Matrizes e Criptografia

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 MATEMÁTICA I – 2012 - Capítulo 5 
_________________________________________________________ 
 
 MATRICES 
 
1.1. Introducción. Nociones básicas. 
 
Una ecuación lineal con coeficientes reales 1 2, , ..., ,na a a término independiente b e incógnitas 
1 2, , ..., nx x x es una expresión de la forma 1 1 2 2. . ... .n na x a x a x b+ + + = , por ejemplo 
1 2 3
2
. 5. 8. 1
5
x x x+ − = − . 
 
Si se tienen dos o más ecuaciones lineales en las mismas incógnitas se tiene un sistema de m 
ecuaciones con n incógnitas. El siguiente es un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas 
(sistema 2x3): 
 
 S1 : 
1 2 3
1 2 3
2
 . +5. 8. 1
5
6. 4. 9
x x x
x x x
 − = −

 + − =
. 
 
Una solución del mismo, cuando existe, será una terna ordenada de números 
0 0 0
1 2 3( , , )x x x que 
satisfaga simultáneamente todas las ecuaciones del sistema. 
 
Si en S1 se cambian 1 2 3, , x x x por, respectivamente, x, y, z o bien por u1, u2, u3 el sistema 
es el mismo. De modo que toda la información del sistema se encuentra en los coeficientes y 
términos independientes en el orden que aparecen dispuestos, es decir en los siguientes 
“cuadros” de números 
2
-15 8
A , b=5
9
1 6 4
 −   =      − 
 
 
que llamaremos matrices. A es una matriz 2x3 (2 filas por 3 columnas), b es una matriz 2x1 
(2 filas por 1 columna). 
 
Este es uno de los problemas más importantes en los que se aplican las matrices: la resolución 
de sistemas lineales de ecuaciones 
 
Otra de las aplicaciones importantes que tienen las matrices es la criptografía. La criptografía es 
el estudio de las formas de transmitir mensajes en forma segura. En la década de los años 40 
cuando se establece el inicio de la criptografía, estaba restringida prácticamente al campo de la 
estrategia militar. Hoy, la criptografía es de gran utilidad en muchísimas cosas que hacemos a 
diario: cuando utilizamos la tarjeta de crédito en un cajero automático para realizar una 
operación bancaria, necesitamos identificarnos con una clave, cuando accedemos a nuestra 
cuenta de correo electrónico, se nos pide una contraseña, etc. 
Si numeramos las letras del abecedario de 1 a 27 y quisiéramos enviar como mensaje la 
letra J, puede elegirse como código el número 7 y multiplicar 7.10 ya que 10 es el número que 
le corresponde a la J. El mensaje enviado seria 70. 
Si el receptor no conoce que el código es 7 podría pensar que se envió 5.14=70 o 
10.7=70 o 7.10=70 , y no puede decidir si la letra envíada es N(14) o G(7) o J(10). El 
receptor entonces debe conocer el código y multiplicar el mensaje recibido por el inverso de ese 
número: 70.1/7=10. Claro que este método para encriptar es muy vulnerable ya que hay un 
 2 
número muy pequeño de posibilidades y del contexto del mensaje podría deducirse la letra. 
También es cierto que si en lugar de elegir el 7 eligiéramos el 345.678, aumenta 
significativamente la cantidad de posibilidades. 
Este mismo proceso se utiliza para la encriptación con matrices , el código ya no es un 
número sino una matriz y el mensaje que se envía también se envía en una matriz, de modo 
que habrá que conocer la inversa de la matriz de código para recuperar el mensaje. 
 
 
 
En general una matriz mxn tendrá la forma: 
 
 
11 12 13 14 1
21 22 23 24 2
31 32 33 34 3
1 2 3 4
.....
.....
.....
... ... ... ... ... ...
.....
n
n
n
m m m m mn
a a a a a
a a a a a
a a a a aA
a a a a a
 
 
 
 =
 
 
 
 
 
 
El primer subíndice i de cada coeficiente ( )a Aij ij= indica la fila donde se encuentra dicho 
coeficiente, el segundo subíndice j indica en qué columna está, para i = 1,2,…,m, j = 1, 2, …,n. 
 
El conjunto de todas las matrices mxn con coeficientes ija R∈ , se indica 
m nR × , si m=n las 
matrices son cuadradas, de lo contrario son rectangulares. 
 
En una matriz cuadrada la diagonal principal es ( 11 22 33, , ,..., nna a a a ), por ejemplo 
(5, 3 , 9) en la siguiente matriz 3x3 
5 0 3
1
3 0
8
1 35 9
B
− 
 
 =
 
 − 
 
 
 
 
1.2. Algunas clases especiales de matrices 
 
 
1.2.1. Matriz nula Matriz cuadrada o rectangular en la que todos sus 
 coeficientes son ceros, ( ) 0, , ijO i j= ∀ ∀ 
 
 
1.2.2. Matriz triangular superior (respectivamente inferior) Matriz nxn en 
 la que son ceros todos los coeficientes debajo (respectivamente arriba) de 
 la diagonal principal, ija =0 para i>j (respectivamente para i<j) 
 
 
5 6 1 0
0 1 8 5
0 0 4 2
0 0 0 5
 
 − 
 
  
 
 
3 0 0 0
1 6 0 0
0 3 4 0
36 5 0 3
 
 
 
 
  − − 
 
 
 3 
 
1.2.3. Matriz diagonal : Matriz nxn en la que son 0 todos los coeficientes 
 ija tales que i ≠≠≠≠j. 
 
 
1.2.4. Matriz identidad I : matriz diagonal, en la que los coeficientes de 
 la diagonal principal son todos 1. 
 
 
 Equivalentemente, I es una matriz cuadrada tal que : 
( ) 1, si 
( ) 0, si 
I i jij
I i jij
= =
 = ≠
 
 
 
 Ejemplos: Las matrices identidad en R2x2 y en R3x3 son las siguientes 
 
2 2 3 3
1 0 0
1 0
 , 0 1 0 
0 1
0 0 1
I R I R× ×
 
   = ∈ = ∈   
   
 
 
 
1.3. Suma de matrices 
 
1.3.1. Definición 
 
Sean , matrices , la es la matriz donde cada 
coeficiente ( ) ( ) ( )
A B m n suma A B m n
A B a b A Bij ij ij ij ij
× + ×
+ = + = +
 
 
 Ejemplo Dadas A, B ambas 2x3 
 , 
0 1 2 3 -1 1 3 0 3
 
3 5 4 -3 3 4 0 8 8
A B A B= = + =          
     
 
 
1.3.2. Propiedades 
 
 4 
 
Sean , , ,
1) : ( ) ( )
2) (matriz nula )
 matriz , 
3) matriz una matriz tal que , 
 es
m n
A B C R
asociatividad A B C A B C
m n
existencia de neutro O R
m n
A R A O O A A
m n m n
A R B R A B B A O
B
×∈
+ + = + +
×∈
×∀ ∈ + = + =
× ×∀ ∈ ∃ ∈ + = + =
4) : , 
 
 la de y se indica - .
15 2 15 2
 Ejemplo: Si , su opuesta es -1 16 6
3 3
 par de matrices , conmutatividad A B B A
opuesta A A
A A
m n
A B R + = +
− −
= =
− −
×∀ ∈
   
   
   
 
Demostración: Usar la definición de suma de matrices y la propiedad respectiva para la suma de 
números reales. 
 
 
 
1.4. Producto de un escalar (número real) por una matriz 
 
1.4.1. Definición 
 
 y , . es la matriz de tal que cada 
coeficiente ( . ) .( ) .
Sean 
m n m n
R A R
A A aij ij ij
A R α α
α α α
× ×∈
= =
∈
 
 
1.4.2. Ejemplo 
 
1 2 5 3 6 15
3 , , . 
-2 1 0 -6 3 0
A Aα α   = = =   
   
 
 
 
 
 
1.4.3. Propiedades 
 
 
Sean , escalares y , matrices 
1) .( ) . .
2) ( ). . .
3) ( . ).A= .( .A)
4) 1.
A B m n
A B A B
A A A
A A
α β
α α α
α β α β
α β α β
×
+ = +
+ = +
=
 
 
 
 
 
 
 
 5 
1.5. Producto de matrices 
 
1.5.1. Definición 
 
1 1
Sea , , la matriz producto . es la matriz tal que
( . ) ( ) .( ) .
n n
k k
m n n r
ij ik kj ik kj
A R B R A B m r
A B A B a b
= =
× ×∈ ∈ ×
= =∑ ∑
 
 
 
1.5.2. Ejemplo 
 
 
3 2 2 2 3 2
1 2 1.3+2.1 1.5+2.3 5 11
3 5
Sean 0 0 , , . 0.3+0.1 0.5+0.3 0 0
1 3
1 5 1.3+5.1 1.5+5.3 8 20
A R B R A B R× × ×
     
      = ∈ = ∈ = = ∈      
      
     
 
 
 
 
1.5.3. Propiedades 
 
 
( ) Asociatividad: Si es una matriz , es y es , entonces . . .( . ).
 (obsérvese que todos los productos indicados son posibles)
 ...........................
A m n B n r C r q A B C A B C× × × =
.........
 En el conjunto de matrices cuadradas del mismo orden , además de la propiedad asociativa, 
 también se tiene la propiedad de la (o ):
 Para toda 
n nR n n
identidadneutro multiplicativo
A
× ×
 , la matriz identidad ( ), definida en 1.2.4, tiene la siguiente 
 propiedad : . .
 (El hecho de indicar . y también . no es redundante, porque el prroducto 
 de matrices
n nR I nxn
A I I A A
A I I A
×∈
= =
 no tiene, en general, la propiedad conmutativa, tal como se verá en las 
 observaciones que siguen. La matriz identidad , conmuta con cualquier matriz 
 de ese mismo orden).
n n×
 
 
 Distributividad del producto con la suma: Sean , , matrices , entonces 
 .( ) . . , ( ). . .
 Si A está a izquierda (resp
A B C n n
A B C A B AC B C A B A C A
×
+ = + + = +
ectivamente a derecha) en el 1er miembro, también aparece a izquierda 
 (respectivamente a derecha) de y de en el 2do, salvo que se indique expresamente que conmuta
 con B y A conmuta con C.
B C A
 
 
 
 
 6 
1.5.4. Observaciones 
 
 
1) La conmutatividad no es una propiedad general del producto de matrices 
 
1 3 1 0 5 9 -1 -3
Sean = , = , resulta . y . =
2 5 2 3 8 15 8 21
A B A B B A
−       
=       
       
 
 
 
2) En los números naturales, enteros, reales se tiene la propiedad : 
 . 0 0 0a b a b= ⇒ = ∨ = . 
 
 En el producto de matrices tampoco es válida esa propiedad: 
 . no implica o A B O A O B O= = = 
1 3 -3 3 0 0
Sean = , = , el producto . = da la matriz nula, mientras que ni ni 
2 6 1 -1 0 0
son nulas
A B A B A B
     
     
     
 
 
3) La existencia de inversa tampoco es una propiedad general de las matrices. 
 Si una matriz no es cuadrada no posee inversa. Algunas matrices cuadradas 
 tienen inversa y otras no. 
 Como existen infinitas matrices cuadradas que tienen inversa e interesa conocerla, 
 será un objetivo identificar aquéllas que tengan inversa y en tal caso calcularla. 
 
 
 
 
 
En el parágrafo que sigue se dará la definición de matriz inversa y algunas propiedades, más 
adelante se tratará el problema de hallar la inversa cuando ésta exista. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.6. Matriz Inversa 
 
 
1.6.1. Definición. Sea , tiene inversa (o es inversible, o no singular) si existe una matriz 
 tal que: . y . .
 (Se piden las dos condiciones porque el producto de ma
n n
n n
A R A
B R A B I B A I
×
×
∈
∈ = =
trices no tiene en general la propiedad 
 conmutativa, para afirmar que tiene inversa, multiplicándola tanto a izquierda como a derecha por 
 debe dar la identidad.)
A
B
 
 7 
 En caso que exista y cumpla las condiciones indicadas arriba, se probará en 1.6.2 que es la única 
que tiene esas propiedades, entonces se puede afirmar que es la de y se indica con 
B
B inversa A A-1
-1
.
(Observación : En los números racionales o reales, si es un número no nulo, a se puede indicar 
1
también con . Si A es una matriz, esa notación no es posible pues se estaría refiriendo a "divid
a
a
ir
un número por una matriz", operación que no existe, incurriéndose con ella en un grave error conceptual.)
 
 
1.6.2. Proposición Si existe B en las condiciones de la Definición 1.6.1, ésta es única 
 
Demostración 
Sea A.B=B.A=I (1), supongamos que también la matriz C cumple A.C=C.A=I (2). 
Entonces (B.A).C=I.C=C (por (1)) y B.(A.C)=B.I=B (por (2)). 
Como el producto de matrices es asociativo (B.A).C = B.(A.C), es decir que C=B, por lo tanto 
la matriz B que cumple la Definición 1.6.1 es única. 
 
 
 
1.6.3. Proposición. Sean , A B matrices nxn inversibles entonces 1 1 1( . ) .A B AB− − −= . 
 
Demostración Por hipótesis existen 
1 -1 y A B− . 
-1 -1 -1 -1 Como y son de orden , entonces , , . . son todas de orden .A B n n A B A B y B A n n× × 
 De acuerdo a la definición 1.6.1 de matriz inversa debe probarse que multiplicando 
1 1.B A− − 
 a izquierda y a derecha de . ,A B en ambos casos se obtiene la identidad. 
 
1 11 1 1 1
1 1
1 1
( . ).( . ) (por asociatividad)= .( . ). . . . .
En la misma forma se prueba que ( . ).( . ) , y según 1.6.1,
queda probado que ( . ) es la inversa de la matriz . .
A B B A A B B A A I A A A I
B A A B I
B A A B
− −− − − −
− −
− −
= = = =
= 
 
 
1.6.4. Corolario. El resultado anterior se generaliza a cualquier número finito de matrices 
inversibles de un mismo orden nxn. 
 
1.7. Matriz Traspuesta y sus Propiedades. 
 
1.7.1. Matriz traspuesta Si A es mxn , su traspuesta AT es nxm y tiene 
 como coeficientes ( ) ( )TA Aij ji= . 
 [Las filas de AT son las columnas de A, las columnas de AT son las filas de A] 
 
 8 
 
2 3 5 8
1 0 3 5
A
 
=  − 
 
2 1
3 0
5 3
8 5
TA
 
 
 
 
  
 
=
−
 
 
1.7.2. Proposición. En a), b) y c) sean A , B matrices mxn. 
a) ( A T)T = A 
b) ( A + B )T= A T + B T 
c) k escalar de R, entonces (k. A )T = k. A T 
d) Si A es nxn y B es nxn, entonces ( A . B )T = B T. A T 
 
Demostración. 
a) (( A T)T)i j = ( A
T)ji =( A )ij 
b) [( A+ B )T]ij = ( A+ B )ji = (por def de suma) =( A )ji + ( B )ji =( A
T)i j + ( B
T)i j . 
c) ((k. A )T )i j = (k. A )j i = k . ( A )j i = k.( A
T )i j , por las definiciones de traspuesta 
 y producto de un escalar por una matriz. 
d) Por definición de traspuesta y, luego, por definición de producto de matrices 
 (( A . B )T)i j = ( A . B )j i = 
1
( ) .( )
r
k
jk kiA B
=
∑ (*) (o sea: la fila j de A “por” la columna i de B ) 
 De nuevo por definición de traspuesta: 
 
 ( A )j k = ( A
T)k j (la fila j de A es la columna j de A
T ) 
 ( B )k i = ( B
T)i k (la columna i de B es la fila i de B
T ) 
 Reemplazando respectivamente en (*) y conmutando, recordar que ( A T)k j y ( B
T)i k 
 son números reales para los cuales vale la conmutatividad, se obtiene 
 
1
( ) .( )
r
T T
k
ik kjB A
=
∑ = ( . )T T ijB A (es decir : la fila i de B T “por” la columna j de A T )���� 
 
 
1.8. Otras clases especiales de matrices 
 
 A partir de la matriz traspuesta es posible definir otras clases de matrices, las dos 
primeras que se mencionan a continuación: la matriz simétrica y la antisimétrica. 
 
1.8.1. Matriz simétrica Matriz A cuadrada nxn tal que A= AT 
 
 Ejemplo: 
 
1 3 0 5
3 2 1 2
 matriz simétrica
0 1 5 4
5 2 4 9
− 
 − − − 
 −
 − 
 
1.8.2. Matriz antisimétrica Matriz A cuadrada nxn tal que AT = - A. (Los coeficientes de 
 la diagonal principal son necesariamente ceros). 
 
 
 Ejemplo: 
 9 
 
0 8 7 3
8 0 6 2
 matriz antisimétrica
7 6 0 1
3 2 1 0
 
 − − 
 − −
 − − 
 
 
 
 
1.8.3. Matriz escalonada (o triangulada) Sea A ∈ Rmxn, A está en forma escalonada 
 (o triangulada) si el número de ceros que precede al primer coeficiente no nulo 
 va aumentando en las filas sucesivas. El primer coeficiente no nulo de cada fila es 
 el coeficiente principal (o pivote ) de esa fila. 
 
 
1.8.4. Matriz reducida Una matriz no nula A es reducida (o reducida por filas) si 
 es escalonada y además sus coeficientes principales cumplen : 
 (a) Son los únicos coeficientes distintos de cero en sus respectivas columnas, 
 (b) Son todos iguales a 1. 
 
 
 Ejemplos 
 
 A , B y C están escalonadas, sólo C es reducida. 
 
 A = 
1 3 5 0 5 0 3
0 0 2 8 0 3 9
0 0 0 0 0 2 1
0 0 0 0 0 0 0
 
 
 
 −
 
 
 
 
 B = 
1 5 1 0 0 4
0 0 1 3 0 5
0 0 0 1 8 5
0 0 0 0 0 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 C= 
1 5 0 0 3 0
0 0 1 0 3 0
0 0 0 1 2 0
0 0 0 0 0 1
 
 − 
 
  
 
 
 
 
1.9. Operaciones elementales sobre las filas de una matriz. 
 
 Existen 3 tipos de operaciones elementales sobre las filas de una matriz que permiten 
llevar cualquier matriz 
mnA R ×∈ a una matriz equivalente reducida por filas : 
 
1) Multiplicar una fila Fk de A por un escalar α ∈ R no nulo, Fk ← αFk 
2) Sumar a la fila Fh la fila Fk multiplicada por α ∈ R no nulo, Fh ← Fh+ αFk 
3) Permutar dos filas Fh ←→ Fk 
 
 
 Cada operación elemental e tiene su inversa e-1 que es también elemental y 
 del mismo tipo que e. 
 
 
1.9.1 Definición Dos matrices A , B se llaman equivalentes por filas si de una de ellas se 
pasa a la otra aplicando un número finito de operaciones elementales de fila. 
 fA B≈ si ek o ek-1 o ... o e2 o e1( A ) = B 
(Como cada ei posee su inversa que también es una operación elemental, de B se puede llegar 
a A aplicando las inversas respectivas). 
 
Ejemplo 
 10 
2 1
3 2 1 2
3 1
1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0
2.
2 4 2 2 0 0 4 2 4 5 0 0 4 2 4 3
3.
3 6 4 3 0 0 5 3 0 0 0 2
F F
A F F F F
F F
− − −     
−     = − → − → → + →     −     −     
 
 
1
1 2 2 3 2
3
1
44 8 0 6 4 8 0 0 4 8 0 0 1 2 0 0
1
0 0 4 2 , 3 0 0 4 2 , 0 0 4 0 , 0 0 1 0
4
0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 11
2
A
F
F F F F F R
F
       
       → − → − → → =       
       
       
 
 
 , A f AR A R≈ es la matriz reducida por filas equivalente a .A 
 
 
1.9.2. Definición Se llama rango de una matriz A, indicado con ( )r A , al número de filas no 
nulas de la escalonada o la reducida AR equivalente con A. 
 
 
 
1.10. Cálculo de la inversa de una matriz 
 
 Existen dos aplicaciones importantes de las operaciones elementales: el cálculo de la matriz 
inversa, cuando esta existe, y la búsqueda de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, esta
última se tratará en el capítulo siguiente.
 Dada una matriz cuadrada , se amplía ubicando a su derecha la matriz identidad del mismo
orden que , formando la matriz ( ) de orden 2 .
 A esta matr
A n n I
A A I nx n
×
iz ( ) se le aplican operaciones elementales tendientes a hallar la reducida 
equivalente con del lado izquierdo. Si esta matriz es la identidad, entonces en el lado derecho, 
donde inicialm
A
A
A I R
A R
-1 ente se ubicó , se tendrá la inversa de . 
 Si no tuviera inversa, en el proceso de reducción, se obtendrá una fila nula (del lado izquierdo), lo
que indica que la reducida equivalente con A
I A A
A
R A no es la identidad, por lo tanto no posee inversa.
 
A
Ejemplo: 
Sea 









 −
=
162
141
462
A 
 
 11 
 









 −
100
010
001
162
141
462
 
 
 














−
→
100
010
00
2
1
162
141
231
2
1
.1F 
 
 
















−
−
→−
100
01
2
1
00
2
1
162
310
231
12 FF 
 
 
















−
−
−
→−
101
01
2
1
00
2
1
500
310
231
.2 13 FF 
 










−
−
−−
→−
101
01
2
1
032
500
310
1101
.3 21 FF 
 
 
















−
−
−−
→
5
1
0
5
1
01
2
1
032
100
310
1101
5
1
.3F 
 
















−
−
−−
→−+
5
1
0
5
1
5
3
1
10
1
5
11
3
5
1
100
010
001
311 3231 FFyFF 
 
 12 
La matriz 
















−
−
−−
5
1
0
5
1
5
3
1
10
1
5
11
3
5
1
 es la inversa de A 
 
 Por la definición de equivalencia por filas resulta que : 
 
IA f≈ ya que e7 o e6 o ... o e2 o e1( A ) = I y además 
 
BI f≈ ya que e7 o e6 o ... o e2 o e1(I) = B , y como 
 
e7 o e6 o ... o e2 o e1( A ) = e7 o e6 o ... o e2 o e1(I. A ) = e7 o e6 o ... o e2 o e1(I) A = BA=I 
 
resulta que B= A-1 
 
 
(Consecuencia: Si de orden tiene inversa, su rango ( ) , de lo contario ( ) .)A n n r A n r A n× = < 
 El procedimiento mencionado arriba se fundamenta por las siguientes propiedades:
a) Una matriz cuadrada tiene inversa es equivalente por filas a la identidad.
b) Cuando tiene inversa, la sucesión A
⇔
-1
de operaciones elementales que reduce 
 a la , conduce a la a la inversa de .
 
A I I A A
 
……………………………………………………………………………………………… 
 
Ejercicios 
 
1) Dadas las matrices 





=
10
21
A , 





=
13
01
B , C= 





−
−
01
01
 
 Calcular : a) 3A-2B+C 
 b) A- 3(B-C) 
 
 
2) Sean A ∈ R4x5, B∈ R5x7, C ∈ R4x5, D ∈ R7x5. Indicar cuáles de las siguientes operaciones son posibles 
y, en caso afirmativo, cuál es la cantidad de filas y de columnas de la matriz resultado 
a) A .B, b) B.A, c) A.C , d) C.B , e) A.B.D 
 
 
3) En los casos que sea posible calcular A.B y B.A, ¿Es A.B = B.A ? 
a) 





−
=
41
32
A B= 





−
−
101
223
 
 
b) )321(=A 









−
=
1
4
2
B 
 
 13 
c) 





−
=
201
043
A 










−
−
=
451
540
216
B 
 
 
4) Dadas 





−
=
01
43
A , 




 −
=
40
16
B calcular A2, B3 , A.B , 2A2+ B.A 
 
 
5) Dadas 





−
=
02
31
A 





−
=
21
12
B establecer si es cierto que: 
a) (A+B)(A - B) = A2 - B2 
b) (A+B)2 = A2 + 2 AB + B2 
c) ¿Por qué valen (o no) las igualdades ? 
 
 
6) Efectuar el producto A.B . De acuerdo al resultado indicar qué 





=
62
31
A 





−
−
=
11
33
B 
propiedad no es válida para el producto de matrices. 
 
7) Dadas las matrices 





=
64
96
A 





=
21
11
B 




−
=
23
12
C Calcular A.B y A.C. 
 
 ¿Es válida la propiedad cancelativa en el producto de matrices ? 
 
 
8) Sea nxnA R∈ . Probar que si A tiene inversa, ésta es única. 
 
9) Sea A una matriz cuadrada nxn. Probar que si A tiene una fila (o una columna) nula, entonces A no 
tiene inversa 
 
10) a) Probar que si las matrices , nxnA B R∈ tienen inversa, entonces la inversa de BA. es 11. −− AB 
 b) Si , , , nxnA B C D R∈ tienen inversa, deducir cuál es ( ) 1... −DCBA 
 
11) Para las matrices del Ej 1, comprobar que AT+BT=(A+B)T y que (A.B)T = BT.AT 
 
12) Sea A una matriz nxn inversible. Probar que (AT)-1 = (A-1)T (Indicación : Usar la 
 definición de matriz inversa y propiedades de la traspuesta) 
 
13) a) Si A, B, C son matrices nxn inversibles y A, B son simétricas, hallar la mínima 
 expresión de (C-1.B.A)-1.C-1.(A.B)T 
 
 b) Si A, B, C son matrices nxn inversibles y B, C son simétricas encontrar 
 la mínima expresión de (A.B.C)-1.(C.B.AT)T 
 
 c) Si A, B, C son matrices nxn inversibles y B, C son simétricas encontrar la 
 mínima expresión de B.(A.B.C)-1.(B.C.B.AT)T 
 
 d) Si A, B, C son matrices nxn inversibles y B, C son simétricas encontrar 
 la mínima expresión de B.(C.B.AT)T . (B.A.B.C)-1 , indicando qué propiedades usa 
 
 14 
 Indicar en todos los incisos qué propiedades usa 
 
14)Llevar las siguientes matrices a la forma escalonada y reducida, indicando 
 las operaciones elementales, indicar el rango de cada una 
 
 
1 1 5 3 1
2 2 10 8 3
6 6 30 22 8
A
− 
 = − 
 − 
 
1 0 1 5
2 3 1 4
3 3 0 9
B
 
 = − 
 − − − 
 
3 4
6 8
C
− 
=  − 
 
 
15) Hallar la inversa, si existe, de las siguientes matrices, mediante operaciones elementales 
 e indicar el rango de cada una 
 
1 4
8 2
A
 
=  − 
 
1 0 3 2 1 0
2 3 4 = 5 3 0
0 2 1 0 0 5
B C
   
   =    
   
   2 5
6 15
D
− 
=  − 
 
16) 
2 4
1
A
k
− 
=  
 
 a) Hallar k para que sea A2 = O 
 b) Hallado k, encontrar el rango de A y la inversa de I-A 
 
17) Sea A una matriz nxn tal que A2= O , ¿Cuál es la inversa de (I+A) ? 
3 9 0 0 -12 9
Dadas las matrices 0 2 0 , 1 1 , 2 -2
6 18 1 5 b 29 -8
 a) Encontrar los números y tales que se cumple .
 b) Encontrar, si existe, la inve
18) 
a
A B C
a b A B C
− −
= = − =
=
     
     
     
     
     
rsa de . Indicar su rango.A
 
 
19) a) Dada 
1
5 1
k
D  =  − 
 encontrar el valor de k para que sea 2 OD = (matriz nula) 
 b) Con el valor k encontrado, calcular el rango de D y ( ).( )I D I D− + = 
 
 
20) a) Encontrar los números , a b tales que ( ).A B C D+ = , siendo: 
 
0
3 2 5 2 1 4 9 6
 , , 2 , 
3 1 2 2 0 1 5 4
0 3
a
A B C b D
 
      
      
      
 
− −
= = = =
− −
 
 b) Hallar (si existe) 1D− .