Matemática: Álgebra, Cálculo e Geometria

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ÁLGEBRA, CÁLCULO NUMÉRICO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA . CAPÍTULO 0. 
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ÁLGEBRA, GEOMETRÍA ANALÍTICA Y CÁLCULO NUMÉRICO 2019 
 
Fundamentación 
 
La matemática como ciencia formal resulta un saber esencial en algunas ciencias 
fácticas, que intentan explicar los fenómenos de la naturaleza apoyándose en la 
observación, la modelización y la experimentación. 
Los conocimientos científicos construidos desde la matemática forman parte del 
bagaje cultural básico para la comprensión de los fenómenos naturales y de los procesos y 
productos tecnológicos. La ciencia como actividad institucionalizada de producción de 
conocimientos, es parte central de la cultura de nuestro tiempo . Es nuestro objetivo que 
el proceso de enseñanza - aprendizaje del Álgebra y la Geometría como parte de la 
matemática, resulte significativo para la construcción de dichos conocimientos. Creemos 
en la educación pública como formadora de ciudadanxs críticxs, capaces de mantener un 
debate fundamentado. En ese sentido dirigimos nuestra propuesta. Para los alumnxs… 
 
 
Modalidad 
 
El curso de esta materia se desarrollará en un semestre. Las clases tendrán una 
carga horaria de 8 horas semanales, en las cuales se alternarán explicaciones a cargo de 
los docentes, espacios de consulta y trabajo por parte de lxs alumnxs en las actividades 
propuestas. Incentivando el trabajo grupal se aconseja aprovechar las mesas grandes en 
las que el intercambio entre compañerxs resulta más fácil. 
 
 
Evaluación 
 
Se seguirán los lineamientos dados por la Comisión de Enseñanza y Seguimiento de 
Planes de Estudio y las resoluciones del H. Consejo Académico. De la siguiente manera: 
- Para aprobar la materia por promoción (sin examen final), se necesita un 80% 
de asistencia a clase y la aprobación de dos parciales. Los exámenes deberán 
tener un promedio de al menos 6 (seis), sacando en cada uno una nota no 
inferior a 5(cinco). 
- Para aprobar los trabajos prácticos, además de la asistencia a clase, se deberán 
aprobar los dos parciales con nota mayor o igual a 4 (cuatro). 
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- Cada parcial tendrá un recuperatorio y habrá una fecha “flotante” para quienes 
al agotarse las dos fechas de cada parcial, adeuden a lo sumo uno. 
- La corrección de los exámenes parciales y flotantes involucra a todo el equipo 
docente, siguiendo pautas iguales en todas las comisiones, establecidas por la 
coordinación de la materia. 
 
 
Temario. Contenidos establecidos en el Plan de estudios. 
 
 
 
1- Geometría del Plano: El plano coordenado. Distancia entre puntos. Recta en 
el plano. Distintos tipos de ecuaciones de una recta. Posiciones relativas de dos 
rectas en el plano. Cónicas: elementos y ecuaciones de la circunferencia, de la 
parábola, de la elipse y de la hipérbola. Deducción del tipo de curva a partir de la 
ecuación implícita. 
 
 
2- Nociones básicas de lógica y teoría de conjuntos. Conjuntos definidos por 
comprensión y por extensión, pertenencia, inclusión. Operaciones entre conjuntos: 
unión, intersección, diferencia y complemento. Conjunto de los números 
naturales: Definiciones recursivas. Sucesiones. Principio de Inducción completa. 
Binomio de Newton. 
 
3- Vectores del plano y el espacio: Distancia entre puntos del plano y del 
espacio. Vectores. Operaciones con vectores. Angulo entre vectores. 
 
PASÓ A ANÁLISIS MAT. II: 
4- Geometría en el espacio: Recta en el espacio. Plano. Distintos tipos de 
ecuaciones de una recta y de planos. Distancia entre rectas y planos. 
 
5- Números complejos en las formas de: par ordenado, binómica, polar y 
trigonométrica. Operaciones y propiedades. Representación gráfica. Fórmula de 
DeMoivre para potencia y raíz. Ecuaciones. 
 
6- Polinomios. Definiciones básicas. Igualdad, suma y producto de polinomios. 
División: existencia y unicidad de los polinomios cociente y resto. Raíces. Teorema 
del resto y su corolario. Raíces múltiples. Polinomios reducibles e irreducibles en R 
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[x] y en C [x]. Polinomio derivado. Formula de Taylor para polinomios. Enunciado 
del Teorema Fundamental del Algebra y sus consecuencias. Relación entre 
coeficientes y raíces. Aproximación de raíces 
 
7- Matrices. Operaciones: suma, producto de un escalar por una matriz, producto de 
matrices. Matrices invertibles. Matriz traspuesta. Operaciones elementales sobre las filas 
de una matriz. Matrices equivalentes por filas. Matrices elementales. Calculo de la inversa 
de una matriz por operaciones elementales. Sistemas de ecuaciones lineales. Forma 
matricial. Método de resolución de Gauss por operaciones elementales sobre las filas. 
Determinante de una matriz y sus propiedades. Relación entre determinante de una 
matriz e invertibilidad. Rango de una matriz. Teorema de Rouche-Frobenius. Clasificación 
de los sistemas de ecuaciones lineales según sus soluciones. 
 
Bibliografía 
 
Alcón Liliana, Notas de Álgebra y Matemática Discreta. (se encuentra en el siguiente 
enlace: https://www.facebook.com/download/preview/240298916434241) 
Barnett, Algebra, 6°ED, Mc Graw-Hill Interamericana 
Cotlar, M. y Sadosky, R. Introducción al Álgebra . EUDEBA 
Fernández, E. Álgebra y Geometría. Addison Weslesy. 
Los Apuntes de la Cátedra de la profesora Adriana Galli. 
 
Gentile, E. Notas de Álgebra. EUDEBA, 3ra. Edición 1984 
Gentile, E. Notas de Álgebra- Espacios Vectoriales. Ed. Functos. 
Kahn, P. Introducción al Álgebra Lineal. Harper and Row Publishers inc. 
Lang, S. Algebra lineal . Fondo Educativo Interamericano, México 1976. 
Larson, Álgebra Intermedia, Mc Graw-Hill Interamericana 
Oubina, Lía Introducción a la teoría de conjuntos . EUDEBA 
Rees, Álgebra, Mc Graw-Hill Interamericana 
Sagastume Berra, A. y Fernández, G. Álgebra y Calculo Numérico. Kapeluz, Bs. As. 
1960 
http://www.facebook.com/download/preview/240298916434241)
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Santalo, L. Espacios vectoriales y Geometría Analítica. Monografías de la OEA. 
Sobel, M. y Lerner, N., Álgebra. Prentice-Hall- Hispanoamericana. 
APUNTE TEÓRICO 
CAPÍTULO 0. 
-La matemática es la reina de la ciencia y la aritmética la reina de la matemática.-Carl 
Friedrich Gauss, 1777-1855. 
Los temas de este capítulo son muy conocidos por todos ustedes. Es simplemente aritmética básica. 
 
Queremos introducirnos de a poco y de manera no tan formal, en el lenguaje matemático. Hay que 
tener paciencia y preguntar todo. Nunca deje de consultar a sus docentes. Porque es cierto que 
muchas veces, uno puede llegar a sentir que los que “hacen matemática” hablan en otro idioma. 
Consideremos el conjunto de los números reales (desde ahora lo indicamos así: ℝ). 
 
Vamos considerar ℝ con las dos operaciones: suma y producto. Vamos a estudiar todas las 
propiedades que tienen la suma y el producto en ℝ. 
Sabemos que siempre que se sumen o se multipliquen números reales, se obtiene como resultado 
un número real. 
Vamos a listar todas las propiedades o leyes de la suma y el producto de números reales, que 
justifican los cálculos que hacemos habitualmente. Porque es nuestro propósito tratar de justificar lo 
que afirmamos. 
Para eso, pensemos que las letras a, b y c representan números reales cualesquiera. 
 
Propiedades de la suma de números reales: Dijimos antes que la suma de dos números reales 
es un número real. Eso puede expresarse como: La operación suma es cerrada en ℝ. 
𝑺𝟏: Asociativa (a + b) +c= a + (b + c) 
( comentario: esta propiedad parece poco interesante porque es muy evidente. Si la suma no fuese 
asociativa (3+2)+4 sería un número distinto al número 3 + (2+4), por ejemplo). ). 
Esta propiedad permite en este caso omitir los paréntesis: (a + b) +c= a + (b + c) = a+ b + c. 
 
𝑺𝟐 : Conmutativa: a + b = b + a 
( comentario: del estilo del anterior)𝑺𝟑 : Existencia de elemento neutro. Existe un numero real, el 0, que es elemento neutro para la 
suma. Quiere decir que a + 0 = a, cualquiera sea el número real a. 
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𝑺𝟒 : Existencia de opuesto. Si a es un número real cualquiera, existe -a, que es también un número 
real y cumple: a + (-a) = 0. 
( comentario: es claro que -a es el opuesto de a pero también a es el opuesto de –a. Por ejemplo, el 
opuesto de√2 es - √2 porque √2 + (−√2 ) = 0 y el opuesto de - 
1 
es 
1
 porque su suma da cero. 
3 3 
La operación resta a - b se interpreta como a + (-b), es decir que a – b = a + (-b) y claramente 
podemos observar que la operación resta no cumple la propiedad 𝑆2 : Conmutativa, simplemente 
porque 3 - 5≠ 5 - 3). 
Hasta acá tenemos todas las propiedades que cumple la suma en ℝ. 
 
Propiedades del producto de números reales: Dijimos antes que el producto de dos números 
reales es un número real. Eso puede expresarse como: La operación producto es cerrada en ℝ. 
𝑷𝟏: Asociativa (a.b) .c= a.(b.c) 
( comentario: esta propiedad parece poco interesante porque es muy evidente. Pero, por ejemplo, si 
el producto no fuese asociativo (3.2).4 sería un número distinto a 3.(2.4). 
Esta propiedad permite, en este caso omitir los paréntesis: (a.b) .c= a.(b.c) = a.b.c 
 
𝑷𝟐 : Conmutativa: a.b = b.a 
( comentario: es tan obvia esta propiedad de los números reales, que uno tendería a pensar que si se 
tiene otro conjunto y otro producto, también ese producto sería conmutativo. Veremos más 
adelante que esto no es así.) 
-“Obvio” es la palabra más peligrosa del mundo en matemáticas.-E. T. Bell. 
𝑷𝟑 : Existencia de elemento neutro. Existe un número real, el 1, que es elemento neutro para el 
producto. Quiere decir que a.1 = a. 
𝑷𝟒 : Existencia de inverso. Si a es un número real cualquiera ( menos 0, por favor!!!) existe a−1 , 
que es también un número real y cumple que: a.a−1= 1. 
(comentario: Si a es un número real ( eso sí, a≠ 0 ) a−1 = 
1 
, por ejemplo el inverso de 3 , 
 
es (
 3)
−1 
=
 1 
=
 5 
 
porque 3 .
 5
 
a 5 
= 1. 
5 
3 
3 5 3 
5 
 
Observemos también que si a, a≠ 0, como dijimos antes, a−1 es el inverso multiplicativo de a y 
también se cumple que a es el inverso multiplicativo de a−1. 
Si a es un número real cualquiera y b es otro cualquiera menos el 0, si consideramos la operación 
división, a divido b, que podemos expresar como a:b, o también como a , en este contexto se 
b 
puede considerar a:b = a 
b 
= a. b−1) 
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Tenemos otra propiedad que conecta las dos operaciones, suma y producto en ℝ: 
 
Propiedad distributiva del producto con respecto a la suma. 
 
a.(b + c) = a.b + a.c 
 
(comentario: esta propiedad es la que justifica “sacar factor común”) 
 
Relaciones entre números reales: 
 
1) La igualdad. Sus propiedades: 
Cualesquiera sean a, b y c números reales, se cumplen: 
a) a = a. 
b) Si a= b entonces b = a. 
c) Si a = b y b= c entonces a = c. 
Las siguientes propiedades vinculan la suma y el producto con la igualdad. 
d) Si a = b entonces a + c = b + c. 
e) Si a = b entonces a.c = b.c. 
2) Orden en el conjunto de los números reales: El orden es una relación entre dos números 
reales, que permite representarlos como puntos de una recta. La indicamos con el símbolo 
≤. a ≤ b se lee: a es menor o igual que b. 
También, puede interpretarse como b ≥ 𝑎 que se lee: b es mayor o igual que a y 
representa lo mismo. Se cumplen las siguientes propiedades. 
 
a) Ley reflexiva: Observemos también que a ≤ a, simplemente porque a = a 
b) Ley antisimétrica: Si a ≤ b y b ≤ a entonces a = b 
c) Ley transitiva: Cualesquiera sean a, b y c números reales , se cumple que: 
Si a ≤ 𝑏 y b ≤ 𝑐 entonces a ≤ 𝑐 . 
 
d) Ley de tricotomía: Cualesquiera sean a y b números reales vale una y sólo una de las 
relaciones siguientes: a < 𝑏, 𝑎 = 𝑏, 𝑏 < 𝑎. 
 
 
Las siguientes propiedades muestran como la suma y el producto en ℝ, se vinculan con el 
orden . Sigamos considerando que las letras a, b y c representan números reales cualesquiera. 
3) Orden y suma: 
Si a ≤ b entonces a + c ≤ b + c. 
4) Orden y producto: Si a ≤ b y c es mayor que cero entonces a. c ≤ b. c 
 
Observación: por ejemplo si tomamos a = -2, b = 8 y c = 4. Como −2 ≤ 8 y 4 es positivo, se 
cumplen las dos condiciones que la propiedad pide. Entonces se afirma que (−2).4 ≤ 8.4 . Y es 
verdad porque -8 es menor que 32. Si ahora tomamos igual que antes a = -2 y b = 8 pero no 
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acatamos la condición c ≥ 0 y verificamos, por ejemplo, para c = -4 queda como conclusión 
que (−2)(−4) ≤ 8. (−4), es decir, 8 ≤ −32 que es ¡falso! porque todos sabemos que 8 > −32. 
 
Lo que tenemos hasta ahora es un estudio de una estructura algebraica para ℝ. 
 
Es decir, el conjunto de los números reales con la suma y el producto y las propiedades que ellas 
cumplen. Hablamos también del orden. 
Vamos a mostrar un ejemplo sencillo. Una ecuación que todos sabemos resolver rápidamente y 
está muy bien que así sea. No cambiaremos la forma de hacerlo. Sólo observaremos que todos los 
pasos están justificados por las propiedades que vimos. 
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación: 3x + 9 = 35 
 
(3−1). (3x + 9) = 3−1. 35 
 
Esta igualdad es verdadera porque como 3 ≠ 0, podemos aplicar la propiedad 𝑷𝟒 y las 
propiedades de la igualdad, específicamente la e). 
(3−1). (3x) + (3−1).9) = (3−1).35 
 
Esta igualdad también es cierta por la propiedad distributiva 
 
(3−1). (3)x + (3−1).9) = 3−1. 35 
 
También esta, porque 𝑷𝟏 permite asociar, más aún se puede por ello, prescindir de los paréntesis 
en este caso. 
 
 
 
1 
. 3. x + 3 = 
3 
 
1 
. 35 
3 
 
 
 
1. x + 3 = 7 
 
x + 3 + (−3) = 7 + (−3) ∗∗ 
 
x + 0 = 4 
 
x = 4 
 
Las últimas 4 son verdaderas, respectivamente por las propiedades 𝑷𝟒, 𝑷𝟑, 𝑺𝟒 en ∗∗ y 𝑺𝟑. 
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1 
Números enteros. 
Si cambiamos el conjunto de nuestro estudio, ℝ, por el conjunto de los números enteros 
(se simboliza ∶ ℤ), el producto no cumplirá todas las propiedades que se cumplían en ℝ. 
 
El conjunto ℤ es una parte del conjunto de los números reales. Está formado por el conjunto de los 
números naturales ( que se simboliza como ℕ) y los opuestos de cada uno de ellos. 
Pensemos ahora que solo contamos con los números enteros, es decir que ahora ℤ, será el conjunto 
del contexto y queremos saber si la suma y el producto cumplen las mismas propiedades que vimos 
que se cumplían en ℝ. Todas las propiedades de la suma y el producto que estudiamos en ℝ, se 
cumplen en ℤ, excepto la siguiente. 
Recordemos la propiedad: 
 
𝑷𝟒 : Existencia de inverso. Si a es un número real cualquiera (menos 0) existe a−1 , que es 
también un número real y cumple que: a.a−1= 1. (a−1 = 
a 
 
Veremos que esta propiedad no se cumple en el conjunto de los números enteros. Para demostrar 
que esta propiedad, o cualquier otra, no se cumple en ℤ, bastará con mostrar un número entero 
que no la cumple: 
El número 3 es evidentemente un número entero. 
 
_ ¿Tiene el 3 inverso multiplicativo? 
 
sí, claro! Es 1 
3 
porque 3. 1 = 1 
3 
 
_ ¿El número 1 es un número entero?: ¡claro que no! 
3 
 
Entonces, como el inverso de 3 no es un número entero, entonces en ℤ no existe el inverso de 3, es 
decir 3 no tiene inverso en ℤ. 
Luego la propiedad 𝑷𝟒 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 en ℤ. Podemos concluir que la estructura de ℤ no es la 
misma que la de ℝ. 
Como 𝑷𝟒 no se cumple, el resultado de dividir dos números enteros a y b, es decir a dividido b 
(b≠ 0), no es un número entero en general. 
Tenemos el concepto de divisibilidad en los números enteros: 
Sean a y b números enteros, b divide a a si existe un número entero k, tal quea = b.k 
 
Por ejemplo 9 divide a 36 porque existe 4, que es un número entero, tal que 36 = 9.4. Es decir que 
9 divide a 36 es equivalente a decir que 9 es un divisor de 36, que 9 es un factor de 36, que 36 es 
divisible por y que 36 es múltiplo de 9. 
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-5 divide a 30, porque existe -6, que es un número entero, tal que 30 = (-5).(-6). 
 
 
No vamos a probar el siguiente teorema en este curso. Como todo lo que exponemos en este 
capítulo, este teorema también es conocido, desde que aprendimos a dividir. Vamos a enunciarlo: 
Teorema del Algoritmo de la división: 
Si a y b son números enteros cualesquiera y b ≠ 𝟎 entonces existen y son únicos otros dos 
números enteros c (cociente) y r (resto) que verifican que 
a = b.c + r y 0 ≤ 𝒓 < |𝒃|. 
Por ejemplo si a = 17 y b = 3 existen cociente 5 y resto 2, como 0 ≤ 2 < b, cociente y resto son 
únicos y cumple que 17 = 3.5 +2. 
Observación: El teorema afirma que el resto, r, puede ser cero o positivo. En el caso en que el resto 
es 0, b divide a a, o b es un divisor de a. Y en el caso en el que el resto no es 0, b no divide a a. 
También en este contexto de los números enteros, vamos a recordar algo muy importante: los 
números enteros primos. 
Un número entero p es un número primo, cuando tiene exactamente cuatro divisores: 1, -1, p 
y –p. Estos divisores se llaman divisores triviales de un número entero. 
El 1 y el -1 no cumplen la condición, así que no son números primos 
Por ejemplo el número 6 tampoco, porque además de los divisores triviales : 1, -1, 6 y -6, tiene 
como divisores a 2, -2, 3, y -3. 
El 101 es primo. 
Hay otros teoremas importantísimos en la teoría de números enteros que recomendamos que sean 
consultados en la bibliografía de la cátedra o en internet. Como el que afirma que todo número 
entero tiene una factorización única como producto de números primos. Ese teorema se llama 
Teorema Fundamental de la Aritmética. Entre otros, también los que aseguran la existencia y 
unicidad del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo entre dos números enteros 
cualesquiera. No vamos a demostrarlos en este curso. 
Números racionales. 
Los números racionales también son una parte de los números reales. 
El conjunto de los números racionales se simboliza: ℚ. Vamos a caracterizarlo. Daremos una 
condición que tiene que cumplir un número real para ser un número racional. 
Un número q, es un número racional si se puede expresar como: q = 𝒂 
𝒃 
 
a y b tienen que ser 
números enteros y además b no puede ser cero. 
Pregunta ¿El número natural 5, es un número racional? 
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Respuesta: Si puede expresarlo como un cociente de números enteros con denominador que no sea 
cero, entonces sí. 
Claramente tanto los números naturales como los números enteros pueden expresarse así. Porque si 
a es un número entero positivo, negativo o cero se tiene que, como a =
 a
 
1 y 1 es un número 
entero no nulo, está perfectamente caracterizado. 
Esto justifica que todos los números naturales y los números enteros son también números 
racionales. 
Las operaciones suma y producto son cerradas en ℚ y cumplen las mismas propiedades que en ℝ. 
Pero recordemos cómo se suman y se multiplican los números racionales. 
Consideremos que p y q son números racionales cualesquiera. 
Entonces si p = a 
b 
y q = c 
d 
. Sabemos que a, b, c, y d son números enteros y que tanto b como d no 
pueden ser 0. 
p + q= a + 
c
 
 
= 
a.d+b.c 
b d b.d 
Observemos que la suma de números racionales es un número racional. Porque el numerador es 
suma de productos de números enteros, que al ser la suma y el producto operaciones cerradas en ℤ, 
resulta el numerador un número entero. El denominador también es un número entero y además no 
puede ser 0, ya que b y d no lo son. 
p.q = a . 
c
 = 
a.c 
b d b.d 
El producto de números racionales también resulta ser un número racional por similar observación a 
la dada anteriormente para la suma. 
Números racionales equivalentes: Dos números racionales a y 
c
 
 
son equivalentes si a.d = b.c 
 
Entonces, por ejemplo son equivalentes: 3 
2 
 
−3 9 
 
−2 6 
b 
 
−15 
 
−10 
d 
 
entre tantos otros. 
Seguramente que a todos nos gustaría quedarnos con el primero. Porque intuitivamente podemos 
pensar que representa mejor a todos los equivalentes. 
 
Por ello podemos decir que si p es un número racional, siempre se puede expresar como p = 𝐚 
𝐛 
donde a es un número entero, b es un número natural no nulo y además a y b no tienen 
factores comunes (la fracción que lo representa está simplificada o dicho de otra forma, es una 
fracción irreducible). 
La propiedad que analizaremos seguidamente, tiene que ver con la “densidad” de los números 
racionales en la recta real. Es decir trataremos de entender porqué dados dos racionales 
cualesquiera, entre ellos dos hay infinitos números racionales. 
Pensemos un poco antes. Por ejemplo, si buscamos números naturales entre 2 y 3, es decir números 
naturales estrictamente mayores que 2 y que a la vez que sean estrictamente menores que 3, no 
encontraremos ninguno. 
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Pero si queremos encontrar números racionales entre 2 y 3, podemos proceder así: buscamos, por 
ejemplo, el que está en el medio: 5 , después el que está en el medio entre 2 y 5, que es: 9 luego 
2 2 4 
el del medio entre 9 
4 
y 5 que es: 19 
2 8 
podemos seguir… (puede visualizarlo si dibuja esta 
situación en la recta real y va ubicando los puntos). Con este procedimiento podemos intuir que 
encontramos infinitos números racionales entre 2 y 3 y sólo nos ocupamos de los que estaban entre 
2 y 5 
2 
. Observemos también que este no es el único procedimiento. Para encontrar el del medio 
entre dos racionales, los sumamos y a la suma la dividimos por dos, pudimos haber dividido, en vez 
de hacerlo por 2, por 3 o 4 o 5,… y hay más procedimientos para encontrar números racionales 
entre 2 y 3 o entre dos racionales p y q, cualesquiera. 
Vamos a enunciar lo que justifica este procedimiento: 
Entre dos números racionales distintos hay otro número racional. 
Aquel alumno interesado en la demostración puede intentar hacerla, con ayuda de sus docentes. 
Entonces, alguien puede pensar que por la justificación mencionada arriba, los números 
racionales ocupan toda la recta real, pero eso no es así! 
Por otro lado, también podemos decir de los racionales, que tienen una representación decimal. 
Como un número racional es de la forma a con a número entero y b número natural no nulo, si 
b 
efectuamos la división, a dividido b, pueden ocurrir solo dos casos: 
 
Uno de ellos es que sea un número con finitas cifras decimales, como por ejemplo 3 = 0.375. 
8 
El otro caso es que sea una expresión decimal periódica, como por ejemplo: 5 
3 
= 1.666…= 1.6̅ o 
1 
= 0.1428571428571…. = 0.̅1̅4̅̅2̅̅8̅5̅̅7̅. 
7 
 
Podemos observar que la descripción de la expresión decimal de los números racionales puede ser 
sólo de los dos tipos mencionados. Puede observarse también que en esa descripción, excluimos 
aquellos números reales, cuya expresión decimal tiene infinitas cifras decimales no periódicas, 
esos números reales, claramente, no son racionales. El conjunto de todos los números reales que 
verifican la condición, de poseer infinitas cifras decimales no periódicas, es el conjunto de los 
números irracionales, que se simboliza I. 
 
Consecuencia de ello es que los números irracionales no pueden expresarse como 𝐚 , a número 
𝐛 
entero y b natural no nulo. 
Todo número real es un número racional o bien es un número irracional. 
Se puede probar, sin mucha dificultad como consecuencia del Teorema Fundamental de la 
Aritmética que, por ejemplo, el número real √2 es un número irracional. Y más aún, que la raíz 
cuadradade cualquier número primo positivo, es un número irracional. 
Seguramente ustedes conocen otros números irracionales trascendentes como por ejemplo 𝜋 y el 
número e. 
Recordemos otra operación definida en el conjunto de los números reales: la potencia de exponente 
natural. 
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Potencia de exponente natural: 
Vamos a definir la potencia de un número real, cuyo exponente es un número natural. 
 
Antes tengamos en cuenta que la definición tiene que evitar un problema: la indeterminación 𝟎𝟎, 
que no está definido, no es un número real, no existe. 
Es por eso que la definición de potencia se separa en dos casos, cuando r es un número real no nulo, 
el exponente puede ser cualquier número natural y luego si el número real es el cero, el exponente 
puede ser cualquier natural, menos el cero. Vamos a dar una definición: 
 
Si r≠ 𝟎, entonces { 
r0 = 1
 
rn = r. rn−1, n ≥ 1 
y si r = 0 entonces rn = 0, 𝐧 ≥ 𝟏. 
Algunas propiedades: Sean r y s números reales no nulos y m y n números naturales, se cumplen las 
siguientes igualdades : 
 
 
(r. s)n =rn. sn 
rn. rm = rn+m 
(rn )m= rn.m 
Y también queda definida la potencia negativa para todo número real no nulo. Ya que todo 
número entero negativo puede expresarse como – n, donde n es un número natural positivo. 
Entonces: si r no es cero: 
r−n= (r−1)n = (
 1
)
n 
y queda definido por lo expuesto antes. 
r 
 
Por último recordemos otra operación que no es cerrada en el conjunto de los números reales, es 
una operación definida parcialmente: la radicación. 
Radicación: 
Para algunos números reales, r, tiene sentido preguntarse si existe otro un número real s, talque 
sn = r. Donde n es un número natural mayor que 1. 
Analicemos los siguientes ejemplos: 
Para 16 ¿existe algún número real s, talque 𝑠2= 16? Respuesta: Sí, s = 4. Porque 42 = 16 
Para – 81, ¿existe algún número real s, talque 𝑠4= -81? Respuesta: NO, porque todo número real 
elevado a la a una potencia par, es mayor o igual que 0. 
Para -125 ¿existe algún número real s, tal que s3= - 125? Sí, s = -5. Porque (−5)3 = −125. 
Sean r un número real y n un número natural mayor que 1. 
ÁLGEBRA, CÁLCULO NUMÉRICO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA . CAPÍTULO 0. 
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Llamaremos raíz n-ésima de r, si es que existe, a un número real s, tal que 𝐬𝐧 = r. En ese caso 
se anotará: 𝐬 = 
𝐧
√𝐫. 
Los ejemplos anteriores motivan las siguientes propiedades: 
Si el índice n es impar entonces 
𝐧
√𝐫 es un número real. 
Si el índice n es par y r es mayor o igual a 0 entonces 
𝐧
√𝐫 es un número real, es decir que 
existe enℝ. 
 
En consecuencia: Si el índice n es par y r es menor que 0 entonces 
𝐧
√𝐫 NO es un número real. 
Por último queda por definir la potencia de exponente fraccionario 𝐦 
𝐧 
donde m es un número 
entero y n un número natural mayor o igual a 1. Resultará una operación parcial en ℝ, es decir que 
por lo expuesto antes, no quedará definida para todo número real r, luego, en el caso en que exista, 
 𝐦 𝐧 𝐦 
𝐫 𝐧 = √𝐫 . 
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	APUNTE TEÓRICO
	-La matemática es la reina de la ciencia y la aritmética la reina de la matemática.-Carl Friedrich Gauss, 1777-1855.
	-“Obvio” es la palabra más peligrosa del mundo en matemáticas.-E. T. Bell.
	Propiedad distributiva del producto con respecto a la suma.
	Relaciones entre números reales:
	3) Orden y suma:
	Números enteros.
	Teorema del Algoritmo de la división:
	Si a y b son números enteros cualesquiera y b ≠ 𝟎 entonces existen y son únicos otros dos números enteros c (cociente) y r (resto) que verifican que
	Un número entero p es un número primo, cuando tiene exactamente cuatro divisores: 1, -1, p y –p. Estos divisores se llaman divisores triviales de un número entero.
	Números racionales.
	Un número q, es un número racional si se puede expresar como: q = 𝒂
	a y b tienen que ser
	Esto justifica que todos los números naturales y los números enteros son también números racionales.
	Por ello podemos decir que si p es un número racional, siempre se puede expresar como p = 𝐚
	Entre dos números racionales distintos hay otro número racional.
	Entonces, alguien puede pensar que por la justificación mencionada arriba, los números racionales ocupan toda la recta real, pero eso no es así!
	Consecuencia de ello es que los números irracionales no pueden expresarse como 𝐚 , a número
	entero y b natural no nulo.
	Radicación:
	Llamaremos raíz n-ésima de r, si es que existe, a un número real s, tal que 𝐬𝐧 = r. En ese caso se anotará: 𝐬 = 𝐧√𝐫.
	Si el índice n es impar entonces 𝐧√𝐫 es un número real.