25--Teoria-de-Galois---Eduardo-Ghiglioni---Nicolas-Vescovo---2012

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Estructuras Algebraicas
Trabajo Final
Teoŕıa de Galois
Ghiglioni, Eduardo
Vescovo, Nicolás
Facultad de Ciencias Exactas, Universidad Nacional de La Plata
16 de mayo de 2012
1
Estructuras Algebraicas Trabajo Final
Índice
1. Introducción 3
2. ¿Qué es la Teoŕıa de Galois? 3
3. Biograf́ıa 3
4. Preliminares 4
5. Extensiones de cuerpos 5
6. Teorema Fundamental de la Teoŕıa de Galois 11
7. Clausura algebraica 16
8. Extensiones separables 19
9. Extensiones trascendentales 20
10.Extensiones normales 21
11.Extensiones ćıclicas 24
12.Resolución por radicales 28
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1. Introducción
El tema del trabajo es la Teoŕıa de Galois. El objetivo es demostrar el teorema de Abel que
enuncia: el polinomio general de grado n es resoluble por radicales si y sólo si n ≤ 4. Es conocida,
desde el siglo XVI por las fórmulas de Cardano, la solución por radicales de polinomios de grado
3 y 4. Una vez desarrollada la teoŕıa de Galois se usó para demostrar el mismo resultado pero por
otro método. Además se logró demostrar la no resolución por radicales para polinomios de grado
mayor o igual que 5, lo cual demostraremos en este trabajo.
El trabajo está divido en varias secciones. La sección 2 y 3 está enfocada en la historia de la
teoŕıa de Galois, bajo que contexto surge, el porqué de su importancia y la relación con el trabajo
de Abel. En la sección 4 se encuentran resultados necesarios sin demostración de teoŕıa de grupos,
anillos y polinomios. El resto de las secciones enuncia y demuestra todos los teoremas que usaremos
para llegar a demostrar el teorema de Abel. En ellos se tratan distintos tipos de extensiones de
cuerpos: extensiones separables, extensiones trascendentales, extensiones normales y extensiones
ćıclicas. Además se demuestra en la sección 6 el teorema fundamental de la teoŕıa de Galois.
2. ¿Qué es la Teoŕıa de Galois?
En sus principios gran parte del álgebra se centró en la búsqueda de fórmulas expĺıcitas para las
ráıces de ecuaciones polinomiales en una o más indeterminadas. La solución de ecuaciones lineales
o cuadráticas con una indeterminada estaba resuelto, mientras que, fórmulas en general para las
ráıces de ecuaciones cúbicas o cuartas con valores reales fue resuelto en el siglo XVI. Estas soluciones
involucran números complejos más que reales. Para principios del siglo XIX no hab́ıa soluciones
generales para ecuaciones polinomiales generales por radicales. Finalmente el trabajo de Galois y
Abel nos gúıa a un nuevo marco para una total comprensión del problema y la comprensión de que
en general las ecuaciones polinomiales de grado mayor o igual que 5 no siempre puede ser resuelta
por radicales. La idea principal de la teoŕıa de Galois es relacionar una extensión de cuerpos K ⊂ F
con el grupo de todos los automorfismos de F que actúan como la identidad sobre K. Lo cual nos
permite aplicar la teoŕıa de grupos para el estudio de cuerpos. Esta correspondencia de Galois
puede ser generalizada para aplicar a diversos temas como la teoŕıa de anillos, teoŕıa algebraica de
números, geometŕıa algebraica, ecuaciones diferenciales y topoloǵıa algebraica.
3. Biograf́ıa
Évariste Galois nació en Bourg-la-Reine, una comuna a las afueras de Paŕıs, el 25 de octubre
de 1811. Hasta los doce años, Évariste fue educado por su madre, junto con su hermana mayor
Nathalie-Theodore, consiguiendo una sólida formación en lat́ın y griego. Su educación académica
empezó a la edad de 12 años cuando ingresó en el liceo Royal de Louis-le-Grand de Paŕıs. Galois
tuvo un rendimiento normal e incluso llegó a ganar algunos premios en griego y lat́ın. Pero en
tercero, su trabajo de retórica fue reprobado y tuvo que repetir curso. Fue entonces cuando Galois
entró en contacto con las matemáticas: teńıa entonces 15 años.
El programa de matemáticas del liceo no difeŕıa mucho del resto. Sin embargo, Galois en-
contró en él el placer intelectual que le faltaba. El curso impartido por Ms Vernier, despertó el
genio matemático de Galois. Tras asimilar sin esfuerzo el texto oficial de la escuela, Galois em-
pezó con los textos más avanzados de aquella época: estudió la geometŕıa de Legendre y el álgebra
de Lagrange. Galois profundizó considerablemente en el estudio del álgebra.
Siendo todav́ıa estudiante del Louis-le-Grand, Galois logró publicar su primer trabajo (una de-
mostración de un teorema sobre fracciones continuas periódicas) y poco después dio con la clave
para resolver un problema que hab́ıa tenido en jaque a los matemáticos durante más de un siglo
(las condiciones de resolución de ecuaciones polinómicas por radicales). Sin embargo, sus avances
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más notables fueron los relacionados con el desarrollo de una teoŕıa nueva cuyas aplicaciones des-
bordaban por mucho los ĺımites de las ecuaciones algebraicas: la teoŕıa de grupos. Sus art́ıculos
nunca llegaron a ser publicados mientras que Galois viv́ıa. Inicialmente se lo envió a Cauchy, quien
lo rechazó porque su trabajo teńıa puntos en común con un reciente art́ıculo publicado por Abel.
Galois lo revisó y se lo volvió a remitir, y en esta ocasión, Cauchy lo remitió a la academia para
su consideración; pero Fourier, el secretario vitalicio de la misma y el encargado de su publicación,
murió poco después de recibirlo y la memoria fue traspapelada. El premio fue otorgado a Abel y
a Jacobi, y Évariste acusó a la academia de una farsa para desacreditarle. A pesar de la pérdida
de la memoria enviada a Fourier, Galois publicó tres art́ıculos aquel mismo año en el Bulletin
des sciences mathématiques, astronomiques, physiques et chimiques del Barón de Férussac. Estos
trabajos presentan los fundamentos de la Teoŕıa de Galois. Durante el año 1831 Galois por fin
hab́ıa redondeado las cuestiones pendientes en su trabajo y lo hab́ıa sometido a la consideración
de Poisson, quien le recomendó que lo presentara de nuevo a la Academia. Más tarde, aquel mismo
año, el propio Poisson recomendó a la Academia que rechazara su trabajo con la indicación de que:
sus argumentaciones no estaban ni lo suficientemente claras ni suficientemente desarrolladas para
permitirles juzgar su rigor.
El 30 de mayo de 1832, a primera hora de la mañana, Galois perdió un duelo de espadas contra
el campeón de esgrima del ejército francés, falleciendo al d́ıa siguiente a las diez de la mañana a la
edad de 20 años. Las contribuciones matemáticas de Galois fueron publicadas finalmente en 1843
cuando Joseph Liouville revisó sus manuscritos y declaró que aquel joven en verdad hab́ıa resuelto
el problema de Abel por otros medios que supońıan una verdadera revolución en la teoŕıa de las
matemáticas empleadas. El manuscrito fue publicado en el número de octubre de 1846 del Journal
des mathématiques pures et appliquées.
4. Preliminares
Teorema 4.1. Sea H un subconjunto no vaćıo de un grupo G. Entonces H es un subgrupo de G
si y sólo si ab−1 ∈ H para todo a, b ∈ H.
Teorema 4.2. Sean R y S anillos conmutativos con 1 y ϕ : R → S un morfismo de anillos tal
que ϕ(1R) = 1S. Si s1, s2, ..., sn ∈ S, entonces hay un único morfismo de anillos
ϕ : R[x1, ..., xn] → S tal que ϕ | R = ϕ y ϕ (xi) = si para i = 1,...,n.
Corolario 4.3. (Primer Teorema del Isomorfismo) Si f : R → S es un morfismo de anillos,
entonces f induce un isomorfismo de anillos R/Kerf ∼= Imf .
Corolario 4.4. Si F es un cuerpo entonces el anillo de polinomios F [x] es un dominio Euclideo,
de ah́ı se deduce que F [x] es un dominio ideal principal.
Teorema 4.5. En un anillo conmutativo R con 1R 6= 0, un ideal P es primo si y sólo si R/P es
un dominio integro.
Teorema 4.6. Sean p y c elementos no nulos de un dominio integro R.
(a) p es primo si y sólo si (p) es un ideal primo no nulo.
(b) c es irreducible si y sólo si (c) es maximalen el conjunto S de todos los ideales principales
propios de R.
(c) Todo elemento primo de R es irreducible.
(d) Si R es un dominio ideal principal, entonces p es primo si y sólo si p es irreducible.
(e) Todo asociado de un elemento irreducible de R es irreducible (respectivamente primo).
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(f) Los únicos divisores de un elemento irreducible de R son los asociados y las unidades de R.
Teorema 4.7. Sea M un ideal de un anillo R con 1R 6= 0.
(a) Si M es maximal y R es conmutativo, entonces R/M es un cuerpo.
(b) Si R/M es un anillo de división entonces M es maximal.
Teorema 4.8. (Teorema de factorización) Sea I un ideal de un anillo R. Para todo morfismo de
anillos ϕ : R → S cuyo núcleo contiene a I existe un único morfismo ψ : R/I → S tal que ϕ = ψ
o π donde π : R→ R/I es la proyección canónica.
R
π //
ϕ
!!
R/I
ψ
��
S
Proposición 4.9. (propiedad universal) Sean R y S anillos y ϕ : R→ S un morfismo de anillos.
Sea s un elemento de S que conmuta con ϕ(r) para todo r ∈ R (un elemento arbitrario si S es
conmutativo). Entonces existe un único morfismo de anillos ψ : R[x]→ S que extiende a ϕ y manda
a x en s, llamado ψ(A) = ϕA(s).
R
⊆ //
ϕ
!!
R[x]
ψ
��
S
Proposición 4.10. Si R es conmutativo, entonces una ráız r ∈ R de un polinomio p ∈ R[x] es
simple si y sólo si p
′
(r) 6= 0.
Proposición 4.11. En un anillo conmutativo R de caracteŕıstica prima p, (x + y)p = xp + yp y
(x− y)p = xp − yp para todo x, y ∈ R.
Corolario 4.12. (teorema de Cayley) Todo grupo G es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico
SG.
Teorema 4.13. Sn es resoluble si y sólo si n ≤ 4.
Lema 4.14. (Lema de Zorn) Si A es un conjunto no vaćıo parcialmente ordenado tal que toda
cadena en A tiene una cota superior en A, entonces A tiene un elemento maximal.
5. Extensiones de cuerpos
Definición. Si K y F son cuerpos tales que K ⊂ F se dice que F es una extensión de K. Notación
F/K.
Observación. Si F/K entonces 1K = 1F . Más aún, F es un espacio vectorial sobre K.
Definición. La dimensión del K-espacio vectorial F se nota [F : K] = dimKF .
F/K es finito dimensional si [F : K] es finito.
F/K es infinito dimensional si [F : K] es infinito.
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Ejemplo. C/R es finito mientras que R/Q y C/Q son infinitos.
Tenemos que C = {x+ iy : x, y ∈ R}. Entonces 1, i generan a C como espacio vectorial sobre R.
Como i /∈ R estos elementos son linealmente independientes y por lo tanto forman una base. Luego
[C : R] = 2. R/Q y C/Q son infinitos porque cualquier espacio vectorial de dimensión finita sobre
Q es contable, sin embargo, R y C son incontables. Una base del Q-espacio vectorial R se conoce
como base de Hamel.
Proposición 5.1. Si K ⊂ F ⊂ L entonces
(a) [L : K] = [L : F ].[F : K].
(b) L/K es finito si y sólo si L/F es finito y F/K es finito.
Demostración. Si [L : F ] o [F : K] es infinito entonces la igualdad de (a) vale. Si ambos son
finitos, sea U = {u1, ..., un} base de L como F -espacio vectorial y V = {v1, ..., vm} base de F como
K-espacio vectorial. Es suficiente ver que {uivj : ui ∈ U, vj ∈ V } es base de L como K-espacio
vectorial.
Si l ∈ L entonces l =
n∑
i=1
fiui con fi ∈ F, ui ∈ U .
Porque span U = L como F -espacio vectorial.
Como span V = F como K-espacio vectorial. Cada fi ∈ F se puede escribir como
fi =
m∑
i=1
kijvj con kij ∈ K, vj ∈ V .
Luego l =
n∑
i=1
fiui =
n∑
i=1
 m∑
j=1
kijvj
ui = n∑
i=1
m∑
j=1
kijvjui
L = span{uivj : ui ∈ U, vj ∈ V } como K-espacio vectorial.
Veamos que son linealmente independientes.
Supongamos que
n∑
i=1
m∑
j=1
kijvjui = 0 con kij ∈ K, vj ∈ V, ui ∈ U .
Para cada i sea fi =
m∑
i=1
kijvj ∈ F .
Entonces 0 =
n∑
i=1
fiui ⇒ fi = 0 por ser U base de L como F -espacio vectorial.
Entonces 0 =
m∑
i=1
kijvj ⇒ kij = 0 por ser V base de F como K-espacio vectorial.
(b) es inmediato de (a) porque el producto de dos números cardinales finitos es finito y el producto
de un infinito con un número cardinal finito es infinito. �
Definición. En la situación K ⊂ F ⊂ L de la proposición 5.1. F se llama cuerpo intermedio de
K y L.
Definición. Si F es un cuerpo y X ⊂ F , el subcuerpo generado por X es la intersección de todos
los subcuerpos de F que contienen a X. Si F es una extensión de K y X ⊂ F , el subcuerpo generado
por K ∪X se llama el subcuerpo generado por X sobre K y se nota K(X).
Si X = {u1, ..., un}, entonces el subcuerpo K(X) de F se nota K(u1, ..., un). El cuerpo
K(u1, ..., un) se conoce como extensión finitamente generada sobre K (pero no, necesariamente, es
finito dimensional sobre K). Si X = {u}, entonces K(u) se llama extensión simple sobre K.
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Proposición 5.2.
(a) Para cualquier u1, ..., un ∈ F y cualquier permutación σ ∈ Sn, K(u1, ..., un) = K(uσ(1), ..., uσ(n)).
(b) K(u1, ..., un−1)(un) = K(u1, ..., un).
Demostración.
(a) Como {u1, ..., un} =
{
uσ(1), ..., uσ(n)
}
para cualquier permutación σ ∈ Sn, K(u1, ..., un) =
K(uσ(1), ..., uσ(n)).
(b) Llamemos Kn−1 = K(u1, ..., un−1).
K(u1, ..., un−1)(un) = Kn−1(un) =
⋂
Kn−1⊆L1⊆F
{un}⊆L1
L1
K(u1, ..., un) =
⋂
K⊆L2⊆F
{u1,...,un}⊆L2
L2
Tenemos que ver que
⋂
Kn−1⊆L1⊆F
{un}⊆L1
L1 =
⋂
K⊆L2⊆F
{u1,...,un}⊆L2
L2
Sea L1 tal que Kn−1 ⊆ L1 ⊆ F y {un} ⊆ L1. Como Kn−1 = K(u1, ..., un−1) ⇒ K ⊆ L1 y
{u1, ..., un−1} ⊆ L1. Luego K ⊆ L1 ⊆ F y {u1, ..., un} ⊆ L1.
⇒
⋂
K⊆L2⊆F
{u1,...,un}⊆L2
L2 ⊆ L1.
Como vale para todo L1 tal que Kn−1 ⊆ L1 ⊆ F y {un} ⊆ L1. K(u1, ..., un) ⊆ K(u1, ..., un−1)(un).
Sea L2 tal que K ⊆ L2 ⊆ F y {u1, ..., un} ⊆ L2. Entonces K(u1, ..., un−1) ⊆ L2
⇒
⋂
Kn−1⊆L1⊆F
{un}⊆L1
L1 ⊆ L2.
Como vale para todo L2 tal queK ⊆ L2 ⊆ F y {u1, ..., un} ⊆ L2.K(u1, ..., un−1)(un)⊆K(u1, ..., un)
�
Proposición 5.3. K(u) =
{
p(u)
q(u)
: p, q ∈ K[x], q(u) 6= 0
}
.
Demostración. Llamemos E =
{
p(u)
q(u)
: p, q ∈ K[x], q(u) 6= 0
}
.
Todo cuerpo que contiene a K y {u} debe contener a E ⇒ E ⊆ K(u).
E es un cuerpo. u ∈ E tomando p(x) = x y q(x) = 1. Además K ⊆ K[x] ⇒ K ⊆ E. Luego
K(u) ⊆ E. �
Definición. Sea K ⊂ F, α ∈ F
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(i) εα: K[X]→ F
Dado por εα(p(x)) = p(α)
Es un morfismo de anillos.
(ii) α es algebraico sobre K si ker(εα) 6= {0}.
Es decir, existe p ∈ K[X] no nulo tal que p(α) = 0.
En caso contrario α es trascendente sobre K.
Es decir, para todo p ∈ K[X] no nulo p(α) 6= 0.
F se dice una extensión algebraica sobre K si todo elemento de F es algebraico sobre K.
Ejemplo. Sean Q, R y C los cuerpos racionales, reales y complejos respectivamente. Entonces i
∈ C es algebraico sobre Q y aśı sobre R (Si u ∈ F es algebraico sobre algún subcuerpo K ′ de K,
entonces u es algebraico sobre K porque K
′
[x] ⊂ K[x]). De hecho C = R(i). Es un hecho no trivial
que π, e ∈ R son trascendetales sobre Q.
Teorema 5.4. Si F/K y u ∈ F es trascendente sobre K. Entonces existe un isomorfismo de cuerpos
K(u) ∼= K(x) que es la identidad en K.
Demostración. Como u es trascendente f(u) 6= 0, g(u) 6= 0 para todo polinomio no nulo
f, g ∈ K[x]. Luego ϕ : K(x)→ F dado por f/g 7→ f(u)/g(u) es un monomorfismo de cuerpos, que
es la identidad sobre K, y está bien definido. Im ϕ = K(u) por la proposición 5.3. Aśı K(x) ∼= K(u).
�
Teorema 5.5. Si F/K y u ∈ F es algebraico sobre K. Entonces
(a) K(u) = K[u].
(b) K(u) ∼= K[x]/(f).
Donde f ∈ K[x] es un polinomio mónico irreducible de grado n ≥ 1 univocamente determinado
por la condición f(u) = 0 y g(u) = 0 si y sólo si f divide a g.
(c) [K(u) : K] = n.
(d)
{
1K , u, u
2, ..., un−1
}
es base del K-espacio vectorial K(u).
(e) Todo elemento de K(u) puede ser escrito de forma única como a0 +a1u+a2u
2 + ...+an−1u
n−1
(ai ∈ K).
Demostración. ϕ : K[x]→ K[u] dado por g → g(u) es un epimorfismo de anillos no nulo por el
teorema 4.2. Como K[x] es un dominio ideal principal(corolario 4.4), Ker ϕ = (f) para algún f ∈
K[x] con f(u) = 0 (Ker ϕ es ideal). Como u es algebraico, Ker ϕ 6= 0 y como ϕ 6= 0, Ker ϕ 6= K[x].
Por lo tanto f 6= 0 y gr(f) ≥ 1. Sin perder generalidad se puede asumir f mónico. Por el Primer
Teorema del Isomorfismo (corolario 4.3)
K[x]/(f) = K[x]/Ker ϕ ∼= Im ϕ = K[u].
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Como K[u] es un dominio integro, el ideal (f) es primo en K[x] por el teorema 4.5. Por el teorema
4.6 f es irreducible y el ideal (f) es maximal. En consecuencia, K[x]/(f) es un cuerpo (teorema 4.7).
Como K(u) es el subcuerpo de F más chico que contiene a K y u, y como K(u) ⊃ K[u] ∼= K[x]/(f),
debemos tener K(u) = K[u]. La unicidad de f se prueba del hecho que f es mónico y
g(u) = 0⇔ g ∈ Ker ϕ = (f) ⇔ f divide a g.
Probamos aśı (a) y (b). Todo elemento de K(u) = K[u] es de la forma g(u) para algún g ∈ K[x].
Por el algoritmo de la división g = qf + h con q, h ∈ K[x] y gr(h) < gr(f). Entonces,
g(u) = q(u)f(u) + h(u) = 0 + h(u) = h(u) = b0 + b1u + ... + bmu
m con m < n = gr(f).
Aśı
{
1K , u, ..., u
n−1} genera el K-espacio vectorial K(u). Supongamos que
a0 + a1u+ ...+ an−1u
n−1 = 0 con ai ∈ K
Entonces g = a0 + a1x + ... + an−1x
n−1 ∈ K[x] tiene a u como ráız y tiene grado menor o igual
que n − 1. Como f divide a g por (b) y gr(f) = n entonces g = 0. Luego ai = 0 para todo i,
aśı
{
1K , u, ..., u
n−1} es linealmente independiente. Por lo tanto es base de K(u). Quedó probado
(d). (c) y (e) son consecuencias de (d). �
Definición. Sea F una extensión algebraica de K y u ∈ F algebraico sobre K. El polinomio mónico
irreducible del teorema 5.5 se llama el polinomio irreducible de u. El grado de u sobre K es gr(f) =
[K(u) : K]. Lo notaremos IrrKu.
Observación. Si σ: R → S es un isomorfismo de anillos.
Es decir σ(a + b) = σ(a) + σ(b) y σ(a.b) = σ(a).σ(b) para todo a, b ∈ R. Además biyectivo.
Entonces la función R[x]→ S[x] dada por
n∑
i=1
rix
i →
n∑
i=1
σ(ri)x
i es isomorfismo de anillos.
Claramente extiende a σ. A esta extensión la notaremos también σ y la imagen de f ∈ R[x] por
σf .
Teorema 5.6. Sea σ: K → L un isomorfismo de cuerpos. Sean u un elemento de alguna extensión
de K y v un elemento de alguna extensión de L. Supongamos que sucede algunas de las dos
(a) u es trascendente sobre K y v es trascendente sobre L
(b) u es ráız de un polinomio irreducible f ∈ K[x] y v es ráız de σf ∈ K[x]
Entonces σ se extiende a un isomorfismo de cuerpos K(u) ∼= L(v) que manda a u en v.
Demostración. Supongamos (a). Por la observación anterior σ se extiende a un isomorfismo
K[x] ∼= L[x]. Este se puede extender a un isomorfismo K(x) → L(x) dado por h/g 7→ σh/σg. Por
el teorema 5.4 tenemos que K(u) ∼= K(x) ∼= L(x) ∼= L(v). La composición de estos isomorfismos es
el que buscamos y este manda u en v. Supongamos (b). Sin perder generalidad podemos suponer
que f es mónico. Como σ : K[x] ∼= L[x] esto implica que σf ∈ L[x] es mónico irreducible. Por la
demostración del teorema 5.5
ϕ : K[x]/(f) → K[u] = K(u) y ψ : L[x]/(σf) → L[v] = L(v)
dados por ϕ[g + (f)] = g(u) y ψ[h+ (σf)] = h(v) respectivamente, son isomorfismo.
θ : K[x]/(f)→ L[x]/(σf) dado por θ[g + (f)] = σg + (σf) es un isomorfismo. Por lo tanto
K(u)
ϕ−1−→ K[x]/(f) θ−→ L[x]/(σf) ψ−→ L(v)
es un isomorfismo de cuerpos tal que g(u) 7→ (σg)(v). En particular, ψθϕ−1 es igual a σ sobre K y
manda a u en v. �
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Corolario 5.7. Sea E y F extensiones de K. Sean u ∈ E, v ∈ F algebraicos sobre K. Entonces u y
v son ráıces del mismo polinomio irreducible f ∈ K[x] si y sólo si hay un isomorfismo de cuerpos
K(u) ∼= K(v) que manda u en v y es la identidad en K.
Demostración. Para probar ⇒ aplicar el teorema 5.6 con σ : K → K dado por σ = 1K , lo que
implica σf = f para todo f ∈ K[x]. Para probar⇐ supongamos que σ : K(u) ∼= K(v) con σ(u) = v
y σ(k) = k para todo k ∈ K. Sea f ∈ K[x] el polinomio irreducible del elemento algebraico u.
Si f =
n∑
i=0
kix
i, entonces 0 = f(u) =
n∑
i=0
kiu
i. Luego
0 = σ
(
n∑
i=0
kiu
i
)
=
n∑
i=0
σ(kiu
i) =
n∑
i=0
σ(ki)σ(u
i) =
n∑
i=0
kiσ(u)
i =
n∑
i=0
kiv
i = f(v) �
Teorema 5.8. Si F/K es finito dimensional entonces F está finitamente generado y es algebraico
sobre K.
Demostración. Si [F : K] = n y u ∈ F , entonces el conjunto de n+1 elementos
{
1K , u, u
2, ..., un
}
es linealmente dependiente. Existen ai ∈ K no todos nulos, tales que a0+a1u+a2u2+...+anun = 0.
Entonces u es algebraico sobre K. Como u era cualquiera, F es algebraico sobre K. Si {v1, ..., vn}
es una base de F sobre K, entonces F = K(v1, ..., vn). �
Teorema 5.9. Si F/K y X ⊆ F tal que F = K(X) y todo elemento de X es algebraico sobre K.
Entonces F es una extensión algebraica de K. Si X es un conjunto finito, F es finito dimensional
sobre K.
Demostración. Si v ∈ F , entonces v ∈ K(u1, ..., un) para algún ui y hay una inclusión de sub-
cuerpos:
K ⊂ K(u1) ⊂ K(u1, u2) ⊂ ... ⊂ K(u1, ..., un−1) ⊂ K(u1, ..., un)
Como ui es algebraico sobre K, es algebraico sobre K(u1, ..., ui−1) para todo i ≥ 2, digamos de
grado ri. Como K(u1, ..., ui−1)(ui) = K(u1, ..., ui) tenemos que [K(u1, ..., ui) : K(u1, ..., ui−1)] =
ri por el teorema 5.5. Sea r1 el grado de u1 sobre K. Aplicando la proposición 5.1 varias veces
obtenemos que [K(u1, ..., un) : K] = r1r2...rn. Por el teorema 5.8 K(u1, ..., un) es algebraico sobre
K. Como v ∈ F era cualquiera, F es algebraico sobre K. Si X = {u1, ..., un} es finito, la misma
demostración (con F = K(u1, ..., un)) muestra que [F : K] = r1r2...rn es finito. �
Teorema 5.10. Si F es una extensión algebraica de E y E es una extensión algebraica de K
entonces F es una extensión algebraica de K.
Demostración. Sea u ∈ F , como u es algebraico sobre E, bnun + ... + b1u + bo = 0 con bi ∈ E
(bn 6= 0). Por lo tanto, u es algebraico sobre el subcuerpo K(b0, ..., bn). En consecuencia, hay una
inclusión de cuerpos:
K ⊂ K(b0, ..., bn) ⊂ K(b0, ..., bn)(u)
con [K(b0, ..., bn)(u) : K(b0, ..., bn)] finito por el teorema 5.5 (porque u es algebraico sobre
K(b0, ..., bn)) y [K(b0, ..., bn) : K] es finito por el teorema 5.9 (porque E es algebraico sobre K
en particular cada bi ∈ E es algebraico sobre K). Luego [K(b0, ..., bn)(u) : K] es finito por la
proposición 5.1. Aśı u ∈ K(b0, ..., bn)(u) es algebraico sobre K por el teorema 5.8. Como u era
cualquiera, F es algebraico sobre K. �
Teorema 5.11. Sea F una extensión de K y E el conjunto de todos los elementos de F que son
algebraicos sobre K entonces E es un subcuerpo de F.
Demostración. Si u, v ∈ E, entonces K(u, v) es una extensión algebraica de K por el teorema
5.9. Luego, como u−v y uv−1 (v 6= 0) están en K(u, v), u−v y uv−1 ∈ E. Entonces E es un cuerpo
(ver teorema 4.1). �
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Estructuras Algebraicas Trabajo Final
6. Teorema Fundamental de la Teoŕıa de Galois
Definición. Sean E y F extensiones del cuerpo K. Una función no nula σ: E → F que es un mor-
fismo de cuerpos y además un morfismo de K-módulos se llama K-morfismo. Si un automorfismo
de cuerpos σ ∈ AutF es un K-morfismo se llama K-automorfismo.
Definición. El grupo de todos los K-automorfismo de F se llama el grupo de Galois de F sobre K
y se nota AutKF .
Observación. Si E y F son extensiones de K y σ : E → F es un morfismo de cuerpos no nulo,
entonces σ(1E) = 1F . Si además σ es un morfismo de K-módulos, entonces para todo k ∈ K.
σ(k) = σ(k1E) = kσ(1E) = k1F = k.
Teorema 6.1. Sea F una extensión de K y f ∈ K[x]. Si u ∈ F es una ráız de f y σ ∈ AutKF
entonces σ(u) ∈ F es ráız de f.
Demostración. Si f =
n∑
i=1
kix
i, entonces f(u) = 0 implica 0 = σ(f(u)) = σ
(
n∑
i=1
kiu
i
)
=
n∑
i=1
σ(ki)σ(u
i) =
n∑
i=1
kiσ(u)
i = f(σ(u)). �
Observación. Uno de las principales aplicaciones del teorema 6.1 es en la situación donde u es
algebraico sobre K con polinomio irreducible f ∈ K[x] de grado n. Entonces todo
σ ∈ AutKK(u) está completamentedeterminado por su acción en u (porque
{
1K , u, u
2, ..., un−1
}
es base del K-espacio vectorial K(u) por el teorema 5.5). Como σ(u) es una ráız de f por el teorema
6.1 |AutKK(u)| ≤ m, donde m es el número de ráıces distintas de f en K(u).
Ejemplo. C = R(i) y ± i son las ráıces de x2 + 1. De ah́ı AutRC tiene orden, como mucho, 2. La
conjugación compleja es un R-automorfismo de C que no actúa como la identidad. Luego |AutRC|
= 2 y aśı AutRC ∼= Z2.
Teorema 6.2. Sea F una extensión de K. E un cuerpo intermedio y H un subgrupo de AutKF .
Entonces
(a) H
′
= {v ∈ F : σ(v) = v para todo σ ∈ H} es un cuerpo intermedio de la extensión.
(b) E
′
= {σ ∈ AutKF : σ(u) = u para todo u ∈ E} = AutEF es un subgrupo de AutKF .
Demostración. (a) K ⊂ H ′ ⊂ F sale de la definición. Recordar que si σ ∈ AutKF entonces
σ(k) = k para todo k ∈ K. Veamos que H ′ es un cuerpo.
Sean v1, v2 ∈ H
′
, σ ∈ H. σ(v1 − v2) = σ(v1) + σ(−v2) = σ(v1) − σ(v2) = v1 − v2.
Sean v1, v2 ∈ H
′
, σ ∈ H. σ(v1.v−12 ) = σ(v1).σ(v
−1
2 ) = σ(v1).σ(v2)
−1 = v1v
−1
2 .
(b) E
′ ≤ AutKF .
Sean σ ∈ E′ y u ∈ E.
σ(u) = u
σ−1(σ(u)) = σ−1(u)
u = σ−1(u)
σ−1 ∈ E′
Sean σ1, σ2 ∈ E
′
y u ∈ E.
(σ1 o σ2)(u) = σ1(σ2(u)) = σ1(u) = u.
σ1 o σ2 ∈ E
′
�
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Estructuras Algebraicas Trabajo Final
Definición. El cuerpo H
′
se llama el cuerpo fijo de H en F . También notaremos
FijF (H) = {v ∈ F : σ(v) = v para todo σ ∈ H} donde F es una extensión de K y H un subgrupo
de AutKF . Esta otra notación nos será útil más adelante.
Observación. Si notamos AutKF = G. Entonces F
′
= AutFF = 1 y K
′
= AutKF = G. Por otro
lado 1
′
= F , es decir, F es el cuerpo fijo del subgrupo identidad.
Definición. Sea F una extensión de K tal que el cuerpo fijo del grupo de Galois AutKF es el
mismo K. Entonces F se dice que es una extensión de Galois de K o que es Galois sobre K.
Observación. F es Galois sobre K si y sólo si para todo u ∈ F −K existe un K-automorfismo
σ ∈ AutKF tal que σ(u) 6= u.
Definición. Si L,M son cuerpos intermedios de una extensión con L ⊂M , la dimensión [M : L]
se llama la dimensión relativa de L y M. Si H,J son subgrupos del grupo de Galois con
H ≤ J , el ı́ndice [J : H] se llama ı́ndice relativo de H y J .
Lema 6.3. Sea F una extensión de K con cuerpos intermedios L y M . Sean H y J subgrupos de
G = AutKF . Entonces
(a) F
′
= 1 y K
′
= G.
(b) 1
′
= F .
(c) L ⊂M ⇒ M ′ ≤ L′.
(d) H ≤ J ⇒ J ′ ⊂ H ′.
(e) L ⊂ L′′ y H ≤ H ′′.
(f) L
′
= L
′′′
y H
′
= H
′′′
.
Demostración. Del (a) al (e) salen directo usando la definición apropiada. Para probar (f) ob-
servar que (e) y (c) implican L
′′′ ≤ L′ y que (e) aplicado a L′ en lugar de H implica L′ ≤ L′′′ .
Análogamente H
′
= H
′′′
. �
Observación. F es Galois sobre K si G
′
= K. Como K
′
= G en cualquier caso por el lema 6.3.
F es Galois sobre K si y sólo si K = K
′′
. Similarmente F es Galois sobre un cuerpo intermedio si
y sólo si E = E
′′
.
Definición. Sea X un cuerpo intermedio o un subgrupo del grupo de Galois. X se dice cerrado si
X = X
′′
. Notar que F es Galois sobre K si y sólo si K es cerrado.
Teorema 6.4. Si F es una extensión de K, entonces existe una correspondencia uno a uno entre
los cuerpos intermedios cerrados de la extensión y los subgrupos cerrados del grupo de Galois, dada
por E 7→ E′ = AutEF .
Demostración. La inversa de esta correspondencia está dada por asignar a cada subgrupo cerrado
de H su cuerpo fijo H
′
. Luego E 7→ E′ = AutEF 7→ E
′′
= E. Porque los cuerpos intermedios que
tomamos son cerrados. Análogamente H 7→ H ′ 7→ H ′′ = H. Porque los subgrupos del grupo de
Galois que tomamos son cerrados. Vemos aśı que tiene inversa. �
Lema 6.5. Sea F una extensión de K y L, M cuerpos intermedios con L ⊂ M . Si [M : L] es
finito, entonces [L
′
: M
′
] ≤ [M : L]. En particular, si [F : K] is finito, entonces |AutKF | ≤ [F : K].
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Estructuras Algebraicas Trabajo Final
Demostración. Lo demostraremos por inducción sobre n = [M : L]. Caso n = 1 es trivial porque
implica M = L. Si n > 1 y el lema es verdadero para todo i < n, elegimos u ∈ M con u /∈ L.
Como [M : L] es finito, u es algebraico sobre L (teorema 5.8) con polinomio irreducible f ∈ L[x]
de grado k > 1. Por lo teoremas 5.5 y proposición 5.1, [L(u) : L] = k y [M : L(u)] = n/k. Lo que
tenemos es L ⊂ L(u) ⊂ M y M ′ ≤ L(u)′ ≤ L′ . consideremos ahora los siguientes dos casos. Si
k < n, entonces 1 < n/k < n y por inducción [L
′
: L(u)
′
] ≤ k y [L(u)′ : M ′ ] ≤ n/k. De ah́ı [L′ : M ′ ]
= [L
′
: L(u)
′
][L(u)
′
: M
′
] ≤ k(n/k) = n = [M : L] y el lema queda probado. Para el caso k = n,
entonces [M : L(u)] = 1 y M = L(u). Para completar la prueba vamos a construir una función
inyectiva del conjunto S de todas las co-clases a izquierda de M
′
en L
′
al conjunto T de todas las
ráıces distintas (en F ) del polinomio f ∈ L[x]. Esta función nos sirve para ver que |S| ≤ |T |. Como
|T | ≤ k = n y |S| = [L′ : M ′ ] por definición, esto prueba que [L′ : M ′ ] ≤ |T | ≤ n = [M : L].
Sea τM
′
una co-clase a izquierda de M
′
en L
′
. Si σ ∈ M ′ = AutMF , entonces como u ∈
M , τσ(u) = τ(u). Aśı todo elemento de la co-clase τM
′
tiene el mismo efecto sobre u y manda
u 7→ τ(u). Como τ ∈ L′ = AutLF , y u es una ráız de f ∈ L[x], τ(u) también es una ráız de f por
el teorema 4.32. Esto implica que la función S → T dada por τM ′ 7→ τ(u) está bien definida. Si
τ1(u) = τ2(u) (τ1, τ2 ∈ L
′
), entonces τ−12 τ1(u) = u y aśı τ
−1
2 τ1 deja fijo a u. Luego, τ
−1
2 τ1 deja fijo a
todo elemento de L(u) = M (ver teorema 5.5(d)) y τ−12 τ1 ∈ M
′
. Luego τ1M
′
= τ2M
′
y la función
S → T es inyectiva. �
Lema 6.6. Sea F una extensión de K y sean H, J subgrupos del grupo de Galois AutKF con
H ≤ J . Si [J : H] es finito entonces [H ′ : J ′] ≤ [J : H].
Demostración. Sea [J : H] = n y supongamos que [H
′
: J
′
] > n. Entonces existen u1, u2, ..., un+1
∈ H ′ que son linealmente independientes sobre J ′ . Sea {τ1, τ2, ..., τn} una conjunto completo de
representantes de las co-clases a izquierda de H en J , es decir, J = τ1H
⋃
τ2H
⋃
...
⋃
τnH y
τ−1i τj ∈ H si y sólo si i = j. Consideremos el sistema de n ecuaciones lineales homogéneas con
n+ 1 incógnitas con coeficientes τi(uj) en el cuerpo F .
τ1(u1)x1 + τ1(u2)x2 + τ1(u3)x3 + ... + τ1(un+1)xn+1 = 0
τ2(u1)x1 + τ2(u2)x2 + τ2(u3)x3 + ... + τ2(un+1)xn+1 = 0
. .
. .
. .
τn(u1)x1 + τn(u2)x2 + τn(u3)x3 + ... + τn(un+1)xn+1 = 0
Este sistema (1) tiene solución no trivial. Entre todas las soluciones no triviales elegimos una,
digamos x1 = a1, ..., xn+1 = an+1 con un número mı́nimo de ai no nulos. Cambiando los sub́ındices,
si es necesario, podemos asumir que x1 = a1, ..., xr = ar, xr+1 = ... = xn+1 = 0 (ai 6= 0). Como
todo múltiplo de una solución es también una solución podemos asumir a1 = 1F .
Veremos que la hipótesis que u1, u2, ..., un+1 ∈ H
′
son linealmente independientes sobre J
′
implica que existe σ ∈ J tal que x1 = σ(a1), x2 = σ(a2), ..., xr = σ(ar), xr+1 = ... = xn+1 = 0
es también una solución de (1) y σ(a2) 6= a2. Como la diferencia de dos soluciones es solución,
x1 = a1 − σ(a1), x2 = a2 − σ(a2),..., xr = ar − σ(ar),xr+1 = ... = xn+1 = 0, es también solución
de (1). Pero como a1 − σ(a1) = 1F − 1F = 0 y σ(a2) 6= a2. Luego x1 = 0, x2 = a2 − σ(a2),...,
xr = ar − σ(ar),xr+1 = ... = xn+1 = 0 es una solución no trivial de (1) (x2 6= 0) con r− 1 entradas
no nulas como mucho. Esto contradice la minimalidad de la solución x1 = a1, ..., xr = ar, xr+1 =
... = xn+1 = 0. Entonces [H
′
: J
′
] ≤ n.
Para completar la prueba debemos encontrar σ ∈ J con las propiedades dichas. Exactamente
una de las τj , digamos τ1, está en H por definición. Luego τ1(ui) = ui ∈ H
′
para todo i. Como los
ai forman una solución de (1), la primera ecuación del sistema queda:
u1a1 + u2a2 + ...+ urar = 0.
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Estructuras Algebraicas Trabajo Final
La independencialineal de los ui sobre J
′
y el hecho que los ai son no nulos implica que algun ai,
digamos a2, no está en J
′
. Entonces existe σ ∈ J tal que σ(a2) 6= a2.
Consideremos el sistema (2) de ecuaciones:
στ1(u1)x1 + στ1(u2)x2 + στ1(u3)x3 + ... + στ1(un+1)xn+1 = 0
στ2(u1)x1 + στ2(u2)x2 + στ2(u3)x3 + ... + στ2(un+1)xn+1 = 0
. .
. .
. .
στn(u1)x1 + στn(u2)x2 + στn(u3)x3 + ... + στn(un+1)xn+1 = 0
Como σ es un automorfismo y x1 = a1, ..., xr = ar, xr+1 = ... = xn+1 = 0 es una solución de (1)
entonces x1 = σ(a1), x2 = σ(a2), ..., xr = σ(ar), xr+1 = ... = xn+1 = 0 es una solución de (2). El
sistema (2), excepto el orden de las ecuaciones, es idéntico con el sistema (1). Porque sucede lo
siguiente:
(a) Para cualquier σ ∈ J , {στ1, στ2, ..., στn} ⊂ J es un conjunto completo de representantes de
las co-clases a izquierda de H en J . Si estuvieran en la misma clase (στi)
−1(στj) ∈ H ⇒
τ−1i σ
−1στj ∈ H ⇒ τ−1i τj ∈ H. Absurdo!
(b) Si ξ y θ están ambos elementos en la misma co-clase de H en J , entonces ξ(ui) = θ(ui) para
i = 1,2,...,n+ 1.
(a) implica que hay algún reordenamiento i1, ..., in+1 de 1, 2, ..., n+ 1 tal que para cada
k=1, 2, ..., n+ 1, στk y τk están en la misma co-clase de H en J . Por (b) la k-ésima ecuación de (2)
es identica a la ik-ésima ecuación de (1). �
Lema 6.7. Sea F una extensión de K, L y M cuerpos intermedios con L ⊂M , y H, J subgrupos
del grupo de Galois AutKF con H ≤ J .
(a) Si L es cerrado y [M : L] es finito entonces M es cerrado y [L
′
: M
′
] = [M : L].
(b) Si H es cerrado y [J : H] es finito entonces J es cerrado y [H
′
: J
′
] = [J : H].
(c) Si F es una extensión de Galois finito dimensional de K entonces todos los cuerpos intermedios
y todos los subgrupos del grupo de Galois son cerrados y AutKF tiene orden
[F : K].
Demostración. (b) Por el lema 6.3 J ⊂ J ′′ y H = H ′′ . Adémas por los lemas 6.5 y 6.6
[J : H] ≤ [J ′′ : H] = [J ′′ : H ′′ ] ≤ [H ′ : J ′ ] ≤ [J : H]
Entonces J = J
′′
y [H
′
: J
′
] = [J : H]. (a) se prueba de manera análoga.
(c) Si E es un cuerpo intermedio entonces [E : K] es finito (porque [F : K] lo es). Como F es de
Galois sobre K, K es cerrado y (a) implica que E es cerrado y [K
′
: E
′
] = [E : K]. En particular, si
E = F , entonces |AutKF | = [AutKF : 1] = [K
′
: F
′
] = [F : K] es finito. Entonces, todo subgrupo
J de AutKF es finito. Como 1 es cerrado (b) implica que J es cerrado. �
Observación. Notar que el segundo inciso del lema 6.7 (con H = 1) implica que todo subgrupo
finito de AutKF es cerrado. H = 1 ⇒ H
′
= F ⇒ H ′′ = F ′ = 1 y [J : 1] = |J | es finito. Estamos
bajos las hipótesis del lema luego J es cerrado.
Definición. Si E es un cuerpo intermedio de la extensión F/K, E se dice estable si todo K-
automorfismo σ ∈ AutKF manda a E en śı mismo.
Departamento de Matemática - UNLP Hoja 14 de 33
Estructuras Algebraicas Trabajo Final
Observación. Si E es estable y σ−1 ∈ AutKF es el automorfismo inverso, entonces σ−1 también
manda a E en śı mismo. Esto implica que σ | E es de hecho un K-automorfismo de E (es decir, σ
| E ∈ AutKE) con inversa σ−1 | E.
Lema 6.8. Sea F una extensión de K.
(a) Si E es un cuerpo intermedio estable de la extensión, entonces E
′
= AutEF es un subgrupo
normal del grupo de Galois AutKF .
(b) Si H es un subgrupo normal de AutKF , entonces el cuerpo fijo H
′
de H es un cuerpo intermedio
estable de la extensión.
Demostración. (a) Si u ∈ E y σ ∈ AutKF , entonces σ(u) ∈ E por la estabilidad y aśı τσ(u) = σ(u)
para cualquier τ ∈ E′ . Luego para cualquier σ ∈ AutKF , τ ∈ E
′
y u ∈ E, σ−1τσ(u) = σ−1σ(u) = u.
Entonces σ−1τσ ∈ E′ , de ah́ı deducimos que E′ es normal en AutKF .
(b) Si σ ∈ AutKF y τ ∈ H, entonces σ−1τσ ∈ H por la normalidad. Luego, para cualquier
u ∈ H ′ , σ−1τσ(u) = u, lo cual implica que τσ(u) = σ(u) para todo τ ∈ H. Aśı σ(u) ∈ H ′ para
cualquier u ∈ H ′ , lo que nos dice que H ′ es estable. �
Lema 6.9. Si F es una extensión de Galois de K y E es un cuerpo intermedio estable de la
extensión, entonces E es Galois sobre K.
Demostración. Si u ∈ E −K, entonces existe σ ∈ AutKF tal que σ(u) 6= u porque F es Galois
sobre K. Pero σ | E ∈ AutKE por la estabilidad. Entonces E es Galois sobre K. �
Lema 6.10. Si F es una extensión de K y E es un cuerpo intermedio de la extensión tal que E
es algebraico y Galois sobre K, entonces E es estable (relativo a F y K).
Demostración. Si u ∈ E, sea f ∈ K[x] el polinomio irreducible que anula a u y sean
u = u1, u2, ..., ur las ráıces distintas de f pertenecientes a E. Entonces r ≤ n = gr f . Si
τ ∈ AutKE, entonces se deduce del teorema 6.1 que τ simplemente permuta las ui. Esto implica
que los coeficientes del polinomio mónico g(x) = (x − u1)(x − u2)...(x − ur) ∈ E[x] son dejados
quietos por todo τ ∈ AutKE. Como E es de Galois sobre K, tenemos que g ∈ K[x]. Ahora bien
u = u1 es una ráız de g y por lo tanto f | g (por teorema 5.5(b)). Como g es mónico y gr g ≤ gr f ,
tenemos que f = g. Por consiguiente, todas las ráıces de f son distintas y están en E. Ahora bien
si σ ∈ AutKF , entonces σ(u) es ráız de f por el teorema 6.1, y por lo anterior σ(u) ∈ E. Por lo
tanto, E es estable relativo a F y K. �
Definición. Sea E un cuerpo intermedio de la extensión F/K. Un K-automorfismo τ ∈ AutKE
se dice extendible a F se existe σ ∈ AutKF tal que σ | τ .
Observación. Los K-automorfismos extendibles forman un subgrupo de AutKE. Si E es estable,
E
′
= AutEF es un subgrupo normal de G = AutKF (lema 6.8). En consecuencia el grupo cociente
G/E
′
está definido.
Lema 6.11. Sea F una extensión de K y E un cuerpo intermedio estable de la extensión. Entonces
el grupo cociente AutKF/AutEF es isomorfo al grupo de todos los K-automorfismo de E que son
extendibles a F .
Demostración. Como E es estable, la asignación que manda σ 7→ σ|E define un morfismo de gru-
pos AutKF → AutKE cuya imagen es el subgrupo de todos los K-automorfismos de E extendibles
a F . Su núcleo es AutEF y aplicando el primer teorema del isomorfismo para grupos obtenemos lo
querido. �
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Teorema 6.12. (Teorema Fundamental de la Teoŕıa de Galois) Si F es una extensión de Galois
finito dimensional de K, entonces existe una correspondencia uno a uno entre el conjunto de todos
los cuerpos intermedios de la extensión y el conjunto de todos los subgrupos del grupo de Galois
AutKF (dado por E 7→ E
′
= AutEF ) tal que:
(1) La dimensión relativa de dos cuerpos intermedios es igual al ı́ndice relativo de los subgrupos
corespondientes; en particular, AutKF tiene orden [F : K]
(2) F es Galois sobre todo cuerpo intermedio E, pero E es Galois sobre K si y sólo si el subgrupo
correspondiente E
′
= AutEF es normal en G = AutKF ; en este caso G/E
′
es (isomorfo a) el
grupo de Galois AutKE de E sobre K.
Demostración. En el teorema 6.4 demostramos que existe una correspondencia uno a uno entre
los cuerpos intermedios cerrados de la extensión y los subgrupos cerrados del grupo de Galois. Pero
en este caso todos los cuerpos intermedios y todos los subgrupos son cerrados por el lema 6.7(c).
Luego, el inciso (1) del teorema sale inmediatamente del lema 6.7(a).
(2) F es Galois sobre E porque E es cerrado (es decir E = E
′′
). E es finito dimensional sobre
K (porque F lo es) y por lo tanto algebraico sobre K por el teorema 5.8. Por consiguiente, si E es
Galois sobre K, entonces E es estable por el lema 6.10. Por el lema 6.8(a) E
′
= AutEF es normal
en AutKF . Luego si E
′
es normal en AutKF , entonces E
′′
es un cuerpo intermedio estable (lema
6.8(b)). Pero E = E
′′
porque todos los cuerpos intermedios son cerrados y por lo tanto E es Galois
sobre K por el lema 6.9.
Supongamos que E es un cuerpo intermedio que es Galois sobre K (entonces E
′
es normal en
AutKF ). como E y E
′
son cerrados y G
′
= K (F es Galois sobre K), el lema 6.7 implica que
|G/E′ | = [G : E′ ] = [E′′ : G′ ] = [E : K]. Por el lema 6.11 G/E′ = AutKF/AutEF es isomorfo
a un subgrupo (de orden[E : K]) de AutKE. Pero en la parte (a) del teorema demostramos que
|AutKE| = [E : K] (porque E es Galois sobre K). Esto implica que G/E
′ ∼= AutKE. �
7. Clausura algebraica
Teorema 7.1. Sea u algebraico sobre K y sea g = IrrKu . Si ψ : K(u) → L es un morfismo de
cuerpos y ϕ es la restricción de ψ a K, entonces ψ(u) es una ráız de ϕg en L. Inversamente, para
todo morfismo de cuerpos ϕ : K → L y toda ráız v de ϕg en L existe un único morfismo de cuerpos
ψ : K(u)→ L que extiende ϕ y manda u en v.
K
⊆ //
ϕ
""
K(u)
ψ
��
L
Demostración. Sea ψ : K(u)→ L un morfismo de cuerpos. Su restricción ϕ a K es un morfismo
de cuerpos. Para cada f(x) = a0 + a1x+ . . .+ amx
m ∈ K[x], tenemos que:
ψ(f(u)) = ψ(a0 + a1u+ . . .+ amu
m) = ϕ(a0) + ϕ(a1)ψ(u) + . . .+ ϕ(am)ψ(u)
m = ϕf(ψ(u)).
Como g(u) = 0 entonces ϕg(ψ(u)) = 0. Aśı ψ(u) es una ráız de ϕg en L.
Inversamente, sea v ∈ L una ráız de ϕg. Como K(u) ∼= K[x]/(g) por el teorema 5.5. Podemos
asumir K(u) = K[x]/(g) y u = x+ (g). Por la propiedad universal de K[x] (proposición 4.9), ϕ se
extiende a un único morfismo χ : K[x]→ L que manda a x en v, dado por χ : f 7→ ϕf(v). Entonces
χ(g) = ϕg(v) = 0, Aśı (g) ⊂ Ker χ.
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Estructuras Algebraicas Trabajo Final
K
⊆ //
ϕ
!!
K[x]
χ
��
π // K[x]/(g)
ψ
yy
L
Por el teorema de factorización 4.8 existe un único morfismo ψ tal que χ = ψ o π y ψ : K(u)→ L.
Entonces ψ extiende a ϕ y manda u en v. ψ es el único morfismo con esas propiedades porque 1,
u, . . . , un−1 es una base de K(u). �
Proposición 7.2. Sea K un cuerpo, son equivalentes:
(a) La única extensión algebraica de K es K.
(b) En K[x], todo polinomio irreducible tiene grado 1.
(c) Todo polinomio no constante en K[x] tiene una ráız en K.
Demostración. (a) implica (b): sea f ∈ K[x] irreducible, por el teorema 5.5 E = K[x]/(f) es una
extensión algebraica de K y tiene grado [E : K] = gr(f). Pero por (a) E = K y por lo tanto gr(f)
= 1.
(b) implica (c): como todo polinomio no constante f ∈ K[x] es producto de polinomios irredu-
cibles y por (b) los irreducibles tienen grado 1. Por lo tanto tomando u el término constante de
alguno de esos polinomios irreducibles de grado 1, se tiene f(u) = 0.
(c) implica (a): sea u algebraico sobre K, entonces por (c) q = IrrKu tiene una ráız r en K.
Por lo tanto q = x− r y q(u) = 0, luego u = r ∈ K. �
Definición. Un cuerpo es algebraicamente cerrado cuando satisface las condiciones equivalentes
de la proposición anterior.
Teorema 7.3. Todo morfismo de un cuerpo K en un cuerpo algebraicamente cerrado puede ser
extendido a toda extensión algebraica de K.
Demostración. Sea E una extensión algebraica de K y sea ϕ un morfismo de K en un cuerpo
algebraicamente cerrado L. Si E = K(u) es una extensión simple de K y q = IrrKu, entonces
ϕq
∈ L[x] tiene una ráız en L porque L es algebraicamente cerrado y por el teorema 7.1 ϕ puede ser
extendido a E.
Para el caso general vamos a usar el lema de Zorn. Sea C el conjunto de todos los pares ordenados
(F,ψ) donde F es un subcuerpo de E, K ⊆ F ⊆ E y ψ : F → L es un morfismo que extiende a
ϕ. C 6= ∅ pues (K,ϕ) ∈ C. (F,ψ) ≤ (G,χ) si y sólo si F es un subcuerpo de G y χ extiende a ψ es
un orden parcial de C. Sea (Fi, ψi)i∈I una cadena en C. Entonces F =
⋃
i∈I Fi es un subcuerpo de
E. La aplicación ψ : F → L dada por ψ(x) = ψi(x) donde x ∈ Fi, está bien definida ya que si x ∈
Fi ∩ Fj entonces supongamos (Fi, ψi) ≤ (Fj , ψj) y por lo tanto ψj extiende a ψi y ψj(x) = ψi(x).
Entonces ψ extiende a todo ψi y es un morfismo porque para cualquier x e y ∈ F existe algún i tal
que x e y ∈ Fi y ψi es un morfismo. Luego (F,ψ) ∈ C y (Fi, ψi) ≤ (F,ψ) ∀ i ∈ I, por lo tanto la
cadena está acotada en C.
Aplicando el lema de Zorn deducimos que C tiene un elemento maximal (M,µ). Si M 6= E, sea
u ∈ E\M que es algebraico sobre M porque E es una extensión algebraica de K ⊆ M . Luego µ
puede ser extendido a M(u) por el teorema 7.1, contradiciendo la maximalidad de M . Por lo tanto
M = E y µ extiende a ϕ a E. �
Lema 7.4. Todo cuerpo K tiene una extensión algebraica que contiene una ráız de todo polinomio
no constante con coeficientes en K.
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Estructuras Algebraicas Trabajo Final
Demostración. Para cualquier número finito de polinomios no constantes f1, . . . , fn ∈ K[x] apli-
cando repetidamente el teorema 5.5 sobre los irreducible factores de f1, . . . , fn podemos construir
una extensión de K en la que todo fi tiene una ráız, y esta extensión resulta algebraica por el
teorema 5.9.
Ahora escribiremos el conjunto de todos los polinomios no constantes de K[x] como la familia
indexada (fi)i∈I . Trabajeremos en el anillos de polinomios K[(xi)i∈I ], usando el mismo conjunto
de ı́ndices, y sea U el ideal de K[(xi)i∈I ] generado por todos los fi(xi).
Mostraremos que U 6= K[(xi)i∈I ]. Supongamos que 1 ∈ U y 1 =
∑
j∈J ujfj(xj) para algún
subconjuto finito J de I y polinomios uj ∈ K[(xi)i∈I ]. Como J es finito, K tiene una extensión
algebraica E en la cual todo polinomio fj tiene una ráız uj . La propiedad universal de K[(xi)i∈I ]
induce un morfismo ϕ : K[(xi)i∈I ] → E tal que ϕ(x) = x para todo x ∈ K, ϕ(xi) = 0 para
todo i ∈ I\J , ϕ(xj) = uj para todo j ∈ J . Entonces ϕ(fj(xj)) = fj(uj) = 0 y 1 = ϕ(1) =∑
j∈J ϕ(uj)ϕ(fj(xj)) = 0. Luego hay un absurdo, el cual provino de suponer que 1 ∈ U .
Ahora bien, U 6= K[(xi)i∈I ] está contenido en un ideal maximal M de K[(xi)i∈I ]. Entonces
F = K[(xi)i∈I ]/M es un cuerpo. Luego hay un morfismo de K en F que manda u 7→ u +M.
Identificando u ∈ K con u +M ∈ F , entonces F es una extensión de K. Sea ui = xi +M ∈ F .
Por la unicidad de la propiedad universal de K[(xi)i∈I ], la proyección al cociente K[(xi)i∈I ] → F
coincide con el morfismo de evaluación f((xi)i∈I) 7→ f((ui)i∈I), ya que ambos mandan xi en ui
para todo i y mandan todo u ∈ K en u +M = u. Aśı, f((xi)i∈I) +M = f((ui)i∈I) para todo
f ∈ K[(xi)i∈I ]. Aśı F = K[(ui)i∈I ] por teorema 5.5, K[(ui)i∈I ] es un cuerpo y F = K((ui)i∈I).
Además fi(ui) = fi(xi) +M = 0, o sea ui es algebraico sobre K. Entonces por el teorema 5.9 F es
algebraico sobre K. �
Teorema 7.5. Todo cuerpo K tiene una extensión algebraica K que es algebraicamente cerrado.
Además, K es única salvo un K-isomorfismo.
Demostración. Sea K = E0 ⊆ E1 ⊆ . . . ⊆ En ⊆ En+1 ⊆ . . . en donde En+1 es una extensión
algebraica de En que contiene una ráız de todo polinomio no constantes con coeficientes en En,
por lema 7.4. Entonces todo En es algebraico sobre K por teorema 5.10, y K =
⋃
n≥0En, que es
un cuerpo, es una extensión algebraica de K. Veamos que K es algebraicamente cerrado, sea f ∈
K[x] no constante. Luego los finitos coeficientes de f están todos en algún En y f tiene una ráız
en En+1 ⊆ K.
Sea L un cuerpo algebraicamente cerrado y además una extensión algebraica tal que K ⊆ L.
Por el teorema 7.3, hay un K-morfismo ϕ : K → L. Entonces Imϕ ∼= K que es algebraicamente
cerrado y L es algebraico sobre Imϕ ya que L es algebraico sobre K, por lo tanto L = Imϕ y ϕ es
un K-isomorfismos. �
Definición. Una clausura algebraica de un cuerpo K es una extensión algebraica K de K que es
algebraicamente cerrada.
Observación. El cuerpoK suele ser llamado LA clausura algebraica, ya que por el teorema anterior
todas las clausaras algebraicas son K-isomorfas.
Corolario 7.6. Para toda extensión algebraica E de K, E es una clausura algebraica de K. Por
lo tanto E es K-isomorfo a un cuerpo intermedio K ⊆ F ⊆ K de cualquier clausura algebraica de
K.
Demostración. Sea f ∈ K[x]. Como K ⊆ E entonces f ∈ E[x]. Luego las ráıces de f están en E.
Entonces E es algebraicamente cerrado. Por h́ıpótesis E es una extensión algebraica de K y E es
una extensión algebraica de E entonces E es una extensión algebraica de K por el teorema 5.10.
Por lo tanto E es una clausura algebraica de K.
E ∼= K por el teorema 7.5. LLamemos ϕ : E → K a dicho isomorfismo. Tomando
F = Im (ϕ | E) ⊆ K obtenemos lo que queremos.�
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Teorema 7.7. Toda K-endomorfismo de K es un K-automorfismo.
Demostración. Sea ϕ : K → K un K-morfismo. Como en la demostración de 7.5, Imϕ ∼= K
es algebraicamente cerrado, K es algebraico sobre Imϕ. Por lo tanto Imϕ = K y ϕ es un K-
isomorfismo. �
Teorema 7.8. Si K ⊆ E ⊆ K es una extensión algebraica de K, entonces todo K-morfismo de E
en K se extiende a un K-automorfismo de K.
Demostración. Por el teorema 7.3, todo K-morfismo de E en K se extiende a un K-endomorfismo
de K, el cual es un K-automorfismo de K por el teorema 7.7. �
8. Extensiones separables
Definición. Sea f ∈ K[x] un polinomio no constante con coeficientes en el cuerpo K. Visto como
un polinomio con coeficientes en cualquier clausura algebraica K de K, f se factoriza de manera
única en un producto de potencias positivas de polinomios irreducibles de grado 1:
f(x) = a(x− u1)m1(x− u2)m2 ...(x− ur)mr
donde a ∈ K es el coeficiente principal de f , r > 0, m1, ...,mr > 0, u1, ..., ur ∈ K son las ráıces
distintas de f en K, y mi es la multiplicidad de ui.
Definición. Un polinomio f ∈ K[x] es separable cuando no tiene ráıces múltiples en K.
Proposición 8.1. Sea q ∈ K[x] irreducible
(a) Si K tiene caracteŕıstica 0, entonces q es separable.
(b) Si K tiene caracteŕıstica p 6= 0, entonces todas las ráıces de q en K tiene la misma multiplicidad,
la cual es una potencia pm de p, y existe un polinomio irreducible separable s ∈ K[x] tal que
q(x) = s(xp
m
).
Demostración. (a) Sin perder generalidad podemos suponer que q es mónico. Si q tiene una ráız
múltiple u en K, entonces q
′
(u) = 0 por la proposición 4.10. Ahora, u es algebraico sobre K, con
q = IrrKu porque q(u) = 0. Por lo tanto q divide a q
′
por el teorema 5.5, y q
′
= 0 porque gr(q
′
) <
gr(q). Pero q
′ 6= 0 cuando K tiene caracteŕıstica 0. Como q no es constante entonces q es separable.
(b) Si q(x) =
∑
n≥0
anx
n tiene una ráız múltiple, entonces, como antes, q
′
(u) =
∑
n≥1
nanu
n−1 =
0. Por lo tanto an = 0 siempre que n no es un múltiplo de p y q sólo contiene potencias de x
p.
Aśı q(x) = r(xp) para algún r ∈ K[x]. r es mónico e irreducible en K[x] como q (si r tuviera una
factorización no trivial, entonces también la tendŕıa q) y gr(r) < gr(q). Este proceso debe parar,
entonces q = s(xp
m
), donde s ∈ K[x] es mónico, irreducible y separable.
Escribamos s(x) = (x − v1)(x − v2)...(x − vn), donde v1, ..., vn son las distintas ráıces de s en
K. Como K es algebraicamente cerrado existen u1, ..., un ∈ K tal que vi = up
m
i para todo i. En
particular u1, ..., un son distintos. En K y K, (x− y)p = xp − yp para todo x, y por la proposición
4.11. Entonces
q(x) = s(xp
m
) =
∏
i
(xp
m − up
m
i ) =
∏
i
(x− ui)p
m
.
Luego las ráıces de q en K son u1, .., un, y todas tiene multiplicidad p
m. �
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Definición. El grado de separabilidad [E : K]s de una extensión algebraica K ⊆ E es el número
de K-morfismo de E en la clausura algebraica K de K.
Proposición 8.2. Si u es algebraico sobre K, entonces [K(u) : K]s es el número de ráıces distintas
de IrrKu en K. Por lo tanto [K(u) : K]s ≤ [K(u) : K]; Si K tiene caracteŕıstica p 6= 0, entonces
[K(u) : K] = pm[K(u) : K]s para algún m ≥ 0 ; y [K(u) : K]s = [K(u) : K] si y sólo si IrrKu es
separable.
Demostración. Observar que [E : K]s no depende de la elección de K. [K(u) : K]s es el número
de K-morfismos de K(u) en K. Por el teorema 5.5
{
1K , u, u
2, ..., un−1
}
es una base del K-espacio
vectorial K(u). Por lo que todo morfismo de K(u) en K está determinado por su acción sobre u.
Como u es algebraico sobre K, llamando g = IrrKu, podemos aplicar el teorema 7.1. Luego si
ψ : K(u)→ K es un morfismo de cuerpos y ϕ es la restricción de ψ a K, entonces ψ(u) es una ráız
de ϕg en K. Por lo tanto [K(u) : K]s es el número de ráıces distintas de IrrKu en K.
Si K tiene caracteŕıstica p 6= 0, entonces [K(u) : K] = pm[K(u) : K]s para algún m ≥ 0 por la
proposición 8.1(b). [K(u) : K]s = [K(u) : K] si y sólo si IrrKu es separable porque ya vimos que
[K(u) : K]s es el número de ráıces distintas de IrrKu en K. �
Definición. Un elemento u es separable sobre K cuando u es algebraico sobre K y IrrKu es
separable. Una extensión algebraica E de K es separable, o E es separable sobre K, cuando todo
elemento E es separable sobre K.
9. Extensiones trascendentales
Definición. Una extensión K ⊆ F es totalmente trascendente o F es totalmente trascendente
sobre K cuando todo elemento de F −K es trascendente sobre K.
Definición. Una familia (ui)i∈I de elementos de una extensión K ⊆ F es algebraicamente indepen-
diente sobre K cuando f((ui)i∈I) 6= 0 para todo polinomio no nulo f ∈ K[(xi)i∈I ]. Un subconjunto
S de una extensión K ⊆ F es algebraicamente independiente cuando es algebraicamente indepen-
diente sobre K como una familia (s)s∈S.
Lema 9.1. Si S es algebraicamente independiente sobre K y v es trascendente sobre K(S) entonces
S ∪ {v} es algebraicamente independiente sobre K.
Demostración. Si hay distintos s1, ..., sn−1 ∈ S y un f ∈ K[x1, ..., xn] tal que f(s1, ..., sn−1, v) =
0, entonces v es una ráız de f(s1, ..., sn−1, xn) ∈ K(S)[xn]. f ∈ K[x1, ..., xn] = K[x1, ..., xn−1][xn],
por lo tanto f = hrx
r
n + hr−1x
r−1
n + ... + h1xn + h0 donde cada hi ∈ K[x1, ..., xn−1]. Como v es
trascendente sobre K(S), tenemos que f(s1, ..., sn−1, xn) = 0. En consecuencia, hi(s1, ..., sn−1) = 0
para todo i. La independencia algebraica de S implica que hi = 0 para todo i, por lo tanto f = 0.
Entonces S ∪ {v} es algebraicamente independiente. �
Definición. Una base trascendente S de una extensión K ⊆ F es un subconjunto de F tal que S
es algebraicamente independiente sobre K y F es algebraico sobre K(S).
Teorema 9.2. Toda extensión de cuerpos K ⊆ F tiene una base trascendente; de hecho, cuando
S ⊆ T ⊆ F , S es algebraicamente independiente sobre K, y F es algebraico sobre K(T ), entonces
F tiene una base trascendente S ⊆ B ⊆ T sobre K.
Demostración. La unión de una cadena de subconjuntos algebraicamente independientes es al-
gebraicamente independiente.
Sea S ⊆ T ⊆ F , donde S es algebraicamente independiente sobre K y F es algebraico sobre
K(T ). Sea A el conjunto de todos los subconjuntos A algebraicamente independientes tales que
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Estructuras Algebraicas Trabajo Final
S ⊆ A ⊆ T . Entonces A 6= ∅, y por lo anterior, toda cadena no vaćıa de A tiene una cota superior
en A. Por el lema de Zorn, A tiene un elemento maximal B. Si v ∈ T −B, entonces v es algebraico
sobre K(B): de lo contrario, B ∪ {v} es algebraicamente independiente por el lema 9.1 y B no
es maximal en A. Por el teorema 5.9 y el teorema 5.10 K(T ) es algebraico sobre K(B) y F es
algebraico sobre K(B). Por lo tanto B es una base trascendente de F . �
10. Extensiones normales
Definición. Decimos que f ∈ K[x] se descompone sobre una extensión E de K cuando f puede
ser escrito como producto de factores lineales de E[x]. Es decir, f = a(x − u1)(x − u2)...(x − un)
en E[x].
Definición. Sea K un cuerpo. El cuerpo de descomposición sobre K de un polinomio f ∈ K[x] es
una extensión E de K tal que f se descompone en E y E = K(u1, u2, ..., un), donde u1, u2, ..., un
son las ráıces de f en E[x].
El cuerpo de descomposición sobre K del conjunto S ⊆ K[x] de polinomios es una extensión E
de K tal que todo f ∈ S se descompone en E y E está generado sobre K por todas las ráıces de
todos los polinomios de f ∈ S.
Lema 10.1. Si E y F son cuerpos de descomposición de S ⊆ K[x] sobre K, y F ⊆ K, entonces
ϕE = F para todo K-morfismo ϕ : E → K.
Demostración. Todo f ∈ S tiene una factorización única f(x) = a(x− u1)(x− u2)...(x− un) en
E[x] y f(x) = a(x − v1)(x − v2)...(x − vn) en F [x] ⊆ K[x]. Como ϕ es la identidad sobre K, f =
ϕf = a(x−ϕu1)(x−ϕu2)...(x−ϕun) en K[x]. Entonces ϕ {u1, ...,un} = {v1, ..., vn}. Aśı ϕ manda
el conjunto R de todas las ráıces de todos los f ∈ S en E, en el conjunto S de todas las ráıces de
todos los f ∈ S de F . Por lo tanto ϕ manda E = K(R) en K(S) = F . �
Definición. Una extensión normal E de un cuerpo K es una extensión algebraica tal que todo
polinomio irreducible f ∈ K[x] que tiene una ráız en E se descompone en E[x].
Proposición 10.2. Para una extensión algebraica K ⊆ E ⊆ K son equivalentes:
(a) E es el cuerpo de descomposición sobre K de un conjunto de polinomios.
(b) ϕE = E para todo K-morfismo ϕ : E → K.
(c) ϕE ⊆ E para todo K-morfismo ϕ : E → K.
(d) σE = E para todo K-automorfismo σ de K.
(e) σE ⊆ E para todo K-automorfismo σ de K.
(f) Todo polinomio irreducible q ∈ K[x] con una ráız en E se descompone en E.
Demostración. (a) ⇒ (b) por el lema 10.1, (b) ⇒ (c) y (d) ⇒ (e). (b) ⇒ (d) y (c) ⇒ (e) porque
todo K-automorfismo de K induce un K-morfismo de E en K (es la restricción).
(e) ⇒ (f). Sea q ∈ K[x] irreducible, con una ráız u en E. Podemos asumir que q es mónico
entonces q = IrrKu. Para toda ráız v de q en K por 7.1 obtenemos un K-morfismo ϕ de K(u) ⊆ E
en K que manda u en v. Por el corolario 7.6, ϕ se extiende a un K-automorfismo σ de K. Entonces
v = σu ∈ E por (e). Aśı E contiene toda ráız de q en K. Por lo tanto q descompone a E.
(f) ⇒ (a). E es un cuerpo de descomposición de S = {IrrKu ∈ K[x] : u ∈ E}. Todo q =
IrrKu ∈ S tiene una ráız u en E y descompone a E por (f). Más aún, E consiste de todas las
ráıces de q ∈ S. �
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Definición. Sea K un cuerpo. Un conjugado de u ∈ K sobre K es la imagen de u por un K-
automorfismo de K. Un conjugado de una extensión algebraica E ⊆ K de K es la imagen de E
por un K-automorfismo de K.
Proposición 10.3. Sobre un cuerpo K, los conjugados u ∈ K son las ráıces de IrrKu en K.
Demostración. Si σ es un K-automorfismo de K entonces σu es una ráız de q = IrrKu porque
q(σu) = σq(σu) = σq(u) = 0. Inversamente, Si v es una ráız de q en K, entonces por 7.1 hay un
K-morfismo ϕ de K(u) ⊆ E en K que manda a u en v, el cual por el teorema 7.8 se extiende a un
K-automorfismo σ de K. �
Proposición 10.4. Si F es de Galois sobre K y E ⊆ F es normal sobre K, entonces E es de
Galois sobre K.
Demostración. Sea v ∈ E −K. En particular v ∈ F −K entonces existe un K-automorfismo
ϕ ∈ AutKF tal que ϕ(v) 6= v. Sea ψ = ϕ | E : E → E. E ⊆ F es normal sobre K es equivalente
por la proposición 10.2(d) a que ϕE = E. Luego ψ es un automorfismo tal que ψ(v) 6= v. �
Teorema 10.5. Sea F una extensión del cuerpo K, entonces son equivalentes:
(a) F es algebraico y de Galois sobre K.
(b) F es separable sobre K y F es un cuerpo de descomposición sobre K de un conjunto S de
polinomios en K[x].
(c) F es un cuerpo de descomposición sobre K de un conjunto T de separables polinomios en K[x].
Demostración. (a) ⇒ (b) y (c) Si u tiene polinomio irreducible f , entonces la primera parte de
la prueba del lema 6.10 (con E = F ) muestra que f se descompone en F [x] en un producto de
distintos factores lineales. Entonces u es separable sobre K. Sea {vi : i ∈ I} una base de F sobre
K y para cada i ∈ I sea fi ∈ K[x] el polinomio irreducible de vi. Luego cada fi es separable y se
descompone en F [x]. Por lo tanto F es el cuerpo de descomposición sobre K de S = {fi : i ∈ I}.
(b)⇒ (c) Sea f ∈ S y sea g ∈ K[x] un factor mónico e irreducible de f . Como f se descompone
en F [x], g tiene que ser el polinomio irreducible de algún u. Como F es separable sobre K, g es
necesariamente separable. De acá se sigue que F es el cuerpo de descomposición sobre K de el
conjunto T de polinomios separables que consiste de todos los factores mónicos e irreducibles (en
K[x]) de polinomios en S.
(c) ⇒ (a) F es algebraico sobre K porque cualquier cuerpo de descomposición sobre K es una
extención algebraica. Si u ∈ F − K, entonces u ∈ K(v1, . . . , vn) con cada vi una ráız de algún
polinomio fi ∈ T por la definición de cuerpo de descomposición y la finitud de los coeficientes de
u. Entonces u ∈ E = K(u1, . . . , ur) donde las ui son todas las ráıces de los polinomios f1, . . . , fn en
F . Luego [E : K] es finito por teorema 5.9. Como cada fi se descompone en F , E es un cuerpo de
descomposición sobre K de el conjunto finito {f1, . . . , fn}, o equivalentemente, de f = f1f2 . . . fn.
Asumamos por ahora que el teorema es cierto en el caso finito dimensional. Entonces E es Galois
sobre K y por lo tanto existe τ ∈ AutKE tal que τ(u) 6= u. Como F es un cuerpo de descomposición
de T sobre E, extendemos a τ a un automorfismo σ ∈ AutKF tal que σ(u) = τ(u) 6= u por el
teorema 7.3. Por lo tanto, todo u no está en el cuerpo fijo de AutKF . Luego F es de galois sobre
K.
El argumento en el párrafo anterior muestra que sólo es necesario probar el teorema cuando
[F : K] es finito. En este caso existen finitos polinomios g1, . . . , gt ∈ T tal que F es un cuerpo de
descomposición de {g1, . . . , gt} sobre K. Además AutKF es un grupo finito por el lema 6.5. Si K0
es el cuerpo fijo de AutKF , entonces F es una extensión de Galois de K0 con [F : K0] = |AutKF |
por el teorema fundamental 6.12. Para probar que F es Galois sobre K (o sea K0 = K) es suficiente
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con probar que [F : K] = |AutKF |.
Veamoslo por inducción sobre n = [F : K], cuando n = 1 es trivial porque K = F = K0. Si
n ≥ 2, entonces uno de los gi, digamos g1, tiene grado s ≥ 2 (sino todas las ráıces de gi están en
K y K = F ). Sea u ∈ F una ráız de g1, entonces [K(u) : K] = gr(u) = s por el teorema 5.5 y
la cantidad de ráıces distintas de g1 es s porque g1 es separable. El segundo párrafo de la prueba
del lema 6.5 muestra que hay una aplicación inyectiva desde el conjunto de todas las co-clases de
H = AutK(u)F en AutKF en el conjunto de todas las ráıces de g1 en F , dado por σH 7→ σ(u). Luego,
[AutKF : H] ≤ s. Ahora bien, si v ∈ F es otra ráız de g1, hay un isomorfismo τ : K(u)→ K(v) con
τ(u) = v y τ |K = 1K por el corolario 5.7. Como F es un cuerpo de descomposición de {g1, . . . , gt}
sobre K(u) y sobre K(v), extendemos τ a un automorfismo σ ∈ AutKF con σ(u) = u. Luego, toda
ráız de g1 es la imagen de alguna co-clase de H y [AutKF : H] = s. Por lo tanto, F es un cuerpo
de descomposición sobre K(u) de el conjunto de todos los factores irreducibles hj (en K(u)[x]) de
los polinomios gi. Cada hj es separable porque divide a algún gi. Como [F : K(u)] = n/s < n, la
hipótesis inductiva implica que [F : K(u)] = |AutKF | = |H|. Finalmente,
[F : K] = [F : K(u)][K(u) : K] = |H|s = |H|[AutKF : H] = |AutKF |.
�
Teorema 10.6. Sea F una extensión algebraica de un cuerpo K, entonces son equivalentes:
(a) F es normal sobre K.
(b) F es un cuerpo de descomposición sobre K de algún conjunto de polinomios en K[x].
(c) Si K es alguna clausura algebraica de K que contiene a F , entonces para cualquier K-monomorfismo
de cuerpos σ : F → K, Imσ = F o sea que σ es realmente un K-automorfismo de F .
Demostración. (a)⇒ (b) F es un cuerpo de descomposición sobre K de {fi ∈ K[x] : i ∈ I}, donde
{ui : i ∈ I} es una base de F sobre K y fi = IrrKui.
(b) ⇒ (c) Sea F un cuerpo de descomposición de {fi : i ∈ I} sobre K y sea σ : F → K un K-
monomorfismo de cuerpos. Si u ∈ F es una ráız de fi, entonces σ(u) tambien es ráız por el teorema
6.1. Por hipótesis fi se descompone en F , digamos fi = c(x − u1) . . . (x − un) con ui ∈ F y c ∈
K. Luego σ(ui) debe ser una de u1 . . . un para todo i. Como σ es inyectivo, entonces simplemente
permuta las ui. Pero F es generado sobre K por todas las ráıces de todos los polinomios fi, luego
σF = F y σ ∈ AutKF .
(c)⇒ (a) Sea K una clausura algebraica de F . Entonces K es algebraico sobre K por el teorema
5.10. Luego K es una clausura algebraica de K que contiene a F . Sea f ∈ K[x] irreducible con
una ráız u ∈ F . Por construcción K contiene todas lasráıces de f . Si v ∈ K es alguna ráız de f
entonces hay un K-isomorfismo de cuerpos σ : K(u)→ K(v) tal que σ(u) = v por el corolario 5.7,
el cual se extiende a un K-automorfismo de K. σ | F es un monomorfismo F → K y por hipótesis
σ(F ) = F . Por lo tanto, v = σ(u) ∈ F , lo que implica que f se descompone en F . Luego F es
normal sobre K. �
Corolario 10.7. Sea F una extensión algebraica del cuerpo K. Entonces, F es Galois sobre K si
y sólo si F es normal y separable sobre K.
Demostración. Se deduce del teorema 10.5 y el teorema 10.6 �
Teorema 10.8. Si E es de Galois sobre K entonces |AutKE| = [E : K].
Demostración. Si E ⊆ K es normal sobre K, entonces todo K-morfismo de E en K manda E en
E y es un K-automorfismo de E. Aśı |AutKE| = [E : K]s = [E : K] cuando E es separable sobre
K. �
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Proposición 10.9. Sean E1, E2 cuerpos intermedios de una extensión de Galois finita F de K,
con grupos de Galois H1, H2. Cuando F ⊆ K, E1 y E2 son conjugados si y sólo si H1 y H2 son
conjugados en AutKF .
Demostración. E1 y E2 son conjugados si y sólo si τE2 = E1 para algún τ ∈ AutKF , en efecto,
τ puede ser extendido a un K-automorfismo σ de K. Inversamente, si σE2 = E1 para algún
K-automorfismo σ de K, entonces σ tiene una restricción τ a la extensión normal F , τ es un
K-automorfismo de F , y τE2 = E1. �
Teorema 10.10. Si F es una extensión de Galois finita de K, entonces un cuerpo intermedio
K ⊆ E ⊆ F es normal sobre K si y sólo si AutFE es normal en AutKF , y entonces AutKE ∼=
AutKF/AutEF .
Demostración. Por proposición 10.9, E es normal sobre K (E tiene sólo un conjugado) si y sólo
si AutEF es normal en AutKF . Ahora, sea E normal sobre K. Por la proposición 10.4, E es Galois
sobre K. Por lo tanto todo σ ∈ AutKF tiene una restricción σ | E a E que es un K-automorfismo
de E. Entonces Φ : σ 7→ σ | E es un morfismo de AutKF en AutKE suryectivo porque todo K-
automorfismo de E se extiende a un K-automorfismo de K cuya restricción a la extensión normal
F es un K-automorfismo de F . Además Ker Φ = AutEF . �
11. Extensiones ćıclicas
Definición. Recordar que una transformación lineal T de un espacio finito dimensional V tiene
determinante y traza. Sea
C(x) = det(T − xI) = (−1)nxn + (−1)n−1cn−1xn−1 + . . .+ c0
el polinomio caracteŕıstico de T , entonces el determinante de T es c0 y la traza es cn−1.
Definición. Sea E una extensión finita del cuerpo K. La norma NEK(u) y la traza Tr
E
K(u) de
u ∈ E sobre K son el determinante y la traza de la transformación lineal Tu : v 7→ uv de E.
Ambos NEK(u) y Tr
E
K(u) son elementos de K. Cuando K ⊂ E es la única extensión mencionada
denotaremos NEK(u) y Tr
E
K(u) por N(u) y Tr(u).
Lema 11.1. Si E es finito sobre K y u ∈ E, entonces det(Tu − xI) = (−1)nq(x)l donde n =
[E : K], q = IrrKu y l = [E : K(u)].
Demostración. Tenemos que Tαβ = αTβ, Tβ+γ = Tβ + Tγ y Tβγ = TβTγ para todo α ∈ K, β,
γ ∈ E. Por lo tanto f(Tα) = Tf(α) para todo f ∈ K[x]. En particular, q(Tu) = Tq(u) = 0.
Elegimos una base de E sobre K. La matriz M de Tu en esta base puede ser vista como una
matriz con coeficientes en K, y el polinomio caracteŕıstico c(x) = det(Tu − xI) de Tu también es
el polinomio caracteŕıstico de M . En K[x], c es el producto de su coeficiente principal (−1)n y
polinomios irreducibles mónicos r1, . . . , rl ∈ K[x]. Si λ ∈ K es una ráız de rj , entonces c(λ) = 0, λ
es un autovalor de M y Mv = λv para algún v 6= 0. Además f(M)v = f(λ)v para todo f ∈ K[x].
En particular q(λ)v = q(M)v = 0 entonces q(λ) = 0. Por lo tanto rj = IrrKλ = q. Entonces
c = (−1)nql. Entonces l = gr(c)/gr(q) = [E : K]/[K(u) : K] = [E : K(u)]. �
Teorema 11.2. Sea E una extensión finita de K de grado n. Sean u1, . . . , ur ∈ K los distintos
conjugados de u ∈ E, y sean ϕ1, . . . , ϕt los distintos K-morfismos de E en K. Entonces r y t
dividen a n y
NEK(u) = (u1 . . . ur)
n/r = (ϕ1(u) . . . ϕt(u))
n/t ∈ K.
TrEK(u) =
n
r
(u1 + . . .+ ur) =
n
t
(ϕ1(u) + . . .+ ϕt(u)) ∈ K.
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Demostración. Los conjugados de u son las ráıces de q = IrrKu (proposición 10.3), los cuales
tienen la misma multiplicidad m por la proposición 8.1. Entonces
q(x) = (x− u1)m . . . (x− ur)m
= xrm −m(u1 + . . .+ ur)xrm−1 + . . .+ (−1)rm(u1 . . . ur)m.
Entonces [K(u) : K] = rm divide a n y l = [E : K(u)] = n/rm. Por el lema 11.1, c(x) = det(Tu−xI)
= (−1)nq(x)l. El coeficiente constante de c es
N(u) = (−1)n(−1)rml(u1 . . . ur)ml = (u1 . . . ur)n/r
La traza de u es (−1)n−1 veces el coeficiente de xn−1 de c
Tr(u) = (−1)n−1(−1)n(−l)m(u1 + . . .+ ur) =
n
r
(u1 + . . .+ ur)
t = [E : K]s el cual divide a n por la proposición 8.2. Como q tiene r ráıces distintas en K, hay r
K-morfismo de K(u) en K que mandan a u en u1, . . . , ur. Cada uno puede ser extendido a E en k
= [E : K(u)]s maneras. Como t = kr entonces (ϕ1u) . . . (ϕtu) = (u1 . . . ur)
k y ϕ1u + . . . + ϕtu =
k(u1 + . . .+ ur). Como (n/r)/k = n/t obtenemos lo querido. �
Corolario 11.3. Sea E finito dimensional sobre K y sea u ∈ E.
(a) Si u ∈ K, entonces NEK(u) = un y TrEK(u) = nu donde n = [E : K].
(b) Si E = K(u) es separable sobre K entonces NEK(u) es el producto de los conjugados de u y
TrEK(u) es su suma.
(c) Si E es de Galois sobre K, con grupo de Galois G, entonces NEK(u) =
∏
σ∈G
σu y
TrEK(u) =
∑
σ∈G
σu.
Demostración. (a) NEK(u) = (u1, ..., ur)
n/r y TrEK(u) =
n
r
(u1 + . . . + ur) por el teorema 11.2.
Como u ∈ K el único conjugado de u es él mismo. Entonces NEK(u) = un y TrEK(u) = nu por el
teorema 11.2.
(b) Sobre un cuerpo E, los conjugados de u ∈ E son las ráıces de IrrEu en E por la proposición
10.3. E = K(u) es separable por hipótesis entonces u ∈ E es separable sobre K, es decir u es
algebraico sobre K y IrrKu es separable. Entonces [K(u) : K]s = [K(u) : K] por la proposición
8.2. E = K(u) implica que [E : K]s = [E : K]. Entonces N
E
K(u) es el producto de los conjugados
de u y TrEK(u) es su suma.
(c) E es de Galois sobre K entonces |AutKE| = [E : K] = [E : K]s (ver la demostración del
teorema 10.8). Queremos ver que t = n del teorema 11.2 donde ϕ1, ..., ϕt : E → K son distintos K-
morfismos. [E : K]s por definición es el número de K-morfismo de E en K y n = [E : K] = [E : K]s.
Veamos que los ϕi : E → K son ϕi ∈ AutKE. Si σ ∈ AutKE se puede pensar que σ : E → K como
K-morfismo. Además |AutKE| = [E : K]s entonces σ = ϕi para algún i. �
Teorema 11.4. Si E es finito sobre K, entonces NEK(uv) = N
E
K(u)N
E
K(v) y
TrEK(u+ v) = Tr
E
K(u) + Tr
E
K(v) para todo u, v ∈ E.
Demostración. En el teorema 11.2 ϕ1, . . . , ϕt son morfismos.
NEK(uv) = (ϕ1(uv) . . . ϕt(uv))
n/t = (ϕ1(u)ϕ1(v) . . . ϕt(u)ϕt(v))
n/t =
(ϕ1(u) . . . ϕt(u))
n/t(ϕ1(v) . . . ϕt(v))
n/t = NEK(u)N
E
K(v).
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TrEK(u+ v) =
n
t
(ϕ1(u+ v) + . . .+ ϕt(u+ v)) =
n
t
(ϕ1(u) + ϕ1(v) + . . .+ ϕt(u) + ϕt(v)) =
n
t
(ϕ1(u) + . . .+ ϕt(u)) +
n
t
(ϕ1(v) + . . .+ ϕt(v)) = Tr
E
K(u) + Tr
E
K(v).
�
Teorema 11.5. Si K ⊂ E ⊂ F son finitos sobre K, entonces NFK(u) = NEK(NFE (u)) y TrFK(u) =
TrEK(Tr
F
E(u)) para todo u ∈ E.
Demostración. Podemos asumir que F ⊂ K y elegir E = K. Sea m = [E : K] y n = [F : E],
sean ϕ1, . . . , ϕt K-morfismos distintos de E en K, y sean sean ψ1, . . . , ψs E-morfismos distintos de
F en E = K. Sean σ1, . . . , σt K-automorfismo de K que extienden a ϕ1, . . . , ϕt. Si χ : F → K es
un K-morfismo, entonces χ | E = ϕi para algún i, σ−1i χ : F → K es un E-morfismo, σ
−1
i χ = ψj
para algún j, y χ = σiψj . Aśı los K-morfismos de F en K son los ts distintos σiψj . Ahora usamos
el teorema 11.2, como NFE (u) ∈ E,
NFK(u) =
∏
i,j
σiψju
mn/ts =
∏
i
σi
∏
j
ψju
n/s

m/t
=
(∏
i
σiN
F
E (u)
)m/t
=
(∏
i
ϕiN
F
E (u)
)m/t
= NEK(N
F
E (u))
Análogamente, siguiendo el mismo razonamiento, obtenemos
TrFK(u) =
mn
ts
∑
i,jσiψju
 = m
t
∑
i
σi
n
s
∑
j
ψju
 = m
t
(∑
i
σiTr
F
E(u)
)
=
m
t
(∑
i
ϕiTr
F
E(u)
)
= TrEK(Tr
F
E(u))
�
Lema 11.6. Sean E y F extensiones de K. Distintos K-morfismo de E en F son linealmente
independientes sobre F .
Demostración. Supongamos que γ1ϕ1 + . . . + γnϕn = 0, con n > 0, γ1, . . . , γn ∈ F no todos
nulos y ϕ1, . . . , ϕn distintos K-morfismos de E en F . Entre todas las igualdades que cumplen con
lo anterior hay alguna en la cual n es el menor posible. Entonces γi 6= 0 para todo i y n ≥ 2. Como
ϕn 6= ϕ1 tenemos que ϕnu 6= ϕ1u para algún u ∈ E. Entonces
γ1(ϕ1u)(ϕ1v) + . . .+ γn(ϕnu)(ϕnv) = γ1ϕ1(uv) + . . .+ γnϕn(uv) = 0 y
γ1(ϕnu)(ϕ1v) + . . .+ γn(ϕnu)(ϕnv) = 0
Para todo v ∈ E. Sustrayendo la segunda suma a la primera obtenemos
γ1(ϕ1u− ϕnu)(ϕ1v) + . . .+ γn−1(ϕn−1u− ϕnu)(ϕn−1v) = 0
Para todo v ∈ E. Entonces
γ1(ϕ1u− ϕnu)ϕ1 + . . .+ γn−1(ϕn−1u− ϕnu)ϕn−1 = 0
Con γ1(ϕ1u− ϕnu)ϕ1 no nulo. Absurdo! (por la minimalidad del n). �
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Teorema 11.7. (Teorema de Hilbert 90 [1897]). Sea E una extensión de Galois finita de K. Si el
grupo AutKE es ćıclico, AutKE = < τ >, entonces para cualquier u ∈ E
(1) NEK(u) = 1 si y sólo si u = τv/v para algún v ∈ E no nulo.
(2) TrEK(u) = 0 si y sólo si u = τv − v para algún v ∈ E.
Demostración. Si v ∈ E, no nulo, entonces
N(τv) =
∏
σ∈G
στv =
∏
σ∈G
σv = N(v)
por el corolario 11.3(c), donde G = AutKE. De ah́ı N(τv/v) = 1 por el teorema 11.4.
Inversamente, supongamos que N(u) = 1. Sea [E : K] = n. Entonces AutKE =
{
1, τ, . . . , τn−1
}
.
1, τ, . . . , τn−1 son linealmente independientes sobre K por el lema 11.6, luego
1 + uτ + u(τu)τ2 + . . .+ u(τu) . . . (τn−2u)τn−1 6= 0 y
w = v + u(τv) + u(τu)(τ2v) + . . .+ u(τu) . . . (τn−2u)(τn−1v) 6= 0
para algún v ∈ E. Si N(u) = u(τu) . . . (τn−2u)(τn−1u) = 1. Entonces
u(τw) = uτv + u(τu)(τ2v) + . . .+ u(τu) . . . (τn−1u)(τnv) = w
porque τn = 1. Por lo tanto u = τw−1/w−1.
Análogamente, Si v ∈ E, entonces
Tr(τv) =
∑
σ∈G
στv =
∑
σ∈G
σv = Tr(v).
por el corolario 11.3, donde G = AutKE. De ah́ı Tr(τv − v) = 0 por el teorema 11.4.
Inversamente, supongamos que Tr(u) = 0. Como 1, τ, . . . , τn−1 son linealmente independientes
sobre K, tenemos
1 + τ + . . .+ τn−1 6= 0 y
Tr(v) = v + +τv + . . .+ τn−1v 6= 0
para algún v ∈ E. Sea
w = uτv + (u+ τu)(τ2v) + . . .+ (u+ τu+ . . .+ τn−2u)(τn−1v).
Si Tr(u) = u+ +τu+ . . .+ τn−1u = 0 entonces
τw = (τu)(τ2v) + (τu+ τ2u)(τ3v) + . . .+ (τu+ τ2u+ . . .+ τn−2u)(τn−1v)− uv
Aśı w − τw = uτv + uτ2v + . . .+ uτn−1v + uv = uTr(v) y u = τ(−w/Tr(v))− (−w/Tr(v)). �
Definición. Una extensión ćıclica es una extensión de Galois finita cuyo grupo de Galois es ćıclico.
Teorema 11.8. Sea n > 0. Sea K un cuerpo cuya caracteŕıstica es 0 ó no un divisor de n, y que
contiene una ráız n-ésima primitiva de la unidad.
(a) Si E es una extensión ćıclica de K de grado n entonces E = K(u) donde un ∈ K.
(b) Si E = K(u) donde un ∈ K, entonces E es una extensión ćıclica de K, m = [E : K] divide a
n, y um ∈ K.
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Demostración. Por hipótesis, K contiene una ráız n-ésima primitiva de la unidad � ∈ K.
(a) Sea E es una extensión ćıclica de K de grado n y AutKE = < τ >. Como N(�) = �
n
= 1 tenemos que τu = �u para algún u ∈ E, u 6= 0, por el teorema 11.7. Entonces τ(un) =
(τu)n = un. Aśı σ(un) = un para todo σ ∈ AutKE y un ∈ K. Como u tiene n conjugados
u, τu = �u, . . . , τn−1u = �n−1u son n K-morfismos de K(u) en K, [K(u) : K] = [E : K] y
K(u) = E.
(b) Sea ahora E = K(u) donde un = c ∈ K. Podemos suponer que E ⊂ K y que u /∈ K. En K,
las ráıces de xn−c ∈ K[x] son u, �u, . . . , �n−1u. Aśı xn−c es separable, su cuerpo de descomposición
es E, y E es Galois sobre K.
Si σ ∈ AutKE, entonces σu es una ráız de xn − c y σu = �iu para algún i. Esto nos provee
de un morfismo de AutKE en el grupo multiplicativo de todas las ráıces n-ésimas de la unidad,
el cual es inyectivo porque u genera a E. El grupo anterior es ćıclico de orden n, aśı AutKE es
ćıclico y su orden m divide a n. Sea AutKE = < τ > y τu = �
ju, entonces �j tiene orden m,
τ(um) = (τu)m = um, σ(um) = um para todo σ ∈ AutKE y um ∈ K. �
Teorema 11.9. Sea � ∈ K una ráız n-ésima primitiva de la unidad para algún n > 0. Si K tiene
caracteŕıstica p 6= 0, entonces p no divide a n; K(�) es una extensión de Galois de K de grado
menor o igual que n y AutKK(�) es abeliano.
Demostración. Supongamos que p divide a n. Entonces ph = n para algún h. �n = 1 pero
�ph = (�p)h = 0h = 0 porque p es la caracteŕıstica. Absurdo!
Sea f(x) = xn − 1 ⇒ f(�) = 0 ⇒ � es algebraico sobre K. Por el teorema 5.5 IrrK� divide a f
entonces gr(IrrK�) = [K(�) : K] ≤ gr(f) = n. Además K(�) es el cuerpo de descomposición de f .
Este polinomio tiene todas sus ráıces distintas por ser las ráıces de la unidad luego f es separable.
� es separable sobre K porque � es algebraico sobre K y el IrrK� es separable. Es claro que todo
elemento de K es separable sobre K. Entonces K(�) es separable sobre K. Es decir, K(�) es una
extensión de Galois de K.
Queremos ver que si σ, τ ∈ AutKK(�) entonces σ(τ(u)) = τ(σ(u)) para todo u ∈ K(�). Sabemos
que es cierto para todo elemento de K porque un elemento de AutKK(�) lo manda a si mismo.
Falta ver que es cierto para � y luego usando 5.5(e) se prueba que es cierto en K(�). Los σ mandan
a � en otra ráız primitiva. Luego σ(τ(�)) = σ(�j) = (σ(�))j = �lj = �jl = (τ(�))l = τ(�l) = τ(σ(�)).
�
Teorema 11.10. (Artin-Schreier). Sea K un cuerpo con caracteŕıstica p 6= 0. Si E es una extensión
ćıclica de K de grado p, entonces E = K(u), donde up − u ∈ K. Si E = K(u), donde up − u ∈ K,
u /∈ K, entonces E es una extensión ćıclica de K de grado p.
Demostración. Sea E ćıclico sobre K de grado p y AutKE =< τ >. Como tr(1) = p1 = 0
tenemos que τu− u = 1 para algún u ∈ E por el teorema de Hilbert 11.7(2). Entonces τ iu = u+ i
para todo i. Aśı u tiene p conjugados τ iu = u + i, 0 ≤ i < p. Hay p K-morfismos de K(u) en K,
[K(u) : K] = [E : K] y K(u) = E.
Sea ahora E = K(u), donde c = up − u ∈ K y u /∈ K. Podemos suponer que E ⊂ K. Como K
tiene caracteŕıstica p, por la proposición 4.11, (u+1)p− (u+1) = up−u = c. Entonces las ráıces de
xp−x−c ∈ K[x] son u, u+1, . . . , u+p−1. Luego xp−x−c es separable, su cuerpo de descomposición
es E, y E es Galois sobre K. Más aún, IrrKu divide a x
p − x − c, aśı [E : K] ≤ p. Tenemos que
τu = u+ 1 para algún τ ∈ AutKE entonces τ iu = u+ i 6= u para todo i = 1, 2, . . . , p− 1, τpu = u,
y τ tiene orden p en AutKE. Entonces AutKE =< τ >, AutKE tiene orden p y [E : K] = p. �
12. Resolución por radicales
Definición. Un elemento u de una extensión de K es radical sobre K cuando para algún n > 0,
un ∈ K y la caracteŕıstica de K no divide a n, o cuando up−u ∈ K donde p 6= 0 es la caracteŕıstica
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de K. Una extensión por radicales de K es una extensión simple E = K(u), donde u es radical
sobre K.
Definición. Una extensión F/K es resoluble por radicales cuando existe una torre de extensiones
radicales K = E0 ⊂ E1 ⊂ . . . ⊂ Er tal que F ⊂ Er. Un polinomio es resoluble por radicales sobre
K cuando su cuerpo de descomposición es resoluble sobre K.
Observación. En la definición anterior podemos suponer que F = Er porque como la extensión
por radicales es una extensión simple y Ej ⊂ F ⊂ Ej+1 para algun j entonces Ej = F ó F = Ej+1.
Proposición 12.1.
(a) Si F es resoluble por radicales sobre K y K ⊂ E ⊂ F entonces E es resoluble por radicales
sobre K y F es resoluble por radicales sobre E.
(b) Si K ⊂ E ⊂ F , y E es resoluble por radicales sobre K y F es resoluble por radicales sobre E
entonces F es resoluble por radicales sobre K.
(c) Si E es una extensión por radicales sobre K y la composición EF existe, entonces EF es una
extensión por radicales sobre