Definição de Integral e Teoremas de Limite

Vista previa del material en texto

Algunos comentarios sobre la definición de la integral y los
teoremas de paso al ĺımite
Ante todo, ya sabemos que existen conjuntos y funciones no medibles y que no hay
mucho que podamos hacer con ellos, aśı que a partir de ahora todos los conjuntos y funciones
a los que nos refiramos en la teoŕıa son medibles, salvo expresa aclaración en contrario. Por
supuesto, para aplicar los resultados en situaciones concretas habrá que asegurarse de que
éste es efectivamente el caso.
Empecemos con la definición de integral de Lebesgue. Si E ⊂ Rn y f : E → R es
una función no negativa, consideramos todas las particiones de E como unión finita de
conjuntos disjuntos, π : E = ∪Ni=1Ei, y definimos∫
E
f = sup
π
N∑
i=1
vim(Ei),
donde vi = ı́nfx∈Ei f(x) y el supremo se toma sobre todas las particiones (el valor de N
depende de cada partición). Recordemos que, como f puede tomar los valores −∞,+∞,
usamos la convención 0 · ∞ =∞ · 0 = 0 que introdujimos anteriormente.
¿Notan algo raro en esta definición? Hab́ıamos dicho que la idea de Lebesgue consist́ıa
en tomar particiones de la imagen de f , digamos y0 < y1 < . . . < yN+1 , y que las
aproximaciones que ı́bamos a usar seŕıan de la forma
N∑
i=0
y∗i m(Ei)
con Ei = f
−1([yi, yi+1]) e y
∗
i algún valor entre yi e yi+1. Pero en la definición que acabamos
de dar, los Ei pueden ser cualquier descomposición de E en finitos conjuntos disjuntos.
¿Por qué? Informalmente, al tomar vi como el ı́nfimo de f sobre Ei, las aproximaciones
que estamos tomando dan todas áreas menores o iguales a la que encierra el gráfico de f ,
y, si una suma está asociada a una descomposición que no proviene de tomar los Ei como
preimágenes por f de intervalos de R, podemos conseguir otra descomposición que śı sea de
esta forma y tal que la suma asociada sea mayor o igual que la primera. La ventaja es que
la definición con particiones cualesquiera simplifica las demostraciones (ver, por ejemplo,
la demostración de (5.1)) y, como no vamos a calcular integrales por definición salvo en
casos muy simples, tomar todas las particiones posibles no nos trae ningún problema.
Volviendo a la definición de integral, es bastante inmediato que la suma
∑N
i=1 vim(Ei)
corresponde a la integral de la función simple ϕ que vale vi en cada conjunto Ei (i =
1, . . . , N), es decir ϕ =
∑N
i=1 viχEi . Como la integral de una f no negativa en E es tomar
el supremo sobre todas estas sumas, es razonable esperar entonces que∫
E
f = sup
0≤ϕ≤f
∫
E
ϕ
donde el supremo se toma sobre todas las funciones simples no negativas ϕ tales que
0 ≤ ϕ ≤ f en E (ver Propiedad (5.4)). De hecho, en muchos libros, directamente se usa
ésta como definición de integral de una función no negativa (habiendo definido previamente
la integral de una función simple no negativa como la suma de los valores que toma por la
medida de los conjuntos donde los toma).
Una vez que tenemos definida la integral para funciones no negativas, podemos pasar a
funciones con distinto signo recordando que f se puede descomponer como resta de su parte
positiva y su parte negativa, f = f+ − f−. Decimos que f es integrable en E, si tanto f+
como f− son integrables por separado en E y, en ese caso, definimos
∫
E f =
∫
E f
+−
∫
E f
−.
Esta definición es muy razonable, entre otras cosas porque queremos que la integral
sea lineal (aśı que la integral de la suma tiene que ser la suma de las integrales), pero no
admite que haya cancelaciones entre las integrales de f+ y f− si las dos divergen a la misma
“velocidad”. Es el caso de la función f : (0+∞)→ R, f(x) = x−1 sen(x) que, como saben,
tiene una integral impropia condicionalmente convergente en el sentido de Riemannn, pero
que no es integrable Lebesgue. De hecho, que esta función no es integrable (Lebesgue)
se puede demostrar con la misma cuenta que se hace para ver que no es absolutamente
convergente como integral impropia de Riemann, porque como |f | = f+ + f−, nuestra
definición de ser integrable es equivalente a decir que f es integrable si y sólo si |f | es
integrable (ver Proposición (5.10)).
¿Entonces no hay forma de tomar en cuenta las cancelaciones de f+ y f− del ejemplo
anterior? En realidad śı, podemos decir que existe el ĺımite
ĺım
k→∞
∫ k
0
sen x
x
dx
sólo que ese ĺımite no es igual a integrar la función f en (0,+∞). En otras palabras, para
la integral de Riemann usamos la notación de poner como extremo de integración ∞ para
indicar el ĺımite de las integrales en los intervalos acotados [0, k] (ya que sólo podemos
definir la integral en intervalos acotados), pero la integral de Lebesgue śı se puede definir
en (0,+∞), y en el ejemplo se ve que eso no es igual a tomar ĺımite de las integrales en los
intervalos [0, k]. Notemos que si escribimos
ĺım
k→∞
∫ k
0
sen x
x
dx = ĺım
k→∞
∫ ∞
0
sen x
x
χ(0,k)(x) dx,
lo que estamos diciendo es que en este caso no se puede intercambiar el ĺımite con la
integral. Puesto aśı no es sorprendente, y no hace falta que la función oscile o que esté
definida en un intervalo no acotado para que ĺımite e integral no se puedan intercambiar,
en el libro tienen el ejemplo mucho más simple de fk : [0, 1]→ R, fk(x) = kχ(0,1/k)(x), que
son funciones positivas en un intervalo acotado.
Lo que nos interesa responder es bajo qué hipótesis śı se puede intercambiar ĺımite e
integral, y tenemos tres resultados:
Teorema de convergencia monótona (o de Beppo-Levi): si 0 ≤ f1 ≤ f2 ≤ . . . es una
sucesión creciente de funciones no negativas definidas en E y f es su ĺımite puntual,
entonces ∫
E
f = ĺım
k→∞
∫
E
fk
(ver teorema (5.6)).
Lema de Fatou: si (fk)k∈N es una sucesión de funciones no negativas definidas en E,
entonces ∫
E
(ĺım inf
k→∞
fk) ≤ ĺım inf
k→∞
∫
E
fk
(ver lema (5.9)).
Teorema de convergencia mayorada (o dominada): si (fk)k∈N es una sucesión de
funciones definidas en E que converge puntualmente a f , y tal que existe una función
Φ integrable sobre E que verifica |fk| ≤ Φ para todo k ∈ N, entonces∫
E
f = ĺım
k→∞
∫
E
fk
(ver corolario (5.14)).
Observen, además, que los tres resultados siguen valiendo si las hipótesis se verifican
en casi todo punto de E (¿por qué?). También pueden analizar qué falla en los ejemplos
anteriores (en realidad, el lema de Fatou śı vale para el segundo ejemplo, y muestra que a
veces la desigualdad puede ser estricta).
Como les dije la primer clase, los resultados de paso al ĺımite bajo la integral están
entre los más importantes de la materia y son el motivo por el que los matemáticos usamos
la integral de Lebesgue: tienen hipótesis mucho menos restrictivas y mucho más fáciles de
verificar en la práctica que los teoremas de paso al ĺımite para la integral de Riemann, por
eso fueron fundamentales para el avance del análisis en el siglo XX.
También nos podemos preguntar qué se puede decir si f en lugar de tomar valores en
R toma valores en C. En ese caso, podemos escribir f = f1 + if2, donde f1 y f2 son las
partes real e imaginaria de f , respectivamente, y de manera análoga a como hicimos para
pasar de funciones no negativas a funciones a valores reales, decimos que f es integrable
si y sólo si su parte real y su parte imaginaria (que toman valores reales) lo son, y en ese
caso definimos ∫
E
f =
∫
E
f1 +
∫
E
f2.
También en este caso vale que ∣∣∣∣∫
E
f
∣∣∣∣ ≤ ∫
E
|f |
(ver proposición (5.19)) y vale el teorema de convergencia mayorada (observar que la ma-
yorante integrable Φ sigue siendo una función a valores reales), que es el único de los
tres resultados de paso al ĺımite cuyas hipótesis tienen sentido cuando pasamos a valores
complejos (en C no tiene sentido hablar de funciones no negativas).
El teorema de convergencia monótona es frecuentemente el paso clave cuando queremos
usar la estrategia que mencioné en los comentarios del caṕıtulo anterior para probar un
resultado que involucra integrales. Dijimos que la idea era empezar por probar el resultado
para una función caracteŕıstica (el casomás fácil posible), después para funciones simples
no negativas, y pasar a funciones no negativas cualesquiera usando que son ĺımite puntual
de una sucesión creciente de funciones simples no negativas. Si hay una integral de por
medio, esto encaja perfectamente en las hipótesis del teorma de convergencia monótona. Y
después sólo hay que usar la linealidad para pasar al caso de funciones con distinto signo y
funciones que toman valores en C, si es el caso. Esta estrategia de demostración se usa, por
ejemplo, para probar la invariancia por traslaciones de la integral (ver Proposición (5.20)),
préstenle especial atención porque les va a resultar útil en algunos ejercicios.
El teorema de convergencia monótona también interviene en la demostración de una
propiedad fundamental de la integral, que es la absoluta continuidad. Esto quiere decir que
si fijamos una función integrable f : Rn → C y pensamos a la integral como una función de
los conjuntos medibles en C, digamos φ :M→ C, φ(E) =
∫
E f , esta función verifica que
dado ε > 0 existe un δ > 0 (que sólo depende de ε) tal que m(E) < δ implica |φ(E)| < ε.
Además, ya sabemos por las propiedades de la integral que la función φ es σ-aditiva. La
rećıproca de este resultado es consecuencia de uno de los últimos teoremas que veremos
(en un contexto más general), que es el Teorema de Radon-Nikodym.
Por último, entre las propiedades de la integral no pod́ıa faltar su comparación con la
integral de Riemann. Como les comenté la primer clase, aśı como hay un motivo por el que
los matemáticos usamos la integral de Lebesgue, que podemos resumir como “es mejor para
demostrar teoremas”; hay otro por el cual los ingenieros, economistas y demás personas
que pueden necesitar calcular una integral usan la integral de Riemann: la definición es más
intuitiva y, en principio, es más fácil de calcular. Pero además, si una función es integrable
Riemann en [a, b], entonces es integrable Lebesgue y las integrales coinciden, aśı que en
esos casos estamos hablando de lo mismo.
Ya vimos que con las integrales impropias (de Riemann) condicionalmente convergentes
esto no es cierto, les dejo para que piensen: ¿qué podemos decir de una integral impropia
absolutamente convergente?¿es igual a la integral en el sentido de Lebesgue? (como suge-
rencia, pueden ver cómo escrib́ı la integral impropia más arriba, y si alguno de los resultados
de paso al ĺımite sirve).
Por otro lado, quizás recuerden que en Análisis 1 solemos dar varias condiciones sufi-
cientes para que una función sea integrable Riemann en [a, b], pero no una caracterización.
Lo podemos hacer apelando a la medida de Lebesgue, más precisamente:
Proposición. Una función f : [a, b] → R acotada es integrable Riemann si y sólo si es
continua en casi todo punto de [a,b] (es decir, si el conjunto de puntos de discontinuidad
tiene medida nula en el sentido de Lebesgue).
Demostración. Voy a seguir la notación de la sección 10 (cap. V) del libro, pero necesitamos
algunas definiciones más: dado δ > 0, para x, y ∈ [a, b] definimos:
Mδ(x) = sup{f(y) : |x− y| < δ} y mδ(x) = ı́nf{f(y) : |x− y| < δ}.
Observen que, a medida que δ se achica, Mδ se achica y mδ se agranda (para cada x fijo).
Por lo tanto, podemos definir:
la envolvente semicontinua superior : M(x) = ĺımδ→0+ Mδ(x) = ı́nfδ>0Mδ(x)
la envolvente semicontinua inferior : m(x) = ĺımδ→0+ mδ(x) = supδ>0mδ(x)
Les dejo para que prueben algunas propiedades: M es semicontinua superiormente y m
es semicontinua inferiormente, es decir, que para todo α ∈ R los conjuntos {M < α} y
{m > α} son abiertos (relativos al intervalo [a, b]). En particular, esto implica que M y m
son funciones medibles. Además, vale que m(x) ≤ f(x) ≤ M(x) para todo x ∈ [a, b] y se
puede ver que f es continua en x0 ∈ [a, b] si y sólo si f(x0) = m(x0) = M(x0).
Para cada partición π : a = x0 < x1 < . . . < xn = b del intervalo [a, b], llamamos norma
de la partición a ‖π‖ = máxi=1,...,n |xi−xi−1|. Si tomamos una sucesión de particiones π1 <
π2 < . . . (esto quiere decir que cada una refina a la anterior) tales que ĺımk→∞ ‖πk‖ = 0,
podemos definir para cada una las funciones ϕk y ψk correspondientes como en la sección
10, es decir,
ϕk(x) =
n∑
i=1
miχJi(x) ψk(x) =
n∑
i=1
MiχJi(x)
(n, Ji y mi dependen k, es decir de la partición).
Afirmamos que ĺımk→∞ ϕk(x) = m(x) y ĺımk→∞ ψk(x) = M(x) siempre que x no sea
un punto de división de alguna de las πk (en particular, son ĺımites en casi todo punto).
Veamos la afirmación para ĺımψk, la otra es análoga: dado ε > 0, tomemos δ tal que
Mδ(x) < M(x) + ε. Como x no es punto de división de ninguna πk y ĺımk→∞ ‖πk‖ = 0,
existe k0 tal que la medida de los intervalos de πk0 es menor que δ y x pertenece al interior
de uno de esos intervalos. Entonces ψk(x) ≤Mδ(x) < M(x) +ε para todo k ≥ k0. Además,
M(x) ≤ ψk(x), aśı que juntando ambos tenemos que M(x)− ε < ψk(x) < M(x) + ε para
k ≥ k0. En otras palabras, ĺımk→∞ ψk(x) = M(x).
Como ϕk, ψk están acotadas y estamos integrando en [a, b], podemos usar el teorema
de convergencia mayorada para obtener∫ b
a
M(x) dx = ĺım
k→∞
∫ b
a
ϕk(x) dx = ĺım
k→∞
S(πk)
y ∫ b
a
m(x) dx = ĺım
k→∞
∫ b
a
ψk(x) dx = ĺım
k→∞
s(πk)
donde S(πk), s(πk) son las sumas superiores e inferiores de Riemann asociadas a la partición
πk, respectivamente.
Ahora, sabemos que f es integrable Riemann en [a, b] si y sólo si ĺımk→∞ S(πk) =
ĺımk→∞ s(πk). Por lo anterior, esto es equivalente a tener∫ b
a
M(x) dx =
∫ b
a
m(x) dx
o, equivalentemente, ∫ b
a
[M(x)−m(x)] dx = 0.
Pero el integrando de esta última integral es no negativo, aśı que la igualdad vale si y sólo
si M(x) − m(x) = 0 (que automáticamente implica M(x) = m(x) = f(x)) en casi todo
punto de [a, b]. Por lo tanto, f es integrable Riemann si y sólo si es continua en casi todo
punto de [a, b].