Funções Quadráticas e Polinomiais - Análise Matemática I

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ANALISIS MATEMATICO I, 2010
TRABAJO PRÁCTICO 2
Funciones cuadráticas
Actividad 1
Hacer una representación gráfica aproximada de las siguientes funciones cuadráticas:
1. f(x) = x2
2. f(x) = −2x2 + 4
3. f(x) = 1
2
x2 − x + 1,
Actividad 2
1. Encontrar la única función cuadrática tal que f(0) = 3, f(1) = 4, f(−2) = 13
2. Hallar la parábola que
(a) su vértice está en el punto (1, 1) y corta al eje x en 3.
(b) pasa por el origen, y en x = 2 alcanza su valor mı́nimo.
3. Graficar y señalar ráıces, vértice y eje de simetŕıa de las parábolas
(a) y = x2 + 5x + 6
(b) y = −x2 + 2x− 1
(c) y = 2x2 − 4x− 3
(d) y = −1/2 x2 − 3x + 7/2
(e) y = x2 − 3x + 2
4. Analizar el efecto del cambio de los coeficientes en el gráfico de la función
f(x) = ax2 + bx + c, a 6= 0
(a) a cambia mientras b y c permanecen fijas
(b) b cambia (a y c fijas )
(c) c cambia (a y b fijas )
5. Se sabe que cierto gallinero tiene un peŕımetro de 30 m. Expresar la superficie del
gallinero en función de su ancho. Si se sabe que el ancho es de 6 m averiguar la
superficie del gallinero. Cuál es el ancho si se sabe que la superficie es de 44 m2?
Puede ser el ancho de 18 m?
1
6. Determinar el valor de k para el cual
(a) y = x2 + 7x + k tiene una sola intersección con el eje x
(b) y = x2 − 2kx + k2 − 3k + 2 pasa por el origen
7. Determinar para qué valores de x se satisface cada una de las siguientes desigual-
dades y representar gráficamente el conjunto de soluciones
(a) (x− 1)(x + 4) > 0
(b)
1
x
+
1
x− 1 > 0
(c) 5x2 + 3x > 0
(d) −2x2 + 2x < 0
(e) 3(x− 2)(x + 1) < 0
(f)
2
x + 1
− 1
x− 2 < 0
(g)
1
1− x +
2
2x + 3
> 0
8. Una flecha que se lanza con un ángulo de 45 grados hacia el horizonte, viaja trazando
un arco parabólico dado por la ecuación y = ax2 +x+ c. Utilizar el hecho de que la
flecha se lanza a una altura vertical de 1,5 m y que recorre una distancia horizontal
de 60 m, para hallar a y c. Cuál es la máxima altura alcanzada por la flecha? En
qué intervalo sube la flecha?, y en qué intervalo baja?
9. Al pie de una pirámide se dispara un cohete que sigue una trayectoria dada por la
parábola y = −0.016x2 − 1.6x. La pirámide tiene una pendiente de 1
5
. ¿En dónde
aterriza el cohete? Calcular la altura máxima del cohete sobre el suelo.
10. Cuando un jugador de basquetbol salta verticalmente para encestar , su distancia
d(t) en pies, desde el suelo después de t segundos, está dada por d(t) = −1
2
gt2 + 16t
• Si g = 32, ¿ cuál es el tiempo de suspensión del jugador, es decir el número de
segundos que el jugador esta suspendido en el aire?
• Determinar el salto vertical del jugador, es decir la distancia máxima entre los
pies y el piso.
• En la luna g = 32
6
. Calcular los incisos anteriores para un jugador en la luna.
2
Funciones Potenciales
Actividad 3
1. Dados los siguientes gráficos de funciones potenciales de la forma f(x) = axn, con
a ∈ IR, a 6= 0, n ∈ IN
0
10
20
30
40
50
60
y
–8 –6 –4 –2 2 4 6 8
x
,
–60
–40
–20
0
20
40
60
y
–8 –6 –4 –2 2 4 6 8
x
,
Determinar en cada caso si a > 0 ó a < 0, y si n es par o impar. Graficar ejemplos
correspondientes a los casos que no aparecen arriba.
2. Expresar el área de la superficie y volumen de un cubo como una función de la
diagonal. ¿Qué tipo de función resulta ? ¿Qué sucede con el área y el volumen del
cubo si la diagonal crece indefinidamente?
3. Se corta un alambre de 2.4 metros de longitud en cuatro partes para formar un
rectángulo.
(a) ¿Puede encontrar una expresión para el área A del rectángulo? En caso afir-
mativo representar la función.
(b) Utilizar la gráfica para estimar el área máxima del rectángulo. ¿Cuáles son las
dimensiones del rectángulo en ese caso?
4. En un estanque en calma, se deja caer una piedra produciendo ondas en forma de
ćırculos concéntricos. El radio de la onda externa viene dado r(t) = 2t, donde t es
el tiempo en segundos transcurridos desde que la piedra toca el agua. Expresar el
área A(t) del ćırculo en función del tiempo.
Funciones Polinómicas
Actividad 4
1. Graficar en forma aproximada las funciones
3
(a) p(x) = x3 − x
(b) q(x) = −2x3 + x + 1
(c) r(x) = x4 + x2
(d) s(x) = −2x4 + x2 + 3
sin construir una tabla de valores, determinando intersecciones con los ejes. y estu-
diando el comportamiento de las funciones cuando x tiende a ±∞ Comparar cada
una de estas funciones con alguna función potencial a la que le conozca la gráfica y
que se comporte en forma idéntica en ±∞.
2. Con un cuadrado de cartón de 1 metro de lado se desea construir una caja de base
cuadrada (sin tapa) cortando cuadrados de las esquinas y doblando los lados hacia
arriba. Expresar el volumen de la caja en función de la altura.
3. El polinomio de cuarto grado P (x) = 8x4 − 8x2 + 1 aparece en los estudios de
estad́ıstica. Analizar donde P (x) > 0.
4. Estudiar cómo se modifica el gráfico de f(x) = a(x + b)3 + c cuando
• a cambia mientras b y c permanecen fijas
• b cambia (a y c fijas a 6= 0 )
• c cambia (a y b fijas a 6= 0 )
5. Un meteorólogo halló que la temperatura T ( en oF ) en un cierto d́ıa fŕıo de invierno
estaba dado por T (t) = 0.05t(t − 12)(t − 24) en donde t es un momento del d́ıa y
t = 0 corresponde a las 6 horas .
• ¿ A qué hora la temperatura es mayor que 0oF ?, ¿ a qué hora la temperatura
está por debajo de 0oF ? Trazar una gráfica de la temperatura T para
0 < t < 24.
• Mostrar que la temperatura era menor a 32oF entre las 12 y las 13.
• Determinar de forma aproximada a qué hora del d́ıa la temperatura fue de
32oF
6. En una isla pequeña se introdujo una manada de 100 venados. Al principio la
manada empezó a crecer rápidamente, pero después de un tiempo, los recursos de
la isla empezaron a escasear y la población decreció. El número de venados después
de t años está dado por N(t) = −t4 + 21t2 + 100 .
• Interpretar el término constante de la expresión de N(t). ¿Cómo se debe
formular el problema si la manada que se introdujo hubiese sido de 150 venados?
• ¿ Se extingue la población en algún momento ? Si es aśı ¿cuándo ocurre eso?
• ¿ Cuándo excede de 180 el tamaño de la manada? ¿Cuál el número máximo
de venados que llegan a habitar la isla ?, ¿ en qué momento se da ese número?
4
7. Un triángulo rectángulo tiene un área de 30cm2 y su hipotenusa es 1 cm. más larga
que uno de los otros lados . Encontrar una expresión para el área en función de la
longitud de ese lado. ¿Cómo se puede averiguar en forma aproximada la longitud
del mismo, utilizando una gráfica conveniente?
8. Analizar si es cierto que entre todas las esferas cuyos radios pertenecen al intervalo
[0, 5] hay una con 275cm3 de volumen (recordemos que el volumen de una esfera de
radio r es 4
3
π r3).
9. Se planea fabricar una caja rectangular sin tapa de una pieza de cartón de 80cm
por 1, 50mts, cortando cuadrados en las esquinas y doblando los lados hacia arriba.
¿ Cuáles son las dimensiones de la caja de mayor volumen que se pueda hacer de
este modo?
5
Funciones Racionales
Actividad 5
1. Hacer un gráfico aproximado de las siguientes funciones racionales:
(a) f(x) =
3x
−x + 4
(b) f(x) =
x + 4
−2x− 4
(c) f(x) =
4
3x + 9
2. Debido a que un supervisor debe emplear parte de su tiempo inspeccionando a cada
subordinado, una organización pondrá generalmente un ĺımite máximo s, llamado
peŕıodo de control, sobre el número de subordinados que un supervisor pueda tener.
Puesto que la supervisión disminuye el trabajo ”productivo”, el número actual N de
empleados que se requiere para realizar un trabajo, necesitando esfuerzo de tiempo
de M empleados es mayor que M . En un modelo matemático, esta relación se
aproxima por medio de la función
N(s) =
M(s + 1)
s
.
(a) Trace la gráfica de la función N con M = 1000.
(b) Si el peŕıodo de control en la parte a) es s = 5, cuántos empleados se requieren?.
(c) En la parte b), cuántos empleados se requieren si el peŕıodo de control se reduce
de 5 a 4?.
(d) Quépuede decir sobre el crecimiento (o decrecimiento) de N(s)? Qué ocurre
con la función N(s) cuando s toma valores muy grandes?
3. En un recipiente que contiene 1 kg de agua, se deja gotear alcohol a razón de 25g por
segundo. Expresar el porcentaje de alcohol en función del tiempo de goteo. Cuál
será el porcentaje de alcohol al cabo de 1 minuto de goteo? Cuánto tiempo habrá
que esperar para que haya un 10% de alcohol en la mezcla?
4. Dada f(x) =
a
xn
, con n ∈ IN, que puede decir de su gráfico para los distintos valores
de a y de n.
Valor absoluto
Actividad 6
1. Un veh́ıculo parte de un lugar con una velocidad constante de 45 km/h. Media hora
más tarde parte otro veh́ıculo en su búsqueda, desde el mismo lugar a una velocidad
6
de 60 km/h. Expresar la distancia que los separa en función del tiempo que ha
estado viajando el segundo veh́ıculo.
2. A partir del gráfico de una función f(x), graficar |f(x)|.
3. Teniendo en cuenta la definición de valor absoluto, graficar las siguientes funciones:
(a) f(x) = |x− 1|
(b) f(x) = |3x− 1|+ 2
(c) f(x) = −|2x + 1|
(d) g(x) = x− |x|
4. Resolver y representar gráficamente el conjunto de soluciones.
(a) |x| = 4, |x + 1| = −1
(b) |5− 2x| = 8
(c) |4x| = |4x + 1|
(d) |x2 + 1| = |x2 − 1|
(e) |x| > 3, |x| ≤ 2
(f) |2 + 3x| > 6
(g)
|2x + 3|
|4− x| ≤ 1
(h) |1 + x| > 1 + |x|
Otras curvas
Algunas curvas que aparecen frecuentemente en distintos tipos de problemas no son el
gráfico de una función, pero son representadas por distintas ecuaciones. Analizaremos las
llamadas cónicas que, junto con la parábola se obtiene al seccionar un cono cirular doble
con un plano es distintas posiciones.
• Circunferencia
– Una circunferencia es un conjunto de puntos del plano que equidistan de un
punto llamado centro de la circunferencia. Es decir, si consideramos un punto
C(α, β) y una distancia (positiva) r que llamamos radio, la circunferencia de
centro C y radio r es el conjunto
{P (x, y) / d(P, C) = r}
7
– La ecuación que la representa es
(x− α)2 + (y − β)2 = r2
y es claro que para determinar una circunferencia basta conocer su centro y su
radio.
– Las posiciones relativas de una circunferencia y una recta pueden ser
∗ exterior: no existen puntos de intersección
∗ tangente: existe un solo punto de intersección
∗ secante: existen dos puntos de intersección
–2
–1.5
–1
–0.5
0
0.5
1
1.5
y
–1.5 –1 –0.5 0.5 1 1.5
x
• Elipse
– Una elipse puede verse como una circunferencia ”deformada”, pero puede
caracterizarse considerando dos puntos fijos llamados focos, diciendo que es el
conjunto de puntos del plano P (x, y) tales que la suma de las distancias de P
a los focos es constante.
– Llamando 2a a esta constante y 2c a la distancia entre los focos, la ecuación
llamada canónica de la elipse centrada en el punto C(α, β) está dada por
(x− α)2
a2
+
(y − β)2
b2
= 1
donde a2 = b2 + c2 y el centro C es el punto medio del segmento determinado
por los focos.
– Los focos se encuentran en el semieje mayor (llamado eje focal) de longitud
2a que es perpendicular al semieje menor de longitud 2b.
8
–3
–2
–1
1
2
3
4
y
2 4 6 8 10
x
,
• Hipérbola
– Si bien los gráficos de todas las funciones homográficas son curvas llamadas
hipérbolas cuyas aśıntotas son verticales y horizontales, éstas no son las
únicas.
– Toda ecuación de la forma
x2
a2
− y
2
b2
= 1 o
y2
a2
− x
2
b2
= 1
es una hipérbola centrada en el origen que corta al eje x en los puntos (a, 0)
y (−a, 0) en el primer caso y al eje y en los puntos (0, b) y (0,−b).
En este caso, las ecuaciones de las aśıntotas son
y =
b
a
x y y =
−b
a
x
– De manera análoga toda ecuación de la forma
(x− α)2
a2
− (y − β)
2
b2
= 1 o
(y − β)2
a2
− (x− α)
2
b2
= 1
representa una hipérbola centrada en el punto C(α, β)
En este caso, las ecuaciones de las aśıntotas son
y − β = b
a
(x− α) y y − β = −b
a
(x− α)
–3
–2
–1
0
1
2
3
y
–4 –2 2 4
x
,
–3
–2
–1
1
2
3
4
y
2 4 6 8 10 12
x
,
9
Actividad 7
1. Dar la ecuación de la circunferencia que verifica las siguientes condiciones y graficar.
(a) Centro C(−1, 2) y radio 1
(b) Centro C(−2, 3) y tangente al eje x
(c) Pasa por los puntos (−3, 1), (−1,−3) y (5, 5)
2. Graficar las siguientes circunferencias
(a) 2x2 − 4x + 2y2 − 8y − 2 = 0
(b) 4x2 + (2y + 2)2 = 1
3. Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 = 4, indicar para que valores de k la
recta de ecuación y + x = k es
(a) exterior
(b) secante
(c) tangente
4. Graficar las siguientes elipses
(a)
x2
12
+
y2
9
= 1
(b) x2 +
y2
16
= 1
(c) 3(x− 1)2 + 5(y + 3)2 = 15
5. Encontrar b para que la elipse de ecuación
x2
4
+
y2
b
= 1 sea tangente a la recta y = 1.
6. Graficar las siguientes hipérbolas
(a)
(x + 2)2
9
− y
2
4
= 1
(b) −x2 + 4y2 = 4
Bibliograf́ıa
1. Lang, S. Cálculo. Addison-Wesley Iberoamericana.
2. Spivak, M. Cálculus, cálculo infinitesimal. Editorial Reverté.
3. Sadosky, M. Guber, R. Elementos del cálculo diferencial e integral. Libreŕıa y Edi-
torial Alsina.
4. Stewart, J. Cálculo en una variable. Thomson Learning.
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