28--A-Cochella---M-Caruso---Teoremas-de-Hall

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Teoremas de P. Hall
Caruso, Mat́ıas I.
Cochella, Agust́ın E.
Estructuras Algebraicas
Trabajo Final
Índice
1. Preliminares 1
1.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Anillos y cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Un poquito de teoŕıa de Galois 7
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. Grupo de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3. Teorema de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3. El Teorema de Jordan-Hölder 16
3.1. Zassenhaus y Schreier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2. Teorema de Jordan-Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4. Grupos solubles 19
4.1. Otra definición de solubilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2. Una última definición de solubilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5. Teoremas de P. Hall 24
5.1. Primer teorema de Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.2. Rećıproca del teorema de Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6. Apéndice: El grupo alternado 29
6.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.2. Simplicidad del grupo alternado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.1. Grupos 1. Preliminares
Introducción
A lo largo de las siguientes páginas desarrollaremos la teoŕıa de grupos necesaria para
probar dos teoremas que funcionan a modo de una generalización de los teoremas de Sy-
low, conocidos como teoremas de Hall. Estos teoremas fueron demostrados en 1928 y 1937,
respectivamente, por el matemático inglés Philip Hall (1904-1958).
1. Preliminares
La primera sección está destinada a resultados ya vistos, que tomaremos como base para
el resto del trabajo.
1.1. Grupos
Definición 1.1.1. Un grupo (G, ·) es un conjunto G equipado de una operación binaria ·
que satisface:
1. (a · b) · c = a · (b · c) ∀a, b, c ∈ G
2. Existe e ∈ G tal que e · a = a · e = a ∀a ∈ G. Se dice que e ∈ G es el neutro del grupo.
3. Para todo a ∈ G existe un elemento a′ ∈ G tal que a ·a′ = a′ ·a = e. Se dice que a′ ∈ G
es el inverso de a, y como se puede probar que es único, se lo suele anotar a−1.
Si a · b = b · a ∀a, b ∈ G, decimos que G es abeliano.
Definición 1.1.2. Sean (G, ·) y (H,+) dos grupos. Una función f : G→ H es un morfismo
de grupos si
f(a · b) = f(a) + f(b) ∀a, b ∈ G
Definición 1.1.3. Un subconjunto S de un grupo G es un subgrupo (de G) si ∀s, t ∈ S
s−1 ∈ S y st ∈ S. Suele usarse la notación S ≤ G.
Un subgrupo S de G se dice propio si S 6= G y S 6= 1
Proposición 1.1.4. Sea I un conjunto de ı́ndices y sea Hi ≤ G para cada i ∈ I. Entonces,⋂
i∈I Hi ≤ G.
Definición 1.1.5. Sea S ≤ G. Entonces, 〈S〉 denota la intersección de todos los subgrupos
de G que contienen a S. El subgrupo 〈S〉 es llamado subgrupo generado por S. Si S = {a},
anotamos G = 〈a〉.
Definición 1.1.6. Sea S ≤ G. Definimos el ı́ndice de S en G, notado [G : S], como el
número de coclases a derecha de S en G.
Definición 1.1.7. Sea G un grupo finito. Definimos su orden, notado |G|, como el número
de elementos de G.
Si G es un grupo y a ∈ G, definimos el orden de a, notado |〈a〉|, como el número de
elementos de 〈a〉.
1
1.1. Grupos 1. Preliminares
Teorema 1.1.8 (Lagrange). Si G es un grupo finito y S ≤ G, entonces |S| divide a |G| y
[G : S] = |G|/|S|.
Definición 1.1.9. Un grupo G se dice ćıclico si G = 〈a〉.
Observación 1.1.10. Dos grupos ćıclicos de orden n son isomorfos.
Definición 1.1.11. Sea S ≤ G y sea t ∈ G. Definimos una coclase a derecha de S en G
como el subconjunto
St = {st : s ∈ S}
Análogamente, una coclase a izquierda es un subconjunto tS = {ts : s ∈ S}. A t se lo suele
llamar representante de St (y de tS).
Definición 1.1.12. Un subgrupo K ≤ G es un subgrupo normal, notado KCG, si gKg−1 =
K para todo g ∈ G.
Definición 1.1.13. Dos elementos a y b de un grupo G se dicen conjugados si a = xbx−1
para algún x ∈ G.
Esto define una relación de equivalencia en G, cuyas clases de equivalencia son llamadas
clases de conjugación.
Observación 1.1.14. La normalidad no es transitiva.
Definición 1.1.15. Dado un subgrupo H de un grupo G, definimos la clausura normal de
H, notada HG, como la intersección de todos los subgrupos normales de G que contienen a
H.
Definición 1.1.16. Un subgrupo H de un grupo G se dice contranormal en G si HG = G.
Definición 1.1.17. Un grupo G se dice simple si no tiene subgrupos normales no triviales.
Proposición 1.1.18. Si G es un grupo finito abeliano simple, entonces G es ćıclico de orden
primo.
Proposición 1.1.19. Sea f : G −→ H un morfismo de grupos. Entonces, ker f CG.
Teorema 1.1.20 (Primer teorema del isomorfismo). Sea f : G −→ H un morfismo de
grupos con ker f = K. Entonces, G/K ∼= Im(f).
Teorema 1.1.21 (Segundo teorema del isomorfismo). Sean H y N subgrupos de G con
N CG. Entonces, H ∩N CH y H/(H ∩N) ∼= HN/N .
Teorema 1.1.22 (Tercer teorema del isomorfismo). Sean K ≤ H ≤ G donde H y K son
subgrupos normales de G. Entonces, H/K es un subgrupo normal de G/K y
G/K
H/K
∼= G/H
2
1.1. Grupos 1. Preliminares
Teorema 1.1.23 (Teorema de correspondencia). Sea K CG y sea v : G −→ G/K el mapeo
natural. Entonces, S 7→ v(S) = S/K es una biyección entre la familia de todos los subgrupos
S de G que contienen a K y la familia de todos los subgrupos de G/K. Más aun, si notamos
S/K como S∗, entonces:
1. T ≤ S sii T ∗ ≤ S∗, y entonces [S : T ] = [S∗ : T ∗].
2. T C S sii T ∗ C S∗, y entonces S/T ∼= S∗/T ∗.
Teorema 1.1.24 (Cauchy, 1845). Si G es un grupo finito cuyo orden es divisible por un
primo p, entonces G contiene un elemento de orden p.
Definición 1.1.25. Si H y K son grupos, definimos su producto directo, notado H ×K, es
el grupo cuyos elementos son los pares ordenados (h, k), donde h ∈ H y k ∈ K, junto con la
operación
(h, k)(h′, k′) = (hh′, kk′)
Teorema 1.1.26. Sea G un grupo con subgrupos normales H y K. Si HK = G y H∩K = 1,
entonces G ∼= H ×K.
Teorema 1.1.27. Si ACH y B CK, entonces A×B CH ×K y
H ×K
A×B
∼=
H
A
× K
B
Corolario 1.1.28. Si G = H ×K, entonces G/(H × 1) ∼= K.
Definición 1.1.29. Sea G un grupo y sea X un conjunto. Una acción de G en X es una
función α : G×X −→ X, notada α : (g, x) 7→ gx, tal que
1. 1x = x ∀x ∈ X
2. g(hx) = (gh)x ∀g, h ∈ G ∀x ∈ X.
Decimos que G actúa transitivamente en X si ∀x, y ∈ X existe g ∈ G tal que gx = y.
Definición 1.1.30. Si a, b ∈ G, el conmutador de a y b, notado [a, b], es [a, b] = aba−1b−1
El subgrupo conmutador (o derivado) de G, notado G′, es el subgrupo generado por todos
los conmutadores.
Teorema 1.1.31. El subgrupo conmutador G′ es un subgrupo normal de G. Más aún, si
H CG, entonces G/H es abeliano sii G′ ≤ H.
Definición 1.1.32. Si H ≤ G y g ∈ G, entonces el subgrupo conjugado gHg−1 es {ghg−1 :
h ∈ H}.
Definición 1.1.33.
1. Si p es primo, un grupo finito G es un p-grupo si |G| = pn para algún n ≥ 1.
2. H es un p-subgrupo de un grupo G si H ≤ G y H es un p-grupo.
3
1.2. Anillos y cuerpos 1. Preliminares
Definición 1.1.34. Si p es un primo, un p-subgrupo de Sylow de un grupo G es un p-subgrupo
maximal.
Teorema 1.1.35 (Sylow, 1872).
1. Si P es un p-subgrupo de Sylow de un grupo finito G, entonces todos los p-subgrupos
de Sylow de G son conjugados a P .
2. Si hay r p-subgrupos de Sylow, entonces r es un divisor de |G| y r ≡ 1 módulo p.
Definición 1.1.36. El centro de un grupo G, notado Z(G), es el conjunto de todos los a ∈ G
que conmutan con todos los elementos de G.
Observación 1.1.37. El centro Z(G) es un subgrupo normal abeliano de G. En efecto, si
tomamos z ∈ Z(G) y a ∈ G, entonces aza−1 = aa−1z = z ∈ Z(G). Aśı, aZ(G)a−1 ⊂ Z(G), y
por lo tanto es normal. La conmutatividad estrivial, porque Z(G) = {a ∈ G : ab = ba ∀b ∈
G}.
Teorema 1.1.38. Si G 6= 1 es un p-grupo finito, entonces su centro Z(G) 6= 1.
Definición 1.1.39. Si p es primo, entonces un p-grupo es elementalmente abeliano si un
grupo finito G isomorfo a Zp × . . .× Zp.
1.2. Anillos y cuerpos
Definición 1.2.1. Un anillo es un conjunto R dotado de dos operaciones binarias + y ∗
tales que:
1. (R,+) es un grupo abeliano.
2. a ∗ (b+ c) = (a ∗ b) + (a ∗ c) y (a+ b) ∗ c = (a ∗ c) + (b ∗ c) ∀a, b, c ∈ R.
3. a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c ∀a, b, c ∈ R.
Si a ∗ b = b ∗ a ∀a, b ∈ R, decimos que (R,+, ∗) es un anillo conmutativo. Decimos que R es
un anillo con identidad si R 6= {0} y tiene una identidad para la multiplicación, i.e., existe
1 ∈ R tal que 1a = a1 = a para todo a ∈ R.
Definición 1.2.2. Si a, b 6= 0 son elementos de un anillo R tales que ab = 0, entonces a y b
son llamados divisores de cero del anillo R.
Si R tiene identidad, un elemento a ∈ R es una unidad si tiene un inverso multiplicativo,
i.e., si existe b ∈ R tal que ab = 1 = ba. Notaremos R∗ al conjunto de unidades de R. R∗ es
un grupo, llamado grupo de unidades de R.
Definición 1.2.3.
1. Un anillo R es un dominio de integridad si es un anillo conmutativo con identidad tal
que R no tiene divisores de cero.
4
1.3. Polinomios 1. Preliminares
2. Un anillo R con identidad es un anillo de división si R∗ = R \ {0}, i.e., todo elemento
no nulo tiene inverso multiplicativo.
3. Un cuerpo es un anillo conmutativo de división.
Definición 1.2.4. Sean R, S anillos. Una función f : R −→ S es un morfismo de anillos si
para todos a, b ∈ R se cumplen:
f(a+ b) = f(a) + f(b) ; f(ab) = f(a)f(b)
Definición 1.2.5. Sea R un anillo y sea I ⊂ R. Decimos que I es un ideal de R sii
1. I es un subgrupo aditivo de R.
2. rI ⊂ I para todo r ∈ R.
3. Ir ⊂ I para todo r ∈ R.
Definición 1.2.6. Si X ⊂ R es un subconjunto, entonces el subanillo generado por X es el
menor subanillo de R que contiene a X, y el ideal generado por X es el menor ideal de R
que contiene a X. Usaremos (X) para anotar el ideal generado por X.
Lema 1.2.7. Sea X ⊂ R un subconjunto no vaćıo de un anillo R.
1. El subanillo de R generado por X es la suma o diferencia de todos los productos finitos
de elementos de X.
2. Si R es un anillo con identidad, entonces el ideal de R generado por X es el conjunto
RXR =
{
n∑
i=1
rixisi : ri, si ∈ R, xi ∈ X,n ≥ 1
}
3. Si R es un anillo conmutativo con identidad, entonces el ideal de R generado por X es
el conjunto
RX =
{
n∑
i=1
rixi : ri ∈ R, xi ∈ X,n ≥ 1
}
1.3. Polinomios
Definición 1.3.1. Dado un anillo R con identidad, llamamos R[x] al conjunto de todas las
funciones Z+ −→ R tales que f(n) = 0 para todos los n naturales salvo finitos. Definimos
una estructura de anillos en R[x] mediante
(f + g)(n) = f(n) + g(n)
(fg)(n) =
n∑
m=0
f(m)g(n−m)
Aśı, R[x] es llamado anillo de polinomios en la indeterminada x con coeficientes en R.
5
2.1. Introducción 2. Un poquito de teoŕıa de Galois
Observación 1.3.2. Definimos x como una función sobre Z+ mediante
x(n) =
{
1 si n = 1
0 si n 6= 1
Aśı, la función xn satisface
xn(m) =
{
1 si m = n
0 si m 6= n
Por lo tanto, cualquier f ∈ R[x] puede ser escrita de forma única como
f =
∞∑
n=0
f(n)xn
donde la sumatoria es en realidad finita, porque solamente hay finitos f(n) 6= 0.
Definición 1.3.3. Dado f(x) =
∑∞
m=0 amx
m 6= 0 ∈ R[x], definimos el grado de f(x), notado
gr(f) o deg(f), como deg(f) = máx{m : am 6= 0}. Definimos deg(0) = −∞.
El coeficiente an se llama coeficiente principal de f(x) y a0 se llama término constante.
Decimos que un polinomio es mónico si su coeficiente principal es 1.
Lema 1.3.4. Sea R un anillo conmutativo y sean f, g ∈ R[x]. Entonces,
1. deg(f + g) ≤ máx{deg f, deg g}
2. deg(fg) ≤ deg f + deg g
3. La igualdad en 2 vale cuando el coeficiente principal de f o g no es un divisor de cero.
En particular, vale cuando R es un dominio de integridad.
Teorema 1.3.5 (Algoritmo de división). Sea R un anillo conmutativo, sea f(x) ∈ R[x], y
sea g(x) ∈ R[x] un polinomio mónico. Entonces, existen únicos polinomios q(x) y r(x) en
R[x] con deg r(x) < deg g(x) tales que
f(x) = g(x)q(x) + r(x)
Corolario 1.3.6 (Teorema del resto). Sea R un anillo conmutativo y sea a ∈ R. Entonces,
para cualquier f(x) ∈ R[x],
f(x) = (x− a)q(x) + f(a)
para algún q(x) ∈ R[x].
Corolario 1.3.7. Sean R un anillo conmutativo, f(x) ∈ R[x] y a ∈ R. Entonces, f(a) = 0
sii x− a divide a f(x).
6
2.2. Grupo de Galois 2. Un poquito de teoŕıa de Galois
2. Un poquito de teoŕıa de Galois
2.1. Introducción
Discutamos los elementos de la Teoŕıa de Galois, la cuna de la teoŕıa de grupos. Asumi-
remos en esta exposición que todo cuerpo F es un subcuerpo de un cuerpo algebraicamente
cerrado C. En la práctica, esto significa: Si f(x) ∈ F [x], el anillo de todos los polinomios con
coeficientes en F , y si f(x) tiene grado n ≥ 1, entonces existen (no necesariamente distintos)
elementos α1, . . . , αn ∈ C (las ráıces de f(x)) y un elemento no nulo a ∈ F tales que
f(x) = a(x− α1) . . . (x− αn)
en C[x]. La intersección de cualquier familia de subcuerpos de un cuerpo es en śı misma un
subcuerpo. Definimos el menor subcuerpo de C que contiene a un subconjunto X dado como
la intersección de todos los subcuerpos de C que contienen a X. Por ejemplo, si α ∈ C, el
menor subcuerpo de C que contiene a X = F ∪ {α} es
(2.1) F (α) = {f(α)/g(α) : f(x), g(x) ∈ F [x], g(α) 6= 0}
Definición 2.1.1. F (α) se dice que es el subcuerpo obtenido a partir de F adjuntándole
α. De forma similar, uno puede definir F (α1, . . . , αn), el subcuerpo obtenido a partir de
adjuntarle α1, . . . , αn a F .
Definición 2.1.2. Si f(x) ∈ F [x] y f(x) = (x−α1) . . . (x−αn) ∈ C[x], entonces F (α1, . . . , αn)
se dice que es el cuerpo de descomposición de f(x) sobre F .
Observación 2.1.3. Notar que el cuerpo de descomposición de f(x) depende de F . Por
ejemplo, si f(x) = x2 + 1 ∈ Q[x], entonces su cuerpo de descomposición sobre Q es Q(i).
Por otro lado, si consideramos f(x) ∈ R[x], su cuerpo de descomposición sobre R es C. Y es
claro que Q(i) 6= C.
2.2. Grupo de Galois
Definición 2.2.1. Sea f(x) ∈ F [x] con cuerpo de descomposición E sobre F . Decimos que
f(x) es soluble por radicales si existe una cadena de subcuerpos
F = K0 ⊂ K1 ⊂ . . . ⊂ Kt
donde E ⊂ Kt y cada Ki+1 se obtiene de Ki adjuntándole una ráız de un elemento de Ki,
i.e., Ki+1 = Ki(βi+1), donde βi+1 ∈ Ki+1 y alguna potencia de βi+1 está en Ki.
Definición 2.2.2. Sean E y E ′ cuerpos. Decimos que una función σ : E −→ E ′ es un
homomorfismo si ∀α, β ∈ E,
1. σ(1) = 1
2. σ(α + β) = σ(α) + σ(β)
3. σ(αβ) = σ(α)σ(β).
7
2.2. Grupo de Galois 2. Un poquito de teoŕıa de Galois
Si σ es biyectiva, decimos que es un isomorfismo. Un isomorfismo σ : E −→ E se dice que
es un automorfismo.
Lema 2.2.3. Sea f(x) ∈ F [x], sea E su cuerpo de descomposición sobre F y sea σ : E −→ E
un automorfismo que fija F (i.e., σ(a) = a ∀a ∈ F ). Si α ∈ E es una ráız de f(x), entonces
σ(α) también es una ráız de f(x).
Demostración. Sea f(x) =
∑
aix
i.
0 = f(α) = σ(f(α)) pues σ es morfismo
= σ
(∑
aiα
i
)
=
∑
σ(ai)σ(α)
i
=
∑
aiσ(α)
i pues σ fija a F
Por lo tanto, σ(α) es ráız de f(x). ♣
Lema 2.2.4. Sean F un subcuerpo de K, {α1, . . . , αn} ⊂ K y E = F (α1, . . . , αn). Si K ′ es
un cuerpo que contiene a F como subcuerpo y σ : E −→ K ′ es un homomorfismo que fija a
F con σ(αi) = αi ∀i, entonces σ es la identidad.
Demostración. Lo probamos por inducción en n ≥ 1. Si n = 1, entonces E = F (α1) y usando
(2.1) tenemos que los elementos de E son de la forma f(α1)/g(α1) con f(x), g(x) ∈ F [x] y
g(α1) 6= 0. Como σ es homomorfismo y σ(αi) = αi ∀i, es claro que fija a cada uno de esos
elementos.
Asumamos que vale el enunciado para n = h y veamos que entonces vale para n = h+ 1.
Haciendo F ∗ = F (α1, . . . , αh), tenemos que F (α1, . . . , αh+1) = F
∗(αh+1). Usando nuevamen-
te (2.1), todo elemento de F ∗(αh+1) es de la forma f(αh+1)/g(αh+1) conf(x), g(x) ∈ F ∗[x]
y g(αh+1) 6= 0. Por hipótesis inductiva, σ fija a F ∗ y σ(αh+1) = αh+1. Usando el mismo
razonamiento que en el caso n = 1, tenemos el resultado. ♣
Observación 2.2.5. Si F es un subcuerpo de un cuerpo E, entonces el conjunto de todos
los autmorfismos de E que fijan a F forman un grupo bajo composición.
Sea G = {σ : E −→ E : σ es un ismorfismo y σ fija a F}. La composición de funciones
es asociativa, aśı que solamente debeŕıamos ver que hay un neutro y un inverso. Sea e ∈ G
dado por e(x) = x ∀x ∈ E y sea γ ∈ G. Entonces,
(γ ◦ e)(x) = γ(e(x)) = γ(x) = e(γ(x)) = (e ◦ γ)(x) ∀x ∈ E
Luego, e es el neutro de G. Tomemos ahora γ ∈ G y consideremos γ−1 ∈ G como su inverso
(que existe porque γ es un isomorfismo). Aśı,
γ(γ−1(x)) = x = e(x) = x = γ−1(γ(x)) ∀x ∈ E
Por lo tanto, G forma un grupo con la composición.
Definición 2.2.6. Si F es un subcuerpo de E, definimos el grupo de Galois, notadoGal(E/F ),
como el grupo bajo composición de todos los automorfismos de E que fijan a F .
Si f(x) ∈ F [x] y E = F (α1, . . . , αn) es el cuerpo de descomposición de f(x) sobre F ,
entonces el grupo de Galois de f(x) es Gal(E/F ).
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2.2. Grupo de Galois 2. Un poquito de teoŕıa de Galois
Teorema 2.2.7. Sea f(x) ∈ F [x] y sea X = {α1, . . . , αn} el conjunto de sus distintas
ráıces (en su cuerpo de descomposición E = F (α1, . . . , αn) sobre F ). Entonces, la función
ϕ : Gal(E/F ) −→ SX ∼= Sn dada por ϕ(σ) = σ|X es un morfismo de grupos inyectivo.
Demostración. Sea σ ∈ Gal(E/F ). Por el Lema 2.2.3, tenemos que σ(X) ⊂ X; σ|X es una
biyección porque σ es inyectiva (σ es automorfismo) y X es finito. Aśı, ϕ está bien definido.
Veamos que ϕ es un morfismo de grupos. Sean σ, ρ ∈ Gal(E/F ) y sea α ∈ X. Entonces,
ϕ(σ ◦ ρ)(α) = (σ ◦ ρ)|X(α) = σ(ρ(α)) pues α ∈ X
= σ(β) β = ρ(α) ∈ X pues ρ(X) ⊂ X
(ϕ(σ) ◦ ϕ(ρ))(α) = (σ|X ◦ ρ|X)(α)
= σ|X(ρ(α))
= σ(β) pues β ∈ X
Por lo tanto, ϕ(σ ◦ ρ) = ϕ(σ) ◦ ϕ(ρ) y ϕ es un morfismo de grupos.
Veamos que ker(ϕ) = {IdE}. Sea σ ∈ Gal(E/F ) tal que ϕ(σ) = IdSX . Entonces, σ fija a
F (pues σ ∈ Gal(E/F )) y σ(αi) = αi ∀i (pues ϕ(σ) = σ|X). Aśı, por el Lema 2.2.4 tenemos
que σ = IdE. Por lo tanto, ϕ es inyectiva. ♣
Definición 2.2.8. Si F es un subcuerpo del cuerpo E, entonces E es un espacio vectorial
sobre F (si a ∈ F y α ∈ E, definimos la multiplicación por un escalar como el producto aα
de dos elementos de E). El grado de E sobre F , notado [E : F ], es la dimensión de E.
Proposición 2.2.9. Sea p(x) ∈ F [x] un polinomio irreducible de grado n. Si α es una ráız
de p(x) (en un cuerpo de descomposición), entonces {1, α, α2, . . . , αn−1} es una base de F (α)
(visto como espacio vectorial sobre F ).
Demostración. Veamos primero el siguiente isomorfismo de anillos F [x]/(p(x)) ∼= F (α) via
la función ϕ : g(x) + (p(x)) 7→ g(α). En efecto, es un morfismo de anillos: Sean g(x) +
(p(x)), h(x) + (p(x)) ∈ F [x]/(p(x)). Entonces,
ϕ(g(x) + (p(x)) + h(x) + (p(x))) = ϕ(g(x) + h(x) + (p(x))) = g(α) + h(α)
= ϕ(g(x) + (p(x))) + ϕ(h(x) + (p(x)))
Además,
ϕ((g(x) + (p(x)))(h(x) + (p(x)))) = ϕ(g(x)h(x) + (p(x))) = g(α)h(α)
= ϕ(g(x) + (p(x)))ϕ(h(x) + (p(x)))
A partir de ahora usaremos la notación g(x) + (p(x)) = g(x).
ϕ es inyectiva, porque si ϕ(g(x)) = ϕ(h(x)), entonces
ϕ(0) = 0 = ϕ(g(x))− ϕ(h(x)) = ϕ(g(x)− h(x)) = ϕ(g(x)− h(x))
Luego, g(x)− h(x) = 0, y g(x) = h(x). Por último, es suryectiva. Si tomamos f(α) ∈ F (α),
entonces f(α) = ϕ(f(x) + (p(x)), donde f(x) ∈ F [x].
9
2.2. Grupo de Galois 2. Un poquito de teoŕıa de Galois
Sea p(x) = xn + an−1x
n−1 + . . . + a1x + a0. Como p(x) = 0 en F [x]/(p(x)), podemos
escribir
(2.2) xn = −an−1xn−1 − . . .− a0
Veamos que B = {1, x, . . . , xn−1} genera a F [x]/(p(x)). En efecto, si q(x) es un polinomio
de grado ≥ n, podemos escribir a los xj con j ≥ n usando (2.2), de forma que el polinomio
quede escrito como una combinación lineal de los elementos de B. Aśı, como son isomorfos,
{1, α, α2, . . . , αn−1} generan F (α). Veamos que son linealmente independientes:
Si no lo fueran, existiŕıa una combinación lineal
a0α0 + a1α + . . .+ an−1α
n−1 = 0
Pero eso significa que hay un polinomio de grado menor que n que anula a α, y eso es
absurdo, porque p(x) es irreducible. ♣
Lema 2.2.10. Sea p(x) ∈ F [x] irreducible, y sean α, β ráıces de p(x) en un cuerpo de
descomposición de p(x) sobre F . Entonces, existe un isomorfismo λ∗ : F (α) −→ F (β) que
fija a F y tal que λ∗(α) = β.
Demostración. Por la proposición anterior, todo elemento de F (α) tiene una única expresión
de la forma a0 + a1α + . . .+ an−1α
n−1. Definimos λ∗ como
λ∗(a0 + a1α + . . .+ an−1α
n−1) = a0 + a1β + . . .+ an−1β
n−1
Veamos que λ∗ es un homomorfismo de cuerpos. Es claro que λ∗(1) = 1, pues 1 ∈ F .
Sean a0 + a1α+ . . .+ an−1α
n−1 y b0 + b1α+ . . .+ bn−1α
n−1 elementos de F (α). Entonces,
λ∗(a0 + a1α + . . .+ an−1α
n−1 + b0 + b1α + . . .+ bn−1α
n−1) =
= a0 + a1β + . . .+ an−1β
n−1 + b0 + b1β + . . .+ bn−1β
n−1
= λ∗(a0 + a1α + . . .+ an−1α
n−1) + λ∗(b0 + b1α + . . .+ bn−1α
n−1)
Por otro lado,
λ∗
((
n∑
i=0
aiα
i
)(
n∑
j=0
bjα
j
))
= λ∗
(
2n∑
k=0
(
k∑
m=0
ambk−m
)
αk
)
=
2n∑
k=0
(
k∑
m=0
ambk−m
)
βk
= λ∗
(
n∑
i=0
aiα
i
)
λ∗
(
n∑
j=0
bjα
j
)
Aśı, λ∗ es un homomorfismo de cuerpos. Es un isomorfismo, pues podemos construir la
inversa de la misma manera. Por último, λ∗(α) = λ∗(0 + α) = 0 + β = β. ♣
10
2.2. Grupo de Galois 2. Un poquito de teoŕıa de Galois
Observación 2.2.11. Existe una generalización de este lema con la misma demostración.
Sea λ : F −→ F ′ un isomorfismo de cuerpos, sea p(x) = a0 + a1x + . . . + anxn ∈ F [x] un
polinomio irreducible y sea p′(x) = λ(a0)+λ(a1)x+ . . .+λ(an)x
n ∈ F ′[x]. Finalmente, sea α
una ráız de p(x) y β una ráız de p′(x) (en cuerpos de descomposición adecuados). Entonces,
existe un isomorfismo λ∗ : F (α) −→ F ′(β) con λ∗(α) = β y λ∗|F = λ.
Proposición 2.2.12. Sean F ⊂ E ⊂ K cuerpos, donde [K : E] y [E : F ] son finitos.
Entonces, [K : F ] = [K : E][E : F ].
Demostración. Sea A = {α1, . . . , αn} base de E sobre F y sea B = {β1, . . . , βm} base de K
sobre E. Veamos que {αiβj : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} es una base de K sobre F .
Son linealmente independientes. En efecto, si k = nm, sean λ1, . . . , λk ∈ F tales que
λ1α1β1 + . . .+ λkαnβm = 0
Sacando factor común los βj,
(λ1α1 + . . .+ λnαn)β1 + . . .+ (λk−nα1 + . . .+ λkαn)βm = 0
Pero λiαi ∈ E para 1 ≤ i ≤ n, por lo que tenemos una combinación lineal de los elementos
de la base de K sobre E. Aśı,
λ1α1 + . . .+ λnαn = . . . = λk−nα1 + . . .+ λkαn = 0
Como A es base de E sobre F ,
λ1 = . . . = λk = 0
Por lo tanto, son linealmente independientes.
Veamos que generan a K. Sea γ ∈ K. Como B es base de K sobre E, existen a1, . . . , am ∈
E tales que
γ = b1β1 + . . .+ bmβm
Pero como A es base de E sobre F , para cada 1 ≤ i ≤ m, bi = ai1α1 + . . . + ainαn, para
elementos ai1, . . . , a
i
n ∈ F . Entonces,
γ = (a11α1 + . . .+ a
1
nαn)β1 + . . .+ (a
m
1 α1 + . . .+ a
m
n αn)βm
Distribuyendo, tenemos una combinación lineal de k elementos de la forma αiβj, con coe-
ficientes en F . Por lo tanto, {αiβj : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} es una base de K sobre F y
[K : F ] = [K : E][E : F ]. ♣
Lema 2.2.13. Sea f(x) ∈ F [x], y sea E su cuerpo de descomposición sobre F . Si K es un
“cuerpo intermedio”, i.e., F ⊂ K ⊂ E y λ : K −→ K es un automorfismo que fija a F ,
entonces existe un automorfismo λ∗ : E −→ E con λ∗|K = λ.
Demostración. Lo hacemos por inducción en d = [E : F ]. Si d = 1, entonces E = K y toda
ráız α1, . . . , αn de f(x) está en K, y podemos tomar λ
∗ = λ.
Si d > 1, entonces E 6= K y hay alguna ráız α de f(x) que no está en K. Aśı, α es ráız
de algún factor irreducible (en K) p(x) de f(x). Como α 6∈ K, el gr p(x) = k > 1. Por la
11
2.3. Teorema de Galois 2. Un poquito de teoŕıa de Galois
versión generalizada del Lema 2.2.10, hay un β ∈ E y un isomorfismo λ1 : K(α) −→ K(β)
que extiende a λ y que λ1(α) = β. Por la Proposición 2.2.12, [E : K(α)][K(α) : F ] = d.
Veamos que [K(α): F ] 6= 1. Si lo fuese, entonces usando de nuevo la Proposición 2.2.12,
1 = [K(α) : K][K : F ]. Como son dimensiones de espacios vectoriales y son finitas, eso
implicaŕıa que [K(α) : K] = 1. Pero por la Proposición 2.2.9, [K(α) : K] = k y hab́ıamos
visto que k > 1. Aśı, [K(α) : F ] 6= 1 y [E : K(α)] < d.
Entonces, E es el cuerpo de descomposición de f(x) sobre K(α), pues se obtiene ad-
juntándole todas las ráıces de f(x). Por hipótesis inductiva, λ1 puede extenderse a un auto-
morfismo de E y por lo tanto también puede λ. ♣
Observación 2.2.14. Al igual que el lema anterior, existe una versión más general con la
misma prueba: Si f(x) ∈ F [x], entonces cualesquiera dos cuerpos de descomposición de f(x)
sobre F son isomorfos.
2.3. Teorema de Galois
Teorema 2.3.1. Sea p primo, sea F un cuerpo conteniendo una ráız primitiva de la unidad
de orden p, digamos ω, y sea f(x) = xp − a ∈ F [x].
1. Si α es una ráız de f(x) (en algún cuerpo de descomposición), entonces f(x) es irre-
ducible sii α 6∈ F .
2. El cuerpo de descomposición E de f(x) sobre F es F (α).
3. Si f(x) es irreducible, entonces Gal(E/F ) ∼= Zp.
Demostración.
1. Si α ∈ F , entonces f(x) no es irreducible, porque x−α divide a f(x). Rec̀ıprocamente,
asumamos que f(x) = g(x)h(x), donde gr g(x) = k < p. Como las ráıces de f(x) son
α, ωα, ω2α, . . . , ωp−1α (por ser ω ráız primitiva de la unidad de orden p), toda ráız de g(x) es
de la forma ωiα para algún i. Si el término constante de g(x) es c, entonces c = ±ωrαk para
algún r (por ser c el producto de las ráıces). Como c y ω están en F , tenemos que αk ∈ F .
Pero (k, p) = 1, porque p es primo, y entonces 1 = ks+ tp, para algunos t, s ∈ Z. Aśı,
α = αks+tp = (αk)s(αp)t ∈ F
2. Es inmediato a partir de la observación de que las ráıces de f(x) son de la forma ωiα.
3. Si σ ∈ Gal(E/F ), entonces σ(α) = ωiα para algún i, por el Lema 2.2.3. Sea ϕ :
Gal(E/F ) −→ Zp dada por ϕ(σ) = [i], la clase de equivalencia de i módulo p. Veamos que
es un morfismo de grupos: Sean σ, ρ ∈ Gal(E/F ), con σ(α) = ωiα y ρ(α) = ωjα. Entonces,
σ ◦ ρ(α) = ωiωjα = ωi+jα. Por otro lado, Id(α) = ω0α. Aśı,
ϕ(σ ◦ ρ) = [i+ j] = [i] + [j] = ϕ(σ) + ϕ(ρ)
ϕ(Id) = [0]
Por lo tanto, ϕ es un morfismo de grupos. Si ϕ(σ) = [0], entonces σ fija a α, y como por
estar en Gal(E/F ) ya fija a F , concluimos que ϕ es inyectiva (por Lema 2.2.4). Como f(x)
es irreducible por hipótesis, el Lema 2.2.10 muestra que Gal(E/F ) 6= 1. Entonces, ϕ es
suryectiva, porque Zp no tiene subgrupos propios. ♣
12
2.3. Teorema de Galois 2. Un poquito de teoŕıa de Galois
Teorema 2.3.2. Sea f(x) ∈ F [x], sea E el cuerpo de descomposición de f(x) sobre F , y
asumamos que f(x) no tiene ráıces repetidas en E (i.e., f(x) no tiene factores de la forma
(x − α)2 en E[x]). Entonces, f(x) es irreducible sii Gal(E/F ) actúa transitivamente en el
conjunto X de todas las ráıces de f(x).
Demostración. Notemos primero que el Lema 2.2.3 muestra que Gal(E/F ) actúa en X. En
efecto, si x ∈ X y σ, ρ ∈ Gal(E/F ), σx ∈ X (por el lema); Idx = x; σ(ρx) = (σ ◦ ρ)x.
Si f(x) es irreducible, el Lema 2.2.10 nos dice que Gal(E/F ) actúa transitivamente en X.
Rećıprocamente, supongamos que existe una factorización f(x) = g(x)h(x) en F [x]. En E[x],
g(x) =
∏
(x − αi) y h(x) =
∏
(x − βj). Como f(x) no tiene ráıces repetidas, αi 6= βj ∀i, j.
Pero Gal(E/F ) actúa transitivamente en las ráıces de f(x), entonces existe σ ∈ Gal(E/F )
con σ(α1) = β1, y esto contradice el Lema 2.2.3. ♣
Proposición 2.3.3. Sea E un cuerpo de descomposición sobre F de algún f(x) ∈ F [x],
y sea K un cuerpo de descomposición sobre E de algún g(x) ∈ E[x]. Si σ ∈ Gal(K/F ),
entonces σ|E ∈ Gal(E/F ).
Demostración. Sea σ ∈ Gal(K/F ). Entonces, σ fija a F , por lo que sólo habŕıa que ver que
σ es un automorfismo de E. Si α1, . . . , αn son las ráıces de f(x), entonces
E = F (α1, . . . , αn) =
{
p(α1, . . . , αn)
q(α1, . . . , αn)
: p, q ∈ F [x1, . . . , xn] q(α1, . . . , αn) 6= 0
}
Aśı, si tomamos e ∈ E, entonces e = p(α1, . . . , αn)/q(α1, . . . , αn). Pero por el Lema 2.2.3, σ
manda ráıces en ráıces (de hecho si X es el conjunto de las ráıces, σ|X : X −→ X es una
biyección, porque es inyectiva). Por lo tanto, σ(e) = e′ = p′(α1, . . . , αn)/q
′(α1, . . . , αn) ∈ E.
Luego, σ(E) ⊂ E. Por otro lado, el mismo argumento muestra que σ|E es suryectiva. Por
último, σ|E es inyectiva, por ser la restricción de un isomorfismo. ♣
Teorema 2.3.4. Sean F ⊂ K ⊂ E cuerpos, donde K y E son cuerpos de descomposición
de polinomios sobre F . Entonces, Gal(E/K) CGal(E/F ) y
Gal(E/F )/Gal(E/K) ∼= Gal(K/F )
Demostración. La función Φ : Gal(E/F ) −→ Gal(K/F ), dada por Φ(σ) = σ|K , está bien
definida (por la proposición anterior). Veamos que es un morfismo de grupos:
Φ(Id) = Id|K = Id ∈ Gal(K/F )
Sean σ, ρ ∈ Gal(E/F ).
Φ(σ ◦ ρ) = (σ ◦ ρ)|K = σ|K ◦ ρ|K
Un elemento de Gal(E/F ) está en el kernel de Φ si restringido a K es la identidad, por lo
que debe ser un automorfismo que fije a K. Aśı, ker Φ = Gal(E/K), que es un subgrupo
normal (por ser ker).
Veamos que Φ es suryectiva. Si tomamos λ ∈ Gal(K/F ), entonces λ es un automorfismo
de K que fija a F , y por el Lema 2.2.13 puede ser extendido a un automorfismo λ∗ de E.
Aśı, λ∗ ∈ Gal(E/F ) y Φ(λ∗) = λ∗|K = λ. El primer teorema del isomorfismo completa la
demostración. ♣
13
2.3. Teorema de Galois 2. Un poquito de teoŕıa de Galois
Proposición 2.3.5. Sea f(x) = xn − a ∈ F [x], sea E el cuerpo de descomposición de f(x)
sobre F , y sea α ∈ E una ráız n-ésima de a. Entonces, existen subcuerpos
F = K0 ⊂ K1 ⊂ . . . ⊂ Kt = F (α)
con Ki+1 = Ki(βi+1), β
p(i)
i+1 ∈ Ki y p(i) es primo para todo i.
Demostración. Si n es primo, tomamos F = K0 y K1 = K0(α). Entonces, α
n ∈ K0, n es
primo y F (α) = K1.
Si n no es primo, podemos escribir n = rt y (αr)t, r, t ∈ Z. Por el Teorema fundamental
de la aritmética, n = p1 . . . ph = r0t, donde r0 = p1 . . . ph−1 y t = ph. Aśı, (α
r0)t = αn = a ∈
F = K0. Definamos K1 := F (α
r0) y llamemos r1 = p1 . . . ph−2. Aśı, (α
r1)ph−1 = αr0 ∈ K1.
Luego, K2 := K1(α
r1) = K0(α
r0 , αr1).
Siguiendo con la misma idea, definimos Kh+1 := Kh(α
rh) = F (αr0 , . . . , αrh), y entonces
(αp1)p2 = αrh−1 ∈ Kh−1. El último es Kt = Kt−1(α) = F (αp1...ph−1 , . . . , αp1 , α). Entonces,
αp1 ∈ Kt−1.
Como F (α) es un cuerpo y α ∈ F (α), toda potencia de α está en F (α). Aśı, tenemos
que F (α) = Kt. ♣
Teorema 2.3.6 (Galois, 1831). Sea f(x) ∈ F [x] un polinomio de grado n, sea F un cuerpo
que contiene a todas las ráıces p-ésimas de la unidad para todo primo p que divide a n!, y sea
E el cuerpo de descomposición de f(x) sobre F . Si f(x) es soluble por radicales, entonces
existen subgrupos Gi ≤ G = Gal(E/F ) tales que
1. G = G0 ≥ G1 ≥ . . . ≥ Gt = 1
2. Gi+1 CGi ∀i
3. Gi/Gi+1 es ćıclico de orden primo para todo i.
Demostración. Como f(x) es soluble por radicales, existe subcuerpos F = K0 ⊂ K1 ⊂ . . . ⊂
Kt con E ⊂ Kt y Ki+1 = Ki(βi+1), donde βi+1 ∈ Ki+1 y alguna potencia de βi+1 está en Ki.
Por la proposición anterior, podemos asumir que alguna potencia prima de βi+1 está en Ki+1.
Definamos Hi = Gal(Kt/Ki) y Gi = Hi∩G. Aśı, Gt = 1 y G0 = H0∩G = Gal(Kt/F )∩G =
G. Ya tenemos 1.
Como F contiene ráıces de la unidad, el Teorema 2.3.1 muestra que Ki+1 es un cuerpo de
descomposición sobre Ki. El Teorema 2.3.4 muestra, para todo i, que Hi+1 = Gal(Kt/Ki+1)C
Gal(Kt/Ki) = Hi y Hi+1/Hi ∼= Gal(Ki+1/Ki). Este último grupo es isomorfo a Zp, por el
Teorema 2.3.1. ♣
Observación 2.3.7. La hipótesis de que F contiene varias ráıces de la unidad puede ser
eliminada, como se ve en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2.3.8. Sea f(x) = x6−x3+1 ∈ Q[x], que es soluble (como veremos a continuación)
y tiene grado 6. Escribiendo f(x) = (x3)2 − (x3) + 1, aplicamos Bhaskara y obtenemos
x3 =
1±
√
1− 4
2
=
1±
√
3i
2
=⇒ x = 3
√
1±
√
3i
2
14
2.3. Teorema de Galois 2. Un poquito de teoŕıa de Galois
Llamemos ω1 =
√
3i y consideremos g(x) = x2 + 3, que es irreducible en Q y tiene a ω1
comoráız. Entonces, Q ⊂ Q(ω1), con [Q(ω1) : Q] = 2, ω21 ∈ Q y Gal(Q(ω1)/Q) = Z2 (por el
Teorema 2.3.1). Ahora consideremos h(x) = x3− (1+ω1)/2 ∈ Q(ω1). Aśı, llamando ω2 a una
ráız de h(x), tenemos que Q(ω1) ⊂ Q(ω1, ω2), donde [Q(ω1, ω2) : Q(ω1)] = 3, ω32 ∈ Q(ω1)
y Gal(Q(ω1, ω2)/Q(ω1)) = Z3. Sin embargo, en ningún momento usamos a todas las ráıces
p-ésimas para todos los primos p que dividen a 6!.
Definición 2.3.9. Una serie normal de un grupo G es una sucesión de subgrupos
G = G0 ≥ G1 ≥ . . . ≥ Gn = 1
donde Gi+1CGi para todo i. Los grupos factores de esta serie normal son los grupos Gi/Gi+1
para i = 0, 1, . . . , n− 1; la longitud de la serie normal es el número de inclusiones estrictas,
i.e., la longitud es el número de grupos factores no triviales.
Observación 2.3.10. Notar que los grupos factores son los únicos grupos cocientes que
siempre se pueden formar a partir de una serie normal, puesto que la normalidad no es
transitiva.
Definición 2.3.11. Un grupo finito G se dice soluble si tiene una serie normal cuyos grupos
factores son ćıclicos de orden primo.
Con esta terminoloǵıa, el Teorema 2.3.6 y su rećıproca dicen que un polinomio es soluble
por radicales si y sólo si su grupo de Galois es un grupo soluble.
15
3.1. Zassenhaus y Schreier 3. El Teorema de Jordan-Hölder
3. El Teorema de Jordan-Hölder
La teoŕıa de Galois no sólo enriquece el estudio de polinomios y cuerpos, sino que también
aporta una nueva idea (las series normales) al estudio de los grupos. Las series normales nos
darán resultados al permitirnos examinar una familia de subgrupos con órdenes diferentes.
3.1. Zassenhaus y Schreier
Definición 3.1.1. Una serie normal
G = H0 ≥ H1 ≥ . . . ≥ Hm = 1
es un refinamiento de una serie normal
G = G0 ≥ G1 ≥ . . . ≥ Gn = 1
si G0, G1, . . . , Gn es una subsucesión de H0, H1, . . . , Hm.
Aśı, un refinamiento es una serie normal que contiene a cada uno de los términos de la
serie original.
Definición 3.1.2. Una serie de composición es una serie normal
G = G0 ≥ G1 ≥ . . . ≥ Gn = 1
donde para todo i, Gi+1 es un subgrupo maximal normal de Gi o Gi+1 = Gi.
Todo refinamiento de una serie de composición es también una serie de composición, pues
sólo puede repetir algunos de los términos originales.
Proposición 3.1.3. Si G es un grupo finito que tiene una serie normal con grupos factores
H0, H1, . . . , Hn, entonces |G| =
∏
|Hi|
Demostración. Sea G = G0 ≥ G1 ≥ . . . ≥ Gn+1 = 1. Entonces, Hi = Gi/Gi+1. Como G es
finito, por el teorema de Lagrange,
|Hi| =
|Gi|
|Gi+1|
Aśı,
n∏
i=0
|Hi| =
n∏
i=0
|Gi|
|Gi+1|
=
|G0|
|G1|
· |G1|
|G2|
· . . . · |Gn|
|Gn+1|
= |G|
pues |Gn+1| = |1| = 1. ♣
La proposición anterior nos muestra que cierta información sobre G puede divisarse a
partir de una serie normal.
Consideremos dos series de composición de G = 〈x〉 ∼= Z30 (la normalidad es automática
porque G es abeliano):
G ≥ 〈x5〉 ≥ 〈x10〉 ≥ 1
16
3.1. Zassenhaus y Schreier 3. El Teorema de Jordan-Hölder
G ≥ 〈x2〉 ≥ 〈x6〉 ≥ 1
Los grupos factores de la primer serie normal son G/〈x5〉 ∼= Z5, 〈x5〉/〈x10〉 ∼= Z2, y 〈x10〉/1 ∼=
〈x10〉 ∼= Z3. Los grupos factores de la segunda serie normal son G/〈x2〉 ∼= Z2, 〈x2〉/〈x6〉 ∼= Z3,
y 〈x6〉 ∼= Z5. En este caso, las dos series de composición tienen la misma longitud y los grupos
factores pueden agruparse de a pares de “forma isomorfa” luego de reacomodarlas. Le damos
un nombre a este fenómeno:
Definición 3.1.4. Dos series normales de un grupo G son equivalentes si existe una biyección
entre sus grupos factores tal que dos grupos relacionados son isomorfos.
Por supuesto, series normales equivalentes tienen la misma longitud. Las dos series de
composición de arriba para Z30 son equivalentes. Lo genial de esto es que es cierto para todo
grupo (posiblemente infinito) que tenga una serie de composición. El siguiente resultado
técnico, una generalización del segundo teorema del isomorfismo, será usado para probar
este hecho.
Lema 3.1.5 (Lema de Zassenhaus, 1934). Sean A C A∗ y B C B∗ cuatro subgrupos de un
grupo G. Entonces,
A(A∗ ∩B) C A(A∗ ∩B∗)
B(B∗ ∩ A) CB(B∗ ∩ A∗)
y existe un isomorfismo
A(A∗ ∩B∗)
A(A∗ ∩B)
∼=
B(B∗ ∩ A∗)
B(B∗ ∩ A)
Demostración. Veamos que (A∩B∗)C (A∗ ∩B∗): Si c ∈ (A∩B∗) y x ∈ (A∗ ∩B∗), entonces
xcx−1 ∈ (A ∩ B∗). En efecto, como c ∈ A, x ∈ A∗ y A C A∗, xcx−1 ∈ A; y como c, x ∈ B∗,
xcx−1 ∈ B∗. Análogamente, (A∗ ∩B) C (A∗ ∩B∗). Aśı, si definimos D = (A ∩B∗)(A∗ ∩B),
tenemos que D C (A∗ ∩B∗) (por estar generado por dos subgrupos normales).
Sea f : A(A∗∩B∗) −→ (A∗∩B∗)/D dada por f(ax) = xD, donde a ∈ A y x ∈ (A∗∩B∗).
Veamos que está bien definida: Si ax = a′x′, donde a′ ∈ A y x′ ∈ (A∗ ∩ B∗), entonces
xx′−1 = a−1a′. Como xx′−1 ∈ B∗ ∩ A∗ y a−1a′ ∈ A, xx′−1 = a−1a′ ∈ (B∗ ∩ A∗) ∩ A =
A ∩ B∗ ≤ D. Por otro lado, D es normal, por lo que xD = Dx. Sea d ∈ D, entonces
dx = d(xx′−1)(x′x−1)x = (dxx′−1)x′. Pero como xx′−1 ∈ D (por lo anterior), tenemos que
dx ∈ Dx′. Por lo tanto, Dx ⊂ Dx′. Rećıprocamente, dx′ = dx′x−1xx′−1x′ = (dx′x−1)x ∈ Dx.
Aśı, tenemos que xD = Dx = Dx′ = x′D y f(ax) = f(a′x′).
Veamos que es un morfismo de grupos. Sean ax, a′x′ ∈ A(A∗ ∩ B∗). Entonces, axa′x′ =
a′′xx′, donde a′′ = a(xa′x−1) ∈ A (pues A C A∗). Aśı, f(axa′x′) = f(a′′xx′) = xx′D =
f(ax)f(a′x′).
Veamos que f es suryectivo y que ker f = A(A∗ ∩ B). Dado xD ∈ (A∗ ∩ B∗)/D, x ∈
(A∗ ∩B∗) y entonces xD = f(ax), para cualquier a ∈ A y ax ∈ A(A∗ ∩B∗). Sea ax ∈ ker f .
Entonces f(ax) = xD = D. Aśı, x ∈ D = (A ∩ B∗)(A∗ ∩ B), por lo que x = a′x′, donde
a′ ∈ (A ∩ B∗) ⊂ A y x′ ∈ (A∗ ∩ B). Por lo tanto, ax = aa′x′ = A(A∗ ∩ B). Por otro
lado, la otra inclusión es trivial: Si ax ∈ A(A∗ ∩ B), entonces f(ax) = xD = D, porque
x ∈ (A∗∩B) ⊂ D. Aśı, como el núcleo de un morfismo es normal en el dominio, tenemos que
17
3.2. Teorema de Jordan-Hölder 3. El Teorema de Jordan-Hölder
ker f = A(A∗ ∩ B) C A(A∗ ∩ B∗). Por último, aplicando el Primer teorema del isomorfismo
tenemos:
A(A∗ ∩B∗)
A(A∗ ∩B)
∼=
B∗ ∩ A∗
D
Intercambiando los śımbolos A y B tenemos otro isomorfismo entre el correspondiente grupo
cociente y (B∗ ∩ A∗)/D. ♣
Teorema 3.1.6 (Teorema del refinamiento de Schreier, 1928). Cualesquiera dos series nor-
males de un grupo arbitrario G tienen refinamientos equivalentes.
Demostración. Sean
G = G0 ≥ G1 ≥ . . . ≥ Gn = 1
y
G = H0 ≥ H1 ≥ . . . ≥ Hm = 1
series normales. Insertemos una “copia” de la segunda serie entre cada Gi y Gi+1. Más
precisamente, definamos Gi,j = Gi+1(Gi ∩Hj) ∀0 ≤ j ≤ m. Aśı,
Gi,j = Gi+1(Gi ∩Hj) ≥ Gi+1(Gi ∩Hj+1) = Gi,j+1
Notemos que Gi,0 = Gi+1(Gi ∩H0) = Gi+1(Gi ∩G) = Gi+1Gi = Gi y que Gi,m = Gi+1(Gi ∩
1) = Gi+1. Más aún, tomando A = Gi+1, A
∗ = Gi, B = Hj+1 y B
∗ = Hj, el Lema de
Zassenhaus muestra que Gi,j+1 CGi,j. Aśı, la serie
G0,0 ≥ G0,1 ≥ . . . ≥ G0,m ≥ G1,0 . . . ≥ Gn−1,0 ≥ . . . ≥ Gn−1,m = 1
es un refinamiento de la primer serie normal (con nm términos). Análogamente, si Hi,j es
definido como Hi,j = Hj+1(Hj ∩Gi), entonces Hi,j ≥ Hi+1,j y
H0,0 ≥ H1,0 ≥ . . . ≥ Hn,0 ≥ H0,1 . . . ≥ H0,m−1 ≥ . . . ≥ Hn,m−1 = 1
es un refinamiento de la segunda serie normal (con nm términos). Finalmente, la función
Gi,j/Gi,j+1 7→ Hi,j/Hi+1,j es biyectiva, y por el Lema de Zassenhaus (con A = Gi+1, A∗ = Gi,
B = Hj+1 y B
∗ = Hj) tenemos que los grupos factores correspondientes son isomorfos. Aśı,
ambos refinamientos son equivalentes. ♣
3.2. Teorema de Jordan-Hölder
Teorema 3.2.1 (Jordan-Hölder). Cualesquiera dos series de composición de un grupo G
son equivalentes.
Demostración. Si tomamos dos series de composición de un grupo G, tenemos que son series
normales, y por el teorema de Schreier tienen refinamientos equivalentes. Pero una serie
de composición es una serie normal de longitud máxima, pues un refinamiento de ella es
simplemente repetir algunos de sus términos y eso implica que los nuevos grupos factores
tienen orden 1. Por lo tanto, dos series de composición de G son equivalentes. ♣
18
4.1. Otra definición de solubilidad 4. Grupos solubles
Definición 3.2.2. Si G tiene una seriede composición, entonces los grupos factores de esta
serie son llamados factores de composición de G.
Observación 3.2.3. C. Jordan (1868) probó que los órdenes de los factores de composi-
ción de un grupo finito dependen sólo de G. O. Hölder (1889) probó que los factores de
composición, salvo isomorfismos, dependen sólo de G.
Corolario 3.2.4 (Teorema fundamental de la aritmética). Los primos y sus multiplicadades
en la factorización de un entero n ≥ 2 son determinados por n.
Demostración. Sea n = p1p2 . . . pt, donde los pi son primos (no necesariamente distintos). Si
G = 〈x〉 es ćıclico de orden n, entonces
G = 〈x〉 ≥ 〈xp1〉 ≥ 〈xp1p2〉 ≥ . . . ≥ 〈xp1p2...pt−1〉 ≥ 1
es una serie normal. Pero los grupos factores tienen órdenes primos p1, p2, . . . , pt, respec-
tivamente, por lo que es una serie de composición. En efecto, si tomamos 〈xp1〉 y 〈xp1p2〉
(tomamos estos para simplificar la notación), entonces∣∣∣∣ 〈xp1〉〈xp1p2〉
∣∣∣∣ = p2
Si existiese un subgrupo H de 〈xp1〉 tal que 〈xp1p2〉 ≤ H, por Lagrange, el orden de H dividiŕıa
al orden de 〈xp1〉, por lo que |〈xp1p2〉| ≤ |H| ≤ |〈xp1〉|, i.e., n/(p1p2) ≤ |H| ≤ n/p1. Pero
entonces la desigualdad no podŕıa ser estricta, por lo que 〈xp1p2〉 es un subgrupo maximal
de 〈xp1〉.
Entonces, por el teorema de Jordan-Hölder, los primos p1, p2, . . . , pt dependen sólo de
n. ♣
Recordemos que un grupo finito G es soluble si tiene una serie normal cuyos grupos
factores son ćıclicos de orden primo. Entonces, para verificar que un grupo no es soluble
uno revisa si toda serie de composición tiene todos sus grupos factores ćıclicos. Pero por
Jordan-Hölder, es suficiente con revisar una sola serie de composición de G.
Teorema 3.2.5. Si n ≥ 5, entonces Sn no es soluble.
Demostración. Como An es un grupo simple para n ≥ 5 (ver Apéndice),la serie normal
Sn ≥ An ≥ 1 es una serie de composición, cuyos factores de composición son Z2 y An. Pero
|An| = |Sn|/2, y por lo tanto no es primo. Aśı, Sn no es soluble. ♣
4. Grupos solubles
Aunque los grupos solubles aparecen en el contexto de la Teoŕıa de Galois, forman una
clase de grupos de interés también para la teoŕıa de grupos. Empecemos por dar otra defini-
ción de solubilidad que nos es más conveniente para trabajar.
19
4.1. Otra definición de solubilidad 4. Grupos solubles
4.1. Otra definición de solubilidad
Definición 4.1.1. Una serie soluble de un grupo G es una serie normal cuyos grupos factores
son abelianos. Un grupo G es soluble si tiene una serie soluble.
Observación 4.1.2. Veamos que ambas definiciones de grupo soluble finito son equivalentes.
Sea G un grupo finito y supongamos que existe una serie normal cuyos grupos factores son
ćıclicos de orden primo. Pero todo grupo ćıclico de orden primo p es isomorfo a Zp, y por lo
tanto es abeliano.
Rećıprocamente, la serie de composición de un grupo finito tiene longitud finita, y todo
grupo abeliano simple finito es ćıclico de orden primo. En efecto, si n = |G|, entonces existe
un primo p que lo divide. Por el Teorema 1.1.24, existe un elemento a de orden p. Pero como
G es simple, G = 〈a〉. Por lo tanto, G es ćıclico de orden primo.
Ahora construiremos grupos solubles. Más adelante, daremos otra caracterización de
solubilidad que nos proporcionará nuevas demostraciones de estos resultados.
Teorema 4.1.3. Todo subgrupo H de un grupo soluble G es soluble.
Demostración. Si G = G0 ≥ G1 ≥ . . . ≥ Gn = 1 es una serie soluble (de G), consideremos
la serie H = H0 ≥ (H ∩G1) ≥ . . . ≥ (H ∩Gn) = 1. Esta es una serie normal de H, pues el
Segundo Teorema del Isomorfismo nos dice que H ∩ Gi+1 = (H ∩ Gi) ∩ Gi+1 C H ∩ Gi ∀i.
Ahora, (H ∩ Gi)/(H ∩ Gi+1) ∼= Gi+1(H ∩ Gi)/Gi+1 ≤ Gi/Gi+1. Como Gi/Gi+1 es abeliano
(pues es un grupo factor de una serie soluble), todos sus subgrupos son abelianos. Aśı, H
tiene una serie soluble. ♣
Teorema 4.1.4. Todo cociente G/N , N CG, de un grupo soluble G es un grupo soluble.
Demostración. Sea G = G0 ≥ G1 ≥ . . . ≥ Gt = 1 una sucesión de subgrupos como en la
definición de grupo soluble. Como NCG, tenemos que NGi ≤ G ∀i. Aśı, existe una sucesión
de subgrupos
G = G0N ≥ G1N ≥ . . . ≥ GtN = N ≥ 1
Veamos que es una serie normal. Con una notación obvia:
(gin)Gi+1N(gin)
−1 ≤ giGi+1Ng−1i = giGi+1g−1i N ≤ Gi+1N
La primera desigualdad se debe a que n(Gi+1N)n
−1 ≤ NGi+1N ≤ (Gi+1N)(Gi+1N) =
Gi+1N (pues Gi+1N es un subgrupo de G); la igualdad se debe a que Ng
−1
i = g
−1
i N (pues
N CG y las coclases a derecha y a izquierda coincidan); la última desigualdad se debe a que
Gi+1 CGi. Por el Segundo Teorema del Isomorfismo,
Gi
Gi ∩ (Gi+1N)
∼=
Gi(Gi+1N)
Gi+1N
=
GiN
Gi+1N
donde la igualdad es porque GiGi+1 = Gi. Ahora buscamos aplicar el Tercer Teorema del Iso-
morfismo. Veamos que Gi+1NCGi: sean g ∈ Gi y gi+1n ∈ Gi+1N . Entonces, ggi+1g−1gng−1 ∈
Gi+1N , pues Gi+1 C Gi y N C G. Aśı, Gi ∩ Gi+1N C Gi y como Gi+1 ≤ Gi ∩ Gi+1N y
Gi+1 C Gi, podemos aplicar el Tercer Teorema del Isomorfismo para obtener una suryec-
ción Gi/Gi+1 −→ Gi/(Gi ∩Gi+1N). Componiendo con lo de arriba, tenemos una suryección
Gi/Gi+1 −→ GiN/Gi+1N . Como Gi/Gi+1 es ćıclico de orden primo, su imagen es ćıclica de
orden primo o es el subgrupo trivial. Aśı, G/N es un grupo soluble. ♣
20
4.2. Una última definición de solubilidad 4. Grupos solubles
Teorema 4.1.5. Si H CG y tanto H como G/H son solubles, entonces G es soluble.
Demostración. Sea
G/H ≥ K∗1 ≥ K∗2 ≥ . . . ≥ K∗n = 1
una serie soluble. Por el teorema de correspondencia, podemos construir una sucesión pa-
recida al comienzo de una serie soluble de G a H, i.e., hay subgrupos Ki (con H ≤ Ki y
Ki/H ∼= K∗i ) tales que
G ≥ K1 ≥ K2 ≥ . . . ≥ Kn = H
donde Ki+1 CKi y Ki/Ki+1 (∼= K∗i /K∗i+1) es abeliano. Como H es soluble, tiene una serie
soluble; si unimos estas dos series junto a H, obtenemos una serie soluble para G. ♣
Corolario 4.1.6. Si H y K son grupos solubles, entonces H ×K es soluble.
Demostración. Si G = H ×K, entonces H CG y G/H ∼= K. ♣
Teorema 4.1.7. Todo p-grupo finito G es soluble.
Demostración. La prueba es por inducción en |G|. Si |G| = 1, G = p0 = 1 y es soluble.
Supongamos que |G| = ph+1. Por Teorema 1.1.38, |Z(G)| 6= 1. Entonces, G/Z(G) es un
p-grupo (por el Teorema de Lagrange) de orden < |G|. Por lo tanto, por hipótesis inductiva,
es soluble. Como todo grupo abeliano es soluble, Z(G) es soluble. Aśı, G es soluble, por el
teorema anterior. ♣
4.2. Una última definición de solubilidad
Otra aproximación a solubilidad es mediante subgrupos conmutadores.
Definición 4.2.1. Los subgrupos conmutadores de orden superior de G se definen inducti-
vamente:
G(0) = G G(i+1) = (G(i))′
Es decir, G(i+1) es el subgrupo conmutador de G(i). La serie
G = G(0) ≥ G(1) ≥ G(2) ≥ . . .
es llamada serie derivada de G.
Para ver que los subgrupos conmutadores de orden superor son subgrupos normales de
G, es conveniente introducir un nuevo tipo de subgrupo.
Definición 4.2.2. Un automorfismo de un grupo G es un isomorfismo ϕ : G −→ G. Un
subgrupo H de G es llamado caracteŕıstico en G, notado H car G, si ϕ(H) = H para todo
automorfismo ϕ de G.
Si ϕ(H) ≤ H para todo automorfismo ϕ, entonces H car G. En efecto, tanto ϕ como ϕ−1
son automorfismos de G, por lo que ϕ(H) ≤ H y ϕ−1(H) ≤ H. Esto último nos da la otra
inclusión: Como ϕ es inyectiva, H = ϕϕ−1(H) ≤ ϕ(H). Aśı, ϕ(H) = H.
21
4.2. Una última definición de solubilidad 4. Grupos solubles
Para cada a ∈ G, la conjugación por a (i.e., x 7→ axa−1) es un automorfismo de G. En
efecto, sea γ : G −→ G dada por γ(x) = axa−1. Dados x, y ∈ G,
γ(e) = aea−1 = aa−1 = e
γ(xy) = axya−1 = axa−1aya−1 = γ(x)γ(y)
Aśı, γ es un morfismo de grupos. Veamos que es un isomorfismo. Es inyectivo, pues si
γ(x) = γ(y), entonces axa−1 = aya−1. Pero multiplicando a derecha por a y a izquierda por
a−1, tenemos que x = y. Por último, veamos que es suryectiva. Dado z ∈ G, z = a(a−1za)a−1.
Por lo tanto, γ es un automorfismo de G.
De lo anterior se deduce que si H car G, γ(H) = aHa−1 = H. Por lo que H CG.
Lema 4.2.3. Sea H,K ≤G.
1. Si H car K y K car G, entonces H car G.
2. Si H car K y K CG, entonces H CG.
Demostración. Veamos 1. Si ϕ es un automorfismo de G, entonces ϕ(K) = K, y la restricción
ϕ|K : K −→ K es un automorfismo de K. Como H car K, tenemos que ϕ(H) = (ϕ|K)(H) =
H. Por lo tanto, H car G.
2. Sea a ∈ G y sea ϕ : G −→ G la conjugación por a. ComoKCG, ϕ|K es un automorfismo
de K, y como H car K, (ϕ|K)(H) ≤ H. Esto dice que si h ∈ H, entonces aha−1 = ϕ(h) ∈ H.
Por lo tanto, H CG. ♣
Teorema 4.2.4. Para todo grupo G, los subgrupos conmutadores de orden superior son
caracteŕısticos, y por lo tanto normales.
Demostración. Lo hacemos por inducción en i ≥ 1. Recoremos que el subgrupo conmutador
G′ = G(1) es generado por todos los conmutadores, i.e., por todos los elementos de la forma
aba−1b−1. Si ϕ es un automorfismo de G, entonces ϕ(aba−1b−1) = ϕ(a)ϕ(b)ϕ(a)−1ϕ(b)−1
también es un conmutador. Aśı, ϕ(G′) ≤ G′ y G′ car G. Para el paso inductivo, acabamos
de mostrar que G(i+1) car G(i), y como G(i) car G (por hipótesis inductiva), usando el ı́tem
1 del lema anterior vemos que G(i+1) car G. ♣
Todo esto nos dice que una serie derivada de un grupo G es una serie normal si termina
en 1. El resultado siguiente muestra que si G es soluble, entonces la serie derivada desciende
más rápido que cualquier otra serie soluble.
Lema 4.2.5. Si G = G0 ≥ G1 ≥ . . . ≥ Gn = 1 es una serie soluble, entonces Gi ≥ G(i) para
todo i.
Demostración. Como no pod́ıa ser de otra manera, la prueba es por inducción en i ≥ 0.
Si i = 0, entonces G0 = G = G
(0). Para el paso inductivo, el Teorema 1.1.31 nos dice que
Gi+1 ≥ G′i, puesto que Gi/Gi+1 es abeliano (pues la serie es soluble). La hipótesis inductiva
nos dice que Gi ≥ G(i), entonces G′i ≥ (G(i))′ = G(i+1). Por lo tanto, Gi+1 ≥ G(i+1), como
queŕıamos. ♣
Ahora śı, una tercer y última definición de grupo soluble.
22
4.2. Una última definición de solubilidad 4. Grupos solubles
Teorema 4.2.6. Un grupo G es soluble sii G(n) = 1 para algún n.
Demostración. Sea G = G0 ≥ G1 ≥ . . . ≥ Gn = 1 una serie soluble. Por el lema anterior,
Gi ≥ G(i) para todo i. En particular, 1 = Gn ≥ G(n). Por lo tanto G(n) = 1.
Rećıprocamente, si G(n) = 1, entonces la serie derivada es una serie normal. Como
(G(i))′ = G(i+1) y G(i+1) C G(i), por el Teorema 1.1.31, los grupos factores son abelianos.
Por lo tanto, es una serie soluble para G. ♣
Aśı, vemos que una serie derivada de G es una serie normal sii G es un grupo soluble.
Proposición 4.2.7. Un p-grupo elemental abeliano G es un espacio vectorial sobre Zp y
todo morfismo ϕ : G −→ G es una transformación lineal.
Demostración. Sea G = Zp×. . .×Zp. Definiendo la suma coordenada a coordenada, tenemos
que cumple conmutativdad, asociatividad, existencia de neutro (el (0, . . . , 0)) y de opuesto
((u1, . . . , un) + (−u1, . . . ,−un) = 0). Definimos el producto por un escalar k ∈ Zp como
kv = (kv0, . . . , kvn). Aśı, si a, b ∈ Zp, entonces
(ab)v = (abv0, . . . , abvn) = a(bv0, . . . , bvn) = a(bv)
(a+ b)v = ((a+ b)v0, . . . , (a+ b)vn) = (av0 + bv0, . . . , avn + bvn) = av + bv
Veamos lo de las transformaciones lineales. Sea ϕ : G −→ G un morfismo de grupos y sean
u, v ∈ G, a ∈ Zp. Entonces,
ϕ(u+ v) = ϕ(u) + ϕ(v) por ser morfismo
ϕ(av) = ϕ(v + . . .+ v) = ϕ(v) + . . .+ ϕ(v) = aϕ(v)
♣
Definición 4.2.8. Un subgrupo normal H de un grupo G es un subgrupo normal minimal
si H 6= 1 y no hay subgrupos normales K de G tales que 1 < K < H.
Teorema 4.2.9. Si G es un grupo finito soluble, entonces todo subgrupo normal minimal es
elemental abeliano.
Demostración. Sea V un subgrupo normal minimal. El Lema 4.2.3 muestra que si H car V ,
entonces H CG. Como V es minimal, H = 1 o H = V . En particular, V ′ car V , por lo que
V ′ = 1 o V ′ = V . Como G es soluble, también lo es V (Teorema 4.1.3). Por el Teorema 4.2.6,
V ′ = V no puede pasar. Aśı, V ′ = 1 y por lo tanto V es abeliano (Teorema 1.1.31). Veamos
que |V | es divisible por un único primo. Sea p||V |. Entonces, V tiene un p-subgrupo de Sylow
S. Como V es normal en G y S car V (como V es abeliano, S es el único p-subgrupo de
Sylow, y |S| = |ϕ(S)| para cualquier automorfismo ϕ de V ), por el Lema 4.2.3, S CG. Pero
entonces, V = S, y |V | = pn para algún n. Aśı, V es un p-grupo abeliano.
Consideremos A = {x ∈ V : xp = 1} y sea ψ un automorfismo de V . Si tomamos y ∈ A,
entonces ψ(y)p = ψ(yp) = ψ(1) = 1. Por lo tanto, A car V . ♣
Corolario 4.2.10. Si V es un subgrupo normal minimal de un grupo soluble finito G, en-
tonces G actúa en V como un grupo de transformaciones lineales.
23
5.1. Primer teorema de Hall 5. Teoremas de P. Hall
Demostración. Por el teorema anterior, V es un p-grupo elemental. Por la Proposición 4.2.7,
V es un espacio vectorial sobre Zp, y todo morfismo de V es una transformación lineal.
Definamos un morfismo G −→ GL(V ) como a 7→ φa, donde φa(v) = ava−1 ∀v ∈ V (la nor-
malidad de V muestra φa(v) ∈ V ). Más aún, cada φa es una inyección, pues es la restricción
de un automorfismo (conjugación). Y toda inyección en un espacio vectorial de dimensión
finita es una suryección. Por lo tanto, φa es no singular.
¿Y eso qué tiene que ver? Que entonces nuestro morfismo está bien definido. Por último,
si a, b ∈ G y v ∈ V , entonces
φab(v) = abvb
−1a−1 = φa(φb(v))
Por lo tanto, G actúa sobre V . ♣
Definición 4.2.11. Un grupoG cuyos únicos subgrupos caracteŕısticos sonG y 1 es llamados
caracteŕısticamente simple.
Teorema 4.2.12. Un grupo finito G caracteŕısticamente simple es simple o es producto
directo de grupos simples isomorfos.
Demostración. Tomemos un subgrupo normal minimal H de G cuyo orden es minimal entre
todos los subgrupos normales no triviales. Sea H = H1, y consideremos todos los subgrupos
de G de la forma H1 ×H2 × . . .×Hn, donde n ≥ 1, Hi CG y Hi ∼= H. Sea M un subgrupo
de esa forma del mayor orden posible.
Veamos que M = G, mostrando que M car G. Veamos que ϕ(Hi) ≤ M para todo i y
para todo automorfismo ϕ de G. Por supuesto, como ϕ es inyectiva, ϕ(Hi) ∼= Hi ∼= H = H1.
Veamos que ϕ(Hi) C G. Si a ∈ G, entonces a = ϕ(b) para algún b ∈ G, y aϕ(Hi)a−1 =
ϕ(b)ϕ(Hi)ϕ(b)
−1 = ϕ(bHib
−1) ≤ ϕ(Hi), pues Hi CG. Por otro lado, ϕ(Hi) ≤M . En efecto,
si no fuera aśı, i.e., si ϕ(Hi) 6≤M , entonces ϕ(Hi)∩M 6≤ ϕ(Hi) y |ϕ(Hi)∩M | < |ϕ(Hi)| = |H|.
Pero ϕ(Hi) ∩M C G, entonces la minimalidad de |H| muestra que ϕ(Hi) ∩M = 1. Pero
entonces el subgrupo M × ϕ(Hi) es un subgrupo de la misma forma que M pero de mayor
orden, y eso es absurdo porque contradice la definición de M . Por lo tanto, M car G, y como
por hipótesis G es caracteŕısticamente simple, M = G.
Por último, H = H1 debe ser simple: Si N es un subgrupo normal no trivial de H,
entonces N es un subgrupo normal de M = H1 ×H2 × . . . ×Hn = G, y esto contradice la
elección minimal de H. ♣
Corolario 4.2.13. Un subgrupo normal minimal H de un grupo finito G es simple o es un
producto directo de subgrupos simples isomorfos.
Demostración. Si N car H, entonces N CG (por el Lema 4.2.3). Entonces, N = 1 o N = H
(porque H es normal minimal). Entonces, H no tiene subgrupos caracteŕısticos propios, y el
teorema anterior nos da el resultado. ♣
5. Teoremas de P. Hall
Hemos llegado al punto de mayor interés de este trabajo. En conjunto, ambos teoremas
nos dan una caracterización de solubilidad para grupos finitos.
24
5.1. Primer teorema de Hall 5. Teoremas de P. Hall
5.1. Primer teorema de Hall
Los principales resultados de esta sección son generalizaciones de los teoremas de Sylow
(que lo mira por TV) que valen para grupos solubles finitos. Necesitaremos el siguiente
resultado técnico.
Definición 5.1.1. Si H ≤ G, el normalizador de H en G, notado NG(H), es NG(H) = {a ∈
G : aHa−1 = H}.
Proposición 5.1.2. NG(aHa
−1) = aNG(H)a
−1
Demostración. Sea aba−1 ∈ aNG(H)a−1. Entonces,
(aba−1)aHa−1(ab−1a−1) = abHb−1a−1
= aHa−1 pues bHb−1 = H
Por lo tanto, aba−1 ∈ NG(aHa−1) y aNG(H)a−1 ⊂ NG(aHa−1).
Rećıprocamente, sea n ∈ NG(aHa−1). Entonces,
(a−1na)H(a−1n−1a) = a−1(naHa−1n−1)a= a−1aHa−1a pues naHa−1n−1 = aHa−1
Por lo tanto, NG(aHa
−1) ⊂ aNG(H)a−1. ♣
Teorema 5.1.3 (Argumento de Frattini). Sea G un grupo finito y sea K C G. Si P es un
p-subgrupo de Sylow de K (para algún primo p), entonces
G = KNG(P )
Demostración. Si g ∈ G, entonces gPg−1 ≤ gKg−1 = K, porque K C G. Entonces, gPg−1
es un p-subgrupo de Sylow de K, y por lo tanto existe k ∈ K con kPk−1 = gPg−1. Aśı,
P = (k−1g)P (g−1k) = (k−1g)P (k−1g)−1. Luego, k−1g ∈ NG(P ). Por lo que la factorización
buscada es g = k(k−1g). ♣
Teorema 5.1.4 (P. Hall, 1928). Si G es un grupo soluble de orden ab, donde (a, b) = 1,
entonces G contiene un subgrupo de orden a. Más aún, cualesquiera dos subgrupos de orden
a son conjugados.
Demostración. La prueba es por inducción en |G|. El caso inicial es trivial: si |G| = 1,
entonces a = b = 1 y G es el grupo trivial. Su único subgrupo es él mismo, de orden a.
Caso 1: G contiene un subgrupo normal H de orden a′b′, donde a′|a, b′|b y b′ < b.
Existencia. En este caso, G/H es un grupo soluble de orden (a/a′)(b/b′) (por Lagrange).
Entonces, (a/a′)(b/b′) < ab. Además, (a/a′) y (b/b′) son coprimos, porque si no lo fueran
tampoco lo seŕıan a y b. Por hipótesis inductiva, G/H tiene un subgrupo A/H de orden a/a′.
Ahora, por Lagrange, A tiene orden (a/a′)|H| = ab′ < ab. Como A es soluble (por Teorema
4.1.3), por hipótesis inductiva, tiene un subgrupo de orden a.
Conjugación. Sean A y A′ subgrupos de G de orden a. Hagamos k = |AH|. Como
AH ≤ G, por el teorema de Lagrange, |AH| = αβ, donde α|a y β|b. Como (a, b) = 1 y
25
5.1. Primer teorema de Hall 5. Teoremas de P. Hall
A ≤ AH, tenemos que a|αβ, entonces a|α. Aśı, a = α. Como H ≤ AH, tenemos que a′b′|αβ,
por lo que b′|β. Por la fórmula del producto, |AH||aa′b′, pero entonces β|b′. Concluimos
que |AH| = k = ab′. Análogamente, vemos que también |A′H| = ab′. Entonces, AH/H y
A′H/H son subgrupos de G/H de orden a/a′. Como |G/H| = (a/a′)(b/b′), estos subgrupos
son conjugados (por hipótesis inductiva), por un xH ∈ G/H, i.e.,
xH
AH
H
x−1H =
A′H
H
Notemos que
xH
AH
H
x−1H = {xHahHx−1H : x ∈ G, a ∈ A, h ∈ H}
= {xahx−1H : x ∈ G, a ∈ A, h ∈ H}
Veamos que xAHx−1 = A′H. Sea xahx−1 ∈ xAHx−1. Como 1 ∈ H, existe a′ ∈ A y
h̄ ∈ H tales que xahx−1 = a′h̄. Entonces, xAHx−1 ⊂ A′H. Sea ahora a′h ∈ A′H. Entonces
existen x, a, h̄ y h̃ tales que a′h = xah̄x−1h̃ = xah̄x−1h̃xx−1 = xah̄h′x−1 = xaĥx−1, donde
x−1h̃x = h′ porque H CG, y h̄h′ = ĥ pues H es subgrupo. Aśı, xAHx−1 = A′H. Entonces,
xAx−1 y A′ son subgrupos de A′H de orden a, y por lo tanto son conjugados, por hipótesis
inductiva. Eso completa el primer caso.
Si no estamos en el caso 1, tenemos que b no divide al orden de H. Por lo tanto, podemos
asumir que b||H| para todo subgrupo normal propio H. Sin embargo, si H es un subgrupo
normal minimal, entonces el Teorema 4.2.9 nos dice que H es un p-grupo elemental abeliano,
para algún primo p. Aśı, podemos asumir que b = pm, por lo que H es un p-subgrupo de
Sylow de G. La normalidad de H fuerza que sea único (pues todos los p-subgrupos de Sylow
son conjugados. El problema ahora se reduce al siguiente caso.
Caso 2: |G| = apm, donde p no divide a a, G tiene un p-subgrupo de Sylow normal
abeliano H, y H es el único subgrupo normal minimal en G.
Existencia. El grupo G/H es un grupo soluble de orden a (pues H es un p-subgrupo de
Sylow). Si K/H es un subgrupo normal minimal de G/H, entonces |K/H| = qn, para algún
primo q 6= p, y por lo tanto |K| = pmqn. Si Q es un q-subgrupo de Sylow de K, entonces
K = HQ. En efecto, como H CK, HQ < K. Y por otro lado, H ∩Q = 1, |HQ| = |H||Q| =
pmqn = |K|. Sea N∗ = NG(Q) := {a ∈ G : aQa−1 = Q} y sea N = N∗ ∩ K = NK(Q).
Afirmamos que |N∗| = a.
Por el Argumento de Frattini, G = KN∗. Por el Teorema de Correspondencia, K CG, y
usando el Segundo Teorema del Isomorfismo, tenemos
G
K
=
KN∗
K
∼=
N∗
N∗ ∩K
=
N∗
N
Entonces, |N∗| = |G||N |/|K|. Pero K = HQ y Q ≤ N ≤ K nos dice que K = HN . Aśı,
|K| = |HN | = |H||N |/|H ∩N |. Por lo tanto,
|N∗| = |G||N |
|K|
=
|G||N ||H ∩N |
|H||N |
=
|G|
|H|
|H ∩N | = a|H ∩N |
26
5.2. Rećıproca del teorema de Hall 5. Teoremas de P. Hall
Si probamos que H ∩N = 1, tenemos que |N∗| = a. Veremos que H ∩N = 1 en dos etapas:
H ∩N ≤ Z(K) y Z(K) = 1.
1. Sea x ∈ H∩N . Entonces, todo k ∈ K = HQ es de la forma k = hs, para h ∈ H y s ∈ Q.
Como x conmuta con h, porque H es abeliano, es suficiente mostrar que x conmuta
con s. Pero (xsx−1)s−1 ∈ Q, porque x normaliza a Q (x ∈ N), y x(sx−1s−1) ∈ H,
porque H es normal. Por lo tanto, xsx−1s−1 ∈ Q ∩H = 1. Aśı, xs = sx, x ∈ Z(K) y
H ∩N ≤ Z(K).
2. Como Z(K)CK, Z(K) car K, y por el Lema 4.2.3, Z(K)CG. Si Z(K) 6= 1, entonces
contiene un subgrupo minimal que debe ser un subgrupo minimal normal de G. Pero
en ese caso, H ≤ Z(K), pues H es el único subgrupo minimal de G. Como K = HQ,
Q car K. Por Lema 4.2.3, QCG. Entonces, H ≤ Q (por ser minimal), y eso es absurdo
(pues Q es un q-subgrupo de Sylow y H es un p-subgrupo de Sylow, con q 6= p). Por
lo tanto, Z(K) = 1, H ∩N = 1 y |N∗| = a.
Conjugación. Usaremos la notación de la prueba de existencia. Recordemos que N∗ =
NG(Q) tiene orden a. Sea A otro subgrupo de G de orden a. Como |AK| es divisible
por a y por |K| = pmqn, tenemos que |AK| = aλ = pmqnµ, para algunos λ, µ ∈ Z.
Entonces, pm divide a λ (pues p no divide a a), luego |AK| = apm = |G|. Por lo tanto,
AK = G,
G
K
=
AK
K
∼=
A
(A ∩K)
y |A∩K| = qn Por el teorema de Sylow, A∩K es conjugado de Q. Por la Proposición
5.1.2, N∗ = NG(Q) y NG(A∩K) son conjugados, y entonces a = |N∗| = |NG(A∩K)|.
Como A∩KCA (por el segundo teorema del isomorfismo), tenemos que A ≤ NG(A∩K),
y aśı A = NG(A∩K) (pues ambos tienen orden a). Por lo tanto, A es conjugado a N∗.
♣
5.2. Rećıproca del teorema de Hall
La siguiente definición está hecha en tributo a este teorema.
Definición 5.2.1. Si G es un grupo finito, entonces un subgrupo H de G se dice que es un
subgrupo de Hall si su orden e ı́ndice son primos relativos (i.e., (|H|, [G : H]) = 1).
Es conveniente, a veces, expresar los divisores primos del orden de un grupo. Si π es
un conjunto de primos, entonces un π-número es un entero n tal que los primos de su
factorización están en π; el complemento de π se nota π′, y un π′-número es un entero n tal
que ningún primo de su factorización está en π.
Definición 5.2.2. Si π es un conjunto de primos, entonces un grupo G es un π-grupo si el
orden de cada uno de sus elementos es un π-número. Un grupo es un π′-grupo si el orden de
cada uno de sus elementos es un π′-número.
27
5.2. Rećıproca del teorema de Hall 5. Teoremas de P. Hall
Por supuesto que si a es un π-número y b es un π′-número, entonces son primos relativos.
Si π consiste de un sólo primo p, entonces los π-grupos son simplemente los p-grupos, mientras
que los p∗-grupos no tienen elementos de orden alguna potencia de p. Aśı, por el teorema de
Sylow, todo p-subgrupo de Sylow en un grupo finito es un p-subgrupo de Hall. En efecto, si
P es un p-subgrupo de Sylow de un grupo finito G, |P | = pn, pn||G| pero pn+1 no divide a
|G|. Entonces, [G : P ] no tiene a p en su factorización, por lo que (|P |, [G : P ]) = 1.
El teorema de Hall dice que en grupos finitos solubles siempre existen π-subgrupos de
Hall. Sin embargo, a diferencia de los p-subgrupos de Sylow, los π-subgrupos de Hall (con
|π| ≥ 2) de un grupo G no tienen por qué existir.
Definición 5.2.3. Si p es primo y G es un grupo finito de orden apn, donde a es un p′-
número, entonces un p-complemento de G es un subgrupo de orden a.
El teorema de Hall implica que un grupo finito soluble tiene un p-complemento para
todo primo p. Si G es un grupo de orden pmqn, entonces G tiene un p-complemento (un
q-subgrupo de Sylow) y tiene un q-complemento (un p-subgrupo de Sylow).
Lema 5.2.4. Si H y K son subgrupos de un grupo G tal que ([G : H], [G : K]) = 1, entonces
1. [G : H ∩K] = [G : H][G : K]
2. G = HK
Demostración. Llamemos g = |G|, m = [G : H], n = [G : K] y a = |H ∩ K|. Entonces,
existen enteros positivosh, k tales que |H| = ah y |K| = ak (pues H ∩ K es un subgrupo
de H y de K). Aśı, g = ahm = akn, lo que implica que hm = kn. Como (m,n) = 1, n
divide a h y m divide a k, por lo que h = nr y k = mj, para algunos enteros j, r. Pero
eso significa que nrm = mjn, y entonces r = j. Aśı, g = amnr. Por otro lado, g = |G| ≥
|HK| = |H||K||H ∩K|−1 = amnr2. Esto fuerza a que r = 1, y entonces |HK| = amn = g.
Luego, HK = G. También, por Lagrange, [G : H ∩K] = mn = [G : H][G : K]. ♣
El siguiente resultado (debido a Burnside) escapa a los alcances de este trabajo, por lo
que solamente lo enunciamos: “Si p y q son primos, entonces todo grupo de orden pmqn es
soluble.”
Teorema 5.2.5. Sea G un grupo finito. Si G tiene tres subgrupos solubles cuyos ı́ndices son
dos a dos coprimos, entonces G es soluble.
Demostración. Sean los subgrupos H1, H2, H3. Si H1 = 1, entonces |G| = [G : H1], y como
([G : H1], [G : H2]) = 1, tenemos que [G : H2] = 1 y H2 = G es soluble. Aśı, podemos
asumir que H1 6= 1. Sea M un subgrupo normal minimal de H1. Como H1 es soluble, M
es un p-grupo elemental abeliano, para algún primo p. Ahora bien, p no puede dividir a los
ı́ndices de H2 y H3, por lo que asumamos que no divide a [G : H2]. Luego, p divide a |H2|,
y H2 contiene un p-subgrupo de Sylow no trivial, digamos P , que también es un p-subgrupo
de Sylow de G. Sea P1 un p-subgrupo de Sylow de H1. Entonces, P1 ⊂ P x, para algún
x ∈ G. Podemos reemplazar H2 por Hx2 sin afectar la hipótesis. Aśı, P1 ⊂ P y M ⊂ P , pues
MCH1. Entonces, M ⊂ H1∩H2. Por el Lema 5.2.4, G = H1H2, y cada x ∈ G es de la forma
x = x1x2, xi ∈ Hi. Luego, Mx = Mx2 ⊂ H2 (pues M CH1). Aśı, H2 contiene a la clausura
28
6.1. Preliminares 6. Apéndice: El grupo alternado
normal de M en G. Como H2 es soluble, K es soluble. Por lo tanto, los subgrupos KHi/K
de G/K están en las hipótesis del teorema. Por inducción, G/K es soluble, y entonces G es
soluble. ♣
Teorema 5.2.6 (P. Hall, 1937). Si G es un grupo finito con un p-complemento para todo
primo p, entonces G es soluble.
Demostración. Sea G = pα11 . . . p
αn
n , con pi 6= pj si i 6= j. Podemos suponer que n > 2, ya
que si n = 1, G es un p1-grupo y aśı es soluble; y si n = 2, el Teorema de Burnside garantiza
que G es soluble. Sea Hi un pi-complemento de G, para 1 ≤ i ≤ n, que existe por hipótesis.
Como [G : Hi] = p
αi
i , basta mostrar que cada Hi es soluble. Aśı, el resultado se desprende
del teorema anterior. La demostración es por inducción en el orden de G. Por el Lema 5.2.4,
H1 ∩Hj es un π-subgrupo de Hall de G, con π = π(G)− {p1, pj}. Luego, H1 ∩Hj es un pj
complemento de H1, para 2 ≤ j ≤ n. Por hipótesis inductiva, H1 es soluble. De la misma
manera, se prueba que cada Hi es soluble, lo que demuestra el teorema. ♣
6. Apéndice: El grupo alternado
En esta parte demostraremos un resultado que nombramos al pasar y que merece un poco
más de detalle. Veremos que en la mayoŕıa de los casos (cuando n ≥ 5) el grupo alternado
An es simple.
6.1. Preliminares
Definición 6.1.1. Si X es un conjunto, entonces el conjunto SX = {f : X −→ X biyectivas}
es un grupo bajo la composición de funciones, llamado grupo simétrico de X o grupo de
permutaciones de X.
Cuando X = {1, 2, . . . , n}, anotamos Sn en vez de SX .
Definición 6.1.2. Un elemento i ∈ X = {1, 2, . . . , n} es fijado por α ∈ Sn si α(i) = i.
Decimos que α ∈ Sn es un r-ciclo si existen r enteros i1, . . . , ir ∈ X tales que
α(i1) = i2 α(i2) = i3 . . . α(ir−1) = ir α(ir) = i1
y tal que α fija a los demás i ∈ X. El r-ciclo α es anotado (i1, i2, . . . , ir). Un 2-ciclo es
llamado transposición.
Dos ciclos α = (i1, . . . , ir) y β = (j1, . . . , js) son disjuntos si
{i1, . . . , ir} ∩ {j1, . . . , js} = φ
Lema 6.1.3. Ciclos disjuntos conmutan.
Teorema 6.1.4. Todo α ∈ Sn, α 6= e, puede ser escrito de forma única (salvo el orden)
como producto de ciclos disjuntos de longitud ≥ 2.
Corolario 6.1.5. Todo α ∈ Sn es producto de transposiciones.
29
6.2. Simplicidad del grupo alternado 6. Apéndice: El grupo alternado
Proposición 6.1.6. El número de transposiciones en una factorización de una permutación
como producto de transposiciones es siempre par o siempre impar.
Definición 6.1.7. Una permutación α ∈ Sn es par si α puede escribirse como producto
de un número par de transposiciones. α es impar si puede escribirse como producto de un
número impar de transposiciones. Definimos el signo de α, notado sgn(α), como
sgn(α) =
{
1 si α es par
−1 si α es impar
La proposición anterior muestra que una permutación no puede ser al mismo tiempo par
e impar, por lo que sgn : Sn −→ {1,−1} está bien definida. Más aún, es un morfismo de
grupos. El kernel de sgn, i.e., el conjunto de permutaciones pares, es un subgrupo normal de
Sn, llamado grupo alternado y notado An.
Definición 6.1.8. Decimos que dos permutaciones α y β tienen la misma estructura de
ciclos si sus factorizaciones en ciclos disjuntos tienen el mismo número de r-ciclos para cada
r.
Proposición 6.1.9.
1. Si α ∈ Sn y β = (i1, . . . , ir) es un r-ciclo, entonces αβα−1 es el r-ciclo (α(i1), . . . , α(ir)).
2. Cualesquiera dos r-ciclos en Sn son conjugados.
Corolario 6.1.10. Dos permutaciones α, β ∈ Sn son conjugadas sii tienen la misma estruc-
tura de ciclos.
6.2. Simplicidad del grupo alternado
Proposición 6.2.1. Sea G un grupo y N ⊂ G un subgrupo. Entonces, N es normal sii N
es unión de clases de conjugación.
Demostración. Supongamos que N es normal. Si x ∈ N está en una clase de conjugación C,
entonces C ⊂ N , porque todo conjugado de x está en N (por ser N normal). Aśı, N es la
unión de las clases de conjugación a donde pertenecen sus elementos.
Rećıprocamente, supongamos que N es unión de clases de conjugación y tomemos x ∈ N .
Entonces, x está en alguna clase de conjugación de las que forman a N . Pero entonces
cualquier conjugado de x está en N . ♣
Proposición 6.2.2. Si σ es un k-ciclo de Sk y ρ conmuta con σ, entonces ρ es una potencia
de σ.
Demostración. Si τσ = στ , entonces
(a1, . . . , ak) = σ = σττ
−1 = τστ−1 = (τ(a1), . . . , τ(ak))
Pero entonces existe i, 0 ≤ i < k, tal que
(τ(a1), . . . , τ(ak)) = (a1, . . . , ak) = (ai+1, . . . , ak, a1, . . . , ai)
30
6.2. Simplicidad del grupo alternado 6. Apéndice: El grupo alternado
Luego, τ(a1) = ai+1 y τ(ak) = ai. Consideremos σ
i:
σi = (a1, ai+1, . . . , ak, ai, . . .)
Aśı, σi y τ deben ser el mismo k-ciclo. ♣
Ahora analicemos qué pasa con la conjugación en el caso de A5 ≤ S5. El problema que
se presenta es que dos elementos ρ, ρ′ ∈ A5 pueden ser conjugados en S5 sin serlo en A5. En
efecto, si φρφ−1 = ρ′ con φ ∈ S5, nada nos garantiza que uno pueda elegir esa φ para que sea
una permutación par. Si uno no puede, veremos que la clase de conjugación en S5 se divide
en dos clases en A5.
Los elementos de A5 (las permutaciones pares de S5) pueden clasificarse de la siguiente
forma:
1. La identidad.
2. El producto de dos ciclos disjuntos, con (1, 2)(3, 4) como ejemplo. Hay 15 permuta-
ciones de este tipo, pues el número que falta (el punto fijo) puede ser elegido de 5
maneras distintas, y el resto se puede dividir en pares de 3 maneras distintas. Estas
permutaciones son todas conjugadas en A5.
Asumamos que ρ es conjugado a (1, 2)(3, 4) en S5, i.e., ρ = φ ◦ (1, 2)(3, 4) ◦ φ−1. Si φ
es par, todo piola. Si no, reemplazamos φ por φ ◦ (1, 2). Esto es par, y entonces
φ ◦ (1, 2)(1, 2)(3, 4)(1, 2) ◦ φ−1 = φ ◦ (1, 2)(3, 4) ◦ φ−1 = ρ
Aśı, ρ pertenece a la clase de conjugación de (1, 2)(3, 4) en A5.
3. Los 3-ciclos, con (1, 2, 3) como ejemplo. Hay 20 elementos, puesto que hay
(
5
2
)
= 10
maneras de elegir los 3 elementos del ciclo, y cada una puede ser ordenada de dos
formas distintas. Estas permutaciones son todas conjugadas en A5. Es análogo al caso
anterior, reemplazando φ por φ ◦ (4, 5).
4. Los 5-ciclos, con (1, 2, 3, 4, 5) como ejemplo. Hay 4! = 24 permutaciones de ese tipo,
pues podemos asumir que arrancamos siempre con un 1. Esta S5-clase se divide en
dos A5-clases,cada una con 12 elementos. En efecto, por la Proposición 6.2.2, toda
permutación que conmute con σ = (1, 2, 3, 4, 5) es una potencia de σ, y por lo tanto es
par. La clase de S5 se divide en dos subconjuntos:
P = {ρσρ−1 | ρ par} I = {ρσρ−1 | ρ impar}
Es claro que si uno toma dos elementos en uno de los dos conjuntos, entonces son
conjugados en A5: Si tomamos ρσρ
−1, τστ−1 ∈ I, entonces
(τρ−1)ρσρ−1(ρτ−1) = τστ−1
y τρ−1 ∈ A5. Por otro lado, no hay “conjugación cruzada” entre ellos en A5. En efecto,
si ρσρ−1 = α(φσφ−1)α−1, con ρ par y φ impar y α par, entonces φ−1α−1ρ es impar y
conmuta con σ, lo que es imposible por la Proposición 6.2.2. Por lo tanto, P e I son
clases de conjugación diferentes en A5.
Además, los conjuntos P e I tienen el mismo número de elementos, porque si α es una
permutación impar, entonces la conjugación por α manda a P en I, y viceversa.
31
6.2. Simplicidad del grupo alternado 6. Apéndice: El grupo alternado
Teorema 6.2.3. A5 no es un grupo simple.
Demostración. Supongamos que N ⊂ A5 es un subgrupo normal. La idea es contar el posible
número de elementos de N de dos maneras distintas (usando el teorema de Lagrange y usando
la Proposición 6.2.1) y ver que no encajan.
Por Lagrange, el orden del supuesto subgrupo normal N debe dividir al orden de A5.
Como |A5| = 4 · 3 · 5 = 60, la lista de posibles órdenes es
2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30
Por otro lado, la proposición anterior nos dice que N es unión de clases de conjugación, y su
orden debe ser igual a la suma de los cardinales de las clases. Los órdenes de las cinco clases
de conjugación de A5 los calculamos arriba:
1, 12, 12, 15, 20
Las pocas combinaciones de esos números cuya suma no es mayor a 30 son
1 1 + 12 + 12
1 + 12 1 + 12 + 15
1 + 15 1 + 20
El problema es que no hay ninguna coincidencia entre los posilbes órdenes de las dos listas.
Por lo tanto, no existe tal subgrupo normal N , y A5 es simple. ♣
Para el caso general necesitamos dos lemas más.
Lema 6.2.4. Si ningún elemento no trivial de un subgrupo N ⊂ An tiene un punto fijo,
entonces N tiene menos de n elementos.
Demostración. Si N tuviese más de n elementos, la aplicación N −→ In que manda φ 7→ φ(1)
no seŕıa inyectiva. Entonces, existiŕıan dos diferentes permutaciones en N con φ(1) = φ′(1).
Pero entonces φ−1φ′ fijaŕıa a 1, y φ = φ′, ya que no hay elementos no triviales en N con
puntos fijos. ♣
Lema 6.2.5. Si n ≥ 5, entonces ninguna clase de conjugación de An tiene menos que n
elementos.
Demostración. Sea C una clase de conjugación. Si C contiene un n-ciclo o un (n− 1)-ciclo,
entonces tiene al menos 1
2
(n − 2)! elementos, que es claramente más grande que n cuando
n ≥ 5. Si no, los elementos de C son productos de ciclos disjuntos de longitud menor o igual
que n − 2. Hacemos inducción y concluimos que C contiene al menos (n − k)k elementos,
donde k ≥ 2. ♣
Teorema 6.2.6. El grupo alternado An es simple si n ≥ 5.
32
6.2. Simplicidad del grupo alternado 6. Apéndice: El grupo alternado
Demostración. Aplicamos inducción en n. El caso base ya lo cubrimos en el teorema anterior.
Asumamos que N ⊂ An es un subgrupo normal, no trivial y propio. Veremos que eso lleva
a una contradicción. Como es usual, anotamos In = {1, 2, . . . , n}.
Para cualquier a ∈ In, el subgrupo Ga de An, que consiste de todas las permutaciones
que fijan a a, es isomorfo a An−1. Además, son todos conjugados: si φ fija a a, entonces
(c, d)(a, b) ◦φ ◦ (a, b)(c, d) fija a b, donde (a, b) y (c, d) son disjuntos (parece irrelevante, pero
(c, d) tiene que estar para hacer que la permutación por la que conjugamos sea par).
Como N C An, las intersecciones N ∩ Ga son normales en Ga, y por inducción o bien
son todos iguales a Ga, en cuyo caso N = An (pues por el Teorema 6.1.4, todo elemento
de An puede escribirse como producto de ciclos disjuntos, y cada ciclo está en algún Ga y
Ga ⊂ N∀a), o bien son todos triviales. En este último caso, ninguna permutación no trivial
en N tiene un punto fijo. Entonces, por el Lema 6.2.4, N tiene menos que n elementos.
Pero por el Lema 6.2.5, ninguna clase de conjugación de An tiene menos que n elementos,
y esto contradice que N es la unión de las clases de conjugación de sus elementos (pues es
normal). ♣
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Referencias
[1] Adkins, W y Weintraub S. H. (1992), Algebra: An Approach via Module Theory,
Springer-Verlag, New York.
[2] Bezerra dos Santos, R. (2010), O Teorema de P. Hall, Universidade Federal de Minas
Gerais, Belo Horizonte.
[3] Cohn, P. M. (2003), Further Algebra and Applications, Springer-Verlag, London.
[4] Haugnæss S. Z. y Lindstrøm P. (2013), Most alternating groups are simple, Universitetet
i Oslo, Oslo.
[5] Rotman J. J. (1995), An Introduction to the Theory of Groups, Springer-Verlag, New
York.
[6] Rotman J. J. (2003), Advanced Modern Algebra, Prentice Hall.
34