36--Representaciones-lineales-de-grupos-finitos

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Estructuras Algebraicas
Trabajo Final
Representaciones lineales de
grupos finitos
Lavié, Julieta
Sosa, Nicolás
Profesor: Dr. Stojanoff, Demetrio
Facultad de Ciencias Exactas, Universidad Nacional de La Plata
1
ÍNDICE 2
Índice
1. Introducción 4
2. Preliminares 5
2.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3. Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4. Espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3. Generalidades sobre representaciones lineales 10
3.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3. Subrepresentaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.4. Representaciones irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.5. Producto tensorial de dos representaciones . . . . . . . . . . . . . 14
4. Teoŕıa de caracteres 15
4.1. El carácter de una representación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2. El lema de Schur. Primeras aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . 17
4.3. Relaciones de ortogonalidad de los caracteres . . . . . . . . . . . 19
4.4. Descomposición de la representación regular . . . . . . . . . . . . 23
4.5. Número de representaciones irreducibles . . . . . . . . . . . . . . 24
4.6. La descomposición canónica de una representación . . . . . . . . 27
5. Complementos 29
5.1. Grupos conmutativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2. Producto de dos grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6. Extensión a los grupos compactos 31
6.1. Grupos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.2. Medida invariante sobre un grupo compacto . . . . . . . . . . . . 31
6.3. Representaciones lineales de grupos compactos . . . . . . . . . . 32
7. Algunos ejemplos 34
7.1. El grupo ćıclico Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7.2. EL grupo C∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7.3. El grupo diedral Dn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7.3.1. Realizaciones de Dn como grupo de desplazamientos del
espacio de tres dimensiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7.3.2. Representaciones irreducibles del grupo Dn (n ≥, par) . . 35
7.3.3. Representaciones irreducibles del grupo Dn(n impar) . . . 36
7.4. El grupo Dnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7.5. El grupo D∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7.5.1. Realizaciones de D∞ como grupo de desplazamientos del
espacio de dimensión 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
ÍNDICE 3
7.5.2. Representaciones irreducibles del grupo D∞ . . . . . . . . 38
7.6. El grupo D∞h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1 INTRODUCCIÓN 4
1. Introducción
La noción de grupo fue introducida por E. Galois hacia 1829, si bien está
impĺıcita en obras de Lagrange y Gauss. Su importancia no fue reconocida
durante un largo peŕıodo, hasta que Felix Klein le dio un lugar fundamental
en su interpretación de la geometŕıa no euclideana. A fines del siglo XIX, la
teoŕıa de grupos finitos inicia un vigoroso desarrollo a través de los trabajos de
Frobenius y Burnside, y má adelante de Schur.
Un problema fundamental de la teóıa es determinar todas la representacio-
nes de dimensión finita de un grupo dado G, sobre un cuerpo algebraicamente
cerrado K. Este problema no sólo es interesante en śı mismo y por sus aplicacio-
nes en otros campos, sino que es importante para entender la estructura interna
del grupo G. Las posibles soluciones de estos problemas se encuadran en dos
casos radicalmente diferentes: cuando la caracteŕıstica del cuerpo es cero o no
divide al orden del grupo G, y cuando la caracteŕıstica de K divide al orden de
G.
En el primer caso, toda representación es completamente reducible, esto es,
es suma directa de representaciones irreducibles; donde la cantidad de represen-
taciones irreducibles es igual a la cantidad de clases de conjugación del grupo G
y las dimensiones de las representaciones irreducibles dividen al orden del grupo.
Sin embargo, el problema de describir expĺıcitamente todas las representaciones
irreducibles del grupo fijo G es mucho más complicado en cada caso particular.
En el segundo caso, es decir, cuando la caracteŕıstica del cuerpo divide al
orden del grupo, hay representaciones que no son completamente reducibles y
la teoŕıa es mucho más dif́ıcil.
En este trabajo nos concentraremos en exponer el primer caso.
2 PRELIMINARES 5
2. Preliminares
2.1. Grupos
Definición 2.1. Un grupo es un conjunto G junto con una operación binaria
· : G×G→ G
que satisface las siguientes tres condiciones:
a · (b · c) = (a · b) · c; ∀a, b, c ∈ G (asociatividad)
Existe un elemento 1 ∈ G tal que a · 1 = 1ȧ = a; ∀a ∈ G (existecia de un
elemento identidad)
∀a ∈ G existe un b ∈ G tal que a · b = b · a = 1 (existe un inverso para
cada uno de los elementos de G)
Además, se dice abeliano si cumple que:
a · b = b · a; ∀a, b ∈ G
Proposición 2.1. Sea G un grupo.
I) La identidad 1 de G es única.
II) El inverso b de a ∈ G es único. Lo denotamos como a−1.
III) (a−1)−1 = a;∀a ∈ G y (a · b)−1 = b−1 · a−1; ∀a, b ∈ G.
IV) Si a, b ∈ G las ecuaciones a ·x = b, y · a = b cada una tiene solución única
en G.
V) Si a, b, c ∈ G, entonces a · b = a · c implica que b = c y a · b = c · b implica
que a = c
Definición 2.2. El orden de G, denotado | G |, es el cardinal del grupo G.
Definición 2.3. Dado dos conjuntos A,B con dos operaciones ◦A, ◦B de cada
conjunto respectivamente, un morfismo (o también llamado homomorfismo)
es una función φ : A→ B que verifica: dados a1, a2 ∈ A,
φ(a1 ◦A a2) = φ(a1) ◦B φ(a2)
2.2. Matrices
Definición 2.4. La fórmula de Leibniz para el determinante de una matriz cua-
drada T de orden n es:
det(A) =
∑
σ∈Pn
sgn(σ)
n∏
i=1
ai,σi .
donde la suma se calcula sobre todas las permutaciones σ del conjunto
{1, 2, . . . , n}. El conjunto de todas las permutaciones es Pn. Para cada σ, sgn(σ)
es la signatura de σ, esto es +1 si la permutación es par y −1 si es impar.
2 PRELIMINARES 6
Definición 2.5. Dada una matriz de m× n
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn

La traza de A es el escalar
Tr(A) =
∑
i
aii
Definición 2.6. Dos matrices A,B ∈ Cn×n son semejantes si existe P ∈ Cn×n
con det(P ) 6= 0 tal que B = P−1AP
2.3. Espacios vectoriales
Definición 2.7. Un endomorfismo es una aplicación lineal de un espacio vec-
torial V en śı mismo.
Definición 2.8. Un isomorfismo es una aplicación lineal biyectiva entre dos
espacios vectoriales.
Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo C de los números complejos, y
sea GL(V ) el grupo de isomorfismos de V . Un elemento T de GL(V ) es, por
definición, una aplicaión lineal de V en V que admite inversa T−1, también
lineal. Si V admite una base finita (ei) de n elementos, toda aplicación lineal
T : V → V se representa por una matriz cuadrada (tij) de orden n. Los coe-
ficientes tij son números complejos; se calculan expresando T (ej) en la base
(ei):
T (ej) =
∑
i
tijei
Decir que T es un isomorfismo equivale a decir que el determinante
det(T ) = det(tij) de T es no nulo. En efecto:
T es isomorfismo ⇒ ∃W : V → V / T ◦W = W ◦ T = Id
Dada una base E = {ei}ni=1 [T ◦W ]E = [T ]E .[W ]E = [id]E = I
y [W ◦ T ]E = [W ]E .[T ]E = [id]E = I
Luego, [T ]E [W ]E = I ⇒ det([T ]E .[W ]E) = det(I)
det([T ]E).det([W ]E) = 1
det([T ]E) =
1
det([W ]E)
6= 0
Por lo tanto, det(T ) es no nulo.
Supongamos ahora que det(T ) 6= 0 ⇒ [T ]B tiene inversa, cualquiera sea
la base B.
Luego, ∃W ; [W ]B .[T ]B = [id]B = [W ◦ T ]B
y [T ]B .[W ]B = [id]B = [T ◦W ]B
Por lo tanto, W ◦ T = T ◦W = I ⇒ T es isomorfismo.
2 PRELIMINARES 7
Identificamos aśı al grupo GL(V ) como el grupo dematrices cuadradas inverti-
bles de orden n.
Ahora, sea A un endomorfismo, cuya matriz, en una base (ei) de V es (aij).
Definimos entonces, la Tr(A) como la suma de los valores propios de A (contados
con su multiplicidad). Ésta no depende de la base (ei) elegida.
En efecto, dada la matriz A, existen bases tales que llevan la matriz A a su
forma canónica de Jordan. Como las matrices cambio de base son semejantes,
no afecta a la base. Luego, en su base de Jordan, la matriz A quedaŕıa
A =

A11 0 · · · 0
0 A22 · · · 0
...
...
. . .
...
0 0 · · · Ann

con cada
Aii =

λik 1 0 · · · 0
0 λik 1 · · · 0
...
...
...
. . .
...
0 0 0 · · · λik

y donde cada k representa la multiplicidad de ese valor propio λi.
Con esto, vemos que la Tr(A) es la suma de los valores propios de A, indepen-
dientemente de la base (ei) que elijamos.
Definición 2.9. Un subespacio invariante del endomorfismo A es un subes-
pacio vectorial que se transforma en śı mismo mediante A. Es decir, W ⊂ V es
subespacio invariante si A(W ) ⊂W .
Definición 2.10. Sea V un espacio vectorial, W y W ′ subespacios de V . Se dice
que V es suma directa de W y W ′ si todo x ∈ V se puede escribir de manera
única en la forma x = w + w′, w ∈Wy w′ ∈W ′
Es equivalente decir que W ∩W ′ = 0 y dim(V ) = dim(W ) + dim(W ′); se
escribe entonces V = W ⊕W ′, y se dice que W ′ es suplementario de W en V .
La aplicación p que hace corresponder a cada x ∈W su componente w en W se
llama proyector de V sobre W (asociado a la descomposición V = W ⊕W ′); la
imagen de p es W , y p(x) = x si x ∈ W ; rećıprocamente, si p es un endomor-
fismo de V que verifica estas propiedades, inmediatamente se prueba que V es
suma directa de W y del núcleo W ′ de p (el conjunto de los x tales que px = 0).
Se establece aśı una correspondencia biyectiva entre los proyectores de V sobre
W y los suplementarios de W en V .
2 PRELIMINARES 8
Definición 2.11. Una transformación bilineal es una función β : V ×W → U
tal que
β(λ.v + u,w) = λβ(v, w) + β(u,w)
β(v, λ.w + x) = λβ(v, w) + β(v, x)
∀v, u ∈ V ;w, x ∈ w, x ∈W ;λ ∈ K
Una forma bilineal es una transformación lineal β : V ×W → K. Una forma
bilineal se dice simétrica (respectivamente alternante) si β(v, w) = β(w, v)
(β(v, w) = −β(w, v)respectivamente)para todo v ∈ V,w ∈W .
Además de la operación suma directa (que tiene las propiedades formales de
una adición), existe una “multiplicación”: el producto tensorial, llamado a veces
producto de Kronecker. Se define de la siguiente manera:
Definición 2.12. Sean V1 y V2 espacios vectoriales sobre K. Se llama producto
tensorial de V1 y V2 a un K espacio vectorial V1 ⊗ V2 provisto de una aplicaión
(x1, x2) 7→ x1.x2 de V1 × V2 en V1 ⊗ V2 la cual es universal; es decir, para toda
aplicación bilineal β : V1 ⊗ V2 → W , siendo W un K espacio vectorial, existe
una única aplicación lineal
ϕ : V1 ⊗ V2 →W
x1.x2 7→ β(x1, x2)
tal que el siguiente diagrama resulta conmutativo
V1 × V2
%%
// V1 ⊗ V2
∃!ϕ
��
W
Se demuestra que tal espacio existe y está determinado salvo isomorfismos.
Es fácil ver que
dim(V1 ⊗ V2) = dim(V1).dim(V2)
2.4. Espacios compactos
Definición 2.13. Un espacio se dice que es compacto por punto ĺımite si cada
subconjunto infinito de χ tiene un punto ĺımite.
Definición 2.14. Sea (χ, τ) un espacio topológico y K ⊂ χ un subconjunto.
Diremos que K es sucecionalmente compacto si dada una sucesión {xn}n en K,
existe una subsucesión {xnk}k convergente a un punto en K.
2 PRELIMINARES 9
Teorema 2.1. (Borel-Lesbesgue)
Sea (χ, τ) un espacio métrico y K ⊂ χ. Las siguientes condiciones son equi-
valentes:
1) K es compacto.
2) K es compacto por puntos ĺımite.
3) K es sucesionalmente compacto.
Definición 2.15. El grupo de Lorentz es isomorfo al grupo de transformaciones
lineales que deja invariante la métrica del espacio de Minkowski. Matemática-
mente está formado por cualquier matriz que satisfaga la relación:
Λ00 Λ10 Λ20 Λ30
Λ01 Λ11 Λ21 Λ31
Λ02 Λ12 Λ22 Λ32
Λ03 Λ13 Λ23 Λ33
 .

−1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 .

Λ00 Λ10 Λ20 Λ30
Λ01 Λ11 Λ21 Λ31
Λ02 Λ12 Λ22 Λ32
Λ03 Λ13 Λ23 Λ33
 =

−1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

Teorema 2.2. (Haar)
En todo grupo topológico compacto G, existe una única medida de proba-
bilidad de Borel m, regular, la cual es invariante bajo translaciones izquierdas
(derechas), en el sentido de que:
1.
∫
G
fdm =
∫
G
(Lsf)dms ∈ G, f ∈ C(G)
2.
∫
G
fdm =
∫
G
(Rsf)dms ∈ G, f ∈ C(G), y satisface que
3.
∫
G
f(x)dm(x) =
∫
G
f(x−1dmf ∈ C(G)
3 GENERALIDADES SOBRE REPRESENTACIONES LINEALES 10
3. Generalidades sobre representaciones lineales
En lo que sigue consideraremos el espacio vectorial V sobre el cuerpo C de
los números complejos.
3.1. Definiciones
Definición 3.1. Sea G un grupo finito. Una representación lineal de G en V
es un homomorfismo ρ del grupo G en el grupo GL(V ). En otros términos, a
todo elemento s de G se le asocia un elemento ρ(s) de GL(V ) de modo que
ρ(st) = ρ(s) ◦ ρ(t), ∀s, t ∈ G
Es claro que si 1 es el elemento neutro de G se tiene que
ρ(1) = 1 ρ(s−1) = ρ(s)−1
Nota.Frecuentemente se escribe ρs en lugar de ρ(s).
Definición 3.2. Dada ρ, se dice que V es un espacio de representación de
G (o representación de G) y su dimensión es el grado de la representación
Sea V de dimensión finita1 y sea n su dimensión. Sea (ei) una base de V , y
sea Rs la matriz de ρs respecto a esta base. Entonces,
det(Rs) 6= 0, Rst = Rs.Rt, s, t ∈ G.
Si rij(s) son los coeficientes de la matriz Rs, la segunda fórmula se escribe
rik(s) =
∑
j
rij(s).rjk(t)
Rećıprocamente, si disponemos de matrices invertibles Rs = (rij(s)) que
verifican las identidades anteriores tenemos una representación lineal ρ de G en
V ; es lo que se llama dar una representación “en forma matricial”.
Definición 3.3. Sean ρ y ρ′ representaciones lineales de un grupo G en espa-
cios vectoriales V y V ′ respectivamente. Se dice que estas representaciones son
isomorfas (o semejantes) si existe un isomorfismo lineal τ : V → V ′ que
transforma ρ en ρ′, es decir, que verifica la identidad
τ.ρ(s) = ρ′(s).τ ∀s ∈ G
1Considerar esto no es una restricción molesta, ya que en la mayoria de las aplicaciones in-
teresa el comportamiento de un número finito de elementos xi de V . Además, se puede hallar
siempre una subrepresentación de V (qué definiremos más adelante en 1.3), de dimensión fini-
ta, que contenga a los xi: basta tomar el subespacio vectorial generado por los transformados
ρs(xi) de los xi.
3 GENERALIDADES SOBRE REPRESENTACIONES LINEALES 11
Si ρ y ρ′ se dan en forma matricial por Rs y R
′
s respectivamente, el isomor-
fismo se traduce en una matriz invertible T tal que
T.Rs = R
′
s.T, ∀s ∈ G,
o, equivalentemente, tal que
R′s = T.Rs.T
−1.
De esta manera, dos representaciones isomorfas se pueden identificar; en parti-
cular, tienen el mismo grado. Es claro que si tenemos una representación ρ dada
en forma matricial con respecto a dos bases distintas de V R(s) y R′(s), estas
representaciones en forma matricial resultan isomorfas, siendo τ el isomorfismo
dado por el cambio de base.
3.2. Ejemplos
a) Supongamos que G es el grupo de permutaciones de un conjunto X y V el
espacio vectorial de aplicaciones de X en C; si f ∈ V y s ∈ G, definimos ρsf
por la fórmula
ρsf(x) = f(s
−1x)
(ρsf es la “transformada” de f por s). Está claro que ρsf depende lineal-
mente de f , y que ρs es un automorfismo de V ; además, ρst = ρs.ρt; se ha
definido aśı una representación lineal de G en V .
b) Una representación de grado 1 de un grupo G no es más que un morfismo
ρ : G → C?, donde C? es el grupo multiplicativo de los complejos no nulos.
Estas representaciones se denominan caracteres multiplicativos. Como G tie-
ne orden finito, todos sus elementos son de orden finito, luego las imágenes
ρ(s) de ρ deben ser ráıces de la unidad; en particular |ρ(s)| = 1. Si tomamos
ρ(s) = 1 ∀s ∈ G, se obtiene una representación de G llamada representación
unidad
Porejemplo, sea Zn el grupo aditivo de los restos de la división por n en Z,
y consideremos la siguiente representación: sea w ∈ C? una ráız n-ésima de
la unidad,
ρ : Zn → C?,
ρ(x) = wx, ∀x ∈ Zn
En particular, si w1 y w2 son ráıces n-ésimas de la unidad tal que w1 6= w2,
entonces ρw1 6= ρw2 . En efecto, si ρ1, ρ2 : G → C? son dos representaciones,
entonces ρ1 ∼= ρ2 ⇔ ρ1 = ρ2
Demostración.
⇒) Si ρ1 ∼= ρ2, entonces ∃λ ∈ C tal que ρ1(x).λ = λ.ρ2(x), pero esto implica
que ρ1 = ρ2.
3 GENERALIDADES SOBRE REPRESENTACIONES LINEALES 12
⇐) Como ρ1 = ρ2, si tomamos λ = 1, resulta que ρ1(x),1 = 1.ρ2(x) entonces
ρ1 ∼= ρ2
c) Sea n el orden de G y sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo C de
dimensión n; sea (et)t∈G una base de V indicada por los elementos de G.
Definamos la siguiente representación: si s ∈ G, sea ρ(s) el endomorfismo
de V que transforma et en est; es claro que resulta una representación lineal
de G. Esta representación se llama la representación regular de G. Como
es = ρs(e1), los transformados de e1 forman una base de V . Rećıprocamente,
si ρ′ es una representación de G para la cual existe un vector w tal que
{ρ′s(w)}s∈G sea una base de W ; entonces W es isomorfa a la representación
regular v́ıa el isomortfirmo:
τ : V →W,
τ(es) = ρ
′
s(w), ∀ ∈ G
3.3. Subrepresentaciones
Definición 3.4. Sea ρ : G → GL(V ) una representación lineal, y sea W un
subespacio vectorial de V . Supongamos que W es invariante por las operaciones
de G, es decir, que si x ∈ W , entonces ρs(x) ∈ W , ∀s ∈ G. La restricción ρWs
de ρs a W es entonces un automorfismo de W , y ciertamente ρ
W
st = ρ
W
s .ρ
W
t .
Aśı ρW : G→ GL(W ) es una representación lineal de G en W ; se dice que W
es una subrepresentación de V .
Ejemplo: Sea V una representación regular de G [como en 3.2 en el ejem-
plo c)], y sea W el subespacio de dimensión 1 de V generado por el elemento
x =
∑
s∈G es. Como ρs(x) = x, ∀s ∈ G, W es una subrepresentación de V ,
isomorfa a la representación unidad.
Teorema 3.1. Sea ρ : G → GL(V ) una representación lineal de G en V ,
y sea W un subespacio vectorial de V invariante por G. Entonces existe un
suplementario W o de W en V que es invariante por G
Demostración. Sea n el orden de G. Sabemos que existes un subespacio V ′ en
V que es suplemteraio de W . Sea π el proyector de V sobre W tal que V ′ es su
núcleo. Es claro que V = W ⊕ V ′ pero no necesariamente V ′ es invariante por
G. Para encontrar un suplementario invariante por G, tomemos el promedio πo
de las transformadas de π por los elementos de G:
πo =
1
n
∑
t∈G
ρt.π.ρ
−1
t
Como π manda V en W y ρt deja invariante W para todo t ∈ G, entonces πo
manda V en W : por otro lado, si x ∈W , ρ−1t x ∈W , de donde
3 GENERALIDADES SOBRE REPRESENTACIONES LINEALES 13
πρ−1t x = ρ
−1
t x, ρtπρ
−1
t x = x, y π
ox = x. Aśı que πo es un proyector de V sobre
W , al cual corresponde un cierto suplementario W o de W . Por otra parte ocurre
que ρs.π
o = πo.ρs para todo s ∈ G. En efecto, al calcular ρs.πo.ρ−1s se halla:
ρs.π
o.ρ−1s =
1
n
∑
t∈G
ρs.ρt.π.ρ
−1
t .ρ
−1
s =
1
n
∑
t∈G
ρst.π.ρ
−1
st = π
o
Finalmente si x ∈ W o y s ∈ G, πox = 0, de donde πo.ρsx = ρs.πox = 0; es
decir, ρsx ∈W o, y por tanto W o es invariante por G.
Observación: Manteniendo las notaciones y las hipótesis del teorema ante-
rior, sea x ∈ V , y sean w y wo sus proyecciones sobre W y W o respectivamente.
Entonces ρsx = ρs(w + w
o) = ρsw + ρsw
o; como W y W o son invariantes por
G, ρsw ∈ W y ρswo ∈ W o, y por tanto ρsw y ρswo son las proyeciones de
ρsx. Deducimos de ello que las representaciones W y W
o son suficientes para
conocer la representación de V . Se dice que la representación V es suma directa
de las representaciones W y W o y se escribe V = W ⊕W o. Un elemento de V
se identifica a un par (w,wo), w ∈ W , wo ∈ W o. Si W y W o se dan en forma
matricial por Rs y R
o
s, la forma matricial de W ⊕W o es(
Rs 0
0 Ros
)
Del mismo modo se define la suma directa de un número finito de representa-
ciones.
3.4. Representaciones irreducibles
Definición 3.5. Una representación lineal ρ : G→ GL(V ) se dice irreducible si
V 6= 0 y ningún subespacio de V es invariante por G, excepto, claro está, 0 y
V .
Debido al teorema 3.1, esta segunda condición equivale a decir que V no es
suma directa de dos subrepresentaciones (salvo la descomposicón trivial
V = 0⊕ V ).
Toda representación de grado 1 es evidentemente irreducible. Más adelante vere-
mos que todo grupo no conmutativo posee al menos una representación irreduci-
ble de grado ≥ 2. La suma directa de representaciones irreducibles da cualquier
representación. En otros términos:
Teorema 3.2. Toda representación es suma directa de representaciones irre-
ducibles.
Demostración. Sea V una representación lineal de G. Se razona por inducción
sobre dim(V ) Si dim(V ) = 0, el teorema es evidente (0 es suma directa de la fa-
milia vaćıa de representaciones irreducibles). Si dim(V ) ≥ 1 y V es irreducible,
también es cierto el teorema. En otro caso, debido al teorema 1 podemos descom-
poner V en suma dorecta V ′⊕V ′′, con dim(V ′) < dim(V ) y dim(V ′′) < dim(V ).
3 GENERALIDADES SOBRE REPRESENTACIONES LINEALES 14
Por inducción, V ′ y V ′′ son suma directa de representaciones irreducibles y por
tanto lo mismo le ocurre a V .
Nota. Sea V una representación y sea V = W1⊕ ...⊕Wk una descomposición
de V en suma directa de representaciones irreducibles. Podemos preguntarnos
si esta descomposición es única. El caso es que ρs = 1 para todo s muestra que
no es aśı (pues los Wi son rectas y un espacio vectorial descompone de muchas
maneras en suma directa de rectas). Sin embargo, en el no 4.3 veremos que el
número de las Wi isomorfas a una representación irreducible dada no depende
de la descomposición elegida.
Observación: Usando el lema de Zorn2 , es fácil ver que toda representación
de G de dimensión infinita es suma directa de representaciones irreduciblese.
3.5. Producto tensorial de dos representaciones
Definición 3.6. Sean ρ1 : G → GL(V1) y ρ2 : G → GL(V2) representaciones
lineales de un grupo G. Si s ∈ G, se define ρs ∈ GL(V1 ⊗ V2) por la condición
ρs(x1.x2) = ρ
1
s(x1).ρ
2
s(x2), x1 ∈ V1, x2 ∈ V2
Se escribe
ρs = ρ
1
s ⊗ ρ2s
Las ρs definen una representación lineal de G en V1 ⊗ V2 llamada producto
tensorial de las representaciones dadas.
La traducción matricial de esta definición es inmediata: sea (ei1) una base
de V1 y ri1j1(s) la matriz de ρ
1
s en esta base; análogamente definimos (ei2) y
ri2j2(s). Las fórmmulas
ρ1s =
∑
i1
ri1j1(s).ei1, ρ
2
s =
∑
i2
ri2j2(s).ei2
implican que
ρs(ej1.ej2) =
∑
i1,i2
ri1j1(s).ri2j2(s).ei1.ei2
La matriz de ρs es, pues, el producto tensorial de las matrices de ρ
1
s y ρ
2
s.
El producto tensorial de dos representaciones irredusibles no es, en general,
irreducible; su descomposición en suma directa de representaciones irreducibles
se puede determinar mediante la teoŕıa de caracteres (que veremos en 4.3).
2Lema de Zorn: Si en un conjunto preordenado toda cadena tiene cota superior, entonces
hay en el conjunto al menos un elemento maximal.
4 TEORÍA DE CARACTERES 15
4. Teoŕıa de caracteres
4.1. El carácter de una representación
Definición 4.1. Sea ρ : G→ GL(V ) una representación lineal de un grupo finito
G en el espacio vectorial V . Dado s ∈ G, pongamos
χρ(s) = Tr(ρs).
Se obtiene aśı una aplicación χρ definida en G, a valores complejos, llamada
carácter de la representación ρ; la importancia de esta aplicaión proviene
del hecho que caracteriza la representación conciderada.
Proposición 4.1. Si χ es el carácter de una representación ρ de grado n,
entonces:
I) χ(1) = n
II) χ(s−1) = χ(s)
III) χ(tst−1) = χ(s), cualesquiera sean s, t ∈ G
Demostración. I) Como ρ es una representación, vale que ρ(1) = 1,∀ρ. Además,
como V es un espacio vectorial de dimensión finita n, tenemos que
Id =

1 0 · · · 0
0 1 · · · 0
...
...
. . .
...
0 0 · · · 1
 ∈ Cn×n
Ahora bien, χρ(1)= Tr(ρs(1)) = Tr(1) = Tr(Id) = n. De esta forma,
queda demostrado I.
II) Al ser G de orden finito y ρ una representación, tenemos que ρs es de
orden finito ∀s ∈ G. Luego sus autovalores λ1, λ2, · · · , λn son ráıces de la
unidad de módulo 1.Entonces
χ(s) = Tr(ρs) =
∑
i
λi =∗1
∑
i
λ−1i = Tr(ρ(s)
−1) =∗2 Tr(ρ(s
−1)) = χ(s−1)
donde
=∗1 es porque la matriz es unitaria
=∗2 es porque la representación cumple que ρ(s)
−1 = ρ(s−1)
De esta forma, queda demostrado II.
III) Llamemos u = ts y v = t−1. Entonces,
χ(tst−1) = χ(uv) = Tr(ρuv) =
1
∗ Tr(ρuρv) =
2
∗ Tr(ρvρu) = Tr(ρvu) =
χ(vu) = χ(t−1ts) = χ(s) donde
4 TEORÍA DE CARACTERES 16
=1∗ por propiedades de la representación
=2∗ por la propiedad conmutativa de la traza Tr(ab) = Tr(ba) ∀a, b
endomorfismos de v.
De esta forma, queda demostrado III.
Definición 4.2. Una aplicación f definida en G es una función central si
cumple que f(uv) = f(vu) ∀u, v ∈ G.
Observación: Equivalentemente, f es una función central si verifica que
f(t−1st) = f(s).Más adelante, veremos que toda función central es una combi-
nación lineal de caracteres.
Proposición 4.2. Sean ρ1 : G → GL(V1) y ρ2 : G → GL(V2) dos representa-
ciones lineales de G, y sean χ1 y χ2 sus caracteres. Entonces
1. El carácter χ de la representación suma directa V1 ⊕ V2 es igual a χ1 + χ2.
2. El carácter ψ de la representación producto tensorial V1⊗V2 es igual a χ1.χ2
Demostración. I) Expresemos ρ1 y ρ2 en forma matricial: R1s y R
2
s, respec-
tivamente. La forma matricial de la representanción V1 ⊕ V2 es
Rs =
(
R1s 0
0 R2s
)
de donde Tr(Rs) = Tr(R
1
s) + Tr(R
2
s), es decir, χ(s) = χ1(s) + χ2(s).
De esta forma, queda demostrado I.
II) Utilizando notaciones del no 2.5, tenemos:
χ1(s) =
∑
i1
ri1i1(s)
y
χ2(s) =
∑
i2
ri2i2(s)
Aśı, resulta que
ψ(s) =
∑
i1,i2
ri1i1(s).ri2i2(s) = χ1(s).χ2(s)
De esta forma, queda demostrado II.
4 TEORÍA DE CARACTERES 17
4.2. El lema de Schur. Primeras aplicaciones.
Proposición 4.3. Sean ρ1 : G → GL(V1) y ρ2 : G → GL(V2) dos represen-
taciones irreducibles de G y sea f una aplicación lineal f : V1 → V2 tal que
ρ2s ◦ f = f ◦ ρ1s, ∀s ∈ G. Entonces:
I) Si ρ1 y ρ2 no son isomorfos, f = 0
II) Si V1 = V2 y ρ
1 = ρ2, f es una homotecia (lo que es lo mismo, un múltiplo
escalar de I).
Demostración. I) caso f = 0⇒ veamos que se cumple lo pedido:
1. trivialmente, al tener ρ1 y ρ2 no isomorfos, f = 0
2. consideremos V1 = V2 y ρ
1 = ρ2, ⇒ f = o.I
caso f 6= 0. Consideremos el núcleo de f , W1 = {x ∈ V1/f(x) = 0}
Dado x ∈ W1, f ◦ ρ1s(x) = ρ2s ◦ f(x) = 0, con lo cual, ρ1s(x) ∈ W1, y
por lo tanto, W1 es estable por G. Como V1 es irreducible, W1 = V1 ó
W1 = 0. Sin embargo, como f 6= 0, no queda otra que W1 = 0. Ahora
bien, consideremos la iumagen de f ,
W2 = {w ∈W1/∃x ∈ V1/f(x) = w} Entonces, considerando w ∈W2,
ρ2s ◦ f(x) = f ◦ ρ1s(x)⇒ ρ2s ◦ w = f ◦ ρ1s(x)
De esta manera, resulta que ρ2s(w) = f(ρ
1
Sx), con lo cual
ρs(w) ∈ Imf , entonces ρ2s es invariante por G. Como V2 es irreduci-
ble, W2 es 0 ó es V2. Sin embargo, como f 6= 0, esto implica que
W2 6= 0⇒W2 = V2 Con todo esto, f termina resultando un isomorfismo
de V1 sobre V2.
De esta manera, queda demostrado I mediante el contrarećıproco.
II) Supongamos que V1 = V2 y ρ
1 = ρ2 y sea λ un valor propio de f (sabemos
que existe al menos uno, pues el cuerpo de los escalares es el cuerpo de
los complejos) Consideremos f ′ = f − λ. Como λ es un valor propio de
f , el núcleo de f ′ es 6= 0; por otra parte, sabemos que ρ2s ◦ f ′ = f ′ ◦ ρ1s,
con lo cual, usando el mismo argumento que en la primera parte de la
demostración anterior, llegamos a la conclusión de que f ′ = 0, entonces
0 = f − λ, con lo cual, f = λ
Conservemos las hipótesis de ser V1 y V2 irreducibles y sea g el orden del
grupo G.
4 TEORÍA DE CARACTERES 18
Corolario 4.1. Sea h una aplicación lineal de V1 en V2 y pongamos
ho =
1
g
∑
t∈G
(ρ2t )
−1.h.ρ1t
Entonces:
a) Si ρ1 y ρ2 no son isomorfas entonces ho = 0
b) Si V1 = V2, ρ
1 = ρ2 entonces ho es una es una homotecia de razón 1nTr(h),
donde n = dim(V1)
Demostración. Para poder demostrar esto, veamos que se verifica ρ2s.h
o = h2.ρ1s.
En efecto:
(ρ2s)
−1.ho.ρ1s =
1
g
∑
t∈G
(ρ2s)
−1.(ρ2t )
−1.h.ρ1t .ρ
1
s =
1
g
∑
t∈G
(ρ2st)
−1.h.ρ1st = h
o
Luego, caemos en las hipótesis de la proposición anterior si consideremos a ho
como f , en el caso 1, obtenemos ho = 0. Ahora, si consideramos ho = λ, como
en el caso 2, siendo λ un escalar, tenemos
Tr(ho) =
1
g
∑
t∈G
Tr[(ρ1t )
−1.h.ρ1t ] = Tr(h)
y como Tr(λ) = n.λ, concluimos que λ = 1nTr(h).
De esta manera, queda demostrado II.
Explicitamos ahora el corolario 1 en el supuesto que ρ1 y ρ2 se dan en forma
matricial :
ρ1t = [ri1j1(t)], ρ
2
t = [ri2j2(t)]
La aplicación lineal h está definida por una matriz (xi2i1) y h
o por (xoi2i1)
Por definición de ho
xoi2i1 =
1
g
∑
t,j1,j2
ri2j2(t
−1).xj2j1 .rj1i1(t)
Ahora, el segundo miembro es una forma lineal en xj2j1 ; en el caso 1, esta
forma se anula para todo sistema de valores xj2j1 ; por tanto sus coeficientes son
nulos; aśı,
Corolario 4.2. En el caso 1, tenemos que
1
g
∑
t∈G
ri2j2(t
−1).rj1i1(t) = 0
cualesquiera que sean i1, i2, j1, j2.
4 TEORÍA DE CARACTERES 19
En el caso 2, ho = λ; es decir, xoi2i1 = λ.δi2i1 , (siendo δi2i1 el śımbolo de
Kronecker), donde
λ =
1
n
Tr(h) =
1
n
∑
δj2j1xj2j1
por tanto,
1
g
∑
t,j1,j2
ri2j2(t
−1).xj2j1 .rj1i1(t) =
1
n
∑
j1j2
δi2i1 .δj2j1 .xj2j1
Si igualamos los coeficientes de xj2j1 , obtendremos:
Corolario 4.3. En el caso 2,
1
g
∑
t∈G
ri2j2(t
−1).rj1i1(t) =
1
n
δi2i1 .δj2j1 =
{
1
n si i1 = i2 y j1 = j2
0 en otro caso
Nota: Vimos anteriormente que podemos elegir convenientemente una base
(ei2) de tal manera que las matrices [ri2j2(t)] sean unitarias.
Entonces ri2j2(t
−1) = rj2i2(t) y los corolarios 3.2 y 3.3 se expresan como
relaciones de ortogonalidad para el producto escalar definido a continuación.
4.3. Relaciones de ortogonalidad de los caracteres
Introduzcamos una notación: si ϕ y ψ son funciones a valores complejos,
definidas en G, pondremos
〈ϕ | ψ〉 = 1
g
∑
t∈G
ϕ(t).ψ(t)
donde g es el orden del grupo G.
Esta expresión es un producto escalar con las siguientes propiedades: es se-
milinial en ϕ, lineal en ψ y 〈ϕ | ϕ〉 > 0,∀ϕ 6= 0.
En efecto, sean a, b ∈ C; φ, ϕ y ψ, funciones a valores complejos.
〈aϕ+ ψ | φ〉 = 1
g
∑
t∈G
(aϕ+ ψ)(t).φ(t) =
1
g
∑
t∈G
((aϕ(t) + ψ(t)).φ(t) =
=
1
g
∑
t∈G
aϕ(t).φ(t) +
1
g
∑
t∈G
ψ(t).φ(t) = a 〈ϕ | φ〉+ 〈ψ | φ〉
〈ϕ | aψ + φ〉 = 1
g
∑
t∈G
ϕ(t).(aψ + φ)(t) =
1
g
∑
t∈G
ϕ(t).(aψ(t) + φ(t)) =
=
1
g
∑
t∈G
ϕ(t).aψ(t) +
1
g
∑
t∈G
ϕ(t).φ(t) = a 〈ϕ | ψ〉+ 〈ϕ | φ〉
4 TEORÍA DE CARACTERES 20
Luego, probamos la semilinealidad y la linealidad, trivialmente se ve que
〈ϕ | ϕ〉 > 0,∀ϕ 6= 0.
Teorema 4.1. 1) si x es el carácter de una representación irreducible,
〈χ | χ〉 = 1 (En otros términos, χ tiene “longitud 1”)
2) Si χ y χ′ son los caracteres de dos representaciones irreducibles no isomorfas,
entonces 〈χ | χ′〉 = 0 (es decir, χ y χ′ son ortogonales)
Demostración. 1) Sea ρ : G→ GL(V ) la representación irreducible cuyo carácter
es χ, y sea n su grado. Entonces,
〈χ | χ〉 = 1
g
∑
t∈G
χ(t).χ(t)
Ahora, como χ es el carácter de una representación, vale que χ(t) = χ(t−1),
∀t ∈ G, con lo cual queda:
1
g
∑
t∈G
χ(t−1).χ(t)
Ahora bien, si tomamos a ρ en forma matricial ρt = [rij(t)], tenemos que
χ(t) =
∑
i rii(t), y, por lo tanto
〈χ | χ〉 = 1
g
∑
t,i,j
rii(t
−1).rii(t)
Ahora, usando el corolario 3.3 anterior, resulta:
si i 6= j,
1
g
∑
t∈G
rii(t
−1).rjj(t) = 0
si i = j,
1
g
∑
t∈G
rii(t
−1).rjj(t) =
1
n
con i = 1, . . . , n. Como el ı́ndice i toma n valores, resulta que 〈χ | χ〉 = 1
2) sean ρ1 : G→ GL(V ); ρ2 : G→ GL(V ) con representaciones irreducibles χ1
y χ2 respectivamente, ambas de grado n, entonces:
〈χ1 | χ2〉 =
1
g
∑
t∈G
χ1(t).χ2(t) =
1
g
∑
t∈G
χ1(t
−1).χ2(t)
Nuevamente, tomemmos la forma matricial de ambas: χ1(t) =
∑
i r
1
ii(t) y
χ2(t) =
∑
j r
2
jj(t) para ρ
1
t = [r
1
ij(t)]y ρ
2
t = [r
2
ij(t)] respectivamente. Enton-
ces:
1
g
∑
t∈G
∑
ij
r1ii(t
−1).r2jj(t)
4 TEORÍA DE CARACTERES 21
pero, por el corolario 3.2, resulta que
1
g
∑
t∈G
∑
ij
r1ii(t
−1).r2jj(t) = 0
por lo cual 〈χ1 | χ2〉 = 0
Teorema 4.2. Sea V una representación lineal de G, de carácter ϕ, y descom-
pongamos V en suma directa de representaciones irreducibles
V = W1 ⊕W2 ⊕ . . .⊕Wk
Entonces, si W es una representación irreducible de carácter χ, el número de
las Wi isomorfas a W es igual al producto escalar 〈ϕ | χ〉.
Demostración. Sea χi el carácter de Wi. Debido a la proposición 3.2, podemos
escribir a ϕ = χ1 ⊕ χ2 ⊕ . . .⊕ χk, por lo tanto,
〈ϕ | χ〉 = 〈χ1 | χ〉+ . . .+ 〈χk | χ〉
con lo cual, resulta que, por el teorema anterior:
〈χi | χ〉 = 1 si Wi es isomorfo a W
〈χi | χ〉 = 0 si Wi no es isomorfo a W
Observación: Como el producto escalar antes definido es independiente de la
descomposición en suma directa de representaciones irreducibles, tenemos que
el número de representaciones irreducibles de Wi isomorfas a W no depende de
la descomposición elegida. A este número se lo llama multiplicidad de W en V ,
o número de veces que W está en V .
De esta manera, se adquiere un sentido de “unicidad” en la descomposición en
suma directa de representaciones irreducibles. Más adelante volveremos a tratar
este punto.
Corolario 4.4. Dos representaciones del mismo carácter son isomorfas.
Demostración. Supongamos que no lo son. SeaW una representación irreducible
de carácter ϕ, y sean V1 y V2 representaciones con el mismo carácter α. Ahora:
Descomponemos a V1 = Y1 ⊕ Y2 ⊕ . . . ⊕ Yn donde Yi, i = 1, . . . n, son
irreducibles.
Descomponemos a V2 = Z1 ⊕ Z2 ⊕ . . . ⊕ Zl donde Zj , j =, . . . l, son irre-
ducibles.
Y consideremos γi el caracter de Yi y ψj el caracter de Zj , luego, por la propo-
sición 3.2, tenemos que:
4 TEORÍA DE CARACTERES 22
α = γ1 + γ2 + . . .+ γn
α = ψ1 + ψ2 + . . .+ ψl
Entonces, resulta que:
〈ϕ | α〉 = 〈ϕ | γ1〉+ . . .+ 〈ϕ | γn〉
〈ϕ | α〉 = 〈ϕ | ψ1〉+ . . .+ 〈ϕ | ψl〉
De esta forma, sean:
i1, i2, . . . , in0 los indices de los Yim tales que Yim ≈W , con m = 1, . . . , n0
j1, j2, . . . , jl0 los indices de los Zjk tales que Zjk ≈W , con k = 1, . . . , l0
Con lo cual, colcluiŕıamos que:
〈ϕ | α〉 = n0
〈ϕ | α〉 = l0
Sin embargo, si n0 6= l0 llegamos a una contradicción con el corolario 1.
Estos resultados permiten reducir el estudio de las representaciones al de los
caracteres. Si χ1, . . . , χh son los caracteres de las representaciones irreducibles de
G y W1, . . . ,Wh son sus correspondientes representaciones, toda representación
V es isomorfa a una suma directa
V = m1W1 ⊕ . . .⊕mhWh, mi ∈ Z+
El carácter ϕ de V es igual a m1χ1 + . . . + mhχh, y mi = 〈ϕ | χi〉[Esto
se aplica notablemente al producto tensorial Wi ⊗Wj de dos representaciones
irreducibles, y demuestra que el producto χi.χj =
∑
mkijχk, donde los m
k
ij son
enteros ≥ 0]. Las relaciones de ortogonalidad entre los χi implican
〈ϕ | ϕ〉 =
h∑
i=1
m2i
de donde:
Teorema 4.3. Si ϕ es el carácter de una representación V , 〈ϕ | ϕ〉 es un entero
y 〈ϕ | ϕ〉 = 1 si y sólo si V es irreducible.
En efecto, 〈ϕ | ϕ〉 =
∑h
i=1m
2
i = 1 si y sólo si sólo 1 de los mi es igual a 1 y
los demás iguales a 0 (porque los mi ∈ Z+, es decir, si y sólo si V es isomorfa a
una de las Wi -por el teorema 3.2-).
De esta forma, obtenemos un criterio de irreducibilidad muy cómodo.
4 TEORÍA DE CARACTERES 23
4.4. Descomposición de la representación regular
Sea R la representación regular de G. Recordemos que esta representación
admite una base (et)t∈G tal que ρs.et = est. Si s 6= 1, s.t 6= t ∀t ∈ G, y por
lo tanto, los términos de la diagonal de la matriz de ρs son nulos; en particular,
Tr(ρs) = 0. Por otra parte, si s = 1, Tr(ρs) = Tr(1) = dim(R) = g.
Proposición 4.4. El carácter ϕ de la representación regular viene dado por las
siguientes fórmulas:
ϕ(1) = g, siendo g el orden de G
ϕ(s) = 0 si s 6= 1
Demostración. Por lo de arriba.
Corolario 4.5. Cada representación irreducible Wi está contenida en la repre-
sentación regular un número de veces igual a su grado ni.
Demostración. Sea R la representación regular y sea ϕ su carácter. Sea Wi una
representación irreducible de caracter χi. Ahora, descompongamos a R en suma
directa de reprsentaciones irreducibles:
R = V1 ⊕ V2 ⊕ . . .⊕ Vk
Ahora bien, la cantidad de representaciones isomorfas a Wi es igual a 〈ϕ | χi〉.
Por otro lado
〈ϕ | χi〉 =
1
g
.
∑
s∈G
ϕ(s).χi(s) =
1
g
.g.χi(1) = χi(1) = ni
Corolario 4.6. Los grados ni verifican la relación
h∑
i=1
n2i = g
En efecto, por el corolario anterior tenemos que ϕ =
∑
i
ni.χi Luego, eva-
luamos a ambos miembros de la igualdad en 1 y resulta:
en el lado izquierdo, ϕ(1) = g
en el lado derecho,
∑
i
ni.χi(1) =
∑
i
ni.ni
De esta forma, se verifica la igualdad que queŕıamos.
4 TEORÍA DE CARACTERES 24
Nota
1) Este resultado se puede usar cuando se buscan las representaciones irreduci-
bles deG: supongamos construidas representaciones irreducibles no siomorfas
dos a dos, de grados n1, n2, . . . , nk; a fin de que sean todas las representa-
ciones irreducibles de G (salvo isomorfismos) es necesario y suficiente que
n21 + n
2
2 + . . .+ n
2
k = g
2) También se ve, en otras aplicaciones del tema, que los grados ni son divisores
del orden g de G.
4.5. Número de representaciones irreducibles
Recordemos que una aplicación f definida en G se llama central si
f(tst−1) = f(s) cualesquiera sean s, t ∈ G
Proposición 4.5. Sea f una función central definida en G, y ρ : G→ GL(V )
una representación lineal de G. Sea ρt el endomorfismo de V definido por la
fórmula:
ρf =
∑
t∈G
f(t).ρt
Si V es irreducible, de grado n, y de carácter χ, entonces, ρt es una homotecia
de razón λ, donde
λ =
1
n
∑
t∈G
f(t).χ(t) =
g
n
〈
f | χ
〉
Demostración. Calculemos ρ−1s .ρf .ρs:
ρ−1s .ρf .ρs =
∑
t∈G
f(t).ρ−1s .ρt.ρs =
∑
t∈G
f(t).ρs−1ts
Y poniendo u = s−1ts, resulta
ρ−1s .ρf .ρs =
∑
u∈G
f(sus−1).ρu =
∑
u∈G
f(u).ρu = ρf
De modo que ρf .ρs = ρs.ρf . Con esto, caemos en las hipotesis de la proposición
3 y, usando la segunda parte, tenemos que ρf es una homotecia de razón λ. La
traza de λ es n.λ; y la de ρf es∑
t∈G
f(t).T r(ρt) =
∑
t∈G
f(t).χ(t)
de donde
λ =
1
n
∑
t∈G
f(t).χ(t) =
g
n
〈
f | χ
〉
4 TEORÍA DE CARACTERES 25
Introduzcamos ahora el espacio vectorial H de las funciones centrales de
G. Los caracteres χ1, χ2, . . . , χj de las representaciones irreducibles de G son
elementos de H.
Teorema 4.4. Los caracteres χ1, χ2, . . . , χh forman una base ortonormal de H.
Demostración. Por el teorema 3.1 sabemos que los caracteres χ1, . . . , χ2 forman
un sistema ortonormal con repecto al producto interno que se definió antes.
Luego, falta sólo demostrar que este sistema es completo.
Supongamos que existe una función f ∈ H que es ortonormal a χj , ∀j = 1, . . . , k
y demostremos que debe ser nula.
Sea ρ una representación de G, y sea ρf definido por:
ρf =
∑
t∈G
f(t).ρt
La proposición anterior muestra que ρf es nula si V es irreducible; si V no es
irreducible, descomponiéndolo en suma directa de irreducibles se deduce que ρf
es nula sobre V .
Apliquemos este resultado a la representación regular R y calculemos la imagen
del vector e1 de la base por ρf :
ρfe1 =
∑
t∈G
f(t)ρte1 =
∑
t∈G
f(t)et
Como ρf es nula sobre R, esta igualdad implica que f(t) = 0, ∀t ∈ G; es decir
que f es nula y entonces {χ1, . . . , χk} es un sistema ortonormal.
Ahora, recordemos que dos elementos t y t′ de G se dicen conjugados si existe
s ∈ G tal que t′ = sts−1
Observación: Esta es una relación de equivalencia.
Demostración. Debemos ver que se cumplen las propiedades de reflexividad
transitividad y simetŕıa
Reflexividad: sea t ∈ G y tomamos el neutro 1 ∈ G; entonces, por ser
el neutro, vale que 1−1 = 1. Entonces, escribimos a t = 1t1. Luego, es
reflexiva.
Simetŕıa: tomemos un t ∈ G tal que t es conjugado con t′. Entonces,
∃s ∈ G / t′ = sts−1. Ahora bien, multiplicamos aambos miembros por
s−1 a izquierda y s a derecha. Entonces,
t′ = sts−1 ⇒ s−1t′s = s−1sts−1s⇒ s−1t′s = t
Luego, t′ es conjugado con t. Por lo tanto, se cumple la simetŕıa.
4 TEORÍA DE CARACTERES 26
Transitividad: sean t conjugado con t′ y t′ conjugado con t′′. Quiero ver
que t es conjugado con t′′.
Como t es conjugado con t′, entonces, ∃s1 ∈ G tal que t′ = s1ts−11 y t′ es
conjugado con t′′, ∃s2 tal que t′′ = s2ts−12 . Reemplazando, resulta que
t′′ = s2s1ts
−1
1 s
−1
2
Ahora, llamamos α = s2s1, α ∈ G y γ = s−11 s
−1
2 , γ ∈ G. Faltaŕıa ver que
αγ = 1. Entonces:
αγ = s2s1s
−1
1 s
−1
2 ⇒ s21s
−1
2 ⇒ 1
Luego, vale la transitividad.
Nota. Esta relación divide a G en clases.
Teorema 4.5. El número de representaciones irreducibles de G (salvo isomor-
fismos) es igual al número de clases.
Demostración. Sean C1, . . . , Ck las clases de G. Una función f definida en G es
central si y solo si es constante en cada una de las clases C1, . . . , Ck y, por tanto,
una tal función está determinada por k valores λ1, . . . , λk, que se pueden elegir
arbitrariamente. Resulta de ello que la dimensión del espacio H de funciones
centrales es igual a k. Por otra parte, esta dimensión es igual, por el teorema
3.4, al número de representaciones irreducibles de G (salvo isomorfismos)
Indiquemos rápidamente otra consecuencia del teorema 4.4:
Sea s ∈ G, cs el número de elementos de la clase de s y fs la función igual a
1 sobre esta clase e igual a 0 en el suplementario. Como esta función es central,
por el teorema 4.4 tendremos:
fs =
h∑
i=1
xiχi donde xi = 〈χi | fs〉 = csg χi(s)
Aśı pues, para todo t ∈ G,
fs(t) =
cs
g
h∑
i=1
χi(s).χi(t)
Si explicitamos resultan las fórmulas siguientes:
Para t = s:
h∑
i=1
χi(s)χi(s) =
g
cs
para t no conjugado de s:
h∑
i=1
χi(s).χ(t) = 0
4 TEORÍA DE CARACTERES 27
4.6. La descomposición canónica de una representación
Sea ρ : G → GL(V ) una representación lineal de G. Definiremos una des-
composición en suma directa de V , menos “fina” que la descomposición en
representaciones irreducibles, pero con la ventaja de ser única.
Sean χ1, χ2, . . . , χh los caracteres de las representaciones irreducibles
W1,W2, . . . ,Wh de G, y sean n1, n2, . . . , nh sus respectivos grados. Supongamos
que V = U1 ⊕ U2 ⊕ . . . ⊕ Um es una descomposición de V en suma directa de
representaciones irreducibles. Para i = 1, 2, . . . , h, designemos por Vi a la suma
directa de aquellas representaciones entre las U1, U2, . . . , Um que son isomorfas
a Wi. Reordenamos los conjuntos U de la siguiente manera:
V = Ua11 ⊕ Ua12 ⊕ . . .⊕ Ua1k1 ⊕ Ua21 ⊕ . . .⊕ Ua2k2 ⊕ . . .⊕ Uah1 ⊕ . . .⊕ Uahkh
siendo los primeros a1k1 los isomormos a W1, los segundos a
2
k2
isomorfos a W2 y
asi sucesivamente. De esta forma, es claro que
V = V1 ⊕ V2 ⊕ . . .⊕ Vh
En otros términos, hemos descompuesto a V en suma directa de representa-
ciones irreducibles y luego hemos reagrupado las isomorfas.
Ésta es la descomposición canónica anunciada.
Teorema 4.6. 1. La descomposición V = V1 ⊕ V2 ⊕ . . .⊕ Vh no depende de la
descomposición en representaciones irreducibles elegidas inicialmente
2. El proyector pi de V sobre Vi asociado a esta descomposición lo da la fórmula
pi =
ni
g
∑
t∈G
χi(t).ρt.
Demostración. 2. Pongamos
qi =
ni
g
∑
t∈G
χi(t).ρt
Debido a la proposición 3.5, la restricción de qi a una representación irre-
ducible W de carácter χ y grado n es una homotecia de razón nin 〈χi | χ〉;
es decir, vale 0 si χ 6= χi y 1 si χ = χi. Dicho de otra manera, qi es la
identidad sobre cualquier representación irreducible isomorfa a Wi y nulo
sobre las restantes. Por definición de las Vi, resulta que qi es la identidad
sobre Vi y en nulo sobre las Vj , j 6= i. Si descomponemos un elemento
x ∈ V en sus componentes xi ∈ Vi:
x = x1 + x2 + . . .+ xh
entonces qi(x) = qi(x1) + . . . + qi(xh) = xi. por tanto, qi es igual al
proyector pi de V sobre Vi. Luego, concluimos que pi = qi
4 TEORÍA DE CARACTERES 28
1. Tomamos a Vi como las proyecciones de V por los proyectores pi
Ahora, la descomposición de una representación V se puede hacer en dos
etapas: primero se determina la descomposición canóninca V = V1⊕ . . .⊕Vh, lo
cual se realiza sin dificultades mediante las fórmulas que expresan los proyectores
pi. Después, si es necesario, se elige una descomposición de Vi en suma directa
de representaciones ireducibles, todas isomorfas a Wi:
Vi = Wi ⊕ . . .⊕Wi
Esta última descomposición se puede efectuar en general de infinitas maneras
(es tan arbitraria como la elección de una base en un espacio vectorial, lo cual
veremos en la nota 2 más abajo).
Ejemplo: Sea G el grupo {1, s}, con s2 = 1. Este grupo admite dos represen-
taciones irreducibles, ambas de grado 1, W+ y W−, correspondientes a ρs = +1,
y ρs = −1 respectivamente. La descomposición canóninca de una representación
V es de la forma V = V +⊕V −; la componente V + está formada por los elemen-
tos x ∈ V simétricos (ρs(x) = x), y V − por los elementos x ∈ V antisimétricos
(ρs(x) = −x). Los proyectores correspondientes son:
p+(x) =
x+ ρs(x)
2
, p−(x) =
x− ρs(x)
2
Descomponer los espacios V + y V − en componentes irreducibles significa tan
sólo descomponer en suma directa de rectas.
Nota 1. Sea x ∈ Vi y V (x) el subespacio vectorial de V generado por los ele-
mentos ρs(x), x ∈ G; V (x) es una subrepresentación de Vi; al descomponerla en
representaciones irreducibles, hallamos la representación Wi un cierto número
de veces (digamos m). El entero m (m depende de x) no es necesariamente igual
a 1 (en otras palabras, no siempre es cierto que x “se transforma como Wi”);
sólo se puede demostrar que m es menor o igual a la dimensión ni de Wi.
Nota 2. Sea Hi el espacio vectorial de aplicaciones lineales h de Wi en Vi (o
en V , el lo mismo) que verifican la relación ρsh = hρs. Sea h1, h2, . . . , hk una
base de Hi y formemos la suma directa Wi ⊕ . . . ⊕Wi de k copias de Wi. El
sistema (h1, h2, . . . , hk) define una aplicación lineal h de Wi⊕ . . .⊕Wi en Vi; se
puede ver que es un isomorfismo (de representaciones) y que todo isomorfismo
se obtiene aśı. En otros términos, las descomposiciones de Vi en suma directa de
representaciones irreducibles (que equivalen a los isomorfismos de Wi⊕ . . .⊕Wi
sobre Vi) se corresponden con las bases del espacio vectorial Hi.
5 COMPLEMENTOS 29
5. Complementos
5.1. Grupos conmutativos
Se dice que un grupoG es conmutativo si s.t = t.s cualesquiera que sean s, t ∈
G. Las representaciones lineales de estos grupos son particularmente simples.
Teorema 5.1. Si G es conmutativo, todas las representaciones irreducibles de
G son de grado 1.
Demostración. Sea ρ : G → GL(V ) una representación irreducible de G, y sea
t ∈ G. Como s.t = t.s,∀s ∈ G,
ρsρt = ρtρs
Según el lema de Schur, ρt es una homotecia. Esto se aplica para todo t ∈ G
y por tanto cualquier subespacio vectorial de V es estable por G; esto implica
que dim(V ) = 1 por ser irreducible en V .
Nota: El rećıproco del teorema anterior también es cierto: si todas las repre-
sentaciones irreducibles de G son de dimensión 1, G es conmutativo.
Demostración. Sea g el orden de G. Entonces, g =
h∑
i1
n2i , donde los ni designan
los grados de las representaciones irreducibles; como aqúı los ni son iguales a
1, deducimos que el número de representaciones irreducibles es g. Pero se sabe
que este número es igual al número h de clases de G. Por tanto, h = g, lo cual
sólo es posible si G es conmutativo.
5.2. Producto de dos grupos
Sean G1 y G2 dos grupos, y sea G1 × G2 su producto, es decir, el conjunto
de pares (s1, s2), s1 ∈ G1, s2 ∈ G2. La operación
(s1, s2)(t1, t2) = (s1.s2, t1.t2)
define una estructura de grupo enG1×G2; aG1×G2, provisto de esta estructura,
se le llama grupo producto de G1 y G2. Si el orden de G1 es g1 y el de G2 es g2,
el orden de G1 ×G2 es g1.g2. El grupo G1 se identifica al subgrupo de G1 ×G2
cuyos elementos son de la forma (s1, 1), s1 ∈ G1; análogamente, G2 se identifica
a unsubgrupo de G1 × G2; hechas estas identificaciones, se observa que cada
elemento de G1 conmuta con todo elemento de G2. Rećıprocamente, sean G1 y
G2 subgrupos de un grupo G tales que
1. Todo elemento s ∈ G se escribe de manera única en la forma s = s1.s2,
s1 ∈ G1 y s1 ∈ G2.
2. Si s1 ∈ G1 y s2 ∈ G2, entonces s1.s2 = s2.s1
5 COMPLEMENTOS 30
En estas condiciones, el producto de dos elementos s = s1.s2, t = t1.t2 se
puede escribir s.t = s1.s2.t1.t2 = (s1.t1).(s2.t2). Resulta de ello que la correspon-
dencia que asigna a (s1, s2) ∈ G1×G2 el elemento s1.s2 de G es un isomorfismo
de G1 × G2 sobre G. En este caso se dice también que G es el producto (o el
producto directo) de los subgrupos G1 y G2.
Sean ρ1 : G1 → GL(V1) y ρ2 : G2 → GL(V2) representaciones lineales de G1
y G2 respectivamente. Se define una representación lineal ρ
1 ⊗ ρ2 de G1 × G2
en V1 ⊗ V2 por el siguiente procedimiento:
ρ1 ⊗ ρ2(s1, s2) = ρ1(s1)⊗ ρ2(s2)
. A esta representación se la llama también producto tensorial de las represen-
taciones ρ1 y ρ2; si χi es el carácter de ρ
i(i = 1, 2), el carácter χ de ρ1 ⊗ ρ2 lo
da la fórmula
χ(s1, s2) = χ1(s1).χ2(s2)
Teorema 5.2. 1. Si ρ1 y ρ2 son irreducibles, ρ1 ⊗ ρ2 es una representación
irreducible de G1 ×G2
2. Toda representación irreducible de G1×G2 es isomorfa a una representación
ρ1 ⊗ ρ2, donde ρi es una representación irreducible de Gi(i = 1, 2).
Demostración. 1. Si ρ1 y ρ2 son irreducibles, entonces, por algo visto anterior-
mente, tenemos
1
g1
∑
s1
|χ1(s1)|2 = 1,
1
g2
∑
s2
|χ2(s2)|2 = 1
Multiplicando ambas igualdades, tendremos
1
g
∑
s1,s2
|χ(s1, s2)|2 = 1,
con lo cual muestra que ρ1 ⊗ ρ2 es irreducible por el teorema 4.3
2. Para esto, basta probar que toda función central f definida en G1 × G2 y
ortogonal a los caracteres de la forma χ1(s1).χ2(s2) es nula. Supongamos,
entonces, que ∑
s1,s2
f(s1, s2).χ1(s1).χ2(s2) = 0.
Si ponemos g(s1) =
∑
s2
f(s1, s2).χ2(s2), la igualdad anterior se puede escribir
∑
s1
g(s1)χ1(s1) = 0,∀χ1.
Como g es una función central, resulta que g = 0,∀χ2; y por el mismo
argumento f(s1, s2) = 0.
El teorema anterior reduce enteramente el estudio de las representaciones de
G1 ×G2 al de las representaciones de G1 y de G2.
6 EXTENSIÓN A LOS GRUPOS COMPACTOS 31
6. Extensión a los grupos compactos
6.1. Grupos compactos
Llamamos grupo topológico a un grupo G provisto de una topológia tal que
el producto s.t y el inverso s−1 son continuos. Un tal grupo se dice compacto
si su topoloǵıa es la de un espacio compacto, es decir, si verifica el teorema de
Borel-Lesbesgue. Por ejemplo, el grupo de rotaciones alrededor de un punto del
espacio eucĺıdeo de dimensión 2(ó 3, . . .) posee una topoloǵıa natural por la cual
es un grupo compacto; sus subgrupos cerrados son también grupos compactos.
Como ejemplos de grupos no compactos podemos citar el grupo de trans-
laciones x → x + a, y el grupo de aplicaciones lineales que dejan invariante
la forma cuadrática x2 + y2 + z2 − t2 (grupo de Lorentz); las representaciones
lineales de estos grupos gozan de propiedades distintas de las del caso compacto.
6.2. Medida invariante sobre un grupo compacto
En el estudio de las representaciones lineales de un grupo finito G, de or-
den g, hemos usado ampliamente de la operación medida sobre G, que hace
corresponder a una función f definida en G el elemento
f0 =
1
g
∑
t∈G
f(t)
(f puede tomar valores complejos o, más general, en un espacio vectorial.) Una
operación análoga existe para los grupos compactos; en este caso se trata, en
lugar de una suma finita, de una integral∫
G
f(t)dt
con respecto a una medida dt sobre G. De manera precisa, se puede demostrar
que existe una única medida dt sobre G tal que:
1.
∫
G
f(t)dt =
∫
G
f(ts)dt, para toda función f y todo s ∈ G (es decir, dt es
invariante por translaciones a derecha)
2.
∫
G
dt = 1 (la masa total de dt es igual a 1).
Se demuestra además que dt es invariante por translaciones a la izquierda,
es decir,
1
∫
G
f(t)dt =
∫
G
f(st)dt
La medida dt es la medida invariante (o medida de Haar) del grupo G. He
aqúı dos ejemplos.
1. Si G es finito de orden g, la medida dt es aquella que asigna a cada elemento
t ∈ G una masa igual a 1g .
6 EXTENSIÓN A LOS GRUPOS COMPACTOS 32
2. Sea G el grupo C∞ de rotaciones del plano; si representamos los elementos
t ∈ G en la forma t = eiα (α determinado módulo 2π), la medida invariante
es 12πdα; se introduce el factor
1
2π para asegurar la condición 2
6.3. Representaciones lineales de grupos compactos
Sea G un grupo compacto y V un espacio vectorial de dimensión finita sobre
el cuerpo de los números complejos. Una representación lineal de G en V es
un homomorfismo continuo ρ : G → GL(V ); esta condición equivale a decir
que ρsx es función continua de (s, x) ∈ G× V . Del mismo modo se definen las
representaciones lineales de G en un espacio de Hilbert; se demuestra que una
representación de este género es suma directa de representaciones de dimensión
finita, a las cuales nos restringiremos.
Casi todas las propiedades de las representaciones de grupos finitos se ex-
tienden a los grupos compactos; basta sustituir las expresiones
1
g
∑
t∈G
. . .
por ∫
G
. . . dt.
Por ejemplo, el producto escalar 〈ϕ | ψ〉 de dos funciones ϕ y ψ se escribirá
〈ϕ | ψ〉 =
∫
G
ϕ(t).ψ(t)dt
De forma precisa tenemos:
a) Los teoremas 3.1,3.2,4.1,4.2,4.3 son válidos sin cambio, aśı como sus demos-
traciones. También lo son las proposiciones 4.1,4.2,4.3
b) En 4.4, se define la representación regular R como el espacio de Hilbert de
funciones de G de cuadrado integrable, donde la operación de G es (ρsf)(t) =
f(s−1t); si G no es finito, esta representación es de dimensión infinita, y no
se puede hablar, por tanto, de su carácter. Por consiguiente, la proposición
4.4 carece de sentido. Sin embargo, aún es cierto que toda representación
irreducible Wi está contenida en R tantas veces como indica su grado.
c) La proposición 4.5 y el teorema 4.4 son válidos sin cambio. (en el teorema
4.4, H es el espacio de Hilbert de funciones centrales de cuadrado integrable)
d) El teorema 4.5 es cierto (pero carece de interés) aunque G no sea finito:
existen infinitas clases y una infinidad de representaciones irreducibles.
e) El teorema 4.6 es válido sin cambio, aśı como su demostración. En particular,
todo x ∈ V se descompone en x =
∑
pix, donde pix se calcula por la fórmula
pix = ni
∫
G
χi(t)ρtxdt.
6 EXTENSIÓN A LOS GRUPOS COMPACTOS 33
f) Los teoremas 9 y 10 son válidos sin cambio, aśı como sus demostraciones. A
este propósito, digamos que la medida invariante del grupo producto G1×G2
es el producto ds1.ds2 de las medidas invariantes de G1 y G2.
7 ALGUNOS EJEMPLOS 34
7. Algunos ejemplos
7.1. El grupo ćıclico Cn
Es el grupo de orden n formado por las potencias 1, r, r2, . . . , rn−1 de un
elemento r tal que rn = 1. Puede realizarse como el grupo de rotaciones 2kπn , 0 ≤
k ≤ n− 1, alrededor de un eje. Es un grupo conmutativo.
Según el teorema 9 , las representaciones irreducibles de Cn son de grado
1. Una tal representación asocia a un r un número complejo χ(r) = w, y a
rk el elemento χ(rk) = wk; como rn = 1,wn = 1 y por tanto w = e
2πih
n , h =
0, 1, . . . , n− 1. Existen, pues, n representaciones irreducibles de grado 1, cuyos
caracteres χ0, . . . , χn−1 los describe la siguiente fórmula:
χh(r
k) = e
2πihk
n
Por ejemplo, la tabla de caracteres irreducibles para n = 3 es la siguiente:
1 r r2
χ0 1 1 1
χ1 1 w w
2
χ2 1 w
2 w
7.2. EL grupo C∞
Es el grupo de rotaciones del plano Si rα es la rotación de ángulo α (deter-
minado módulo 2π), la medida invariante de C∞ es
1
2πdα. Las representaciones
irreducibles de C∞ son de grado 1. Se puede ver fácilmente que la descripción
completa de las mismas es la siguiente:
χn(rα) = e
inα
con un n arbitratrio.
Las relaciones de ortogonalidad de los caracteres se expresan en este caso
por las conocidas fórmulas
1
2π
∫ 2π
0
e−inα.eimαdα = δnm,
y elteorema 4.4 manifiesta de nuevo el desarrollo de una función periódica en
serie de Fourier.
7.3. El grupo diedral Dn
Es el grupo de rotaciones y simetŕıas del plano que dejan invariante un
poĺıgono regular de n vértices. Contiene n rotaciones, que forman un subgrupo
isomorfo a Cn y n simetŕıas; su orden es 2n. Si r designa la rotación de ángulo
2π
n y si s es una simetŕıa cualquiera, se verifican las siguientes relaciones:
rn = 1, s2 = 1, srs = r−1.
7 ALGUNOS EJEMPLOS 35
Todo elemento de Dn se escribe de manera única en la forma r
k, 0 ≤ k ≤
n − 1( si pertenece a Cn) o en la forma srk, o ≤ k ≤ n − 1( si no pertenece a
Cn) La relación srs = r
−1 implica que srks = r−k y por tanto (srk)2 = 1.
7.3.1. Realizaciones de Dn como grupo de desplazamientos del espa-
cio de tres dimensiones.
Existen varias realizaciones:
a) La realización usual (llamada tradicionalmente Dn). En ella se toman por
rotaciones las rotaciones alrededor del eje Oz, y por simetŕıas las simetŕıas
alrededor de n rectas en el plano Oxy, siendo πn el ángulo entre dos conse-
cutivas.
b) La realización mediante el grupo Cnv: en lugar de simetŕıas respecto de rectas
del plano Oxy se toman simetŕıas respecto a planos que pasan por el eje Oz.
7.3.2. Representaciones irreducibles del grupo Dn (n ≥, par)
Se obtienen 4 representaciones irreducibles de grado 1 haciendo corresponder
±1 a r y s de todas las maneras posibles. Sus caracteres ψ1, ψ2, ψ3, ψ4 los da la
tabla
rk srk
ψ1 1 1
ψ2 1 -1
ψ3 (−1)k (−1)k
ψ4 (−1)k (−1)k+1
Pasemos a las representaciones de grado 2. Sea w = e
2πi
n y h un entero
arbitrario. Se define una representación ρh de Dn poniendo:
ρh(rk) =
(
whk 0
0 w−hk
)
; ρh(srk) =
(
0 w−hk
whk 0
)
Un cálculo directo muestra efectivamente que ρh es una representación. Está
claro que sólo depende de la clase h módulo n; como ρh y ρn−h son isomorfas,
podemos suponer que 0 ≤ h ≤ n2 . Los casos extremos h = 0 y h =
n
2 carecen
de interés: las representaciones correspondientes son reducibles. En cambio, si
0 < h < n2 , ρ
h es irreducible: del hecho que wh 6= w−h deducimos que las
únicas rectas invariantes por ρh(s) son los ejes de coordenadas, los cuales no
son estables por ρh(s). El mismo argumento prueba que estas representaciones
son dos a dos no isomorfas. La fórmula siguiente da el carácter de χh:
χh(r
k) = whk + w−hk = 2 cos
(
2πhk
n
)
χh(sr
k) = 0.
7 ALGUNOS EJEMPLOS 36
Las representaciones irreducibles de grado 1 y 2 que hemos construido son
todas las representaciones irreducibles de Dn(salvo isomorfismos). En efecto, la
suma de los cuadrados de los respectivos grados es
4 · 1 +
(n
2
− 1
)
· 4 = 2n
y 2n es el orden de Dn.
Ejemplo: Existen 4 representaciones de grado 1 deD6, con caracteres ψ1, ψ2, ψ3, ψ4
y 2 representaciones irreducibles de grado 2, con caracteres χ1 y χ2.
7.3.3. Representaciones irreducibles del grupo Dn(n impar)
Existen dos representaciones de grado 1, cuyos caracteres ψ1 y ψ2 son:
rk srk
ψ1 1 1
ψ2 1 −1
Por otra parte, se definen representaciones ρh por las mismas fórmulas del
caso en que n es par. Si 0 < h < n2 obtenemos representaciones irreducibles, dos
a dos no isomorfas (por ser n impar, la condición h < n2 equivale a h ≤
n−1
2 ).
Las fórmulas que expresan los caracteres son las mismas.
Éstas son las únicas representaciones de Dn, n impar. En efecto, la suma de
cuadrados de los respectivos grados es
2 · 1 +
(
n− 1
2
)
· 4 = 2n
y 2n es el orden de Dn.
7.4. El grupo Dnh
Es el producto Dn × I, donde I es el grupo de orden 2 {1, i}, con i2 = 1.
Es un grupo de orden 4n. Si realizamos Dn de manera habitual como grupo
de rotaciones y simetŕıas del espacio de dimensión 3, podemos realizar Dnh
como el grupo engendrado por Dn y la simetŕıa central i respecto al origen; en
esta realización, Dnh se interpreta como el grupo de desplazamientos que dejan
invariante un poĺıgono de n vertices del plano Oxy.
Debido al teorema las representaciones irreducibles de Dnh son los productos
tensoriales de las representaciones irreducibles de Dn y de I. Ahora bien, I
admite dos representaciones irreducibles, ambas de grado 1, cuyos caracteres g
y u son:
1 i
g 1 1
u 1 −
7 ALGUNOS EJEMPLOS 37
Resulta de ello que el número de representaciones irreducibles de Dnh es el
doble del número de representaciones irreducibles de Dn. De modo preciso, todo
carácter irreducible χ de Dn define dos caracteres irreducibles χg y χu de Dnh,
según la tabla:
x ix
χg χ(x) χ(x)
χu χ(x) −χ(x)
(siendo x un elemento de Dn).
Por ejemplo, el carácter χ1 de Dn da los caracteres χ1g y χ1u:
rk srk irk isrk
χ1g 2 cos
(
2πk
n
)
0 2 cos
(
2πk
n
)
0
χ1u 2 cos
(
2πk
n
)
0 −2 cos
(
2πk
n
)
0
Se procede análogamente con los demás caracteres de Dn.
7.5. El grupo D∞
Es el grupo de las rotaciones y simetŕıas del plano que dejan invariante el
origen. Contiene el grupo C∞ de rotaciones rα; si s es una simetŕıa cualquiera,
se verifican las siguientes relaciones:
s2 = 1, srαs = r−α.
Todo elemento de D∞ se escribe de manera única en la forma rα(si pertenece
a C∞) o en la forma srα( si no pertenece a C∞); como espacio topológico, D∞ es
la unión disjunta de dos circunferencias. La medida invariante de D∞ es
1
4πdα.
Por tanto, la fórmula que da la media de una función f es la siguiente:∫
G
f(t)dt =
1
4π
∫ 2π
0
f(rα)dα+
1
4π
∫ 2π
0
f(srα)dα.
En particular, los proyectores pi del 4.6 tandrán aqúı la siguiente forma:
pix =
ni
4π
∫ 2π
0
χi(rα)ρrα(x)dα+
ni
4π
∫ 2π
0
χi(srαρsrα(x)dα.
7.5.1. Realizaciones de D∞ como grupo de desplazamientos del es-
pacio de dimensión 3
Existen 2 realizaciones:
a) La ususal, se toman las rotaciones alrededor del eje Oz y las simetŕıas res-
pecto a las rectas del plano Oxy que pasan por O.
b) La realización mediante el grupo C∞v : en lugar de simetŕıas respecto a rectas
de Oxy, se toman las simetŕıas respecto a los planos que pasan por el eje Oz.
7 ALGUNOS EJEMPLOS 38
7.5.2. Representaciones irreducibles del grupo D∞
Se construyen como las de Dn. Hay dos representaciones de grado 1, de
caracteres ψ1 y ψ2, dados por la tabla:
rα srα
ψ1 1 1
ψ2 1 −1
Existe una sucesión de representaciones irreducibles ρh de grado 2 (h =
1, 2, . . .), definidas por las fórmulas:
ρh(rα) =
(
eihα 0
0 e−ihα
)
, ρh(srα) =
(
0 e−ihα
eihα 0
)
.
Sus caracteres χ1, χ2, . . . toman los valores siguientes:
χh(rα) = 2 cos(hα), χh(srα) = 0
7.6. El grupo D∞h
Es el producto D∞ × I; lo podemos realizar como el grupo engendrado por
D∞ y la simetŕıa i respecto del origen. Sus elementos se escriben de manera
única en una de las cuatro formas:
rα; srα; irα; isrα.
Como espacio topológico es la unión disjunta de cuatro circunferencias. La
medida invariante de D∞h es
1
8πdα; por tanto, la fórmula que da la media∫
G
f(t)dt de una función f definida en D∞h es la siguiente:
∫
G
f(t)dt =
1
8π
∫ 2π
0
f(rα)dα+
1
8π
∫ 2π
0
f(srα)dα+
1
8π
∫ 2π
0
f(irα)dα+
1
8π
∫ 2π
0
f(isrα)dα.
Tal como ocurŕıa con el grupo Dnh, las representaciones irreducibles de D∞h
son el desdoblamiento de las representaciones de D∞. Todo carácter χ de D∞
nos da dos caracteres χg y χu de D∞h . Por ejemplo, el carácter χ3 de D∞ da:
rα srα irα isrα
χ3g 2 cos(3α) 0 2 cos(3α) 0
χ3u 2 cos(3α) 0 −2 cos(3α) 0
REFERENCIAS 39
Referencias
[1] J. P. Serre, Representaciones lineales de los grupos finitos.
[2] W. A. Adkins, S. H. Weintraub, Algebra, Una aproximación a
través de la teoŕıa de módulos.
[3] Tesis de licenciatura del Dr. Gastón Andrés Garćıa, Representa-
ciones de los grupos simétricos.
[4] Notas de Juan Mart́ın Mombelli (FAMAF), Grupos finitos y sus
representaciones.
[5] Wikipedia
[6] Trabajo de Edwin A. Lopez Romo, La medida de Haar en Grupos
topológicos Compactos.