Apunte-ARBOLES-Y-EJES

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ÁRBOLES 
Y 
EJES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GENERALIDADES: 
 
Un árbol o eje es un elemento de maquina, generalmente de sección circular con un 
diámetro mucho menor que su longitud, que sirve sostener y alojar a otros elementos de 
maquinas que son giratorios, tales como poleas, engranajes, levas, manivelas, piñones o 
coronas de cadenas, etc. 
Los ejes pueden ser fijos o móviles. 
El eje fijo es aquel elemento no giratorio o estático que no transmite movimiento y se 
utiliza solo como sostén de piezas rotatorias como ruedas, poleas, rodillos, engranajes locos, 
etc. 
El eje móvil es aquel elemento rotatorio que gira en forma solidaria a aquellos elementos 
de máquinas que soporta pero no transmite alta potencia. 
Un árbol es un eje móvil pero que transmite potencia. 
 
A- TIPOS DE ÁRBOLES 
 
1) Según su configuración longitudinal, los árboles pueden dividirse en: 
• Árboles rectos: son los mas comunes y poseen simetría respecto de su eje geométrico 
de giro. 
 
 
 
Estos pueden ser macizos, huecos, con sección transversal constante o escalonada a lo 
largo de su longitud. 
El escalonamiento se realiza para ubicar las diferentes piezas y para realizar el ajuste 
axial de los elementos que se asentaron sobre el mismo. 
• Árboles acodados: son aquellos que se utilizan para convertir movimiento de rotación 
en traslación y viceversa. 
 
 
 
El caso mas típico es el de los cigüeñales. 
• Árboles flexibles: son aquellos que tienen un eje geométrico de forma variable y 
permiten la transmisión del movimiento entre dos puntos (p/e motores de accionamiento y 
maquina accionada) donde los ejes geométricos de giro forman un determinado ángulo entre 
sí, de manera que es importante hacer un enlace rígido entre ellos. 
 
 
 
 
 
Estos constan de una serie de cuerpos de alambres arrollados en forma de hélice una 
sobre otra, que se encuentran cubierta flexible y que por medio de dispositivos especiales en 
los extremos pueden conectarse entre los puntos deseados. 
En caso de árboles con un solo sentido de rotación, las capas yuxtapuestas están en 
sentido opuesto, de modo que al transmitir el par de torsión, la capa superior de alambres 
tiende a enrollarse. 
Los árboles con dos sentidos de rotación tienen un enrollado diferente de los alambres 
con mas de en cada capa, de modo que la deformación torsional es aproximadamente la misma 
en uno u otro sentido de rotación. 
 
2) según la forma de la sección transversal se pueden clasificar en: 
• De sección circular 
• De sección acanalada 
• De sección poligonal 
 
 
 
B- UNIONES DE ÁRBOLES A LOS CUBOS DE RUEDAS Y POLEAS 
 
Algunas veces, los elementos giratorios están integrados en los árboles (p/e las ruedas 
dentadas de diámetro pequeño que se fabrican con los árboles), pero con mas frecuencia 
dichas partes se fabrican por separado y luego se montan en los árboles. La parte del elemento 
montado que este en contacto con el árbol se denomina cubo. 
 
 
 
Las uniones árbol-cubo pueden clasificarse en: 
 
1) Uniones por rozamiento: 
En este tipo de uniones, el enlace se asegura por las fuerzas de rozamiento surgidas 
entre la superficie exterior del árbol y la superficie interior del cubo. 
A este tipo de uniones pertenecen los siguientes tipos. 
 
 
• Uniones de ajuste por interferencia, las cuales se logran ensamblando las partes con 
una prensa o calentando el cubo para que se expanda o enfriando el eje para que se contraiga. 
Se utilizan transmitir el momento torsor o para fijar la localización axial de la pieza sobre el 
eje. 
 
 
 
• Uniones de ajuste por cuña: 
Donde la cuña oprime el cubo contra el árbol y se “clava” la pieza. El factor de 
concentración de esfuerzos no es muy alto. 
 
 
 
• Unión por cubo partido: 
Se realiza a través del cubo partido que se ajusta por medio de tornillos. Este permite el 
desensamble y ajuste lateral con gran facilidad. 
 
 
 
 
 
 
2) Uniones por forma: 
La transmisión del par se asegura por medio de piezas especiales como pasadores y 
chavetas o por la forma de las secciones a unir (p/e sección acanalada). 
 
 
 
 
Esta ultima unión se usa cuando se necesita transmitir grandes momentos torsionales. 
Los pasadores se usan para fijar la posición axial y transmitir momento torsor. Hay que 
analizar bien el tema de la concentración de tensiones en el agujero del árbol. 
Las uniones por chavetas son muy difundidas y se puede mencionar la chaveta cuadrada 
y la chaveta de disco que se emplea para servicio ligero debido a la profundidad del chavetero 
(ranuras para alojar las chavetas en los árboles y en los cubos) y es de alineación dado la 
libertad que tiene de girar dentro del chavetero-semicircular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
C – UNIONES ENTRE ÁRBOLES 
 
Las uniones entre árboles para transmitir potencia y para que giren juntos se realiza 
mediante acoplamientos. Los acoplamientos pueden ser permanentes, los que a su ves se 
dividen en rígidos o flexibles, o periódicos (embragues). 
 
D – APOYOS DE LOS ÁRBOLES 
 
Los apoyos sirven para montar a los árboles y ejes, asegurar su posición en el espacio y 
soportar los esfuerzos y transmitirlos al bastidor. Los apoyos pueden estar constituidos por 
cojinetes de desplazamiento o rodamientos. 
Desde todos los puntos de vista (diseño, cálculo, fabricación y montaje) es preferible 
utilizar solo dos apoyos, siempre que estos sean capaces de proporcionar suficiente rigidez 
radial para limitar la flexión y deformación angular del árbol a valores aceptables. Si se tiene 
que utilizar mas de dos apoyos para proporcionar la rigidez adecuada, debe mantenerse un 
alineamiento preciso de los cojinetes en la estructura soporte. 
Al diseñar un árbol, y en concreto la situación de sus apoyos, debe aplicarse el principio 
de que las cargas axiales sean absorbidas por un solo apoyo. El cojinete que soporta la carga 
axial debe colocarse de manera que este fijo axialmente y el otro debe disponerse libre. En 
 
 
cualquier caso, la disposición de los apoyos debe ser tal que se permita un juego axial libre del 
árbol suficiente para que bajo ninguna condición de exposición diferencial térmica, el árbol 
impedido de dilatarse (en caso contrario verse sometido a una severa carga resultante en los 
cojinetes). 
 
E – MATERIALES DE LOS ÁRBOLES 
 
El material típico para fabricares el acero al carbono estirado en frió. Pero pueden 
emplearse toda clase de materiales, incluyendo los metales no férricos y también los materiales 
no metálicos. 
Las barras de acero estiradas en frío tienen propiedades físicas superiores a las barras 
estiradas en caliente del mismo material. Poseen mayor límite de fluencia, de rotura y de 
fatiga. Sin embargo, las tensiones residuales provocadas por el estirado en frío pueden afectar 
a los límites de fatiga. 
Para fabricar árboles que deban trabajar con cargas altas con el fin de conseguir 
diámetros pequeños y elevada resistencia la desgaste en los gorrones, se emplean barras de 
acero aleado, trabajadas mediante tratamientos térmicos y térmico-químicos. No obstante, el 
elevado precio de estos aceros, así como la alta sensibilidad a la entalla limitan su aplicación. 
Además, las altas propiedades mecánicas de los aceros aleados no siempre pueden ser 
aprovechadas, puesto que el pequeño diámetro del árbol que se obtiene después de un cálculo 
resistente puede no garantizar su rigidez necesaria. 
Los cigüeñales, con frecuencia, se fabrican de acero, forjados o estampados, y así como 
de fundiciones de alta resistencia, las cuales se distinguen por su suficiente resistencia 
mecánica y pequeña sensibilizada a la entalla, además amortiguan mejor las vibraciones de los 
aceros. 
 
 
 
F – PROCESOS DE FAFRICACIÓN 
 
Los árboles menores de 95 mm de diámetro se suelen fabricar estirados en frió aunque 
también se realizan mediante torneado y pulido. 
Los árboles mayores de 95 mm de diámetro se ejecutan por torneado, pulido y estirado, 
partiendo del material laminado en caliente. 
Los árbolesmayores de 150 mm de diámetro son ordinariamente forjados y luego 
torneados. 
Los cigüeñales pueden ser forjados o fundidos. 
Los chaveteros y secciones estriadas de los árboles se llevan a cabo por fresado. 
 
 
 
 
G – COMPORTAMIENTO DE LOS ÁRBOLES (FALLAS) 
 
Los ejes y árboles constituyen elementos críticos en muchas maquinas (piense en los 
ejes – manguetas – de las ruedas no motrices de un automóvil o en los árboles que accionan 
las ruedas motrices), cuyo fallo puede originar serias consecuencias, no solo para el elemento 
en si, sino para todos los elementos directamente en contacto (cojinetes, ruedas dentadas, 
etc.), amen de la propia maquina en su conjunto. 
En consecuencia, el conocimiento de las causas de fallo de estos elementos, la forma de 
evitarlos, reviste excepcional importancia, tanto en la fase de diseño, como en la de montaje y 
utilización. 
Entre las causas de fallo más importantes de ejes y árboles pueden mencionarse: 
 
• Errores de diseño. 
 
Salvando la situación anormal de un calculo defectuoso, los errores de diseño mas 
comunes se someten al generar concentración de tensiones en puntos fuertemente solicitados 
y al diseñar incorrectamente las secciones del árbol donde van calados los cubos de ruedas a 
base de uniones aprisionadas o por contracción (ajuste por interferencia). 
El mal diseño de los chaveteros puede dar lugar a roturas frágiles por esa zona. 
 
 
• Incorrecta elección del material. 
 
Las causas del fallo más comunes por esta razón son: 
 
1. Incorrecta composición química y metalúrgica. 
2. Baja resistencia a un posible endurecimiento por absorción de 
hidrogeno. 
3. Posible descarburación superficial. 
4. Poca resistencia a la corrosión cuando el árbol haya de trabajar en 
ambientes corrosivos. 
5. Existencia de defectos metalúrgicos (inclusiones, etc.) en el seno 
del material. 
6. Poca resistencia al desgaste, en el caso de tener montados 
cojinetes de deslizamiento, pueden llevar a un fallo prematuro (por 
incremento de la holgura del cojinete). 
 
• Incorrecta fabricación del elemento. 
 
El fallo de los árboles por esta causa tiene su origen en: 
 
1. Defectos inherentes al sistema de fabricación empleado (forja, 
moldeado, maquinado) 
2. Tratamientos térmicos (o químicos) inadecuados, 
3. Marcas de identificación inadecuadas (en cuanto a tamaño y 
localización) 
4. Tratamientos superficiales inadecuados (mentalización, cromado 
duro, etc.) 
5. Defectos de fabricación que conducen a un desequilibrio del 
elemento y que se traducen en fuertes vibraciones que originan su rotura por 
fatiga. 
 
• Errores de montaje. 
 
 
 
Los fallos mas frecuentes en los árboles, por esta causa, se deben a: 
 
1. Desalineamiento de los árboles con los cojinetes de apoyo. 
2. Desajustes en los acoplamientos. 
3. Chaveteros y ajustes con los cubos flojos o con holguras. 
4. Fallos en los soportes (cojinetes), debidos a fabricaciones 
incorrectas de los cojinetes al bastidor, errores en su montaje, etc. 
 
 
DETERMINACIÓN DE LA CONFIGURACIÓN GEOMÉTRICA DE UN EJE. 
 
No existe una única receta o fórmula para determinar la configuración de un árbol o eje 
para un diseño dado. El mejor enfoque o planteamiento es el de estudiar los diseños existentes 
a fin de advertir como se resolvieron problemas similares y luego combinar lo mejor de ellos 
para solucionar el problema propio. Si no diseños existentes para usar como punto de partida; 
entonces determinar la configuración geométrica de un árbol o eje puede tener muchas 
soluciones. 
Los dos casos que se exponen a continuación presentan este problema. Las soluciones 
que se indican no son únicas ni probablemente las mejores, pero ilustran la forma en que se 
fijan y localizan en dirección axial los elementos a montar sobre el eje y los medios para 
efectuar la transmisión de un momento torsor de un elemento a otro. 
 
 
 
 
CASO 1: Un eje con dos engranajes debe ser soportado por dos cojinetes. 
 
 
 
 
En este caso el eje se halla sometido a flexión, torsión y carga axial. 
La solución utiliza un piñón integral, tres escalones en el eje, chaveta, chavetero y 
casquillo. El alojamiento sitúa los aros exteriores de los cojinetes y resiste las cargas de 
empuje o axiales. 
 
 
 
 
 
 
 
CASO 2: Montaje de un eje para un ventilador y polea. El eje en este caso está sometido 
solo a torsión y flexión. 
 
 
 
 
La solución implica cojinetes de casquillo, un eje integral a través de las piezas, 
localización de collarines y tornillos de fijación (prisioneros) para dichos collarines, el rodete del 
ventilador y la polea. Los cojinetes de casquillo están sostenidos por el alojamiento del 
ventilador. Ya se vio anteriormente también los métodos mas usados para la fijación de los 
elementos en los ejes. 
Otros casos o modo de ejemplo son presentados a continuación. Los mismos se han 
desarrollados y depurados con el transcurso de los años y representan nuevas soluciones para 
el diseño. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 
PROCEDIMIENTO PARA EL DISEÑO DE UN EJE: 
 
En el proceso de transmisión de potencia a una velocidad rotacional determinada, un eje 
esta sometido a un par de torsión. De esta forma en el eje se desarrolla un esfuerzo cortante 
de torsión el deberá resistir. Además, cuando se montan algunos elementos de maquinas sobre 
él, estos ejercen fuerzas sobre el mismo en dirección transversal (perpendicular al eje del eje) 
generando momentos de flexión (con sus consecuentes tensiones o esfuerzos normales), corte 
vertical (tensiones de corte pura) y en algunos casos cargas axiales que generan 
tensiones normales directas. El efecto de las tensiones de corte puro pasa a tener importancia 
en los ejes cortos o en parte de ellos. Un eje que soporta uno o más elementos de máquinas 
debe soportarse sobre cojinetes. Es deseable que dos cojinetes proporcionen soporte radial. 
Para limitar la flexión y la deflexión del eje a niveles aceptables. Si además, es necesario 
utilizar tres o mas cojinetes para proporcionar el soporte adecuado y rigidez, es necesario 
mantener una alineación precisa entre ellos. El procedimiento que debe seguirse cuando se 
realiza el análisis y diseño de un eje, depende del diseño que se haya propuesto, asi como de 
la forma en que se cargue y se soporte. Asi se puede en forma general, sugerir el siguiente 
procedimiento: 
(Como referencia la norma ANSI BIOGAM. “Design of transmition shafting”) 
 
• Determinar la potencia o torque que va a transmitir el eje. 
 
• Determinar la velocidad de giro (esta deberá estar alejada de la velocidad critica 
del eje). 
 
• Determinar los componentes transmisores de potencia que se van a montar sobre 
el eje y especificar su ubicación sobre el eje. 
 
 
 
• Precisar la ubicación de los cojinetes de apoyo del eje. (ver si hay que utilizar 
cojinetes que soporten cargas axiales). Tener en cuenta que si hay cargas axiales un cojinete 
debe tomarla y los demás deben poder deslizarse. Los cojinetes deben colocarse cerca de los 
elementos que transmiten potencia para minimizar los momentos de flexión. 
 
• Tener en cuenta que la longitud total de la flecha debe ser mínima para mantener 
las deflexiones en un valor aceptable. Las deformaciones máximas para los dientes de 
engranajes que se aceptan deben ser inferiores a 0.13 mm y la pendiente relativa de los ejes 
de los engranajes debe ser menor que 0.03 grados. Además, la deformación angular del eje 
geométrico de un rodamiento de bolas o rodillos, por lo general debe ser menor a 0.04 grados 
al menos que el rodamiento sea autoalineado. 
 
• Proponer la forma de la geometría del eje y ver si es necesario por ejemplo 
mecanizar los hombros para asentar los engranajes, poleas o cojinetes y la forma de 
asegurarlos, (mecanizado de chiveteros, etc.). 
 
• Se debe elegir el tipo de material siguiendo estas pautas: 
1. Alta resistencia. 
2. Baja sensibilidad a la concentración de tensiones. 
3. Capacidad de tratarlostérmicamente para disminuir la influencia de la 
concentración de tensiones y para aumentar la resistencia al desgaste de los gorrones. 
4. Buena maquinabilidad. 
(Por ejemplo se pueden tomar los aceros St-42, St-50, St-70. En casos especiales se 
recurrirá a aceros aleados u otros materiales). 
 
• Hacer una grafica de torque a lo largo de todo el eje. 
 
• Calcular las fuerzas que ejercen acción sobre el eje tanto radial como axialmente. 
 
• Calcular las acciones sobre los cojinetes de soporte en cada plano. 
 
• Elaborar los gráficos completos de fuerzas de corte y momentos de flexión el los 
planos x-y y x-z tomando como memento resultante: 2 2R xy xzM M M= + 
 
• Calcular los diámetros o secciones del eje en función de los estados de carga, 
para cada punto critico. Estos puntos son numerosos e incluyen aquellos donde tiene lugar un 
cambio de diámetro, donde se generan los valores más altos de torque y de flexión y donde se 
presentan concentraciones de tensiones. Muchas veces los, los diámetros de algunos tramos 
del eje son impuestos por los elementos que son soportados en el mismo. En este punto 
además se tiene que ver que teorías o consideraciones se toman en el cálculo. 
 
ACCIONES SOBRE LOS ÁRBOLES (engranajes, poleas y piñones o coronas) 
 
Los elementos de maquinas como los engranajes, poleas, coronas, etc. ejercen fuerzas 
sobre los ejes que dan lugar a esfuerzos de corte, momentos de flexión y cargas axiales. 
 
• RUEDAS DENTADAS O ENGRANAJES: 
 
- Engranajes de dientes rectos: Cuando dos engranajes transmiten 
potencia, la fuerza que se ejerce sobre los dientes “Wn” es perpendicular al 
perfil envolvente de los dientes. Esta tiene sus componentes rectangulares: una 
radial “Wr” y otra tangencial “Wt”. 
 
 
 
wnwr
wt
D
 
 
⇒ Como la relación entre potencia (P) y torque (T) es: 
 
ω.TP = ; Donde: 
60
..2 nπω = 
Entonces: 
ω
PT = y 
2/D
TWt = , donde D es el diámetro primitivo del engranaje 
Siφ es el ángulo de presión que depende de la forma de los dientes (y vale por lo 
general: 14.5º, 20º o 25º), φtgWtWr ⋅= , estas dos fuerzas generan flexión en dos ejes 
perpendiculares. 
 
 
-Engranajes helicoidales: además de las fuerzas vistas en los engranajes de dientes 
recto, en este tipo de engranajes aparece una fuerza axial. Si el ángulo helicoidal del engranaje 
es ψ y el ángulo de presión normal es nφ ⇒ ψ
φ
cos
ntgWtWr
⋅
= , y la carga axial es: ψtgWtWa ⋅= 
 
 
 
 
 
 
 
• CADENAS Y RUEDAS DENTADAS: 
 
 
 
La parte superior de la cadena es la que tracciona y genera torque en cualquiera de las 
ruedas. La parte floja no ejerce fuerza sobre las ruedas. 
La fuerza total de flexión en el eje es: 
2
D
TFC = ; D = Diámetro primitivo de la rueda. 
 
Esta Fc está inclinada respecto a la línea horizontal, por lo que posee dos componentes: 
 
 
 
θcos⋅= CCX FF 
θsenFF CCY ⋅= 
 Estas componentes generan flexión tanto en el sentido x como y. 
 
 
• CORREAS EN V: 
 
 
 
El tratamiento es similar al de las cadenas, salvo que ambos lados de la banda en V se 
encuentran en tensión 21 FF 〉 . Existe una fuerza neta de impulso en las poleas que vale: 
21 FFFN −= y a su vez. 
2
D
TFN = 
La fuerza en el ejes 21 FFFB += (para ser mas exactos deben utilizarse las componentes 
de F1 y F2) con el ángulo de inclinación de la correa. 
La otra ecuación que se debe usar es: θ⋅= fe
F
F
2
1 
Luego con F1 y F2, se las descomponen en x e y y se obtienen las componentes de 
flexión. 
 
 
 
 
• CORREAS PLANAS: 
 
El análisis de fuerzas que ejercen las poleas con correas planas sobre los árboles es 
idéntico al de las poleas en V, excepto las derivadas de la no existencia de la garganta. Por lo 
tanto: 
 
 
 
Momento torsor: 1 2
p
F FT
r
+
= 
Fuerza según la horizontal: ( )1 2 coshF F F θ= + ⋅ 
Fuerza según la vertical: ( )1 2hF F F senθ= − ⋅ 
Relación de fuerzas: θ⋅= fe
F
F
2
1 Relaciones de 1
2
3F
F
= son razonables. 
 
 
 CONCENTRACIÓN DE TENCIONES EN EJES. 
 
Se verán 3 tipos de discontinuidades geométricas que se encuentran generalmente en 
los ejes que transmiten potencia: Los chaveteros, radios de acuerdo de los hombros y ranuras 
para arandelas de sujeción. 
Se verá a continuación que valores de factores de concentración de tensión Kt se pueden 
usar para cada caso para empezar los cálculos y luego optimizar el diseño (no olvidar que el Kt 
depende del tipo de continuidad, geometría y diámetro del eje, por lo cual requiere de un 
proceso iterativo). 
 
• CHAVETEROS 
 
Las chavetas insertadas en los chaveteros permiten transmitir el torque entre el eje y el 
elemento que transmite potencia (engranaje, polea, etc.). 
 
Tipos según ..............: 
Los Kt son: Kt = 2 (chavetero de perfil) 
 Kt = 1.6 (chavetero de corredera deslizable) 
 
Estos factores se aplican al cálculo de la tensión por flexión del eje. Si la tensión de corte 
por torsión es………………en lugar de constante, también se aplica este Kt. 
 
 
Para todos los casos (chaveteros, radios de acuerdo, etc.) el Kt no afecta al término de 
las tensiones por torsión porque se supone que la torsión es constante y la concentración de 
tensiones da un efecto mínimo en el potencial de falla. 
 
 
 
 
• RADIOS DE ACUERDO DE LOS HOMBROS: (Los hombros se mecanizan cuando se se 
coloca un …………mecánico contra el mismo). 
 
 
 
Son de dos tipos: 
 - De borde cortante: (por ejemplo para montar cojinetes o 
engranajes) (p/ejem. r/d=0.03 con D/d=1.5) 
 
Para el diseño a flexión: Kt=2.5 
 
 - De borde redondeado: (cuando el radio de acuerdo es más grande o 
no asienta ningún cojinete mecánico) (p/ejem. r/d=0.17, D/d=1.5). 
 
 
 
Para el diseño a flexión: Kt=1.5 
 
 
• RANURAS PARA ARANDELAS DE SUJECION. 
 
 - Para diseño a flexión: Kt=3. 
 
 - Para diseño a torsión y flexión o solo torsión: Aumento un 6% el valor del 
diámetro hallado en el diseño y una vez que se adopte sobre ese valor, la geometría de la 
ranura, deberá calcularse la tensión en la ranura con el Kt adoptado para la geometría de la 
ranura. 
 
MSST: Se inicia la fluencia siempre que en cualquier elemento el esfuerzo cortante 
máximo es igual al esfuerzo cortante máximo en una probeta de tensión cuando la probeta 
empieza a fluir. 
 
DET: La falla por fluencia ocurre cuando la energía de deformación total en un volumen 
unitario iguala o excede el valor de la energía de deformación en el mismo volumen 
correspondiente a la resistencia a fluencia en tensión o compresión. 
 
ANALISIS DE CARGA ESTATICA: (Tensiones sobre los ejes). 
 
• MOMENTO FLEXIONNANTE Y TORSION. 
La fuerza aplicada perpendicular aun eje produce tensiones máximas en un punto de la 
superficie de un eje macizo de sección circular. 
 
x
M c
I
σ ⋅= (Flexión) 
x
M c
J
σ ⋅= (Torsión) Con: 
4 4
; ;
2 64 32
d d dc I Jπ π⋅ ⋅= = = 
 
3
32
x
M
d
σ
π
⋅
=
⋅
 
 
3
16
xy
T
d
τ
π
⋅
=
⋅
 
 
Utilizando el círculo de Mohr, se demuestra que para el estado del plano de esfuerzos, 
los esfuerzos normales principales no nulos están dados por: 
 
2
2
1 2, 2 2
x x
xy
σ σσ σ τ⎛ ⎞= ± +⎜ ⎟
⎝ ⎠
; Con ( 0)yσ = ; y 
2
21 2
max min, 2 2
x
xy
σσ στ τ τ− ⎛ ⎞= ± +⎜ ⎟
⎝ ⎠
; Con 
( 0)yσ = 
 
 
 
 
 
Reemplazando xσ y xyτ genera: 
 
 
 
2 2
1 2 3
16, M M T
d
σ σ
π
⎡ ⎤= ± +⎣ ⎦⋅ 
 
2 2
max 1 2 3
16, M T
d
τ τ τ
π
⎡ ⎤= = ± +⎣ ⎦⋅ 
 
• TEORIA DE LA ENERGIA DE DISTORSION (DET) o (criterio de Von Misses) 
Esta teoría produce la falla (fluencia) si: 
 
( )1/ 22 2 2 21 2 1 2 y
s
S
σ σ σ σ
η
+ − ⋅ ≥
 
Donde: Sy es la resistencia a fluencia del material. y sη es el factor de seguridad. 
 
Al término ( )2 2 2 21 2 1 2σ σ σ σ+ − ⋅ se lo conoce con el nombre de Tensión de Von Misses y se 
puede expresar de la siguiente manera: 
 
'σ = ( )2 2 2 21 2 1 2σ σ σ σ+ − ⋅ = ( )
1/ 22 23x xyσ τ+ ⋅ 
Reemplazando los valores de1σ y 2σ se llega a: 
 
( )1/ 22 2316 4 3 y
s
S
M T
dπ η
⋅ + ⋅ ≥
⋅ 
Así, el diámetro mas pequeño donde la falla empezara a ocurrir es: 
 
1/3
2 232 4
3
s
y
d M T
s
η
π
⎛ ⎞⋅
= ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠
 
 
Frecuentemente el par de torsión no se da explícitamente por lo tanto hay que obtenerlo 
a través de la potencia transmitida. Muchas veces, en los problemas, el diámetro se conoce y el 
coeficiente de seguridad es una incógnita. 
 
3
2 2432
3
y
s
d s
M T
π
η
⋅ ⋅
=
⋅ + ⋅
 
 
 
• TEORIA DEL ESFUEZO CORTANTE MAXIMO: (MSST) 
 
 
Esta teoría produce falla (fluencia) si: 
 
1 2
max 2
sySσ στ
η
−
= ≥
 
 
2 2
3
32 y
s
sM T
dπ η
⋅ +
≥
⋅ 
 
1/3
2 232 s
y
d M T
s
η
π
⎛ ⎞⋅
⇒ = ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠
 
 
• MOMENTO FLEXIONANTE, TORSION Y CARGA AXIAL. 
Si sumamos la carga axial P a la expuesta anteriormente, se obtiene: 
 
3 2
32 4
x
M P
d d
σ
π π
⋅ ⋅
= +
⋅ ⋅
 ∴ 
2 2
1 2 3 2 3 2 3
16 2 16 2 16, M P M P T
d d d d d
σ σ
π π π π π
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ± + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
 
( ) ( )2 21 2 3
2, 8 8 8M P d M P d T
d
σ σ
π
⎡ ⎤= ⋅ ⋅ + ⋅ ± ⋅ + ⋅ + ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦⋅
 
 
 
( ) ( )2 21 2 3
2, 8 8M P d T
d
τ τ
π
= ± ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅
⋅
 
 
 
• TEORIA DET. 
 
( )1/ 2' 2 2 2 21 2 1 2 y
s
σ σ σ σ σ
η
= + − ⋅ ≥ y reemplazando 2 23
4 (8 ) 48 y
s
s
M P d T
dπ η
⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ >
⋅
 
 
 Acá, no se puede obtener una expresión explicita para el diámetro. 
 
• TEORIA MSST. 
1 2
max 2 2
sy
s
sσ στ
η
−
= ≥
⋅
 
 
2 2
3
4 (8 ) 64 y
s
s
M P d T
dπ η
⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ >
⋅
 
 
Acá es ídem al caso anterior, es decir, no se puede obtener una expresión del diámetro. 
 
 
 
CONCLUSION: Estas ecuaciones permiten determinar maxτ o 
'σ cuando se da “d” o 
determinar “d” cuando se conocen los valores permisibles max 2
sy y
s s
s s
τ
η η
= =
⋅
 o de ' y
s
s
σ
η
= 
También sirven para determinar el factor de seguridad ( sη si se conoce el diámetro) 
ANALISIS DE CARGA CICLICA O DE FATIGA: (Carga alternada (de flexión) 
completamente invertida). 
 
En cualquier eje rotatorio cargado por momentos estacionarios de flexión y torsión, 
actuaran esfuerzos por flexión completamente invertida, debido a la rotación del árbol, pero la 
tensión por torsión permanecerá constante. 
De esta manera se tendrá: 
• Una tensión normal alternada de valor: 3
32 a
xa
M
d
σ
π
⋅
=
⋅
 
• Una tensión de corte media de valor: 3
16 m
xym
T
d
τ
π
⋅
=
⋅
 
• 
Como se vio anteriormente estos valores de tensión se utilizan en los círculos de Mohr y 
aplicando las teorías de DET o MSST se obtienen los valores equivalentes de las tensiones 
medias y alternadas. Obtenidos estos valores, se pueden seleccionar algunas de las relaciones 
de falla que se muestran a continuación para el diseño. 
 
 
 
 
 
 
 
CASO 1: Utiliza la teoría de MSST. Para pronosticar el esfuerzo y la línea de Goodman 
modificada para predecir la resistencia. 
 
1/3
2 2
32 s a m
e ut
M Td
S S
η
π
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⇒ = ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
 
 
1/ 22 2
3
1 32 a m
s e ut
M T
d S Sη π
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎢ ⎥⇒ = ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
 
Ahora se debe incluir el factor de concentración de tensiones Kf, ya que la tensión crítica 
por flexión se dará en un punto de concentración de esfuerzos. 
Esto se puede hacer sin corregir el valor de Se por el por el factor de concentración de 
esfuerzos y agregando Kf en la ecuación: 
 
1/3
2 2
32 f as m
e ut
k M Td
S S
η
π
⎛ ⎞⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⇒ = ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
 
 
 
 
1/ 22 2
3
1 32 f a m
s e ut
k M T
d S Sη π
⎡ ⎤⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎢ ⎥⇒ = ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
 
 
 
CASO 2: si se emplea Soderberg y la teoría MSST. 
 
1/3
22
32 f as m
e y
k M Td
S S
η
π
⎛ ⎞⎛ ⎞⋅⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⇒ = ⋅ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
 
1/ 222
3
1 32 f a m
s e y
k M T
d S Sη π
⎡ ⎤⎛ ⎞⋅⎛ ⎞⎢ ⎥⇒ = ⋅ + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
 
 
CASO 3: Si se emplea DET y Goodman modificado. (Esta combinación es una de las 
conservativas) 
 
1/3
332
2
f a m
s e y
k M Td
S Sη
⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ ⋅
⇒ = ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠⎝ ⎠
 
 
3
31 32
2
f a m
s e y
k M T
d S Sη π
⎛ ⎞⋅ ⋅
⇒ = ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠
 
 
 
 
 
 
CASO 4: Se aplica DET y Gerber. 
 
1/31/ 22
16
1 3s f a m e
e f a ut
k M T Sd
S k M S
η
π
⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎪ ⎪⎢ ⎥⇒ = ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭
 
 
 
 
1/ 22
3
161 1 1 3f a m e
s e f a ut
k M T S
d S k M Sη π
⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅⎪ ⎪⎢ ⎥⇒ = + + ⋅⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠⎣ ⎦⎩ ⎭
 
 
CASO 5: Si se aplica DET y la relación ASME: 
 
1/3
22
32 3
4
f as m
e y
k M Td
S S
η
π
⎛ ⎞⎛ ⎞⋅⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⇒ = ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
 
 
1/ 222
3
1 32 3
4
f a m
s e y
k M T
d S Sη π
⎡ ⎤⎛ ⎞⋅⎛ ⎞⎢ ⎥⇒ = ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
 
 
CARGA CICLICA O DE FATIGA: 
Los momentos de flexion y torsión son estables o constantes más la flexión y torsión 
alternada. 
 
3
32 m
xm
M
d
σ
π
⋅
=
⋅
; 3
32 a
xa f
Mk
d
σ
π
⋅
= ⋅
⋅
; 3
16 m
xym
T
d
τ
π
⋅
=
⋅
; 3
16 m
xya fs
Tk
d
τ
π
⋅
=
⋅
 
Las cargas cíclicas, varían durante todo un ciclo en vez de permanecer constantes. Se 
vera a continuación un análisis general para los materiales dúctiles y se darán las ecuaciones 
apropiadas para materiales frágiles. 
 
 
• MATERIALES DUCTILES: (Se usa MSST y Soderberg) 
En la siguiente figura se dan los esfuerzos normales y de corte que en un elemento 
rectangular sobre un eje sometido a fatiga. 
 
 
 
m f akσ σ± ⋅ m f akτ τ± ⋅ 
a: alternada. 
m: medio. 
Kf: factor de concentración de esfuerzos por fatiga debido a cargas normales. 
 
 
Kfs: factor de concentración de esfuerzos por fatiga debido a cargas de corte. 
 
En la figura, que sigue a continuación, se muestran los esfuerzos que actúan sobre un 
plano oblicuo en un ánguloφ . Este ángulo es genérico y luego se tomara aquel en el cual 
ocurre la falla. 
 
 
Sumando las fuerzas tangentes a la diagonal, se tiene: 
 
( ) ( ) ( )cos cos cos 0m fs a m fs a m f aA k A k A sen sen k A senφτ τ τ φ φ τ τ φ φ σ σ φ φ⋅ + ± ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ± ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ± ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
 
Despejando φτ y usando ángulos dobles: 
( ) ( )1cos(2 ) (2 )
2m fs a m f a
k A k senφτ τ τ φ σ σ φ= ± ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ± ⋅ 
 
Separando el esfuerzo oblicuo y alternante, el fuerzo sobre el plano oblicuo es: 
 
(2 ) cos(2 ) (2 ) cos(2 )
2 2
f am
m a m fs a
k
sen sen kφ φ φ
σττ τ τ φ τ φ φ τ φ
⋅⎛ ⎞⎛ ⎞= + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
Recordando la línea de Soderberg para esfuerzo normal, obtenemos: 
 
eS 
aσ 
ytS mσ 
 
 
 
Para una carga de corte los puntos extremos de la línea de Soderberg son: 
 
2
e
se
s
SS
η
=
⋅
 y 
2
yt
sy
s
S
S
η
=
⋅
 y esto queda: 
 
 
 
De a cuerdo a la proporción de triángulos: 
 
 
HF HG
OF OD
= ó 
/ 2
/ 2 / 2
y s m a
y s e s
S
S S
φ φη τ τ
η η
⋅ −
=
⋅ ⋅
 
 
 
∴ 
1
/ 2 / 2
a m
s e yS S
φ φτ τ
η
= +
 
Reemplazando aφτ y mφτ queda: 
 
 
(2 ) cos(2 ) (2 ) cos(2 )1 2 2
/ 2 / 2
f a m
fs a m
s e y
k
sen k sen
S S
σ τφ τ φ φ τ φ
η
⋅
⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅
= + 
 
 
1 (2 ) 2 cos(2 )
s
A sen Bφ φ
η
= ⋅ + ⋅ ⋅ 
Con: 
 
f am
y e
K
A
S S
σσ ⋅
= + 
 
 
 
fs am
y e
K
B
S S
ττ ⋅
= + 
 
 
Ahora, necesitamos hallar la combinación de esfuerzos que produce el sη más pequeño, 
ya que esto corresponde a la situación de esfuerzo máximo. (Plano en el cual ocurre la falla). 
El valor mínimo de sη corresponde a un valor máximo de 
1
sη
⇒ derivando 
1
sη
 respecto 
de φ de la ecuación anterior e igualando a cero se tiene: 
 
 
 
1 2 cos(2 ) 4 (2 ) 0
s
d A B sen
d
φ φ
φ η
⎛ ⎞
= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
 
 
∴
(2 ) (2 )
cos(2 ) 2
sen Atg
B
φ φ
φ
= =
⋅ 
 
 
Si se grafica esta relación, se tiene: 
 
Y se puede hallar: 
 
 
2 2
(2 )
4
Asen
A B
φ =
+ ⋅
 ; 2 2
2cos(2 )
4
B
A B
φ ⋅=
+ ⋅
 
 
 
∴ Reemplazando en la ecuación 1 (2 ) 2 cos(2 )
s
A sen Bφ φ
η
= ⋅ + ⋅ ⋅ . 
 
A
2B 
2φ 
2 24A B+ ⋅ 
 
 
2 2
2 2
2 2 2 2
1 4 4
4 4s
A B A B
A B A Bη
⋅
= + = + ⋅
+ ⋅ + ⋅
 
 
 
 
Reemplazando A y B en la anterior queda: 
 
 
 
2 2
1 4f a fs am m
s y e y e
K K
S S S S
σ τσ τ
η
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅
= + + ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
 
 
 
2 2
4y y ym f a m fsa
s e e
S S S
K K
S S
σ σ τ τ
η
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
Reemplazando en la ecuación anterior, los valores 3
32
x
M
d
σ
π
⋅
=
⋅
 y 3
16
xy
T
d
τ
π
⋅
=
⋅
 para 
; ; ;m a m aσ σ τ τ . Se tiene: 
3
2 2
32
y
s
y y
m f a m fs a
e e
d S
S S
M K M T K T
S S
π
η
⋅ ⋅
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
Si se quiere obtener el diámetro seguro más pequeño, para un factor de seguridad 
específico se escribe como: 
 
 
1/3
2 2
32 y ys
m f a m fs a
y e e
S S
d M K M T K T
S S S
η
π
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎢ ⎥= + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
fsK se calcula utilizando la torsión en lugar de la carga axial. 
 
 
NOTA: Dentro de ; ;y e fS S K y fsK esta incluido “d” por lo tanto hay que 
iterar. 
 
En este desarrollo se supuso que la MSST es valida y esto se demuestra haciendo 
0yσ = en la ecuación para elτ máximo. 
2
2
max 2
xστ τ⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
∴el factor de seguridad es 2 2
max
/ 2
4
y y
s
x
S S
η
τ σ τ
= =
+ ⋅ 
 
Y queda: 
2 24y x
s
S
σ τ
η
= + ⋅ 
 
NOTA: Peterson modifico la ecuación 
2 2
4y y ym f a m fs a
s e e
S S S
K K
S S
σ σ τ τ
η
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
cambiando el 
término del esfuerzo cortante de 3 a 4, con lo cual se satisface la DET, también se usa para 
materiales dúctiles. 
 
1/3
2 2
32 3
4
y ys
m f a m fs a
y e e
S S
d M K M T K T
S S S
η
π
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎢ ⎥= + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
 
 
OTRO CASO: La combinación mas usada es DET con Goodman modificada. 
 
1/3
2 2 2 2
32 3 3
4 4
f a fs as m m
e e ut ut
K M K T M Td
S S S S
η
π
⎡ ⎤⎛ ⎞⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎢ ⎥⎜ ⎟= ⋅ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
 
 
 
2 2 2 2
3
1 32 3 3
4 4
f a fs a m m
e e ut ut
K M K T M T
d S S S Sη π
⎛ ⎞⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
 
 
 
 
 
 
• MATERIALES FRAGILES: (Se usa MSST) 
 
Aunque generalmente los ejes son metales trabajados en frío y mecanizados a las 
dimensiones deseadas, existen aplicaciones en las que se utilizan piezas fundidas (Materiales 
frágiles). 
Para materiales frágiles se suponen las fuerzas normales en lugar de las tangenciales a 
la diagonal. (Recordar que las probetas frágiles rompen a 90º del eje). 
También la línea de diseño se extiende desde e
s
S
η
hasta u
s
S
η
en lugar de
2
e
s
S
η⋅
a
2
y
s
S
η⋅
como 
antes. Así, siguiendo procedimientos similares a los materiales dúctiles se tiene: 
 
 
2 2
2 22 . 4u u u uc m a c m a cs m a
s e e e
S S S SK K K
S S S
σ σ σ σ τ τ
η
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅
= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
 
Kc: factor de concentración de esfuerzos. 
 
Y también se tiene: 
3
2 2
2 2
/16
.
u
s
u u u
c m a c m a cs m a
e e e
d S
S S SK M M K M M K T T
S S S
πη ⋅ ⋅=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
 
Ó 
1/3
2 2
2 216 .s u u uc m a c m a cs m a
u e e e
S S Sd K M M K M M K T T
S S S S
η
π
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎢ ⎥⎜ ⎟= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
 
 
Como ya vimos, tanto en materiales dúctiles como frágiles, muchos casos se dan con 
flexión invertida y torsión constante. Con lo que: 0mσ = ; 0mM = y 0aτ = ; 0aT = .