Formas Cuadráticas e Extremos de Funções

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Análisis Matemático II - Curso 2017, Segundo cuatrimestre
Nota sobre formas cuadráticas y aplicación al análisis de extremos de una función
Breve resumen acerca de las formas cuadráticas
Necesitamos recordar algunas definiciones y resultados sobre las formas cuadráticas que aplicaremos al
estudio de los extremos relativos.
1. Forma cuadrática
Una forma cuadrática en Rn es una aplicación del tipo:
ω : Rn → R, dada por ω(x) =
n∑
i,j=1
aijxixj , donde
{
aij = aji ∈ R
x = (x1, x2, · · · , xn)
Vamos a utilizar las formas cuadráticas para clasificar puntos estacionarios a partir de la matriz hessiana
de una función f de clase C2. Esta regularidad garantiza la igualdad de las derivadas segundas cruzadas
en un punto dado. Entonces, para un punto P0 = (x01, x02, · · ·x0n), su matriz hessiana Hf(P0) está
dada por
Hf(P0) =

∂2f
∂x21
∂2f
∂x1∂x2
· · · ∂
2f
∂x1∂xn
· · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · ·
∂2f
∂xn∂x1
· · · · · · ∂
2f
∂x2n
(P0) =
 fx1x1 fx1x2 · · · fx1xn· · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · ·
fx1xn · · · · · · fxnxn
(P0),
que resulta ser una matriz simétrica.
En consecuencia, dicha matriz define una forma cuadrática, que viene dada por:
Hf(P0)(h) =
1
2
n∑
i,j=1
fxixj (P0)hihj , para todo h ∈ Rn
2. Autovalores de una matriz simétrica
Consideremos una matriz cuadrada A de orden n.
Se llama autovalor a todo número (real o complejo) λ que es solución de la ecuación det(A− λI) = 0.
El polinomio p(λ) = det(A− λI) se llama polinomio caracteŕıstico de A.
Se sabe que
Si la matriz tiene coeficientes reales y es simétrica (como ocurre con la matriz hessiana), todos
sus autovalores son reales.
Sean λ1, · · · , λn los n autovalores de la matriz A (contados tantas veces como su multiplicidad).
Existe una base B = (u1, · · · ,un) de Rn tal que la forma cuadrática asociada se puede escribir
como
ω(x) =
n∑
j=1
λjx
2
j , donde (x1, · · ·xn) son los coordenadas del vector x en la base B.
3. Clasificación de las formas cuadráticas
Una forma cuadrática se llama:
definida positiva si ω(x) > 0 para todo x 6= 0.
definida negativa si ω(x) < 0 para todo x 6= 0.
semidefinida positiva si ω(x) ≥ 0 para todo x.
semidefinida negativa si ω(x) ≤ 0 para todo x.
no definida o indefinida si toma valores positivos y negativos
1
4. Criterios para decidir si una forma cuadrática es definida Existen varios criterios para decidir si una
forma cuadrática ω es definida o no. Mencionaremos dos de ellos.
a) Determinación del signo de los autovalores
De acuerdo a los resultados enunciados en el punto 2, para estudiar si una forma cuadrática es
definida o no, alcanzará con saber el signo de los autovalores de la matriz A que la define. Entonces
ω es definida positiva si y sólo si todos los autovalores de A son positivos.
ω es definida negativa si y sólo si todos los autovalores de A son negativos.
ω es semidefinida positiva si y sólo si todos los autovalores de A son mayores o iguales a 0.
ω es definida negativa si y sólo si todos los autovalores de A son menores o iguales a 0.
ω es no definida o indefinida si y sólo si A tiene autovalores positivos y negativos.
b) Criterio de Sylvester
Considerando la matriz A asociada a la forma cuadrática ω, se van calculando los determinantes
∆k de las submatrices Ak de orden k que forman los elementos de las primeras k filas y las k
primeras columnas, para k = 1, 2, · · · , n. Entonces
ω es definida positiva si y sólo si ∆k > 0 para todo k = 1, 2, · · · , n.
ω es definida negativa si y sólo si (−1)k∆k > 0 para todo k = 1, 2, · · · , n.
c) Regla de los signos de Descartes
Como solamente estamos interesados en conocer el signo de los autovalores, y no sus magnitudes,
en algunos casos puede resultar útil el siguiente resultado.
Escribamos al polinomio caracteŕıstico p(λ) = anλ
n + an−1λ
n−1 + · · ·+ a1λ+ a0 . Se verifica que:
el número de ráıces positivas de p (contando sus multiplicidades) es igual al número de cambios
de signo en la sucesión an, an−1, · · · , a1, a0 de los coeficientes de p(x) .
el número de ráıces negativas de p (contando sus multiplicidades) es igual al número de cam-
bios de signo en la sucesión de los coeficientes de p(−x) (es decir, (−1)nan, (−1)n−1an−1, · · · ,
−a1, a0).
Condición suficiente de extremos
Sea f una función de clase C2 que presenta en P0 un punto estacionario (es decir, ∇f(P0) = 0). Entonces,
Si el hessiano Hf(P0) es definido positivo, P0 es un mı́nimo local.
Si el hessiano Hf(P0) es definido negativo, P0 es un máximo local.
Si el hessiano Hf(P0) es no definido, P0 es un punto silla.
Como el hessiano es una matriz cuadrada de coeficientes reales y simétrica, se puede utilizar cualquiera
de los criterios enunciados anteriormente para analizar si la matriz hessiana es definida.
Observación útil:
Para el caso de R2, también pueden utilizar la versión ya ”desarmada” del criterio de los signos de los
autovalores, cuyo enunciado es:
Sea f(x, y) es una función de clase C2 y P0 un punto estacionario. Entonces ∆1 = fxx(P0) > 0 → P0 es un mı́nimo
∆2 = det(Hf(P0)) = fxx(P0)fyy(P0)− fxy(P0)2 > 0 ∆1 = fxx(P0) < 0 → P0 es un máximo
∆2 = det(Hf(P0)) = fxx(P0)fyy(P0)− fxy(P0)2 > 0
2
Si ∆2 < 0, entonces P0 es un punto silla.
La demostración de este resultado es muy simple. Basta recordar que, si λ1 y λ2 son los autovalores de p(λ),
podemos escribir:
p(λ) = (λ− λ1)(λ− λ2) = λ2 − (λ1 + λ2)λ+ λ1 · λ2
pero también
p(λ) = (A− λ)(C − λ)−B2 = λ2 − (A+ C)λ+AC −B2,
donde A = fxx(P0), C = fyy(P0) y B = fxy(P0).
Sólo resta comparar los coeficientes y recordar el criterio de los signos de los autovalores para concluir lo que
afirma el enunciado.
Recordemos siempre verificar que la función f a estudiar sea de clase C2 para garantizar la simetŕıa de la
matriz hessiana. Por supuesto, en los casos en que ningún criterio decida, habrá que analizar la función en
un entorno del punto estacionario para probar si se trata o no de un extremo.
Ejemplos
Ejemplo 1. Hallar los extremos relativos de la función f(x, y, z) = x2z + y2z + 23z
3 − 4x− 4y − 10z + 1.
Comencemos hallando los puntos cŕıticos. Como f es de clase C2 en R3 ya que es polinomial (en realidad es
C∞), sus únicos puntos cŕıticos son estacionarios. Planteemos la condición ∇f(x, y, z) = 0:
fx = 2xz − 4 = 0 x = 2/z (por qué z 6= 0?)
fy = 2yz − 4 = 0 ⇐⇒ y = 2/z
fz = x
2 + y2 + 2z2 − 10 = 0 x2 + y2 + 2z2 − 10 = 0
,
lo que conduce a la ecuación
8
z2
+ 2z2 − 10 = 0, o, equivalentemente 8 + 2z4 − 10z2 = 0.
Llamando u = z2 obtendremos u1 = 4 y u2 = 1 y, finalmente, z = ±2;±1.
Llevando estos datos al sistema original, obtenemos cuatro puntos cŕıticos. Comprueben que son los siguien-
tes: P1 = (2, 2, 1), P2 = (−2,−2,−1), P3 = (1, 1, 2) y P4 = (−1,−1,−2).
La matriz hessiana para un punto cualquiera es: Hf(x, y, z) =
 2z 0 2x0 2z 2y
2x 2y 4z
.
Usaremos los distintos criterios que hemos mencionado hasta ahora para clasificar cada punto estacionario.
1. Hf(P1) =
 2 0 40 2 4
4 4 4
.
Desarrollando, por ejemplo, por la primera fila, el polinomio caracteŕıstico
p(λ) =
∣∣∣∣∣∣
2− λ 0 4
0 2− λ 4
4 4 4− λ
∣∣∣∣∣∣ = (2−λ)
(
(2−λ)(4−λ)− 16
)
+ 4(−4)(2−λ) = (2−λ)(λ2− 6λ− 24)
tiene a λ = 2; 3 ±
√
33 como ráıces. Como dos de los autovalores son positivos y uno negativo, el
hessiano es no definido y, por lo tanto, P1 es un punto silla.
2. Hf(P2) =
 −2 0 −40 −2 −4
−4 −4 −4
. Podemos observar que Hf(P2) = −Hf(P1); entonces los autovalores
serán los opuestos a los obtenidos en el ı́tem anterior1. Pero entonces el hessiano tiene dos autovalores
negativos y uno positivo; por lo tanto P2 también será un punto silla.
1Si µ es un autovalor de cierta matriz A de nxn, se tiene que 0 = det(A−µI) = det(−(−A+µI)) = (−1)ndet(−A− (−µ)I).
Es decir que −µ es un autovalor de la matriz −A.
3
3. Hf(P3) =
 4 0 20 4 2
2 2 8
. Utilizaremos el criterio de Sylvester:
∆1 = 4 (> 0)
∆2 =
∣∣∣∣ 4 00 4
∣∣∣∣ = 16 (> 0)
∆3 =
∣∣∣∣∣∣
4 0 2
0 4 2
2 2 8
∣∣∣∣∣∣ = 4
∣∣∣∣ 4 228
∣∣∣∣+ 2 ∣∣∣∣ 0 42 2
∣∣∣∣ = 4 · 28− 16(> 0)
Como todos son positivos, el hessiano es definido positivo y, por lo tanto, P3 es un mı́nimo relativo.
4. Hf(P4) =
 −4 0 −20 −4 −2
−2 −2 −8
. Podŕıamos observar, como en el segundo ı́tem, queHf(P3) = −Hf(P4),
razón por la cual la matriz hessiana será definida negativa. Para practicar un poco más, utilizaremos
de todas formas el criterio de Sylvester:
∆1 = −4
∆2 =
∣∣∣∣ −4 00 −4
∣∣∣∣ = 16
∆3 =
∣∣∣∣∣∣
−4 0 −2
0 −4 −2
−2 −2 −8
∣∣∣∣∣∣ = (−1)(−1)(−1)
∣∣∣∣∣∣
4 0 2
0 4 2
2 2 8
∣∣∣∣∣∣ = −4
(∣∣∣∣ 4 22 8
∣∣∣∣+ 2 ∣∣∣∣ 0 42 2
∣∣∣∣) = −(4 · 28− 16)
Como se cumple que (−1)i∆i > 0 para i = 1, 2, 3, el hessiano es definido negativo y, por lo tanto, P4
es un máximo relativo.
Ejemplo 2. Sea f(x, y, z) = xyz.
Se trata de una función al menos C2(R3) por ser polinómica.
Comprueben que ∇f(x, y, z) = (yz, xz, xy) = 0 da como solución los puntos Px = (x, 0, 0), Py = (0, y, 0) y
Pz = (0, 0, z), con x, y, z ∈ R, y en todos los casos la función toma el valor 0.
La matriz hessiana es Hf(x, y, z) =
 0 z yz 0 x
y x 0
.
Comencemos con los puntos Px. El hessiano toma la forma Hf(x, 0, 0) =
 0 0 00 0 x
0 x 0
.
Claramente el criterio de Sylvester no decide, pues ∆1 = 0.
El polinomio caracteŕıstico p(λ) =
∣∣∣∣∣∣
−λ 0 0
0 −λ x
0 x −λ
∣∣∣∣∣∣ = −λ(λ2 − x2) tiene a λ = 0, x,−x como soluciones.
Si x 6= 0, además de λ = 0, la matriz tiene un autovalor positivo y otro negativo. El hessiano es no definido
y, por lo tanto, Px es un punto silla, para cada x 6= 0.
Notemos que en estos casos, conocer el signo de los autovalores permitió clasificar los puntos cŕıticos (mientras
que el criterio de Sylvester no decide).
Para el caso (0, 0, 0), el hessiano es la matriz nula, ningún criterio dará información.
Calculemos, por ejemplo, f(h, h, h) = h3. Claramente tiene signos diferentes según se elija h > 0 ó h < 0,
razón por la cual el origen también es un punto silla.
Queda como ejercicio analizar los otros puntos estacionarios: (0, y, 0 y (0, 0, z).
Ejemplo 3. Busquemos extremos de la función g(x, y, z) = x2 + y2.
También en este caso la función es de clase al menos C2. El gradiente ∇g(x, y, z) = (2x, 2y, 0) = 0 en los
puntos (0, 0, z0), con z0 ∈ R.
4
El hessiano en dichos puntos (en realidad en cualquier punto de R3), es Hf(0, 0, z0) =
 2 0 00 2 0
0 0 0
.
Como es una matriz diagonal, sus autovalores son los elementos de la diagonal, es decir, λ1 = 2 (con
multiplicidad 2) y λ2 = 0. La matriz es semidefinida positiva (el criterio no decide).
Sin embargo, g(0, 0, z0) = 0 ≤ x2 + y2 = g(x, y, z) para todo (x, y, z) ∈ R3. Luego, los puntos (0, 0, z0) son
todos mı́nimos absolutos.
5
Práctica 6 - Ejercicios adicionales
Recuerden que puntos cŕıticos son aquellos puntos del dominio donde el gradiente se anula o la
función no es diferenciable. Aquellos puntos donde se anula el gradiente se llaman estacionarios.
Cuando no se puede aplicar ningún criterio, hay que analizar la función en un entorno del punto
cŕıtico.
Cuando una función es continua y la región en la que se busca extremos es cerrada y acotada,
existe máximo y mı́nimo absolutos.
1. Realizar el análisis de los puntos estacionarios de los ejemplos anteriores que quedaron incompletos.
2. Dadas las siguientes funciones, encontrar los puntos cŕıticos y clasificarlos:
a) f(x, y) = 12x2 + 12y2 − x3y3 + 5.
b) f(x, y) = y2sen x.
c) f(x, y) = |x|y − y.
3. Dadas las siguientes funciones, encontrar los puntos cŕıticos y clasificarlos:
a) f(x, y, z) =
x3
3
− x+ y2 + z2.
b) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + xy.
4. Sea f una función de clase C2(R2) tal que
f(0, 1) = 0; ∇f(0, 1) = (0, 2); Hf(0, 1) =
(
1 −1
−1 2
)
.
Sea g(x, y) = 3x2y + ef(x,y) − 2y.
¿Es (0, 1) un punto cŕıtico de g? En caso afirmativo, clasificarlo.
5. a) Probar que en el punto (1, 1, 2) la relación z3 − 2xy + y = 7 define z como función impĺıcita de
(x, y) en un entorno de (1, 1).
Determinar el polinomio de Taylor de segundo orden de la función impĺıcita z = g(x, y) alrededor
del punto (1, 1).
b) Consideren ahora la función h(x, y) = g(x, y)+α(x−1)+β(y−1), donde g es la función obtenida
en el inciso anterior y α y β son dos constantes reales.
Hallar los valores adecuados de α y β para que la función g posea en el punto (1, 1) un punto
cŕıtico y clasificarlo.
6. La temperatura de una placa en un punto cualquiera (x, y) viene dada por la función T (x, y) =
25 + 4x2 − 4xy + y2.
a) Una alarma térmica situada sobre los puntos de la circunferencia x2 + y2 = 25 se dispara a
temperaturas superiores a 180o o inferiores a 20o. ¿Se disparará la alarma?
b) Probar que, en realidad, la temperatura no es inferior a 25o en ningún lugar de la placa.
Para entregar:
Del ejercicio 2: inciso b) ó c) (a elección)
Del ejercicio 3: inciso a) ó b) (a elección)
Ejercicio 6
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