2016Vibraciones---TP2

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Facultad de Ingeniería - UNLP VIBRACIONES – CURSO 2016 
Trabajo Práctico 2 
SISTEMAS DE 2 GRADOS DE LIBERTAD 
 
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Edición 2013 
PRIMERA PARTE: APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE 
 
Problema 1. 
El sistema de la figura está constituido por un 
cilindro circular de masa m y radio r que rueda 
sin deslizar dentro de la superficie circular de 
radio R, ubicada en el móvil de masa M. 
Determinar las ecuaciones diferenciales de 
movimiento del sistema utilizando las 
coordenadas generalizadas que se indican. 
 
 
 
 
Problema 2. 
Un péndulo doble está unido a cuatro resortes de igual constante de rigidez, 
como se indica en la figura. Utilizando como coordenadas lagrangeanas los 
desplazamientos angulares de cada péndulo, determinar las ecuaciones 
diferenciales del movimiento del sistema. 
 
 
 
 
Problema 3. 
Las oscilaciones de baja frecuencia que constituyen el movimiento de ladeo de un barco 
dependen de la posición del centro de presiones M en relación al centro de gravedad G. El 
centro de presiones M, localizado a una distancia h desde G, se determina por la intersección de 
la recta vertical central del 
barco y la recta de acción 
de la fuerza de flotación . 
Una cama ubicada en un 
camarote se encuentra a 
una distancia d2 desde la 
línea central del barco, 
montada sobre 4 resortes 
idénticos de rigidez k, y con 
los siguientes parámetros: 
 
 
 
Si X y θ son los desplazamientos absolutos vertical y angular de la cama y el movimiento de 
ladeo del barco está caracterizado por 
 Determine las ecuaciones diferenciales del movimiento de la cama 
 ¿Es posible eliminar el del movimiento oscilatorio de la cama si la frecuencia del 
movimiento de ladeo es de ? 
 
 
 
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Trabajo Práctico 2 
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Problema 4. 
El puente grúa de puerto de la figura transporta un contenedor 
de masa m que pende de un cable de acero de 
longitud l. La masa del puente es M y la luz 
entre los apoyos es L. El viento, debido a los 
desprendimientos vorticosos, genera una fuerza 
vertical que puede considerarse armónica de la 
forma . 
Modelando el puente como una viga 
simplemente apoyada de acero de sección 
constante y momento de inercia J y el cable de 
sección transversal A, escriba las ecuaciones 
diferenciales del movimiento. 
 
Problema 5. 
 Una varilla rígida de peso 
despreciable y longitud 2L pivota en su 
centro y está obligada a moverse en el 
plano vertical por medio de resortes y 
masas colocadas en sus extremos, 
como se muestra en la figura. 
Utilizando las coordenadas de 
Lagrange indicadas, determine las 
ecuaciones diferenciales del 
movimiento del sistema. Halle las 
ecuaciones diferenciales linealizadas. 
 
Problema 6. 
Un cilindro de masa m y radio r rueda sin 
deslizar sobre la plataforma de masa 2m. Las 
coordenadas generalizadas x1 y x2 del sistema 
representan los desplazamientos absolutos de la 
plataforma y del centro del cilindro, 
respectivamente. Escribir la energía cinética del 
sistema y determinar 
a) Las ecuaciones diferenciales de 
movimiento. 
b) Existencia de acoplamiento dinámico de 
las coordenadas. 
 
 
 
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SEGUNDA PARTE: FRECUENCIAS NATURALES Y MODOS DE VIBRAR 
 
Problema 7. 
 La esfera de masa m está ubicada en el extremo de una 
viga cantilever que, a su vez, está fija a un carro de masa 2m. 
Determine las pulsaciones naturales y los modos de vibrar del 
sistema utilizando las coordenadas generalizadas indicadas. 
 
 
 
 
 
Problema 8. 
La siguiente figura representa el modelo de un sismógrafo de tipo horizontal. Los 
parámetros físicos concentrados del 
dispositivo son los siguientes: 
 
 
 
 
 
Determinar las frecuencias naturales y los 
modos de vibrar del sistema. Asumir 
pequeñas variaciones de . ¿Cuál es el rango 
de frecuencias de las oscilaciones producidas 
durante un terremoto que el dispositivo será 
capaz de registrar? 
 
Problema 9. 
Determinar las frecuencias naturales y los modos de vibrar del Renault 12 (figura). 
Modele el sistema sabiendo que el auto tiene una masa M y una longitud L. Los constante de 
rigidez de 2 resortes es K (tanto para adelante como para atrás). Desprecie la contribución de los 
neumáticos. Las coordenadas generalizadas 
son el desplazamiento vertical del 
baricentro y el giro en torno del mismo. 
 
 
 
Problema 10. 
 Determinar las pulsaciones 
naturales y los modos de vibrar del 
sistema mecánico indicado en la 
figura, en el cual el resorte de 
acoplamiento tiene una constante de 
restitución variable con el parámetro n. Graficar las pulsaciones naturales halladas en función de 
n y las formas modales para un valor de n=4. 
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Problema 11. 
 Se desea conocer los modos de vibrar y las 
frecuencias de resonancia del motor mono-
cilíndrico del Trabajo Práctico de Sistemas de 1 
Grado de Libertad, considerando en este caso la 
elasticidad de la biela. Se asumirán vibraciones 
libres 
 elástica equivalente de 
suspensión obtenida en el TP1 
 
 
 masa total del motor 
 masa efectiva del pistón y la 
porción de biela 
 radio del cigüeñal 
 longitud de la biela 
 velocidad de rotación 
 
 
 
 
 
 
Problema 12. 
Un cable de línea de alta tensión de densidad 
lineal de masa , está suspendido en un vano 
largo. Se sujeta un absorbedor al cable, cerca de la 
torre de suspensión, de manera de reducir la vibración 
inducida por efecto del viento, el cual se caracteriza 
por una oscilación vertical del cable. El absorbedor cuenta con dos masas de sujetas a un 
tramo corto de cable flexible. La frecuencia natural propia del absorbedor es de . Dado la 
gran longitud del vano, el cable está siempre excitado a, o cerca de cierta frecuencia natural, que 
se puede aproximar por , en donde L es la longitud entre torres en metros. Determine 
el rango de frecuencias para el cual es efectivo el uso del absorbedor. 
 
 
Problema 13. 
 Para el sistema de la figura, y el peso del absorbedor 
de vibraciones es . Si la masa es excitada por un 
desbalanceo de rotando a , determinar el valor de 
que anula el desplazamiento de la masa . Determinar además el valor 
de la amplitud de . 
 
 
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Problema 14. 
Un rascacielos edificado en una 
región sísmica cuenta con un absorbedor 
de vibraciones pasivo que consta de un 
sistema masa – resorte – amortiguador 
sintonizado de manera tal que sean 
minimizados los desplazamientos en la cima del 
edificio. En la imagen se muestra un sismograma de 
un evento sísmico registrado en las costas de 
Estambul, Turquía. Tomando el sismograma como 
parámetro de diseño, proponga los valores de masa, 
rigidez y amortiguamiento para lograr una atenuación 
de 80% del desplazamiento en el extremo del 
rascacielos.