racionales r < s, ((Ar,sn , B
r,s
n )) es convergente, entonces (fn)
converge puntualmente.
Demostración. Si (fn(x)) no fuese convergente para algún x ∈ S, podŕıamos hallar r, s ∈ Q tales
que ĺım inf fn(x) < r < s < ĺım sup fn(x). Luego, x ∈ Ar,sn para infinitos valores de n, y x ∈ Br,sn
para infinitos valores de n, lo cual contradice la convergencia. �
Lema 4.6. Toda sucesión ((An, Bn)) de pares disjuntos contiene una subsucesión convergente o
una subsucesión independiente.
11Para evitar el misticismo asociado a la palabra “propiedad”, como vamos a querer considerar {n ∈ N : P (n)},
las “propiedades” no son más que los subconjuntos de N. En tal caso, negar es tomar el complemento en N.
21
La prueba del teorema de Rosenthal Pedro E. Marun
Demostración. Definamos P ⊆ [N]ℵ0 por
{ni : i ∈ N} ∈ P ⇐⇒ ∀k
⋂
i<k
i par
Ani ∩
⋂
i<k
i impar
Bni 6= ∅
 ,
donde ni < ni+1 para todo i ∈ N; es decir, consideramos la enumeración creciente del conjunto.
Afirmamos que P es cerrado (con la topoloǵıa usual). Para verlo, tomemos xl ∈ P tal que
xl → x ∈ [N]ℵ0 , y fijemos k ∈ N. Elijamos l ∈ N tal que x(i) = xl(i) para todo i < k. Escribamos
y̌ : N→ y para la enumeración creciente de y ∈ [N]ℵ0 . Entonces:⋂
i<k
i par
Ax̌(i) ∩
⋂
i<k
i impar
Bx̌(i) =
⋂
i<k
i par
Ax̌l(i) ∩
⋂
i<k
i impar
Bx̌l(i) 6= ∅
pues xl ∈ P . Luego, como k ∈ N era arbitrario, x ∈ P .
Como P es cerrado, en particular es de Borel, y podemos aplicar el teorema de Galvin-Prikry
para deducir la existencia de H ⊆ N infinito tal que [H]ℵ0 ⊆ P o [H]ℵ0 ⊆ P c. Consideramos los
dos casos por separado:
[H]ℵ0 ⊆ P . Pongamos H = {mi : i ∈ N}, con mi < mi+1. Afirmamos que ((Am2i+1 , Bm2i+1))
es independiente. Para verlo, basta probar que si F t G = {0, . . . , k − 1} (en particular
son disjuntos), entonces
⋂
i∈F Am2i+1 ∩
⋂
i∈GBm2i+1 6= ∅, pues estamos intersecando más
cosas. Pongamos F = {i0, . . . , ih} y G = {j0, . . . , jk−h}, con i0 < . . . < ih y j0 < . . . < jk−h.
Elijamos n0 ∈ H con n0 = m2i0+1, n1 ∈ H con n1 > n0 y n1 = m2j0+1, n2 ∈ H con
n2 > n1 y n2 = m2i1+1, n3 ∈ H con n3 > n2 y n3 = m2j1+1, y aśı sucesivamente. Esto
produce finitos n0 < n1 < . . . < nk. Elijamos ni ∈ H para i > k tales que ni < ni+1 para
todo i ∈ N, y pongamos I = {ni : i ∈ N} ⊆ H. Tenemos que I ∈ [H]ℵ0 , aśı que I ∈ P , y
por la construcción,⋂
i∈F
Am2i+1 ∩
⋂
i∈G
Bm2i+1 ⊇
⋂
i<l
i par
Ani ∩
⋂
i<l
i impar
Bni 6= ∅
para algún l > k, y estamos.
[H]ℵ0 ⊆ P c. Pongamos H = {mi : i ∈ N}. Afirmamos que ((Ami , Bmi)) es convergente. En
otro caso, existe un x tal que I := {mi : x ∈ Ami} y J = {mi : x ∈ Bmi} son infinitos. Como
los (An, Bn) son disjuntos, I ∩ J = ∅, aśı que podemos encontrar K = {ni : i ∈ N} ⊆ H
con ni < ni+1 y {n0, n2, . . . } ⊆ I y {n1, n3, . . . } ⊆ J . Para verlo, empezar eligiendo n0 ∈ I.
Como J es infinito, existe n1 ∈ J con n1 > n0. Como también I es infinito, existe n2 ∈ I
con n2 > n1, y podemos seguir indefinidamente. Entonces K ∈ P , pues
x ∈
⋂
i<k
i par
Ani ∩
⋂
i<k
i impar
Bni ,
para todo k ∈ N. Pero K ∈ [H]ℵ0 ⊆ P c, y tenemos una contradicción. �
Observación 4.7. El lema anterior vale en toda generalidad, para una sucesión arbitraria de
pares disjuntos de subconjuntos infinitos de un conjunto cualquiera S. No hay ningún Banach ni
nada parecido dando vueltas. Esto va a ser importante en el futuro. N
Ahora podemos probar el teorema de Rosenthal en su versión original. Redoble de tambores:
22
La prueba del teorema de Rosenthal Pedro E. Marun
Demostración del teorema de Rosenthal. Sea {(rn, sn) : n ∈ N} una enumeración de Q×Q. Por el
lema anterior, ((Ar0,s0n , B
r0,s0
n )) tiene una subsucesión convergente o una subsuseción independiente.
Si es independiente, apelando al lema 4.2 ya estamos, aśı que supongamos que la subsucesión,
digamos ((Ar0,s0n , B
r0,s0
n ))n∈Λ0 para Λ0 ⊆ N infinito, es convergente12. Si ahora consideramos
((Ar1,s1n , A
r1,s1
n ))n∈Λ0 , por el lema anterior existe Λ1 ⊆ Λ0 infinito tal que ((Ar1,s1n , Ar1,s1n ))n∈Λ1
es convergente o independiente. Nuevamente, si es convergente no hay nada que hacer, aśı
que la suponemos independiente. Siguiendo aśı, obtenemos tales que Λ0 ⊇ Λ1 ⊇ . . . tales que
((Ari,sin , B
ri,si
n ))n∈Λi es convergente para todo i ∈ N. Estamos suponiendo que el proceso nunca
se detiene (o sea, nunca quedan independientes), porque en otro caso termina ah́ı la prueba. Si
ahora Λ es la diagonal de los Λi, tenemos que ((A
ri,si
n , B
ri,si
n ))n∈Λ es convergente para todo i ∈ N,
aśı que podemos aplicar el lema 4.5 para deducir que (fn)n∈Λ converge puntualmente. �
En estos últimos resultados fuimos un poco más informales con las construcciones recursivas y
no dimos el paso inductivo general, ya que el proceso era mucho menos enroscado que en los
teoremas de las secciones anteriores, y hacerlo con lujo de detalles seŕıa abrir una caja de Pandora
de ı́ndices y enchastrar la idea.
Vamos a dar ahora la demostración del caso complejo, debida a L. Dor. Según dijimos en la
introducción, la prueba del corolario 0.5 a partir del teorema 0.4 funciona también para espacios
complejos, si uno asume que vale el análogo complejo del teorema 0.4. A fin de cuentas, alcanza
con probar lo siguiente:
Teorema 4.8. Sea S un conjunto no vaćıo, y consideremos el Banach `∞(S,C) con la norma
del supremo. Sea (fn) una sucesión acotada en `
∞(S,C) que no tiene subsucesiones débilmente
de Cauchy. Entonces una subsucesión de (fn) es equivalente a la base canónica de `
1 (complejo).
Antes de empezar, fijemos algunas convenciones. Todo M ⊆ N es infinito salvo aviso de lo
contrario, y (fn)n∈M tiene su interpretación natural como sucesión, considerando la enumeración
creciente de M (cosa que ya veńıamos haciendo impunemente).
Demostración. Sea D el conjunto de pares (D1, D2) de discos abiertos de radio racional y centro
de coordenadas racionales tales que diam(D1) = diam(D2) <
1
2d(D1, D2), donde d(D1, D2) es
la distancia entre los conjuntos. Notar que, en particular d(D1, D2) > 0, aśı que D1 ∩D2 = ∅.
Consideremos una enumeración {(Dk1 , Dk2 ) : k ∈ N} de D , lo cual tiene sentido porque |D | = ℵ0.
Afirmación 1. Existen k0 ∈ N y M ∈ [N]ℵ0 tales que para todo L ∈ [M ]ℵ0 existe un x ∈ S tal
que la sucesión (fn(x))n∈L tiene puntos de acumulación en D
k0
1 y en D
k0
2 .
Demostración de la afirmación 1. Supongamos que no fuese aśı. En tal caso, existe M0 ∈ [N]ℵ0 tal
que para todo x ∈ S, (fn(x))n∈M0 tiene todos sus puntos de acumulación fuera de D01 o fuera de
D02. Nuevamente, existe M1 ∈ [M0]ℵ0 tal que para todo x ∈ S, (fn(x))n∈M1 tiene todos sus puntos
de acumulación duera de D11 o fuera de D
1
2. Siguiendo aśı, construimos N ⊇ M0 ⊇ M1 ⊇ . . .
tales que, para todo k ∈ N y todo x ∈ S, (fn(x))n∈Mk tiene todos sus puntos de acumulación
fuera de Dk1 o fuera de D
k
2 . Sea L la diagonal de los Mk. Por hipótesis, (fn)n∈L no converge
puntualmente, aśı que, como es acotada, existe x ∈ S y z, w ∈ C tales que z 6= w y z, w son puntos
de acumulación de (fn(x))n∈L. Por construcción de D , existe un k ∈ N tal que z ∈ Dk1 y w ∈ Dk2 ,
pero entonces (fn(x))n∈Mk tiene puntos de acumulación en D
k
1 y en D
k
2 , lo cual contradice la
elección de Mk. �
12Acá hay un ligero abuso de notación en hablar de subsucesión cuando Λ0 ⊆ N es un conjunto, pero la notación
conjuntista es menos engorrosa; estamos pensando a la subsucesión indexada por la enumeración creciente de Λ0.
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La prueba del teorema de Rosenthal Pedro E. Marun
Dados k0 y M como enla afirmación, sea α el centro de D1 = D
k0
1 y β el de D2 = D
k0
2 . Pongamos
además 2δ = d(D1D2). Multiplicando todas las funciones fn por |β−α|/(β−α), podemos suponer
que β − α > 0. Deifnamos, para n ∈M ,
An := {x ∈ S : fn(x) ∈ D1}
Bn := {x ∈ S : fn(x) ∈ D2}
Notar que An∩Bn = ∅. Por el lema 4.6, existe un conjunto L ∈ [M ]ℵ0 tal que, para todo E,F ⊆ L
con E ∩ F = ∅ vale que
⋂
n∈E An ∩
⋂
n∈F Bn 6= ∅.
Probaremos ahora que la subsucesión (fn)n∈L es equivalente a la base canónicas de `1. Al igual
que antes, la dominación por arriba es fácil, ya que si (fn) es acotada. Para la otra desigualdad,
fijemos n ∈ N, y sean ck = ak + ibk, k ∈ E, con E ⊆ L finito. Intercambiando parte real e
imaginaria de ser necesario (que no cambia |ck|), podemos supoenr sin pérdida de generalidad
que
∑
k∈E |ak| ≥
∑
k∈E |bk|. Ahora necesitamos el siguiente hecho: u ∈ D1 y v ∈ D2 implica
<(v−u) ≥ 2δ. La prueba es sencilla aunque un tanto engorrosa de escribir, depende esencialmente
de que los discos estén a la misma altura (es decir, β − α ∈ R), aśı que nos contentaremos con
realizar el siguiente diagrama (del cual estoy muy orgulloso), donde la idea geométrica es bien
clara:
v
u
α
β
D2D1
− δ2
δ
2
Sean F = {k ∈ E : ak ≥ 0 y G = {k ∈ E : ak < 0}. Como F ∩ G = ∅, existen x ∈⋂
k∈F Bk ∩
⋂
k∈GAk e y ∈
⋂
k∈F Ak ∩
⋂
k∈GBk. Luego,
x ∈
⋂
k∈F
Bk ∩
⋂
k∈G
Ak =⇒
{
fk(x) ∈ D2 si k ∈ F
fk(x) ∈ D1 si k ∈ G
y ∈
⋂
k∈F
Ak ∩
⋂
k∈G
Bk =⇒
{
fk(x) ∈ D1 si k ∈ F
fk(x) ∈ D2 si k ∈ G,
y podemos apelar a la desigualdad anterior para deducir que{
<(fk(y)− fk(x)) ≥ 2δ si k ∈ G
<(fk(x)− fk(y)) ≥ 2δ si k ∈ F .
(4)
Por otra parte, como |z| ≥ <(z) para cualquier z ∈ C,∥∥∥∥∥∑
k∈E
ckfk
∥∥∥∥∥
∞
≥
∣∣∣∣∣∑
k∈E
ckfk(x)
∣∣∣∣∣
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La prueba del teorema de Rosenthal Pedro E. Marun
≥ <
∑
k∈E
ckfk(x)
=
∑
k∈E
ak<fk(x)
=
∑
k∈F
ak<fk(x) +
∑
k∈G
ak<fk(x)
=
∑
k∈F
|ak|<fk(x)−
∑
k∈G
|ak|<fk(x), (5)
y, como también |z| ≥ −<(z),∥∥∥∥∥∑
k∈E
ckfk
∥∥∥∥∥
∞
≥
∣∣∣∣∣∑
k∈E
ckfk(y)
∣∣∣∣∣
≥ <
∑
k∈E
ckfk(y)
=
∑
k∈E
ak<fk(y)
=
∑
k∈F
ak<fk(y) +
∑
k∈G
ak<fk(y)
=
∑
k∈G
|ak|<fk(y)−
∑
k∈F
|ak|<fk(y), (6)
Finalmente, de (4), (5) y (6) tenemos que
2
∥∥∥∥∥∑
k∈E
ckfk
∥∥∥∥∥
∞
≥
∑
k∈F
|ak|<fk(x)−
∑
k∈G
|ak|<fk(x) +
∑
k∈G
|ak|<fk(y)−
∑
k∈F
|ak|<fk(y)
=
∑
k∈F
|ak|<(fk(x)− fk(y)) +
∑
k∈G
|ak|<(fk(y)− fk(x))
≥
∑
k∈F
|ak|2δ +
∑
k∈G
|ak|2δ
= 2δ
∑
k∈E
|ak|
≥ δ
∑
k∈E
|ak|+ |bk|
≥ δ
∑
k∈E
|ck|,
con lo cual
∥∥∑
k∈E ckfk
∥∥
∞ ≥
δ
2
∑
k∈E |ck|. Luego, como δ > 0 está fijo mientras que E ∈ [L]<ℵ0
y los ck son arbitrarios, concluimos que (fn)n∈L es equivalente a la base canónica de `
1. �
25
REFERENCIAS Pedro E. Marun
Referencias
[1] Ehrhard Behrends. ((Lectures on Rosenthal’s `1-theorem-theorem)). En: (2000).
[2] Joseph Diestel. Sequences and series in Banach spaces. Vol. 92. Springer Science; Business
Media, 2012.
[3] Leonard E Dor. ((On sequences spanning a complex `1 space)). En: Proceedings of the American
Mathematical Society 47.2 (1975), págs. 515-516.
[4] Lorenz J Halbeisen. Combinatorial Set Theory: with a gentle introduction to forcing. Springer
Science; Business Media, 2011.
[5] Alexander Kechris. Classical Descriptive Set Theory. Vol. 1. Springer, ene. de 1995. isbn:
978-03-8794-374-9.
[6] Szymon Plewik. ((On completely Ramsey sets)). En: Fund. Math 127 (1986), págs. 127-132.
[7] Demetrio Stojanoff. Un curso de análisis funcional. 2015.
[8] Stevo Todorcevic. Topics in topology. Springer, 2006.
[9] Robert Whitley. ((An elementary proof of the Eberlein-Šmulian theorem)). En: Mathematische
Annalen 172.2 (1967), págs. 116-118.
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