Espacios Lp: Funções Integráveis

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Espacios Lp
Como ya venimos haciendo, todos los conjuntos y funciones a los que nos referimos son
medibles.
Lo que queremos hacer ahora es estudiar los espacios de funciones que integrables y,
más en general, integrables cuando las elevamos a alguna potencia. Recuerden que en la
introducción a la materia les conté que cuando trabajamos con la integral de Riemann,
estos espacios no son muy interesantes porque no tienen buenas propiedades, por eso es
una ventaja (otra más) trabajar con la integral de Lebesgue.
1. Funciones equivalentes
Para tomar en cuenta que la integral no distingue funciones iguales en casi todo punto,
dado E ⊂ Rn, en las funciones f : E → C podemos definir una relación de equivalencia de
la siguiente forma:
f ' g si y sólo si f = g en casi todo punto de E
Les dejo para que prueben que efectivamente es una relación de equivalencia. Además, es
importante hacer la siguiente observación:
Observación 1.1. Si f1 ' f2, g1 ' g2 y α ∈ C, entonces
1. f1 + g1 ' f2 + g2
2. f1 · g1 ' g1 · g2
3. α · f1 ' α · f2
Demostración. Veamos cómo se prueba la primer propiedad, les dejo para que hagan las
otras dos. Notemos que
{f1 + g1 6= f2 + g2} ⊂ {f1 6= g1} ∪ {f2 6= g2},
aśı que tomando medida obtenemos que
m({f1 + g1 6= f2 + g2}) ≤ m({f1 6= g1})︸ ︷︷ ︸
=0
+m({f2 6= g2})︸ ︷︷ ︸
=0
= 0
y esto prueba lo que queŕıamos.
Por comodidad, es habitual identificar a todas las funciones de una misma clase de
equivalencia, aśı que en adelante escribiremos f = g en vez de f ' g (sin aclarar que esta
igualdad es en casi todo punto).
2. Espacios Lp
Definición 2.1. Dado 1 ≤ p <∞, definimos la norma p de f (sobre el conjunto E) como
‖f‖p = ‖f‖Lp(E) =
(∫
E
|f |p dx
) 1
p
(puede ser infinito si |f |p no es integrable).
Definición 2.2. Si p =∞, definimos la norma infinito de f (sobre el conjunto E) como
‖f‖∞ = ‖f‖L∞(E) = ı́nf{c ∈ R : |f(x)| ≤ c en casi todo punto de E}.
Observación 2.3. Como el ı́nfimo es sobre R, podŕıa valer ∞. Si ‖f‖∞ 6= ∞, podemos
escribir
{x ∈ E : |f(x)| > ‖f‖∞} =
∞⋃
n=1
{
x ∈ E : |f(x)| > ‖f‖∞ +
1
n
}
Como cada uno de los conjuntos de la derecha es de medida nula, entonces m({|f | >
‖f‖∞}) = 0. En otras palabras, vale que |f(x)| ≤ ‖f‖∞ para casi todo x ∈ E.
Además, esto quiere decir que ‖f‖∞ es uno de los elementos del conjunto sobre el que
tomamos ı́nfimo, aśı que en realidad se trata de un mı́nimo.
Observación 2.4. Si f = g (recuerden que en realidad esto quiere decir f ' g), entonces
‖f‖p = ‖g‖p para todo 1 ≤ p ≤ ∞, ya que las definiciones anteriores no distinguen
funciones iguales en casi todo punto.
El nombre de “norma infinito”viene de la siguiente propiedad:
Proposición 2.5. Si ‖f‖q <∞ para algún q <∞, entonces ĺımp→∞ ‖f‖p = ‖f‖∞.
Demostración. Si ‖f‖∞ = 0, entonces f = 0 en casi todo punto de E, y la igualdad es
trivial.
Supongamos entonces que ‖f‖∞ > 0 y veamos que vale la igualdad.
Por un lado, si p > q podemos escribir∫
E
|f |p dx =
∫
E
|f |p−q|f |q dx ≤ ‖f‖p−q∞
∫
E
|f |q dx
de donde, elevando a la 1p , obtenemos
‖f‖p ≤ ‖f‖
1− q
p
∞
(∫
E
|f |q dx
) 1
p
.
Si ahora consideramos p→∞ (recordemos que
∫
E |f |
q dx <∞ por hipótesis) nos queda
ĺım sup
p→∞
‖f‖p ≤ ‖f‖∞. (1)
Por otro lado, sea α tal que 0 < α < ‖f‖∞ y sea A = {x ∈ E : |f | > α}. Entonces,
∞ >
∫
E
|f |q dx ≥
∫
A
|f |q dx ≥ αqm(A)
aśı que deducimos que m(A) <∞. Si escribimos∫
E
|f |p dx ≥
∫
A
|f |p dx ≥ αpm(A)
y elevamos a la 1p tenemos entonces que
‖f‖p ≥ αm(A)
1
p
de donde, tomando p→∞, resulta
ĺım inf
p→∞
‖f‖p ≥ α.
Como esto vale para todo 0 < α < ‖f‖∞ se sigue que
ĺım inf
p→∞
‖f‖p ≥ ‖f‖∞. (2)
Luego, por (1) y (2), vale que ĺımp→∞ ‖f‖p = ‖f‖∞
En las definiciones anteriores permitimos que las distintas normas p (esto incluye a la
norma infinito) valgan infinito, pero queremos estudiar las funciones que śı resultan tener
norma p finita, por eso introducimos la siguiente definición:
Definición 2.6. Para 1 ≤ p ≤ ∞, el espacio de funciones Lp(E) se define por
Lp(E) = {f : ‖f‖p < +∞}
Observación 2.7. Si f es una función que toma valores complejos, sabemos que f =
f1 + if2 con f1, f2 funciones a valores reales y que
|f1|, |f2| ≤ |f | ≤ |f1|+ |f2|,
aśı que f ∈ Lp(E) si y sólo si f1, f2 ∈ Lp(E).
Observación 2.8. Lp está en realidad formado por las clases de equivalencia respecto a
la relación ' que definimos antes, pero como estamos identificando funciones en la misma
clase podemos pensarlo como un espacio de funciones. Al principio puede resultar un poco
confuso, pero ya veremos que es mucho más cómodo.
Observación 2.9. L1 es simplemente el espacio de funciones integrables Lebesgue. Pa-
ra 1 < p < ∞, f ∈ Lp si y sólo si |f |p es integrable. L∞ es el espacio de funciones
esencialmente acotadas (es decir, acotadas en casi todo punto).
3. Desigualdades fundamentales y estructura de Lp
El siguiente es un primer resultado que dice que el espacio que acabamos de definir es
razonable para trabajar, ya que tiene estructura de espacio vectorial.
Teorema 3.1. Si 1 ≤ p ≤ ∞, Lp(E) es un espacio vectorial sobre C.
Demostración. Supongamos que f, g ∈ Lp(E) y α ∈ C, debemos probar que f + g ∈ Lp(E)
y α · f ∈ Lp(E). Como las definiciones de la norma son distintas según si 1 < p < ∞ o
p =∞, dividimos la demostración en casos.
Caso 1 ≤ p <∞:
Observen que
|f + g|p ≤ (|f |+ |g|)p ≤ (2 máx{|f |, |g|})p = 2p máx{|f |p, |g|p}
y que
|c · f |p = |c|p|f |p
aśı que integrando tenemos∫
E
|f + g|p dx ≤ 2p
∫
E
máx{|f |p, |g|p} dx <∞
y ∫
E
|α · f |p dx = |α|p
∫
E
|f |p dx <∞
Caso p =∞:
Observen que
|f + g| ≤ |f |+ |g| ≤ ‖f‖∞ + ‖g‖∞
(en el último paso usamos la observación 2.3) aśı que c = ‖f‖∞ + ‖g‖∞ es una constante
tal que |f + g| ≤ c en casi todo punto de E. Como por definición ‖f + g‖∞ es la mı́nima
de estas constantes, entonces
‖f + g‖∞ ≤ ‖f‖∞ + ‖g‖∞ <∞
Además,
|α · f | = |α||f | ≤ |α|‖f‖∞
en casi todo punto de E, aśı que con un razonamiento como el anterior, tenemos que
‖α · f‖∞ = |α|‖f‖∞ <∞
También tiene sentido definir un nuevo tipo de convergencia, que se suma a los que ya
conocemos.
Definición 3.2. Dado 1 ≤ p ≤ ∞, decimos que fn → f en Lp(E) si ĺımn→∞ ‖fn−f‖p = 0.
Observen que aunque usamos el nombre de “normas p”, todav́ıa no estamos en condi-
ciones de probar que efectivamente las que definimos son normas sobre el espacio vectorial
Lp(E) (porque para 1 ≤ p < ∞ todav́ıa no sabemos si vale la desigualdad triangular).
Las desigualdades a continuación nos van a permitir demostrar esto y otras propiedades
importantes de los espacios y de la convergencia en Lp.
Proposición 3.3. (Desigualdad de Young) Sean a, b ≥ 0. Entonces, para todo 1 < p <∞,
ab ≤ a
p
p
+
bp
′
p′
(3)
donde p′ = pp−1 .
Demostración. Observen que si a = 0 o b = 0, la desigualdad es trivial, aśı que podemos
suponer que a, b > 0.
Recordarán de Análisis 1 que ln(x) es una función cóncava y que, por lo tanto, dados
α, β > 0 tales que α+ β = 1 se verifica que
ln(αx+ βy) ≥ α lnx+ β ln y = lnxα + ln yβ = ln(xα.yβ)
Por lo tanto
αx+ βy ≥ xα.yβ
Si ahora tomamos x = a
1
α , y = b
1
β (son positivos porque estamos en el caso a, b > 0) nos
queda
αa
1
α + βb
1
β ≥ ab
y si en esta desigualdad reemplazamos p = 1α , entonces p
′ = pp−1 =
1
1−α =
1
β , por lo que
finalmente nos queda
ap
p
+
bp
′
p′
≥ ab
Definición 3.4. Dado 1 < p <∞, p′ = pp−1 se llama exponente conjugado de p, y verifica
la relación 1p +
1
p′ = 1. Es inmediato que p
′ > 1 y (p′)′ = p.
Además, esta definición se puede extender al caso p = 1 tomando p′ = ∞ y al caso
p =∞ tomando p′ = 1 (en estos casos usamos la convención 1∞ = 0).
Teorema 3.5. (Desigualdad de Hölder) Si 1 ≤ p ≤ ∞ y 1p +
1
p′ = 1, entonces ‖fg‖1 ≤
‖f‖p‖g‖p′.
Demostración. Cuando p =∞, la desigualdad que debemos probar es∫
E
|fg| dx ≤ ‖f‖∞
∫
E
|g| dx
que es inmediata usando que |f(x)| ≤ ‖f‖∞ para casi todo x ∈ E. Igual de inmediata es
la desigualdad en el caso p = 1.
Para probar el caso 1 < p <∞, podemos suponer ‖f‖p , ‖g‖p′ <∞, porque sino el lado
derecho es infinito y ladesigualdad es trivial. También podemos suponer que ‖f‖p , ‖g‖p′ >
0, porque si alguna de las normas es igual a cero, entonces fg = 0 en casi todo punto y los
dos lados de la desigualdad se anulan.
Hechas estas observaciones, aplicamos la desigualdad (3) a
a =
|f |
‖f‖p
b =
|g|
‖g‖p′
y nos queda
|f ||g|
‖f‖p‖g‖p′
≤ |f |
p
p‖f‖pp
+
|g|p′
p′‖g‖p
′
p′
Integrando esta desigualdad obtenemos∫
E
|f ||g|
‖f‖p‖g‖p′
dx ≤
∫
E
|f |p
p‖f‖pp
dx+
∫
E
|g|p′
p′‖g‖p
′
p′
dx =
1
p
‖f‖pp
‖f‖pp
+
1
p′
‖g‖p
′
p′
‖g‖p
′
p′
=
1
p
+
1
p′
= 1
de donde se sigue que ∫
E
|fg| dx ≤ ‖f‖p‖g‖p′
como queŕıamos.
Observación 3.6. Cuando p = 2, p′ = 2 y la desigualdad ‖fg‖1 ≤ ‖f‖2‖g‖2 se conoce
con el nombre de desigualdad de Cauchy-Schwarz.
Corolario 3.7. (Desigualdad de Hölder generalizada) Si 1 ≤ pi ≤ ∞ para i = 1, . . . , k y
k∑
i=1
1
pi
= 1
entonces ∫
E
|f1(x)f2(x) . . . fk(x)| dx ≤
k∏
i=1
‖fi‖pi
Demostración. Se prueba por inducción en el número de factores, se los dejo como ejercicio.
El siguiente es un ejemplo de cómo se usa la desigualdad de Hölder. El punto clave
siempre es elegir el exponente con el que aplicar la desigualdad, que depende de qué norma
p queremos hacer aparecer.
Proposición 3.8. Si m(E) <∞ y 1 ≤ p1 < p2 ≤ ∞, entonces Lp2(E) ⊂ Lp1(E).
Demostración. Supongamos primero que p2 6= ∞ y sea f ∈ Lp2(E). Queremos ver que
f ∈ Lp1(E). Escribimos ∫
E
|f |p1 dx =
∫
E
|f |p1χE dx
y vamos a aplicar la desigualdad de Hölder a las funciones |f |p1 y χE con exponente r = p2p1
(esto es porque queremos que aparezca la integral de |f |p2). Observen que r > 1 y su
exponente conjugado es r′ = p2p2−p1 . Tenemos entonces∫
E
|f |p1 dx ≤
(∫
E
|f |p1r dx
) 1
r
(∫
E
χr
′
E dx
) 1
r′
=
(∫
E
|f |p2 dx
) p1
p2
m(E)
p2−p1
p2
Elevando esta desigualdad a la 1p1 nos queda(∫
E
|f |p1 dx
) 1
p1
≤
(∫
E
|f |p2 dx
) 1
p2
m(E)
p2−p1
p2p1 <∞
lo que prueba que f ∈ Lp1(E).
Nos falta ver el caso p2 =∞. En este caso podemos escribir∫
E
|f |p1 dx ≤ ‖f‖p1∞m(E)
y elevando la desigualdad a la 1p1 obtenemos(∫
E
|f |p1 dx
) 1
p1
≤ ‖f‖∞m(E)
1
p1 <∞
lo que termina la demostración.
Corolario 3.9. Si m(E) <∞, 1 ≤ p1 < p2 ≤ ∞ y fn → f en Lp2 entonces fn → f Lp1.
Demostración. Si fn → f in Lp2 , entonces ĺımn→∞ ‖fn− f‖p2 = 0. Siguiendo la demostra-
ción anterior se deduce que entonces ĺımn→∞ ‖fn − f‖p1 = 0.
Observación 3.10. La hipótesis m(E) < ∞ es necesaria. Por ejemplo, si f : R → R,
f(x) = c con c 6= 0, entonces es inmediato que f ∈ L∞(R) pero f 6∈ Lp(R) para 1 ≤
p < ∞. Y la función f : (0,∞) → R, f(x) = x−
1
p1 cumple que f ∈ Lp2((0,∞)) para
1 ≤ p1 < p2 <∞ pero f 6∈ Lp1((0,∞)).
Para relacionar la convergencia en Lp con los otros tipos de convergencia que conocemos,
vamos a usar la siguiente generalización de la desigualdad de Chebyshev que ya vimos (y
que correspond́ıa al caso p = 1):
Proposición 3.11. (Desigualdad de Chebyshev) Sea 1 ≤ p < ∞, f ∈ Lp(E) y δ > 0.
Entonces
m(E(|f | > δ)) ≤ 1
δp
‖f‖pp
Demostración. Si A = E(|f | > δ), entonces
‖f‖pp =
∫
E
|f |p dx ≥
∫
A
|f |p dx ≥
∫
A
δp dx = δpm(A)
y dividiendo por δp tenemos el resultado.
Corolario 3.12. Si 1 ≤ p ≤ ∞ y (fn) es una sucesión de Cauchy en Lp(E), entonces (fn)
es de Cauchy en medida en E. Por lo tanto, existen una subsucesión (fnk) y una función
finita f tal que fnk → f en casi todo punto de E. Además fn
m−→ f en E.
Demostración. Sea δ > 0. Tenemos que probar que ĺımm,n→∞m(E(|fn − fm| ≥ δ)) = 0.
Si p = ∞, la demostración es inmediata, ya que por hipótesis existe n0 tal que ‖fn −
fm‖∞ < δ para todo n,m ≥ n0. Pero entonces |fn(x)−fm(x)| ≤ ‖fn−fm‖∞ < δ para casi
todo x ∈ E (si n,m ≥ n0), o sea que
ĺım
m,n→∞
m(E(|fn − fm| ≥ δ)) = 0
Si 1 ≤ p <∞, como (fn) es de Cauchy en Lp, dado ε > 0 existe n0 tal que si n,m ≥ n0,
entonces
‖fn − fm‖p < δ ε
1
p
Entonces, por la desigualdad de Chebyshev, si n ≥ n0,
m(E(|fn − fm| ≥ δ)) ≤
1
δp
‖fn − fm‖pp <
1
δp
δp ε = ε
lo que prueba que (fn) es de Cauchy en medida. Que esto implica el resto del enunciado
ya lo hab́ıamos probado cuando estudiamos los distintos tipos de convergencia.
Observación 3.13. Por el corolario anterior, si una sucesión (fn) converge a f en L
p,
entonces fn
m−→ f . La rećıproca no es cierta, pero vale una rećıproca parcial pidiendo la
hipótesis adicional |fn| ≤ g para todo n ∈ N y alguna g ∈ Lp. Lo dejo para que lo escriban
ustedes (los ejercicios 2 y 12 de la gúıa 4 son el caso p = 1 de este resultado).
Volviendo al problema de probar desigualdades que impliquen propiedades importantes
de los espacios Lp, vamos a probar la desigualdad triangular que nos falta:
Teorema 3.14. (Desigualdad de Minkowski) Si 1 ≤ p ≤ ∞, ‖f + g‖p ≤ ‖f‖p + ‖g‖p.
Demostración. Si p =∞, ya probamos esto en el Teorema 3.1.
Si p = 1, es claro que ∫
E
|f + g| dx ≤
∫
E
|f | dx+
∫
E
|g| dx
Supongamos ahora que 1 < p <∞, que ‖f‖p <∞, ‖g‖p <∞ y ‖f + g‖p > 0 (los casos
restantes son todos inmediatos). Vamos a separar convenientemente el integrando y usar
la desigualdad de Hölder con exponentes p, p′ (para hacer aparecer las normas p de f y g):
‖f + g‖pp =
∫
E
|f + g|p dx
=
∫
E
|f + g||f + g|p−1 dx
≤
∫
E
|f ||f + g|p−1 dx+
∫
E
|g||f − g|p−1 dx
≤ ‖f‖p
(∫
E
|f + g|(p−1)p′ dx
) 1
p′
+ ‖g‖p
(∫
E
|f + g|(p−1)p′ dx
) 1
p′
(por Hölder)
= ‖f‖p‖f + g‖
p
p′
p + ‖g‖p‖f + g‖
p
p′
p
Despejando, obtenemos
‖f + g‖
p− p
p′
p ≤ ‖f‖p + ‖g‖p
Pero p− pp′ = p− (p− 1) = 1, aśı que la desigualdad anterior es en realidad
‖f + g‖p ≤ ‖f‖p + ‖g‖p
como queŕıamos.
A partir de las desigualdades anteriores, estamos en condiciones de probar el siguiente
resultado:
Teorema 3.15. (Teorema de Riesz-Fischer) Si 1 ≤ p ≤ ∞, Lp(E) es un espacio de
Banach, es decir, un espacio normado completo.
Demostración. Empecemos por verificar que Lp(E) con ‖ · ‖p es un espacio normado, es
decir que se cumplen las 3 propiedades de una norma:
1. ‖f‖p = 0 si y sólo si f = 0: esto vale porque ‖f‖p = 0 si y sólo si f = 0 en el sentido
de igualdad en casi todo punto de E. Pero como estamos usando la convención de
identificar funciones iguales en casi todo punto, entonces podemos decir que f = 0.
2. ‖α · f‖p = |α| · ‖f‖p para todo α ∈ C: esta cuenta la hicimos en el Teorema 3.1.
3. ‖f + g‖p ≤ ‖f‖p + ‖g‖p: es la desigualdad de Minkowski.
Ahora nos falta probar que Lp con la norma ‖ · ‖p es completo, es decir, que si (fn) ⊂
Lp(E) es tal que ĺımn,m→∞ ‖fn−fm‖p = 0, entonces existe f ∈ Lp(E) tal que ĺımn→∞ ‖fn−
f‖p = 0.
Caso 1 ≤ p <∞:
Como (fn) es de Cauchy en L
p(E), por el Corolario 3.12 tiene una subsucesión (fnk)
que converge en casi todo punto de E a una función finita f . Queremos ver que f ∈ Lp(E)
y que toda la sucesión fn converge a f en L
p(E).
Por el Lema de Fatou, tenemos que∫
E
|f − fn|p dx =
∫
E
ĺım inf
k→∞
|fnk − fn|
p dx ≤ ĺım inf
k→∞
∫
E
|fnk − fn|
p dx
es decir,
‖f − fn‖pp ≤ ĺım inf
k→∞
‖fnk − fn‖
p
p
Pero como (fn) es de Cauchy en L
p y nk ≥ k, dado ε > 0 existe n0 tal que ‖fnk −fn‖ < ε
1
p
si n, k ≥ n0. Entonces para todo n ≥ n0
ĺım inf
k→∞
‖fnk − fn‖
p
p < ε
y, por lo anterior,
‖f − fn‖p < ε
lo que significa que fn converge a f en L
p. Además, vale que f ∈ Lp(E) ya que
‖f‖p ≤ ‖f − fn0‖p︸ ︷︷ ︸
<ε
+ ‖fn0‖p︸ ︷︷ ︸
<∞
<∞
Caso p =∞
Si llamamos
Ak = {x ∈ E : |fk(x)| ≥ ‖f‖∞}
y
Bn,m = {x ∈ E : |fn(x)− fm(x)| ≥ ‖fn − fm‖∞}
entonces estos conjuntos tienen medida nula y, por lo tanto, también tiene medida nula el
conjunto
Z =
( ∞⋃
k=1
Ak
)
∪
( ∞⋃
m=1
∞⋃
n=1
Bn,m
)
Si x ∈ E − Z, como |fn(x) − fm(x)| ≤ ‖fn − fm‖∞ entonces tenemos que (fn(x))n
es una sucesión unifomemente de Cauchy en C. Por lo tanto, usando que C es completo,
existe f tal que ĺımn→∞ fn(x) = f(x) uniformemente en E − Z.
Como |fn(x)−f(x)| < ε para todo n ≥ n0 y para todo x ∈ E−Z, entonces ‖fn−f‖∞ < ε
para todo n ≥ n0, es decir que fn converge a f en L∞(E). Además
‖f‖∞ ≤ ‖f − fn0‖∞ + ‖fn0‖∞ <∞,
lo que prueba que f ∈ L∞(E).
4. Otras formas de calcular la norma
Además de la definicón misma, vamos a ver otras dos formas de calcularla norma p de
una función que, como no involucran elevar a la p, pueden resultar más fáciles de manejar
en algunos casos.
Definición 4.1. La función de distribución de una función f : Rn → R, que notamos
λf : (0,+∞)→ [0 +∞), se define por
λf (t) := m({x ∈ E : |f(x)| > t}).
Proposición 4.2. Si 1 ≤ p <∞,
‖f‖pp =
∫ ∞
0
p tp−1λf (t) dt.
Demostración. Usando la definición anterior y el Teorema de Fubini-Tonelli, tenemos que∫ ∞
0
p tp−1λf (t) dt =
∫ ∞
0
p tp−1
∫
Rn
χ{x∈E:|f(x)|>t} dx dt
=
∫
Rn
∫ ∞
0
p tp−1χ{x∈E:|f(x)|>t} dt dx
=
∫
E
∫ |f(x)|
0
p tp−1 dt dx
=
∫
E
|f(x)|p dx.
Teorema 4.3. Si f toma valores reales, 1 ≤ p ≤ ∞ y 1p +
1
p′ = 1, entonces
‖f‖p = sup
‖g‖p′≤1
∫
E
fg dx
donde el supremo se toma sobre todas las funciones g con valores reales tales que ‖g‖p′ = 1
y la integral de la derecha existe.
Demostración. Por la desigualdad de Hölder,∫
E
fg dx ≤ ‖f‖p‖g‖p′ ,
aśı que es inmediato que
sup
‖g‖p′≤1
∫
E
fg dx ≤ ‖f‖p
Nos falta ver la desigualdad opuesta. Observemos que si ‖f‖p = 0 entonces f = 0 en
casi todo punto de E, y la desigualdad es trivial. Entonces sólo tenemos que ver que la
desigualdad vale en los casos 0 < ‖f‖p <∞ y ‖f‖p =∞ (observen que no pedimos f ∈ Lp
en el enunciado del teorema, aśı que ésta es una posibilidad).
Caso p = 1:
Si tomamos g(x) = sg(f(x)), donde sg es la función signo, es claro que ‖g‖∞ = 1
(recuerden que excluimos el caso f = 0 en casi todo punto) y que∫
E
fg dx =
∫
E
|f | dx = ‖f‖1
aśı que
sup
‖g‖∞≤1
∫
E
fg dx ≥ ‖f‖1
como queŕıamos.
Caso 1 < p <∞:
Si 0 < ‖f‖p <∞, definimos
g =
|f |p−1
‖f‖p−1p
sg(f(x))
Notemos que ‖g‖p′ = 1, ya que
‖g‖p
′
p′ =
∫
E
|g|p′ dx =
∫
E
|f |(p−1)p′
‖f‖(p−1)p
′
p
dx =
‖f‖pp
‖f‖pp
= 1
y que ∫
E
fg dx =
∫
E
|f |p
‖f‖p−1p
dx =
‖f‖pp
‖f‖p−1p
= ‖f‖p
lo que prueba que
sup
‖g‖p′≤1
∫
E
fg dx ≥ ‖f‖p
como queŕıamos.
Si ‖f‖p =∞, supongamos primero que f ≥ 0 y definamos una sucesión (fk) poniendo
fk(x) =
{
0 si |x| > k
mı́n(f(x), k) si |x| ≤ k
Estas funciones están en Lp y, por convergencia monótona, ĺımk→∞ ‖fk‖p = ‖f‖p = ∞.
Además, por lo que acabamos de probar, para cada fk existe gk tal que ‖gk‖p′ = 1 y∫
E
fk gk dx = ‖fk‖p →∞
Pero, f ≥ fk para todo k, aśı que
∫
E fgk dx ≥
∫
E fk gk dx y, por lo tanto
sup
‖g‖p′=1
∫
E
fg dx =∞ = ‖f‖p
Si f ahora es cualquiera, podemos aplicar el resultado anterior a |f | y tenemos una
sucesión (gk) con ‖gk‖p′ = 1 tales que
‖f‖p = ĺım
k→∞
∫
E
|f | gk dx = ĺım
k→∞
∫
E
fg̃k dx
tomando g̃k = gk sg(f). Como también ‖g̃k‖p′ = 1, tenemos lo que queremos.
Caso p =∞:
Si m(E) > 0 (sino el resultado es trivial), por definición de la norma infinito, dado
ε > 0 existe A ⊂ E tal que 0 < m(A) <∞ y |f(x)| > ‖f‖∞ − ε si x ∈ A. Si definimos
g(x) = sg(f(x))
χA(x)
m(A)
,
entonces ‖g‖1 = 1 (porque excluimos el caso f = 0 en casi todo punto) y∫
E
fg dx =
∫
E
|f |χA(x)
m(A)
dx =
1
m(A)
∫
A
|f | dx > 1
m(A)
∫
A
(‖f‖∞ − ε) dx = ‖f‖∞ − ε
Entonces, se sigue que
sup
‖g‖1≤1
∫
E
fg dx ≥ ‖f‖∞
como queŕıamos.
Observación 4.4. Si la función toma valores complejos, vale un resultado análogo, que es
‖f‖p = sup
‖g‖p′≤1
∫
E
fḡ dx
donde ḡ(x) = g(x) es el conjugado complejo de g(x).
5. Clases de funciones densas en Lp(Rn)
Como las funciones de Lp pueden ser bastante irregulares, es importante encontrar
clases de funciones densas. Aśı, cuando querramos probar alguna propiedad para funciones
de Lp, vamos a poder asumir, gracias a la densidad, que en realidad de trata de una función
mejor en algún sentido (por ejemplo, continua).
Teorema 5.1. Si 1 ≤ p < ∞ y f ∈ Lp(Rn), dado ε > 0 existe ϕ simple (también en Lp)
tal que ‖ϕ−f‖p < ε. Es decir, las funciones simples de Lp son densas en Lp si 1 ≤ p <∞.
Demostración. Supongamos primero que f toma valores reales y que f ≥ 0.
Sabemos que, por hipótesis,
∫
fp < ∞ y que existe una sucesión de funciones simples
no negativas (ϕk) que tiende a f en forma creciente:
ϕ1 ≤ ϕ2 ≤ . . . ≤ ϕk ≤ . . .
y
f(x) = ĺım
k→∞
ϕk(x)
Como ϕk ≤ f , entonces ϕpk ≤ f
p y, por lo tanto,∫
ϕpk ≤
∫
fp <∞
lo que implica que ϕk ∈ Lp para todo k.
Además, como 0 ≤ (f − ϕk)p ≤ fp, por el teorema de convergencia mayorada
ĺım
k→∞
∫
(f − ϕk)p = 0
o sea que también ĺımk→∞ ‖f − ϕk‖p = 0. Luego, dado ε > 0, podemos elegir k tal que
‖f − ϕk‖p < ε.
Si f ∈ Lp es cualquiera con valores reales, escribimos f = f+−f− donde f+ = 12(f+|f |)
y f− = 12(|f | − f). Entonces,
‖f+‖p =
1
2
‖f + |f |‖p ≤
1
2
(‖f‖p + ‖|f |‖p) = ‖f‖p <∞
asıque f+ ∈ Lp. De forma análoga se prueba que f− ∈ Lp.
Entonces, dado ε > 0 podemos elegir funciones simples ϕ+ y ϕ− tales que ‖f+−ϕ+‖p <
ε
2 y ‖f
− − ϕ−‖p < ε2 , de donde
‖f − (ϕ+ − ϕ−)‖p = ‖(f+ − f−)− (ϕ+ − ϕ−)‖p ≤ ‖f+ − ϕ+‖p + ‖f− − ϕ−‖ < ε
Finalmente si f : Rn → C, escribimos f = f1 + if2 con f1, f2 funciones que toman
valores reales y aplicamos un argumento análogo.
Observación 5.2. Cuando p = ∞, también es cierto que las funciones simples acotadas
son densas en L∞(Rn), les dejo para que piensen por qué.
Teorema 5.3. Si 1 ≤ p < ∞ y f ∈ Lp(Rn), dado ε > 0 existe ϕ continua tal que
‖ϕ− f‖p < ε. Es decir, la clase C de funciones continuas es densa en Lp si 1 ≤ p <∞.
Demostración. Como ya sabemos que las funciones simples son densas en Lp, basta probar
que una función simple se puede aproximar en Lp por funciones continuas (escriban por
qué).
Como es habitual, empezamos por el caso más fácil: si f = χE con m(E) <∞ (de otro
modo no podŕıa estar en Lp), entonces sabemos que dado ε > 0 existen F cerrado y G
abierto tales que F ⊂ E ⊂ G y m(G− F ) < εp.
Definimos entonces la función
g(x) =
d(x, F )
d(x, F ) + d(x,Gc)
(Gc es el complemento de G).
Observen que:
como F es cerrado, d(x, F ) = 0 si y sólo si x ∈ F
como Gc es cerrado, d(x,Gc) = 0 si y sólo si x ∈ Gc (es decir, x 6∈ G)
Como además F ⊂ G, entonces el denominador no se anula, y como la distancia a un
conjunto es una función continua, entonces g es continua. Además 0 ≤ g ≤ 1 y g(x) = 1 si
x ∈ F , g(x) = 0 si x ∈ Gc, aśı que
‖χE − g‖pp =
∫
Rn
|χE − g|p dx =
∫
G−F
|χE − g|p dx
Pero como 0 ≤ g ≤ 1, entonces 0 ≤ |χE − g|p ≤ 1, aśı que
‖χE − g‖pp ≤ |G− F | < εp
y, elevando a la 1p ,
‖χE − g‖p ≤ |G− F | < ε
Pasemos ahora al caso de una función simple en Lp, digamos
ϕ =
N∑
i=1
ciχEi
Como
|ϕ|p =
N∑
i=1
|ci|pχEi
tenemos que ∫
Rn
|ϕ|p dx =
N∑
i=1
|ci|pm(Ei) <∞
lo que implica que m(Ei) <∞ para todo i.
Por lo anterior, para cada i podemos elegir una una función gi continua en L
p tal que
‖χEi − g‖p < ε. Si llamamos
g =
N∑
i=1
ci gi,
entonces g es continua y, por la desigualdad de Minkowski,
‖ϕ− g‖p =
∥∥∥∥∥
N∑
i=1
ci(χEi − gi)
∥∥∥∥∥
p
≤
N∑
i=1
|ci|‖χEi − gi‖p < ε
N∑
i=1
|ci|
Como ε es arbitrario, y
∑N
i=1 |ci| es una constante que sólo depende de ϕ, esto prueba
que las funciones simples se pueden aproximar en Lp por funciones continuas.
Observación 5.4. Cuando p = ∞, las funciones continuas acotadas no son densas en
L∞(Rn) (de hecho, son un subespacio cerrado, porque el ĺımite uniforme de funciones
continuas y acotadas también lo es).
Definición 5.5. Definimos el soporte de f : Rn → R como
sop(f) = {x ∈ Rn : f(x) 6= 0}
Si f es una función continua de soporte compacto, notamos f ∈ C0 y si además f es
infinitamente derivable notamos f ∈ C∞0 .
Teorema 5.6. Si 1 ≤ p <∞, C0 es una clase densa en Lp .
Demostración. Dados ε > 0 y f ∈ Lp, sabemos que existe g continua tal que ‖f − g‖p < ε2 .
La idea es aproximar la función g por una función continua de soporte compacto que
también esté en Lp.
Si definimos la función
ψk =
d(x,Bc2k)
d(x,Bc2k) + d(x,Bk)
donde Bk = B(0, k) y B = B(0, 2k), entonces ψk es una función continua que vale 1 en Bk
y 0 fuera de B2k (tiene soporte compacto), aśı que gk = g ψk son funciones continuas de
soporte compacto.
Veamos que efectivamente las gk aproximan a g en L
p. Sabemos que
|g − gk|p = |g(1− ψk)|p ≤ |g|p
y, como g ∈ Lp, |g|p ∈ L1, aśı que es una mayorante integrable para |g − gk|p. Por conver-
gencia mayorada, tenemosentonces que
ĺım
k→∞
‖g − gk‖pp = ĺım
k→∞
∫
Rn
|g(1− ψk)|p dx =
∫
Rn
ĺım
k→∞
|g(1− ψk)|p dx = 0
ya que ĺımk→∞ ψk = 1.
Entonces, existe k0 tal que ‖g − gk0‖p < ε2 para todo k ≥ k0. En definitiva, gk0 es una
función continua de soporte compacto y
‖f − gk0‖p ≤ ‖f − g‖p + ‖g − gk0‖p <
ε
2
+
ε
2
= ε
lo que prueba que las funciones continuas de soporte compacto son densas en Lp.
Un ejemplo de cómo usar la densidad cuando queremos probar alguna propiedad es el
siguiente resultado:
Corolario 5.7. Si 1 ≤ p <∞ y f ∈ Lp(Rn), entonces
ĺım
h→0
‖f(x+ h)− f(x)‖p = 0
Demostración. La idea es ver que el resultado vale si g es una función continua de soporte
compacto, y luego usar la densidad para probar que vale en Lp. Entonces, dado ε > 0, sea
g ∈ C0 tal que ‖f − g‖p < ε.
Sean K = sop g = {x : g(x) 6= 0}, K1 = {x : d(x,K) ≤ 1}.
Como nos interesa el ĺımite cuando h→ 0, podemos suponer que |h| < 1. Entonces∫
Rn
|g(x+ h)− g(x)|p dx =
∫
K1
|g(x+ h)− g(x)|p dx
Pero por ser g continua, es uniformemente continua en el compacto K1, aśı que, dado ε > 0,
existe δ > 0 tal que si |h| < δ vale que |g(x+ h)− g(x)| < ε y entonces∫
K1
|g(x+ h)− g(x)|p dx < εpm(K1),
Como ε es arbitrario y m(K1) es una constante que sólo depende de g, tenemos que
‖g(x+ h)− g(x)‖p → 0 cuando |h| → 0.
Entonces, por la desigualdad de Minkowski y la invariancia por translaciones de la
integral,
‖f(x+ h)− f(x)‖p ≤ ‖f(x+ h)− g(x+ h)‖p + ‖g(x+ h)− g(x)‖p + ‖g(x)− f(x)‖p
= 2‖f(x)− g(x)‖p + ‖g(x+ h)− g(x)‖p
< 2ε+ ‖g(x+ h)− g(x)‖p
→ 0 si |h| → 0
Nos falta una clase importante de funciones densas en Lp, que son las funciones C∞0
(que están en Lp). Pero este resultado lo vamos a desarrollar en la próxima sección.
6. La convolución en Lp
Ya vimos como consecuencia del Teorema de Fubini que ‖f ∗g‖1 ≤ ‖f‖1‖g‖1. Queremos
ahora estudiar el comportamiento de la convolución en Lp.
Teorema 6.1. Si 1 ≤ p ≤ ∞, f ∈ Lp(Rn) y g ∈ L1(Rn), entonces f ∗ g ∈ Lp(Rn) y
‖f ∗ g‖p ≤ ‖f‖p‖g‖1
Demostración. El caso p = 1 es el qua ya lo probamos. Veamos los demás.
Caso p =∞:
Observen que
|(f ∗ g)(x)| ≤
∫
Rn
|f(x− y)g(y)| dy ≤ ‖f‖∞
∫
Rn
|g(y)| dy = ‖f‖∞‖g‖1
aśı que se sigue que ‖f ∗ g‖∞ ≤ ‖f‖∞‖g‖1, como queŕıamos.
Caso 1 < p <∞:
Observen que
|f ∗ g(x)| ≤
∫
Rn
|f(x− y)g(y)| dy
=
∫
Rn
|f(x− y)g(y)
1
p ||g(y)
1
p′ | dy (usando que 1 = 1
p
+
1
p′
)
≤
(∫
Rn
|f(x− y)|p|g(y)| dy
) 1
p
(∫
Rn
|g(y)| dy
) 1
p′
(por Hölder)
Elevando la desigualdad anterior a la p, tenemos que
|f ∗ g(x)|p ≤
∫
Rn
|f(x− y)|p|g(y)| dy︸ ︷︷ ︸
=(|f |p∗|g|)(x)
‖g‖
p
p′
1
Como |f |p y g están en L1, usando la desigualdad que ya conocemos, tenemos que∫
Rn
|f ∗ g(x)|p dx ≤ ‖|f |p‖1‖g‖1‖g‖
p
p′
1 = ‖f‖
p
p‖g‖
1+ p
p′
1 = ‖f‖
p
p‖g‖
p
1
(ya que 1 + pp′ = p), de donde se deduce lo que queremos.
En realidad, vale un resultado más general, les dejo algunas indicaciones para que
ustedes completen los detalles de la demostración, es similar a la anterior pero con algunas
cuentas más:
Teorema 6.2. (Desigualdad de Young para la convolución) Si 1 ≤ p, q ≤ ∞ y 1p +
1
q ≥ 1,
entonces para toda f ∈ Lp(Rn) y g ∈ Lq(Rn) vale que f ∗ g ∈ Lr(Rn) con
1
r
=
1
p
+
1
q
− 1
y, además,
‖f ∗ g‖r ≤ ‖f‖p‖g‖q
Demostración. Observen que, por la relación entre p, q, r,:
si r =∞ debe ser q = p′, y la desigualdad a probar es ‖f ∗ g‖∞ ≤ ‖f‖p‖g‖p′
si p =∞ deben ser q = 1, r =∞, y la desigualdad a probar es ‖f ∗ g‖∞ ≤ ‖f‖∞‖g‖1
si q =∞ deben ser p = 1, r =∞, y la desigualdad a probar es ‖f ∗ g‖∞ ≤ ‖f‖1‖g‖∞
Las 3 desigualdades anteriores salen directamente escribiendo |f ∗ g| ≤ |f | ∗ |g| y aplicando
la desigualdad de Hölder a las funciones |f(x− y)| y |g(y)|.
Para el caso p, q, r < ∞, la demostración es similar a la del teorema anterior. La idea
es escribir
|(f ∗ g)(x)| ≤
∫
Rn
|f(x− y)
p
r g(y)
q
r ||f(x− y)1−
p
r ||g(y)1−
q
r | dy
y usar la desigualdad de Hölder generalizada para 3 funciones, con exponentes r, p1, p2 con
p1 =
1
p −
1
r , p2 =
1
q −
1
r .
Observación 6.3. Si fijamos K ∈ L1 y consideramos la transformación T (f) = f ∗ K
entonces, por el teorema anterior, T : Lp → Lp. Un operador de este tipo se llama operador
de convolución con núcleo K.
Ahora vamos a considerar una familia particular de núcleos:
Definición 6.4. Dada una función K : Rn → R y ε > 0 notamos
Kε(x) =
1
εn
K
(x
ε
)
Por ejemplo si K = χB con B = B(0, 1), entonces
Kε(x) =
{
ε−n si |x| < ε
0 si |x| ≥ ε
o sea Kε = ε
−nχBε donde Bε = B(0, ε). Observen que a medida que achicamos ε, Kε es una
función con un pico más elevado y un soporte más chico. Lo mismo ocurre para cualquier
K positiva, más precisamente, vale el siguiente resultado:
Proposición 6.5. Si K ∈ L1(Rn) y ε > 0 entonces
i) ∫
Rn
Kε(x)dx =
∫
Rn
K(x)dx
ii) Para cada δ > 0 fijo,
ĺım
ε→0
∫
|x|>δ
|Kε(x)| dx = 0
Demostración. Para probar i) hacemos cambio de variable y = x/ε y tenemos∫
Rn
Kε(x) dx =
∫
Rn
1
εn
K
(x
ε
)
dx =
∫
Rn
K(y) dy
Para probar ii) fijamos δ > 0 y hacemos el mismo cambio de variable, entonces∫
|x|>δ
|Kε(x)| dx =
∫
|x|>δ
1
εn
∣∣∣K (x
ε
)∣∣∣ dx = ∫
|y|>δ/ε
|K(y)| dx
Pero δ/ε → +∞ cuando ε → 0, y como K ∈ L1(Rn) la última integral tiende a cero a
medida que ε→ 0.
Lo que queremos probar es que (f ∗Kε)(x)→ f(x) en Lp ε→ 0.
Una familia núcleos {Kε : ε > 0} para la cual f ∗Kε → f (en algún sentido) se llama
una aproximación de la identidad. Recuerden que probamos que la convolución no tiene
elemento neutro en L1, aśı que las aproximaciones de la identidad funcionan como una
suerte de reemplazo, pero además veremos que f ∗Kε es una función “mejor” que f (en
algún sentido, dependiendo de las hipótesis en K).
Teorema 6.6. Sea fε = f ∗Kε donde K ∈ L1(Rn) y
∫
Rn K(x) dx = 1. Si f ∈ L
p(Rn) con
1 ≤ p <∞ entonces ‖ fε − f ‖p→ 0 cuando ε→ 0, es decir que fε converge a f en Lp.
Demostración. Por la parte i) del lema anterior tenemos:
f(x) = f(x)
∫
Rn
Kε(y) dy =
∫
Rn
f(x) Kε(y)dy
Por lo tanto,
|fε(x)− f(x)| =
∣∣∣∣∫
Rn
f(x− y)Kε(y) dy −
∫
Rn
f(x)Kε(y) dy
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∫
Rn
[f(x− y)− f(x)]Kε(y) dy
∣∣∣∣
≤
∫
Rn
|f(x− y)− f(x)| |Kε(y)| dy
≤
∫
Rn
|f(x− y)− f(x)| |Kε(y)| dy
=
∫
Rn
|f(x− y)− f(x)| |Kε(y)|
1
p |Kε(y)|
1
p′ dy (usando que 1 =
1
p
+
1
p′
)
Por la desigualdad de Hölder, llegamos entonces a
|fε(x)− f(x)| ≤
(∫
Rn
|f(x− y)− f(x)|p |Kε(y)| dy
) 1
p
(∫
Rn
|Kε(y)| dy
) 1
p′
Ahora elevamos a la p e integramos, nos queda∫
Rn
|fε(x)− f(x)|p dx
≤
∫
Rn
{∫
Rn
|f(x− y)− f(x)|p |Kε(y)| dy
}{∫
Rn
|Kε(y)| dy
} p
p′
dx
= ‖K‖
p
p′
1
∫
Rn
∫
Rn
|f(x− y)− f(x)|p |Kε(y)| dy dx
Por el teorema de Fubini-Tonelli tenemos entonces
‖f − fε‖pp ≤ ‖K‖
p
p′
1
∫
Rn
∫
Rn
|f(x− y)− f(x)|p |Kε(y)| dx dy
= ‖K‖
p
p′
1
∫
Rn
|Kε(y)|
∫
Rn
|f(x− y)− f(x)|p dx dy
Llamando φ(y) =
∫
Rn |f(x− y)− f(x)|
p dx = ‖f(x− y)− f(x)‖pp tenemos
‖f − fε‖pp ≤ ‖K‖
p
p′
1
∫
Rn
|Kε(y)|φ(y) dy
Para δ > 0 escribimos
Iε =
∫
Rn
|Kε(y)| φ(y) dy = Aε,δ +Bε,δ
con
Aε,δ =
∫
|y|<δ
|Kε(y)| φ(y) dy
y
Bε,δ =
∫
|y|≥δ
|Kε(y)| φ(y) dy
Como φ(y) → 0 cuando |y| → 0 (por el corolario 5.7), dado η > 0, podemos elegir δ > 0
para que φ(y) < η si |y| < δ. Entonces
Aε,δ ≤ η
∫
|y|<δ
|Kε(y)| dy ≤ η‖K‖1
para todo ε > 0. Por otro lado, por la desigualdad de Minkowski y la invariancia por
translaciones de la integral,
φ(t)
1
p = ‖f(x− y)− f(x)‖p ≤ ‖f(x− y)‖p + ‖f(x)‖p = 2 ‖f‖p
aśı que ‖φ‖∞ ≤ 2‖f‖pp = C. Entonces
Bε,δ =
∫
|y|≥δ
|Kε(y)| φ(y) dy ≤ C
∫
|y|≥δ
|Kε(y)| dy → 0
cuando ε→ 0. Por lo tanto, Iε → 0 cuando ε→ 0 y esto prueba el teorema.
Una propiedad importante de la convolución (pero que no voy a probar) es que si
K ∈ C∞, entonces K ∗ f ∈ C∞ y, en ese sentido, decimos que la convolución “suaviza”
funciones. Si asumimos este resultado (la demostración está, por ejemplo, en el libro de
Wheeden y Zygmund), podemos probar lo siguiente.
Corolario 6.7. Para 1 ≤ p <∞, C∞0 (Rn) es una clase densa en Lp(Rn).
Demostración. Dada f ∈ Lp y η > 0 podemos escribir f = g + h donde g tiene soporte
compacto y ‖h‖p < η. En efecto, como C0 es densa en Lp, basta tomarg ∈ C0 tal que
‖f − g‖p < η y definir h = f − g.
Si elegimos un núcleo K ∈ C∞0 tal que
∫
Rn K(x) dx = 1 y llamamos gε = g ∗ Kε,
entonces gε ∈ C∞0 (Rn) y ‖g − gε‖p → 0 cuando ε→ 0 por los resultados anteriores.
Entonces, si ε tal que ‖g − gε‖p < η, tenemos que
‖f − gε‖p ≤ ‖h‖p + ‖g − gε‖p < 2η
lo que prueba el corolario.
El siguiente resultado es un sustituto del teorema anterior para el caso p =∞
Teorema 6.8. Sea fε = f ∗ Kε donde f ∈ L∞(Rn), K ∈ L1(Rn) y
∫
Rn K(x)dx = 1,
entonces fε → f en cada punto de continuidad de f cuando ε→ 0
Demostración. Al igual que al inicio de la demostración del teorema anterior escribimos
|fε(x)− f(x)| ≤
∫
Rn
|f(x− y)− f(x)| |Kε(y)| dy
Si f es continua en x, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que si |y| < δ entonces |f(x − y) −
f(x)| < ε. Por lo tanto
|fε(x)− f(x)| =
(∫
|y|≥δ
+
∫
|y|<δ
)
|f(x− y)− f(x)| |Kε(y)| dy
≤
∫
|y|≥δ
|f(x− y)− f(x)| |Kε(y)| dy + ε
∫
|y|<δ
|Kε(y)| dy
≤ 2‖f‖∞
∫
|y|≥δ
|Kε(y)| dy + ε‖K‖1
Como
∫
|y|≥δ |Kε(y)| dy → 0 cuando ε → 0 para un δ fijo, se sigue que |fε(x) − f(x)| → 0
cuando ε→ 0.
	Funciones equivalentes
	Espacios Lp
	Desigualdades fundamentales y estructura de Lp
	Otras formas de calcular la norma
	Clases de funciones densas en Lp(Rn)
	La convolución en Lp