Exercícios de Lógica e Sucessões

Vista previa del material en texto

Práctica 2, Primera parte. 
 
Ejercicio 1: 
Si p, q y r son letras que simbolizan proposiciones, analice todos los posibles valores de 
verdad de las siguientes proposiciones que dependen de esas letras, es decir construya 
su tabla de verdad. 
a) (𝑝 → 𝑞) → 𝑟 
b) 𝑝 ∧∼ 𝑝 
c) ∼ (𝑝 → (𝑞 ∧ 𝑟)) 
d) (𝑝 ∧ (𝑝 → 𝑞)) → 𝑞 
 
Ejercicio 2: 
Dadas las siguientes proposiciones: 
p: "ℝ simboliza al conjunto de los números reales” 
q: “3+1 =7” 
r: “3 es un número par” 
s: “la letra t es una vocal” 
t: “√2 es un número racional” 
a) Establecer el valor de verdad de casa una de ellas. 
b) Establecer el valor de verdad de las siguientes proposiciones e indicar como se 
leen en lenguaje corriente. 
(i) ∼ 𝑞 ∧ 𝑟 
(ii) 𝑠 ∨∼ 𝑡 
(iii) ∼ 𝑝 →∼ 𝑟 
 
Ejercicio 3: 
Dada la proposición: “Si un número es múltiplo de 4 entonces es par” a) Reescriba la 
proposición dada utilizando “necesario” y “suficiente”. b) Enunciar los condicionales 
recíproco, contrario y contrarrecíproco. 
 
 
Ejercicio 4: 
a) Simbolice las siguientes proposiciones: (i) “8 es múltiplo de 4, también de 2 y 
además es menor que 5. (ii) “Si estudio mucho entonces promociono”. (iii) 
Niegue simbólicamente las proposiciones de los incisos anteriores y enuncie la 
forma contrarrecíproca de (ii). 
 
b) Supongamos que p, q y r simbolizan proposiciones de las que se sabe que: p es 
verdadera, q es falsa y r es verdadera. 
 
c) Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes fórmulas: 
(i) (𝑝 ∧ 𝑞) → 𝑟. (ii) ∼ (𝑝 → 𝑞) ∨ 𝑟. (iii) (𝑝 ∧ 𝑞) ↔ ∼ 𝑟. En cada caso, trate de 
justificar lo que afirma. 
 
 
 Ejercicio 5. 
Demostrar que las siguientes formas proposicionales son equivalentes: 
 (i) ∼ (𝑝 → 𝑞) y 𝑝 ∧∼ 𝑞 
(ii) (𝑝 ∨ 𝑞) →∼ 𝑟 y 𝑟 → (∼ 𝑝 ∧ ∼ 𝑞). 
 
d) Halle una forma equivalente a ∼ 𝑝 ∨ 𝑞. Justifique. 
 
Algunas definiciones útiles. 
Un número entero a es par, si existe otro número entero (podemos llamarlo k) tal que a, 
se puede escribir como: a= 2k. 
(Podríamos pensar que todos los enteros pares tienen una “fórmula general”) 
Un número entero b es múltiplo de 5 (o divisible por 5, que es equivalente) si existe 
otro número entero (podemos llamarlo h) tal que b se puede escribir como: b= 5h. 
Ejercicio 6: 
a) Defina un número entero impar. 
b) Definir los siguientes conjuntos por extensión: 
 
(i) 𝐴 = {𝑥: 𝑥 = 10𝑘 ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘 ≤ 7} 
(ii) 𝐵 = {𝑥2: 𝑥 ∈ ℕ ∧ 1 ≤ 𝑥 ≤ 5} 
(iii) 𝐶 = {𝑥: 𝑥 = 2𝑚3 + 4 𝑦 𝑚 𝜖 ℤ ∧ −1 ≤ 𝑚 ≤ 3} 
(iv) D= {𝑥 ∈ ℤ: 𝑥 = 3𝑛3 + 2 ∧ 𝑛 ∈ {1, 0, −3} } 
(v) E ={𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥2 + 1 = 0} 
(vi) Considerando A, B y C como en el inciso anterior hallar los siguientes 
conjuntos: 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 − 𝐶, 𝐶 − 𝐴, 𝐵 ∪ 𝐶, 𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐶). 
(vii) Considerando los conjuntos del inciso b) hallar un conjunto F que cumpla 
que 𝐹 ⊂ 𝐵 y otro conjunto 𝐺 que cumpla 𝐶 ⊂ 𝐺. 
(viii) Definir por comprensión los siguientes conjuntos: El conjunto de los 
números enteros múltiplos de 9. Los cuadrados de los primeros 10 
números naturales. Los números naturales impares, que son mayores que 
3 y menores que 101. 
 
Ejercicio 7: Representar gráficamente los siguientes subconjuntos del plano. 
a) A={(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: 𝑥2 + 𝑦2 ≥ 5} b) B={(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1 ∧ 𝑦 ≥ 𝑥2 } 
 
Ejercicio 8: a) Dadas las siguientes funciones o esquemas proposicionales en las 
variables x e y, que toman valores en el conjunto de los números naturales: 
N(x): x es par. 
 I(x, y): x es igual a y. 
E(x): x es múltiplo de 4. 
M(x, y): x es menor o igual a y. 
Pasar al lenguaje corriente las siguientes simbolizaciones: 
(i) (∀x)𝐸(𝑥) 
(ii) (∀x)((E(x) → N(x)) 
(iii) (∃x)(N(x) ∧∼ E(x)) 
(iv) (∀x)(∀y)((M(x, y) ∧ M(y, x)) → I(x, y)) 
a) Negar simbólicamente (i) y (ii) (o todas, si se anima!) 
Ejercicio 9. 
Simbolizar las siguientes proposiciones definiendo un conjunto universal adecuado, 
utilizando esquemas proposicionales, cuantificadores y conectivos lógicos. 
 a) No todos los números enteros son positivos. 
 b) Dados dos números reales cualesquiera entonces el primero es mayor que el 
segundo 
 c)Existe un número que es mayor que todos. 
d)Todo número tiene otro que es mayor que él. 
Ejercicio 10: Sea U = {1, 2, 4 , 6 , 8}. Sea x una variable que toma valores en U y 
considere las siguientes funciones o esquemas proposicionales. 
P(x): x es impar. Q(x): x es menor que 10. R(x): x es mayor o igual a 2. S(x): x es par 
Analizar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas, 
a) (∃x)S(x) 
b) (∀x)S(x) 
c) ((∀x)R(x)) ∨ ((∃x)P(x)) 
d) ((∀x)R(x)) ∧ ((∃x)P(x)). 
 
 
 
 
 PÁCTICA 2, 2° PARTE: SUCESIONES. 
Ejercicio 1: Escribir los 4 primeros términos de las siguientes sucesiones 
a) 2 , 1hd h h  
b) 1 14, 3 2, k 2k ke e e      
c) 1 2 1 22, 1 3 , 3k k kf f f f f k       
d) 4 , 1hg h  
 
Ejercicio 2: Hallar una fórmula para el término general de las siguientes sucesiones: 
a) 1,-1,1,-1,1,-1,… b) -1,1,-1,1,-1,1,…c) 1,8,27,64,125,… 
 
 d) 4,9,14,19,24,29,… e) -3,-1,1,3,5,7,9,…f) 1,1/2,1/3,1/4,1/5 
 
 g) -1,1/2,-1/3,1/4,-1/5, h) 0, -5, 10, -15, 20,… 
 
 Ejercicio 3: 
 
 Analizar si las siguientes sucesiones son geométricas o aritméticas. Dar una 
definición del término general en todos los casos. (Observación: definir el término 
general de una sucesión se puede expresar también como definir la sucesión en 
forma explícita) 
 
a) 1, -1, 1, -1,….. b) 1, 2, 3, 4, 5,…. c) 4, 5, 6, 7, 8, …..d) 8, 2/3, 1/18, 1/21 
 
e) 10, 19/2, 9, 17/2, 8, 15/2,… f) 300, -30, 3, -0.3,… 
 
 Ejercicio 4: 
 a) Encontrar la razón de una sucesión geométrica cuyo primer término es 320 y el 
séptimo es 5 
 b) El tercer término de una sucesión aritmética es 85 y el decimocuarto es 30, 
hallar el primer término y la diferencia. 
 
 c) Encontrar tres números f, g y h tales que 20, f, g , h , 52 sean los 5 primeros 
términos de una sucesión geométrica. 
 
e) Hallar el primer término y la diferencia de una sucesión aritmética sabiendo que la 
suma del tercer término y el octavo da 75 y la diferencia entre el noveno y el segundo 
es 49. 
 
e) Se desea construir una escalera de 16 escalones cuyas longitudes decrecen 
uniformemente de 50 cm en la base a 30 cm en la parte superior. Encuentra una 
fórmula para saber cuánto mide el escalón n 
 
Ejercicio 5 : 
Escribir las siguientes sumas utilizando la notación sigma: 
 
a) 1 + 4 + 9+ 16+ 25 +…+ b) 1 -1 + 1 -1 +1 -1+1 c) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 
+….+46 
d) 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + ….+34 e) 13+ 20+ 27+ 34+ 41+….+(13+n.7) 
f) 8 + 2/3 + 1/18 + 1/216 +… +8 (1/12). 
Ejercicio 6: 
Completar las siguientes sumas 
 
28 7 ...
1 1 ...
10 10 ...
2 2 2
4 1 ...
14 ... ...
5 ... ...
10 ...
4
4 ...
18 ...
3 ...
) (2 4) (2 4) (2 4)
) (3 ) (3 ) (3 )
4 4 4
) (2 ) (2 ) (2 )
) (2 ) (2 4) (2 )
1 1 1 18
) ( ) ( ) ( )
18
)
k k
t t t
t t
h
i i
i
j
a k k k
b t t t
c
h h h
d i i
j j
e
j j
f
 
 



    
    
    
    
  
 
  
  
  
 
 
45 44
2 2
1
3 3
1
6 6
4 4
( ) ( ) ........
1 1
4 4
) ( ) ( ) .........
1 1
) ( ) ( ) ..........
2 2
j j
h h
n n
k k
t t
j j
j j
g
n n
t t
h
t t
 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁGEBRA, CÁLCULO NUMÉRICO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA. PRÁCTICA 2 
 
 
Ejercicio 7: 
a) Calcular la suma de los 100 primeros números naturales.
 
b) Calcular la suma de los 100 primeros naturales impares. 
c) Una pila de troncos tiene 24 troncos en la base, 23 en la 2da hilera, 22 en la tercera, 
y así siguiendo hasta llegar a la capa superior en la que tiene 10 troncos. Encuentra la 
cantidad total de troncos en la pila. 
 
Ejercicio 8 : Calcular las siguientes sumas: 
 
 

 

 


m
k
h
t
tk
k
h
t
tk
j
j
i
i
de
dc
ba
1 1
1
45
1 1
11
30
1
30
1
1
8.2))
3
1
(4)
2.5))
2
1
()
)
2
1
())
2
1
()
 
 
 

 

 



m
k
h
t
tk
k
h
t
tk
j
j
i
i
de
dc
ba
1 1
1
45
1 1
11
30
1
30
1
1
8.2))
3
1
(4)
2.5))
2
1
()
)
2
1
())
2
1
()
 
Ejercicio 9: 
a) Sea 𝑎𝑘 , 𝑘 ≥ 1 una sucesión geométrica tal que 𝑎5=
2
81
 y 𝑎7=
2
729
. Hallar el 
término general. 
b) Encuentre el resultado de la suma de los 43 primero términos de la sucesión 
dada en a) o una expresión de su cálculo sin el resultado final. 
ÁGEBRA, CÁLCULO NUMÉRICO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA. PRÁCTICA 2 
 
 
 
Ejercicio 10: 
a) Sea 𝑏𝑘 , 𝑘 ≥ 1 una sucesión geométrica tal que 𝑏9= 20 y 𝑏15=32 . Hallar el 
término general. 
b) Encuentre el resultado de la suma de los 120 primero términos de la sucesión 
dada en a) o una expresión de su cálculo sin el resultado final. 
 
Ejercicio 11. 
Si se sabe que el resultado de la suma de los 15 primeros términos de una sucesión es 
660 y se sabe también que la sucesión es aritmética de diferencia 6, calcular el primer 
término. 
Ejercicio 12. 
Pablo sumó todos los números naturales de 4 dígitos pero se salteó uno. 
La suma de Pablo es 8.499 veces el número que se salteó Pablo. 
Hallar el número que Pablo se salteó.