Operações com Números Inteiros

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ÁLGEBRA (Ciencias) – año 2010
PRÁCTICA N◦ 14
NÚMEROS ENTEROS
1. Determunar si para cualquier n ∈ Z los siguientes números son pares:
a) 3n2 + 1
b) n(n + 1)
c) n3 − n
2. Hallar el cociente y el resto de la división de a por b, para cada uno de los siguientes casos:
a) a = 135 y b = 14,
b) a = −1537 y b = 51.
c) a = 433 y b = −19.
d) a = −731 y b = −11
3. Sean a y b dos números enteros tales que a− b = 175 y la división de a por b tiene cociente 13 y
resto 7. Hallar a y b.
4. Sea m un entero positivo. Hallar el resto de la división de a por 42, en cada uno de los siguientes
casos:
a) x = 42m + 86,
b) x = 42m + 11,
c) x = 42m− 11.
5. Hallar todos los n ∈ N tales que:
a) 3n− 1 | n + 7,
b) 2n− 1 | n2 + 5.
6. Probar que para todo n ∈ N,
a) 9 | 7 52n + 24n+1,
b) a− b | an − bn,
c) si n es par, entonces a + b | an − bn.
7. Probar que el producto de n enteros consecutivos es divisible por n!.
8. Sea m un primo entero positivo y 0 < n < m. Mostrar que m | (mn
)
.
9. Sean a y b dos números enteros, y r el resto de la división de a por b. Probar que (a, b) = (b, r).
10. Si a un número se lo divide por 4, el resto es 2, si se lo divide por 3, el resto es 1. ¿Cuál es el resto
si se lo divide por 12?
11. Sean a, b y c, enteros, demostrar:
a) a | b y a | c ⇒ a | b + c y a | b− c
b) (a, b) = 1 ⇒ (a.c, b) = (b, c) ∀c entero.
c) (a, b) = 1 ⇒ (a + b, a− b) = 1 o 2
1
12. Calcular (a, b) y expresarlo como combinación lineal entera, en cada uno de los siguientes casos:
a) a = 47 y b = 10,
b) a = 352 y b = −12.
13. Calcular (26797, 13843).
14. Probar que un número natural n es compuesto sii es divisible por algún primo positivo p ≤ √n.
Determinar cuáles de los siguientes enteros son primos: 91, 307, 1001.
15. Sea a un entero positivo. Probar que:
a) si a > 1 y a | (a− 1)! + 1, entonces a es primo;
b) si 2a − 1 es primo entonces a es primo;
16. Sean a, b y n enteros, y n > 0 . Probar que si (a, b) = d, entonces (an, bn) = dn.
17. Calcular [a, b] en los siguientes casos:
a) a = 108 y b = −60,
b) a = −442 y b = −676,
c) a = 46225 y b = 86903.
18. Sean a, b y c números enteros. Probar que:
a) (a, (b, c)) = ((a, b), c) y
b) [a, [b, c]] = [[a, b], c].
19. Determinar los enteros a, b, que verifican que (a, b) = 54 y [a, b] = 810.
20. Utilizando la fórmula del binomio de Newton, hallar el resto de dividir a por b en los siguientes
casos:
a) a = 438 + 1 y b = 3,
b) a = 932 y b = 7,
c) a = 655 + 1 y b = 7,
21. Determinar si 1000501 − 4 es primo. Justificar.
22. Probar:
a) si p es primo y 0 < a < p, entonces a⊥p;
b) si m y n tienen igual paridad, entonces 4|(m2 − n2);
c) si m y n son impares, entonces 2|(m3 − n3), pero 4 no lo divide.
23. ¿Cuál es el menor entero positivo que admite exactamente 6 divisores?
24. Hallar un número entero con exactamente 25 divisores positivos y sólo uno de ellos primos.
25. ¿Cuántos divisores positivos tiene 8000?
26. Hallar el menor entero positivo q tal que 6552 q es un cuadrado.
27. Sean n ≥ 2 y p > 0 primo. Probar que la ecuación xn− p yn = 0 posee una única solución entera.
28. Determinar el conjunto de soluciones enteras de las siguientes ecuaciones:
a) 5x + 8y = 3
b) 24x + 14y = 7
c) 20x + 16y = 36
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PRÁCTICA N◦ 15
NUMEROS ENTEROS: CONGRUENCIAS
1. Sea m > 0 entero. Probar que:
a) si b > m entonces existe un entero a, 0 ≤ a < m tal que a ≡m b;
b) si a, b son enteros tales que 0 ≤ a ≤ b < m, entonces a ≡m b sii a = b.
2. Hallar m tal que:
a) 11 ≡m 19;
b) 13 ≡m −13;
3. Sabiendo que el resto de la división de un entero a por 18 es 5, calcular el resto de:
a) la división de a2 − 3a + 11 por 18,
b) la división de a por 3,
c) la división de 7 a2 + 12 por 28,
4. Probar que un número es divisible por 4, si el número formado por las dos últimas cifras del
número lo es.
5. Hallar el resto de la división de a por b en los siguientes casos:
a) a = 331427 y b = 5,
b) a = 241901 − 3219 + 1155 y b = 11.
c) a = n! y b = 15, para n ≤ 1 entero.
6. Probar que:
a) 29 no divide a 730 + 732,
b) 33 divide a 1111 + 1112.
7. Hallar las dos últimas cifras del desarrollo decimal del 231.
8. Sean m, a y b enteros y sea m no nulo.
a) Hallar los posibles restos de la división por 7 de m2 y de m3.
b) Probar que si 7|(a2 + b2), entonces 7|a y 7|b.
c) Mostrar que no existe a ∈ Z tal que 7|(a3 + 2).
9. Determinar, si es posible, los valores de x ∈ Z tales que:
a) 17x ≡11 3,
b) 3x ≡6 1,
c) 33x ≡13 −3.
10. Sean p > 0 primo, y a, b ∈ Z. Mostrar que (a + b)p ≡p ap + bp. Es esta afirmación válida si p es
compuesto? Justificar.
11. Sean p y q primos positivos y a ∈ Z. Mostrar que si a⊥pq, entonces pq | a(p−1)(q−1) − 1.
12. Probar que si a y b son coprimos con 91, entonces b12 − a12 es divisible por 91.
1
13. Mostrar que si p > 7 primo, entonces p6 − 1 es divisible por 504.
14. Existe algún entero a cuyo resto en la división por 15 sea 2 y cuyo resto en la división por 18 sea
8?
15. Determinar el conjunto de soluciones de los siguientes sistemas de ecuaciones de congruencias:
a)
{
x ≡6 2
x ≡9 5
b)
{
3x ≡10 1
2x ≡9 8
c)

x ≡8 0
x ≡5 2
x ≡21 1
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PRÁCTICA N◦ 16
Relaciones de Equivalencia y de Orden
1. Sea R una relación definida en un conjunto A. Probar:
a) R es reflexiva sii ∆A ⊆ R.
b) R es simétrica sii R = R−1.
2. Sean R y S dos relaciones definidas respectivamente en los conjuntos A y B. Llamamos R × S a
la relación definida en A×B en la forma
(a, b)R× S(a′, b′)⇔ aRa′ y bSb′
Establecer si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar.
a) Si R y S son antisimétricas entonces R× S es antisimétrica.
b) Si R y S son transitivas entonces R× S es transitiva.
3. Sea X = {a, b, c, d, e}, y R la relación en X dada por R = {(a, b), (c, a), (b, d), (b, a), (e, e)}
a) Dibujar el grafo de R.
b) ¿Es R reflexiva, simétrica o transitiva? Justifique.
c) Agregar la menor cantidad posible de flechas al grafo del inciso (a), de modo que:
1) Resulte el grafo de una relación reflexiva.
2) Resulte el grafo de una relación simétrica.
3) Resulte el grafo de una relación transitiva.
4) Resulte el grafo de una relación de equivalencia.
4. Sea ∼ la relación definida sobre N× N por (a, b) ∼ (a′, b′)⇐⇒ a + b′ = a′ + b.
a) Probar que ∼ es de equivalencia.
b) Determinar las clase de equivalencia por ∼.
c) Hallar una función suryectiva sobre Z que tenga a ∼ como relación de equivalencia asociada.
5. Sea A un conjunto no vaćıo y B un conjunto fijo tal que B ⊂ A. Defina la relación R sobre P (A)
como XRY si y sólo si B ∩X = B ∩ Y .
a) Verifique que R es una relación de equivalencia en P (A).
b) Si A = {1, 2, 3} y B = {1, 2}, encuentre la partición de P (A) inducida por R.
c) Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 2, 3} encuentre la clase de X = {1, 3, 5}.
d) Para A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 2, 3} ¿cuántas elementos hay en la partición inducida por
R?
1
6. Sea ∼ una relación definida en Z×Z−{0} dada por:
(a, b) ∼ (c, d)⇐⇒ ad = bc
a) Probar que ∼ es de equivalencia.
b) Hallar las clases de (0, 1), (1, 2), (5, 3). ¿Cuál es el conjunto cociente?
7. Sea A = {x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 10} y sean R y T dos relaciones de orden definidas en A dadas por
aRb⇐⇒ a divide a b.
aTb⇐⇒ a es múltiplo de b.
a) Hacer el diagrama de Hasse y hallar los elementos maximales y los elementos minimales.
b) Idem inciso anterior para el subconjunto ordenado de A, A− {1}.
8. Considere (R,≤), con ≤ el orden usual de los números reales, y el subconjunto ordenado de R,
A = {x ∈ R : x = 1
n
, n ∈ N, n 6= 0}
Analizar si A tiene primer y último elemento, si está bien ordenado y si admite cotas, supremo e
ı́nfimo.
9. Demostrar que si a es primer elemento de un conjunto ordenado (A, R), entonces a es el único
minimal de A.
10. Sea � la relación en R2 definida por
(x1, t1) � (x2, t2) si y sólo si (x2 − x1)2 ≤ (t2 − t1)2 y t1 ≤ t2
a) Probar que ∼ define un orden en R2.
b) Representar en el plano el conjunto de elementos mayoresque (0, 0).
c) Representar en el plano el conjunto de elementos menores que (0, 0).
d) Representar en el plano el conjunto de elementos incomparables con (0, 0).
11. Sea R la relación en ℘(N) definida por XRY sii hay una función inyectiva α : X → Y .
a) Probar que R es reflexiva y transitiva; es decir un preorden en ℘(N).
b) Verificar que R no es de orden.
c) Hallar la relación de equivalencia, ∼, asociada al preorden R.
d) Describir ℘(N)/ ∼, y la relación de orden sobre ℘(N)/ ∼ inducida por R.
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ÁLGEBRA (Ciencias) – año 2010
PRÁCTICA N◦ 17
Relaciones
1. Sea Z el conjunto de los números enteros y R el de los números reales. En R se define la siguiente
relación:
x ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ Z
a) Probar que es de equivalencia.
b) Hallar las clases de equivalencia.
c) Probar que si x ∼ y y x′ ∼ y′ entonces x + x′ ∼ y + y′ pero que en general no vale que
xx′ ∼ yy′.
2. Sean R y S dos relaciones de equivalencia, definidas sobre una conjunto no vaćıo X.
a) Probar que R ∩ S es una relación de equivalencia sobre X.
b) ¿Es R ∪ S una relación de equivalencia?
3. Sean P = (P,≤) y Q = (Q,�) dos posets. Probar que hay isomorfismo de orden entre P × Q y
Q × P. ¿Es cierto esto si en vez del producto, tomamos el producto lexicográfico?
4. Sea C2 y C3 las cadenas de dos y tres elementos respectivamente. Calcular C2 × C3 y C2 ×l C3,
donde ×l indica producto lexicográfico, y establecer si se puede definir una inmersión de orden
de C2 ×l C3 en C2 × C3.
5. Determinar cuales de los siguientes posets son ret́ıculos. Justificar.
a) La cadena de n elementos Cn.
b) El poset cuyo diagrama de Hasse es:
•
~~
~~
~~
~
@@
@@
@@
@
•
OO
OO
OO
OO
OO
OO
OO •
oo
oo
oo
oo
oo
oo
oo
•
@@
@@
@@
@ •
~~
~~
~~
~
•
c) ℘(X) con el orden dado por la inclusión de conjuntos, siendo X un conjunto arbitrario.
6. Sea EN el conjunto de las relaciones de equivalencia sobre N, con el orden dado por la inclusión
de conjuntos en ℘(N2).
1
a) Para m ∈ N escribamos Rm para indicar la relación de equivalencia aRmb sii |b − a| es un
múltiplo de m
Calcular, si existen en EN, R2 ∧ R6 y R2 ∨ R6.
Calcular, si existen en EN, R4 ∧ R6 y R4 ∨ R6.
Calcular, si existen en EN, R5 ∧ R6 y R5 ∨ R6.
b) ¿Existen el supremo y el ı́nfimo de dos elementos cualesquiera en EN? Justifique su respuesta.
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